Résumé de Mécanique : Cinématique, Statique, Transmission

Sciences industrielles Mécanique Sup/ Spé -résumé-
CPGE FES/ MP & PSI 1/6 Prof : A. ELFARH
I. Cinématique
Vecteur vitesse
0
0
(/)
R
dOM
VM R dt =
; O : origine du repère (R0)
Si M
∈
matériellement à (S) :
00
(/) ( /)VM R VM S R= ∈
Vecteur accélération
0
0
0
(/)
(/)
R
dVM R
MR dt Γ=
Formule de la dérivation
vectorielle
() () ( / ) ()
i
i
RR
dU t dU t R R Ut
dt dt
= +Ω ∧
Champ des vecteurs
vitesses
( /) ( /) (/)∈ = ∈ + ∧Ω VB SR VA SR BA SR
Torseur cinématique des
liaisons normalisées
{}
21
21 21 (,,)
...
(/)
(/) ...
( /)
xx
xyz yy
xyz
A
Azz
A xyz
wv
wx wy wz
SS
SS w v
vx vy vz
VA S S wv
ϑ
++
Ω
= = =
++
∈
Composition des
vecteurs vitesses
0 1 10
(/) (/) ( /)
VM R VM R VM R R= +∈
0
(/)
VM R
: Vitesse absolue ;
1
(/)VM R
: Vitesse relative
10
( /)VM R R∈
: Vitesse d’entraînement
Composition des
vecteurs rotation
0 1 10
(/ ) (/ ) ( / )SR SR RRΩ =Ω +Ω
Compositions des
vecteurs accélérations
0 1 10 10 1
(/) (/) ( /)2.(/) (/)MR MR M RR RR VMRΓ =Γ +Γ ∈ + Ω ∧
0
(/)MR
Γ
: Accélération absolue ;
1
(/)MRΓ
: Accélération relative
10
( /)M RRΓ∈
: Accélération d’entraînement
10 1
2. ( / ) ( / )R R VM RΩ∧
: Accélération de Coriolis
Vecteur vitesse de
rotation de roulement et
de pivotement
21 21 21
(/) (/) (/)
nt
SS SS SSΩ =Ω +Ω
21
(/)
n
SSΩ
: vecteur vitesse de rotation de pivotement
21
(/)
tSSΩ
: vecteur vitesse de rotation de roulement
Roulement sans
glissement
I : point de contact entre S2 et S1
21
( /)0VI S S⇒∈ =
Fermeture géométrique
(chaines fermées)
Somme vectorielle nulle : La loi entrée sortie géométrique est déterminée par
la projection sur les vecteurs unitaire d’une base unique.
Fermeture cinématique
(chaines fermées)
La loi entrée sortie cinématique est déterminée par la composition des
vecteurs vitesses, ou bien par dérivation de la loi entrée sortie géométrique.
Liaisons en parallèles
{ }
{ }
(S2/S1) (S2/S1) ; i
eq Li
= ∀ ϑϑ
degré de mobilité : m = degré de mobilité
de la liaison équivalente.
Liaisons en série
{ }
{ }
n
n 0 i i1
i1
(S /S ) (S /S )
eq −
=
=ϑϑ
∑
m =
n
ci
i1
Nc n
=
=∑
; mu= ncéq ; mi =m-mu

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CPGE FES/ MP & PSI 2/6 Prof : A. ELFARH
Cinématique graphique (Exigée seulement en CNC)
Equiprojectivité
00
( / ). ( / ). AH = BK V B S R AB V A S R AB∈=∈ ⇒
Utilisation : si on a une vitesse d’un point et la direction d’un
autre point, on peut déduire la norme et le sens de la vitesse du
deuxième point.
Composition des vecteurs vitesses
12 10 02
( /) ( /) ( /)ASS ASR ARSVVV∈ =∈ +∈
: Si on a une vitesse et les
directions des deux autres vitesses La fermeture vectorielle
permet de déterminer le sens et la norme des deux vitesses.
12
V(A S /S )∈
01
V(A R /S )∈
10
V(A S /R )∈
Centre instantané de rotation :CIR
La vitesse du CIR est nulle à l’instant considéré :
0
( /)0VI SR∈=
1- Détermination du CIR :
00
( /) ( /)I VA SR VB SR =⊥∈ ∩⊥∈
2- Connaissant le CIR et
0
( /)VM S R∈
, on peut déterminer le
vecteur vitesse de n’importe quel autre point N de (S)/R0.
0
( / ) 0 VI SR
∈=⇒
( /)
( /)
MI
VM S R
VN SR NI
∈=
∈
▪ Soit le point P, tq
( ) et IM = IPP IN∈    
00
V( / ) = V( / )p SR M SR⇒∈ ∈
▪ N, P et I sont alignés : Fermeture triangulaire
II. Statique
Torseur des actions
mécaniques dans le
cas du contact
surfacique
{ }
M1 2 M12n12t12
12
M1 2
M1 2
f ( ). f()f()f()
() ;
f( ) ()() .()
f ( ).
MS
MS A
S S ds SS SS SS
SS S S pM nM ft M
AM S S ds
∈
∈
→→= →+ →
→=
⇒ →=− +
∧→
∫
∫
τ
Lois de coulomb
21
( /)0VM S S∈≠
t1 2 2 1
t1 2 2 1
f( ) ( / ) 0
f ( ) ( / ) < 0
S S VM S S
S S VM S S
→∧ ∈ =
⇒→⋅ ∈
et
t12 12
n
f()=f .f()SS SS
→→
21
( /)0VM S S∈=
t12 12 n
f()f .f()SS SS⇒ →≤ →
Torseur statique des
liaisons normalisées
{ }
12
12 12 ( ,,,)
...
()
() ...
()
AA
AOxyz
XL
YM
ZN
Xx Yy Zz
RS S
SS Lx M y Nz
MS S
++
→
→= = =
++
→
τ
BA
12 12 12
M()M() + BA()SS SS RSS→= → ∧ →
Principe
fondamental de la
statique :PFS
{}
{ }
()0 TRS : ()0 et TMS : ()0
A
EE REE MEE→ = ⇒ →= →= τ
Conséquences du
PFS
- Solide soumis à l’action de 2 forces ces deux 2 sont directement opposées.
- Si un solide est en équilibre sous l’action de trois forces. Ces forces sont :
coplanaires, concourantes en un même point (triangle des forces) ou parallèles.
Liaisons en parallèles :
{ }
{ }
nLi
i1
eq (S1 S2) (S1 S2)
=
→ =  →
∑
ττ
Liaisons en série :
{ }
{ }
Li
0 n i i1
eq
(S S ) (S S ) , i
+
→ =  → ∀ ττ
0
V(A S/R )∈
0
V(B S/R )∈
B
K
A
H
I
A
B
0
( /)VA SR∈
0
( /)VB SR∈
I
I
I
M
N
M
M
P
P
N
N
0
V( / )M SR∈
0
V( / )P SR∈
0
V( / )N SR∈

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III. Systèmes de transmission de mouvement
Système vis-écrou : Liaison hélicoïdale
NB :
12 12
En statique c'est l'inverse : . ( ) . ( )
2
→= →
A
pas
xMSS xRSS
π
Réducteur
Pour un réducteur et
en régime permanent:
La puissance du
moteur=La puissance du
sortie du réducteur.
=
m m sr sr
Cw Cw
⇒=
sr m
m sr
wC
wC
wsr˂ wm et Cm˂ Csr
Le réducteur permet en
même temps la réduction
de la vitesse de rotation et
l’augmentation du couple.
Engrenages
1. Engrenage simple (axes parallèles)
Contact extérieur :
211
122
wdz
rwd z
= =−=−
; Contact intérieur :
211
122
= = =
wdz
rwd z
2. Engrenage conique
21
12
= = ±
wd
rwd
; le signe dépend du sens du repère utilisé.
3. Train d’engrenages simples
Produit des nombres de dents des roues menantes
( 1) . Produit des nombres de dents des roues menées
n
s
e
w
rw = = −
n : nombre de contacts extérieurs.
4. Trains épicycloïdaux
Relation de Willis :
()
()
Produit des nombres de dents des roues menantes
( 1) . Produit des nombres de dents des roues menées
planétaire S PS n
Planétaire E PS
ww
ww
−= −
−
Poulies courroie et pignons chaines :
21
12
= =
wd
rwd
IV. Cinétique
1. Centre d’inertie
- Centre d’inertie d’un solide S de masse m :
1
. 0 .
pS pS
GP dm OG OP dm
m
∈∈
=⇒=
∫∫
.
- Centre d’inertie d’un ensemble matériel :
11
.
nn
i ii
ii
m OG m OG
= =
=
∑∑
.
- Théorèmes de Guldin (solides de révolution) : 1er théorème :
.2
G
SL r π =
; 2er théorème :
.2
G
VS r π =
2. Matrice d’inertie
[ ]
(,,)
()
O
xyz
AFE
IS F B D
E DC
−−
=−−
−−
: Matrice d’inertie du solide (S) au point O dans la base
( )
,,xyz
.
21 21
( /) .(/)
2
∈ =±Ω
pas
VMSS SS
π
Hélice à droite
Hélice à gauche
( L(S
1
/S
2
) = hélicoïdale d’axe
(A,x)
)

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3. Influence des symétries sur la forme de la matrice d’inertie
- un plan de symétrie permet d’annuler deux produits d’inertie.
( )
,xy →
D=0 et E=0 ;
( )
,zx→
D=0 et F=0 ;
( )
,yz →
E=0 et F=0
- Deux plans de symétrie permettent d’annuler tous les produits d’inertie.
- Axe de révolution permet d’annuler tous les produits d’inertie et les deux moments d’inertie par rapport
aux axes perpendiculaire à l’axe de révolution sont égaux.
La matrice reste la même dans toute base admettant l’axe de révolution comme troisième axe.
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
( )
O,
δ ∆
:
( ).
() .
O
S
IS I δδ
∆
=
4. Théorème de Huygens
Un solide(S) (masse m, centre de gravité G et A un point quelconque), avec
GGG
AG x x y y z z=++
.
[ ] [ ] [ ]
() () (())
AGA
I S I S I Gm= +
Avec
[ ]
(())
O
I Gm
: matrice d’inertie au point A du point matériel G de masse m(S).
[ ]
22
22
22
(())
G G GG GG
A GG G G GG
GG GG G G
y z xy zx
I Gm m xy z x yz
zx yz x y
+− −
=− +−
−− +
⇒
22
22
22
()
()
()
AG GG
AG G G
AG G G
A A my z
B B mz x
C C mx y
=++
=++
=++
;
A G GG
A G GG
A G GG
D D my z
E E mz x
F F mx y
= +
= +
= +
5. Torseur cinétique :
{ }
(/) (/)
(/) (/)
(/)
A
PR
pE GR
ER ER
PR A
pE A
V dm mV
CAP V dm
σ
∈
∈
∫
=
∧
∫
=
Moment cinétique :
(NB : vérifier si A є matériellement à S, si non il faut faire un changement de point )
 Relation de changement de point :
(/) (/) ( /)
BA
ER ER G SRBA mV σσ ∈= +∧
6. Torseur dynamique :
{ }
(/) (/)
(/) (/)
(/)
∈
∈
Γ
∫
Γ
=
∧Γ
∫
=
PR GR
pE
ER ER
PR AA
pE A
dm m
AP dm
D
δ
Relation de changement de point du moment dynamique :
(/) (/) (/)
ER ER GR
BABA m
δδ = + ∧Γ
7. Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique :
(/)
(/) (/) (/)
()
.
ER
A
A
R
ER AR GR
ddt
V mV
σ
δ
= +∧
; avec
(/)
()
AR
R
d OA
Vdt =
.
8. Energie cinétique d’un solide indéformable :
{ } { }
ϑ = ⊗C
1
(/) (/ (/)
2
TSR SR SR
(/) ().(/) . ( /)
AA
SR I S SR mAG VA SR = Ω + ∧∈
σ
(/) (/)
1
(/) 2(/) ( /)
A
mV G R SR
TS R SR VA SR
σ
Ω
⇒= ⊗
∈

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11
(/) (/).(/) (/).( /)
22
A
TSR SR SR mVGRVA SR
σ
= Ω+ ∈
.
2
11
Au point G : ( / ) ( / ). ( / ) ( / )
22
G
TSR SR SR mVGR= Ω+ σ
Solide en rotation autour d’un axe fixe
( )
∆
:
2
1
(/) 2 TS R Jw
∆∆
=
; Solide en translation :
2
1
(/) (/)
2
T S R mV G R=
9. Eléments cinétiques d’un ensemble de solides :
Soit (E) un système de n solides (Si) en mouvement par rapport au repère R :
1
(/) (/)
n
i
i
TE R TS R
=
=
∑
{ } { }
1
1
1
.( /) ( /)
(/) (/ (/) (/)
n
E E ii
ni
in
iA Ai
i
mVG R mVG R
ER S R ER S R
σσ
=
=
=
=
= = 
=
∑
∑∑
;
{ } { }
1
1
1
( /) ( /)
(/) (/ (/) (/)
n
EE ii
ni
in
iA Ai
i
m G R m GR
DE R DS R ER S R
δδ
=
=
=
Γ=Γ
= = 
=
∑
∑∑
.
10. Moment d’inertie équivalent ramené à un axe Δ :IéqΔ
On calcul l’énergie cinétique de l’ensemble des solides(Σ), puis par identification on détermine IéqΔ :
2
1
1
(/) (/)
2
n
i éq
T Rg T S Rg I w
∆∆
Σ= =
∑
.
V. Dynamique des solides
1. Principe fondamental de la dynamique (PFD)
{}
{ }
.( / ) ()
(/ ) ( ) ()
(/ ) A
AA
A
m G Rg R
Rg M
Rg
D
δ
τ
ΣΣ
Γ
Σ→Σ
Σ = Σ→Σ ⇒ =
Σ→Σ
Σ
Théorèmes généraux de la dynamique
 Théorème de la résultante dynamique (TRD) :
( ) .( / )R m G Rg
ΣΣ
Σ→Σ = Γ
 Théorème du moment dynamique (TMD) :
( ) (/ )
AA
M Rg δ Σ→Σ = Σ
2. Equations différentielles du mouvement
Une équation de mouvement est une équation différentielle du second ordre traduisant les théorèmes
généraux, dans laquelle ne figure aucune composante inconnue des actions mécaniques.
- Chaîne ouverte : nombre d’équations différentielles de mouvement = nombre de mouvements motorisés
dans les liaisons= nombre d’isolements ;
La frontière d’isolement doit être en intersection avec une seule liaison (translation : TRD, rotation : TMD).
- Chaîne fermée :
1- L’application des TG dépend du mouvement des pièces du système étudié (- rechercher et traiter les
ensembles soumis à 2 forces et de masses ou inerties négligeables afin de réduire le paramétrage ;
- isoler solide après solide en partant de l’entrée jusqu’à l’action souhaitée.
- Pour les isolements en intersection avec le bâti, il faut appliquer le théorème permettant d’éviter la
présence des inconnues de liaisons dans les équations).
2- Le TEC s’applique sur l’ensemble en mouvement pour les systèmes ayant un seul degré de liberté (un
seul actionneur).
3. Equilibrage statique et dynamique des corps tournants
-Un solide est statiquement équilibré si le centre d’inertie G est sur l’axe de rotation.
-Un solide est dynamiquement équilibré lorsque son axe de rotation est un axe principal d’inertie.