Décomposition en série de Fourier : Cours et exercices EII

BTS Al Khaouarizmy
Casablanca
Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
non sinusoïdal
FILIERE EII
Physique Spécialisée
Prof : B.BENAZZA 2025-2026
I. Définitions
1. Grandeur périodique
Une grandeur périodique est une grandeur qui se répète identiquement à elle même et régulièrement
dans le temps.
2. Période
C’est durée constante notée T, exprimée en seconde (s) qui sépare deux instants consécutifs où la
grandeur se reproduit identiquement à elle même.
A l’oscilloscope : T = base de temps × nbre de divisions.
3. Fréquence
La fréquence f d’une grandeur périodique, exprimée en Hertz (Hz) est le nombre de périodes par
secondes. f = 1/T.
4. Valeur moyenne d’une grandeur périodique
La valeur moyenne d’une grandeur périodique (notée < s >, ou Smoy) se détermine grâce à la formule
: 
[Aire] représente l’aire algébrique comprise entre la courbe et l ‘axe des temps sur un intervalle d’une
période.
T : période en secondes (s).
Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique en position DC.
5. Valeur efficace d’une grandeur périodique
La valeur efficace d’une grandeur périodique se détermine grâce à la formule :
Expérimentalement, la valeur efficace se mesure avec un multimètre en position (AC)
6. Facteur de forme
Pour donner une idée de la forme d’un signal, on définit :
 => signal continue
7. Rapport cyclique
Le rapport cyclique  d’un signal rectangulaire est le rapport entre la durée de son niveau haut  par
rapport à sa période T.

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non sinusoïdal
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Exemples
i. exemple 1
 La valeur moyenne de u(t) : 
 La valeur efficace de u(t) :
 Facteur de forme : 
 Rapport cyclique  :
ii. 
 La valeur moyenne de u(t) :
 La valeur efficace de u(t) :
 Facteur de forme :
Calculer :
 Rapport cyclique 
 Facteur de forme
Calculer :
 Facteur de forme

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II. Décomposition en série de Fourier
1. Enoncé du théorème
Toute fonction périodique non sinusoïdale peut être représentée par une somme de termes sinusoïdaux
dont le premier terme à la fréquence principale de la fonction appelé fondamental et les autres termes
ayant des fréquences multiples du fondamental appelé harmonique. Cela peut être exprimé par la
formule suivante :
∞
avec
k est le rang de l’harmonique et appartient à .
 : représente la composante continue
 : représente le fondamental.
∞
 : représente les harmoniques
On pourra également utiliser la notation condensée suivante :
∞
est la pulsation du fondamental. k désigne le rang de l’harmonique,  sa valeur efficace et
 son déphasage lu à l’échelle de sa pulsation propre kw.
On calcule le terme constant et les coefficients des termes sinusoïdaux par les relations suivantes:
2. Développement en Série de Fourier de fonctions usuelles
La figure ci-contre présente le développement en série de Fourier de deux signaux carré v₁(t) et
v2(t) d'amplitude U et de pulsation ω = 2π/T.

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non sinusoïdal
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3. Simplification dues à certaines symétries
a-Fonction paire
b-Fonction impaire
c- Symétrie de glissement
4. Spectre d’un signal
Le spectre d'un signal est une représentation des différentes composantes de fréquence qui le
composent. Il indique la distribution des amplitudes ou des puissances des différentes fréquences
présentes dans le signal. En d'autres termes, le spectre d'un signal permet de visualiser la répartition
des différentes fréquences qui contribuent à sa composition.
Le spectre d'un signal peut être obtenu en utilisant des techniques de traitement du signal telles que la
transformée de Fourier. Cette transformation mathématique permet de passer du domaine temporel (où
s(-t)= s(t)
Les termes sinus sont nuls => 
s(-t)= - s(t)
Les termes cosinus sont nuls => 
s(t+T/2)= - s(t)
Les harmonique paires sont nuls =>  
et  

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le signal est représenté en fonction du
temps) au domaine fréquentiel (où le
signal est représenté en fonction de la
fréquence).
Analyser le spectre d'un signal est
essentiel dans de nombreux domaines
tels que le traitement du signal, les
télécommunications, l'électronique,
l'acoustique, etc., car cela permet de comprendre les caractéristiques fréquentielles du signal et
d'extraire des informations importantes sur sa composition.
 Remarque
La valeur efficace du signal peut se calculer à partir de la valeur moyenne, et des valeurs efficaces des
harmoniques :
4.1. Représentation spectral des signaux sinusoïdaux purs
En noir, signal périodique de période T0 = ω0/2π, d’amplitude U1, de valeur moyenne nulle :
u(t) = U1cos(ω0.t)
En bleu, signal constant a la valeur U0 : u(t) = U0
En rouge, signal périodique de période T0 = ω0/2π, d’amplitude U1, de valeur moyenne (Offset) U0 :
u(t) = U0 + U1cos(ω0.t)
4.2. Représentation spectral des signaux sinusoïdaux purs
Développement en série de Fourier du signal u(t) de période T0 = ω0/2π:
u(t) = U0 + U1cos(ω0t) + U3cos(3ω0t)
U1cos(ω0t
)
U3cos(3ω0t)