1/5!
Module « Mécanique des Fluides »
Partie : Dynamique des Fluides Visqueux
Série 2- Solutions exactes de Navier-Stokes – Écoulements viscométriques
Exercice 1 : Écoulement de Couette-Poiseuille
On considère un fluide newtonien incompressible de viscosité
𝝁
et de densité
𝝆
qui s’écoule
entre deux plans parallèles d’extension infinie dans les directions
𝑶𝒙
%
%
%
%
%
⃗
et
𝑶𝒛
%
%
%
%
%
⃗
. Le plan d’équation
𝒚 = 𝟎
est fixe tandis que le plan d’équation
𝒚 = 𝒉
est animé d’une vitesse
𝑽𝟎
%
%
%
%
⃗
= 𝑽𝟎𝒆𝒙
%
%
%
%
⃗
(
𝑽𝟎> 𝟎
) (Figure 1). L’écoulement laminaire est stationnaire et parallèle à
𝑶𝒙
%
%
%
%
%
⃗
(vitesse
𝑽
%
%
⃗
=
𝒖𝒆𝒙
%
%
%
%
⃗
) et se fait en l’absence de forces de volume.
Figure 1
1-!Écrire l’équation de continuité et en déduire que
𝒖
(
𝒙, 𝒚, 𝒛
)
= 𝒖(𝒚)
.
2-!Écrire les conditions aux limites pour la vitesse en
𝒚 = 𝟎
et
𝒚 = 𝒉
.
3-!Donner l’écriture des équations de Navier-Stokes en projection sur les axes
𝑶𝒙
%
%
%
%
%
⃗
,
3𝑶𝒚
%
%
%
%
%
⃗
et
𝑶𝒛
%
%
%
%
%
⃗
.
4-!En déduire que le gradient de pression
𝝏𝒑
𝝏𝒙
est constant.
5-!Déterminer le champ des vitesses
𝐕
%
%
⃗
= 𝒖(𝒚)𝒆
%
⃗
𝒙
en tenant compte des conditions aux
limites.
6-!Donner la répartition de la vitesse, l’expression de la vitesse maximale, du débit et de
la vitesse moyenne de l’écoulement dans les cas particuliers suivants :
a.!Cas où
𝝏𝒑
𝝏𝒙 = 𝟎
et
𝑽𝟎≠ 𝟎
b.!Cas où
𝝏𝒑
𝝏𝒙 ≠ 𝟎
et
𝑽𝟎= 𝟎
Exercice 2 : Écoulement de Poiseuille en conduite cylindrique
On considère un fluide newtonien incompressible de viscosité dynamique
𝝁
et de densité
𝝆
qui
s’écoule dans une conduite cylindrique de diamètre
𝒂
et d’extension infinie dans la direction
Solutions0exactes
Ecoulements0unidirectionnels0entre0deux0plans0parallèles
Un$fluide$newtonien$incompressible$(viscosité$
µ
,$densité$
ρ
)$s’écoule$entre$deux$
plans$parallèles$$d’extension$infinie$dans$les$directions$$xet$z
!Le$plan$d’équation y=0$est$fixe tandis$que$le$plan$d’équation y=h$est$animé d’une$
vitesse$)+= )+2](V
0
>0).
!L’éco u lemen t$$ Laminaire est$stationnaire$et$parallèle à$$$^] (vitesse$) = _2])$
et$se$fait$en$l’absence$de$forces$de$volume.
Solutions0exactes
Ecoulements0unidirectionnels0entre0deux0plans0parallèles
Un$fluide$newtonien$incompressible$(viscosité$
µ
,$densité$
ρ
)$s’écoule$entre$deux$
plans$parallèles$$d’extension$infinie$dans$les$directions$$xet$z
x
y
y
x
y$=$h
y$=$0
)
+
= )
+
2
]
) = (2
]
Le$plan$d’équation y=0$est$fixe tandis$que$le$plan$d’équation y=h$est$animé d’une$vitesse$
)
+
= )
+
2
]
(V
0
>0).
L’éco u lemen t$$ Laminaire est$stationnaire$et$parallèle à$$$^] (vitesse$) = (2
]
)$
et$se$fait$en$l’absence$de$forces$de$volume.
O
) = _2
]
!
2/5!
𝑶𝒛
%
%
%
%
%
⃗
(Figure 2). L’écoulement laminaire est stationnaire et parallèle à l’axe
𝑶𝒛
%
%
%
%
%
⃗
(vitesse
𝑽
%
%
⃗
= 𝒘𝒆𝒛
%
%
%
%
⃗
) et se fait en l’absence de forces de volume.
Figure 2
1-!Écrire l’équation de continuité ainsi que l’équation de quantité de mouvement projetée
sur les trois axes du système en tenant compte des hypothèse ci-dessus.
2-!Résoudre le système d’équations obtenu et donner la répartition de la vitesse.
3-!En déduire l’expression de la vitesse maximale, du débit et de la vitesse moyenne ainsi
que la contrainte de frottement à la paroi.
Exercice 3 : Écoulement de Taylor-Couette
On considère l’écoulement laminaire instationnaire d’un fluide visqueux incompressible
compris entre deux cylindres coaxiaux de rayons
𝒂
et
𝒃
(𝒂 < 𝒃)
tournant autour de leur axe
𝒛
%
⃗
avec des vitesses angulaires respectives
𝝎𝒂
et
𝝎𝒃
(Figure 3). L’écoulement est supposé
permanent et de révolution autour de l’axe
𝒛
%
⃗
. Les trajectoires sont circulaires, tel que :
𝑽
%
%
⃗
= 𝒗𝒆𝜽
%
%
%
%
⃗
.
Figure 3
1-!Expliciter les équations du mouvement en coordonnées cylindriques ainsi que les
conditions aux limites correspondantes.
2-!Résoudre et donner la répartition de la vitesse et de la pression en fonction du rayon.
3-!Calculer le couple de frottement visqueux, par unité de longueur suivant
𝑂𝑧
%
%
%
%
%
⃗
, exercé par
le fluide sur le cylindre de rayon a.
Solutions0exactes
Ecoulements0unidirectionnels0en0conduites0cylindriques
!Ecoulement'de'Poiseuille':
z
x
y
θ
θ
a
2
3
2
®
2
f
ba
z
!
b
!
a
!
3/5!
Exercice 4 : Écoulement d’un fluide visqueux sur un plan incliné
Soit un repère galiléen
𝓡
(
𝑶, 𝒙
%
%
⃗
, 𝒚
%
%
⃗
, 𝒛
%
⃗
), tel que l’accélération de la pesanteur s’écrit :
𝒈
%
%
⃗
=𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒙
%
%
⃗
−𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒛
%
⃗
.
On considère l’écoulement permanent sur un plan incliné d’une couche de hauteur
𝒉
d’un fluide
newtonien incompressible et visqueux de masse volumique
𝝆
et de viscosité dynamique
𝝁
.
L’angle d’inclinaison
𝜃
est délimité par le plan horizontale et l’axe
𝑶𝒙
%
%
%
%
%
⃗
(cf. figure). On suppose
l’écoulement unidimensionnel et que le champ des vitesses est parallèle à l’axe
𝑶𝒙
%
%
%
%
%
⃗
et ne dépend
donc que de la variable
𝒛
(cf. figure).
A la surface libre, la pression est uniforme et vaut
𝑷𝟎
.
On suppose, à cause de la faible viscosité de l’air au-dessus du fluide, que la contrainte
tangentielle en
𝒛 = 𝒉
est nulle.
Figure 4
1-!Donner l’écriture des équations de Navier-Stokes en projection sur les axes
𝒙
%
%
⃗
,
3𝒚
%
%
⃗
et
𝒛
%
⃗
.
2-!Déterminer le champ des vitesse
𝒗
%
%
⃗
= 𝒗(𝒛)𝒆
%
⃗
𝒙
en tenant compte des conditions aux
limites.
3-!On s’intéresse à un écoulement de largeur L selon l’axe
𝑶𝒚
%
%
%
%
%
⃗
, avec
𝑳 ≫ 𝒉
, pour pouvoir
négliger les effets de bord. Calculer le débit volumique
𝐷N
et en déduire la vitesse
moyenne du fluide.
4-!On s’intéresse à une couche de glycérine pour laquelle :
𝝆 = 𝟗𝟎𝟎3𝒌𝒈. 𝒎S𝟑
3;
𝝁 = 𝟎, 𝟖𝟓3𝑷𝒂. 𝒔
et l’épaisseur
𝒆 = 𝟏𝒎𝒎
avec
𝜽 = 𝟏𝟎°
.
Calculer la vitesse moyenne et commenter le résultat en utilisant le nombre de Reynolds.
!
!
!
!!
"
#
!
$
%
⃗
!
'
%
%
⃗
!
(!
)!
Couche!Fluide!
⨂+,
%
%
⃗
!
-
%
%
⃗
!
4/5!
Exercices supplémentaires
Exercice 1 : Examen (Session Normale)
Dans un repère cartésien
𝑹(𝑶, 𝒙
%
%
⃗
, 𝒚
%
%
⃗
, 𝒛
%
⃗
)
, en l’absence de forces de pesanteur, on considère
l’écoulement plan stationnaire d’un fluide newtonien incompressible, de masse volumique
𝝆
et
de viscosité dynamique
𝝁
dans un canal de longueur
𝑳
dont les parois imperméables sont les
plans d’équations
𝒚 = 𝟎
et
𝒚 = 𝒉
où
𝒉
est une constante (cf. Figure5). Le plan
𝒚 = 𝟎
est animé
d’une vitesse
𝑽𝟎
%
%
%
%
⃗
= 𝑽𝟎𝒙
%
%
⃗
et le plan d’équation
𝒚 = 𝒉
est animé d’une vitesse
𝑽𝒉
%
%
%
%
⃗
= 𝑽𝒉𝒙
%
%
⃗
où
𝑽𝟎3
et
𝑽𝒉
sont des constantes. On suppose que le champ de vitesse pour le fluide est de la forme
𝑽
%
%
⃗
(
𝒙, 𝒚
)
= 𝒖
(
𝒙, 𝒚
)
𝒙
%
%
⃗
. La pression à l’entrée du canal (en
𝒙 = 𝟎
) est notée
𝑷𝒆
et la pression à sa
sortie (en
𝒙 = 𝑳
) est notée
𝑷𝒔
.
1-!Écrire l’équation de continuité et montrer que
𝒖
(
𝒙, 𝒚
) ne dépend que de
𝒚
.
2-!Écrire les équations de Navier Stokes pour cet écoulement.
3-!Montrer que le gradient de pression est constant et donner son expression en fonction
de
𝑷𝒆
,
𝑷𝒔
et
𝑳
.
4-!Calculer la vitesse u(y) en fonction de
𝑷𝒆
,
𝑷𝒔
,
𝑳
,
𝝁
,
𝒉
,
𝑽𝟎
,
𝑽𝒉
et
𝒚
.
5-!Calculer le débit par unité de largeur dans le canal en fonction de
𝑷𝒆
,
𝑷𝒔
,
𝑳
,
𝝁
,
𝒉
,
𝑽𝟎
et
𝑽𝒉
.
6-!
a.!Dans le cas où
𝑽𝟎= 𝑽𝒉= 𝟎3𝒎/𝒔
et
𝒉 = 𝟐3𝒎
et pour un débit par unité de largeur
qui vaut
𝟐3𝒎𝟐/𝒔
, quelle est la valeur de la vitesse maximale et pour quelle valeur
de
𝒚
est-elle atteinte ? Tracer le profil de vitesse
𝒖
(
𝒚
).
b.!Dans le cas où
𝑽𝟎= 𝑽𝒉= 𝟐3𝒎/𝒔
et
𝒉 = 𝟐3𝒎
et pour un débit par unité de largeur
qui vaut
𝟐3𝒎𝟐/𝒔
, quelle est la valeur de la vitesse maximale et pour quelles valeurs
de
𝒚
est-elle atteinte ? Tracer le profil de vitesse
𝒖
(
𝒚
). Comparer la situation
obtenue par rapport à celle du 6.a, commenter.
Figure 5
O
x
!
y
!
h
xyxuV !
!
),(=
Pe
Ps
L
xVV
oo
!
!
=
xVV
hh
!
!
=
!
5/5!
Exercice 2 : Examen (Session Rattrapage)
Dans un repère galiléen cartésien
𝑹(𝑶, 𝒙
%
%
⃗
, 𝒚
%
%
⃗
, 𝒛
%
⃗
)
, on considère l’écoulement plan stationnaire
d’un fluide newtonien incompressible, de masse volumique
𝝆
et de viscosité dynamique
𝝁
, dans
un canal dont les parois sont inclinées d’un angle
𝜶
par rapport à l’horizontale (voir Figures 6
et 7), le fluide est donc soumis à l’action de la pesanteur
𝒈
%
%
⃗
= −𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝒙
%
%
⃗
− 𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒚
%
%
⃗
. Le canal
est de longueur
𝑳
et ses parois imperméables sont les plans d’équations
𝒚 = 𝟎
et
𝒚 = 𝒉
où
𝒉
est une constante. Le plan
𝒚 = 𝟎
est animé d’une vitesse
𝑽𝟎
%
%
%
%
⃗
= 𝑽𝟎𝒙
%
%
⃗
où
𝑽𝟎
est une constante et
le plan
𝒚 = 𝒉
est fixe. On suppose que le champ de vitesse pour le fluide est de la forme
𝑽
%
%
⃗
(
𝒙, 𝒚
)
= 𝒖
(
𝒙, 𝒚
)
𝒙
%
%
⃗
.
1-!Écrire l’équation de continuité et montrer que
𝒖
(
𝒙, 𝒚
) ne dépend que de
𝒚
2-!Écrire les équations de Navier Stokes pour cet écoulement en projection dans le repère
𝑹
(
𝑶, 𝒙
%
%
⃗
, 𝒚
%
%
⃗
, 𝒛
%
⃗
).
3-!On suppose que la pression sur le plan
𝒚 = 𝟎
est une constante notée
𝑷𝟎
3:
a.!Montrer que la pression dans le canal est de la forme
𝑷 = 𝑨𝒚 + 𝑩
,
b.!Déterminer les constantes
𝑨
et
𝑩
et vérifier que
𝝏𝑷
𝝏𝒙 = 𝟎
.
4-!Calculer la vitesse
𝒖(𝒚)
en fonction de
𝝆
,
𝝁
,
𝒈
,
𝜶
,
𝒚
,
𝑽𝟎
et
𝒉
puis calculer le débit par
unité de largeur dans le canal. A quelle condition sur
𝑽𝟎
ce débit est-il nul ?
5-!Pour
𝛼 = 𝜋/2
, déterminer le débit dans le canal, comparer la valeur obtenue à celle du
débit calculé en l’absence de pesanteur.
6-!Dans le cas d’un canal horizontal, est-il justifié de calculer le profil de vitesse et le débit
en négligeant les termes de pesanteur dans les équations ? en est-il de même pour la
pression ? Commenter.
Figure 6
Figure 7
O
x
!
y
!
h
xVV
oo
!
!
=
xyxuV !
!
),(=
O
x
!
y
!
Axe!horizontal
Axe!vertical
!
1
/
5
100%
