TP Optimisation avec Contraintes d'Égalité

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté de Génie Electrique
Domaine : Sciences et Technologie
Filière : Automatique
Master : Automatique et Systèmes
COMPTE RENDU TP OPTIMISATION
TP03 : OPTIMISATION AVEC CONTRAINTES
D’ÉGALITÉ
Réalisé par :
SERGHANE Dihia
Année Universitaire : 2025/2026

Table des matières
Introduction 2
1 Partie Théorique 2
1.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conditions d’optimalité (KKT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Application à notre problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Résolutionanalytique.............................. 3
2 Implémentation MATLAB 3
2.1 Codeprincipal.................................. 3
2.2 Explicationducode............................... 4
3 Résultats 5
3.1 Résultatsnumériques.............................. 5
3.2 Vérification des conditions KKT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Analysedeconvexité .............................. 5
4 Visualisation graphique 5
4.1 Courbesdeniveau ............................... 5
4.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Analyse et interprétation 7
5.1 Sens des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 Évolutiondelasolution ............................ 7
5.3 Réponses aux questions théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3.1 Différence optimisation libre/contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3.2 Rôle du multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3.3 Point stationnaire vs régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3.4 Géométrie de u1−3=0 ........................ 8
5.3.5 Détermination de la nature du point . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Conclusion 9
1

Introduction
Ce troisième travail pratique porte sur l’optimisation avec contraintes d’égalité en
utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange. L’objectif principal est de résoudre
un problème d’optimisation quadratique sous contrainte linéaire et d’analyser la solution
obtenue.
Le problème étudié consiste à minimiser une fonction quadratique :
f(u1, u2) = 1
2u1u21 1
1 2u1 u2+0 1u1 u2
sous la contrainte u1=a, pour différentes valeurs de a∈ {2,3,4}.
1 Partie Théorique
1.1 Méthode des multiplicateurs de Lagrange
Pour un problème d’optimisation avec contrainte d’égalité :
min
x∈Rn
f(x)
sous la contrainte : h(x) = 0
on définit la fonction de Lagrange :
L(x, λ) = f(x)+λh(x)
où λ∈Rest le multiplicateur de Lagrange.
1.2 Conditions d’optimalité (KKT)
Les conditions nécessaires du premier ordre sont :
(∇xL(x∗, λ∗)=∇f(x∗)+λ∗∇h(x∗) = 0
h(x∗)=0
1.3 Application à notre problème
Pour notre problème spécifique :
f(u) = 1
2uTQu +STu, Q =1 1
1 2, S =0 1
avec la contrainte : h(u)=u1−a= 0.
Le Lagrangien s’écrit :
L(u, λ) = 1
2uTQu +STu+λ(u1−a)
Les conditions KKT donnent le système :
Qu +S+"λ
0#= 0
u1−a= 0
2

1.4 Résolution analytique
Le système se réécrit :
u1+u2+λ= 0 (1)
u1+ 2u2+ 1 = 0 (2)
u1=a(3)
De (3) : u1=a
De (2) : a+ 2u2+ 1 = 0 ⇒u2=−a+1
2
De (1) : a−a+1
2+λ= 0 ⇒λ=−a−1 2
Solution générale :
u∗=a, −a+ 1
2, λ∗=−a−1 2
2 Implémentation MATLAB
2.1 Code principal
1% % TP3 - O pt imisa ti on av ec co nt rainte d ’ galit
2clear;clc ;close all ;
3
4%% D o n n e s du p r o b l m e
5Q = [1 1; 1 2];
6S = [0; 1];
7a_values = [2 3 4]; % valeurs de la contrainte u1 = a
8
9for idx = 1: length (a_values)
10 a = a_values ( idx ) ;
11 disp (’--------------------------------------------’)
12 fprintf (’ Cas : c ontrainte u1 = %.1 f \ n ’, a )
13
14 % Variables symboliques
15 syms u1 u2 lambda
16
17 % Fonction de Lagrange
18 L = 0.5 * [ u1 u2 ]* Q *[ u1 ; u2 ] + S . ’*[ u1 ; u2 ] + lamb da *( u1 - a );
19
20 % quations du premier ordre
21 eq1 = diff(L , u1 ) == 0;
22 eq2 = diff(L , u2 ) == 0;
23 eq3 = diff(L , lamb da ) == 0;
24
25 % R s o l u t i o n symbolique
26 sol = solve ([ eq1 , eq2 , eq3 ], [ u1 , u2 , lambda ]) ;
27
28 u_s ta r = dou bl e ([ sol . u1 ; sol . u2 ]) ;
29 lambda_star = double ( sol . lambda );
30
31 % Affichage
32 fprintf (’ u* = (%.4 f , %.4 f ) \n ’ , u_star (1) , u_star (2) );
3

33 fprintf (’ * = %.4 f \n ’ , lambda_star);
34
35 % V r i f i c a t i o n de la nature du point ( Q positive d f i n i e )
36 eigQ = eig (Q );
37 if all ( eigQ > 0)
38 fprintf (’ Poi nt mi ni mu m globa l .\ n ’);
39 else
40 fprintf (’ Poi nt selle ou maxim um .\ n ’);
41 end
42
43 %% Visualisation
44 [ x1 , x2 ] = meshgrid( -1:0.1:5 , -4:0.1:2) ;
45 f = 0. 5*( x1 .*( Q (1 ,1) * x1 + Q (1 ,2) * x2 ) + x2 .*( Q (2 ,1) * x1 +
Q (2 ,2) * x2 ) ) + S (1) * x1 + S (2) * x2 ;
46
47 figure ( idx ) ;
48 contour ( x1 , x2 , f , 30) ; hold on ;
49 plot ( u_star (1) , u_star (2) , ’ro ’,’MarkerFaceColor’,’ r ’,
’DisplayName’,’ u* ’ );
50 line ([ a a], ylim , ’Color’,’b ’ ,’LineWidth’,2,
’DisplayName’,’Contrainte u1=a’);
51 title([ ’Contrainte : u1 = ’ num2str ( a) ]) ;
52 xlabel (’u1 ’) ; ylabel (’u2 ’) ; grid on ;
53 legend ;
54 end
Listing 1 – Code MATLAB TP3.m
2.2 Explication du code
Le code procède ainsi :
1. Initialisation des données : matrice Q, vecteur S, valeurs de a
2. Pour chaque valeur de a:
— Définition du Lagrangien avec variables symboliques
— Calcul des conditions KKT (dérivées partielles)
— Résolution du système d’équations
— Extraction de la solution numérique
— Analyse de la nature du point via les valeurs propres de Q
— Visualisation graphique
4