Matemáticas Álgebra L2 - Universidad de Toamasina | FOAD Economía

UNIVERSITÉ DE TOAMASINA
FACULTÉ DE DROIT, DES SCIENCES ÉCONOMIQUES
ET DE GESTION
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FORMATION OUVERTE ET À DISTANCE (FOAD)
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MENTION ÉCONOMIE
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MATHÉMATIQUES ALGÈBRE
Niveau : L2
www.foadfacdegmia.org

Sommaire
1 Notions sur les ensembles 3
1.1 Notiond’ensemble ..................................... 3
1.2 Intersection, r´eunion et compl´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Produit cartesien-Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Notionssurlesapplications ................................ 8
1.4.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Application r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Notionssurlesgroupes................................... 10
1.5.1 Loi de composition interne-loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Propri´et´es des lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Groupe ....................................... 13
2 Espaces Vectoriels 23
2.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Sous-espacevectoriels. ................................... 26
2.3 Familles g´en´eratrices, familles libres, familles li´ees, Bases. . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Famillesg´en´eratices................................. 27
2.3.2 Familles libres-Familles li´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Basesetdimensions................................. 29
3 Applications lin´eaires 39
3.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Application lin´eaire et ind´ependance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Noyau, Image et Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Matrices 52
4.1 D´efinitionsetnotations .................................. 52
4.2 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Additiondematrices................................ 53
4.2.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.4 Transpos´ee d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Matricescarr´ees ...................................... 56
4.3.1 Cas particuliers de matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Op´erations sur les matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.3 Matrices carr´ees inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Repr´esentation d’une application lin´eaire par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.1 Caract´erisation d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1

SOMMAIRE SOMMAIRE
4.5 Reglesdecalcul. ...................................... 64
4.6 Changement de base et matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.1 Matrice de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.2 Changement de base et son influence sur la matrice d’un endomorphisme. . . 68
4.7 Rangd’unematrice..................................... 70
5 D´eterminants 84
5.1 D´eterminantd’unematrice ................................ 84
5.1.1 D´efinitions ..................................... 84
5.1.2 Propri´et´es fondamentales du d´eterminant d’une matrice d’ordre n...... 86
5.2 Inverse d’une matrice et d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Diagonalisation 94
6.1 Valeurs et vecteurs propre d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Diagonalisation d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Diagonalisation d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Syst`eme d’equations lin´eaires 105
7.1 Syst`eme d’equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 D´efinitions .....................................105
7.1.2 Existence de la solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Syst`emedeCramer. ....................................107
7.3 R´esolution d’un syst`eme lin´eaire par la m´ethode de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Etude d’un mod´ele lin´eraire en th´eorie de la finance: Investissement et arbitrage. . . 112
Chadli Ouayl Math Economie2

Chapitre 1
Notions sur les ensembles
1.1 Notion d’ensemble
Par ensemble on entend un groupement d’´el´ements ayant une propri´et´e caract´eristique.
Un ´el´ement xappartenant `a Esera not´e : x∈E. Lorsque xn’appartient pas `a E, on notera
x /∈E.
Exemples.
1- N={0,1,2,3,··· ,100,···}
2- Z={··· ,−300,···,−3,−2,−1,0,1,2,··· ,1000,···}
D´efinition 1 Un ensemble Aest dit sous-ensemble ou partie d’un ensemble Elorque tout ´el´ement
de Aappartient `a E. On note : A⊂E.
Exemple.
N⊂Z
D´efinition 2 Deux ensembles Aet Bsont dits ´egaux s’ils sont constitu´es des mˆemes ´el´ements,
dans le cas contraire ils sont dits diff´erents.
On note : A=Bet A6=B.
Il est facile de voir que
(A=B)⇐⇒ (A⊂Bet B⊂A)
1.2 Intersection, r´eunion et compl´ementaire
D´efinition 3 Soient Aet Bdeux ensembles. On appelle intersection de Aet B, l’ensemble des
´el´ements qui appartiennent `a la fois `a Aet B.
On note : A∩B.
A∩B={x:x∈Aet x∈B}
3

Notions sur les ensembles
D´efinition 4 Soient Aet Bdeux ensembles. On appelle r´eunion de Aet B, l’ensemble des
´el´ements qui appartiennent `a au moins l’un des deux ensembles Aet B.
On note : A∪B.
A∪B={x:x∈Aou x∈B}
On a les propri´et´es suivantes sur les ensembles :
1- A∩B=B∩Aet A∪B=B∪A(commutativit´e)
2- (A∩B)∩C=A∩(B∩C) et (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (associativit´e)
3- A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (distributivit´e)
4- A∩A=A,A∪A=A,A∩ ∅ =∅et A∪ ∅ =A.
D´efinition 5 Soit Aune partie de E. On appelle compl´ementaire de Adans E, l’ensemble des
´el´ements de Equi n’appartiennent pas `a A.
On note : {A
Eou aussi E\A.
{A
E={x:x∈Eet x /∈A}
On peut g´en´eraliser la notation E\Aen d´esignant par B\Al’ensemble des ´el´ements apparten-
nant `a Bsans appartenir `a A, o`u Aet Bsont deux parties de E
B\A={x∈E:x∈Bet x /∈A}
On a la propri´et´e suivante
Proposition 1 Soient Aet Bdeux parties de E. Alors
B\A=B∩{A
E.
Preuve. On a B\A={x∈E:x∈Bet x /∈A}
={x∈E:x∈Bet x∈{A
E}
=B∩{A
E.
¤
On peut facilement v´erifier que :
1- {{A
E
E=A,{E
E=∅et {∅
E=E.
2- {A∩B
E={A E∪{B Eet {A∪B E={A E∩{B E
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