Critère Hautus

Lemme (Critère d'Hautus pour la contrôlabilité)
Les clauses suivantes sont équivalentes :
i. Le système est contrôlable.
ii. Pour tout s,
nBAsI rang (rang plein).
iii. Aucun des pôles n’est simplifié par un zéro dans tous les termes non nuls de la matrice
de transfert BAsI 1 .
Remarques
 La condition ii se vérifie uniquement aux pôles, là où le rang risque de se réduire. En
effet, pour tout s in ℂ qui n’est pas un pôle,
nAsI rang , et par conséquent, le rang
de [𝑠𝐼 − 𝐴 𝐵] est toujours plein.
Exemple :
Le système décrit par l’équation d’état
u
x
x
x
x
0
1
10
12
2
1
2
1
est stable et a pour pôles 1
s et 2 s. Comme la matrice  00
21
ABBS est de
rang 1, le système n’est pas contrôlable. Ceci peut aussi se voir en calculant
1
010
112
rangrang   s
s
BAsI
pour le pôle 1
s. Ceci montre que le système n’est pas contrôlable et que c'est le pôle
1 s qui est incontrôlable. En plus, le système est stabilizable. On peut également calculer
02
1
0
1
20
11
21
1
0
1
10
12 1
1s
s
s
ss
s
s
BAsI
et remarquer que le seul terme non nul s'est simplifié par 1
s et que, par conséquent, c'est le
pôle 1
s qui est incontrôlable. Il s'ensuit aussi que le pôle 2 s est forcément lui
contrôlable. En effet,
2
010
114
rang2rang   BAI et le pôle 2 s est bien
contrôlable.
Exemple :
Le système est décrit par l’équation d’état

u
x
x
x
x
1
0
01
10
2
1
2
1
a pour pôles
j
s
et est donc marginalement stable. Comme la matrice
 01
10
ABBS est de rang 2, le système est complètement contrôlable. En effet
2
11
01
rangrang   s
s
BAsI
que ce soit pour le pôle
j
s
que pour le pôles
j
s
.
Aussi, en calculant
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
2
2
2
1
1
s
s
s
s
s
s
s
s
BAsI ,
on voit bien qu'aucune simplification de pôle/zéro ne survient.
Exemple :
Un système est décrit par l’équation différentielle
u
dt
du
y
dt
dy
dt
yd  2
2
2
On va montrer que la contrôlabilité de ce système dépend du choix des variables d’état. En
effet, si l’on choisit
u
dt
dy
x
yx
2
1
comme variables d’état, l’équation d’état est alors
tu
x
x
x
x
1
1
21
10
2
1
2
1
2
1
01 x
x
y

Comme la matrice
 11
11
ABBS est, dans ce cas, de rang 1, le système n’est pas
contrôlable.
1
1
1
1
1
1
1
12
01
1
1
1
1
21
1
01 22
1
1
s
s
s
s
s
s
s
s
BAsICsG
Si, par contre, on utilise la méthode de décomposition directe, on obtient que
11et
1
0
,
21
10 
CBA .
Dans ce cas, comme la matrice
 21
10
ABBS est de rang 2, le système est
complètement contrôlable.
1
1
1
1
1
0
1
12
11
12
1
1
0
21
1
11 2
1
1
s
s
s
s
s
ss
s
s
BAsICsG
Cet exemple montre que la contrôlabilité est une caractéristique de la réalisation qu'on adopte
au système et non pas du système lui-même.
Lemme : (Critère d'Hautus pour l’observabilité)
Les clauses suivantes sont équivalentes :
i. Le système est observable.
ii. Pour tout s in ℂ , n
C
AsI 
rang (rang plein).
iii. Aucun des pôles n’est simplifié par un zéro dans tous les termes non nuls de la matrice
de transfert
1
AsIC .
■
Remarques
 La condition ii se vérifie uniquement aux pôles, là où le rang risque de se réduire. En
effet, pour tout s qui n’est pas un pôle, le rang de 𝑠𝐼 − 𝐴, est n et par conséquent, le
rang de 𝑠𝐼 − 𝐴
𝐶 est toujours plein.
Exemple :
Un système est décrit par l’équation d’état
tr
x
x
x
x
1
1
21
10
2
1
2
1

2
1
01 x
x
y
Comme la matrice 
10
01
CA
C
V est de rang 2, le système est complètement observable.
En effet
2
01
1
1
rangrang 
s
s
C
AsI
pour le seul pôle 1
s.
Aussi, en calculant
1
1
1
1
1
01
1
1
1
1
01 222
1
1
ss
s
s
s
s
s
s
BAsIC ,
on voit bien qu'aucune simplification de pôle/zéro ne survient.
■
Exemple :
Un système dont les équations d’état consiste en les matrices
11et ,
1
0
,
32
10 
CBA .
Comme la matrice 
22
11
CA
C
V est de rang 1, le système n’est pas observable. Ceci
peut aussi se voir en calculant
11
32
1
rangrang s
s
C
AsI
Ce rang est 1 pour le pôle 1
s et 2 pour le pôle 1 s. Ceci montre que le c'est le pôle
1 s qui est inobservable. En plus, le système est détectable puisque ce pôle est stable. On
peut également calculer

2
1
2
1
2
13
11
21
1
32
1
11
1
1
ss
s
s
ss
s
s
AsIC
et remarquer que les deux termes non nuls de cette matrice de transfert ont vu une simplification
par le terme 1
s et que, par conséquent, c'est le pôle 1 s qui est inobservable. Il s'ensuit
aussi que le pôle 2
s est forcément lui observable. En effet,
2
11
12
12
rang
2
rang 
C
AI
et le pôle 2
s est bien observable.