Examen Espaces Métriques - Licence 3 Mathématiques

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(E, d)A B E
A∪B=A∪B
A∩B⊂¯ A∩¯ B.
∂(A∪B)⊂∂A ∪∂B.
∂X =X∩CEX∀X⊂E CEX
X E
(X, d) (Y, δ)f:X7→ Y
D⊂X X
f(D)f(X)
g:X7→ Y∀x∈D g(x) = f(x)
f=g
(E1,|| · ||1) (E2,|| · ||2)A
(E1,|| · ||1) (E2,|| · ||2)
||A|| = sup
x∈E1, x6=0
||Ax||2
||x||1
||A|| = sup
x∈E1,||x||1≤1
||Ax||2.
||A|| <∞
E1
||A|| = max
x∈E1,||x||1≤1||Ax||2.
(E, d)
f: (E, d)→IR
(E, d) (xn)⊂(E, d)
(xn)
(xn)

(X, d)A X
A A (xn)X
(d(xn, A)) ⊂IR 0 (xn)⊂X
∀y∈X,
d(y, A) := inf
z∈Ad(y, z).
(yn)⊂A
d(xn, yn)≤max(2d(xn, A),1
n),∀n∈IN
d(xn, A)=0 d(xn, A)>0).
(yn)⊂A X
(X, d1) (Y, d2) (X, d1)
f: (X, d1)→(Y, d2)f