Géométrie euclidienne: Du Point à l'Espace

Àlamémoirede
JEANNEKAMBOU
(1933–1995)

Avant-propos
Commentdéfinirrigoureusementleconceptdepointengéométrie?Aupremier
abord,cetteinterrogationparaîtinopportune,entantquesaréponsesemble
évidenteettriviale.Ellenemanquepasd’à-proposcependant,ets’inscritàmon
sensdanslaproblématiqueplusglobaledelaprésentationdesnotions
mathématiquesàdespublicsnonexperts.Unregardserrésurlesdéfinitions
familières,notammentsurcellesproposéesdansl’enseignementsecondaire,
permetdesoutenircejugement.
Enl’espèce,unmanueldestinéauxcollégiens,danslasectionconsacréeàla
géométrieduplan,dicte:
«Leplanestunesurfaceinfinie.[...]Unpointduplanestunlieu,unendroitqui
n’anilongueurniépaisseur.»
Plusloindanslemêmeouvrage,lanotiondedroiteestintroduitecommesuit.
«Sil’onamarquéetnomméAetBdeuxpointsduplan,onpeuttracerautantde
traitsquel’onveut:onobtientdeslignes.Maisonnepeut(avecunerègle)
tracerqu’uneseuledroitepassantparcesdeuxpoints.Cettedroiteestappeléela
droiteABetonlanote(AB).»
Cesdéfinitionssontadosséesauxsenscourantsdestermessurface,infinité,lieu,
endroitouligne.Àcetitre,ellespermettentuneperceptionintuitiveduplan,des
pointsetdroites.Toutefois,ellessontporteusesdeconfusionetdefragilité,eu
égardàl’ambiguïtéetàlaversatilitédesmotsemployés.

Cesdéfinitionssontdoncaufondinadaptéesàlapratiquedesmathématiques,
mêmeélémentaires.Eneffet,paressence,laconstructionderaisonnements
inductifs,déductifsetdiscursifs,estinhérenteàladémarchemathématique.Elle
exigerobustessedesmatériaux,précisiondesoutils,etrigueurdansleuremploi.
Audemeurant,lasecondedéfinitionrepriseci-dessusassociel’existenced’une
droiteàuninstrumentmatériel(larègle)etàuneactionconcrète(tracer).Cette
matérialisationdeladroite,entitéabstraite,s’ilenest,estunélément
supplémentairedefragilisationdeladitedéfinition.Elleseconjugueà
l’imprécisiondelaterminologie,etinstillel’idéefallacieusequelesconcepts
mathématiquestrouventtoujoursdesmanifestationsperceptiblesparlessensde
l’humain.
Defait,lesmathématiquesnesontpasassujettiesauréel.Ellespeuvents’en
inspirercertes.Danscetteoptique,représentationsgraphiquesetsimulations
peuventêtreintégréesàunprocessusderecherchemathématique,nonpaspour
dégagerdesenseignementsdéfinitifs,maispourstimuleretsoutenirl’espritqui,
seuletendernierressort,vaparleraisonnementtirerdesconclusionsvalides.
Lesnombreuxschémasetfiguresprésentsdanslestextessurlagéométrie
s’inscriventdanscetteperspective.Ilssontletributquel’humaindoitparfois
payerpourfavoriserl’émancipationdel’espritdespesanteursducorps.Àce
sujet,lephilosophefrançaisÉMILE-AUGUSTECHARTIER,ditALAIN,dans
sonouvrageHistoiredemespensées(1936),écritd’untonjusteetvibrant:
«Lalignedroiten’estpas,jelatraceparcequejelaveux.Latracerestmême
unefaiblesse.Ladroiteestsibellepardeuxétoiles!L’espritlasoutientseul.»
Ensomme,pourrendrefidèlementl’essencedesconceptsmathématiques,les
définitionsdoiventéviterlesécueilsdel’imprécisiondésinvolteetlespérilsde
lamatérialisationperfide.Ladémarchemathématique,fondéesurunelogiqueet
desstructuresformelles,offrelecadrederéalisationdecedessein.Ellepermet
notammentlaconstructiondeterminologiesprécises.