Prix Option Lookback: Simulation Monte Carlo & Modèles Financiers

3 Prix d'une option Lookback par simulation Monte Carlo
3.1. Introduction
Du moment où l’on s’éloigne des modèles d’options relativement simples, comme les options
européennes ou américaines standards, la résolution analytique devient souvent irréalisable ; la
méthode de simulation de Monte Carlo s’impose naturellement. Développée dans les années
1940 par Stanislaw Ulam et John von Neumann, elle a été conçue pour résoudre des problèmes
complexes et des calculs probabilistes impossibles à traiter directement. Cette approche est
particulièrement utile en finance, et elle se révèle indispensable pour l’évaluation d’options
exotiques telles que les options lookback, dont la valeur dépend des maxima ou minima du prix
de l’actif sur toute la durée du contrat.
3.2. Principe de l’option Lookback
On définit une option comme étant un contrat qui donne à son détenteur le droit, mais non
l’obligation, d’acheter ou de vendre un actif à un prix fixé (le prix d’exercice) à une date donnée
ou avant cette date. Or ici, la particularité de notre type d’options se trouve dans le fait que les
gains de l'évolution du prix de l'actif sous-jacent pendant la durée de vie de l'option. Une option
lookback est donc définie comme "dépendante de la trajectoire" et, comme elle est plus
complexe que les contrats d'option standard, elle est connue comme une option exotique.
L’option lookback est une option exotique à dépendance de chemin. Elle se divise en
deux types : lookback à prix d’exercice fixe et lookback à prix d’exercice flottant.
3.2.1. Lookback à prix d’exercice fixe
Le paiement de l’option call est déterminé par la différence entre le prix maximal et
le prix d’exercice, si elle est positive :
Vc(T) = max (Smax – K , 0)
Pour l’option put, la différence est calculée entre le prix d’exercice et le prix minimal
pendant la durée de vie de l’option, si elle est positive :
Vp(T) = max (K−Smin , 0)

3.2.2. Lookback à prix d’exercice flottant
Dans ce cas ci, le prix d’exercice est fixé K au prix optimal obtenu pendant la durée de vie de
l’option (Smin pour un call et Smax pour un put). Les opérations dépendron également de la
valeur de l’action à la fin de sa vie ST.
Vc(T) = ST –Smin
Vp(T) = Smax –ST
3.2.3. Intérêt
Une option lookback protège efficacement l'acheteur du contrat contre ce risque, car elle lui
permet de bénéficier du moment où le prix de l'actif sous-jacent est le plus avantageux pour lui
pendant la durée de l'option.
Comme d'autres produits de ce type, les options lookback sont presque toujours des contrats
sur mesure vendus de gré à gré, plutôt que sur des marchés boursiers, et comportent donc le
risque qu'une partie fasse défaut.
Les options lookback sont plus chères que les options classiques, mais elles sont toujours
considérées comme utiles par les investisseurs pour se couvrir contre la volatilité. Elles se
présentent généralement sous deux formes principales :
3.3. Principe de la simulation de Monte Carlo
La simulation de Monte Carlo est une méthode numérique qui utilise le hasard pour estimer
des quantités difficiles à calculer analytiquement. Elle repose sur le fait que la moyenne de
nombreuses réalisations aléatoires converge vers la valeur attendue.
On cherche à estimer une quantité pouvant s’écrire comme une espérance :
où g représente une fonction µ-intégrable.

La méthode de Monte Carlo standard consiste à réaliser N tirages aléatoires indépendants
(x1,...,xN) suivant la loi µ et à considérer
cg étant l’estimateur du paramètre Ig
3.4. Applications en finance
3.5. Estimation du prix d’une option lookback par la simulation
de Monte Carlo
La simulation Monte Carlo est utilisée pour la valuation des prix d’options quand il n’existe pas
de formule analytique connue. Cette simulation fournit une solution numérique en générant les
prix futurs des actifs.
Étape 1 : Modélisation stochastique du prix du sous-jacent
On prend N le nombre de pas et M le nombre de trajectoires
On suppose un mouvement géométrique brownien (GBM) sous la mesure risque neutre :
dSt=rSt dt+σSt dWt
La solution continue est connue :
St=S0exp((r−12σ2)t+σWt)
Pour une discrétisation en pas égaux Δt=T/N, la formule exacte entre deux points discrets tj et
tj+1 est :
Sj+1=Sjexp((r−12σ2)Δt+σΔt Zj+1)
où Zj+1N(0,1) iid
où
 j =1,2,...,M (M étant le nombre de trajectoires)
 z est une variable aléatoire normale centrée réduite,
 r est le taux de rendement espéré de l'actif,
 σ est la volatilité constante,
Étape 2 Prix d'une option sous la mesure risque-neutre

Pour une option de maturité T et de payoffΦ(ST), le prix à la date t est :
V(St,t) =  Φ(ST) | St = S
Étape 3 : Application de la méthode de Monte Carlo
Le prix d’une option pouvant se mettre sous la forme d’une espérance, alors on peut y
appliquer la méthode de Monte Carlo
Après projection du prix futur des actifs, on calcule leurs paiements actualisés. En répétant
cette procédure sur un grand nombre d’échantillons simulés, on obtient la valeur moyenne
correspondant à la valeur de l’option.
 On simule M trajectoires indépendantes , donc M scénarios
possibles du prix de l’actif
 Sur chaque trajectoire on calcule le pay-off ()) de l’option max(Smax−K , 0)
 On fait alors la moyenne :
V0 = 
= 
3.6. Conclusion