Exercices sur les lois de Kirchhoff

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Lois de Kirchhoff
Exercice 1
1. On applique la loi des mailles à la maille I dans le sens présenté, à partir du point A:
E1 − R1I1 – R3I2 – R2I1 − E2 = 0 ⇒ 12V – 2V − 4I2 – 2V – 5V = 0 ⇒ I2 = 3 /4 A
I2 = 0,75 A
Si on applique la loi des nœuds au point B, on obtient
I1 = I2 + I3 ⇒ I3 = I1 − I2 = 2A − 0,75A I3 = 1,25 A
UR3 = R3I2 = 4 Ω x 0,75A UR3 = 3 V
2. R3 et R4 sont en parallèle (R3 // R4) ⇒ UR3 = UR4 = R4I3
R4 = UR3/I3 = 3V/1,25A R4 = 2,4 Ω
3. Calcul des puissances dissipées dans R3 (PR3) et R4 (PR4)
PR3 = R3 x I22 = 4 Ω x (0,75A)2 PR3 = 2,25W
PR4 = R4 x I32 = 2,4 Ω x (1,25A)2 PR4 = 3,75W

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Exercice 2
UR2 = R2 I2  I2 = UR2 / R2 = 4V/2kΩ = 2mA
UR3 = R3 I2 = 4kΩ x 2mA = 8V
UAB = UR2 + UR3 = 12V
UAB = RI3  R = UAB / I3 = 12V / 2mA R = 6kΩ
UAB = UR4 = UR5 = 12V et R4 = R5  I4 = I5 = UAB / R4
I4 = I5 = 12V/3kΩ = 4mA
On applique la loi des nœuds au point A :
I1 = I2 + I3 + I4 + I5 = 2mA + 2mA + 4mA + 4mA = 12mA
UAB = E − R1I1  E = UAB + R1I1
E = 12V + 1kΩ x12mA E = 24 V

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Exercice 3
UAB = E1 − R1I1 = E2 - R2I2 = - E3 + R3I3
E1 − R1I1 = E2 - R2I2  12V - 2Ω x I1 = 8V - 2Ω x I2  4 − 2I1 + 2I2 = 0 (1)
E2 - R2I2 = - E3 + R3I3  14 − 3I3 − 2I2 = 0 (2)
On applique la loi des nœuds au point A :
I1 + I2 = I3 (3)
On résout les équations:
(2) et (3)  14 − 3(I1 + I2) − 2I2 = 0  14 − 3I1 − 5I2 = 0 (4)
3 x (1) - 2 x (4)  12 - 6I1 + 6I2 - 28 + 6I1 + 10I2 = 0
 16I2 - 16 = 0 I2 = 1A
(1)  2 + 4 − 2I1 = 0 I1 = 3A
(3)  3 + 1 = I3 I3 = 4A
Les trois courants circulent dans le sens arbitraire choisi.
La différence de potentiel dans chaque résistance est donnée par :
UR1 = R1I1 = 2Ω x 3A UR1 = 6V

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UR2 = R2I2 = 2Ω x 1A UR2 = 2V
UR3 = R3I3 = 3Ω x 4A UR3 = 12V
Remarque : on résout ce type d’exercice plus simplement en utilisant le théorème de
Millman.
Exercice 4
UA – UB = UAB = R1I1
UB – UC = R3 I3 = 1,5k x 2mA = 3V
UC – UD = UCD = 7V
UD – UA = -E = -18V
Loi de maille (A→ B → C → D → A) :
(UA – UB) = - (UB – UC) - (UC – UD) - (UD – UA) = -3V - 7V + 18V
R1 I1 = 8V  I1 = 8V/1k I1 = 8mA
Loi des nœuds au point B :
I1 = I2 + I3  I2 = I1 - I3 = 8mA – 2mA I2 = 6mA
On a:
UB – UC = R2 I2 = R3 I3 = 3V  R2 = 3V / I2 = 3V / 6mA R2 = 500