Cours Mathématiques MP: Groupes et Algèbre

Cours Mathématiques MP
david Delaunay
16 octobre 2015

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Première partie
Algèbre
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Chapitre 1
Groupes
1.1 L’ensemble Z/nZ
1.1.1 Relation d’équivalence
Définition
On appelle relation d’équivalence sur un ensemble Etoute relation binaire Rvérifiant
1) Rest réflexive i.e. ∀x∈E, xRx;
2) Rest symétrique i.e. ∀x, y ∈E, xRy⇒yRx:
3) Rest transitive i.e. ∀x, y, z ∈E, xRyet yRz⇒xRz;
Exemple L’égalité est une relation d’équivalence sur E.
Exemple L’équivalence des suites (ou de fonctions au voisinage de a∈¯ R) est une relation
d’équivalence.
Exemple L’équivalence des matrices de Mn,p(K).
Remarque Plus généralement, pour une application f:E→F, la relation Rdonnée par
xRy⇔f(x) = f(y)
définit une relation d’équivalence sur E.
Remarque En fait, une relation d’équivalence se comprend comme « une égalité modulo certains
critères » .
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