Calculs numériques: Méthode de la bissection - Cours

Notes de cours de Calculs numériques par Msc. MUSHAGE BONDO Pascal_UCS Goma
L'une des premières méthodes numériques développées pour trouver la racine d'une équation
non linéaire était la méthode de la bissection (également appelée méthode de
recherche binaire). La méthode est basée sur le théorème suivant.
Théorème
Une équation , où est une fonction continue réelle, a au moins une racine entre
Puisque la racine est entre crochets entre deux points, et , on peut trouver le point
milieu, entre et . Cela nous donne deux nouveaux intervalles
et et
et .
Figure 1 Au moins une racine existe entre les deux points si la fonction est réelle, continue
et change de signe.
0)( =xf
0)( =xf
)(xf
x
u
x
m
x
x
u
x
x
m
x
m
x
u
x
f x)
xl
xu
x
Chapitre 1. Résolution des équations non linéaire
Quelle est la méthode de la bisection et sur quoi est-elle basée ?
1.1. Méthode De La Bisection
f(x)f(xu)0
x
xu f
(x)f(xu)0
x
xu
Méthode de la bisection
Comme la méthode est basée sur la recherche de la racine entre deux points, la méthode
relève de la catégorie des méthodes de mise entre crochets.
x
xu f(x)f(xu)0
et if (voir Figure 1).
Notez que si , il peut y avoir ou non une racine entre et (Figures 2 et
3). Si c'est le cas, il peut y avoir plusieurs racines entre et (Figure 4).
Le théorème ne garantit donc pas qu'une racine entre et existe.
x
xu

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Figure 2 Si la fonction ne change pas de signe entre les deux points, des racines de
l'équation peuvent encore exister entre les deux points.
Figure 3 Si la fonction ne change pas de signe entre deux points, il se peut qu'il n'y
ait pas de racine pour l'équation entre les deux points.
)(xf
0)( =xf
)(xf
0)( =xf
f x)
xl
xu
x
f x)
xl
xu
x
f x)
xl
xu

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Figure 4 Si la fonction change de signe entre les deux points, plusieurs racines de
l'équation peuvent exister entre les deux points.
La racine se trouve-t-elle maintenant entre et ou entre et ? Eh bien, on peut
trouver le signe de , et si alors la nouvelle fourchette est entre
et , sinon, elle est entre et . Donc, vous pouvez voir que vous réduisez
littéralement de moitié l'intervalle. Au fur et à mesure que l'on répète ce processus, la largeur
de l'intervalle devient de plus en plus petite et vous pouvez vous concentrer sur la
racine de l'équation . L'algorithme de la méthode de bissection est donné comme
Les étapes d'application de la méthode de la bissection pour trouver la racine de l'équation
sont les suivantes
Choisissez et en tant que deux hypothèses pour la racine de sorte que ,
en d'autres termes, les changements de signe se situent entre et .
Estimer la racine de l'équation comme le point médian entre et comme
Maintenant, vérifiez ce qui suit
Si , la racine se trouve entre et ; puis et .
Si , la racine se trouve entre et ; puis et .
If ; alors la racine est . Arrêter l'algorithme si c'est vrai.
Trouver la nouvelle estimation de la racine
Rechercher l'erreur approximative relative absolue comme suit :
)(xf
0)( =xf
x
m
x
m
x
u
x
)()( m xfxf 
0)()( 
m
xfxf 
x
m
x
m
x
u
x
u
xx ,
0)( =xf
0)( =xf
x
u
x
0)()( 
u
xfxf 
)(xf
x
u
x
m
x
0)( =xf
x
u
x
2
= u
mxx
x+
0)()( 
m
xfxf 
x
m
x
 xx =
mu xx =
0)()( 
m
xfxf 
m
x
u
x
m
xx =
uu xx =
0)()( =
m
xfxf 
m
x
2
= u
mxx
x+
f x)
xl
xu
x
suit.
Algorithme pour la méthode de bissection

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où
= racine estimée à partir de l'itération actuelle
= racine estimée de l'itération précédente
Comparez l'erreur approximative relative absolue avec la tolérance d'erreur relative
prédéfinie . Si , passez à l'étape 3, sinon arrêtez l'algorithme. Il convient
également de vérifier si le nombre d'itérations est supérieur au nombre maximal d'itérations
Vous travaillez pour «DOWN THE TOILET COMPANY» qui fabrique des flotteurs pour les
commodes ABC. La boule flottante a une densité de 0,6 et un rayon de 5,5 cm. On vous
demande de trouver la profondeur à laquelle la balle est immergée lorsqu'elle flotte dans
l'eau.
L'équation qui donne la profondeur à laquelle la bille est immergée sous l'eau est donnée
par
Utilisez la méthode de la bissection pour trouver les racines des équations afin de trouver
De la physique du problème, la balle serait submergée entre et, ,
où
c'est
100
-
= new
oldnew 
m
mm
axxx
new
m
x
old
m
x
a
s
sa 
x
010993.3165.0 423 =+− − xx
x
0=x
Rx 2=
Rx 20 
)055.0(20  x
11.00  x
la profondeur à laquelle la bille est immergée sous l'eau. Effectuez trois itérations pour
estimer la racine de l'équation ci-dessus. Recherchez l'erreur approximative relative
absolue à la fin de chaque itération et le nombre de chiffres significatifs au moins corrects
à la fin de chaque itération.
Solution
autorisé. Si c'est le cas, il faut mettre fin à l'algorithme et en informer l'utilisateur.
Exemple 1
R=rayon de la balle,

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Supposons
Vérifiez si la fonction change de signe entre et .
D'où
Il y a donc au moins une racine entre et , c'est-à-dire entre 0 et 0,11.
Itération 1
L'estimation de la racine est
Ainsi, la racine est entre crochets entre et , c'est-à-dire entre 0,055 et 0,11. Ainsi, les
limites inférieure et supérieure du nouveau crochet sont
À ce stade, l'erreur absolue relative approximative ne peut pas être calculée, car nous
n'avons pas d'approximation précédente.
Itération 2
L'estimation de la racine est
Par conséquent, la racine est entre crochets entre et , c'est-à-dire entre 0,055 et 0,0825.
Ainsi, les limites inférieure et supérieure du nouveau crochet sont
L'erreur absolue relative approximative à la fin de l'itération 2 est
11.0 ,0 == u xx
x
u
x
4423 10993.310993.3)0(165.0)0()0()( −− =+−== fxf 
4423 10662.210993.3)11.0(165.0)11.0()11.0()( −− −=+−== fxf u
0)10662.2)(10993.3()11.0()0()()( 44 −== −− ffxfxf u
x
u
x
2u
mxx
x+ =
211.00+
=
055.0=
( ) ( ) ( ) ( )
54
23 10655.610993.3055.0165.0055.0055.0 −− =+−== fxf m
( )( )
010655.610993.3)055.0()0()()( 44 == −− ffxfxf m
m
x
u
x
11.0 ,055.0 == u xx
a
2u
mxx
x+ =
211.0055.0 +
=
0825.0=
4423 10622.110993.3)0825.0(165.0)0825.0()0825.0()( −− −=+−== fxf m
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
010622.110655.60825.0055.0 45 −== −− ffxfxf m
x
m
x
0825.0 ,055.0 == u xx
a
100
new
oldnew 
−
=
m
mm
axxx