MECA2 Dynamique : Résumé Complet des Concepts Clés pour PSI/MP

Dernière mise à jour
MECA 2
Dynamique
Denis DEFAUCHY
19/11/2024
Résumé
Page 1 sur 8
Programme PSI/MP 2022 (LIEN)
Id
Compétence développée
Connaissances associées
B2-10
Déterminer les caractéristiques
d'un solide ou d'un ensemble de
solides indéformables.
Solide indéformable : – définition ; – repère ; –
équivalence solide/repère ; – volume et masse ; –
centre d'inertie ; – matrice d'inertie.
C1-05
Proposer une démarche
permettant la détermination
d’une action mécanique
inconnue ou d'une loi de
mouvement.
Graphe de structure. Choix des isolements.
Choix des équations à écrire pour appliquer le
principe fondamental de la statique ou le principe
fondamental de la dynamique dans un référentiel
galiléen. Théorème de l'énergie cinétique.
C2-08
Déterminer les actions
mécaniques en dynamique dans
le cas où le mouvement est
imposé.
Torseurs cinétique et dynamique d’un solide ou d’un
ensemble de solides, par rapport à un référentiel
galiléen. Principe fondamental de la dynamique en
référentiel galiléen. Énergie cinétique. Inertie et
masse équivalentes. Puissance d'une action
mécanique extérieure à un solide ou à un ensemble
de solides, dans son mouvement par rapport au
repère galiléen. Puissance intérieure à un ensemble
de solides. Théorème de l'énergie cinétique.
Rendement en régime permanent.
C2-09
Déterminer la loi de
mouvement dans le cas où les
efforts extérieurs sont connus.
Mécanique
MECA2 - Dynamique

Dernière mise à jour
MECA 2
Dynamique
Denis DEFAUCHY
19/11/2024
Résumé
Page 2 sur 8
Caractéristiques des solides
Masse
Moments d’inertie d’un solide
Moment d’inertie par rapport au point O
Moment d’inertie par rapport à l’axe 
Théorème de Huygens :
Moments d’inertie par rapport aux axes du repère
Centre de gravité ou d’inertie d’un solide
Méthode Intégrale
Méthode sous-volumes
Masses négatives pour formes creuses
Si  :
Remplacer  par  et  par 
 est sur les éléments de symétrie volumique

Dernière mise à jour
MECA 2
Dynamique
Denis DEFAUCHY
19/11/2024
Résumé
Page 3 sur 8
Représentation physique des termes de 
Même 
Même 
On voit 3 théorèmes de Huygens pour le
déplacement des moments d’inertie
autour des axes 
, 
 et 
Théorème de Huygens généralisé
Soit un cylindre (rayon , matrice   
), roulant autour de
 soumis à la gravité et à la force tangentielle  au contact en . On a : 
Termes diagonaux : Ils représentent la « masse » (quantité et distance) à mettre en rotation pour
tourner l’objet autour des 3 axes 
, 
 et 
, soit l’inertie autour de ces 3 axes. Ils
interviennent dans les équations différentielles du mouvement en rotation.
Termes hors diagonaux : Ils représentent la répartition des masses autour des axes 
, 
 et
. Ils interviennent dans les actions en moment dans les liaisons.
Exemple :
Ils sont à l’origine de l’apparition de moments lors de leur rotation ( constante ou non) :
Ex. Rotation 
 :  et  (ligne colonne x) sont chacun générateurs de moments sur 
 et 
 - cf. équilibrage
Opérateur d’inertie d’un solide
Soit 
une base 
 liée au solide S étudié et A l’origine du repère
– Nécessité de connaître  pour avoir  et 
Parfois notée 

Dernière mise à jour
MECA 2
Dynamique
Denis DEFAUCHY
19/11/2024
Résumé
Page 4 sur 8
Symétries et forme de la matrice d’inertie –  sur l’élément de symétrie
Attention : on ne parle que de forme, les termes peuvent changer d’un point à l’autre
Plan de symétrie
de normale 
Deux plans de symétrie parmi
Axe de révolution
Solide sphérique de centre O
Problème plan 
 : 
Matrices d’inertie usuelles à savoir retrouver
Matrice inchangée dans toute base contenant l’axe de révolution
Masse ponctuelle  en 

Dernière mise à jour
MECA 2
Dynamique
Denis DEFAUCHY
19/11/2024
Résumé
Page 5 sur 8
Moment d’inertie d’une masse ponctuelle 
en  autour de l’axe 
Définition
 est l’un (des 3) axe(s) principaux d’inertie
de ce solide en 
 valeur propre, 
vecteur propre
En tout point du solide, il existe 3 axes principaux
d’inertie associés aux vecteurs propres
Conditions d’équilibrage dynamique
Solide équilibré ? Actions dans les liaisons indépendantes de ,,  et 
Le solide  de centre de gravité  est équilibré en rotation autour de 
 si :
1 :  : Pas de force centrifuge, tournante
2 : 
 est un axe principal d’inertie de   en tout point  sur l’axe : Pas de moments
variables dans les liaisons
Remarque : La condition 1 est nécessaire à la condition 2.
Dès que la condition 1 est vérifiée, si la condition 2 est vérifiée en un point de l’axe, elle est vraie sur
tout l’axe
Opérations
Changement de base
 matrice de passage de  à 
Moment d’inertie par rapport à l’axe 
et  exprimés dans la même base
Moment d’inertie par rapport au point  avec 
Moment d’inertie autour d’un axe 
 avec 
 avec 
distance entre 
 et 
Matrice d’inertie d’un ensemble de solides en un même point
Masses négatives pour formes creuses
Linéarité de l’intégrale