M3305 Chap1 24 25

Chapitre 1 - G´en´eralit´es sur les anneaux
1 Rappels sur les anneaux
D´efinition 1.1. Un anneau est un ensemble Anon vide muni de deux lois de compo-
sition interne not´ees +et .telles que
i- (A, +) est un groupe ab´elien dont l’´el´ement neutre est not´e 0,
ii- .est associative,
iii- .est distributive par rapport `a +.
D´efinition 1.2. Un anneau (A, +, .) est dit
—unitaire si la loi .admet un ´el´ement neutre appel´e ´el´ement unit´e de Aet
not´e 1A.
—commutatif si la loi .est commutative.
D´efinition 1.3. Un corps est un anneau (K, +, .) unitaire, commutatif, non r´eduit `a z´ero
(c-`a-d 1K6= 0), et dans lequel tout ´el´ement non nul est inversible.
Tout au long de ce cours, les anneaux consid´er´es sont unitaires mais pas forc´ement
commutatifs.
Dans la suite, le mot anneau d´esigne un anneau unitaire.
D´efinition 1.4. Soit (A, +, .) un anneau.
1. Un sous-anneau de Aest toute partie Bde Atelle que
i- Best un sous-groupe du groupe (A, +),
ii- Best stable pour la loi ., c-`a-d, ∀x, y ∈B,x.y ∈B,
iii- 1A∈B
2. Un id´eal `a gauche (resp., `a droite) de Aest toute partie Ide Atelle que
i- Iest un sous-groupe du groupe (A, +),
ii- ∀α∈A,∀x∈I,α.x ∈I(resp., x.α ∈I).
3. Un id´eal bilat`ere de Aest un id´eal `a gauche et un id´eal `a droite de A.
Remarque 1.1. Si Iest un id´eal `a gauche (resp., `a droite) d’un anneau A, alors
I=A⇐⇒ 1A∈I.
=⇒?´ Evident.
⇐= ? On a I⊂A. Montrons que A⊂I.
Soit x∈A. On a x=x.1A∈Icar x∈A, 1A∈Iet Iid´eal `a gauche de A.
1

D´efinition 1.5. 1. Un morphisme d’anneaux de (A, +, .)vers (B, +, .) est
toute application f:A−→ Btelle que
i- ∀x, y ∈A,f(x+y) = f(x) + f(y) et f(x.y) = f(x).f(y),
ii- f(1A) = 1B.
2. Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme d’anneaux bijectif.
3. Si f:A−→ Best un morphisme d’anneaux, alors il est en particulier un mor-
phisme de groupes de (A, +) vers (B, +). On pourra ainsi parler du noyau de f,
not´e ker f, qui est d´efini par
ker f=f−1({0B}) = {x∈A / f(x) = 0B}.
Proposition 1.1. Soit f:A−→ Bun morphisme d’anneaux. On a :
1. f(0A) = 0B.
2. ∀x∈A, f(−x) = −f(x).
3. fest injective ⇐⇒ ker f={0A}.
4. ∀x∈A,
xest inversible dans A=⇒f(x)est inversible dans Bet (f(x))−1=f(x−1)
5. ker fest un id´eal bilat`ere de Aet Imfest un sous-anneau de B.
6. Si Jest un id´eal `a gauche (resp., `a droite) de Balors f−1(J)est un id´eal `a gauche
(resp., `a droite) de A.
7. Si Iest un id´eal `a gauche (resp., `a droite) de Aalors f(I)est un id´eal `a gauche
(resp., `a droite) de Imf.
D´efinition 1.6. Soient (A, +, .) un anneau et Iun id´eal bilat`ere de A. En particulier, Iest
un sous-groupe (distingu´e) du groupe ab´elien (A, +). Alors, le groupe-quotient (A/I, +)
est un groupe ab´elien o`u la loi +est d´efinie par
∀x, y ∈A/I, x +y=x+y.
On rappelle que la relation d’´equivalence Rsur Aconsid´er´ee dans ce cas est d´efinie par :
∀x, y ∈A, xRy⇐⇒ x−y∈I,
et pour tout x∈A, la classe d’´equivalence de xmodulo Rest donn´ee par
x={y∈A / yRx}={y∈A / y −x∈I}={y∈A / ∃a∈I, y =x+a}=x+I.
La relation Rest aussi compatible avec la loi .de l’anneau A,i.e.,
∀x, x0, y, y0∈A, xRx0et yRy0=⇒(x.y)R(x0.y0).1
1. Supposons qu’on a xRx0et yRy0, alors on a x−x0∈Iet y−y0∈I. Ainsi, x.y −x0.y0=
x.y −x0.y +x0.y −x0.y0= (x−x0)
| {z }
∈I
.y +x0.(y−y0)
| {z }
∈I
∈I. D’o`u, (x.y)R(x0.y0).
2

Ceci nous permet aussi de d´efinir sur A/I la loi-quotient de .par R, encore not´ee
., par
∀x, y ∈A/I, x.y =x.y. 2
On montre que (A/I, +, .) est un anneau dont l’´el´ement neutre est 0A/I = 0 = Iet
l’´el´ement unit´e est 1A/I = 1A= 1A+I. L’anneau (A/I, +, .) est ainsi appel´e anneau-
quotient de Apar l’id´eal bilat`ere I.
Remarque 1.2. Sous les mˆeme hypoth`eses de la d´efinition 1.6,
1. la surjection canonique
p: (A, +, .)−→ (A/I, +, .)
x−→ p(x) = x=x+I
est un morphisme d’anneaux surjectif tel que ker p=I= 0.
2. (A, +, .) est commutatif =⇒(A/I, +, .) est commutatif.
3. I=A⇐⇒ A/I =0.
4. A/{0}est isomorphe `a A.
Proposition 1.2. Soient Aun anneau et Iun id´eal bilat`ere de A. Il existe une bijection
croissante (pour la relation d’ordre inclusion ) de l’ensemble des id´eaux `a gauche
(resp., id´eaux `a droite) de Acontenant Ivers l’ensemble des id´eaux `a gauche (resp.,
id´eaux `a droite) de A/I.
D´emonstration. Elle sera faite en classe.
Corollaire 1.1. Soient Aun anneau, Iun id´eal bilat`ere de Aet p:A−→ A/I la
surjection canonique. Pour tout id´eal `a gauche (resp. `a droite) Hde l’anneau-quotient
A/I, il existe un unique id´eal `a gauche (resp. `a droite) Jde Acontenant Itel que
H=p(J) = {p(x); x∈J}={x+I;x∈J}=J/I.
En d’autres termes, les id´eaux `a gauche (resp. `a droite) de l’anneau-quotient A/I sont
les J/I o`u Jest un id´eal `a gauche (resp. `a droite) de Acontenant I.
Remarque 1.3. Sous les mˆemes hypoth`eses du corollaire 1.1, si Jest un id´eal `a gauche
(resp., `a droite) de A, alors p(J) est un id´eal `a gauche (resp., `a droite) de A/I. Mais,
attention p(J) = J/I que lorsque I⊂J. En effet, la notation J/I est utilis´ee lorsque J
est un groupe et Iun sous-groupe distingu´e de J.
Th´eor`eme 1.1 (Premier th´eor`eme d’isomorphisme).Soient Aet Bdeux anneaux et
f:A−→ Bun morphisme d’anneaux. L’anneau-quotient A/ ker fest isomorphe au
sous-anneau Imfde B.
2. C’est bien une lci sur A/I car :
∀(x, y)∈A/I ×A/I, on a x.y =x.y ∈A/I.
∀(x, y),(x0, y0)∈A/I ×A/I, (x, y) = (x0, y0) =⇒(x=x0et y=y0) =⇒(xRx0et yRy0) =⇒
(x.y)R(x0.y0) =⇒x.y =x0.y0.
3
demonst ecrite comme rq sur le cahier

D´emonstration. Comme fest en particulier un morphisme de groupes de (A, +) vers
(B, +), alors on sait que fposs`ede la d´ecomposition canonique f=i◦f◦p,
Af//
p
B
A/ ker ff//Imf
i
OO
o`u iest l’injection canonique, pla surjection canonique et fl’isomorphisme de groupes
d´efini par ∀x∈A/ ker f, f(x) = f(x).
Reste `a montrer que fest un isomorphisme d’anneaux :
—∀x, y ∈A/ ker f, f(x·y) = f(x·y) = f(x·y)fmorph. d’ann. =f(x)·f(y) = f(x)·f(y).
—f(1A/ ker f) = f(1A) = f(1A) = 1B= 1Imf.
Th´eor`eme 1.2 (Deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme).Soient Aun anneau, Bun sous-
anneau de Aet Iun id´eal bilat`ere de A. Alors B+Iest un sous-anneau de A,B∩Iun
id´eal bilat`ere de Bet (B+I)/I 'B/(B∩I).
D´emonstration. Elle sera faite au TD.
Th´eor`eme 1.3 (Troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme).Soient Aun anneau et Iet J
deux id´eaux bilat`eres de Atels que I⊂J. Alors, J/I est un id´eal bilat`ere de A/I et
(A/I).(J/I)'A/J.
D´emonstration. Elle sera faite au TD.
On rappelle que l’intersection et la somme de deux id´eaux `a gauche (resp. `a droite)
de Aest un id´eal `a gauche (resp. `a droite) de A. Par contre, la r´eunion de deux id´eaux `a
gauche (resp. `a droite) de An’est pas en g´en´eral un id´eal `a gauche (resp. `a droite) de A.
D´efinition 1.7. Soit Aun anneau.
1. Soit X⊂A. L’id´eal `a gauche (resp., `a droite)de Aengendr´e par Xest le
plus petit id´eal `a gauche (resp., `a droite) de Acontenant X. Il est not´e Xg(resp.,
Xd), et on dit que Xen est un syst`eme g´en´erateur. On montre que c’est
´egal `a l’intersection de tous les id´eaux `a gauche (resp., `a droite) de Acontenant
X. On montre aussi que
Xg=(n
X
i=1
αi.xi/ n ∈N∗, αi∈A, xi∈X)
resp.,Xd=(n
X
i=1
xi.αi/ n ∈N∗, αi∈A, xi∈X)!.
2. Soit a∈A.L’id´eal `a gauche (resp., `a droite)de Aengendr´e par aest
l’ensemble
Aa ={α.a / α ∈A}(resp., aA ={a.α / α ∈A}).
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ex1 du td1
ex2 du td1

Lorsque l’anneau Aest commutatif, l’id´eal engendr´e par aest appel´e id´eal prin-
cipal engendr´e par aet il est not´e a, donc
a=Aa =aA ={α.a / α ∈A}.
3. L’id´eal `a gauche (resp., `a droite) de Aengendr´e par une partie finie {a1, . . . , an}
de Aest l’ensemble
Aa1+··· +Aan=(n
X
i=1
αi.aiαi∈A)
resp., a1A+··· +anA=(n
X
i=1
ai.αiαi∈A)!.
4. Un id´eal `a gauche (resp., `a droite) de Aest dit de type fini s’il est engendr´e par
une partie finie de A.
5. Soient Iet Jdeux id´eaux bilat`eres de A. Le produit de Iet Jest l’id´eal engendr´e
par tous les produits de la forme x.y o`u x∈Iet y∈Jet on le note IJ. On montre
que
IJ =(k
X
i=1
xi.yi/ k ∈N∗, xi∈I, yi∈J),
et on a IJ ⊂I∩J. Cette notion peut ˆetre g´en´eralis´ee `a un produit de nombre fini
d’id´eaux bilat`eres de A.
Remarque 1.4. Soit Aun anneau commutatif et a∈A. Alors, on a
aest inversible dans A⇐⇒ Aa =A.
En effet : aest inversible dans A⇐⇒ ∃b∈A;b.a = 1A⇐⇒ 1A∈Aa ⇐⇒ Aa =A.
2 Id´eaux premiers
D´efinition 2.1. Soit (A, +, .) un anneau commutatif.
1. Un ´el´ement ade Aest appel´e diviseur de z´ero s’il existe un ´el´ement non nul b
de Atel que a.b = 0.
2. L’anneau Aest dit int`egre si A6={0}(c-`a-d 1A6= 0) et si 0 est le seul diviseur
de z´ero dans A,i.e.,
∀a, b ∈A, a.b = 0 =⇒a= 0 ou b= 0.
3. L’anneau Aest dit principal s’il est un anneau int`egre dans lequel tout id´eal est
principal.
4. Un id´eal Pde Aest dit premier si
P6=A(c-`a-d 1A6∈ P),
et
∀a, b ∈A, a.b ∈P=⇒a∈Pou b∈P
ou bien (a /∈Pet b /∈P) =⇒a.b /∈P.
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