Chapitre 1 Préliminaires : Droite achevée, suites, fonctions

Chapitre 1
Préliminaires
Objectif : passer en revue quelques notions et outils auxquels il sera fait constamment appel
dans la suite du cours.
1.1. Droite achevée R:
On désigne par Rl’ensemble obtenu en adjoignant à Rdeux "éléments étrangers" notés 1 et
+1:R=R[ f1;+1g, muni de la relation d’ordre prolongeant celle de Ret pour laquelle on
a : 8x2R,1 < x < +1.Rest minie de la topologie dé…nie à partir des intervalles. Ainsi on
obtient une base de voisinages de a2Ren considérant :
les intervalles ]ar; a +r[,r > 0si a2R;
les intervalles ]A; +1]; A 2Rsi a= +1;
les intervalles [1; A[,A2Rsi a=1:
-Opérations algébriques dans R:
8x2R,x+ (1) = (1) + x= (1);
8x > 0,x(1) = (1)x= (1),8x < 0,x(1) = (1)x= (1);
(+1) + (+1) = +1,(+1)(+1) = +1;(1)+(1) = 1,(1)(1) = +1,
(+1)(1) = 1
(on verra qu’il sera justi…é, en intégration, de poser 0(+1) = (+1)0 = 0).
1.2. Valeurs d’adhérence d’une suite à valeurs dans R
Pour a2R, on notera V(a)l’ensemble des voisinages de adans R:
Dé…nition 1.2.1. Soit u= (un)n2Nune suite à valeurs dans R, et soit a2R. on dit que aest
une valeur d’adhérence de usi :
8V2 V (a),8p2N,9np:un2V:
Proposition 1.2.1. Soit u= (un)n2Nune suite à valeurs dans R, et soit a2R. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i)aest valeur d’adhérence de u:
(ii)Il existe une suite extraite de uqui converge vers a:
(iii)8p2N,a2Apoù Ap=fun:npg
Remarque. adh (u) = \
p2NApest l’ensemble des valeurs d’adhérence de u. Si lim
n!+1un=a)
a2adh (u):
Dé…nition 1.2.2. On appelle limite inférieure (resp. supérieure) de la suite (un)n2Nl’élément
de R: limun= lim
p!+1inf
npun= sup
p2Ninf
npun= sup
p2N
inf
npun(resp. limun= lim
p!+1sup
np
un=
inf
p2Nsup
np
un).
Quelques propriétés.
1. limunlimun:
2. limunet limunsont respectivement la plus petite valeur et la plus grande valeur des valeurs
d’adhérence de u. On a :
(i)adh (u)limun;limun;
(ii)Il existe une suite extraite qui converge vers limun(resp. limun),
1

(iii)uconverge dans Rssi limun= limun:
3. Si uet vsont deux suites de Ret k2R, on a dans R:
(i) lim (un+vn)limun+ limvndès que le second membre a un sens (avec lim).
(ii) limkun=klimunsi k0
klimunsi k < 0(analogue avec lim).
Exemple. Soit un= ln 2+(1)n+1
n+1 ,n2N,limun= 0,limun= ln 3:
1.3. Fonctions dé…nies sur un ensemble E,à valeurs dans Rou R:
Eet Fétant deux ensembles, F(E; F )désigne l’ensemble des applications de Edans F: F(E; F )
est réticulé i.e. :
8f; g 2 F (E; F ),inf (f; g)2 F (E; F )et sup (f; g)2 F (E; F ):
Notons bien que si (fi)i2Iest une famille de fonctions de FE; R, alors inf
i2Ifiet sup
i2I
fisont dans
FE; R. SI I=N,limfnet limfnsont des fonctions dé…nies respectivement par x!limfn(x)et
x!limfn(x):
Quelques rappels :
Parties positives et négatives d’une fonction f2 F E; R:ce sont les fonctions f+et f
dé…nies par f+= sup (f; 0) et f=inf (f; 0) = (f)+. On a f=f+fet jfj=f++f:
Convergence simple. Une suite (fn)n2N F E; Rconverge simplement vers f2 F E; R
si : 8x2E,lim
n!+1fn(x) = f(x). Pour les fonctions à valeurs dans Rceci équivaut à :
8x2E,8" > 0,9p2N,8n2N,np) jfn(x)f(x)j< ":
Convergence uniforme (fonctions à valeurs réelles).
(fn)n2Nconverge uniformément vers fsi :
8" > 0,9p2N,8n2N,np) 8x2Ejfn(x)f(x)j< ":
ou encore
8" > 0,9p2N,8n2N,np)sup
x2Ejfn(x)f(x)j< ":
1.4. Opérations ensemblistes, fonctions indicatrices.
Dé…nition 1.4.1. Soit Eun ensemble non vide. Un sous ensemble AEest appelé "partie
de E". Nous écrivons P(E) = fA;AEgpour l’ensemble des parties de E: On dé…nit pour
A; B 2 P (E) :
A[B=fx2E;x2Aou x2Bg
A\B=fx2E;x2Aet x2Bg
Ac=A=fx2E;x =2Ag
AnB=fx2E;x2Aet x =2Bg=A\Bc
AB=fx2E;x2A[Bet x =2A\Bg= (A[B)nA\B= (AnB)[(BnA)(di¤érence
symétrique).
Exercice ( "Lois de Morgan" ). Soit IN,Ai2 P (E)(Enon vide), alors
1) \
i2IAic
=[
i2IAc
i, 2) [
i2IAic
=\
i2IAc
i:
Preuve. 1) Soit x2\
i2IAic
,x6=\
i2IAi, 9i02Itel que x =2Ai0, 9i02Itel que
x2Ac
i0,x2 [
i2IAc
i:
2

2) Soit Bi=Ac
i8i2I. D’après 1) on a \
i2IAc
ic
=\
i2IBic
=[
i2IBc
i=[
i2IAi, d’où \ i2IAc
i=
[
i2IAic
:
Dé…nition 1.4.2. Soit Eun ensemble non vide et An2 P (E)pour tout n2N:
1) La limite supérieure de la suite (An)n2Nest :
lim
n2NAn= lim
n!+1sup An=\
n2N[
mnAm
2) La limite inférieure de la suite (An)n2Nest :
lim
n2N
An= lim
n!+1inf An=[
n2N\
mnAm
Dé…nition 1.4.3. Soient Eun ensemble, (An)n2N P (E)et A2 P (E). On dit que la suite
(An)n2Nconverge vers Asi lim
n2NAn= lim
n2N
An=Aet on écrit pour Aaussi
A= lim
n2NAn= lim
n!+1An= lim
n2N
An= lim
n2NAn:
Proposition 1.4.1. 1) Si AnAn+1,8n2N,lim
n2NAn=[ n2NAn:
2) Si AnAn+1,8n2N,lim
n2NAn=\ n2NAn:
Preuve. 1) On a \
mnAm=Andonc lim
n2N
An=[
n2NAn. De même puisque [
mnAn=[
n2NAn, on a
lim
n2NAn=[ n2NAn. Donc lim
n!+1An=[
n2NAn:2) même raisonnement. 
Exemple. 1) An=fn; n + 1; :::g.(An)est décroissante, donc lim
n!+1An=\
n2NAn=;:2) An=
] 1; n],(An)est croissante, alors lim
n!+1An=[
n2NAn=R:
Proposition 1.4.2. On a
lim
n2N
Anlim
n2NAn:
Preuve. \
mnAmAmpour tout mn: On a donc \ mnAm [ mnAmpour tout n. On a alors
pour tout n:
\
mnAm \
n2N[
mnAm= lim
n2NAn:
Finalement
[
n2N\
mnAmlim
n2NAn:
De plus les règles élémentaires sur les [;\et cdonnent sans di¢ culté :
lim
n2NAnc
= lim
n2N
Ac
n:
Proposition 1.4.3. Soit An,n2Nune collection in…nie d’ensembles. Alors
1) << A partir d’un certain rang, xest dans tous les An>> s’écrit :
x2 [
n2N\
mnAm(= lim
n2N
An):
2) << x est dans une in…nité de An>> s’écrit
x2 \
n2N[
mnAm(= lim
n2NAn):
3

Preuve. 1) Soit xqui, à partir d’un certain rang, est dans tous les Am. Donc il existe un rang
ntel que pour tout mn,x2Am. Cela revient à écrire
x2 [
n2N\
mnAm:
([
n2N:il existe n2N;\
mn:pout tout mn).
2) Dire que xest dans une in…nité de Anest équivalent dire que
pour tout n, il existe mnavec xdans Am:
En e¤et, si xest dans une in…nité de Amcar, d’après cette propriété :
avec n= 0, il existe n10tel que x2An1:
avec n=n1, il existe n2n1tel que x2An2:
avec n=n2, il existe n3n2tel que x2An3:
:::
avec n=np, il existe np+1 nptel que x2Anp+1 , et donc x2Anp,n2N, i.e. dans une
in…nité de Am. Réciproquement, s’il est dans une in…nité de Am, alors pour tout n, on trouve mn
tel que x2Am, sinon, il existe ntel que pour mn,x2Am:Ou encore : xne peut appartenir
qu’aux Am,mn, i.e. seulement à un nombre …ni de Am, ce qui est faux. Donc pour tout n, on
trouve mn, tel que x2Am, en langage 8;9;cela s’écrit :
x2 [
n2N\
mnAm:
Dé…nition 1.4.4. Pour tout A2 P (E)on dé…nit la fonction indicatrice 1A:E!Rpar
1A(x) = 1si x2A
0si x =2A
L’application  : P(E)! F (E; R)
A!1A
est injective, et on a les propriétés suivantes :
AB)1A1B(croissance de ).
1A[B= sup (1A,1B) (= 1A+ 1Bssi A\B=;):
1A\B= inf (1A,1B) = 1A1B:
1Ac= 1 1A:
Si (Ak)k2Iest une partition de Eon a P
k2I
1Ak= 1:
Dé…nition 1.4.5. Soient Eet Fdeux ensembles non vides et f:E!Fune application.
1) Pour A2 P (E), on dé…nit l’image directe de Apar fcomme
f(A) = ff(x) ; x2Ag 2 P (F)
2) On dé…nit également (même si f:E!Fn’est pas bijective) une application "réciproque"
notée (abusivement)
f1:P(F)! P (E)
B!f1(B) = fx2E;f(x)2Bg
On utilise couramment les notations:f1(B) = ff(x)2Bgou même [f2B]:
Exemple. Soient A= [3;1],B= ]1;2] et f(x) = x2;f(A) = [1;9],f1(B) = p2;p2:
Dé…nition 1.4.6. Soit f:E!Fune application et C  P (F):On note
f1(C) = f1(D) ; D2 C P (E):
4

Proposition 1.4.4.  8B2 P(F)f(f1(B)) B, égalité ssi fest surjective.
 8A2 P(E)Af1(f(A)), égalité ssi fest injective.
 8B; B02 P(F),f1B[B0=f1(B)[f1B0:
 8B; B02 P(F),f1B\B0=f1(B)\f1B0:
 8B2 P(F),f1(Bc) = (f1(B))c:
Preuve. On va montrer les deux premiers points. Les autres voir la feuille d’exercices.
Par dé…nition f1(B) = fx2E;f(x)2Bg. Par suite f(f1(B)) = ff(x);x2E:f(x)2Bg.
Ceci implique 8y2f(f1(B)) )y2B: D’où l’inclusion. Si fest surjective tout élémént de B
est de la forme f(x), l’inclusion devient une égalité.
Inversement, si on a f(f1(B)) = B,8B2 P(F), on choisit B=Fdonc on aura f(E) = F,
i ;e. l’application fest surjective.
Si fest injective, deux parties disjointes de Eont des images disjointes dans F. On pose
A=A1\A2,A1=A0
1[A,A2=A0 2[A,A0 1et A0 2sont respectivement les complémentaires de A
dans A1et A2: A0
1et A0 2sont disjoints. On a f(A1) = fA0 1[f(A),f(A2) = fA0 2[f(A), donc
f(A1)\f(A2) = fA0
1\fA0 2[f(A) = ; [ f(A) = f(A):Réciproquement, soient a; b 2E
distincts, alors f(fag)\f(fbg) = f(fag)\ fbg) = ; ) f(a)6=f(b), i.e. fest injective. 
1.5. Dénombrabilité.
Dé…nition 1.5.1. Un ensemble Eest équipotent à un ensemble F, s’il existe une bijection de
Evers F.
Dé…nition 1.5.2. Un ensemble Eest dit dénombrable s’il est équipotent à l’ensemble Ndes
entiers naturels.
Exemple. Net Nsont équipotents. Une bijection explicite f:N!Nest donnée par
f(n) = n+ 1:
Proposition 1.5.1. Tout sous ensemble de Nest …ni ou dénombrable.
Corollaire 1.5.1. Tout sous ensemble d’un ensemble dénombrable est …ni ou dénombrable, on
dira d’un tel ensemble qu’il est au plus dénombrable.
Exemple. 2N=f0;2;4;6; :::; 2n; :::gest dénombrable puisque c’est un ensemble in…ni de N:
Une bijection explicite u:N!2Nest donnée par u(n) = 2n:
Corollaire 1.5.2. Soit fune application injective d’un ensemble Adans un ensemble dénom-
brable D. Alors Aest au plus dénombrable.
Exemples. 1) N2est dénombrable. En e¤et, soit l’application f:N2!Ndé…nie par f(m; n) =
2m3n. Cette application est injective car f(m; n) = fm0; n0)2m3n== 2m0 3n0 )2mm0 =
3n0 n)mm0= 0,nn0= 0:Donc N2est au plus dénombrable. Comme N2est in…ni alors N2
est dénombrable.
2) Zest dénombrable. En e¤et, soit l’application f:Z!Ndé…nie par
f(n) = 2n1si n > 0
2nsi n0
Cette application est injective. Donc Zest au plus dénombrable, or Zest in…ni donc Zest
dénombrable.
Corollaire 1.5.3. Soit fune application surjective de Nsur un ensemble A. Alors Aest au
plus dénombrable.
Exemple. Soit A=1
n+1 ;n2Net soit f:N!Adé…nie par f(n) = 1 n+1 . Cette application
est surjective.
Proposition 1.5.2 (réunions d’ensembles dénombrables). La réunion d’une famille dé-
nombrable d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
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