Examen de Physique : Conduction Thermique - Grandes Écoles 2003

ROYAUME DU MAROC
Minist`ere de l’ ´ Education Nationale Minist`ere de l’Enseignement
et de la Jeunesse Sup´erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs
Session 2003
´
EPREUVE DE PHYSIQUE II
Dur´ee 4 heures
Concours MP
Cette ´epreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est autoris´e

Concours National Commun – Session 2003 – MP
L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 9 pages.
L’usage de la calculatrice est autoris´e.
On veillera `a une pr´esentation claire et soign´ee des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
pr´ecision les r´ef´erences des questions abord´ees.
Quelques aspects de la conduction thermique
L’´epreuve, qui aborde quelques aspects des transferts thermiques, est constitu´ee de trois parties
largement ind´ependantes entre elles. Il est toutefois conseill´e de les traiter dans l’ordre propos´e.
La premi`ere partie du probl`eme rappelle quelques notions fondamentales de la conduction
thermique. La deuxi`eme partie propose d’´etudier l’un des dispositifs utilis´es par Joseph FOURIER
pour l’´etude de ce ph´enom`ene. La troisi`eme partie, quant `a elle, propose l’´etude du principe d’une
mesure optique d’un coefficient de transfert thermique conducto-convectif.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
On ´etudie dans ce probl`eme la conduction de la chaleur, ou diffusion thermique, dans un milieu
isotrope, homog`ene, suppos´e incompressible, de masse volumique , de capacit´e thermique et de
conductivit´e thermique . On d´esigne par le coefficient de transfert conducto-convectif entre le
solide et l’air, lorsque le solide est en contact direct avec l’air ambiant. Ces quatre grandeurs , ,
et sont suppos´ees ind´ependantes de la temp´erature .
Donn´ees utiles
Masse volumique du fer : ;
Capacit´e thermique du fer : ;
Conductivit´e thermique du fer : ;
Coefficient de transfert conducto-convectif du fer au contact de l’air : ;
Conductivit´e thermique de l’air : ;
;
;
.
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Epreuve de Physique II 1 / 9 Tournez la page S.V.P.

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1`ere partie
Transfert thermique conductif dans un barreau
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Enoncer la loi de FOURIER pour la conduction de la chaleur et en pr´eciser les conditions
de validit´e. D´efinir les diff´erentes grandeurs utilis´ees et en pr´eciser l’unit´e dans le syst`eme interna-
tional des unit´es (S.I.).
Quels sont les analogues ´electriques des notions suivantes : conductivit´e thermique, flux
thermique, loi de FOURIER et gradient de temp´erature ? On pourra r´epondre sous la forme d’un
tableau.
On consid`ere un barreau (figure 1) solide, homog`ene et isotrope, ind´eformable de longueur ,
de section droite carr´ee de surface et dont le cˆot´e est tr`es inf´erieur `a la longueur . Ce barreau
est entour´e par une enveloppe adiabatique non repr´esent´ee sur la figure. On consid`ere qu’il n’y a
aucune fuite thermique par la surface lat´erale et que la temp´erature est uniforme sur une section
droite du barreau et ne d´epend que de son abscisse et du temps . Les extr´emit´es et de
ce barreau sont en contact avec deux sources isothermes de chaleur de temp´eratures respectivement
´egales `a en et en ; avec .
O
Section
Figure 1: Barreau solide homog`ene, isotrope et ind´eformable de section et de longueur .
En effectuant un bilan ´energ´etique pour la partie de barreau situ´ee entre les sections
d’abscisses et , montrer que la temp´erature dans le barreau est solution de l’´equation
diff´erentielle aux d´eriv´ees partielles, appel´ee ´equation de la chaleur :
(1)
En r´egime non stationnaire, pour une diffusion thermique s’effectuant sur une distance , il faut
une dur´ee de l’ordre de pour que toute variation de temp´erature se manifeste. est appel´e
temps caract´eristique de la diffusion thermique.
En utilisant l’´equation de la chaleur (1), construire la grandeur `a partir des
grandeurs , , et .
Calculer le temps caract´eristique de la diffusion thermique dans le cas du fer pour les
extensions spatiales et . Commenter.
On se place en r´egime stationnaire.
D´eterminer l’expression de la temp´erature dans une section droite du barreau.
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Epreuve de Physique II 2 / 9

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Etablir la relation entre le flux thermique traversant une section droite du barreau
en r´egime stationnaire et les temp´eratures et .
En d´eduire l’expression de la r´esistance thermique du barreau que l’on d´efinira.
Commenter
2`eme partie
Transfert thermique conductif dans un anneau (FOURIER, )
Un des dispositifs utilis´es par J. FOURIER ´etait constitu´e d’un anneau solide ind´eformable en fer
homog`ene et isotrope repr´esent´e figure 2, ayant la forme d’un tore d’axe , de rayon moyen et de
section carr´ee de cˆot´e , avec tr`es inf´erieur `a . Plusieurs petites loges de dimensions n´egligeables,
remplies de mercure et dans lesquelles plongent des thermom`etres, sont perc´ees en divers endroits
de l’anneau.
O
Figure 2: Anneau solide homog`ene, isotrope et ind´eformable de rayon moyen et de section carr´ee
de cˆot´e .
Dans une section droite de l’anneau prise pour origine des angles ( ), on place un dispositif
de chauffage constitu´e d’une plaque d’´epaisseur n´egligeable et de mˆeme section ( ) que l’anneau.
On consid`ere que la temp´erature est uniforme sur toute section droite du barreau et ne d´epend que
de l’angle et du temps . Dans toute la suite du probl`eme, et sauf mention explicite du contraire,
on limitera l’angle `a l’intervalle .
Pour les applications num´eriques, on prendra et .
L’anneau est plac´e dans l’air ambiant de temp´erature , uniforme et ind´ependante du temps.
Selon la loi de NEWTON, le flux thermique conducto-convectif sortant par l’´el´ement de surface
lat´erale de l’anneau et donc c´ed´e `a l’air ambiant, vaut , o `u est le
coefficient de transfert conducto-convectif entre le m´etal et l’air, que l’on suppose constant, et la
temp´erature de la portion d’anneau consid´er´ee `a l’instant .
Quel est l’int´erˆet pratique de remplir les loges par du mercure ?
En effectuant un bilan ´energ´etique pour la partie d’anneau situ´ee entre les sections
rep´er´ees par les angles et , montrer que la temp´erature en tout point de l’anneau
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Epreuve de Physique II 3 / 9 Tournez la page S.V.P.

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est solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :
(2)
On se place d´esormais en r´egime stationnaire.
´
Ecrire l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la temp´erature dans l’anneau et en
donner la solution g´en´erale. On introduira la grandeur dont on pr´ecisera la dimension.
On suppose que le dispositif de chauffage impose une temp´erature constante
dans la tranche infiniment mince de l’anneau rep´er´ee par l’angle . En exploitant les conditions
aux limites en et , d´eterminer toutes les constantes d’int´egration introduites dans la
question pr´ec´edente et donner l’expression de la temp´erature au sein de l’anneau.
Repr´esenter graphiquement l’allure de la temp´erature dans le barreau pour
compris entre et et commenter le r´esultat obtenu.
Exprimer le flux thermique `a travers une section droite de l’anneau rep´er´ee par
l’angle et repr´esenter graphiquement l’allure de pour variant entre et . Commenter la
valeur de en . Le flux thermique est-il continu `a la travers´ee du dispositif de chauffage ?
Pourquoi ? Commenter.
On se limite au domaine o `u est compris entre 0 et . Un thermom`etre 1 est plac´e dans la
section , rep´er´ee par l’angle avec ; un thermom`etre 2 est plac´e dans la section
rep´er´ee par l’angle enfin un thermom`etre 3 est plac´e dans la section , rep´er´ee par l’angle
. On pose . D’apr`es FOURIER,le rapport ne d´epend que
des dimensions ou de la nature de l’anneau et non de la mani`ere dont ce solide est chauff´e.
Montrer qu’effectivement ce rapport ne d´epend ni de ni de la temp´erature .
Calculer le rapport th´eorique pour pour le dispositif de FOURIER.
Sur le cahier d’exp´eriences de FOURIER du , on lit : deux heures apr`es le d´ebut
de chauffage, les valeurs des temp´eratures des diff´erentes sections de l’anneau sont stationnaires et les
thermom`etres indiquent, par des lectures au tiers de degr´e pr`es : pour l’air ambiant,
pour , pour et pour .
Commenter ce passage en calculant en particulier le temps caract´eristique de diffusion
thermique correspondant `a la distance ainsi que le rapport exp´erimental .
L’anneau repr´esent´e figure 2, chauff´e comme pr´ec´edemment en , est isol´e du dispositif de
chauffage puis enfoui dans du sable, excellent isolant thermique. On suppose qu’il n’y a aucune
fuite thermique par la surface lat´erale de l’anneau une fois que celui-ci est enfoui dans le sable. La
temp´erature de l’anneau est alors uniforme sur une section droite de l’anneau et d´epend comme
pr´ec´edemment de l’angle mais aussi du temps puisque le r´egime est suppos´e non stationnaire.
On se limite encore au domaine o `u est compris entre et .
Donner l’´equation diff´erentielle aux d´eriv´ees partielles dont la temp´erature est
solution.
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Epreuve de Physique II 4 / 9