Algèbre I : Cours et Exercices Résolus

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
Université Tahri Mohamed Béchar
Faculté des Sciences Exactes
Département de Mathématiques et Informatique
Algèbre I
Cours
Et
Exercices Résolus
Meghnafi Mustapha, Ferhat Mohamed et Blouhi Tayeb

AlgèbreI: Cours Et Exercices Résolus 2Meghnafi Mustapha, Ferhat Mohamed et Blouhi Tayeb

Table des matières
Introduction 5
1Arithmétique dans Z8
1.1 Multiples et diviseurs dans Z.................................. 8
1.1.1 Règles de divisibilité .................................. 9
1.2 Division euclidienne ....................................... 10
1.2.1 Congruences ....................................... 11
1.2.2 Plus grand commun diviseur .............................. 12
1.2.3 Détermination du pgcd de deux entiers naturels ................... 12
1.2.4 Plus petit commun multiple .............................. 14
1.2.5 Détermination du ppcm de deux entiers naturels ................... 14
1.2.6 Nombre premier ..................................... 15
1.2.7 Entiers premiers entres eux .............................. 15
1.2.8 Théorème de Bézout. .................................. 15
1.2.9 L’équation diophantienne ............................... 16
1.3 Exercices sur L’arithmétique dans Z............................. 17
2Ensembles et Applications 26
AlgèbreI: Cours Et Exercices Résolus 1Meghnafi Mustapha, Ferhat Mohamed et Blouhi Tayeb

TABLE DES MATIÈRES
2.1 Ensembles ............................................ 26
2.1.1 Opérations sur les ensembles .............................. 27
2.1.2 Ensemble des parties d’un ensemble ......................... 29
2.1.3 Partition d’un ensemble ................................ 29
2.1.4 Quelques résultats ................................... 30
2.1.5 Produit Cartésien .................................... 30
2.2 Applications ........................................... 30
2.2.1 Restriction d’une application ............................. 32
2.2.2 Prolongement d’une application ............................ 32
2.2.3 Image directe ...................................... 32
2.2.4 Image réciproque .................................... 33
2.2.5 Injection, Surjection, Bijection ............................ 34
2.2.6 Ensembles finis ..................................... 37
2.2.7 Ensembles dénombrables ................................ 38
2.3 Exercices sur les ensembles et les applications ....................... 39
3Relations Binaires dans un ensemble 52
3.1 Relation Binaire dans un ensemble .............................. 52
3.2 Relation d’équivalence sur un ensemble ............................ 52
3.2.1 Classes d’équivalence .................................. 53
3.2.2 Ensemble Quotient ................................... 53
3.3 Relation d’ordre sur un ensemble ............................... 54
3.3.1 Ordre total et ordre partiel .............................. 54
3.4 Majorants, Minorants. ..................................... 55
3.5 Exercices sur les relations. ................................... 57
AlgèbreI: Cours Et Exercices Résolus 2Meghnafi Mustapha, Ferhat Mohamed et Blouhi Tayeb

TABLE DES MATIÈRES
4Structures algébriques. 74
4.1 Loi de composition interne. ................................... 74
4.1.1 Partie stable ....................................... 78
4.2 Loi de composition externe ................................... 79
4.3 Structure de groupe ....................................... 80
4.3.1 Morphisme de groupes ............................... 81
4.3.2 Sous groupes ..................................... 81
4.4 Anneaux ............................................. 82
4.4.1 Morphisme d’anneaux ............................... 83
4.4.2 Sous anneau ...................................... 83
4.5 Idéaux .............................................. 84
4.5.1 Idéal à gauche ...................................... 84
4.5.2 Idéal à droite ...................................... 84
4.5.3 Idéal bilatère ...................................... 84
4.5.4 Idéal principal ...................................... 85
4.6 Corps .............................................. 85
4.7 Exercices sur les structures algébriques ............................ 86
5Polynômes 100
5.1 Généralités ...........................................100
5.1.1 Opérations sur les polynômes ...........................100
5.2 Degré d’un polynôme ....................................101
5.3 Division des polynômes ...................................102
5.3.1 Diviseur d’un polynôme ..............................102
5.3.2 Division euclidienne des polynômes .......................103
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