Représentation de Heisenberg: Table des matières

1
Table des matières
I. INTRODUCTION .......................................................................................... 2
II. Origine historique et motivation de la représentation de Heisenberg............. 3
1. Origine historique ........................................................................................ 3
2. Motivation .................................................................................................... 3
III. Rappels et fondement de la représentation de Heisenberg .......................... 5
1. L’état d’un système ...................................................................................... 5
2. Règles d’interprétation de la mécanique quantique ..................................... 6
3. L’Hamiltonien .............................................................................................. 8
4. Equation de Schrödinger .............................................................................. 9
IV. Formule fondamentale de la représentation de Heisenberg....................... 15
V. Application en physique des particules : théorie quantique des champs ...... 16
1. Physique des particules .............................................................................. 16
2. Optique quantique ...................................................................................... 16
3. Théorie des champs.................................................................................... 16
VI. CONCLUSION .......................................................................................... 17
VII. Références .................................................................................................. 18

2
I. INTRODUCTION
La mécanique quantique est une théorie qui décrit le comportement des
particules à l’échelle microscopique, comme les électrons et les
photons. Contrairement à la physique classique, qui repose sur des
trajectoires bien définies, la mécanique quantique introduit une
approche plus abstraite, où les grandeurs physiques ne sont plus des
nombres simples, mais des opérateurs mathématiques.
Parmi les différentes manières de formuler cette théorie, la
représentation de Heisenberg en est une et joue un rôle fondamental.
Développée par Werner Heisenberg en 1925, elle propose une vision où
les états quantiques restent fixes, tandis que les observables physiques
évoluent dans le temps.
L’idée clé de Heisenberg repose sur le fait que les grandeurs
mesurables, comme la position et la vitesse d’une particule, doivent être
décrites par des matrices et non plus par des valeurs précises. Cela
reflète directement son célèbre principe d’incertitude, qui affirme qu’il
est impossible de connaître simultanément et avec précision la position
et la vitesse d’une particule.
Dans les prochaines sections, nous explorerons les principes
fondamentaux, les équations caractéristiques et les applications de la
représentation de Heisenberg, afin de mieux comprendre son
importance dans la physique moderne.

3
II. Origine historique et motivation de la représentation de
Heisenberg
1. Origine historique
La représentation de Heisenberg est l'une des formulations
fondamentales de la mécanique quantique.
Werner Heisenberg, né le 5 décembre 1901 à Wurtzbourg (Empire
Allemand) et mort le 1er février 1976 à Munich (Allemagne de l’Ouest),
est un physicien allemand qui est l’un des fondateurs de la mécanique
quantique. Heisenberg a l’âge de 23 ans s’exile sur l’Île de Heligoland
pour soigner une allergie aux pollens de fleur. Devenu assistant à
l’université de Göttingen, il y développe la première formalisation de la
mécanique quantique publié en 1925, en même temps qu’Erwin
Schrödinger à Zurich. Toutefois le formalisme mathématique est
différent. Heisenberg adopte une formalisation matricielle à
multiplication non commutative : la mécanique matricielle, alors que
Schrödinger utilise une approche ondulatoire, où la fonction d’onde est
une solution de l’équation de Schrödinger. Pour cette raison, on croit
d’abord que les deux théories sont distinctes mais, l’année suivante
Schrödinger établit l’équivalence mathématique des deux formulations.
2. Motivation
Werner Heisenberg a révolutionné la physique en 1925 en développant
une mécanique quantique fondée uniquement sur des quantités

4
observables, rejetant les concepts classiques non mesurables comme les
trajectoires des électrons. Dans son article fondateur, souvent appelé le
"Umdeutung paper", il a remplacé les trajectoires électroniques par des
matrices représentant les intensités des raies spectrales observées,
évitant ainsi les notions d'orbites électroniques non observables.
En 1927, il a formulé le principe d'incertitude, démontrant qu'il est
impossible de connaître simultanément et avec précision la position et
la quantité de mouvement d'une particule. Cette limitation
fondamentale remet en question la notion même de trajectoire continue
pour les particules subatomiques. Dans son ouvrage "The Physical
Principles of the Quantum Theory" (1930), Heisenberg souligne que
l'interaction entre l'observateur et le système observé perturbe
inévitablement le système, rendant les trajectoires classiques
inapplicables à l'échelle atomique.
Ainsi, Heisenberg a établi une nouvelle base pour la mécanique
quantique, centrée sur les observables mesurables, marquant une
rupture avec la physique classique.
Il a introduit une approche basée sur des matrices, où les grandeurs
physiques évoluent dans le temps, contrairement à la représentation de
Schrödinger où ce sont les états quantiques qui changent
La motivation principale était de surmonter les limites de la mécanique
classique et de proposer une formulation qui respecte le principe
d'incertitude.

5
III. Rappels et fondement de la représentation de Heisenberg
Un formalisme mathématique n’est pas à lui seul une théorie physique.
Elle comprend en plus des règles d’interprétation qui, de manière plus
ou moins directe, associent des concepts et procédures empiriques aux
objets du formalisme.
1. L’état d’un système
Un système physique est un système correctement décrit par la
mécanique quantique. Les atomes, les molécules, les noyaux atomiques
et les particules élémentaires sont des systèmes quantiques. Mais ceux-
ci ne se limitent pas aux seuls objets microscopiques. En effet, les
superfluides et les supraconducteurs, pour ne donner que quelques
exemples, sont des systèmes quantiques macroscopiques.
En général, un système quantique interagit, d’une manière ou d’une
autre, avec son environnement. Il est néanmoins très commode
d’introduire la notion d’isolation. Un système quantique est isolé s’il
n’interagit avec l’environnement que par l’intermédiaire de champs
classiques. A fortiori, un système qui n’interagit d’aucune manière avec
son environnement, est isolé. Dans ce qui suit, nous supposons les
systèmes quantiques sont isolés.
Se peut-il que tous les systèmes physiques, isolés ou non, soient des
systèmes quantiques ?