Mathématiques Financières - Cours IST

Institut Supérieur de Technologies
(IST)
Chargé du cours
Dr. Sié Ernest YOUL
Février 2026
MATHEMATIQUES FINANCIERES

PLAN
CHAPITRE I : CAPITALISATION EN INTERETS COMPOSES
I. Définition
II. Formules générales des intérêts composés
III. Formules de la valeur acquise dans le cas où la durée n’est pas un entier
IV. Taux proportionnel et taux équivalent
CHAPITRE II : ACTUALISATION EN INTERETS COMPOSES
I. Valeur actuelle d’un capital
II. Détermination d’un capital à une époque connaissant sa valeur à une
époque n.
III. Escompte à intérêts composés
IV. Equivalence à intérêts composés
CHAPITRE III : LES ANNUITES
I. Définition
II. Les annuités constantes de fin de période
III. Les annuités constantes de début de période
CHAPITRE IV : AMORTISSEMENTS DES EMPRUNTS INDIVIS
I. Généralités
II. Tableau d’amortissement
III. Relations entre les éléments du tableau d’amortissement
IV. La vie de l’emprunt

Chapitre I. Capitalisation en Intérêts Composés
I. Définition de l’intérêt composé
On dit qu’un capital est placé à intérêt composé lorsqu’à la fin de la 1ère période, les intérêts
simples sont ajoutés à ce capital pour produire des intérêts à leur tour pendant la période
suivante et ainsi de suite.
N.B : Les intérêts composés sont généralement des opérations financières de long terme et la
période la plus fréquemment retenue est l’année. Mais quelques fois on peut retenir le
trimestre ou le semestre comme période de capitalisation des intérêts.
II. Formules générales des intérêts composés.
1. Formule de capitalisation.
La capitalisation consiste à faire avancer dans le temps une valeur présente pour calculer sa
valeur future appelée aussi Valeur Acquise.
Dans cette partie nous travaillerons sous l’hypothèse que le temps de placement est un
nombre entier de période. Soient :
Co = le capital initialement placé
i = le taux d’intérêt correspondant à la période de capitalisation
n = le nombre de période
Cn = capital obtenu après n périodes.
Considérons le tableau suivant :
Période
Capital placé en
début de période
Intérêts produit
pendant la période
Capital obtenu à la fin de la période
1
Co
Co x i
Co + Coi = Co (1+ i)
2
Co (1+ i)
Co (1+ i)i
Co (1+ i) + Co (1+ i)i = Co (1+ i)2
3
Co (1+ i)2
Co (1+ i)2i
Co (1+ i)2 + Co (1+ i)2i = Co (1+ i)3
.
.
.
n-1
Co (1+ i)n-2
Co (1+ i)n-2i
Co (1+ i)n-2 + Co (1+ i)n-2i = Co (1+ i)n-1
n
Co (1+ i)n-1
Co (1+ i)n-1i
Co (1+ i)n-1+ Co (1+ i)n-1i = Co (1+ i)n
A partir du tableau on peut donc dire que la formule permettant de calculer la valeur acquise
d’un placement Co pendant n périodes au taux i est donnée par : Cn = Co (1+i)n
Application 1 : Que devient un capital de 200.000 placé à un taux de 5% pendant 5 ans.
Application 2 : Que devient un capital de 200.000 placé à un taux semestriel de 2,5% pendant
5 ans.

Remarques.
• Les intérêts rapportés d’une période à l’autre, de même que les valeurs
acquises successives d’un capital placé à intérêt composé suivent une
progression géométrique de raison q = 1+i
• Pour un même taux annuel et pour une même durée de placement, la valeur
acquise augmente lorsque la période de capitalisation diminue.
• Dans l’expression Cn = Co (1+ i)n il y a une relation directe entre i et n. Ces
paramètres se réfèrent à la même unité de temps ou à la même périodicité.
• La formule fondamentale de l’intérêt composé donne directement la valeur
acquise par le capital placé.
A partir de là on peut calculer facilement l’intérêt rapporté :
It = Co(1+ i)n - Co = Co [(1+ i) n – 1]
Application:
1. Quel est l’intérêt total rapporté par un capital de 200.000 placés à intérêt composé
pendant 5 ans au taux de 5% ?
2. Déterminer l’intérêt total rapporté au cours de la 3e année et celui rapporté au cours de
la 2e à la 4e année.
2. Détermination des différents paramètres de la formule.
a) Calcul de la valeur acquise.
Comme vu ci-dessus Cn = Co(1+ i)n
b) Calcul du taux : i
cn
Cn = Co(1+i)n (1+i)n =
co
cn cn
log (1+i)n = log n log (1+i) = log
co co
i = 10( log cn - log co)/n - 1
Application: Un capital de 2.500.000 placés à intérêt composé pendant 11 ans a donné une
valeur acquise de 5.829.097. Calculer le taux de placement.
c) Détermination du nombre de périodes
cn cn cn
Cn = Co (1+i)n (1+i)n = n log(1+i) = log log
co co co
n =
log (1+i)

Application: Un capital de 900.000 est placé à intérêt composé au taux trimestriel de 2%. Au
bout d’un certain temps la valeur acquise est égale à 1.447.593,525F.
Calculer la durée du placement.
d) Calcul du capital : Co
cn
Cn = Co (1+ i)n Co =
(1+ i)n
Application: Un capital est placé à intérêt composé au taux de 3% pendant 8 semestres. Sa
valeur acquise est de 888.739,057F. Calculer la valeur du capital initial.
III. Formule de la valeur acquise dans le cas où la durée n’est pas un nombre entier.
Dans la formule générale, nous avons supposé n entier. Mais il peut arriver que le nombre
de périodes n soit fractionnaire.
Exemple : 6 ans 7 mois = (6 + 7
12) 𝑎𝑛𝑠
Dans ce cas il y a deux méthodes de résolution. La méthode rationnelle et la méthode
commerciale.
1. La méthode rationnelle
Elle consiste à calculer la valeur acquise pour la partie entière, ensuite utiliser la formule des
intérêts simples pour la partie fractionnaire.
Supposons que la durée n est donnée par :
n = k + p (k est la partie entière et p la partie fractionnaire)
q q
Pour calculer la valeur acquise on aura la formule suivante :
Cn = Ck + p/q = Co (1+ i)k + Co(1+ i)k i p
q
Ck + p/q = Co(1+ i)k 1+ ip
q
Application: Calculer en utilisant la solution rationnelle la valeur acquise pour un capital de
105.000F placé pendant 6 ans 5 mois au taux annuel de 8%.
2. La méthode commerciale
Elle consiste à étendre la formule de la capitalisation a la partie non entière de n.
Cn = Ck + p/q = Co(1+ i)k + p/q = Co(1+ i)k(1+ i)p/q
Ck + p/q = Co(1+ i)k (1+ i) p/q