Traitement Numérique du Signal : Théorie et Pratique

2 ~ et 3~ cycles/Master·
coles d'ingenieurs
,
TRAITEMENT NUMERIQUE
DU SIGNAL
Theorie et pratique
8e edition
Preface de Pie"e Aigra in
Mallrice Bellanger
DUNOD
TRAITEMENT
NUMERIOUE DU SIGNAL
,
Theorie et pratique
Consultez nos catalogues sur Ie Web
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TRAITEMENT
NUMERIGUE DU SIGNAL
,
Theorie et pratique
Maurice Bellanger
a
Professeur au Conservatoire National des Arts et Metiers Paris
Membre de I'Academie des Technologies
Prliface de
Pierre Aigrain
Membre de I'Academie des Sciences
Ancien Secretaire d'Etat a la Recherche
8e edition
DUNOD
Illu stration de cou verture : Digital Vision
d'lNIIignement supBriEllr, pt7t'Cquant LN
baisse brule!. d. achats de 1M. .. de
d' aler1er Ie lecteur sur Ia menace que 11MIeS, au pointqJe Ia pouibitrt6 m!me pcu
repr6sentepourravenirdel'6crit,
ISs Cllleurs de cr6er des cet.M8S
partiQJt.&remeni dans Ie domains DANGER I'IDlMIIles eI de las faire ad. mrde redition ladmiqua at unival'li..
redemenI est wjourcfhui f'I'8lCIOie.
taire, Ie ~pemenl massif du
Nous rnppelons done que louie
La pidcgrnmme qui Rgura ci . amlre
m6rile une eJCPlic:ation. Son objet at
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p~;U....
La Code da Ta propri6te intellec"
luella du 1,r juillell992 interdil
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~an, pamol. 011 totdo,
de Ia pr6senle publication ell
lEPHmXXRJJI:
TlELELIVRE
pie a usage coIlectif sans aulori..
$(Ilion des aycnb droit. Or, cette pratique
s'est gBntircli_ dans las etablissemants
intardite sans aulorisation da
rauleur, de son 6dileur OIl du
Centre franl;Clis d'exploitation du
droit de copis (CfC, 20, rue des
Grcnds..~stins, 75006 Parisi.
© Dunod, Paris, 1998, 2002,2006 pour la 8e edition
© Masson / CNET-ENST, Paris, 1980, 1984, 1987,1990,1996
ISBN 2 10 050162 3
Le Code de la propri'" intelleetuelle n'aulorisant, aux termes de I'article
L. 122.. 5, 2° et 3° ai, d'une part, que les ccopies ou reprodudions striclement
reservees a I'usage prive du eopiste et non destinees t:. une utili.ation collective _
et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et
d'illustralion, c Ioute representation ou reproduction integrale ou partielle Faile
san. Ie consentement de I'auteur ou de set ayants droit ou ayants cau.e est
illicite _(art. L. 122-4).
Celie rep~sentation ou reproduction, par quelque proe6de que ce soit, constituerait done une contrefac;:on sanctionnee par les articles L. 335-2 eI suivan" du
Code de la propriete intellectuelle.
PREFACE
Les revJJlutiollS techniques les plus importantes et les plus riches de consequences ne
sont pas toujours celles qui sont les plus visibles pour l'utilisateur final du produit.
Les methodes modemes de traitement numerique du signal en trent dans fa categorie
des revolutions techniques aux consequences encore insuffisamment pergues et qui
ne[ont pas la premiere page des journaux.
!lest inuiressant d' ailleurs de niflechir quelques instants a la maniere dont de
telles techniques voient Ie jour. L e traitement par Ie calculnumerique d'un signal au
sens Ie plus large du terme n'est certes pas en soi une idee nouvelle. Lorsque Kepler
tirait les·lois d(l tnouvement des planetes des series d'observations de son beau-pere
Tycho Brahe) c',est a un veritable traitement numerique du signal qu'it se livrait) Ie
signal en ['occurrence etant constitue' par les series temporelles des observations de'
positions de Tycho Brahe. Mais ce n'est que dans Ie courant de ces toutes dernieres
decennieS qu e Ie traitement numerique du signal est devenu une discipline. en soi :
c test que la 110ltVeaute-lient ii ce-que lion peut maintenant proceder, en temps .reel, au
traitement de signaux Clectriques, et ceci par des methodes numetiques.
Pour que ceUe evolution soit possible, il faltait que des progres techniques, dans
de nombreux domaines) voient progressivement Ie jOllr, et tout d.'abord, bien. sur; fa
possibillte d'acquerir, sous forme de signal electrique, des in/omIqtions iJ traiter.
eela impliquait Ie developpement progressif de tout ce qu'ilest parfois convenu
d'appeler les capteuys (i'inform~tions, lesquels peuvent alle/~ dims leur ClJmplexite,
de fa simple fauge de contrainte (mais il a fallu de nombreuses et diffi ciles recherches
de physique des solides pOllr la rendre possible) qu radar.
II fallait aussi que se developpent, avec les prodigieUN progres de fa micro~
.~
~
~
o
~
'1C
e!ectroniqut; les outils technologiques p ermettant d e realiser, aux cadences extremement elevees qu'implique le- traitement en temps reel~ des operations arithmetiques
que les p.remiers ordinateurs (l'ENIAC n'a que 40 ans) ne pouvaient realiser qu,'en
plusieurs heures souvent interrompues de plusieurs pannes, et que nous trou vons
aujourd'hui tout afait nature! de voir executees par un micro-prp cesseur de quelques
8 grammes consommarlt seulement quelques milliwatts, et dont Ie (emps moyen entre
o
] pannes depasse dix ans.
:;
~
IJ fallait enfin que les methodes de programmation, c'est-a-dire d'utilisation
optimisee de ces outUs nouveaux, aient pu pro gresser, car queUes que soient les
immenses capacites de cqlcul des micro-processeurs mo(iernes, il. n'est pas indifNrent
de'ne pas gaspiller ces possibilites en operations inutiles. L 'invention des algorithrngs
VI
Preface
de transformee de Fourier rap ide est un des exemples les plus frappanrs de cette
importqnce des methodes' de programmation. Cette convergence des progres techniques dans des domaines aussi differents relevant pour les uns de la physique) pour
beaucoup de rezectronique, pour d'autres des mathematiques) n{a pas ete accidenteUe. Dans une cenaine mesure, chacu.n des progres a sllscite ie besoin nouveau
auque1 un nouveau progres dans un autre dotnaine permettait de repondre. It serait
sans doute-utile, du point de vue del'histoire et (ie l'epistemologie des Sciences ef des
Techniques d'entreprendre un jour une etude approfondie de ce cas.
Car ies consequences en sont d 'ores et deja considerables. Sans doute Ie traitement (lnalogique· de-signaux etectriques a-t-il precede le traitemenl numerique et sans
dou,(e continuera::t-il a occuper Ulle place impottante dans certaines (lpplications,
mais les avantages du traitement numerique qui tiennent en deux mots «·precisian et
jiabilite ii ant seuls .rendu possibles certaines realisations et qui debordent de loin les
secteurs de l'electronique et des telecommunications dans lesquefs ces techniques ant
vu Ie jour. Pnur .n'en citer qu 'une la tomodensitographie par rayon
J
x:. les «scanners»
sont bases sur ['application d'un theoreme da a Radon et comiu depuis 1917. Seules
les evolutions que nous avons mentionnees plus haut ont rendu possible fa realisation pratique de ce nouvel outil de diagnostic medical. Il y a gros iJ parier que les
te9hniques de traitemel'!i numerique QU signal trouverQni <lemail'! leur place (ians des
produits de pll{s en plus varies, y campris les produits utilises par Ie grand public
qui, tout en benejiciant des avantages de prix, de performance et de jiabilite que ces
techniques rendent possibles) ne se .rendra pas toujours compte de la prodigieuse
imbrication de recherche, de technique et (i'invention que suppose ce progreso Cette
evolution a d' ailleurs dejit commence dans Ie cas des recepteurs de television.
Mais lorsque se produisent de telles revolutions techniques, une autre difficulte
se rencontre presque inevitablement. C'esl celie-de la formation des utUisqteurs a ce
qui est non seulement un nouvel Dutil) mais squvent un .nouveau .m'Ode de pensee.
Certe etape de la formation peut devenir, si /'on n'y prend garde, un goulot d'etranglement dans l'introduction de nouvelles techniques. C' est pourquoi I'ouvrage de
M. BELLANGER) dont Ie point de depart est un enseignement donne depuis plusicurs
annees ii tEcole: Nationale Supe.rieure· des Telecommunications et ii l'Institut
Superieur d'Elec;ronique de Pa!'is, constitue un evellement dOli! il COl1vicnt de sou/igner l'importance. Ouvrage didactique, accompagne d'exerctces) contenant plusieurs
programmes, que certains pour.ront souvent utiliser tel quet! il contribuera sans
aucun dOl1:te it (lccelerer encore un,e evolution desirable et necessqire.
P.AIGRAIN
1981
TABLE DES MATII~RES
PREFACE
.••
V
AVANT·PROPOS
XIII
INTRODUCTION
1
CHAPITRE 1 • LA NUM£RISATION DU SIGNAL £CHANTILLONNAGE IT CODAGE
7
1.1 L'analyse de Fourier
7
1.2
1.3
Les distributions
Les principaux signaux traites
12
1.4
1.5
Normes d'L1ne fonction
L'operation d'echantillonnage
1.6
1.7
1.8
L'echantillonnage en frequence
Le theoreme de I'echantillonnage
Echantillonnage de signaux sinuso'idaux et de signaux aleatoires
22
23
24
1.9
L'operation de quantification
Annexe 1 : La fonction I(xl
Annexe 2 : La loi Normale Reduite
Bibliographie
Exercices
14
25
'27
32
45
46
47
48
]I
CHAPITRE 2 • LA TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRHE
50
.~
2.1
Definition et proprietes de la TFD
•
g
2.2
2.3
La transformation de fourier rapide
Degradations dues aU)( limitations dans Ie calcul
51
53
63
'a.
8
24
.
calcul de spectre par TFD
La convolution rapide
Calcul d'u.ne TFD par cQnvQlution
67
72
73
B
c
•
o
"0
~
~
2.6
~
Ii 2.7 Realisation
,c
Bibliographie
"
@
Exercices
74
77
77
Table des matif~res
VIII
CHAPITRE 3 • AUTRES ALGORITHMES DE CALCUL RAPIDE DE LA TFR
80
3.1
3.2
Le produit de Kronecker des matrices
Factorisation de la matrice de l'algQrithme d'entrelacement frequentiel
3.3
3.4
Les transformees partielies
Transformee avec recouvrement
3.5
3.6
Autres algorithmes de calcul rapide
Transformee de Fourier binaire - Hadamard
3.7
Les transformations algebriques
Bibliographie
Exercices
80
80
82
84
98
102
103
106
107
CHAPITRE 4' LES SYSTEMES UN~AIRES DISCRETS INVARIANTS DANS LE TEMPS
108
4.1
4.2
Definition et proprietes
La transformation en Z
4.3
[nergie et puissance des signaux discrets
4.4
Filtrage des signaux aleatoire,
108
110
113
114
115
118
120
120
4.5
systemes delinis par une equation aux differences
4.6
Analyse par les variables d'etat
Bibliographie
Exercices
CHAPITRE 5 • LES FILTRES A R~ONSE IMPUlSIONNELLE FINIE (RIF)
122
5.1
Presentation des liltres RIF
5.2
Fonctions de transfert realisables et filtres a phase lineaire
5.3
Calcul des coefficients par developpement en serie de Fourier
122
125
128
5.4
Calcul des coefficients par la methode des moindres carres
5.5
Calcul des coefficients parTFD
133
137
5.6
Calcul des coefficients par approximation de Tchebycheff
138
5.7
Relations entre nombre de coefficients et gabarit de filtre
141
5.8
Filtre atransition en cosinus sureleve et cosinus
- Filtre de Nyquist - Filtre demi-bande
5.9
Structures pour la realisation des liltres RIF
5.10 Limitations du nombre de bits des coefficients
5.12 Fonction de transfert en z d'un filtre RIF
5.13 Filtres a dephasage minimal
5.14 Calcul des liltres a tres grand nombre de coefficients
a
5.15 Filtres RIF deux dimensions
5.16 Ca lcul des coefficients de filtres TIF-2d par la methode des.moindres carres
144
146
148
155
157
160
161
165
.'!:::i
",
.'•••"
u
0
TabJe des matieres
IX
Annexe
Bibliographie
Exercices
171
172
172
(HAPITRE 6 • CELLULES DE FILTRESAR~PONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII)
174
6.1
174
179
188
192
196
197
199
202
202
La cellule elementaire du premier ordre
6.2
La cellule du second ordre parement recu rsive
6.3
Cellule du second ord re genera le
6.4
Structures pour la realisation
6.5
Limitations du nombre de bits des coefficients
6.6
Limitation du nombre de bits des memoires de donnees
6.7
Stabi lite et auto-oscillations
Bibliographie
Exercices
CHAPITRE 7 • LES FILTRESAR ~ONSE IMPULSIONNELLE INRNI E(RII)
204
7.1 Expressions generales pour les ca racteristiques
7.2 Ca lcu l direct des coefficients par les fonctions modeles
7.3 techniques iteratives pour Ie calcul des liltres RII
7.4 Filtres bases sur les fo nctions spheroIdales
7.5 Les structures rep resentant la fonction de transfert
7.6 Limitation du nombre de bits des coefficients
7.7 Nombre de bits des coefficients en slruclure cascade
7.8 Bruit de ca lcu l
7.9 Determination de la capacite des memoi res internes
7.10 Auto-osci llations
7.11 Compa raison entre les liltres RII et RIF
Bibliographie
Exercices
204
206
217
223
225
231
235
238
245
248
249
251
252
• CHAPITRE 8 • LESSTRUCTURESDE RLTRESEN CHAINE
'0
B
,
•
8.1
8.2
• 8.3
'a.
0
0
0
"0 8.4
• 8.5
-c0 8.6
0
0
0
~
~
~
,
0
"
@
Proprietes des qua<J rip6les
Les fil tres en echelle simulee
Les dispositifs acommutation de capacites (DeC)
Les fi ltres d'onde
Les fi ltres en treilli s
Elements de comparaison
Bibliographie
Exercices
254
2 ~4
258
263
266
272
278
278
279
x
Table des matif~res
CHAPITRE 9 • SIGNAUX COMPLEXES FILTRES DE QUADRATURE
281
9.1 Transformee de Fourier d'une suite reelle et causale
9.2 Signal analytique
9.3 Calcul des coefficients d'un filtre de quadrature RIF
9.4 Dephaseurs A 90' de type recursif
9.5 Modulation A bande latera Ie unique
Les filtres a dephasage minimal
Filtre differentiateur
9.8 Interpolation par filtre RIF
9.9 Interpolation de Lagrange
9.10 Interpolation par bloc-SPlines
9.11 Conclusion
Bibliographie
Exercices
281
284
289
291
293
294
296
297
298
300
302
303
304
CHAPITRE 10' LE FlLTRAGE MULTICADENCE
308
10.1 sous-echantillonnage et transformee en Z
10.2 Decomposition d'un filtre RIF passe-bas
10.3 Le filtre RIF demi-bande
308
10.4 Decomposition avec filtres demi-bande
10.5 Filtrage par reseau polyphase
317
322
10.6 Filtrage nlulticadence aelements RII
10.7 Bane de filtres par reseau polyphase et TFD
10.8 Conclusion
Bibliographie
Exercices
327
329
331
332
332
CHAPITRE 11 • RLTRES QMF ET ONDELmES
334
11 .1 Decomposition en deux sous-bandes et recon stitution
11.2 Filtres QMF
11.3 Decomposition et reconstitution parfaite
11.4 Ondelettes
11 .5 Structure en treilli s
Bibliographie
334
9.6
9.7
Exercices
311
314
335
337
340
344
345
345
CHAPITRE 12' BANCS DE RLTRES
347
12.1 Decomposition et reconstitution
12.2 Analyse des elements du reseau polyphase
12.3 Calcul des fonctions inverses
12.4 Banes de filtres pseudo-QMF
12.5 Calcul des coefficients du filtre prototype
347
349
352
355
360
TabJe des matieres
XI
12.6 Rea lisation d'un banc de li ltres ",els
Bibliographie
364
368
CHAPITRE 13 ' ANALYSE ET MOD£USATION
369
13. 1 Autocorrelation et intercorrelation
13.2 Analyse spectraIe pa r correlog ranime
13.6 Structu res de pred icteur
13.7 Conclusion
Bibliographie
Exercices
369
372
373
376
378
380
383
384
384
CHAPI TRE 14 ' FlLTRAGE ADAPTATIF
385
14.1 Principe du liltrageadaptatil par algorithme du gradient
142 Conditions de convergence
14.8 Fi ltra,ge adapta til RII
14.9 .concl usion
Bibliographie
Exercices
385
389
391
393
396
399
401
403
406
407
408
(HAPITRE 15' APPUCATIONS
410
15.1 Detection d'une Irequence
15.2 Boucle averrouillage de phase
15.3 Codage Mic,Dillerentiel
410
13.3 Matrice d'autocorrelation
13.4 Modelisation
13.5 Pred iction li nea ire
14.3 Constante de temps
14.4 Erreur residue lle
14.5 Pa rametres de complexite
14.6 Algorithmes normalises et algorlthmes du signe
14.7 Fi ltrage RIF adaptatil en structure cascade
.'!:::i
",
.'•••" 15.4 Codage du son
u
0
•
'0
B
,
15.5 Annu lation d'echo
•
15.6 Traitement des images de television
• 15.7 Transmission Mu ltiparteuse - OFDM
'a.
0
Bibliographie
0
0
0
0
0
413
414
418
419
423
425
429
"0
~
~
• EXERCICES • £L£MENTS DE R£PONSE ET INDICATIONS
~
'ri
430
, INDEXALPHAB£TIQUE
441
BIBUOGRAPHIE
445
0
0
"
@
Table des matif~res
XII
CONTENTS
CHAPTER 1 • Signal Digitization - Sampling and Coding . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . .
7
CHAYfER 2 . Discrete Fourier Transfonn and FFT algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . .
50
C HAPTER 3 • Other Fast Algorithms for the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . .
80
C HAPTER 4. Time Invariant Discrete linear Systems. . . . . .. . . .... . . . . .. .. . . . . . . . .
108
C HAPTER 5 ' Finite Impulse Response Filters (FIR). . . . . . . . .•. . . . . . . . . . . . . .... . . . .
122
CHAPTER 6. Infinite Impulse Response RIter Sections
...... ~, .. .... .... ......
•
174
CHAPTER '7 ' Infinite Impulse Response FIlters (UR) . . . . . . .. •• . . . . .. •• . . . . .. . • . . . .
204
C HAPTER 8 . Two-Port Filter Structures . .. ..... ...... . .... . • . ....... .. ..... I
<0-,
•
•
•
• •
254
C HAPTER 9 • Complex Signals - Quadrature Filters .... .. ..... . . ............... ~ . .
281
CHAPTER 10. Multirate Filtering. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .
308
CHAPTER 11- QMFfilters and wavelets. .. . . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . .. . • . . . . .. . . .. . .
334
CHAPTER 12. Filter banks .. . ........ . ... .... . .. Jo ", • • • • • • -.,. • • • • • • ,.,.. • • • • • • -." . • • •
347
• •
C HAPTER 13 . Signal analysis and modeling ........ . .. . ...... ... ... .... , . . . . . . . • . . . .
369
C HAPTER 14. Adaptive filters . ...... ...... . ......... .. .............. ... .... ~ . .
385
~,. .. • • . . . .. . . • •
410
E XERCISES: Hints and answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430
C HAPTER 15. Applications . . ...... . .. ... 60"
INDEX ......
••
•
•
0.,60"
..
. . . .. .
.
..
..
.............. . .. . .... . . . ..... .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .
\
441
AVANT-PROPOS
L'innQvation. impose a l'ingenieur une mise a jour permanente de ses cormais,..
sances et une bonne information sur Ie potentiel offert par les techniques nouvelles, decouvertes et mises au point dans- les laboratoires de recherche. Eh traitement du -s ignal, les techniques numeriques apportel)t des possibilites prodigieuses :
la conception rigoureuse des systemes, une grande reproductibllite des equipements, llne grande stabilite de leurs caracteristiques en exploitation et une remarquable facilite de supervision. Cependant ces techniques presentent 'un certain
degre d~abstraction et leur application aux cas capcrets requieTt un ensemble de
connaissances theoriques', jugees 'SQuvent plus familieres ou plus facilement accessibles au chercheur qu'a l'ingenieur, et qui peuvent representer un obstacle a leur
utilisation. Llambition du present ouvrage est de vainere eet obstacle et de faciltter
Facces aux techniques numeriques en fa-isant la liaison entre 1a theorie et la pratique, et en mettant a la portee de Pingenieur les resultats les plus utHes dans ce
domaine.
La qase de cet ouvtage est un enseignement donne dans des ecoles d'ingenieurs, d1abord l'Ecole Nationale Superieure des Telecommunications et l'Institut
Superieur d'Electronique de Paris, puis Supelec et Ie CNAM. II s'adresse done
d:abord aux Ingenieurs. L 1 auteur s'est efforce d'y faire une presentation claire et
concise des principales techniques de traitement numerique, de comparer leurs
merites et de donner les resultats les plus utiles s·o us une forme directement exploitable aussi bien pour la conception des systemes que pour une evaluation rapide
dans Ie cadre de I'elaboratiol) d'un projet en temps limite. Les developpements
theoriques ont ete recluits a ce qui est necessaire pour une bonne comprehension
et une appli.c ation corre.c te des resultats. Le lectellr trouyera dans les references
•• bibliogr.aphiques les complements qu'i! pourrait sDuhaiter. A 1a fin de chaque chapitre, que'1ql.les. exercices, souvent tires. de cas concrets, permettent de tester l'assi],"
milation de 1a matiere du chapitre et de se familia riser avec son utilisation. Pour
•:5 ces exerGices, des elements de reponse et des indications ont ete regroupes en fin
c
.~ d'ouvrage. II convient egalement de signaler que des· efforts ont
faits pour
§ intToduire une terminologie fran'taise, qu'il serait souhaitable de completer et
] generaliser ann de donner a nstre langue sa place a part entie-re dans Ie domaine.
Cet ouvrage s'adresse egalenient aux chercheurs a qui il peut apporter, en plus
d'un ensemble de resultats utiles, des indications pour l'orientatlon de. leurs travaux, en faisant clairement apparaltre les contraintes de la realit6 technique. 11
contient de plus uncertain nombre de resultats provenant des travaux de
j
.."
He
~
Avant-propos.
XIV
recherche de l' auteur et de ses callabarateurs. En effet, pour et"blir Ie dialogue
aveo les chercheqrs et etre en etat de faire beneficier la technique de leurs decouvertes dans les dela;s les, phis brefs, l'ing6nieur doit s' integr"r a la communaut6
scientifique et apporter sa 'propre contribution a 1a recherche; par ses contacts permanents avec les aspects. conGrets~ il peut hon "Seulement evaJuer et cQ:n forter les
res'ultats obtenus par les chercheurs mais encore ouvnr de nouvelles voies.
Par rapport aux precedentes, cette huitieme edition apparte des complements·,
des parties nouvelles et des simplifications. Les compl6ments portent sur des resultats partiels nouveaux introduits dans diffe-rents chapitres, des expressions simplifiees et des eclaircissements. Les parties nouvelles se situent principalement aux
chapitres 11 et 13. En effet, it est apparu interessant de montrer leg connexiofls
entre les filtres QMF et les ondelettes et que les ondelettes elementaires resultent
simplement cl'un calcui de filtre avec des contraintes particulieres. Quant a }lanalyse et mode-lisation des signaux, ces fonctions s'integrent de plus en plus dans les
systemes. Le traitement du signal se generalisant avec l'electr.omque, Ie do.maine
d'appllcation est de plus en plus vaste et il a semble judicieux de se limiter a
quelques illustrations des methodes de base.
l! faut souligner que les Iravaux sur lesquels est base Ie present ouvrage ont
~t~ a l'originy rnenes en collaboration et avtic Ie sOl,lti~I1 9U Centre National
d'Etudes des Tel6comrnunications, ~ qui 1'auteur tient a exprirner sa reconna'issanee: II tient egalernent a exprimer sa pr.o'fonde gratitude Monsieur I. DAGUET,
Dtre,cteur technique a la Societe Telecommunications Radim~lectriques et
a
Telephoniques pour .voir guide ses travaux avec une grande clairvoyance et les
avoir effieacernent stimules pendant de nornbreuses annees. L'auteur adresse aussi
ses vifs rernerciements al'ensemble de ses collaborateurs pour leurs contributjons
et pour I' assistance constante qq'ils ont apportee.
INTRODUCTION
Le signal est Ie support de. l'information emise par une source et destinee a un
recepteur ; c' est Ie vehicule de l'intelligence dans les systemes. Il trans porte les
ordres dans les equipements de. controle et de te16'commande, i1 achemine sur les
reseaux l'information, 1a parole ou l'image. 11 est particulierement fragile et doit etre
manipl,lle avec beaucoup de soins. Le traltement qU'!il subit a pour but crextraire des
informations, de modifier Ie message qu'il transporte QU de Fadapter aux moyens de
transmission; c1est la qu'interviennent les techniques numeriques. En effet, si PDn
imagine c;le substituer au signed un ensemble de nombres qui representent sa grandeur ou amplitude it des instants convenablement choisis; Ie traitement, meme dans
sa forme la plus elaboree, se ramene a 'TIne sequence d'operations logiques et arithmetiques sur cet ensembie de nombres,. associees a des mises en memoire.
La conversion du signal continu anaIogique en un signal numerique est realisee par des capteurs qui operent sur des enregistrements ' ou directement dans les
~quipements qui produisent ou rer;;oivent Ie signal. Les operations qui suivent cette
conversion sont realisees par des calculateurs numeriques agences ou programmes
pour effectuer l'enchalnement des operations definissant Ie traitement.
Avant d'intrQduire Ie contenu des differenls chapitres du present ouvrage, il
convient de donner une definition precise du traitement c.onsidere.
Le traitement numeriqut} du signal designe l'ensemble des operations, calculs
arithmetiques et manipulations de nombres, qui sont effectues sur un signal a traiter,
represente par une suite ou un ensemble de nombres, en vue de fournir une autre
suite ou un autre ensemble de nombres, qui representent Ie signal traite. Les fonctions
les plus variees sont reailsables de cette maniere, comme I' analyse spectra\e, Ie filtrage
lineaire- QU non line.aire" Ie trans.codage, Ja modulation, la detection, Festimatlon et
•• \'extraction de parametres. Les machines utilisees sont des calculateurs numeriques.
Les systemes corr~spondant a ce traitement obeissent aux 'lois des systemes
],"
discrets. Les nombres sur lesquels il porte peuvent dans certains cas etre issus d'un
•:5 processus discret. Cependant, ils representent souvent l'amplitude des echantillons
c
.~ d'un signal continu et d,ms ce cas, Ie calculateur prend place derriere un dispositif
§ convertisseur analogique-numerique et eventuellement devant un cortvertissetir
] numerique-analogique. Dans la conception de tels systemes et l'etude de leur fonctionnement, la numerisation du signa"1 revet une imporrance fondatnenta"le 'et les
operations d'echandllonnage et de. codage doivent e tre analysees dans leur principe et leurs consequences. La theorie des distributipns constitue une approche
concise, simple et efficace po-qr cette analyse. Ap.res: un certain nomhre de rappeJs
.."
~
2
Introduction
sur l'analyse de Fourier, les distributio ns et la representation des signaux, Ie chapitre premier rassemble, les resultais les plus Importanis et les plus utiles sur
l' edhantillonnage et Ie cod age d'un signal.
L'eSSOT du traitement numerique date de la decouverte d1algorithmes de caleul
rapide de la Transformee de Fouri"ef Discrete. En effet, cette transformation est a
la base de l'etude des systemes discrets et elk constitue dans ce domaine numerique l'equivalent de la Transfonnation de Fourier dans Ie domaine analogique,
c'est Ie moyen de passage de l'espace des temps discret a l'espace des frequences
disc,et. Elle s' introduit naturellement dans une analyse spectrale '<lveC un pas de
frequence diviseur de la f~equence d'echantillonnage des signaux a analyser.
Les algorithmes de calcul mpide a.pportent des gains tels qu' ils permettent de
faire. les operations en temps reel dans de nombreuses applicatiops pourvu que
certaines conditions elementaires soient remplies. Ainsi, la Transformation de
Fourier ,Discrete constitl.le non seulement un, outil de base dans la determination
des caracteristiques tiu tr'aitement et dans fetude de ses incidences sur ie signaL
mais de plus, elle donne lieu a la realisation d' equipemenis to utes les fois qu'unl"
analyse de spectre intenri~nt , par exemple, dans les systemes GQmpo ttant des banGs
de ,filtres ou quand, par la puissance de ses algO'rithmes, elle conduit a une
approche avantageuse pour un circuit de filtrage. Les chapitres 2 et 3 lui sont
consacres; iis donnent d'une part une presentation des proprieMs elementaires et
du mecanisme des algor.ithmes de caleul rap ide et de leurs applications, et d'au'tre
part, un ensemble de vatianl es associees aux situations pratiques. En tant que systeme, Ie calculateur de Transformee de Fourier Discrete est un systeme lineaire
discret, .invariant dans Ie temps.
Une grande partie d\l pre&ent ouvrage est consacree a l' et\lde des systemes
lineaires discrets invariants dans Ie temps a I,me dimension, qui sont facile-m ent
accesslbles et tres utiles. Les systemes a plusieurs dimensions et en partfculier a
deux et trois dimensions connaissent un grand developpement ; iIs sont appliques
par exemple aux images; cependant, leurs proprletes se d6duisent en general de
celles des systemes a une dimension dont iIs he sont souvent que des extensions
simplifiees. Les systernes non lineaires oU variables clans Ie temps, soit contiehnent
un sous-ensemble important qui presente les propriHes de linearite et invariance
temporelle, soit peuvent s'analyser avec les memes techniques que les systemes
ayant ces proprietes.
La linearite et l'il.lvariance temporelle entral'nent l'existence d'une relation de
convolution qui regit Ie fonotionnement du systeme, ou .tiltre, ayant ces proprietes.
Cette re.lati911 de convbl\ltion e&t definie a partir de ia reponse du -systeme all
signal elementaire que represente une impulsion, la reponse impulsionnelle, par
une lntegrale dans Ie cas des signa\lX analogiques. Ainsi, si x(t) designe Ie signal ~
tntrer, h (I ) ia repa nse imp\llsionnelle d\l filtre, Ie signal filtre Y (I) est donne par
l'equation ;
Introduction
Dans ces conditions, une telle relation qui pourtant traduit directement Ie fbne"
tionnement reoel du filtre, offre un interet pratique limite. En effet, d\me part II
n'est pas tres aise de determiner la reponse impulsionnelle a partir des criteres qui
definissent l'operation de filtrage envisagee et d!autre part une equation comportant une integrale ne permet pa,s facilement de reconna'itre et verifier 'Ie cOIhportement du filtre. La conception est beaucoup pIUs facile a aborder dans Ie domaine
des frequences car la transformation de Laplace ou la transformation de F(')urieT
permettent d'aeceder ~ un plan transforme ou les relations de convolution du plan
amplitude-temps deviennent de simples pr6duits de fanctions. A la reponse impulsionne-iie, la transformation de Fourier fait correspondre la reponse en freque-nee
du systeIj1e, et Ie filtrage se ramene au produit de celte repon.s e en frequenee par I.
transformee de Fourier, ou spectre, du signal afiltrer.
Dans les systemes numeriques, qui sont du type dis'eret, la c'onvolution se traduit par une sommation. Le filtre est defini par une. suite d.e nombres qui co:rrstitue
sa reponse impulsionnelle. Ainsi, si la suite a filtrer s'ecrit x (n), la suite filtree y (n)
s~exprime par la sornmation suivante~ ou n et m sont des entiers :
yen) ~ L h (m}x (n-m)
rn
DeuX cas se presentent alors. Ou bien la sommation porte sur un nombre fini
de termes, c'est-a-dire que les h (m) sont nuls sauf pour un nombre 'fini de valeurs
de la variable entiere m. Le fiitre est dit a reponse impulsionneile finie; en faisant
allUsion a sa reaHsation, on Ie designe encore par non recursif car it ne necessite
pas de boucle de reaction de la sortie sur l~entree dans sa mise en ceuvre. II est a
memoir~ firue, puisqu'ill1,e g-arde Ie souvenir d~un signal elementaire, une impulsion par exemple. que pendant une duree limite'e. Les nombres h (In) sont appeles
les coefficients du fillre , qu'i]s definissent completement. I1s peuvent se ca!cHler
d'une maniere direete tres simple, par exemple ep faisant Ie developpement en
serie de Fourier de la reponse en frequence a reatiser. Co, type de filtre presehte
des caracteristiques origin ales tres interessantes j par exemple, la possioilite d'une
reponse rigoureusement lineaire en phase, e'est-~-dire d~un temps de propagation
de groupe constant; les signaux dont les composantes se- trouvent dans la bande
passante du filtre ne sont pas deformes a la traversee de ee filtre. Celte possibilite
est exploitee dans les systernes de transmission de donnees ou en analyse spectraie
"• par exemple.
·m
Ou bien la sonunation porte sur un nombre infini de tennes, les h (m) ont une
], infiuite de valeurs non nulles; Ie filtre est dit a reponse impulsionnelle infiuie ou
~ encore de tYP'e recursif, car il faut realiser sa memoire par une boucle de reaotion
g de la sortie sur l'entree. SOl) fonctionnement est 'regi par une equation selon
• laquelle un element de 1a suite de sortie y (n) est calculee par 1a somrnation ponde.§ ree d'un certain nombre d~61ements de la suite dlentree x(n) et d~ un certain
~ nombre d'elements de la suite de 's0rtie l?recedents. Par exemple, si L et K sont des
...J
entiers, Ie fonctionnement du filtre peut etre defini. par l'equation suivante :
l
1i
o5'
@
Introduction
4
L
K
l=O
k= l
y(n).= L a,x(n-l)- L .hKy (n - k )
Les a,(l = 0., 1, ... , L) el bk(k = 1, 2, ... , K) sont les coefficients. Comme pour les
filtres analogiques, I' elude de ce type de fillre ne se fait pas en general simplement
de manie-re directe; il est neeessaire de passer par un plan transforme. La transformatlbn de Laplace ou 1a transformation de. Fourier pourraient eire utilise"es'.
Cependant, il existe une transformation beaucoup mieux adaptee, la transfonnahon en Z, qui est l'equivalertt J?our les systemes discrets. Un. filtre est caracterise
paT sa fonction de transfert en Z, designee generalement par H (Z), et qui fail
illtervenir les coefficients par t:equation suivante:
L
L aZ- '
l=O I
,H (Z) = ~-.'oK-l +LbZ- k
k= 1 k
Pour obtenir la '''ponse. en frequence du filtre, iI suffit de remplacer dans:H (Z) la
variable Z par I'expression suivante au [design" la variable (requence et T la
periode d'echantillonnage des signaux:
Z=e J21tf T
Dans cette operation, a l'axe imaginaire, dans Ie plan de Laplace, correspond
Ie cercIe de rayon unite centre a l'origine dans Ie plan de la variable Z. Il apparait
clairemenl que la r;;ponse en frequence du filtre diifini par H (Z) est une fbnction
periodique ayant pour periode la f):equence d'echantillonnage. Une autre'representation de 1a fonction H (Z) est utile pour la mnception des fillres et j'etude d'un
certain nombre de pToprietes, Gell e qui fait apparaitre les raeines du numerateur
appelees zeros du filtre, Z,(l = 1, 2, ... , L) et les racines du denominateur appelees
poles, Pk(k = 1, 2, .. . , K) ;
L
IT (l_Z,Z-l)
H (Z ) = 'Go :-1~c:'l~ _ __
K
IT (l-P Z-l)
k=l
k
Le terme ao est un facteur d'echelle qui definit Ie gain du filtTe. La condition de stabilite du filtre s'exprime tn38 simplement par la contrainte suivante : tous les poles
doivent etre al'interieur du cercle unite. La position des poles et des zeros par rapport au cercle unite, permet une appreciation tn~s simple et tres utilisee des carac-
teristiques du filtre.
Un ensemble de ql.l~tre chapitres: est c.o fisacre a 1'etude des caraete-ristiques
de ces filtres numeriques. Le chapitre TV presente les proprietes des systemes
lineaires discrets invariants dans Ie temps, rappelle les proprietes principales de la
Introduction
5
transformation en Z et donne les elements necessaires al~etude des filtres. Le chapitre V tr~ite des filtres. ~ reponse impulsionnelle finie : leurs proprie!es sont etudiees, les. techniques de calcul des coefficients sont decrites ainsi que les structUres
de realisation. Les filtres areponse impulsionnelle infinie etant generalement realises par Une mise en cascade de cellules elementaires du premier et second prdre; Ie
ch~pitre VI deerit ces eellules et leurs proprietes, ce qui d'une p,art facilite considerablement l'appmche de ce type de systeme el d'aulre part fournit un ensemble de
result~ts tres utiles dans la pratique. Le Gh~pitre VII donne les methodes de calclll
des coefficients des filtres a repanse impulsionnelle infinie et traite les problemes
apportes par la realisation, aveo les limitations qu'elle implique et leurs conse"
quences, en particulier Ie bruit de calcul.
Les filtres it reponse impulsionnelle infinie ayant des proprietes comparables it
celles ges filtres analogjql)es continus, 11 est naturd d'envisager pOl,lr leur realisation des strll-otures du meme type que celles qui sont couramment employees en tiltrage analogique. C'est l'objet du chapitre V1II qui presente des structures en
chaine. Une digression est faite avec les dispositifs acommutation de capacites, qui
ne sont pas de type nUl11erique au sens strict, mais. qui sont neanmoins de type
echantillonne et sont des complements tn3s utiles aux filtres numeriques. Pour guider 1'4tilisatvllr, \.ll1J~s\-lrne des me:.rit~s respectifs des struct4res deGrit~~ ~st donn~
en fin de chapitre.
Certains equipenlents, par exemple en instrumentation ou dans Ie domaine des
telecommunications. font intervenir des signaux representes par une suite de
nombres complexes. Dans l'ensel11ble des signaux de ce type, une categorie presente
un interet pratique notable, cene des signaux analytrques. Leurs propri6tes sont etudi"es au Ghapitre IX, ainsi qu~ 1a conception des clispositifs adapres it la generation
ou au traitement de tels signaux. Des notions complementaires sur Ie filtrage sont
egalement donnees dans ce chapitre, qui presente l d'une maniere unifiee, les principaJ,es techniques d'inteJpolation.
Les machines de t raItement numerique, quand ciles fonctionFlent en temps
reel, operent a'TIne cadence etroitement liee a la frequence d'echantillonnage des
signaux et leur complexite depend du volume d'operations 'il faire et de l'intervalle
de temps disponible pOllr les realiser. La frequence a'echantillonnage des signaux
est generalement irnposee al'entree ou a la sortie des systernes, mais a l'interieur
du systeme lui-meme, i1 est possible de la faire varier ,pour Padapter aux caracieTis• tiques du signal et du traitement~ et ainsi de reduire Ie volume d'operations et la
·m cadence des calculs. Une simplification des machines, qui peut etre tn3s importante,
], est obtenue en adaptant t<Jut au long du traitement la fr"<quence d'echantillonnage
~
ala largeur de bande du signal utile, c'est Ie filtrage mlllticadence presente au chao
~ pitre X. Les incidences sur les caracteristiques db traitement sont decrites ainsi que
les methodes de realisation. Des regles d'utilisation et d'evaluation sont fournies .
.§ Cette technique donne des resultats particuJierernent interessants pour les filires a
:; bande passante 6troite ou pour Ia mise en reuvre d1ensembles appeles banes qe
...J
filtres. Dans ce dernier cas, Ie systeme associe a un ensemble de circuits dephaseurs
1i5 un calculate-ur de Transformee de Fourier Discrete.
"
l
~
o
©
6
Introduction
Les banes de filtres pour 1a decomposition et 1a reconstructien des signaux
sont devenu$ un Dutil de ba,se pour la compression. Leur fonctionnement est decrit
aux chapitres 11 et 12 avec les methodes de calcul et les structures de realisation,
Les filtreS' peuvent elre determines a partir de specifications dans Ie- temps;
c' est Ie ca,s par exemple qe, la modelisation d'un systeme comme decrit au chapitre 13,
Sf les caracteristiques varient, il peut eire interessant de modifier les coefficients en
fon ction des evolutions du systeme., Cette modification peut dependre d'un critere
d"approximation et se faire a Une caaence qui peut atteindre la cadence d'6chantill6nnage du systeme; alors Ie liltre est dit adaptatif. Le chapitre 14 est consaore
au filtrage adaptatif, dans Ie cas Ie plus simple, mals aussi Ie plus courant et Ie plus
utile, celui au Ie critere d'approximation retenu est 1a :minimisation de l'erreur quadratique moyenne et au les variations des coefficients se font suivant l"algorithme
du gradient. Apres un ensemble de rappels donnes au chapitre 13 sur les signaux
aleatoires et lellfs proprietes, en particulier la fonction et la rnatrice d'a-qtocorrelation dont les valeurs propres jouent un role important, l'algorithme du gradient est
presente au chapitre 14 et ses conditio~ de convergence sont etudiees. Ensuite les
deux parametres d'aqaptatio.n prirtcipaux, la constanle de temps et l'erreur residuelle sont analyses, ainsi que la complexite arithmetique. Differentes structures
de r~aJisa.tion sont proposees.
Pour terminer, Ie chapitre 15 decrit brievement quelques applications, en
montr,ant comment les methodes et techniques de base, sont exploitees.
Chapitre 1
La numerisation du signal
Echantillonnage et codage
La conver-sion d'un signal analogique SOllS forme numerfque implique une double
approximation. D'une part, dans I' espace des temps, Ie signal fe nction du temps
s (t) est r emplace par ses valeurs s (nT) a des instants multiples entiers d'une duree
T; c'est l'operation d'echantillonnage. D ' autre part, dans i'espace des amplitudes,
chaque valeur s (nT ) est approchee par un multiple entier d' une quantite elementaire q ; c'est l'operation de quantification. La valeur approchee ainsi, obtenue est
ensuite associee a un nombre ; c ~est Ie cm;lage, ce terme etant souvent utilise pour
designer I'ensemble, c'est-a-dire Ie passage de la valeur s (nT ) au nombre qui la
represente.
L'objet du present chapitre est d 'analyser I'incidence sur Ie signal de ces deux
approximations.
Pour mener a bien cette. tache, on utilise deux Gutils de base qui sont l'analyse
de Rourier et la theorie des distributions .
.'!:::i
'1i 1.1
L'ANALYSE DE FOURIER
."••"
L'analyse de Fourier est un moyen de decomposeT un signal en une somme de
signaux
61ementaires particuliers, qui ont la propri6t6 d'etres faciles: a mettre en
],
ceuvre
et
a observer. L'intere t de cette decomposition reside dans la fait que l'a
•
g reponse au §igpa! d~un systeme obeissant au prin,cipe de superposition peut etre
.~ deduite de la reponse au~ signaux eh~mentaires. Ces signaux elementaires sont
§ periodiques et complexes~ afin de permettre une etude en amplitude et en phase
ides systemes; ils s' expriment par 1a fonction s, (t) telle que :
s, (t) ~ el~'f' ~ cos (2T[ft) + isin (2nft)
(1.1)
ou frepresente Finverse de la periode, c'est la frequence du signal elementaire.
1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et (adage
8
Dans la mesure ou les sig;naux 61ementaires .so nt periodiques, il est ciair que
l' analyse se simplifie dans Ie cas ou Ie signal est lui-meme periodique. Ce cas va
6-tte examine d~ abord, bien qu~i l ne corresponde pas- aux signaux les plus in teressants, puisqu' un. signal periodique est parfaitement determine et ne porte pratiquement pas d'information.
1.1 ..1 Developpement en serie de Fourier d'une fonction periodique
Sait set), une fonction de la variable t p€riodigue 'et de p6riode T, c'est-il-dire satis[a[sant la relation:
(1.2)
s(t+T ) =s (t)
Sous certaines conditions, on demo ntre que· cette fanction est d6veloppable en
serie de Fourier, c'est-a-db::e que l'€ga lite suivante est verifiee :
w
S (t) =
~
n=- m
Cne i - rr
(1.3)
L'indice n est un entier et les en sont appeles les coeffieients de Fou:rieJr; ils
so.nt de-finis par 1'expression :
1
Cn = T
JT0 s (t) e- i 2=lrr dt
(lA)
E n fait les coefficients de Fourier minimise-nt F6"cart quadtatique entre la fonction s (t) et Ie develo ppement (1.3"). En effet la valeur (1.4) est obtenue en derivant
par rapport alj coefficient c!'inc!ice n l'expression:
et en ann ul ant cette derivee.
Exemple ." developpemen t en serie de Fourier de la fonction fp (t) constituee
p·ar une suite d'impulsions, separees par la duree T, de 1argel!lI 't et d'amp litucle a,
centree sur l'origi'ne des temps (fig. 1.1 ).
p (I )
.=.
-
-
T
,
rr
i
I
FIG . 1.1.
Suite d'impulsions
1.1
9
L'analyse de Fourier
Les coefficients C.n :s~ecrivent:
1 fTf2.
a't
C = ae-j2nntrr dt = n T --v2
T
sin(ITn~)
~
ITn
(1.5)
T
el 1e developpement est donne par :,
/1 = - 00
.~
(1.6)
ITn-
T
On imagine l"importanee que prend eel e)!emple dans l'elude des systemes
eehantillonnes.
Les proprietes des developpements en serie de Fourier sont presentees dans l'ouvrage [1]. Une proprlete importante est exprimee par regalite' de Bessel·Parseval
qui traduit Ie fait que dans 10 demmposition du signal il y a eonserv'ltion de la
puissance :
(1.7)
Les signaux 6lementaires qui resullent de la decomposition d'un signal periodique
1
ant des. frequences qui sont des mUltiples enhers de T' Tinverse pe la perioae; iis
couvrent un ensemble disoret de l'espace des frequences. Par contre si Ie signal
nlest pas·,periodique, les signaux ei6mentaires resultant de la decomposition couvrent un domaine continu de l'espace des frequences.
1.1.2 Transformation de Fourier d'une fonctioh
,o Spit s (t) une fonc;:tion_de La variable t: SOliS certa,ines c;:onditions on demOJ1treTega-
."•••• lite
suivarlte :
],
•o
s (t) ~ [S(fJe i2nl' ~f
(1.8)
S,(!l ~ [
(1.9)
o
c
•
"6...
8o
avec
"0
~
~
•
s (t) e:~j'I"'ft (it
~
1i
8 La fonction.SCt) estla transformee de Fourier des (t ). PIllS eommunementS(f) est
@
appele-spectre du signal s et).
1 • La nUmeration du signal. tchantiJlonnage et codage
10
Exemple: soit a calculer la transformee de Fourier 1(f) d'une impulsion isulee
i (t) de largeur 1;, d'amplitude a et cent'r6e sur l'origine des temps (fig. 1.2)
1(1) ~ [ . i(l) e-, 2'ft dl ~ a
r:
e- i2¥ dt
I (f) ~ a1: sin (ref1:)
refT
(1.10)
[if)
_.L
T
FIG. 1.2.
impl{lsion iso!ee
FIG. 1,3.
.L
f
or
Spettre de l'ilflpHi8ion iso!ee
La figure 1.3 represente la fonction 1(f), qui sera tres frequemment utilisee
par la suite. IL est important de remarquer gu'eUe s'annule 'am freguences multiples entlers non nuls de l'inverse de la duree <;Ie l'impulsion.
L' Annexe 1 donne lIne tabulation de ceUe fonction.
La correspondance entre coefficients de Fourier et spectre apparalt nettement
sur cet exemple. En effet, en rapprochant leg relations (1.6) et (1.10) on veri fie gue,
'all filctew } pres, les coefficients dll developpement en s6rie de Fourier de la
suite d l lmpulsions. correspondent aux vaJeurs que prend le spectre- de- Fimpulsion
isolee aux frequences multiples entiers de J'inverse de la periode des impulsions.
En fait, on a la relation ~
Cn~ ~ s(;)
Dne relation comparable a l'egaIit6 de BessehParseval existe pour une fanction non periodique. Dans ce cas, c ~est non plus la puissance mais l'energie du
signal qui se troll-ve conservee :
(1.11 )
Soit s'(I) la derivee de la fonctions .(t); sa transformee de Fourier Sd(f) s'ecrit :
Sd(f) ~ [
e- i2nft , s'(I) dl~ }21O[.S(I)
(1.12)
Ainsi prendre la derivee d'un signal atnene unemulti'pliaation de son speetre par
}21O[
Une propriete essentielle de la transformation de Fourier, qui est en fait la
principale rai~on de soh utilisation, est qu'elle transforme un produit de convolu-
1.1
11
L'analyse de Fourier
tion en un produit simple. En effet soit deux fonctions du temps xl!) et h(1) dont
les tr&nsformees de Fourier sont respectivement X (f) et H (f). Le prodtiit de
convolution y (t) est defini par ,
y(t)=x(t) * h(t) .= [X(1-1:)h(1:) d1:
(1.13)
La transformee de: Fourier de ce prQciuit s'ecrit:
Reciproquement, on fnontre que la transformee de Fourier d'un produit simple est
un produit de Gonvolution.
Un re-su1tat interessant pour l\~tude de l \~chantillonnage et se rapportant a
I'exemple ci·dessus· peut etre deduit directement de ces proprietes. En effet soit it
c.leuler la transformee de Fourier 1I(f) de la fon'etian i 2 (t); d' apre~ les relations
(1.10) et (1.13), it vient:
net) = 1(1) • l(f) = a l(f)
(1.14 )
et par suite ;
1:]
1 sin (n[1:)
,[ sinn'l'1:(nqrr) . sinn:[n(f-<p)
(f-<p)'t
d<p=;c
n['t
n
En prenantt = ~,pourtout entier. n non nul, on a :
m
r
. _ <
"li
.S!
VI
],
Les fauctions
sin (n'l'1:) sin [n( <p1: -n)]
_
rtqrr
. n (<p'C-h)
d<p -G
(1.15)
sin 'IT (x- n)
I'
_) ' avec n entier, formeDt un ensemble de fauctions artho'11',x.-rt
gonales.
La definition et les proprietes de la transformation de Fourier s'etendent aux
c
.~ fonctions de plusieurs variables. Soit S (Xl' X 2 , ,.,' Xn) une fonction de n variables
•:5
g reelies, ia transformee de Fonrier est une fonction .S(A '-:" ... , An ) definie par :
"
"0
~
;
S(A" '-:,"/-n)
(1.16)
1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et (adage
12
-Si la fanction S (X 1,X2 , ...• ,xn) est separable clest-a-dire sl:
S(Xi , X2' "' '''n) ~ S(Xl) s(x2) .•. s(xn) alors il vient :
S("" A", ... , I.n ) ~ S{l.j ) S(A,,) .. . 5(l.n )
Les variables xJl ~ i ,;;; .n) representent souvent des distances, par exemple
da,ns I" cas bidimensionnel, et les I.; sont alars oppelees fr"quences spatiales.
Dans F6tude des signaux echantillonnes, la transfo rmation de Fourier va etre
appliquee aux distributions.
1.2
LES DISTRIBUTIONS
Les-distributions mathematiques constituent une definition mathematique correcte
des distributions rencontrees en 'Physique [1].
1.2.1
Defihition
On appelle distribution Dune fonctionnelle lineaire continue sVr l'espace vectoriel
'!lJ des fonctions defihies sm ~n, indefiniment derivables et a support borne.
A toute fanction c:p appartenant aS1i, la distribution D associe un nombre COlllplexe D ( <p), qui sera aussi hote par (D , <p), aVec les proprietes ~
- D(<P1 + <P2) ~ D(<P,) +D('P:,).
- D(I.<p) ~ I.D(<p) ou I. est un scalaire.
- Si <Pj converge vers <P quand j tend vers l'infini, la suite D (<p) converge vers
D (<p) .
Exemples:
• 51f(t) est une fonction sommable sur tout ensemble borne, elle dMinit une
distribution Dt par :
(117)
• Si <p' designe la derivee.de <p, la fonctionnelle :
(I), <p) ~ [ f (t) <p' (t) dt ~ (f, <p')
(1.1S)
est une distribution.
• La distribution de Dirac 0 est definie par :
(1.19')
L& distribution de D i.rac au point r~e)", " s\ d6finie par ;
(o(t-x), <p) ~ <p (x)
On dit que cette distribution represente la masse- + 1 ali pointJ;".
(1:20)
1.2
Les distributions
13
• Soit l'impulsion i (t) de duree ~, d'amplitude a ~ ih, centree sur l'origine.
Elle detinit une distribution Di :
1
(D i , q» ' ~ ':t
JY' <pet) 4t
-'"
Pour des valeuTs de 't tres petites on obtient :
CDi , q» = q>(O)
c'est-a-dfre qlle Ia distribution de Dirao peut etre .consideree comme la limite,
quand ~ tend vers 0, de I",distrlbution D i .
1.2.2
Derivation des distributions
' li . 1 d' . , aD d' une d' lstn
" b utlOn
' D par 1a rel atlon
' :
O
. -n de rut a envee - at
aD
__ D (lq>
( at ,q» -
<-, at )
(1.2.1)
Soit par exemple Ia fonction Y de Heaviside. QU echelon unite, egale a a $i
t < 0 et + lsi 1 ~ 0,
(i22)
11 en resulte que la discontinuite de Y apparait $OUS Ia forme d'une masse p<>llCtuelle unitaire dans sa derivee ..
Cet exeR:lple illustre un interet pratique considerable de Ia notion de distribution,
qui permet d1etendre aux fonctions discontinues un certain nombre de concepts et
de propri6t6s des fonctioIl$ continues .
.'!:::i
~,o 1.2.3 Tr'ahsfotmation de Fourier d'une distribution
,
."
:
Par definition la transforrnee de Fourier d'une distribution D est une dlstril;mtion
~
notee FD telle que :
,
•
o
o
c
.~
8o
'0
~
~
•
(FD . q» ~ (D, Fq»
Par application de 'c ette definition aux distributions asupportponctuel il vient :,
(Fo, q» ~ (0, Fq» ~ [
~
-g
§
o
@
(1,23)
Par suite: Fo~l ,
DememeFo(t-a) ~ci2'f~,
q> (t) dt ~ (1, q»
(l.24 )
1 • La nUmeration du signal. tchantiJlonnage et codage
14
Un cas fondamental pour l'etude de l'echantillonnage est celui que constitue
13 suite des d~tributions de Dirac.decalees c!e T, notee /J eUelle que :
1: o(t-nT )
U(I) ~
(1.25)
7/.=-m
eette suite est line distribution de masses unitaires aux points dont Fabscisse est un
multiple entier de T. Sa transformee de Fourier s'ecrit:
Fu ~
w
L
ci2nfnT ~ U(f)
(126)
n=-m
CJn demontre que cette somme est en fait une qistribution ponctuelle.
Une demonstration intuitive peut etre obtenue a partir du developpement en
serie de Fourier de la fonction ip (t) constituee par la suite d!impulsions s6parees
p.ar la duree T, de largeur~, d'amplitude 1/~; centree sur l'origine des temps.
En effet on peut considerer que: U(I) ~ lim ip (I).
, .... 0
En se reportant a la relation (1.6) on trouve :
U en resulte que :
U(f)~
.
1
11m i (I) ~ T
't"-o+O
L
rl= -
p
(1.27)
00
Cette propriete fondamenlale demontree dans 1'0uvrage [1], ainsi que dans 1'0uvrag~ [2], slyxprime comme SlJlt:
La transformee de Fourier de la distribution temporelle comportant une
masse unitaire en chaque point dont Pabscisse est un multiple entier de Test une
distribution frequentielle comportant la masse llT aUK points dont I'abscisse est un
multiple en tier de 1fT.
Ce resultat va etre utilise pour etudier l'echantillonnage d1un signal.
La propriete que possede la transformation de Fourier d'echanger convolution et multiplication s'applique egalement aux distributions.
Avant d'etudier les incidences sur Ie signal des operaticms d'echantillonnage
et quantification, it est utile de caracterlser les signaux qui sont les plus frequemment traltes.
1.3
LES PRINCIPAUX SIGNAUX TRAITI~S
Les signaux sont defin~. par qne fonction du temps set) . Cette [onction peut etre
une expression analytique ou la solution d'une equation differentielle, auquel cas
Ie signal est appele determini~te.
1.3 Les prindpaux signaux traites
1.3.1
15
Les signaux deterministes
Les signaux de ce type les plus utilises sont les signaux sinusoldaux; par exemple :
s (t) ~ A cos (rot '" O()
au A est l'amplitude, ro ~ 21tfla pulsation et 0( la phase du signal.
TIs sont faciles a reproduire, a reconna'ltre aux differents points d'un systeme
et offrent une possibilit6 de visu~lisation simp1e des caracteristiques. D e plus,
comme indique aux parag'raphes precedents, ils-se.rvent de base ala decomposition
d'un signal deterministe que1conque, par l'intermediaire de la Transformation de
Fourier.
8i Ie systeme considere est lineaire et invariant dans le temps, il peut etre caracterise par sa reponse en fre,[uence H( ro). Pour chaque valeur de la fre,[uence, H(ro)
est un nombre complexe dont Ie module est l'amplitude de la reponse.. Par convention on designe par phase de la-repanse du systeme la fonction q>( ro) telle que:
H(ro) = IH(ro) 1e-i'Pi,w)
(1.28)
Cetle convention permet d'exprimer Ie temps de propagation de gr(lupe ~(ro),
fonction positive dans les systemes reels, par:
dq>
~(ro) ~ dro
(1.29)
Le temps de propagation de groupe fait reference aux lignes de transmission,
sur lesqueUes les differente$ frequences d'un signal Se prop agent a des vitesses differentes~ ce qui entra'ine- une dispersion dans Ie temps de l'energie du signal. Pour
mustrer cette notion, sojt deux frequences proche-§ m ± Am auxquelLes corn~,spon­
dent les phases par unite de k>rrguem q> ± "'q>. Le signal somme SOecrit :
set) = cos [(ro + "'ro)t - (q> + ""p )] + cos [(ro- "'roJt -( 'P - "''Pl]
ou encore
s (t) = 2 cos (rot - 'P) cos ("'rot - "''P)
C'estun signal module et il n'y 'a pas de elispersion si les deux facteurs sub issent Ie meme ,fetard par unite de longueur, c'est-a-dire si Aql/Aco est une constante.
• Le temps' de propagation de gn;)upe caracterise done la dispersion apportee aun
.~ signal par une ligne de transmission ou un systeme equivalent.
~
En appliquant au systeme Ie signal sinusoIdal set), on obtient en sortie 10
5 signal resultant s,(t) tel que:
"
Q)
c
.~
8o
s,(t) = A .IH(ro)1 cos [rot + 0(- 'P Cro l]
(1.30)
]
C~est encore un ·signal sinusoIdal et la comparaison avec Ie signal applique.
:; permet une vlsuaiisation de la reponse du systeme. On imagine aisement Pimpor-'
-g. tance de cette procedure pour les. operations de test par exemple..
§
Les signaux d6terministes cependant ne representent pas tres bien les signaux
o
,@"
reels, car, en fait, ils ne portent pas cl'information, 5i ce n'est pas leur presence.
~
1 • La numeration du signal. tchantillonnage et (adage
16
meme. Les signaux reels sont gen6ralement catacterises par une fonetion s(t) ale at.oire. Pour 1e test et l'analyse des systemes on utilise aussi des signaux a leatoire~,
mais qui presentent des caraoteris-tiques particulieres pour ne 'Pas compliquer exa-
gerement la generation e t I'exploitatio n. Une e t\ide des signaux aleatoires est [aite
dans Ie tome 2 de la reference [2].
1.3.2 Les signaux aleat0ires
Un signal aleatoire est d6fini a chaque instant ·t Par Ia loi de prc)babilite de son
amplitude set). Cette loi pent s'exprimer par une densite de probabilite p(x, t)
d6finle comme· suit:
.
Proba[x ,,;s(t),,; x+iU]
t)~ hm
p(.x ' M
--40
Ax
(1.31)
n est stationnaire si ces proprie-tes statistiques sont independantes du temps ,
c'est-a-dire que sa densite de probabilite est independante du temps:
p(x, t)~p(x)
II est c!l! second o.rc!re s'il possede un moment d'o.rc!re 1 appele valeur
moyenne , qui est I'esperance mathematique de s (t), notee E [s (I) ] et definie
par:
1))1(t) ~E[s (t)]~ [i.P(x,t)dx
e.t un moment d10rdre 2, appe16 fonctipn covariance:
E[s(t , ).s(t2)] ~"'2(t" t2) ~
f.
f/"·X 2.P (X , ,X2;t,,~) dx , dxz
ou p (x" Xi; t ~) est la densite de probabilite du couple de variables aleatbires
[s (t, ), s (t2) ]. "
Le caractere de stationnarite peut etre limite aux moments du premier et du
second ordre; on dit alor~' que 1e signal est stationnaire tPorrue 2 ou. starionnaire au
sens large , et pour un tel signal it vient:
E (s (t) ] ~
f.
x.p(x) dx=m ,
L'independance du temps se tradui! comme snit plJUf Ie densite de probabilite
p(x xz ;t t,):
"
"
avec
SeuLintervient l'ecart entre leg deux instants d'observation du signal ;,
E [(s (t,) . s (t2 )] ~ "'2 (~)
(1.3~)
1.3 Les principaux signaux traites
17
La fbnction r= ('0) telle que :
~yx("t) = E[s (t ) ,s(t-"tl J
(1.34 )
prenclle nom de'fonction d'autocorrelation du signal aleatoire, qu~ elle caracterise.
Un signal aleatoire s (1) possede aussi une rnoyenne temporelle m T , qui est
une variable aleatolre defih-i e 'par :
mT= lim -1 iT!2 set) dt
T-4""
T
(1.35)
---Tn
L'ergodicite de cette moyenne exprime Ie fait qu'elle prend une valeur d-e terminee
k. avec la probabilite 1. Pour un signal stationnaire, Fergodicile de la moyenne temporelle entralne l'egal1te avec la rnoyenne des amplitudes a un instant donne, En
effet prenons I'esperance dela variablemT :
E[mTJ=k=E
. -1JT12 E[s(t)Jdt=m,
. 1JT!2 s(t)dt]= hm
[ lim
T
T
c-
T----t <Z>
- 'IYl
T----t w
-Ttz
Ce resultat • des consequences pratiques importantes puisqu'il fournil un moyen
d'acceder aux propriefes statistiques du signal a un instant donne a partir de l'observation de ce signal au cours du temps.
L'ergQdicite de 1a covariance dans 1e cas -stationnaire est egalement tres interessante car elle conduit ala relation :
rxxC'O)= lim -1 JT!2 s(t)s(t-"t)dt
T----t ""
T
-Tn
(1.36)
La fonction d'autocorrelation du signal s (t), r=('0) est fondamentale pour l'etude
de$ signaux stationnaires d'ordre dellX ergodigues. Ses prinGipales propriete$..sont
les suivantes :
- C~est une fonction paire:
- Sqn maximum est al'origine. et,correspond a la puissance dlLsignal P :
ru (O) = E [s2(ilJ eo P
La densite spectrale d<; puissance est I. tranformee de Fourier de la fonc"•• tion d'autocorrelation:
'.,
•
]
(f>xx (t)~J· r>x("t)e-i2rrt<dt~2 r· r~t(t) cos(21tft)dt
Jo
•
'1C
8 En effet : r", C't) = s C't) * s (- 'OJ et, si S(f) desjgne la transfmmee de Fourier des (t),
•c
o
c
-§
~
-
(p
il vient :
~
•
~
1i
8'
@
(1 37)
Cette dern'iere propriete se traduit physiquement par Ie fait que plus Ie s'igMI
e~t it vr;triation rapide, eest-a-dire plus son spectre s~etend ver:? les frequences 61e-
1 • La numeration du signal. tchantillonnage et (adage
18
vees, plus sa fonction d'a\ltocorrefation est etroite.. A la limite Ie signal est pureme-n t aleatoire e-t la fanction s'annule pour 't *- O. On se trolive en presence d'un
signal appel" bruit blanc , et tel que:
Txx('t') ~ Po'
Alors 1a densite spectrale--est constante:
En fait un tel signal n"a pas de realite physique pui~que sa puissance est infinie,
rnais i1 constitue un modele mathernatiql.le commode pour les signaux dont la densite-speetrale est quasi constante sur une large bande de fre-quenee.
1.3.3 Les signaux gaussiens
Parmi leg lois de probabilite que l'on peut considerer pour un signal s (t), il est une
cate-garie qui presente un grand interet,. celle des lois norm ales ou lois de Gauss.
En effet 1es distribution~ a1eatoires_normales conservent leur caraete-re normal
dans toute operation lineaire, par exemple la convolution par une distribution certaine, Ie filtrage, la derivatIon ou l'integration. Aus'si ces distrjburjons aleatoires
s·o.nt~elles, tres. utilisees. pour lamodelisation des signau~ reels. et Ie test des
systemes.
Dne variable aleatoire x est dite gaussienne si sa 10i de probabilite a une densitep (x) ql!i suitla 10i normale ouloi de Gauss:
1
(J ~ mY'
p (x) ~ cr V21t e. ~ ~
(1.38)
La valeur In est la moy.enne de la variable x; Ia variance d;l, est Ie moment d!6rdre
deux de la variable centree (x - "'); cr est aussi appele l'ecart-type.
La variable (
x~m )
est dit~ reduile, elle ·a: une moyenne nulle et un ecart-lype
unite. Dne tabulation et une. representation tres utile sous forme de cQurbe sont
fournies en annexe II .
Dne variable aleatoire est caracterisee par la loi de probabilite de son amplitude, mais aussi paT Fensemble de ses moments In m tels que:
(1.39)
Ces moments sont les coefficients du developpement en serie entiere d'une fonction F(u) appeJee fonction caracteristique de la variahle aleatoire x et cletinie par :
F(u) ~ r~ eiU< p (x) ax
L~
(1.40)
19
1.3 Les principaux signaux traites
C'est, a un changement de variable pres., la tran:s formee de Fourier inverse de la
dens'ite de probabilite p (x) et I'on a egalement:
1 J@ e-iuxF(u) du
p(x) = ~
2ft
(1.41 )
_CD
A partir- de la relation (l.40) on obtient Ie developpement en serie entiere suinn! ;
(ju)n
nTmr,
n=O
00
F(u ) =
L
(1.42)
Et pour une. variable gaussienne. centree. :
1
F(u) = '-2 q 2u 1
(1.43)
Par deyeloppement en s.erie et identification avec (1.42), on o btient tous les
moments :
_ (2n)! 2n
m2n - n!211 0'
Par exemple, pour n = 2, on obtien! til, = 3cr", Taus les moments d'ordre
impair d ~une variable gaussienne centree sont nuls, d'apres la definition de la 101 de
probabilite elle-meme.
La lo.i normale se generalise aux variab1es aleatoires plusieurs dimension:$
[3], La fqnction caracteristique d'une variable gaUssienne ak dimensions x (Xl' "" x k )
s'ecrit:
a
1
k
.h .
Z ;=
. ~ l YIJ u/uJ
F(""".1 t · ··, uk ) -- e - -2 i =l
(144)
avec ~
r ii = E (XiX!)
La densite de pwbabilite est obtenue par transformalion de FOUl:ier. Dans Ie
cas a2 dimensions il vient :
."••••
p (X,.",J =
•c
au r desighe Ie coefficient de earr~lation :
],
o
1
2TCOJ CJ 2
1
[ Xl
2",<,
xi ]
v:t=7f e - 2(1-") iij- 0,0, + OJ
1- r
(1.45)
c
•
'5.
8o
"0
f=
E(X,X2)
0'10'2·
~
~
•
Un s ignal aleatoire s (t) est dit gau$sien, si PQlif un ensemble de k instants
,
D'apres la relation (1.44) , la loi de probabilite de cette variable est completement definie par la fonctio)1 d'auto-correlation rll(~) du ~ignal s (t).
~
1ic ti (1 >0:; i <; k) la variable aleataire ak dimensions s = [set,), ... , s (tk )] est gaussienne.
o
©
1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et (adage
20
Exemple:
Le signal d6fini par les equations suivantes :
1'1
rll(~)~02e-Rc
(1.46)
(1.47)
est une approximation dlun bruit gaussien blanc d~utilisation courante dan§ Jlanalyse. des systemes au la mode-lisation des signaux. C'est un signal stationnaire de
moyenne nulle dont la densite spectrale n'est pas rigoureusement constante, mais
correspond a une' n'partition uniforme' filtree par un filtre passe-bas de type B,c. II
slobrient par amplifioation du bruit d'agitation thermique aux bornes d'une resistance.
La distribution normale peut eire obtenue a partir d' une distribution de probabilite p (x) uniforme sur I'intervalle [0, 1]. En eifel soit p (y) la distribution dite
de Rayleigh:
)I
_
L
p(y)~ 0 2 e 20'; y '" 0
qui a pour moment d'ordre deux ou puissance, 202 , pour moyenne
variance (2 - ;
(1.48)
~o et pour
)02.PaT unchangement de variable tel que :
p(x) dx~p(y)dy
il vient :
(1.49)
La distribution normale est obtenl.le en considerant deux variables' yet X independ antes et en posant :
z ~ y cos2nx
(1.50)
La demonstration fait inter'Venir la variable :
z' = y sin 21tX
En effet, en utilisant la correspondance entre cooTdonnees polaires et cartesiennes, on peut eCJire ~
p (z, z') dz dz' ~ p (z) p (z,) dz dz' ~ p (y)p (x) dx dy ~ p (z) p (z') ydJ!2rc dx
1.3 Les principaux signaux traites
21
d.'ou:
et finalement :
Cette procedure est couramment-.utilisee pour.' produire des signaux Gaussiens
nurneriques.
1.3,4 Facteur de crete d'un signal aleatoire
Un signal aleatoire est defini a chaque instant par une 101 de probabilite de son
amplitude, souvent telle que ceUe amplitude n'est pas bornee. C'est Ie cas des
signaux gaussiens, comme Ie montre rarelation (1.38).
Or Ie traitement d'un signal ne peut se realiser que pour une gamme d'amplitudes limitee et des operations de cadrage interviennent. Un parametrejrnportant
est Ie facteur de crete defini pout Ie signal co.nune je rapport d'une certaine amplitude Am ala valeur efficace cr, Par conventiDn cette amplitude Am. est souvent prisecomme la valeur qui n'est pas depassee pendant plus de 10-5 du temps. Ce rapport
est exprime en decibels (dB) par F, tel que:
(1.51)
au log designe le logarithme· en base 10.
Pour un signal gaussien Ie [acteur de crete est de 12,9 dB . Appliquee" un
signal sinusoidal celte definition conduit a un [acteur de crete de 3 dB.
Un modele stationnaire utilise pour representer le signal teiephonique est
constitue par Ie signal aleatoire dont la densite de probabilite des amplitudes suit
la loi exgonentielle, ou de Laplace, suivante :
,o
"••
'.
],"
(1.52)
Le [acteur de crete dans ce cas s'"liwe a 17,8 dB.
En conclusion, les fonctions aleatoires stati'onrtaires d 10rdre deux etgodiques,
~ caracterisees par une loi de probabilite des amplitudes et une fonction d'autocorre'1C
8 lation, permeitent de modeliser la plupart des. signaux a traiter et sont tres utilisees:
] d ims l'etude et l' analyse des systemes.
:;
En plus des possibilites de representation .des signaux :il e.st important de pou-g, vo.ir disposer d 1une mesure gIo baIe, par exernple afin de pouvoir suivre un signal
§ au COUTS du traiternenl. Une telle mestlre est obtenue en definissant des normes sur
o
.@'
la fonction qui 'fepresente Ie signal.
§
~
1 • La nUmeration du signal. tchantiJlonnage et codage
22
1.4
NORMES O'UNE FONCTION
Vne Dorme est une fanctian positive n.~elle; qui verifie les relations :
Ilxll ~ 0; kll,tll ~ Ilkxll
ou k e&t un reoel positif.
Dne categorie tres utllisee de norriles est rensemble des DQSmeS diTes
normes-Lp [4] :
La nOflne-Lp d\!lle fonction continue sCt) definie sur I'intervalle [0, 1] est
notee lis lip e! d6finie par:
1
Ilsllp~[J: Is(t)IPdt]"
(1.53)
Trois valeurs de,p sont interessantes :
- p~l :
lis 11, = J: Is (t)1 at
(L53-a)
(153-b)
c.' est I'expressio.nde I'energie du signal s.(t).
- p ~cp:
lis II. = max I_ (t)1
(1.53 -c)
O .,. t ~ l
Celte nor me est aussi appelee norme de Tchebycheff. Les normes son! utilisees
egalement dans les techniques d'appn<}ximation pour mesurer recart entre une
(onelipn f(li) et la fOlJc\ion a approcher F(x). L'app.r oxilj)ation ~st faite all selJS qes
moindres carres s1 la hOrme Lz est utilisee et au sens de Tchebycheff si la nOrme L.
est utilise-e.
Les normes -Lp peuvent etre generalisees par l'introduction d'une fonction de
ponderation n§.e lle positive p (x). La norme-Lp ponde-n~\e de la fonction d'ecart
[(x) -F(x) s'ecrit alors:
1
I [(x) - F(x)llp '"
U: If(x) - F (x) lp (x) Je
p
dx
(1.53-d)
Ces notions sont appliquees dans Ie calcul des coefficients des filtres el aussi des
facteurs d'echelle qui commandent Ie. cadrage. des donnees dims les memoires.
1.5 ['operation d'echantillonnage
1.5
23
L'OPERATION O'ECHANTILLONNAGE
L 'echantillonnage consiste a representer un signal fonction du temps s (t) par ses
valeurs s (nT) a des instants multiples entiers d' une duree T , appelee peri ode
d 'echantillonnage. Une telle operation s' analyse de fa,on simple et concise par
l'intermediaire de la theorie des distributions. En effet, par definition, 10 distribution de masses unitaires aux points de l'axe reel multiples entiers de la periode T,
associe a la fonction set) I' ensemble de ses valeurs senT) ou n est un entier.
Conformement aux notations precedemment retenues cette distribution est notee
II (t) et s'ecrit :
L
u(t ) ~
8(t-nT )
n=- <L
L'operatio n d'echantillonnage affecte Ie spectre S(f) du signal. Considerant la
relalion fondamentale (1.27), iI apparalt que Ie spectre U(f) de la distribution u (t)
est constitu6 de raies d'amplitude ~ aux frequences qui sont des multiples entiers
de la freguence d'echantillonnage Ie ~
~ . Par suile u (t) s' exprime comme une
somme de signaux 6lementaires:
1
tt(t)~T
L
e j2rrn11T
(1.54 )
n=-ro
Alors la suite des va leurs de signal senT) correspond au produit de I'ensemble
des signaux elementalres qui constituenl u (t) par Ie signal s (t). C'esHI-dire que
physiquement, l'operation d'echantillonnage est une modulation en amplitude par
Ie signal d'une infinite de porteurs a des frequences qui sont des multiples entiers
de la frequence d'echantillonnage
~ 1JT. Par suite Ie spectre du signal echantillonne comprend la fonction S(f), designee par la bande de base, ainsi que les
bandes images qui correspondent a la translation de la bande de base de multiples
entiers de la frequence d'echantillonnage.
L'operation d1echantillonnage et son incidence sur Ie spectre du signal sont
representees sur la figure 1.4.
t;
F IG. 1.4.
Incid ence spectrale de l' echantillonnage
24
1 • La numeration du signal. tchantillonnage et codage
Le spectre. du signal echantlllonn.e .s,(t) a pour expmssion 1e produit de
convoLution de .s(t) par U (f) soit :
.s,(t)~ -1
T
L
ill
S f- -n )
(
n = - <%l
T
(1 .55 )
nest important de remarquer que la fonction S,(t) est periodique. c'est-a-dire
que 1\3chanti11onnage a introduit une periodicite dans respace des frequences, ce
'qlli constitue line oaract6ristique fortdamentale des -signaux echantillonnes.
L'operation d'echantillommge telle qu'elle v ient d'etre decrite et que I'on
designe par echantillonnage ideal, peut sembler peu realiste, dans 1a mesme ou il
"'pporait difficile dans la realite d'atteindre, de manipuler au de restituer une valeur
d'-un signal a un instant ponctuel j les echantillonneurs reels au les circuits qui restituent les echantillons posseQent un certain temps d1ollverture. En fait on peut montrer que I'echantillonnage. ou la restitution d'echantillons par des impulsions ayan!
uneJargeur donnee; introduit simplement une modification du spectre du signal.
En effet dans l'operation d'echantlllonnage du signal S(I) par la suite d'impulsions s.oparees par la duree T , de largeur 1: et d' amplitude a, il s", peut que Fan
recueille a la periode n une quantite an qui slecrit :
nT + 'tf'l
crn ~ a
J 'e!2 s (t) dl
nT -
Cette quantite exprime Ie result"t de la convolution clu signal s (t) par l'impulsion elc:~mentaire i(t) et la fonction dont on pre.lfwe. dans ce cas les valeurs aux instants d'echantillonnage .nT est la fonction s * i; c~est-a-dire .que le signal echantillonne a po ur spectre non pas SCt) mais Ie produit :
S(f ) . a1:.
sin (Ttf~)
to[',;
Le raisonnement est Ie me-me pour Ie cas de la restitution d' echantillons avec
une duree ~. En fait c'est Ie produit de convolution des. echantillons S (nT) avec
I'imp ulsion elementaire i ll) qui est restitue.
D 'o11 la proposition:
L'echantillonnage ou la restitution d'echantillons par des impulsions de largeur
peut etre traite comme un echantillonnage ideal oU une restitution ideale, it la
coudition de multiplier Ie spectre du signal par Ie spectre de [',impulsion elementaire.
l'
En pratique des que ~ est faible devant la per.iode T la correction devient
negHgeable,
1.6. L'ECHANTILLONNAGE EN FREQUENCE
L 'echantillonnage considere ci-dessus est de type tempore!. Cependant les propri6tes enoncees sont aussi applicables a un echantillonrrage de type frequentiel.
1.7 Le theoreme de l'echantillonnage
25
Caicuions Ie spectre cl'une fonction periodique 'p (t) de periode T. Une teiie
fanction peut etre consiperee corhme resulta,nt du produit de convolution de la
fanetian. (t), qui prend les valeurs de 'p (t) sur une periode et .'annule en dehors,
et de la distribution ponetuelle u (t). II en resulte la relation suivaate entf.e les
transformees de Fourier :
(1.56)
En fait on retrouve les coefffcients du developpement en serie de Fourier de la
fonction ,p.et). Le cas au s (t) est une impulsion est repr€sente sur I? figure 1.5.
11 apparait que Ie spectre de la fonction periodique sp (t) est un spectre de raies.
qui constituent un echantillonnage du spectre de la fonc.tion prise sur une periode.
L~echantillonnage dans Pespace des frequences correspond a une periodicite dans
l'espace des temps. Celte interpretation est utile daIW I'analyse numerique des'
speotTes.
T
D
,..
. .
~-<;
1
T
FIG, 1.5.
.."••"
~ 1.7
•c
~.
-
'"
Spectre d'une suite d'impulsio.ns
LE THEOREME DE L'ECHANTILLONNAGE
o
~
.<e
Ce theoreme exprime. les conditions dans lesquelies la suite des echantillons d'un
8o signal represente correctement ce sign~l. Un signal est suppose etre correctement
] represente par: la suite de ses echantillons preleves avec la periodicite T s'il est pos; sible, a partir de cette ,Suite de vaieurs, de restituer integralement Ie' signal
d'origine.
L'echantillollnage a introduit 'TIne periodicite du spectre dans l'espace des frequences; restituer Ie signal d~origine·, c'est supprimer cette periodicite. c'est-a-dire
1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et codage
"liminer les bandes images, operation qui peut etre realisee a t'aide d'un filtre
passe bas' dont la fonction de transfertH(f) vaut lit, jlisqu'a la freql!ence f/2 et 0
HUX frequences superieures. En sortie d~un tel filtre 8iPparait un signal contlnu,
qu'H est possible d.'exprimer en fonclion des valeurss(nT) . La r.opanse impulsionnelle du lillre h!.!) s' €crit, d'apres ta relation (1.10) :
h (t) ~
sin (!ttIT)
mi T
Le signal de sortie du liltre, set), correspond au produit de cOl)volution de la
suite s (nT) p'ar la fonctioll h (t), soit :
' [
m
s(t)~ J_, n~m s(8) o(8-nT)
]
sin !t(t - 8)/T
!t(t-9)7T
d8
d'ou :
s(t)~ n~m senT)
sin n(tlT - n)
n(tIT-n)
(1.57)
C'est la fOfllllule de. calcul des valeurs du signal aux instants situes ,entre les
echantillons. Pour les mUltiples de la periode T elle fournit bien senT). Le processu~, de reconstitlltion du signal est representee Sl1r la figure 1 .6.
/'V".....
fit ;:; .1.
T
-.!!.
2
o
o
FIG. 1.6"
I.
f
T
t
Reconstitution du signa[ ,a pres echantillonnage
Pour ql!e Ie signal calcule set) soit identique au signal d'origine, il faut que Ie
spectre S(f) soit identique au spectre du signal d'origine. Camme Ie montre la
figure 1.6 cette cendition est verifiee si et seulement si Ie spectr.e d'origine ne.
contient pas de composantes aux frequences:superieures Oll egales afe/2.
Si ce n'est pas Ie cas,.Ies bandes images chevauchent 1a bande de base comme
sur la ligure 1.7, on dit qu'il y a Tepliement de bande, et Ie TIltre de restitution four-
1.8 tchantil/onnage de signaux
27
nit un signal different du signal d'origine. D'o ll Ie theoreme de l'eehantillbnnage
ou the-oteme de Shannon ;
Un ,signal qui De coutient pas de composantes a des frequences superieiJres QU
egales a uue-valeur fin est eutieremellf determine par la suite de ses valeurs a des
1
instants r.egulierementespaces de 1a diJree T = 2fm '
o
FIG. 1:7'.
-It2
,-1
• - l'
•f
Repliement de bande'
La frequence d'echantillonnage cl:un signal est ainsi determinee par la Iimit'e
superieure de sa bande de frequence.. Dans la pratique on 'limite generalement par
filttage la bande du signal avant echantillonnage it la frequence f" a une<valeur
in(erieure afel2 pour que Ie filtre de restitution soit realisable.
II est interessant de remarquer que la frequenee d'echantillonnage d'uR signal
est en fait determinee par la largeur de bande qu' i! oc!mpe; en effet la restitution a
He illustree sur la figure 1.6 pour un signai basse frequence auquel a ete associe un
filtre passe-bas. On con,oit que Ie meme raisonnement s'applique aussi a un signal
ocoupant un dQrnaine limite de l'espace des frequences auquel serait assode un
filtre passe-bande. Celte propriete est applicable en particulier aux signaux modules et est lltilis6e dans certains: types de filtres numeriques.
Le resultat donne a la fin du paragraphe 1.1.2 permet de presenter l'echantillonnage SlJUS un autre aspect. En effet, 1a relation (1.57) montre que l' echantillonnage correspond a une decomposition du siglllil s (t) swvant l'ensemble des.
sin rc(tlT - n)
fonctions orthogonales 1t(tiT _ n ) et Ie theoreme de Shannon exprime simple-
,o
.'••""
ment la condition pour que Get ensemble forme tine base de decomposition du
signal.
],
•o
o
~ 1.8 ECHANTILLONNAGE DE SIGNAUX SINUSO'iDAUX
1
ii
ET DE SIGNAUX ALEATOIRES
~
~
•
~
-g Les proprietes 6noncees ci-clessus sont bien illustrees par rechantillonnage de
g signaux- sinUs,oYdaux, dont les. particularites sont utilisables dans de hombreuses
@
applications.
1 • La numeration du signal. tchantiJlonnage et codage
28
1.8.1
Signaux sinuso"idaux
Soit Ie signal s.(t) = cos .(2ltft + <p), av.ec 0 '" <p '"
It
"2' ·echantillonne avec la
periode T = 11 f, = 1.
Les echantillons sont donnes par la suite s (n) telle que :
sen) = cos (2ltfn + <p)
Si Ie rapportf/f, = fest un nombre r.tionnel, il vient:
f= NlIN2 avec N1 et N2 enliers.
Alors:
s (n + N2) = cos [2lt f(n + N2) + <p] = s (n)
La suite s (n) presente la periodicite N2 et comprend au plus N2 nombres diff.§rents , D'autre part la frequence d'echantillortnage elant superieure au double de
1
la frequenee du signal, on a neeessairement : NlIN2 < "2. L'ensemble de N2
echantillons differents permet de representer un nombre de signaux sinuso'idaux
egal au plus grand entier ,i nferieur a N212. Par exemple si N2 = 8, avec- l'ensemble
des nombres : ·2 cos (21t ~ + <p), (n = 0, 1, ... ,7), il est possible de representer les
echantillons des 3 signauX' sinusoi.'daux:
2 cos (21t ~1 t + <p)
avec N1 = 1, 2, 3
A
2
V2
o
t
-'/2
- 2
FIG . 1.8.
EChantillonnage des signaux,' cos (2It
~ t)
La figure 1.8 Tepresente eet eehantillonnage pour <p = 0; dans ce cas il suffit
meme de 4 nbmbres: ± 2 et ± Y2.
1.8 ~chantillonnage de signaux
29
Sl l'on ajoute aux trois signaux sinusoldaux de 1a figure 1.8, Ie signal eontinu
de v!i1eur 1 et Ie signal 'it 1a frequenee 112 d'amplitude 1 qui s'eeri! : cos (m).
FechantlllQnnage de cette somrne donne des valeurs hulles sauf aux instants- multiple~de 8, ou 1a valeur 8 esl"btenue, conune 1e moalre 1a figure 1.9.a·. Le .spe~tre
de eette somme est obtenu direetement en appliquant 1" relation :
1
11 est forme de raies d'amp1itude 1 aux frequenees multiples de 118 (fig. 1.9.b). Ou
ce spectre a ete etudle au paragraphe 1.2, et l'on peut constater que 1a relation
(1,27') se trouve verifiee.
La possibilite d'engendrer une gamme de sighaux s-inuso'L'daux a partir dlun
ensemblt; limite de nombres, stockes par exemple dans une me-moire, est utilisee
dans les synthetiseurs de frequence numeriques.
A
8
------------------------------
2
o
2
5
3
6
7
B
t
.1
:t-rr-r-T-T-T-T-]
,
o
1
1
8
bl
FIG. 1.9.. a)
,o
.'••"•
h)
tchantillonnage du signal s(t) = 1 + 2
f.
/1-= 1
cos (27r
~~ t) + cos (m),
Spectre correspondani
•
],
•o
o
o
•
1,8.2 Signaux ah~atoires discrets
'<i-
S
] Si 1e signal a1eatoire set) est eehantillonne avec 1a periode supposee Unitaire
:; T = l,.il en resu1te un signal a1eatoire disc ret s(n.), qui a par definition I. meme 10i
de probabilite de l'amplitude. Les resultats obtenus dans 1e cas. continu se transpo~
sent au cas discret, en particulier pour les signaux aleatoires stationnaires du
second ordre ergocliques [5].
1 • La nUmeration du signal. tchantiJlonnage et codage
30
Ainsi la fonctioJl d'auto-correlation du signai discret s (n ) est la suite r(n) telle
que :
r(n) ~ E [sri ) .s(i - n)J
(1.58)
C'est un echantillonnage de la fonction d'auto-correlation r:u (~) du signal
aleatoire continu definie par l'expression (1.34) . Sa transfortnee de Fourier donne
la densite spectrale energetique if>,(t) du signal discret, qui est liee a la densite
spectrale if>u(f) du signal continu par une relation analogue a (1.55), c'est-a-dire :
(1.59)
Si la frequence d'6chantillonnage n'a pa~. une vale:l!lr suffisante, au::si Ie spectre
if>" U) s'etend sur un do maine non borne, il y arepliernent.
L' hypothese d'ergodicite. pour Ie signal discret s (n) conduit a la relation:
.
1
r(n ) ~ hm 2N
N---t'D
:N
+
1
L sri) s(i- n).
i=- :N
(1.6Q)
Cette relation pertne.t.d'llppliquer la notion de ionction d'auto-correlation allX
signaux deterministes. Ainsi, pour un signal periodique et de perfode. No, la fonction d1auto-correlation est la 'Suite .r (n) definie par:
1
r (n)~ -N
o
No-1
L s(i)s (i-n)
(1.61)
i =O
C'est une suite periodique et de meme perioqe,
E:remp.le .:
sen)
~ Asin (2" ~J
(i) ( i-n)
1 "hi
.2... A2 sin 2" N sin 2" N
o 1=0
0
'0
ren) ~ N
A2 ( 71 )
r(n) ~ ""2 cos 2" No
On ,etrouve bien la puissance du sig)1al pour r (0) et la perioclicite No.
Un signal aleatoire discret peut allssi eire defini en tant que tel. Par exemple si
la suite r(n) s'annule pour n
0, Ie signal s (n) est un bruit blanc discret dont la
*
densite spectrale est constante sur l'intervalle de frequence [- ~, ~
1
Ce signal a
une realite physique, c'est une suite de variables aJeatoires non correlees; pour
l'ob"tenir 11 suffit de faire appel a un algorithme qUi fournit des nombres statistique.ment independants.
.
1.8 ~chantillonnage de signaux
31
1.8.3 Generation d'un bruit discret
La generation de nombres aleatoires figure generalement au catalo.gue des fonc.tions des l.::a1cuJateurs scientifiques. 11 est ainsi possible en 10giciel de former une
suite de nombres, utilisable comme signal de test en traitement nume-ri que.
Au paragraphe 1.S.1 on a montre qu'il est particulierement simple de produire.
nurnerlquement des signaux sinusoi'daux; de tels signaux peuvent aussi servif a
sfmuler un bruit, par exemple par addition d~ un grand TIo rnbre de slnusoi'des de frequences differentes, d' amplitude constante et de phase aleatoire au pseudo-aleatorre. Ce.tte approche peut conduire a des realisatio~ particulierernent simples,.
comme la m6'thode qui a eli; normalisee pour l'appareillage de mesure utilise dans
les transmissions telephoniques numeTiques. Cette methode consiste a engendrer
une sequence pseudo-aleatoire, qui est une suite periodique de 2N - 1 bits cornprenant a une unite pres autant de «Zeros» que de ~~ uns>? et qui simule line suite ale-atoire dans. laquelle les bits seraienl .i ndependants el auraien! la probabiJite 1/2 de
valolr «zero» ou« un», ou pour centrer les variables, de valoir - 1/2 ou + 1/2.
Sf une operation de filtrage, qui en fait consiste. en une sornmation ponderee,
est effectuee sur une telle suite, les nornhres obtenus apres filtrage suivent une loi
de probabilite qui s'approche de la loi nannale.
Les sequences pseudo-alealoires sont eludiees dans la reference [6], elles sont
facilernent obtenues a l'aide d' un registre a decal age. a N bits, c.onvenablernent
bouch'. La figure 1.10 donne un exemple, utilise en appareillage de mesure, au
N ~ 17. Le polyn6me generateur s'ecrit ,
g(x) ~ 1 +x' +X17
(1.62)
pIx")
0,5
~---
I
I
I
-----
04
...-r-_
..
0,3
O.Z
0,1
-1
."••••
],
•c
1
2
1 x
5
FiG. 1.10.
Generateur de sequence pseudo-aliatoire et loi de pro.babilite apresjiltrflge
o
c
.~
§
"0
-a.
i
•
o
©
la suite comprend 2N - 1 ~ 131071 bits, elle est periodique et de periode
1
T ~ (2'1 - 1). >, si "): ~ T designe la periode de l'horloge du circuit. Le spectre est
JH
forme de raies distantes de
i· fH
Pour
=.370 kHz, l'espacement entre deux rales
est de 2,8 Hz et l'on !rouve 36 raies dans 100 Hz.
1 • La numeration du signal. tchantillonnage et (adage
32
En 'operant sur cette suite un filtrage a bancle etroite ql,li ne conserve que la
bande 450-550 Hz art obtient un ~ignal appro chant les caracteristiques gaussiennes,
dont Ie facteur de crete est de 10,5 dB et qui constftue tin excellent signal de lesl
pour les equip,ernents de transmission nurnerique. Si Ie filtrage est fait numeriqtle-
ment la 'suite de nombres obtenue peut elte lltilisee pour tester les equipeinents de
trait~ment numerique.
1.9
L'OPERATION DE QUANTIFICATION
La quantification est l'appro'ximation d" chague valeur duosignal s/t) par un multiple entler d' une qllantite elementaire q, appelee echelon de quantification. Si q
est. constant quelle que soit l'arnplitllde du signal, la quantification est dite uniforme. Cette operation revient a faire passer Ie signal dans un organe qui passede
une caracteristique en marche dlescalier, co mme ]e montre ]a figure 1..11 pour
q ~ 1, et fournit Ie signal sq (t) .
~
---'1 ~
' I- ( , 1. -
sIt)
FIG. 1.11.
U operation de qZlantijication
La maniere dont Fapproximalion e-st faite d6finit Ie centTage de cette caracteristique. Par exemple la figure represente Ie cas, appele arrondi, ou toute
valeur du signal comp6se entre en -1/2)q et (n + 1/2)q est ~rrondie a nq. C'est
l'approximation par defaut, qui est designee, quand elle porte .sur des. nombres,
paT troncation et qui consiste a approcher par nq toute la valeur comprise entre
nq et (n + l)q ; la caracteristiquese deplace ~lors de ql2 veLs·la c\roite sur l'axe
de s.,a bsclsses.
1.9 L'operation de quantification
33
L'ef{et de cette approximation e$t de superposer au signal d'origine un signai
d'erreur e(t) designe par di$toIsion de quantification ou plus communement par
bruit de quantification; il vien!:
set) ~s.ct) + e(t)
(1.63)
Vne illustration est donnee par la figure 1.12 dans Ie cas de l'arrondi. Les
amp litudes multiples impairs de q/2 sont appelees amplitudes de decision.
L'amplitude du signal d'erreur est comprise entre - q/2 et q/2. Sa puissance
mesure la degradation que subi! Ie signal.
Quand les variations du signal sont grandes par rapport a l'echelon de quantification, c'est-a-dire que la quantification est faite avec suffisamment de finesse, Ie
signa'! d!erreur est equivalent a'Un ensemble de signaux elementaires, constitues.
chacun par un segment de droite (fig. 1.13). La puissance d'Un tel signal e lementaire dy duree 't s'ecrit :
.
1["Z 2(1)
B~ -
"t
e'
1(q)2["
'I t ? dt ~ -q2
dl~ -
_:
"t"t
2
--'=
12
(1.64 )
2
- - - - - - - - - - - - - - - - - ......="""'-
sltl
.,(tl
."••••
- - - - - - - - --
FIG, 1.12.
Erreurde quantification
],
• (t)
•c
~
o
c
•
2
'D-
S
o
"0
~
~
•
-g
~
,.
o
@
------
FIG. 1.13. Signal d'erreur etementaiIe
o
t
1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et cadage
34
2
La '{aleur ainsi oblenue, B ~ i2' est une eslimatiom de la puissaruoe du bruit de
quantification suffisante dans la plupart des Gas reels.
La distribution spectrale du signal d'erreuFest plus difficile a cemer. Le spectre
du signal d'erreur e1ementaire de 1'a figure 1.13, E,(f), peut etre caleule a partir de
celui de sa derivee. Ains! en utilisant les relations (1.22) puis (1.12), oh abtient :
. .
1
E,(f) ~ j2rrf· q ·
[Sinrrf"
(rrf~)
]
- cos (rrf")
(1.65)
11 apparall que 1a plus gnmde partie de l'energie se trouve au voisinage de la
1
frequence
Dans ces condilions la repartilion spectrale du signal d 'erreur depend
:r.
ci'une part de la pente dl1 signal elementaire, e'est-a-dire en fait de la distribution
statistique de la derivee du signal .'(t), et d' autre part de la grandeur de l'echelon
de quantification q par TappDTt au signaL La reference [7] donne Ie calcul de ce
spectre pour un signal de bruit et fait 'appaYaltre un etalement en fonction de la frequence, quand Ie pas de quantification est suffisamment petit, sur un domaine qui
couvre plusieurs centaines de fois la largeur de bande du signal. Si Ie signal it quantiner n'est pas un signal aleatoire, Ie spectre du signal d'erreur peut se concentter
sur certaines frequences par exemple les harilloniques d'un signal sinusdidal.
Dans la conversion d'un signal analogique SOllS forme numerique, la quantification jntervient conjointement avec l'echantillbnnag.e, ces deu.x operations etartt
realisees successiverrient. Bien que l'echantillonnage soit en general fait en premier, il est equivalent de faire la quantification d1abord et l'echantillpnnage
ensuite, a une frequence Ie habituellement un peu superieure au double de 1a largeur de bande du sjgnal. Dans ces conditions Ie signal d 1eTreur a sQuvenl un
spectre qui s'etend biem au-dela de la frequence d'echantillonnage, et comme c1est
en realite la somme du signal et du signal d'erreur qui est echantillonnee, Ie phenpmime de repliement du spectre intervient et 13 totalite de l'energie du signal d'erreur se relrouve dans la bande de frequences [- [,12. f,/2]. La plupart du temps les
condltions' sont remplie& pour que la densite spectrale 6nergetique du brl1it de
quantification soit constante et Fon refiendra Ie re-sultat suivant :
Le bruit produit da:ns I'operation de quantification onifonne avec un echelon
q a one puissance q~i s'exprime en general par B = q 2/U et presente one repartilion spectrale constante dans la ban de de frequ.ences [-/,12,/,12].
n faut remarquer que .1a quantification des petits signaux, ceux dont I'amplitude est de I'ordre de grandeur de i'echelon q, depend beaucoup du centrage de 1\1
caracteristique. Par exemple avec. Ie centrage de la figure 1.11 un signal sinusoldal
d'amplitude inferieure a '112 est totalement supprime. II est possible cependant de
coder convenablement Ges petit& signaux en leur superposartt un signal auxiliaire
de grande amplitude qui est elimine par la suite.
Le cod age d'un signal introduit ainsi une limitation pour les faibles amplitudes
mais il impose egalement une borne aux fortes amplitudes.
1.10 La dynamique de codage
35
1.10 LA DYNAMIQUE DE (ODAGE
Le signal echantillonne et quantifie eN amplitude est fepre-senie par une suite de
nombres presque toujours so us forme binaire. -8i chaque nombre compte N bits,
Ie nombre maximum d' amplitudes quantifiees qu·it est possible de distinguer
s' eliwe a 2N. Alars la gamme des amplitudes qu'i1 est possible de coder est soumise a une double limitation: veTS les faibles valeurs eile se trouve limit6e par
I'echelon de quantificaHon q et vers les fottes valeurs par 2 N. q. Toute amplitude qui depasse celte valeur ne peut etre 'representee et it y a ecretage du ·signal.
11 s~en suit une ciegradatjon, par exemple par distorsion harmonique 8i Ie signal
est sinusoi'dal .
Si.la gammet des amplitudes a coder couvre Ie do maine [-Am' + AmJ , iI vient :
Am~2Nq/2
(1.66)
et a'autre part, 'avec l'arrondi, Ie signal d~erreur e(t) est tel que:
On appelle puissance de crete d'un codeur la puissance du signal sinusoidal
ayant I'amplitude maximale admissible sans ecretage, Am' Elle s:exprime par ~
p, ~~. [2N2·qr~22N- 3 .q2
La figure 1.14 represente ce signal avec Ie pas de quantification et les amplitudes
de decision.
z
- - - - - - - +Am
-r--------~------_+--O
.'•••"•
],
•c
o
c
•
___ _ Am
'1C
8o
'0
~
~
•
1i
~
8
"
FIG. 1.14.
Puissance. de crete 'du. .codeur
On definit la dynamique du cod age comme Ie rapport de cette puissance de
crete a la puissance du bruit de quantification; c'est en fait Ie rapport signal a bruit
1 • La numeration du signal. tchantillonnage et codage
36
maximal pour un signal sinusoIdal avec codage unl£orme.• Cette dynamique s'exprime par la formule suivante ;,
ou plus commode-ment en decibeLs :
(1.67)
Cetle formule, d'une grande utilite pratique, relie Ie nombre de bits du codage
a la plage des amplitudes qui peuvent etre codees.
Tn3s souvent cependant Ie signal a coder n'est pas un signal sinusoIdal. 11 est
possible toutefo.is qe se ramener a ce cas si, pour Ie signal a coder, est d6finie une
puissance equivalente de crete, qui est alors prise comme puissance de crete du
codeur. Le cas des signaux ah~atoires gaussiens, est particulierement important car
ils repre~entent Gonvenablement beaucoup de signaux rencontres en pratique. II
faut alors positionner cortectement Famplitude maximale du codeur par rapport a
l' amplitude du signal, de [a,on ii ce que I. disforsion introduite par ecretage reste
dans 'les limites imposees.
En examinant Ie tableau donne en ann eKe 2, on peut remarquer que 1a probabilite pour que l'amplitude d'un signal de moyenne nulie et de puissance 0 2
de-passe 3,4 0 est inferieure a 10- 3 La fi~ur" 1.15 donne un exemple de codage
avec 0 ~ q . II appaTal! que la prQbabilite d' ~cretage est inferieure a 5.10- 4 avec les
vaieurs de parametres choisie.s.
x
4.
./.
3 0.004
2
o
-1
-2
-3
-4
'F.!4, 1.,15,
Cbdage d'un signpl gaussien
1.11 Codage non linealre suivant une loi segmentee
37
Finalement, pour obtenir Ie rapport signal abruit maximai associe a un signal
donne, il faut consiqerer Ie rapport signal a bruit ae crete ;
(SIB), ~
A2 q2
12 = 3 , 2N
et soustraire Ie facteur de crete Fc' L'expression generale du -rapport ·s~gnal abruit
maximal pour un signal 'l.uelconque est done la suivante :
(S/B)m~ ~ 6,02 N t 4,77 -F, dB
(1.670is)
Ce resultat est utilise hon seulenient dans la specification des codeurs de
signaux analogiques mais aussi dans ie traitement numerique pour la determination des memoires de donnees et'le ca,drage des hombres.
La dynamique de codage, pour un nombre de bits donne, peut etre considerablement augmentee si Ie codage est fait avec un echelon de quantification qui varie
avec 1'amplitude du -signal; c'est Ie codage non linea,ire. De nombreuses 'lois de
variation peuvent etre envisagees. Cependant il en est une qui est particulierement
importante puisqu'elle a ete' normalisee P1IT l'Union Internationale des Telecommunications (UIT) pour Ie cod age de signaux telephonique dans les [eSeaUX
de telecommunications, c'est 1a loi segmentee a13 segments [8].
1.11
(aDAGE NON LlNEAIRE
SUIVANT UNE LOI SEGMENTEE
Dans l'operation de codage non lineaire suivant la Ipi segmentee a13 segments, les
amplitudes positives et negatives coder sont divisees en 7 plages, chacune desqueUes est associe un echelon de quantific'ation dont 1a grandeur resuIte de la multiplication d'un echelon elementaire q par: une puissance de 2. Cette operation
peut etre consideree comme resultant d 1un cod age lineaire precede d~une compression selon laquelle Ie signal x eSt transforme en signal y conformement aux
relatipns suivantes :
a
a
,
1+ 1nAlxl
y~slgne(x)" 1 +lnA
,o
"••
,
'.
Alxl
Y~Slgne(x), 1+1nA
],"
•5
pour
pour
-1 ,,;; Ixl ";; l
A
(168)
O ~ lxl ~ ~
A
Le parametre A determine I'augmentation de la dynamique du eodeur; la
valeur: retenue est A = 87,6. Finalement la caracteristique de compression suivant
'1C
8 la loi A a 1~ segments est donnee par l(l.figure 1.16 et deerite camme suit:
~
o
"0
~
~
~
].
§
o
"
si
1
o~ Ixl
- "' -64 '
1
1
-64 "" Ix I'" 32
-
alors , y ~ 16k
1 • La numeration du signal. tchantiJlonnage et codage
38
1
1
32 "'·Ix I '" 16
)! ~ 4x + 1/4
1
1
16 "'·Ix I '" 8"
1
8 '" Ix I '" 114
1
4 '" Ix I '" 1/2
1
2: '" Ix I '" 1
y
--- - ---- - ------ - - - -11 1
11
a
1 a1
100
----1/2
01 1
010
-- - -1/'
001
000
1
64
o ~~~-4------~1~------------~.1~~.
111
1
•
32168 4"
2"
FIG. 1.16. Caracteristique de compression a13 st gments
Celte caracteristique fait apparaitre 7 segments de droite dans Ie quadrant
positif et dans Ie quadrant negatif ; les 2 segments qui entourent I'origin" etant colineaires, au totalla caracteristique compte bien 13 segments.
La quantification des amplitudes y etant faile avec l'echelon q, celie .des
amplitudes x voisines de Porigine est faite avec l~ echeion q/16, clest-a-dire que la
dynamique du codeur se trouve augmentee de 24 dB. Les amplitudes voisines de
l'unite sont mains bien quantifiees puisque l'echelon se trouve multiplie par 4. La
1.11 (adage nan linealre suivant une lai segmentee
39
puissance du bruit de quantification est fonction de I'amplitude du signal: pour
chaq1)e valeur il faut c"lculer un ec'helon moyen faisant intervenir la statistique du
signal.
La figure 1.17 donne Ie rapport signal a bruit en fonction du niveau du signal
apn3s codage, pour Ie cod age a8 bits lineai"re et non lineaire d 1un signal gaussien.
Le niveau de reference pour Ie signal (0 dB) est la puissance de crete du
codeur. On remarque Pextension de la dynamique due au codage non lineaire.
Pour les amplitudes faibles Ia quantification correspond en fait 12 bits. En realite
Ie signal code suivant la loi non lineaire peut 'etre obtenu a partir d~une quantification a 12- bits, suivie d'un tra"itement numerique qui est tres proche de la conversion d 1urr nombre entier en un no.mbre avirgule fiottante :
a
Par exemple au nombre a 12 bits : +00010110110
+100 0110
correspond Ie nombre a 8.bits :
par application de la loi de compression.
~ (dB)
40
30
10
-80
FIG , 1.17.
-70 -60
- 50 -40 -30 -20 -1 0
o 5 l dB)
Co dage ii 8 bits iineaire et non lineajre d'un signal.gaussien
Les trois bits qui suivent Ie siBne donnent Ie code du segment, ou exposant;
les quatre bits suivants indiquent la pDsition sur Ie segment, ou nlantisse. La dif."!:::i
ference avec la conversion entier-virgule t10ttante apparait au voisinage de Porigme.
,
1ii
Ce traitement necessite pour sa mise en ceuvre"soit un reseau de portes c'est la
•
.31 realisation parallele, sDit un registre adecalage associe a un compteur a$ bits dan~
~ la realisation serie. 'On peut egalement utiliser line memoire OU est stockee la table
i de conversion.
g
Une autre 10i de c-odage non lineaire est egaiement utilis6e en telecommunica.~ tions, dite loi 11 a 15 segments. Elle correspond a la relation de compression s-ui§ vante:
"
~
I::
"0
~
~
•
~
-g.
.
In (1 + J.1lx I)
y ~ slgne(x) . In(l+J.1)
pour
- 1 '" x ,,; 1
§
o
"
La vaieur retenue pour Ie parametre de c9mpr~ssion e~t J.1 ~ 255.
(1.69)
1 • La numeration du signal. tchantiJlonnage et codage
40
1.12 OPTIMISATION DU (ODAGE
En poursuivant dans la voie du perfectionnement du cod age, si la densite de pro-
babilite p (x) de l"amplitude du signal est connue, on peut determiuer la caracteristique de quantification qui, poUr un rrombre de bits N donne, m1nimise la pUlssance
de la distorsion totale.
Dans I'operation de quantification, 1a plage des amplitudes du signal est divisee
en M ~ 2'1 pi ages elementaires (x; -1' x;) avec -
M
M
'2 + 1 ,0; i ,0; '2' e.\ chaque plage
elementaire est representee par une valeur Yi' comme Ie montre la figure I.iS.
L'optimisation 'consj;.;te a determiner l~ensemble des valeurs Xj et Yi qui minimi~e la
puiss'a nce du signal d'en'eur E2 donnee par:
M
2
L
M
i=-y+l
J" (x - y;)2p (x) dx
-J Hl
y
YMn~------------------~----~
- - - - - - - ---- -,------1
!,,
j
Y2 ----r---i
y,W:
x
XM/2-'
FIG. 1.18.
Caracteristique-de- quantification optimale
En prenont la derlvee par rapport aux variables x ; et y;, on montre que j;optimum 'est obtenu si 'les relations suivantes sont verifi6es :
1
x; ~ 2: (Yi + y; + ,)
r
Xi_l
pour
(x- Yi)p(x)dx ~ O
M
- 2 + 1 ~ i ~ M -1
2
M
M
pour - '2 +1 ~'i,o; '2
(1.70)
1.12 Optimisation du codage
41
Ces relations permettent de determiner la caracteristique de quantification. Si
p (:x:) est \!ne fonction paire, On prend .1'0 ~ 0 et l'on procede par iterations en choi-
M
sissant a priori une valeur de h Si la relation (1.70) n 'est pas satisfaite pour 2 '
o n re prend les ealeuls pour une autre valeur de Y, et ainsi de suite [9].
Le table'au ~ .l donne la puissance du signal d1erreur E 2 obtenue avec un
signa,l ga:ussien de puissance unite, pour qifferentes valeurs du nombre de bits
N, d1une part avec Ie codage optimal t d'autre part avec un codage a e.-chelan
constant pour Ie meilleur cadrage de la earacteristique de quantification [9]. Le
tablea\! t 2., tire de la reference [10], donne, dans les memes conilitions, les
valeurs correspond ant a un s-ignal 'a denslte d'e probabiHte exponentiel1e selan la
relation (1.48).
Tablequ. 1.1 . - CODAGE D'lJN SIGNAL GAUSSIEN uNITAlRE.
~
Codage optimal
1
2
3
4
5
0,3634
0 ,1175
0,03454
0,0095
0,0025
0,3634
0,1188
0,03744
Q,01 15.4
0,00349
1
1,911
2,825
,,765
4,730
Codage
a echelon
constant
Elltropie H
Tableau 1.2. - CoDAGED'UN SIGNALLAPLAC.mNUNrrAllHi-
.~
',"
~
I
2
3
4
5
CodageDptimal
0,5
0;1765
0·,0548
0,0154
0,00414
0,5
0,1963
0,0717
0,0254
0,0087
~
o
.••
"••
Codage
aechelon
constant
],
•
g
.~
8
ii
~
•
Lloptimisation du codage peut aussi e tre abo rdee sous Faspect du contenu
informationnel en introduisant la fonction entropie H definie par [2, Tom" 3] :
H~-
L p; 10g;2 (P;)
(1.71)
i
~.§ avec - M2 + 1 -'S: i ~ M2 et Oll p; designe la probabilite pour que l'amplitude du
o
"
signal se trouye dans la plage repre sentee par la valeun /,;.
1 • La nUmeration du signal. tchantillonnage et codage
42
Compte tenll de la relation :
Fentrapie est nulle lorsque l'amplitude du signal se concentre sur une seule pI age
et elle est maximale lorsque cette amplitude est rep artie uniformement _i d'ans cecas elle prend la valeur Hm~ egale au nombre de bits N dll cadage :
Hm~ ~ log 2.(M) ~ N
(1:72)
au log 2 (M) represente Ie logarithme en bas.e2, au binal, du nombre M.
En fait I'entrapie mesure I'ecart d'une distribution de pwbabilite avec la distribution uniforme.
La caracteristique de- quantification qui maximise Fentrop1e est donc' celle qui
conduit a des plages elementaires correspondant a une distribution de probabilite
uniforme.
La derhiere ligne du tableau 1.1 montre que pour un signal gaussien, Ie codage
qui minimise 1a puissance du signal cl'erreuT conduit a des valeurs de Pentropie
proohes Q.u maximum N .
1.1;3
QUANTITE O'INFORMATION ET CAPACITE
O'UN CANAL
Les resultats obtenus sur l'echantillonnage et la quantification peuvent etre utilises, allinverse, pour evaluer 1a quantite d'informatioTI portee par uTI-signal ou pour
determiner 1a capacite d~un canal dB transmissiop.
Un canal reel de largeur de bande 1m peut trans pOTter 21m 6dhantillons ind€pendants par sec.a nde, ca mme Ie montre la figure 1.3, en rempla,ant ,; paT 21m'
Quant i\ la quantite d'infmmation par echantillon, elle depend des puissances respectives du signal utile et du bruit, et de lellrs distributions d'~mplitude. U n cas
particulier important est celui du canal gaussien [11 J.
Soit a transmettre un ensemble de M symboles de N bits chacul.l dans un canal
en presence d~un bruit blanc gaussien de puissance db = B .
Dans un hyperespace a M dimensions les M symboles occupent Ie volume.
d' une hypersphere V M' defini par
1
(173)
En supposant une repartition uniforn'le des symboles dans l'hypersphere de
rayon R ~ Ie signal correspondant a pour energie:
1J~r 2 rM- 1 dr J ... f
E,~V
M
0
i :d
M-I
1(8;)d8;~R2MM: 2
+
(1.74)
1.13 Quantite d;information et capacite d'un canal
43
La quantite d'information transmise eSt de MN bits. A chaque ensemble de
bits possible, on peut associer dans I'hypersphere 'un volume· V, egal il :
V I (R)
M
V,~ 2MN ~ M F(S) 2N M
(1.75)
A. chl,ique ensemble de bits est associe un bruit aM composantes dont fenergie s'ecrit : Eb ~ Mal. Quand M tend veTS l'infihi, Ie point representatif du bruit
dans I'hypersphere 'se rapproche .d'une sphere de rayon
b et centree sur Ie point
representatif de l'ensemble des bits. En effet, pour M variables aleatoires gaussiennes,
\!Ma
b (n), la variable r ~
M
1M2
.
L b2 (n) a pour moment d'ordre 1 : m, ~ ab \j ~-­
M+I
n~l
et sa variance ~ - mi tend veTS zero quand M tend veTS a~infinJ. Cette sphere a
pour volu)lle :
(1.76)
Pour que 1a transmission se fasse sans, erreur, il faut que cette sphere so it
ineluse dans Ie volume V, attribue a chaque ensemble de bits, c'est-a-dire :
R
\,/Mab < 2N
(1:75)
Or, qunndM tend vers I'infini, d'apr"s la relation (1.74), R~ represente I'cenef"
gie de I'ensemble du signal, de puissance S et du bruit, soit
R2 ~ M(S + a;;)
(1.76)
La condition de transmision sans errel,lr s'ecrit alors
.2
2N
Star
< --2ab
(1.77)
d'ou :
12 (. aS)
N <. -log 2 1 + 2
(1.78)
b
."••••
],
•c
Si Ie canal est reel et a une laTgeur de bande W et s'i1. est sans distorsion, les
symboles peuvent iHre emis a la cadence 2W et la capacite asymptongue du canal
s'ecrit, en bits par seoonde:
o
c
•
'''-
(1.79)
8o
"0
~
~
•
-g
~
,.
o
@
I1 (aut bien noter gu'une telle capacite suppose :
-'"'- un canal sans distorsion,
- un bruit blanc. gaussien,
- un retard a1a transmission infilli.
1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et (adage
44
En pratique, l'egalisation des canaux et 1e codage correcteur d'erreurs permettent de-se rapprooher de c~tte limite avec un retard de transmission fini.
1.1 4
LES REPRE SENTATIONS BI NA IRES
II existe diverses [a,ons d'etablir la correspondance entre l'ensemble des amplitudes quantifiees et 1.'ensemble des nOlllores "binaires qui doivent les repre-senter.
Les signaux it cOQer ayant des amplitudes en general positives et negatives, les
representations pre-fe-rees sont celles qUi cohser'Vent l'information de signe. Les
plus courantes pour les codages a echelon constant sont les suivantes :
- signe et valeur absolue
- hina.ire de-centre
- complement a i
- complement a 2.
Les definitions et particularites de ces. representations 5.0nt donnees dans la
rMerence [12], Ie. tableau 1.3 les definit pour 3 bits.
Les representations en signe et valeur absolue et en binaire ciecent:re !?cmt les
plus commodes pour la conversion Analogique/Numeriql.le ; les deux 3utres sont
surtout utilisees dans les circuits de calcul nume-rique; elles spnt presentees en
detail par la suite.
Comme indique au paragraphe 1.11, qui (leorit une representation particuliere
importante du domaine des telecommunications, Ie. codage non lineaire perinet
d'augmenter considerablem~nt 1a clynamique. Les machines de traiternent, et en
particulier celles qui s.ont )1sage gen.eral, ut,illsent s.ouyent ,Jes. repr~s.'mtations
dites a virgule ftottante au chaque nombre corhporte trois parties: Ie bit de signe,
b;l.lTIantisse et rexposant. La mantisse repre~ente une partie fractionnaire et l'exposant la puissance d'un nombre de base; par exemple, en base 10 : + 0,719 X 10 5
a
Tableau 1.3. - REPREsENTATIONS BJNAIRES POUR CQDAGE LINEA-mE.
Nombre
Signe et valeur
'a bsolue
Binaire
decentre
Complement
ill
Complement
il2
+3
0'11
111
all
+1
OiO
1io
oto
+1
+0'
101
100
-1
0'01
000
1 00
lC11
110
- 3'
11 1
001
000
111
11D
1 0.1
10.0
all
010
001
000
-0
-1
-
all
0'1 0
001
(0 a 0)
-
111
110
101
(100)
Annexe 1
45
L'extension de la dynamique provient de I'effet multiplicatif introcluit par I'exposant. Ainsi en base 2, pour un Iiombre a 6 bits d'exposant et 16 bits de mantisse,
la dynamique correspond a 2 64 x 2 '6 ~ 2"" = 10 24 , soit 24 chiffres decimaux. Un
graIn supplementaire est obtenu en prenant une base -qui est elle' meme une puissance de de~, comme 8 au 16, Gorrespondant au~ numerations octale au hexadec.imale respectivement.
La presentation a virgule fiottante ent;ra'ine cepenclant une complication des
operations arithmetiques et des circuits,
Les nombres issus du codage se presentent, swvant la technique utilise-e, soit
S!Jus forme parallele, c'est-a-dire que les N bits sont disponibles sur N point:>; de
connexion en meme temps, soit sous. forme. serie, c'est-a-dire que les. N bits apparaissent successivement sur Ie me-me point de connexion, le signe d'·"abord et
ensuite les bits de poids decroissants. La reference C13] decrit les principales techniques de. conversion AnalogiquelN umeriql)e.
ANNEXE 1 : La fonction I (x)
. ( n\
sm "20)
Suite des valeurs : I (n) ~
n
pOUT 0 '" n '" 159 avec n ~ k + 20 N .
" 20
k
0
1
.:ijj
~
,o
."
"••
],
•o
o
c
•
lo
"0
~
~
•
1i
~
"
o
@
N~O
1
0,99589
Z 0,98363
3 0,96340
4 0,93549
5 0,90032
6 0,85839
7 0,81033
8 0,75683
9 0,69865
10 0,63662
11 0,57162
12 0,50455
13 0,43633
14 0;36788
15 0,30011
16 0,23387
17 0,17001
18 0,10929
19 0,05242
N~1
N~2,
N~3
N~4
N= ~
1'1 ~ 6
N~'7
0
- 0,04742
- 0,08942
- 0,12566
- 0,15591
- 0,18006
- 0,19809
- 0,21009
-0,21624
- 0,21682
0
0,02429
0,04684
0,06721
0,08504
0,10004
0,11196
0,12069
0,12614
0,12832
0,12732
0,12329
0,11643
0,10702
0,09538
0,08185
0,06682
0,05071
0,03392
0,01688
0
-0,01633
-0,03173
-0,04588
-0,05847
-0,06926
- 0,07804
-0,08466
-0,08904
-0,09113
- 0,09095'
-0,08856
-0,08409
-0,07770
- 0,06960
-0,06002
-0,04924
-0,03753
-0,02522
-0,01261
0
0,01229
0,02399
0,03482
0,04455
0,05296
0,05989
0,06520
0,06880
0,07065
0,07074
0,06910
0,06581
0,06099
0
- 0,00986
-0,01929
- 0,02806
- 0,03598
-0,04287
- 0,04850
-0,05301
- 0,05606
- 0,05769
- 0,05787
- 0,05965
- 0,05406
-0,05020
- 0,04518
- 0,03914
-0,03298
- 0,02470
- 0,01667
-0,00837
0
0,00823
0
-0,00706
-0,01385
- 0,02021
- 0,02599
-0,03105
- 0,03528
- 0,03859
-0,04091
-0,04220
- 0,04244
-0,04164
-0,03983
- 0,037.07
- 0,03344
- 0,02904
-0,02399
- 0,01841
- 0,01245
-0,00626
-0,21241
- 0,20283
- 0,18921
- 0,17189
- 0,15148
- 0,12862
- 0,10394
- 0,07811
- 0,05177
- 0,02554
0,0547~
0,04739
0,03898
0,02980
0,02007
0,01006
O,OHi13
0,02350
0,03018
0,03601
0,04088
0,04466
0,04730
0,04874
0,04897
0,04800
0,04587
0,04265
0,03844
0,03335
0,02751
0,02110
0,01426
0,00716
46
1 • La numeration du signal. .tchantillonnage et codage
ANNEXE i : La loi Normale. Reduite
1
~l
/(x) ~-e
v'2rr
-
7:
x
10' .f(x)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1i 8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3 ,8
4
4,2
4,4
39894
39104
36827
4,6
33322
28969
24197
19419
14973
11 092
7895
5399
3547
2239
1358
792
443
238
123
61
29
13
5,9
2,5
1
P '=
v'2rr r-:'.'
2
~ e'
lOOP
100
95
90
85
80
75
70
65
(i)()
55
50
45
40
35
3.0
25
20
15
10
5
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
2
2 dx
3
4
1
~ v'2rr
L
Xl
e --,; dx
A.
A.
lOOP
0
0,0627
0,1257
0,,891
-0,2533
0,3186
0,3853
0,4538
0,5244
0,5978
0,6745
0,7554
0,8416
0,9346
1,0364
1,1503
1,2816
1,4395
1,6449
1,9600
2,5758
3 ,:1,905
3,8901j
,4;4172
4,8916
5,3267
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
100
84,148
68,916
54,851
42,371
31,] 31
23,014
16,151
10,960
7,186
4,550
2,781
1,640
0,932
0,511
0,270
0,137
0,067
0,032
0,014
0,006
0,00068
0,000057
0,000004
Agproximation pour les grandes valeurs du paral)1etre A.:
p= -
P
a>
).
-'A. e- ·
3,8
4
4,5
5
5,5
Bibliographie
47
20 log ,\
p
·-5
1
o
5
"'10-1
10
15
'\.
\
1O~2
10- 3
10.-4~
\
10-5
FIG. 1.19.
Loi Nor!fl(ll~ R,iduite. Courbe donna.nt P enfonctioiI d,c 20 log}.
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EXERCICES
1 Soit Ie developpement en .erie de Fourier de la Fonction i (t) periodique et tie
T
periode T, nulle sur toute la petiode, sauf dans l'intervalle - -
2
la valeur 1.
T
'[
~ t $; :- 011 elle prend la
2
T
Donner la valeur qes coefficients pour t = '2 et 'f = 3"-'
Verifier que Ie. developpement conduit bien it : i (0) = 1 et tracer la fonction quand Ie
ti6veloppement est limite a 5 tennes.
2 Analyse! l'echantillonnage ilIa frequence I e du signal set) ~sin (nl,t + '1') quand 'I'
°
1t
vane de Ii 2'
Exaniiner la reconstitution de ce signal apartir' des echantillbns.
3 Calculer 1a distorsioo d'amplitude apportee it un signal restitue par des impulsions
dont la largeurest egale la moiti6 de la periode d'echantillonnage.
a
4 EChantillonnage passe-bande d'un signal occupant la bande de frequence [/1 - IJ.
QueUes soot les conditions aim poser ala frequence fJpour que ce signal puisse etre echantillonne directement a une frequence comprise entre Aet 2/2"
5 Analyser l'e.chantillonnage du signal suivant :
±
Sl (t) ~ n=l sin(zn"8 T'-)
et Ie comparer acelu! du signal :
s, (t) ~ f cos(2n".T
~)
8
n =1
Montrer parune ,etude des spectres que l!ensemble des deux suites d"ec'hantillons oon'stitue.
l'echantillonnage d'un ~ignal complexe.
6 Soit s (t) Ie signal defini par Fegalite c
(kt
3
s (I) ~ i + 2 Leos
2n hi
8
+ (jlk
)+ cos (nt +
(jl4)
Exercices
49
Ce signal est eehantillonne avec 1a penode T = 1. Quelle est la valeuL maximale que peut
prendre s (n) avec n entier? Motilter qu'il exisle 'Un ensemble de valeul:s 'l'k (k ~ 1, 2,3,4)
qui minimisent la valeur maximale des s (n) . Peut-on generaliser cette propriete ?
a
7 -Un synth6tiseur de frequence numerique est oonstruit partir a~une memoire morte
de 16kbits ayant un temps d'acces de 500 ns. Sach~nt que les nombtes qui representent les
6chantillons de signaux sinusoi'daux comptent 8 bits, quelles sont les caracteristiques du synthetiseur~ gamme et pas de frequence, qui peuvent etre obtenues 7
8 QueUe est la loi de probabilite. des amplitudes du signal sinusoi'dal suivant :
set) ~ A cos (2IT~)
Calc:ulerla fonction d'autoc:orrelation correspondante.
Donner la fonction d'autocorrelation d'un signal aleatoire .gaussien stationnaiFe dont Ie.
spectre a une repartition uhifonne dans la ban,de de ftequence [f 1, Al.
9 Calculer Ie spectre d'une suite d'impulsions de largel1r TI2, separees de. T, chaque.
impulSion ayant lil probabilite p d'apparaitre. Examiner en particulier- Ie CilS ou p ::::: 112.
Que devient ce spectre si ces impulsions constituent IDle sequence pseudo-aleatoire de.
longueur 24 -1 = 15 engendrk par un registre a4 bits, sulvantle polynome g(x) = X4 -t. X + i ?
a
a
.a
10 Un $ignal sinllsoidal la frequence 1050 H:z est echantillonne 8 kHz et t:ode
10 bits. QueUe. est la valeur du rapport sigmil a bruit maximal 'J Quel est Ie nlveau par rapport au signal du bruit de quantification mes'ure dans 1a: bande de frequence 300-500 Hz ?
Meme question si la frequence d'echantillonnage est portee a 16 kHz.
11 Le signal sin
(2n ~ ~ 'l') avec. 0 '" 'l' ,,; ~ est echanlillonne "vee la periode T ~ 1 el
a
code:: 5'bits.
Dans le cas ou q:> = 0 calculeF la puissance eJl le.:spectre. du bruit de quantificati'an.
C.olilment evolue ce spectre en fonction de la phase ~?
,o
"••
'.,
•
]
•5
~
l
.§
12 So~t une echelle de Godage ou Peehelon a La valeur q. Etudier la quantification du
sign,aLsI (t) = (X • q. sin (cor' t) pour - 1 ~ (t ~ 1 ~ en .foncticn du centrage de.la caract6ristique.
de quantification. Donner Fenveloppe gu signal restitue apres decodage et filtrage etroit
aut~ur ae la frequence cu1 .
Au signal '1 (t) on superpose Ie signal s,(O ~ 10,q.sin ill 2t. Eludier l"enveioppe du
signal restitue dans ces conditions.
13 Soit a coder un signal gaussien. Combien de. bits faut-il pour que Ie rapport signal a
btuit de quantification soit meilleur que 50 dB? Peut-on nfduire ce nombre si l'on admet un
ectetage pertd~t 1 % du temps.
(2IT
14 Le signal set) ~ A sin
,S10.t) est code. il 8 bits, L"echelon de quantification
ayant la ·v aleur q, tracer la co:urbe donnant Ie rapport signal i bruit de quantification en
forrctiorl del'amplitude A Lorsque cette amplitude varie de q a 27 _q. Meme question 10rque
Ie codage est du type non lineaire suivant la loi it 13 segments.
~
~
•
~
1io
,
o
©
15 CalcuJer les limit'es' des' plages dramplitude. elementaires pOUT Ie. codage Gptimal a
2bits d'un signal gaussien de puissance unite ~
Chapltre 2
La tra ..sformation de Fourier
discrete
La transformation de Fourier Discrete s'introduit quand ,j1 s'agit de calculer la
transformee de Fourier d'une fanction a l'aide d'un. calculateur numerique. En
effet un tel operateur ne peut traiter <)ue des nombres et de plus en quantite limitee par la taille de sa mernoire.. II s:eh suit que 1a transformee de Fottrier ~
S (I) ~
r:
(t) e-i 2"fl dt
doit etre adaptee, d'une part en remplac,;ant 1e signal set) par des nombres senT)
qui representent un echantillonnage de ce signal et tfautre part en limitant fensemble des nombres sur lesquels portent les calculs a tme valeur lime N . Le caleul
faurnit alors des nombres S* (I) delinis par:
N-1
S· (I) ~
~
s (nT) e ~j2"fnT
n=O
Corume le calculateur est limite dans sa puissance de caleul, i·l n" peut ["urnir ces
resultats que pour unnombre limite de valeurs· de la frequencej, qu'l1 est naturel
de choisir mUltiples d' un certain pas de fre'luence At Alars :
N-1
S* (kl1f) ~
~ S (liT) e-i2mJkAfT
n=Q
Les conditions dans lesqu,eiies les valeurs c_leul"es constituent une bonne approximatton des va leurs recherchees SO)1t etudiees par la suite. Un chaix simplificateur
interessant consiste a prendre' : At :S. ~. On peut alors verifier qu'il existe seule-
NT
ment N v~1eurs differentes dans 1_ suite des S* (kINTj, qui est une suite periodique
et de peri ode N pl!isque
S' [(k + N)/NT] ~ S* (kINT)
2.1
51
Definition et proprl"t"s de la TFD
D "l)ut;re part 1a transformee ainsi caiculee S8 presente sous 1a forme de valeurs discriotes et d' apr"s Ie paragraphe 1.6 sur l'e<ihantillo)1nage en frequence, cette propriete est caracteristique du spectre des- fanotions periodiques. On peut done GonsJderer que la sUite des S" (klNT ) est obtenue par transform'a tion de Fourier de la
suite des.s (tiT) qui est uhe suite perioc!ique et de periode NT.
La ttansformation de Fourier disorete (T.F.D.) et la transformee inverse etablissent des relations entre ces deux suites perio.diques.
La definition, les proprie!es, les techniques de calaul et les applications de 1"
T.F.D . ont fait l'o bjet de nombreux artioles et ouvrages, paTmi lesque1s on peut
citer les ~6ferences [1,2,3 , 4J.
2.,1 DEFINITION ET PROPRIETES DE LA TFD
Soit deux suites de nombr.es complexes x(n) et X (k), periodiques et de periode N .
La tninsformee de Fourier Discrete et la transformee inverse 6tablis:$ent entre ces
deux su<ites les relations suivantes respecHvement:
1
N-l
.
nlv
X(k) ~ N n~o x (n)e -12'N"
x(n) ~
N-'1
(2.1)
kn
L X(k)e i2'N"
(2.2)
k~O
La position du facteur d'echelle lIN est choisie pour que les X(k) soient les
coefficients du developpement en serie de Fourier de la suite x (n). Cette transformation poss_e de les proprietes suivantes :
- Linearit';: si.x(n ) et y (n) sont deux suites de meme periode, dont les transfor"
mees sont X(k) et Y(k) respectivement, la suite de meme perioc!e v(n) ~ ,,(n) +
AY (n) ou A est un scalaire a pour transforme"e :
V(k)~X (k) +),. . Y(k)
~
••
'.,
•
]
- Une translation des x(n) entraine nne rotation de phase des X (k) ; En effet
calculous la transformee Xno(kl de la suite x(n - no)'
XnoCk) ~
•
N -1
nk
L ..t(n - no) e -i2n N" = X (k)e-i2nnok!N
n =0.
g Une translation de x(n) de no entplme sur X(k) une rotation de 1a phase d'un angle
.~
, '1 a:
' 2IT N
n"k .
§ ega
"0
~
~
j
1i
o5'
@
- s.ymetrie: si la suite x(n) est reelle les nombres X(k) et X(N - k ) sont complexes conjugues :
X (N-k) ~
N
. . n(N-k)
L x (n) eI2n-N-~X(k)
n=Q
2 • La transformation de Fourier discre.te
52
Si la suite x (n) est noelle et paire il en est de meme de la suite X (k). En effet, si
x(N - n) ~ x(n), il vient par exemple pour N ~ 2P + 1 :
P x(n) cos (nk)
X(N-k)~x(O)+2n~'
21tN ~X(k)
Si la suite x (n) est [<oelle et impaire la suite X (k) est purement imaginaire. Dans ce
cas: x(N -n ) ~ -x (n) etx(O) ~ x(N) co o. Par exemple pour N ~ 2P + 1, il vient:
X(k)~-2j n=l
i x(nh in(21t nk)=_X(N_k)
N
On peut remarquer que X (0) ~ X (N) ~ o.
Tout signal reel pouvant toujours se decomposer en une paTtie paire et une
partie impalre, ces deux clernieres proprietes de symetrie sont importantes.
- CODyolution circulaire : la transformee d'un produit de convolution est
egale au produit des transformees.
Si x(n) et hen) sont deux suites de periode N, la convolution circulaire yen)
peut etre definie par I'equation :
N-l
y(n)=
L x(l)h (n-l)
(2.3)
1=0
C'est une suite qui possede la meme petiode N. Sa t'ransforrtlee s'ecrit:
N-l[N-l
]
nk
N-l
J
[N-l
Ik
Y (k)~ n~o I~O x(l)h(n - l ) e-;2nN~ I~ox(l) n~o h(n_l) e-12n(n -lj kIN .e-;2nN
N-l
Y(k)~n~o
h (n _lje (
. (n-l)k)(N-l
Ik)
i2n
- NI~O x(z)e-i2nN ~H(k) . X(k)
(2.4)
C'est 'line propriete majeure de la transformation de Fourier Discrete. Une application directe en sera donnee ulterieurement.
- Egalile de Parseval : elle exprime que la puissance du signal est egale a la
sornme des puissances de ses harmoniques. En effet :
.
1
N
N- l
1
N-l
N-l
.
kn
n~o x (n)x(n) = N n~O x(nJ. k~O X(k) , -!2n N
(2:5)
2.2
53
La transformation de Fourier rapide
~ Relation avec la serie de Fourier: avec la position du facteur d'echelle liN
choisie dans la definition (2.1) de la TFD, les valeurs X(k) representent, aUX
repliements de spectre pres, les coefficients du developpement en serle de "Fourier
du signal periodique, quand ce sign'al ne 'presente pas de disctmtinuite. Si ce n'est
pas. '1e cas, des differences importantes 'apparaissent. En effet, on montre qU'a Un
point de discontinuite to de la fonction periDdique x (t), Ie develQPpeinent en serie
de Fourier de x (t) prend une valeur egale it la moyenne des limites a gauche et a
droite de xCt) quand t tend velS to. Par contre, la TFD inverse restitue exactement
les echantiHons du signal d' origine et par suite les valeurs X (k) comptennent la
TFD de la distribution des discontinuites avec Ie signe inverse et Ie facteur 1/2.
E>:;emple : soit Ie signal triangulaire :
x (t)
~t;O$t < l
x(td)~x(t)
Coeffic.ien~ du developpement enserie de Fourier:
Co ~ 1/2
Cn ~ j/2rrn; n entier; n '" 0
La discontinuite a I'origine a une amplitude egale a r ella transformee de
Fourier discrete d'ordre N donne les valeurs suiv,antes :
1
,
X(k)~ ~ 2N +X'(k) avecX'(k)~Ck
Celte particularite de la TFD par rapport a .1a serie de Fourier est un effet
indesirable quand on cherche. un developpement avec des coefficients ayant les
valeurs les plus faibles possibles, cnmme dans-Ia compression des signaux,
Cependant la propriete la plus importante de la Transformation de Fourier
Discrete reside probablement dans Ie fait qu'elle se prete a des techniques de calcuI efficaces, qui lui ont donne une place preponderante en traitement numerique
du signal.
.."••• 2.2 LA TRANSFORMATION DE FOURIER RAPIDE
],
•
Les equations de definition de la TFD fournissent une relation entre deux
.~
forme mat;ricieile, en posant ~
g ensenlbles de N nombr.es complexes, qui s'ecrit d'une maniere commode SOliS une
8o
"0
(2.6)
~
~
•
~
1i
Les affixes des nombres Wn, appeles coeffic'ients de la T.F.D. se trouvent sur I"
8' eerGle 'Unite comme Ie monire la figure 2.1. Ce sont les racines de l'equation
@
ZN -1 = 0 ou racihes Niemes.de l'unite,
2 • La transformation de Fourier discrete
54
FlO, 2.1.
A fjUes des coefficienrs de]a TFD
L!equation matricielle est la suivante pour la transformee direc W.
Xu
X,
Xz
1
N
X N- 1
1
1
1
1
1
1
W
W2
W2
W "
W '
W 6
1
W (N-l)
W 2(N-i)
1
WN ~l
W Z(N-l )
W (N _l )(N: -l)
Xo
Xl
-'2
'¥N-l
Pour la transforrn,,,e inverse, ilsuffit de retirer Ie scalaire 11:N et de· changer Wn
en W-n.
La matrice carn~e d'ordre N designee par TN presente des particularites evidentes, les !ignes et les colonnes de meme indice ont les memes elements et ces 61e-
ments sont des puissances d'un nombre de base W tel que WN ~ 1, Des simplifica-
tions importantes peuvent etre envisagees dans ces conditions, co.nduisant a des
algorithmes de calcul rapide. Quand la TFD est caleul"e a ['aide de tels algorithmes on dit que l'on effectue une Transformation de Fourier Raplc\e (TFR).
Un cas tres interessant est celui au Nest une puissance de deux car il conduit
a des algorithmes peu complexes qui sont particuJierement efficaces. Ces algo-
a
rithmes sont bases Sllf une decomposition de la suite transformer en -solis-suites
entrelacees. Le cas de l'entrelacement dans Ie temps va etre considere d1abord.
2.2.1 TFR avec entrelacement temporel
La suite d'elements x(n) peut etre decomposee en de-uX suites- entrelacees, celle
des elements d'indice pair et celle des elements d'tndice impair. Calculons, en faisant apparaitre cette deco.mposition, 'les NI2 premiers elements de Fensemble des
X (k ) :
1
1
W Z
W 2(NI2-1)
Xz
1
1
i
W'
W4(Nlr ~l)
X N1Z - 1
1
W Z(NI2-1 )
W 2(NI2-1)(NI2 " )
Xo
X,
Xo
x,
x.
·">\N12 - i )
2.2
55
La transformation de Fourier rapide
i
1
W
W2
W'
W6
W Nfl-l )
W3(NIl -l)
+
x,
1
WN- I)
x,
W'(N-l)
-'5
W(NIl -I)(N -1)
~N -l
-,-
E,n designant par TNfl la matrice qui vient en facteur du veeteur eolonne des elements
d' indice pair et en decomposant la lnatrice [acleur du vecteur des elements d'jl'ldict;
impair en un produit d'une matriee diagonale par la matrice T N!4' on obtient :
Xo
X,
X2
1 a Q
a W Q
o 0 W'
'>:0
X2
~TNIl
XN",-_i
X.
+
O. 0
X2(NIl' _I)
o
o
a
W N/lr1
XN_I
Et pour les N I2 derniers elements de l'ensemb le desX (k), compte tenu du fait que
WN~l :
X N fl
Xo
1
0
0
0
Xl
XN12+ 1
X2
Q
W
0
Q
X,
0
0
W2
X3
X2(NIl- l )
0
0
0
X N!2 +2
~TNIl
XN - I
0
.. . WNIl- I
T Nt2
-'5
'XN_l
n appaIait que Ie calcul de X ( k ) et X (k + N /2) pour- 0 '" k '" N /2- 1 met en ceuvre
les memes ealculs avee seulement un changement de signe dans. la somme finale'.
D 'oa Ie diagramine suivant :
ligne k
Xi
X 2(NIl -I j
o ,;; k ~ Ni l ~ 1
Jigne fr.
"••
'.
W'
],"
•c
g
Ce diagramme montte que le caieul d'une Transformee de Fourier d'ordr:e N
l• revient au caicui de deux transformees d'ordre NI2 auquei s' ajoutent N/2 multipli-
ii cations complexes, Par iteration en un nombre d' 6tapes egal alog 2 (N) - 1 ~ log 2
-a. (N/2), on aboutit aux transformees d'ordre 2, dont lit matriee s'eerit :
•
1ic
,
~
o
©
T~ [1 1J
1 - 1
et qui ne demandent pas de multiplications,
2
2 • La transformation de Fourier discrete
S6
Comme chaque etape comporte N /2 multiplications complexes, l'ensemble de
la transformation del1'1ande un nombre de mqltiplications: complexes: Me qUI
sleerit:
M, ~ N /210g 2 (N /2)
(2.7)
et un nombre d' additio ns complexes A c tel que:
(2.8)
A t ~ N log 2 (N)
En re-alit6- Ie nombre de multiplications complexes peut encore etre fe-duit paree
que certaines puissances de W presentent des particularites ; WO= 1 et W N /4 = - j
ne demandent p.as de muLtiplicati,OnS c,Omp!eX<4i ;
et
TIe demandent qu'une dt(mi-multiplication complexe chacune. Dans la premiere
etape on peut ainsi economiser 3 multiplications, dans Pavant clerniere etape 3. N /8
et dans 1a derniere 2 . N /4. Le gain dans I'ensemble des etapeS' ,'"Ieve Ii 5N /4 - 3 et
Ie nombre minimum de multiplications complexes est donne par :-
n fa ut toutefois noter que toute.s ces reductions de cal'cu! J;le so1),1 pas toujours
faciles a exploiter, aussl bien en logioiel qu'en materie l.
La transformee d' ordre 4 a pour matrice :
+~ 1
11 1
1 - j -1
T4 ~
1-1 1 -1
[
1 +f - 1 - j
(2.10)
.son diagramme est donne par la figure 2 .2.
Xo = Xo + " > + x, +- X'j
(xo +x,) :><,:xo
. (xo -x,)
x,
x, = Xo - x, -ilXl- l1 ,i
X, =XO-+:':2 - Xl - x,
X, = X,a -X2+j{ Xl - x 3)
w·o
w'
ix,+x,i
(X, -x.,)
::x-:x,
X,
FIG . 2.2. Transformee d' ordre 4 avec entrelacement temporel
Par convention 1es fleches representent les multiplications, les points it gauche
des croisi11o~ 6Iementaires representent, Ie point superieur une addition, Ie point
inferieur une soustraction. La transformee d'ordre 8 est representee sur Ia figure 2.3.
2.2
La transformation de Fourier rapide
57
Xo
·X.
X' I
x.
X,
w·
X,
X,
X,
x.
XI
Xs
:1:(.5
X,
Xl
)(,
FIG. 2.3.
w'
w'
"
Transfonnee-d' ordre 8 avec entreiacement temporei
On peut remarquer que dam; ce traitement les X (k) apparaissent dans Yardre
naturel des indices alars que les x en) se presen\ent dans un ordre permute. Gett",
permutation est due aux entrelacements successifs et se traduit par un retournement ou inversion de 1a repres~ntation binaire des indices. Par exemple pour N = 8 .:
it . :
Xo (0 00) correspond' : Xo (0 0 0)
x 2 (0' 1 0)
x 4 (1 00)
x 2 (0 10)
.<3 (011)
X 6 (11 0)
(100)
Xl (0'01)
Xs (1 0 1)
.1'6(110)
x7(111)
x, (1 01)
x3(Oil)
xi (00 1)
x4
x7 (111)
La quantite de memoires de donnees necessaire pour calculer une transformee d'ordre N est de N positions complexes. En effet les calcuIs sont faits sur des
couples de variables qui subisseht Foperation representee paL' un crolsillon et
cOTI,servent leur position dans l'ensemble des variables a la fin de cette operation,
~ comme l~intliq.uent clairement les djagranunes. D ~ autre part, 1a transformee
~, inverse est obtenue en change ant simplement Ie. signe- des exposants de- W. On
]I introduit Ie factem l iN , par exemple en l11ultipliant pat 112 les resuItats des addi• tions et soustractions effectuees dans ies croisillons ce qui permet de Conserver' ie
]," oadrage des rrornbres dans les memolres.
On peut aussi faire les c.alculs sans inversion binaire, il faut alors 2N memoir.es
•c
g de donm\es, car les couples de nombres chaugent de position a chaque etage,
•
"6...
Le- type d'entrelacement qui vient d'etre etudie peut aussi etre opere sur les
ii8 X(k) ·; un algorithme simiJaire est alars obtenu .
..
~
~
•
2,2,2 TFR avec entrelacement frequentiel
1i
8 La suite des elements X (k) peut etre decomposee en 2 suites entrelacee·~, celie des
~
@
elements d~indice pair et ceUe des elements d'indice impair. Pour les elements
2 • La transformation .de Fourier discrete
58
d'indice pair, en tenant compte eu fait que WN = 1 ~ il vient apres ujle 'm ise en facteur e1ernentaire :
1
1
1
r
i
W2
W2(NI2-I)
X4
1
W4
W'
W8
Xc,(NI2-1)
1
WU,NI2-1l
Xo
~
Xo + xN I2
Xl + X.NJ2. + 1
W4(N"'_1)
WUNI2-I )(NI2- I)
X 2 + X NI2 + 2
XNl2 - 1 +XN_l
Et pour leselements d'indice impair, apres mise en facteur:
X,
1
W
X3
1
1
W3
W'
X,
W2
WNI2 - 1
Xo -= XN/2
we
W3(NI2-1)
Xl -X,N12+1
W'O
W'(NI2 -I)
X:2 -XNi'2 + 2
W(N-I)(NI2.-1j
Dans ce cas la matrice carn~e abtenue est egale au produit de la matriee carn~e
TN!2 abtenue pour les elements d' indic.e pair par la matriee diagonale dont les elements sont les puissances Wk avec 0 oS k '" N /2 - 1. D' oil :
X,
X3
X,
= TN'"
1 0 0
a
0 WOO
0 '0 W2
0
o
0
XO-XNI2
X, -~NIZ+1
X 2 -XNl2+ 2
0
Le ",llcul des elements X (k) d' indicepair et d 'indice impair se fait avec la matrice
oarree T NI,2 de 1a transformee d !ordreN/2 et Ie diagramme suivant est abtenu :
Xo
X2
X 4
TNI2
ligne k
"'.
X Z(N!2 -1)
.0':;; k .:;; N /2 - 1
X,
X3
X,
ligne k
TNI2
X N/ 2 +k
W·
X N -1
En adoptant la meme notation pour les croisillons qu'au paragraphe precedent on etablit des diagrammessemblables. La figure 2.4 montre Ie diagramme obtenu pour N ~ 8.
Dans l'entre1acement frequentiel, Ie nombre de calculs est Ie meme que daNS
l~entrelacement tempore! ; les hombres- a transformer x (n) apparafssent dans
I'ordre nature! alors que !es nombres transformes X (k) sont permutes.
2.2
59
La transformation de Fourier rapide
Les algorithmes qui ont ete obtenus jusqu'a maintenant sont bases sur une
pecompbsition de la transform6e p"ordre N en transformees elementaires d'ordre
2 qui ne necessitent pas de mullipncatians. Ces algorithmes sont dits en base 2.
Cep'e ndant d1autres transformees 6lementaires peuvent e-ire utilisees; la plus in,teressante est 1a transformee en. bas'e 4 quJ s'appuie sur la matrice e16mentaire. T 4 et
conduit aux algorithmes en base 4.
x , ~~--~----~~----~----~----~
"
x, ~~--~~--~~~~~--~~~-f~ x,
",
)(,
.,
x,
",
x. ~----~~----~~~-?~~~~-*~~
.,
X,
X,
wO
)(7
"7
w3
FIG. 2.4. Transformie d'ordre Saveo entrelacement jrequentiel
2.2.3 Algorithme de TFR en base 4
eet algorithme peut etre utilise lotsque Nest upe puissance de 4. La sHite des
nambres x(n) est decomposee en 4 suites entrelacees . Calculons Ie. ; premiers
X(k) en mettant en evidence cette decemposition ; l'expression matricielle est alors
la suivante, si T N/4 designe la matrice carree cle la transformee d"ordre N /4 et
DI(i ~ 1,2,3) la matrice diagonale dont les elements sont les puissancesWI.k avec.
0 ", k '" N/4 -1 :
Xo
X,
X,
XN14~1
x,
x,
Xo
x4
:::::TN /4
Xs
x 4 (N/4 _.1)
+ D,TN/4
Xg
XN_3
X3
X2
+ D2TN14
x6
x,
xlO
xll
+ J!)STN/4
60
2 • La transformation de Fo urier discretE;
Les N/4 termes X(k) suivants sont donnis par:
XNI4]
~N;4+1
[X
N/2 - J
Cette equation fait intervenir les me"m es calculs matriciels que la precedente avec
en plus des multiplications par les elements de la seconde ligne d", la matrice 1'4.
On peut alors mantrer que Ie ~alcul de la transformee aboutit au diagramme 4e la
figure 2.5.
Une telIe transformee s'effeclue en 10g4 (1'1) -1 ~ log" (~) et.apes.
2.2
61
La transformation de Fourier rapide
Chaque etape demande 3 ~ mUltiplications complexes ce qui conduit au total au
nombre de multiplications Mc4 donne par :
M"
~ ~ Nlo& (~)
(2.11)
Le nombre d'additions complexes Ac4 s ~eleve a :
A'4 ~ 2N lo&(N)
(2.12)
II apparait que Ie nombre d'additions est Ie meme en base 2 et en base 4, pai;
contre PQur les multiplications iComplexes, Ie caleul en base 4 apporte un· gain superieur a25 %.
La figure 2.6. donne Ie diagramme complet pour N ~ <6.
Xq
~--------~~~--1X4
~----------~~~-- "
w.e
'"
)(1
~
X,
w2
)(9
'11 3
Xl)
WO
X2
'-------W"'2O""--.2l--.::--- '"
'-------w·,;-+--~}---I~-
w6
)(14
WO
XJ
'-~--~W~"~--~-{~-.
FIG. 2.6.
."••"
],
x 10
"
w6
X"
w9
X15
TFansfomlie d'ordre 16 en base 4
D 'autres. bases peUvent encore etre envisagees, par exemple la base 8; dans ce
ca's, il y a' des multiplications dans la matrice 6lementaire et' les' gains pat rapport a
la base 4 sont minime§.
Des bases differentes peuvent 6galement eire combinees [5].
•c
o
c
.~
8o
'0
~
~
2.2.4 Algorithme de TFR en base double
Dans une transformee d'ordre N , la -suite des va'leurs iransformees d'indices
• impairs peut etre decomposee en deux suites, exprimees par Tes relations :
~
,.
-g
o
"
1 N-l
L x(n)wnW4kn
N .~O
X ( 4k+l ) ~-
2 • La transformation de Fourier discrete
62
at:
1 N~ l
L x (n)W"'W4kn
X (4k + 3)~ -
N
n=O
Compte tenu de la definition (2-6) de W les sommations.peuvent aussi ~'ecrire :
1L
( N
)]
2
.'fo
N)]
X (4k+1 ) ~- N/4 - 1 [ [x (n) -xil+-
N
n~O
et:
1 NI4 -1 [[ .
(
X(4k+3)~ N
x(n)-Ji n + 2"
t j
[x(n+ ~) -x(n 3~)]] w'nW4kn (2,14)
t
La suite des valeurs:trapsformees d'll1dices Ra irs. s'eorit :
(2.15)
Ces equations montrent que la premiere etape d1une transformee d'ordre N avec
entrelacement tempore! peut etre remplacee par Ie calcui d'une transformee
d'ordre NI2 et de deux transformees d'ordreN/4.
L' algorithme en base double est obtenu par applications successives de cette
decomposition.
Pour l'entrelacement frequentieJ l'algorithme en base double est obtenu par la
de.composition suivante :
N(2- 1
X(k)~
L
n=O
N/4-1
x (2n)W2nk+Wk
L
x(4n+l ) W4nk
n =O
Nr4 - 1
+ W 31e
L
x (4n + 3) W4nk
(2.16)
11=0
Rour une transformee d'ordre N, Ie nombre de multiplications complexes M,2J4(N)
est fouIni' par une fe.currence d6duite des relattons ci-dessus :
(2.17)
ave.c. comme valeurs initiales M (2) ~ M (4) ~ O.
La valeur ainsi 0 btenue est legerement inferieure acelle donne-e' par la base 4.
A titre de reference, il est interes:$ant de noter que Ie nombre minimal de multiplicatIons complexes non tr1viales pour une transformee d'ordre N , avec.N = 2m,.
est ega!" : 2 m + 1 - 2m 2 + 4m - 8 [5].
2.3
Degradations dues aux limitations dans Ie cafcul
63
Les algorithmes qui ont ete presentes, entre\acement temporel et frequentiel,
en base dell)< e\ quatre, sont des elements' d 'un ensemble d'algorithmes, Vne presentation unifiee des algorithmes de TFR est donnee dans Ie chapitre sUivant, elle
'permet de determiner l'algorithme Ie plus approprie dans chaque application,
Dans les calculs, les operatiofis sont faites avec une preGision limitee, ce qlli
amene certaines degradations du signal.
2.3
DEGRADATIONS DUES AUX LIMITATIONS
DANS LE CALCUL
Les machines reelles apportent des limitations dans Ie calcul, qui sont dues aux
operateurs arithme-tiques et aux me-moires. D1abord les coefficients sont souvent
stockes dans- une mem6ire morte, avec 'un nombre de- chiffres limite ; e-n fait Ie
contenu de la memoire represente une approximation des coefficients, en general
obtenue par arrondi. Ensuite tout au long du calcul des arrondis sont operes pour
limiter Ie no mbre de chiffres des nombres traites a 1a capacite des positions de
memoire ou des operateurs arithmetiques . .Ces deux types de limitations entralnent des degradations qu' il est important d'analyser pour pouvoir determiner avec
precision Ie materiel strictement necessaire a 1a mise en ceuvre d'une Transformee
ayant des performances .specifiees.
2.3.1
Effets de I'arrondi des coefficients
Les coefficients reellement utilises par la machine re presentent une approximation
des c,oefficients tMorigues, dont Ja valeur des parties reelle et imaginaire est comprise dans l'intervalle [- 1, + 1J.
' n
Une quantification 'abe bits, sigrre compris, entrame sur ie coefficient e-J·271"'~i
une erIe\jr d'arrondi I)(n) ~ odn ) + j o] (n) telle que l'on ait:
IIlr«n) i "' 2- b ,
.:ijj
~
,o
'.,
1 N -1
N n ~O
]
:5o
•
S
o
"0
nk
L x (n) [,,-i"" 'iJ +o (nk)]
X (k ) +t'1 (k) o= -
•
'<i-
10](n)I <; 2- b ,
Le caleul de chaque nombre transforme X(k) a partir des donnees x (n) est fait
avec une erreur t'1 (k) telle q\le :
"••
•
et
so it :
i
N-1
t'1(k) ~ N n~O x(n) 8(nk)
~
~
•
-g
~
"
o
@
Comme il existe entre les x(n) e\ X(k) la relation (2,2) :
N- l
x (n)=
nk
L X (k )e i 2n N
n~O
2 • La transformation de Fourier discrete
64
i1 vient;
N-l
/1(k) ~L X(i) e (i, k)
j =O
(2,18)
(2.18)
Par suite l'arrondi des coefficients de la transformee entralne pour Ie nombre
transform" X(k) une perturbation /1(k) obtenue en faisant une somme· de perturbations- 61ementaires doht chacune est egale au prQduit d' un nombre- transforme
par 'Un facteur representant sa contribution. Les nombres transfoJ1mes reagiss:ent
les uns sur les autres et ne sont plus strictement inciependants.
Pour toute transformee il est possible de calculer les eli, k). Il est en general
interessant de connaltre la valeur maximale Em que peuvent prendre les 1,E(i, k)1
pour un ordre de transfoT!nee et un nombre de bits de quan,tification be donnes.,
D'apr"s l'inegalite : lo(n)1 oS y'2. 2- b , un maximum pour em est fourni par:
em """ y'2.2- b ,
En fait les valeurs trollvees en pratique pour Em §dnt nettement infe.rieures a ce
maximum. Par exemple pour N = 64, on trouve Em ::::::: 0;6 .2 -b,, ; eette valeur se
conserve e nsuite pour les valeurs de N sup6rieures [6].
2.3.:2 Bruit de calcul dans la lFR
Les donnees se presentent a Fentree d~un cakulateur de TFD avec un nombre de
bits limite. A chaque operation, addition et multiplication, ce nombre de bits augmen1e. En ge'neralle nombre de bits affeate chaque donnee reste fixe dans tout
Ie calculateur i iI en resu'lte Ia necessite d.l.operer des limitations du nombre de bits
des nombres au cours du ca1cul.
Ces limitations ·sont presque toujours faites par une elimination des bits de
plus faible paids avec arrondi. En effet, un depassement vers les forts poids n'esl
pas acceptable en general et Ie cadrage des nornbres dans les memoires doit etre
etudie en con~equence.
Deux cas importants et simples vont etre exanlines pour une transformee en
a
base 2. D'abord la transformee directe : avec Ie facteur d'echeiie J~ il suffit de diviser par 2 les resultats des additions et soustraction~, dans chaque crbisillQn pour
maintenlr un cadrage convenable. EnsuIte sera etudie Ie cas ou Ie cadrage au debut
de la transformee est tel qu'il permet la totalite des calculs sans risque de depassement. Ce cas pellt etre celui de la transformee inverse.
Pour e,valuer la puissance du bruit de calcul, on considere que la machine
stocke les nombres dans des memoires ayant la capacite de hi bits pour chaque
nombre [Joel et l'an prend comn'le unite la plus grande amplitude representable ;
2.3
65
Degradations dues aux limitations dans Ie cafcul
c~est-a-dire ql,le les nombres internes prennent des valeurs comprises dans t~inter­
valle-[-l , + 1] et ql!e l'echelon de qualification q a pow valeur ;
q ~ 2.2-b.~ 2 1- b,
La figure. 2.7 donne Ie schema d' un craisillon avec multiplication.
Crbisillon de TFR en base 2
FIG. 2.7.
A l'entree du croisillon 'les donnees comp.lexes sont representees par une partie reelle et une partie. imaginaire comprenant b j bits- chacune. Apres multiplication
les nombres subissent une'lirnitation a b j bits avec arrondi. Cette operation sur un
nombre reel apparte ~me puissance de bruit estimee a
i2'
'2
La multiplication
complexe Se realisant generalement par 4 multiplications reelles, 11 y a introducti0n
d'une puissance de bruit egale a
4i2 '
2
Le coefficient Wk ayant un module qui ne
depasse pas Punite, aucun recadrage des donnees dans ies memoires n'est necessaire.
Bruit de calcul avec recadrage
Le. recadr.age. des donnees. est suppose. e tre realise avant le.s operations. d:additiQn
et soustraction du croisillon, ce qui est un cas defavorable mais 'facilite la realisatio n. Les parties reelle et iml;lgjnaire sont divisees par deuX' par un decal age au
couts duquel un bit est elimine; ce bit 'ayant la valeur 0 QU 1 avec la probabilite ~,
on adrnet que sur chaque nombre reel il en resulte. une puissance de bruit egale a
2
,o
."•••
],
•
2
~ et sur Ie nombre complexe nne puissance de bruit egale a q4 . Par contre les
bruits presents anterieurement sont divises par 4.
A I'entree de chaque croisillon Ie signal est affecte du bruit Be, it I. sortie du
bruit Es. Avec Ie recadrage il existe entre Bs et Be la relation suivante :
o
o
c
•
'0..
8o
]
~
~
Le premieretage de la transformee ne comprenant pas de multiplication ; si Ie
bruit a l'entree du calculateur de TFR n'est pas pris en consideration, il vient en
sortie du premier croisillpn :
q2
"2
BS,~ -
2 • La transformation de Fourier discrete
66
Le seco nd etage, dans l'entrelacement temporel par exemple, a des multiplications par j qui n'entrainent pas d'arrondi,
Le bruit en sortie s\~crit dans ces conditions:
q1
1
) q2 q2
BS;, = 2 ( 4 + 4 Bs, = 2 + 4
dememe :
q2
1
)
.q 2
q'2
q2
.q2
q2
BS3 = 2 ( 4 + 4 g", + 12 = 2 + <4 + 8. + 12
Au demier 6tage de rang IQg 2 (N) :
q2
ib(~)
2
L
B ST = - +
2
[ =0
1
q2
21
12
lb(~)
S
1
f =O
2i
L
~ + -
Finalement en sortie de transformee on peut ecrire :
Bs-r "" q 2
D 'ou le resu lt-at : dans- une transformee avec recadrage par division par '2 a chaqueetage, 1a pu.issance de bruit sur chaque sortie peut etre estimee a:
BST ~ 2 2 (1-b. 1)
(2.19)
Bruit de calcul sans· recadrage
Les puissances de bruit a l~entree et a la sortie d'un cJ'oisillon sont ijees par la
relation :
2
Bs = 2Be+4~
12
En considerant qu'il n'y a pas production de bruit dans les 2 premiers etages, Ie
bruit to tal sUr chaque sortie est dtmne par:
q2 N
B sr =4 12 8
Ib(~) 1
{~O
2'
d'ou :
Dans !.me tr-a:hsformee sans recadrage, la puissance de bruit 'sur chaque ·sortie peut
etre estimee a:
22('~b,)
BST "'" N . ----:1'"'2;--
(2.20)
Ce :resultat peut s~nterpreter en disant que la precision des donnees se trouve
redulle de ~ bils apres Ie calcul d'une transformee d' ordre N =2M
Le meme raisonnement peut etre applique au Galcul suivant d'autres bases, en par-
ticulier la base 4. Les resultats obtenus sont comptlIab1es_
2.4
67
Calcul de spectre par TFD
En pratique les puissances de bruit dOlvent eire associees aux puiss-ances du
signal et Ie parametIe Ie plus interessant est Ie rapport signal it bruit. Pour determiner comment evolu,e ce parametre dans line Transformee, la relation qui lie la
puissance du signal a·la puis$ance de $on spectre est: utilisee :
~ :~; fx(n)12 ~ :~; IX (k) 1
2
Le rapport ~ignal a bruit en sortie de la Transforme.e depend de la repartition de la
puissance entre les X(k). Far exemple dans Ie calcul avec recadrage de la
Transformee directe, avec t'hypothese d'une repartition uniforme de la puissance
entre les X (k), la puissance de chaque sortie se trouve divisee par N.
Dans c.es conditions si S designe la puissance du signal. en entree, si Ie bruit a
I'entree est neglige, Ie rapport signal a bruit en sortie de traru;formee (S/B)s-r. s'ecrit:
S
(SIB)ST ~ N2"(Lb'1
(2.21)
Dans les memes conditions, mais- sans recadrage la puissance du signal est multipliee par N et Ie rapport (SIB)ST devient :
S
(SIB lST ~ 22(1 "'J/12
(2.22)
Les calculs qui ont ete' faits dans ce paragraphe qoivent eire consideres comme
approximatifs. lis ont "Ie menes dans I'hypothese d'une absence de correlation
entre les erreurs. Vne telle hypothese n'est pas toujours verifiee, en particulier
pow les transformees d'ordre N faible.
L'analyse simplifiee qui a ete presentee est suffisante dans la plupaTt des applications; \Ine analyse approfondie est donnee dans la reference [7].
L'application la plUS directe ae la TFD est I'analyse spectrale.
2.4
.:ijj
CALCUL DE SPECTRE PAR TFD
~
Le calcul d'un spectre par la Transformation de Fourier Discrete oblige it faire cer-
~
taines apprQximations et necessite un choix convenable des pa'rametres pour
atteindre les perlormances imposees. Avant de considerer les applications. il est utile
cependant de bien voir la fanction remplie par la Transformation de Fowrier Discrete.
.~
~
,
•c
o
~
2.4.1
Fonction de filtrage remplie par la TFD
'1C
8o
Examinons la relation qu'etablit la Transformation de Fourier Discrete entre les
sorties X (k) et les entrees x (n) considerees comme Ie resultat de reohantillonnage
• (I'un signal x (t) avec la periode T , Pour k ~ 0 celte relation s'ecrit:
-g
1 N-l
o5'
X(O) ~ - L x (n)
@
N n=O
'0
~
~
~
2 • La transformation de Fourier discrete
68
Le signal X (0) ainsi ciMini resuite de ia convolution du signal x (t) avec la distribution <poet) lelleque :
1 N-l
L o(t~nT)
<Po(t) ~ -
.
N n=O
La Transformee .de Fourier de cette ,distribution est d'onnee p"ar :-
1 N-l
1 1~e-i2M[NT
1>0 (f) ~ - L e- i2<n[T = ~
N n=O
N
1 ----.. e '-- j21tnfT
Ou encore:
avec
1 sin (It.tNT)
<1> ([)= N sin (lttr)
(2.23)
Or une operation de convolution dans llespace des temps correspond a un produit
dans l'espace des' frequenees, c'est-il-dire que X (0) est un signal obtenu par filtrage
du signal d'entree par la fanction <1>0 (fl. La figure 2.8 represente la fanction <1> (I) et
ia fonction <p er) dont eile est la transformee de· Fourier; la fo nction <1>(1) s'annule
aux points de l'axe des frequences multiples entiers de ~ sauf 'aux multiples de ~ .
Elle est periodique et de periode ~ conformeinent aux lois de l'echanttllonnage;
il s'agit simplement du spectre d'une impulsion de largeur NT echantillonnee.
v\ la sortie X(k ) correspond la fanction <i'k(t) telle que:
1 N-l i ""
L e- '" " ll (t-nT)
N n~O
<Ple(t) ~ -
'f' (\)
I rIf"r·1··]
u
1
NT 0
T
.1
2T
t
BIG.2.8. Fonction de filtrage
--,,
ddaTFD
\
\
0
1
NT
2
NT
~-
1,-
,
-'
f·
1.1
(./cul du spectre pour TDF
69
SallS forme concise, apres simplification, 11 vient:
<flkU)~ (_l)k e- irr!(N-l)T eirr~<fl(t+ :T)
(2.23bis)
La sortie X (k) fmlrnit 1e signal fi1tre suivant 1a fonction <fl(f) translatee de
!
sur l'axe des frequences.
Finaiement la transformee de Fourier Discrete constitue un ensemble de N
tiltres identiques~ ou han(l: d~ filtres~ repattis ufliformement dans Ie domaine des
frequences avec Ie pas :T'
Si Ie signal d'entree est une suite periodique. suivant l'hypothese. de definition
de la TFD , ce bane de filtres se trouve echantillonne en frequenee avec Ie pas ~ ,
et l'on peut remarquer qu'il n 'y. pas d'interferences entre les>sorties X (k) . Celte
propriete cependant est perdue, en toute rigueur, si les coefficients sont arrondis,
cQmrne un paragraphe precedent
montre.,
La mise en evidence de la fonction remplie par la TFD illustre aussi Ie probleme du cadrage des nomhres dans les memoires d'un calculateur de TFR. En
effet supposons que les nombres it transformer x (n) resu1tent de !' echantillonnage
d'un signal aleatoire dont 1. Ioi de probabilite des amplitudes 'a la variance 0 2. Si
ce signal a une distribution spectrale energ6tique uniforme~ sa puissance se repartit
ra
2
unifonnement entre les X (k) . et chacun a une variance egale a ~ . 'Par contre
si Ie sigmil a une distribution spectn!le qui (,eut se concentrer sur ul1 X(k), cet
X(k) ala meme loi de probabilite que les x(n), en paTticulier la variance 0 2 Le
r«ca.;irage des nombr~s pac division Par .2 it cl)aque etag!" crun caleul de TFR ~st
adapte au traitement de tels signallx.
On peu! approfondir l'etude du processus de filtrage en observant que les sorties X (k) de la TFD sont les sommes des entrees x (n) apres dephasage. En effe! la
sortie X (O) est la SOmIDe des ",(n) avec Mph as ages nuls, 1a sortie X (k) est la
.'!:::i
ow
~,
"~
.•••
somme des x (n) avec dephasages multiples de 2rr ~ , comme 1e montre la figure 2.9 .
A chaque sortie les composantes des signaux Tesultants qui sont en phase s'ajo utent, Ies autres s'annulent. Par exemple si les X (n) sont des 110mbres complexes
ayan! la meme phase et 1e meme module, tous les X(k) s'annulent saufX(O).
],
•
c
o
c
•
'D-
S
o
"0
~
~
•
~
,.
1i
o
@
X,
Xo
FIG. 2.9.
Filtrage par dephasage dans fa TFD
2 • La transformation de Fourier discrete
70
Cette observation est utile dans I'etude des banes de filtres qui comprennent
un calculate·ur de TFD.
2.4.2. Resolution spectrale
L'analyse spectrale est utilisee dans de nombreux domaines. Elle ~e fait a partir
d'un enregistrement foumi par 'un capteur. Or, par definition la TFD etablit une
relation entre deux suites periodiques, les x (n) et X (k) qui comprennent ehacune N
elements qifferents. Pow I'utiliser il faut dOfie i)ltroduire cette double periodicite.
La periodicite en frequence est introduite par l'operation d'ec hantillpnnage
du signa1. Llenregistrement a traiter se pre-sente soit sous forme numerique, alors
l'echantillonnage et1e cod age ont He effecttJes par Ie capteur, soit SOllS forme "ana-
logique et alors il faut Ie nunreriser. Le choix de I. frequence d'echantillonnage
f, ~ ~ doit .()tre tel q\le les composantes du signal de frequence superieure a fj2
soient negIigeables et eil tout cas inferieures en amplitude a l"erreur tole-ree sur
l'amplitude des c.omposantes utiles. On peut s'assurer que cette cpndition est hien
remplie en procedant a un prefiltrage du signal.
La perioclicite temporelle est introduite artificiellement en supposant que Ie
signal se reproduit en dehors de l'intervalle de temps 8 ~ NT qui correspond a renregistrement atraiter. Dans ces conditions la TID fournit un echantillonnage du
spectre avec une periode frequerttielle I'1f egale a l' inverse de la dUree d« l'enregistrement et qui constitue 13 resQlution frequentielle de l'analyse. La relation
1'1/ = ~ exprime pour l'analyse spectrale la relation d'incertitude de Heisenberg.
Uno. analyse plus fine peut etre obtenue en augmentant la duree de ['enregistrement, par exemple en la portant aN'T (avec N' > N) avec des echantillons complementaires nuls ; les echantillons frequentiels supplementaires obtenus constituent
simplement une interpolation des precedents; ceUe operation se pratique couramment pour avoir un nombre de donnees N' qui soit une puissance de. 2 et pour pou-
vQir utiliser les algOTithmes de calcul rapides. D' autre part Ie fait que Ie signal ne
soit pas compose uniql)ern;ent de raies aux frequences multipies de ~ entraine
une interference entre les' composantes' s,pectrales obtenues; en effet la fanction de-
filtr.age <!> (f! de la TFD, qui a ete don nee au paragraphe 2.4.1, presente des ondulations dans toute la bande de frequenees et sf Ie signal possede Ulle composante
speetnile S (fo) ala fr€quence fo, c'est-a-dire si x(t) ~ S (to) ei2~fot, on obtient :
X(k) '"' S(fO) <!>(:T - fo)
(224)
k < )0
• < kNT
+ 1 11'1 en resu
' 1te une contn. butlon
. non seu1epour .O ~ k ~ N -1. S· 1· NT
ment sur les sorties X (k) et X (k + 1) de la TFD, maissur toutes les sorties, comme
Ie montre 'la fi.gure 2.10 ~ ainsi appaTaissent les limitations du pouvoir -separateur
2.4
71
Calwl de spectre par TFD
de l' analyseur. eet effet peut etre a!tenue en modifiant la fonction de filtrage de la
TFD par pond6ration des.6chantillons du signal avant transformation.
X(k)
,,
, ""-...
,
--
2
0
-
~
3
4
5
k
1
FIG. 2.10, Analyse d'un signal de frequem;e "/Jon multiple de NT
Cette operation revient a remplacer 1a fenetre temporelle rectangulaire. i.p(t),
par une fanction dont la transformee de Fourier presente des ondula:tiolls plus
faib les. De nombreuses fanotions sont utilisees, les plus- simples sont 1a cosinus~ol'de
surele.vee :
1 (.1 + cos ,,11: NT
t )
<p (t) = 2:
(2.25)
etla fenetre dite de Hamming :
<pet) = 0,54 + 0.,46 cos (211: ~)
(2.26)
Cette derniere fonction a 99,96 % de son energie dans Ie lobe principal et Ie lobe
secondaire Ie plus important se trouve a environ 40 dB au-dessous du lobe principal. La reference [8] presente un ensemble de fonctions ayant des l'roprietes.
aFanalyse, spectrale.
Si cP (j) designe Ie spectre de la fonction fenetre <p (t) apres echantillonnage, la
formule (2.24) se generalise a un signal ayan! un spectre quelcOllque S (f), en utilisant la definition du prodliit de convolution et en tenant compler de la periodicite
de cP (f) ; il vient :
varfe~-es pour applioation
,o
."••••
],
•o
n)]if> (k
-. - -u )du
NT
11;
m
X (k) = Tlc [ S ( u-a
T n~-m
T
J
(2,21)
o
o
Cette expression fait apparal\re Ie repliement de bande du sigmil dfi a l'echan8 tillonnage avec la periode T.
•
.<e
]
~
j
Pou; mieux ma'itriser les interferences entre les compos antes spectrales calcua un bane de filtres plus ·stHectifs, camme celui Cl,1,li est presente au ch api tre 10.
La"TFD peut etre utilisee d' une maniere indirecte ,dans la procednre de Galcul
des cOllvolutions.
lees ~ il fa1,lt faire appel
72
2.5
2 • La transformation de Fourier discrete
LA CONVOLUTION RAPIDE
La pui~sance de caleul des _algorithmes de- Transformation de- Fourier Rapide
conduit a utiliser la TFD dans des cas autres que I' analyse spectrale et en partieulier pour la realisation d'operatiQns de convolution. Bien que cette approche ne
sait pas en generalla plus efficace, elle peut presenter de rinteret dans les applications au un calculaleur de TFR est dispanible,
Parmi les proprietes de la TFD figure la propriete slilvante : la transformee
d' un, produit de convolution est egale au produit des transforinees. Elant donne
deux suites x (n ) et h (n) de. periode N et dont les transformees sont X (k) et H (k),
la convo1ution circulaire :
N-l
k
y(n ) ~
h(tn) x (n -m )
m=O
est une suite de meme periode dont la transformee ·s'ecrit:
Y(k) ~ H(k). X (k).
La convolution rapiqe consiste a calculer 1'a suite y (n) en effectuant:une tran'sformee de Fourier Discrete inverse ·sur la ·suite Y (k) . Comme en general un des
terrnes de 1a convolution est constant l'operation demande une TFD. un produit et
une TFD inverse. Celte technique ~: applique aux suites de duree finie; si x(n) et
.h(n) sanldeux suites deNl el N2 termes non nuls, lasuite yen) definie par :
.n
L h(m)x(n-m)
yen) '"'
rn= 0
est une suite de duree finie, ayant N 1 + N2 - 1 termes ~. la convolution rap ide s'applique en considerant que les trois suites y (n), x (n) e1 h (n) ant la peri ode N tel
que N '" N, + N z - 1 ; iJ suffit de completer par un nombre convenable de termes
nuls. nest alors interessant de choisir pour N une puissance de deux.
Cependant en pratique Poperation de convolution est une operation de filtrage, au les x (n) :representenl Ie signal et les hen) les coefficients. La suite des
x (n) est beaueoup plus longue que la suite des h (n) et il faut [raelia nner Ie caleul.
Dans ce but la suite des x(n) est consideree comme une superposition de suites
61emenlaires xk (n) de N, termes. C'est-a-dire que I'on a :
x (n) ~ Lk xk(n ).
·aveoxk (n) ~ x (n) pour kN3 '" n ,;;; (k + l)N, -1 elx" en) ~ 0 ailleurs.
Alors on peut ecrire :
n
yen) ~
L
m=O
y(n)~L
k
.•
h em) L xk(n -m)
ok
L h(m)xk(n-m) ~ L Yk(n)
m =0
k
2.6
73
Calcul d'une TFD par convolution
Chaque suite Yk(n) compte N, + N z -1 termes non nuls. Les convQlutions arealiser pOTtent sur N, T N z -1 termes. Le <\iagramme de 10 figure 2.11 montre l'enchalnement des operations; Ie. suites Yk(n) el Yk +i (n) ant N z - i termes qui se supeT·posen!.
h(n] ...
, --,-,N.!..2~
I
I
INJ
Xk (n) ...
, --""1I=----f
,
I
f
Nz+ N3-'
Yk(n) "'I--~~'~~~--r-----<
I
I
I
I
~k+1{n) t
I
N,
1
l
I
Yk1'1 (n) ~
,
I
I
,
: N2 -1
y(·n)
I
I
~HH$$$$1
I
N2-11
~\H<$\\~
N 2 -1
~$$$$\S\SI
FIG.2.11. Encj1afnement des opb:ations dans fa convolution rapide avec frac tionne!1l'ent
Dans ce processus Ie nombre de caleuls a effectuer par element de la suite
y (n) croit comme Logz (Nz + N3 - 1) e( il ne faut pas choisir N, (rop grand; si
N3 < N z aucun terme de la suite y (n) nlest obtenu directement. Par suite il existe
une valeur optimale pour N 3 . Le nombre de positions de memoires necessaire croft
comme N3 + N2 + 1. Un bon compromis consiste a prendre pour N3. 1a premiere
valeur superieure aN2 telle que N3 + N2 - l ·soit une puissance de deux.
2.6
CALCUL D'UNE TFD PAR CONVOLUTION
Dans cer.taines applications on ne dispose que d'operateurs cap abIes de faire des
convollltions pour caleuler une TFD , C'est Ie cas des ,ircllits utilisant les dispositifs
a transfert de charges qui permettent defair e des calculs, sallS forme analogique et
sur des signaux echantillonnes, a des vitesses compatibles avec les frequences rencon trees dans. Ie dOlhaine des radars par exernple,
La relation de definition de la TFD s' ~crit:
1 N-l
nk
X(k)~- L x(n)e-i""N
N n=O
En posant
2 • La transformation de Fourier discrete
74
il "ient :
kl N-1
X(k)=W 'i
convolution
cITculaire
IT'·
_(n_k) l
L x (n)w T w -zn='O
(2,28)
CeUe expression exprime Ie prpduit <;\~
des
suites
x(n)WT
n'
et W- T . rI g'en suit que Ie caleu! des X(k) peut etre effectue en trois etapes
cornprenant les operations sllivantes :
n1
~ multiplication des donnees x (n) par les coefficients W 1:
- produit de convolution par la suite de coefficients W- 2
k'
- multiplication des resultats par les coefficients W T
Le processus est represente sur la figure 2J2.
Convoluti on
par W- n212
Ca[clJ,l d'une TFD
par convolution
FIG. 2.12.
Cette methode s'etend au cas au West un nombre c0IDplexe dont Ie module
est different de l'unite [9].
Apres la presentation et l'application des' algprithrries' de TFR, cNtaiRs
aspects de la realisation vant etre abordes.
2.7
REALISATION
Pour mettre en reuvre les algorithmes de calcul de la TID il faut disposer d' equipements comprenant les elements suivants :
- unite de memoire pour stocker les donnees d'entree-sortie et les resultats
intermediaires ;
- unite de memoire. pour stocker les coeffi,cients de la transformee ;
- unite arithmetique capable d' effectuer des additions· et multiplications portant sur des nombres.c.omplexes;
- unite de commande pour enchainer le.s operations.
Ces- elements de base se- retrouvent dans tQute machine destlnee au traitement
nUl.l.lerique du signal, que ce soit en logique cab lee ou en logique programmee. Les
particularites liees a. la mise en <;euvre de la TFR tiennent a deux caracteristiques
principales :
- 'Un volume- de calculs arithm6tiques important;
- les permutations a effectuer sur les donnees qui conduisent a des calculs
d' indiGes Gompliques.
2.7
Re'alisation
75
Les contraintes sont d'autanl plus grandes que l'ordre de la Transformee est
61eve,
Le probleme de realisation qui se pose est celui d'une mise en ceuvre efficacedes a1gorithmes decrits dans 1es paragraphes precedents. V ne mise en reuvre efficace est celle qui conduit ·il un taux eleve d'uti1isatiofi des differentes unites de 1a
machine et pattiouJierement l'unit6 arlthmetique, On peut itnaglner differents
ageneements de circuits et modes d'organisation des caleu1s [10J et [11]. A titre
d'exemp1e, un circuit simple pour realiser l'a1gorithme de 1a figure 2.4 est donne
par la figure 2.13. Les donnees- x (n) se presentent en serle, la Transformee est
d'orclre N = 8.
E
e,~
, ,
" " '"
- I X:3
' x, '
~,
, x, I 'x 7 ,
L
r-
.---J
e,
eJ
."••
],"
S,
I Xo
, x, , x, , x, > - -
5,
I ·x,
, x, ' X, I X, > - - -
Fru."2.13.
Realisation serie d'une TFR en base. 2
Le circuit comporte un registre M, de 4 donnees, deux registres M~ de 2 donnees et 2 registres M3 d'une donnee. Les dispositifs de commutation, commandes
g p~r les signaux C1, C2 et C3 respectivement ,permettent un enehainement conve• nab1e des calcu1s. Les coefficients WP doivent etre appliques aux mu1tiplieurs ·au
.<e
8
.§ moment approprie. La figm:e donne les signaux de commande et les signaux d'en-a tree et sertie.
Le mu1tiplieur comp1exe est realise il l'aide d'un ensernb1e de mu1tipliems et
additionneurs reels qui pour faire l"operation :
•c
1
o
"
76
2 • La transformation de Fourier discrete
effectuent les caleuls suiyants :
c;, ~ aRb R - aib,
Cj = aR,.bi + aib R
II faut noter qu1il existe une autre possibilite qui c.onduit pour chaque multiplication complexe a:3 multiplications reelles au lieu de 4 et 5 additions au lieu de 2 :
taR + jai) (b R+ jbJ ~ [taR + aJ bR - a;(b R + b;)]
+j[(aR+ai)bR + aR (bi-bRl]
(2.29)
Et meme, si Ie nombre comple.xe bR + jb i est fixe , Ie nombre d'additions a faire se
reduit a 3 pour dhaque multiplication.
Si Ie debit de donnees est continu et que les calouls de TFR sont a faire sur des
biocs de donnees adjacents, Ie rytbme de base des calculs est celui des donnees et
l'on peut remarquer que les n'lulliplieuts sont ihactifs pendant la moilie du temps.
11 est possible de perfectlonner Ie circuit pour que les multiplieurs soient utilises a
leur capacite maximale, en traitant des blocs de donnees conse-cutifs avec un
rythme c\e base egal a la moitie de la cadence des donnees.
L'exemple de realisation deerit cl-dessus appelle deux remarques :
- Le circuit comprend trois etages de structure diffe-rente, avec des signaux de
commande di'fferents; c'est un inconvenient car on 'recherche plutat le$ circuits
modulaires, en particulier pour Fintegration agrande echelle.
- Les resultats se presentent dans un orllie permute; it faut un traitement
complemen'taire pOllr retrouver l'orel-re naturel des indice$.
Quand un certain degre d'optimisation est recherche, plutot qu'adapter les
circuits aux algorithmes, il est preferable de rechercher des algorithmes compatibles avec le$ contraintes qu'impose la technologie'aUX" circuits.
D'autre paTt, en vue de reduire encore Ie volume des calculs arithmetiques,
des algorithmes plus sophistiques que la TFR peuvent etre envisages, De plus si les
donnees pre·sentent des:particularites, par exemple si ce sont des nombres reels, si
des symetries apparaissent, des simplifications import antes peu:vent intervenir.
Ces sujets sont abordes dans Ie chapitre suivant, a partir d~une representation
unifiee des ·algorithmes de TFR.
77
Exercices
BIBLIOGRAPHIE
[1]
Specjal Issue orr FfT 'a nd application~, IEEE Transactions, Vol AU-iS, W 2, June
1967,
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[3]
L. RABINER and B, GOLD - Theory and Application of Digital Signal Processing,
Ch-apten< 6 and 10, Prentice-Hall, New Jersey, 1975,
[4]
J. LlFERM:AN - Theorie et Application de La Transfonnatlon de Fourle.r Rapide. Ed-.
Masson, Paris, 1977,
[5J P. DUHAMEL - <~ Un algorithme de TransfOlmation de Fourier Rapide a double base ,» ,
Annales des Telecom" Tome 40, N° 9-10, Sept,-Oct, 1985, pp, 481-494,
[6]
D, T0FTI and H. HERSEY - Effects of FFT Coefficient Quantization on Bin Frequency
Response, Proceedings'of IEEE, January 19?2,
[7] T RAN-THONQ and BEDE Lru - Fixed Point FFT Error Analysis, IEEE Trans. ASSP,
VoL 24, N° 6, December1976,
[8] J" MAX et Collaborateurs - Methodes et Techniques de Traitement du Signal et
Application~ au;rMesure.s PhYsiques, Tome I, Editions Milsson, Paris, 1981.
.
[9]
'", R. RABINER, R. W, SOHAFER and C. M, RADER - The Chirp Z-Transform AJ gorithm,
IEEE Trans" Vol. AU-17, June 1969,
[10]
H . L. GROGINSKY and G . A. WOR'£5! - A Pipeline Past Fourier Tmnsform, IEEE Trans,
On Computers, C 19, Nov. 1970,
[11] E, GO LD and T. BIALh Y - Parallelism in Fast Fourier Transform Hardware, IEEE
Trans, AU-21,:W 1, Feb, 1973,
EXERCICES
~
u
1 CalcuLer la Transfohliee de Fourier Discrete. de la suit e c'omportant N = 16 termes
5 tels que:
"••
x (0) ~xCI) ~x (2) ~ 'i("4) ~x(15) ~ 1
'.
•
],
•c
o
c
•
.<e
8o
"0
~
et de Ia suite:
xeD) ~ x (1) ~x(2) ~ x(~) ~ X(4) ~ 1
x(n)~6 pour 5 "' n"'15
:;
Comparer les resu1tats obtenus. Bifectuer 1a Ttans.fonne~ inverse -Sl\I ces resultats:
-g
8"
2 E.tablirle diagramme de 'f'algorithme de TFR d'ordre 16 avec entrelacement temporel et entrelacement frequentie1. Quel est Ie nombre minimum de multiplications et additions hecessai'res?
~
@
2 • La transformation .de FoLirier discrete
78
4 Calculer1 ,en 'utilisant Ie programme donne err annex-e, 1a Transfonnee de Fourier
Discrete de 1a suite eOrripottant N = 118 teffiles tels que .:
x(Q) = ;,;(1) ~ x (2) = x (126) = x (117) = 1
x(n)=O pour 3 "" n ", 125
Comparer les resultats a ceux donnes par }'exerdce 1.
'La suite X (k) obtenue constitue une approximation du d6veioppement en .serie de
Fourier d'-une suite d'impulsions. Rapprocher les re-suItats' obtenus avec les chiffres du
tableau de l'annexe I du chapitre 1. Expliquer les differences. Comment evolue l'approximalion si N = 514 ?
4 Soit 4.re41iser llne TFD d'OTdTe 64 aVec l~ minimum d'operatiol1Smitlun6tiques.
Evaluer le nornbre de multiplications et d'addltions necessaires avec les algorithmes en
bas" 2, 4 et 8.
5 Soit a amilyser la puis-sanc;e du bruit de caleul produite dans une Transformee.
d' ordre 32. Montrer, en utilisant les resuitats duoparagraphe 2.3, comment varient les n~sul­
tats sur les diffe-rentes sorties. Calculer la djstornon introduite par une limitation a 8 bits des
coefficients.
a
6 Montter qlle chaqu~ sortie d'une 1FD ~ X(k), peut &tre obtenlle partir des entrees
x (n) par uhe relation de r€currence. Evaluer Ie nombre de multiplication.s necessaire.
7 Soit arealiser une 1FD d'ordre 64 sur des donnees qui sont des nombres de 16 bits.
Evahler la degradation du rapport signal abruit q~and on fait en cascade- une Transformee
airecte et inverse, avec une maGhine.a 16bits.
a
a
8 La bande supposee occupee par un signal analyser s'etend de 0 10 kHz. La resolution specttaIe recherchee est de 1 Hz. Quelle longueur d'enregi..strement doit-on p telever
pour faire 'line te11e analyse? Quelle capacit6 de memoire. faut-il pour stocker'les donnees
supposees (3odees a,.-& bits? l)etenniner les earacteristiqhes d'un calculateur capable de realiser une te11e analy.se spectrale : capacite de memoire, cycle memoire, temps· d'addition et
multiplication.
9 Cakuler la TFD de la suite x (n) definie par:
n
n
X(l1) = sin 2n ~5 + 0,2 sin 2 n -5
3,
6,
avec
0 ", n ""J5.
Pour ameIiorer l'an·a1yse on :p.tilise Il;s' fenetres suivattt~s :
g (n)=V+-cos
2:J
2.rrn
'g(n)=O,54 -0,46cDs 16
(Hamming)
2M
41'1t
'g'(n) =O,4~ - 0,5 t os 16 + 0,08 CDS 16
(Blaknfim)
Comparerles resultats de cette analyse.
10 Det;lIirl; ge maniere getaillee Ie fonctionnement du circuit de la figure 2.13. Donner
en p'arliculier la sUite des nombres qUi se presentent en sortie de chaque additiort.i1eur et
Exerdces
79
soustracte'ur. Montl'er que pour faire f0nctionner les multiplieurs a ieur pleine capacite, il
fautinttoduire, Une memoi:(e d'enttee .slippJemei1taire ~ donner le,s .sig:Q:aux de comh1,ande
dans ce cas.
11 Generaliser a la base 4 la r6:::ilisation serie donn6e au paragraphe 2.7. Donner It;!diagramme des temps detaille.
Si la Transformee est d'ordre N = 64, si les donnees ont 16 bits et se pre's entent ala
cadence de 8 kHz ~ si les coeffidents out 16 bits, e~..pr.imer la puissance de calr;::ul necyssaire I;t
Ie volUn1e de memoire pour les donnees et 'les coefficients. Rapprocher ces resultats des
caracteristiques d'un microprocesseur courant.
chapitre 3
Autres .a lgor,i thmes
de ,c alcul rap ide de la TFR
Lesalgorithmes de calcul rapide de la Transformee de Fourier Discrete (TFD)
sont bases sur une factorisation de la matrice- de ceUe Transformee. Cette factorisation est deja apparue dans les aigorithmes a entrelacement tempore! et frequentiel introduits dans Ie chapitre prec€dent et qui sortt des elements d'ljn en~emble
d'algorithmes tres varies.
Pour apprehender l'ensembie des algorithmes de caleul rapide et pouvojr ainsi
exploiter au n'lleux les partiGqlarites· des signaux a traiter et les possibilites technologiques, il est neelossaire. de faire appe1 a un olitil mathematique bien adapte, Ie
produit de Kronecker des matrices. En combinant ce produit avec le produit au
'sens habituel il est possible de decomposer simplement to ute matriee de TFD .
3.1
LE PRODUIT DE KRONECKER.
DES MATRICES
Le produit de Kronecker est une operation du caleul tensariel ql!i constitue une
generalisation de la multiplic.ation d'une ma!rice par un scalaire T1].
Etan! donne deux matrices A lot BRyant respeetivement metp lignes etn et q
colbnnes, Ie produi! de Kronecker de A par B, note A ® S, est une nouvelle
matrice amp lignes etnq eolannes, que lIon obtient en rempla~ant chaque 61ement
b;j de 1a matriee B par Ie tabieau b;j A suivant :
bjj a ll
bij a12. · · · bija1n
Ce produi! n 'es! generalement pas commutatif :
3.1
Le produit de Kronecker des matrices
'81
Par exemple, si la matrice Best telle que
Le produit de Kronecker de la matrice A par la mattice Best defin'i par :.
(3.1)
A
Ort peut remarquer en particuIier que Ie produit de Kronecker de Ia matrice unite
de dimel]Si.on N, IN' paJ; la matrice uni\~ de dimemion M., 1M ~st egal ~)a .IDa tric;~
unite de dimensionMN:
(3.2)
De meme Ie produit de Kronecker d'une matrice diagonale par une- autre matrice
diagonaIe est encore une matriee diagonale..
Le produit de Kronecker se combine avec Ie praduit de matrices au sens- habituel, avec les proprietes suivantes, qui vont etre uti.lisees dans les prochains para..,
graphes, pourvu que les dimensions soie nt compati\Jles :
- Le produit de Kronecker d'un produit de, matrices par Ia matrice unite- est
egal au produit des produits de Kronecker de chaquematrice par la matrice unite:
(ABC) ® I ~ (A ® I)(B ® [)(C ® I)
(3.3)
Un produit de produits Be Kronecker est egal aU produit de Kronecker des
produits :
(A
B ® C)(D ® E
F) ~ (AD) ® (BE) ® (CF)
(3.4)
- L'inverse d 'un produit de Kronecker est eMI au pJ;oduit de Kronecker des
lnverses :
(A @ B ® C)-'= A-' ® B-1
C-1
(3.5)
.'!:::i
§" L ~0peration de transposition a Ia meme propriete que Pinversion:
."••"
],
Br@ C'
(A @ B
(3 .6)
•
La matrice trans po see d'un pr.oduit de Kronecker esl le produit de Kronecker des
.~
Ces proprietes sont aisement mises en evidence sur des exemples simples;
g matrices transposees .
§ e11es sont lltilisees pour Ia factorisation des matrices a elements redondants. et en
i particu!ier les matrices de la TFD [2]. L'entrelacement frequentiel est considere en
premier lieu.
l
II faut noter que Ie [acle ur d'echelle
n'est pas pris en compte dans' I. sui!.e
de ce chapitre.
N
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
82
3.2
FACTORISATION DE LA MATRICE
DE L'ALGORITHME D'ENTRELACEMENT FREQUENTIEL
Dans les algorithmes ex amines au chapitre precedent, l'une des suites, en entree
ou en sortie, se trouve permutee; ia matrice qui fepresente eet ·algorithme est une
matrice qui se deduit de 'la matrice TN par permutation des lignes:Oll des Golonnes
suivant que l'on considere l'entrelacement frequentiel au temporel [3].
Designons par T~ la matrice qui correspcmd a l'entrelacement frequentie1 et
est obtenue par permutation des !ignes de la matrice TN definie par la regie suivante : chaque ligne est nurnerotee en binaire; on inverse }'ordre des- chiffres de ce
nonlbre binaire; la valeur du nombre binaire ainsi abtenu indique Ie numero de la
ligne dans la nouvelle matrice.. Par exemple pour N ~ 8 il v.ient :
Ts: ~
1
1
1
1
1
1
1
1
T~=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
W
wz
W'
-1
-W
_Wz
-W'
-1
-1
wz
-W ~
W
-W
W'
-W'
1
w~
-1
-W~
1
wz
-1
_W2
1
W3
_wz
W
-1
-W'
W2
-W
1
1
-1
1
-1
_wz
W2
-1
wz
W'
W2 -W'
_W2
W
_W2 -W
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
-w
wz
-W'
1
1
-Wl -W'
_wz
-1
2
-W
W
on o· ~ 0
001~1
OiO~2
o 11~3
1
W
-wz
W'
_W2
-1
Wl
lOO~4
-1
W' 101~5
W2 11 O~ 6
111~7
W
1
1
1
-1
O .oO~O.
-1
-1
wz.
-wz
-W
W
-W'
W'
1
-1
_wz
wz
-1
_ w z -W'
_W2
W'
Wl -W
Wl
W
100~4
01n~2
11 O~ 6
o 0 1~ 1
101~5
Oll~3
111~7
On peut remarquer que pour N ~ 2, la matrice T~ est egale a Tz,. matrice de la
TransfoTmee d'ordre 2.
La matrice T~ se factorise en faisant appaT31tte la matrice TN et 1a matrice
diagonale
2:
D
N dont les elements sont les nombres Wk avec 0. .;,; k oS N -1. En effet:
2
2
N
TN=
[T
2
TifDli
2 2
T i1
-LD'
2·
2.
3.1
83
Ualgorithme d'entrelacement fnEquentiel
Cette decomposition apparait cl(limmtml pour T~ par exempJe. Si IN designe la
matrice uni te d'ordre ~ 11 vient :
2
T'
Tf.r=.
[ o
~
au enc.ore :
T'
0
TN=
~
[
En utilisant les produits de Kro.necker des matrices, on obtient pour T.~:
(3.7)
TN= (T;"
2
o u ~N est une matrice carn~e d'ordre N diagonale, dont 1es. N premiers elements
2
valent 1 et Ies suivants:sontles puissances de W, W k avec 0 ~ k ~ N -1 .
2
Par iteration on obtient la factorisation complete- :
("'·N 0 I:,)(IN ® T; to 12)
2
..
"'N(IN ®T~)
,-
ou encore ;
L%N
."••••
T,,=
I
j=l
],
("'2 ' ® IN )(12,.,
2'
T z ® IN)
(3.8)
2'
Celte expression montre que Ia transformee se caleule en Logz(N) etapes qui cha·
•c cune comprennent:
o
c
- line partie d'arra-ngetnent des donnees' cQrrespondant au facteU'r
•
.0S
o
(10,·, ® T z ® IN ) et qui ne comprend que des additions et soustractions,
'0
~
~
1
o
@
2<
- une partie comprenant les multiplications par les coefficients representes
dans Ia matrice (4 2' ® IN )·
2'
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
84
L 'etape cmrespondant a i ~ 1 ne comprend pas de mUltiplications. On peut
vexifier que totttes 1es matrices ont bien la dimension N.
Pour voir comment 1a factorisation se generalise a 1a base 4, il est interessant
d~ examiner 1a matrice T~6' obtenue a partir de la-matrice T16 par-Ia permutation
suivante des lignes : les !ignes_sont nurnerotees en base 4 ; on inverse l'brqre des
chiffres dans les numeros de ligne; la valeur obtenue indique Ie numero de la ligne
dans 1a nouvelle matrice. Suivant cette permutation on a ~ T4 = T 4Avec les notationSsuivantes :
1
a
a
W'
Dj= Q
a
a
I 0
a
a
(I
0
a
W"
a
W 3i
la rn:atrice de la transformee d'ordre 16 ainsi obtenue s\~crit :
T{6=
T{6=
T4-
a
a
0.
0.
T4
0.
0
0.
0.
T.
T tDJ
T4
Tt(-j)Dl
T4D~
T4D~
T,
0
0.
a
0
T,
T4
T4 (-l) Dl
T4
Tt (+ j) Dl
T4(-1 ) D ~
T4l)~
T4 (-1)D ~
T4(+J ) D ~
T4 (-l )Dl
T4 (- J )Dl
14
0.
0.
0.
0.
a
a
D~
0.
0
Q
D 24
a
0.
0.
D'4
14-
r.
T4
- J I4
It
14-
+ }14-
-T4
14
- 14
,]4
- 14
14
+i I4
-14
- ) 14
SOllS forme de produits de Kronecker cette expression s'ecrit :
T;6 ~ (T4. I8l 14)"',6(14 0 T 4)
(3.9)
Alp est une matrice diagollale dont les 4 premiers termes ont pour valeur L les
4 su\vants W k avec 0 os; k os; 3, ies suivants (W 2) k et (W ')k avec 9 '" k os; 3.
La factorisation en produits de Kronecker est a la h ase d' algorithmes ayant
des propriHes variees, notamment sur l'ordre de presentation et d'extraction des
donnees etrenehainement des o perations.
E lle s'app lique aussi !tux transformees partielles qui ont une grande importance pratique.
3.3
LES TRANSFORMEES PARTIELLES
Les transformees qui ont "
e te etudiees dans les paragraphes precedents portent sur
des ensembles de N nombres q ui peuvent etre complexes. Dans une an alyse
3.3
Les tran~formees partielles
85
spectrale fine it se peut que I'ordre de la transformee N devienne tres grand alars
que seuls ~ont interessants a connaitre un nombre reduit de points 911 spectre.. La
limitation du calcul aux seuls points utiles peut alors permettre- une. ecorromi"e
imp,ortante.
Soit a calculer la transform€e partielle d6finie par l'equation suivante Ott rest
un diviseur de N :
WP
W1J>
W(N-l)P
Xp+l
1
1
WP'+i
W 2(P+l)
W (N-l)(P+l)
Xp+ 3
1
W P -f2
W2(P+ 2)
W (N ~ I)(P+ 2J
Xp H -1
1
W (E +·r - l )
........
W (N-l ) ~P H -l)
Xp
A partin de l' ensemble des dO)1nees, on forme
N
Xo
X,
,t 2
(3.10)
X'N -1
sous ensembles de r terrrles
r
chacun:
(Xo, xN ,x 2N,
X C,-I)NJ
,
,
x(r _l)N
)
--+1
(XN
,
--1
'X 3N
,
-1
Sbi~ Dj la matrice diagoh·ale de dimension .. et dont les elemenfs de la diagonale
sent les puissances de Wi, soit Wik, avec 0 ~ k ::-:; r -1.
La matrice de la transformee partielle peut etre s'eparee en N salis-matrices
r
qui s'appliquent chacune a l' une des suites definies precedemment et I'equation
matricielle de la transformee s'ecrit :
,o
~-1
,
N
."
[xlpfLo DiT,(WP) ; D~7 [x] ;, r
~
au [xlp,,, designe l'ensemble de r nambres X k avecc p <s k '" P + r - 1 et [x1,,,
"••
(3.11)
,~
]
.i
8
l'ensemble des donnees Xk avec k = n. .. N + i et fl = 0, 1, . __ . r - 1. D ' autre part Tr
r
.
o
"0 est la transformee d' ordre r.
:;
Par suite si r est un diviseur de N une transf.ormee partielle pOI.tant sur ,r
~
~. points se caicule a l'ai,de de N transforrnees tfordre r auxquelles sont associees
5
o
,@"
r
des,matric~s diagonales convenables.
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
86
si N el r $cmt des puissances de 2, ie nombre de multiplications complexes a
effectuerMp s'exprime par:
(3.12)
Par Tapport i\ 1a transformee glob ale, i1 apparait ainsi que 1a transformee partielle
est avantageuse pour N > 16r, done pour 1es faib1es nombres de points a ca1culer.
Ce resu1tat est egalement val able lorsque c'es! Ie nombre de points a transformer qui est limite, ce qui est aussi un cas frequent en analyse de spectre.
Un exemple courant de transformee partielle est celle qui porte sur des donnees reelles.
3.3 ..1 Transformee de nombres reels et TFD impaire
Si le;5 nombres atransformer sont n~e1s, les prQprletes enoncees au ehapitre 2 indi-
quent que les nomb res transformes X(k) et X(N ~ k) sont complexes conjugues,
c'est-a-dire que X (k) ~ X(N ~ k); alors il suffit de ca!culer I'ensemble des X k
avec 0 ·"" k "" ~ ~ 1 e( Ie resultat precedent s'applique :
[X1o I'l ~ T I'l [x10 I'l + J) I'lT I'l [x1, I'l
~2
2
' 2
2
2
(3.13)
'2
Dans ce cas precis il est ppssible de n'effecluer qul·une seule fois Ie calc.ul de la
transformee TN ' en tenant compte de la propriBi6 suivante de la Transformee de
2
Fourier D1screte; si la suite a transformer xi< est purement i maginaire, la suite
tTanSformee est telle qU,e :
X(k)~~X(N~k)
Dans ces conditions 1a procedure- po ur Ie calcul de· la tran:?formee dlune ~uite reelle
est la s-uivante :
~ Former a partir desx(k) unesuite comp.1exe de ~ termes
N
Y (k) ~x (2k) * jx(2k + 1) avec 0 "" " "" 2 ~ 1.
~ Calcu1er la transformee Y (k) de la suite y (k) 'avec 0 "" k "" ~ ~ 1.
~
Calculer les nombres cherches Par l't;xpression:
1[Y(k)+ - (N )] + 21je
X(k)~ 2,
Y . 2'~k
N (N)
Z Y (0).
avec a "" k os 2' ee Y
~
-jz,o "l" [Y
(N) Y(k)J
2 ~k ~
(3:.14)
3.3
87
Les transformees partielles
En regroupant les facteurs on peut ecrire so us' une autre forme:
X(k) ~ A(k) Y (k) + B (k) Y ( ~ - k)
(315)
1
1
avec A (k) ~ 2 (1 - JWk) el B (k) ~ 2 (1 + JWk).
La !ransformeeinverse s:obtien! a partir des N" 1 termes X(k) <'lVeC 0 '" k '" ~ ,
en calculant:
Y(k)~ A (k) X(k) + B(k)X(~ -k)
(3.16)
pour 0 "'- k "'- ~ -1, puis en ca!culanl la TFD inverse d'o:rdre ~ deces valeurs et
enfin en prenant les parties n~elles de l'ensemble Dbtenu comme donnees d'indices
impairs et les parties imaginaires c,o mmes donnees d? indices~ pa,irs.
Si Nest une puissance de 2, Ie nombre de multiplications complexes M e a
effectuer s!eh~-ve a :
(3 .17)
Le nomhre de memoires necessaire est de N positions reelles. La reference [4]
decrit en detail un algorithme de ca!cul pour donnees reelles.
Une autre methQde pour calculer le~ transformees de nombres reels con-siste a
faire appel aux transformees impaires [5].
La Transformee de Fourier Discrete impairet6tablit par definition les relations
suivantes entre deux ensembles de N nombres complexes x (n) et X (k) :
~ '21T £2k+ l)n
2N
1 N-l
X(k)~-
N
N-l
~
n ~O
x(n )e "
.
(3 .18)
(2x+l)n
x(n) ~ L X(k)eI2~~
k~O
.;ijj
Les coefficients de cette transformee ont pour -affixe les points M du cerole unite
§ tels que Ie vecteur C5M fas's e avec Paxe des abscisses un angle multiple impair de
]I
.~
],
•c
2"
'2N comme Ie montre la figure 3.11m
o
c
•
'''8o
"0
~
~
•
-g
~
,.
o
@
FIG, 3.1.
Coefficients, de fa TFD impaire
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
88
IT
En posant W ~ e-i N la matrice de cette transformee s'ecrit :
Tk ~
1
1
1
W
W2
W'
W 6
W3 (N-I)
W5
WIO
W 5 (N-1)
1
W(2N- 1)
.... .. ...
W (2N-Ij (N-1)
WN - J
Si les x (n) so nt des nombres recis, on peut ecrire :
1 N'- 1
2 (N - 1 - k) +1
X(N-l-k)~N
I. x (n) e-i '"
2N
n~O
(},19)
- 2k+l
1 N-l
'<'
i'he - - n
~ x (n) e
2N
N n""O
~ -
D 'ou Ie Tesultat suivanl :
X(N-l-k)~X(k)
(3,20)
Pm; suite les X (k) d'indice pair et d' indice impair sont complexes conjugues; il suffit donc de calcUle r les X (k) d' ihdice pair pour faire une transfor mee sur des n,els,
Une telle transformee correspond ala matrice,T R t elle que:
N
1
W
W2
1
W5
W-:;
1
W2N - 3 " ' , ' , " ' " W -
WN - l
5N
(2N -3)N
2-
W5(N-1)
W(2N -3) (N-I)
Soh D N la matrice diagonale dont les e lements de la diagonale sont les W k avec
2
o ,,;; k oS ~ -1 et T ~ la matrice de la transformee d' ordr.e ~ , Compte tenu du fall
N
que W 2N ~ 1, et W:1 ~ - j , il vient :
(3,2l)
AlDIS la i ransformee impaire sur des nombres reels se calcule en effectuant une
tTansformee d'ordre ~ slir la suite des nomb res'complexes
y (n) ~ [x(n) -jx(~ +n)] Wn avec noSh"" ~ -1,
(3,22)
3.3
Les tran~formees partielles
89
Le rlombre de caleuls est Ie meme que dans la methode indiquee au debut du
paragraphe, mais la structure est pl!!s simple. Il faut noter cepenc\ant q!!e les
nombres transformes donnent nn echantil10nnage du spectre du signal que represente les -"(n), dec ale d'nn demi-pas d'echantillonnage en frequence.
Un cas important oil des simplifications notables interviennent est cel!!i des.
suites reelles symetriques. Les reductions de ealcul sont mises en e.vidence par utilisation de 1a transformee doublement impaire [6].
3.3.2
La Tr.ansformee doublement impaire
La. Tran,sformee de Fourier Discrete doublement"Imp'a ire etab lit par definition les
relations suivantes entre deux ensembles de N nombres complexes .• (n) et X (k) ,
,
-L
N-I.
~
)
X(k ) ~ N nL: x(n e
o
N -I
x(n )~
-,2Jr
(2k+ 1)(2n +1)
<IN
(3 .23)
' 2 (2k+ J)(2n +1)
L X (k) e' n
4N
k<O
(3.24 )
Les coefficients de cette transformee ont pour affixe les points M du cerele unite
tels que Ie vecteur OM fasse "£lvec l' axe des abscisses un angle multiple impair de
2/t
- comme Ie montre 1a figure 3.2.
4N
FIG. 3.2.
Coefficients de' fa: TFD doublement impain!'
."••••
~
•c
o
c
•
Si les X (n) s'o nt des nombres reels o n veri fie la relation ,
X (N-l -k)~-X(k)
'1C
g De meme si les X (k) sont reels alors :
'0
~
~
•
x(N -l-n) ~-x (n)
~
]
§
o
@
n
En posant comme preeeciemment W = e -i N la matriee de Ja transformee slecrit:
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
9()
1
5
Wz
W I,
3
Wz
Tl! ~
N- ~
W 2
W3("-~)
15
9
We
We
5
15
25
Wz
We
We
W5 (N-})
(3.25)
WN-~ W3(N-~)
Vne·rene transforme e se factorise comme suit :
1
W eb
1
W'
W'
W8
W2(N-l)
::t:~:; 1
W2(N-1; (N - 1)
Ll
C'~st-a.-dire que :
1
Tl!~W 3 DNTNDN
(3 .26)
Considerons Ie cas ou la suite des donnees ,y-(n) est une suite n~elle et antisym,e trique, c'est-a-dire quex(n) ~ - x(N -1 - n) ; alars il en est de meme de la suite
X (k ). La suite des x(n ) pour n pair est egale a la suite des x (n) pour n impair au
signe pres ; de meme POljf la suite des X (k ).
Pour calculer la transformee il suffit dans ce cas de mener les calcu ls sur les
x (2n ) avec 0 "" n ""
i-
1 puisque les X (k) sont des n,ombres reels ; d 'autr.e p ~rt il
suffit de faire ces calculs sur les X (2k) avec Q '" k ""
La matrice correspond ante T RR s' ecrit ~
1
TRR ~ Wz
['
0.
0
0
W2
0
0
0
i-
1.
3.3
Les tran~formees partielles
91
1
1
1
1
1
1
W2
W'6
1
W8(~-1) W8(~ -1) (~-1)
'0
0
W8(~ -1 )
a
o
0
T"-]
DN
Compte tenu du fait que W2N = 1, il went '
T '"4
1
TRR =
W 2: DN
2 [
4
(3,27)
TN T~2'
4
N
Et cOIiulle W 2,.- = - jee c,aleul peut etre conduit en ll'effectuant qu' une seule fois
les operations· representees par 1a matrice TN sur Fensemble de nombres
4
(
N) avec 0 '" n '" 4N-1, Les 4Nnombres obtenus sont des
x(2n) - jx 2n +:2
nombres complexes dont les parties reeHes constituent l'ensemble des X (2k) avec
o "" k '" ~ - 1 recherch€es', En effectuant l' operation definie par T RR pour le~
nombres transformes de rang 2k + ~ avec 0 "" k '" ~ - 1, on peut verifier que
Pon obtient les nonibres precedents multiplies par - j; c1est-a-dire que 1a partie ima-
ginaire des nombres obtenus precedemment, fournit l'ensemble des X(2k + ~), 11
~
~
,'en suit que la transformee doublement impaire app'liquee a une suite de N
termes, teelle antisymetrique, au a une suite symetrique rendue antisymetrique
par un changement de signe convenable, se roouit al'equation :
,o
"•• [X (2k) + jX( 2k + ~)] = W~D" T"D,,:[X(2n) - jX(2n + ~)]
'.
],"
•
o
o
c
•
4
S
o
~
~
4
'
avec 0 '" k ,'" N - i 0 '" n "" N - 1 et ou D est line mat rice diagonale dontles
,
4'
4
~
'D-
]
4
(3,28)
N
elements spnt les W·2j avec ,b ~ l ~ -
4
- L.
Ly nombre tie multipliGations complexes necessa'ire Me s~eleve a :
N (N)
8 * 2 4N 8Nlog 2 (2N)
Me = 8 log 2
=
(3,29)
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
92
Les comparaisons de volume de calculs entre les differentes transfo rmees conduisent au tableau 3.1 :
Tableau 3.1- Q >JANrrrEs DE ·CAr;CULS DANS-DNERsES TFR.
mllltipliq~tions
~6mpl~~ ~s
Md\tiOus
qe..m~mo.ira
N log, 0N)
2N
N
TID complexe
~ log, (~)
TED impaire.-donnees reelles
Tlog, (N)
N
2 log, C~
2)
TID doublement impairedonnees d:elles paires
N
s log2(2N)
N
. (N)
T log, 4
N
Pos\ti'6ns
cQrnplex e.!]
N
2
-
L'interel des transformees imp aires apparai t olairement. Jl faul c,,;pendant
noter que d'autres algorithmes pe rmettent d'obtenir avec les donnees reelles et
reelles symetriques des reductions encalcul un peu superieures ['7], mais sans aVoir
la facilite de mise en ceuvre, en particulier pOlir les realisations rrrarerlelles·, qu~of­
frent les transformees impaires.
Une particularite Be la transform6e do\!blement impaire appliqlJee Ii line sllite
reelle antisymetrfque est qu~ elle est identique a la transformee inverse; il n1y a pasde distinction, mis
a part l'e facteur d'echelle ~ , entre transfo rmees directe et
inverse dans ce cas.
La transformee de Fourier d'une s1.:lite reelle symetrique intervient par
exemple dans Ie cakul de la deLlsite spectrale i\nerg6tique d'un signal a partir de la
fonetion d'autocorrelation.
3.3.3
les Transformees discretes en cosinus et sinus
Les transformees considerees jusqu'a present a nt des coeffidents complexes. Des
transformeeS' discretes de la meme famille peuvent etre obtenues partir des parties n~,.e lles et imaginaires des coefficients comp lexes. On peut ainsi d6finir :
a
• Uue transformee de Fourier Discrete en cosinus (TFD-cos) :
1
N
XFd k)~-
)
L x (n) cos (2rt!lk
--
N-!
. ~o
N
(~.30 )
,. Une transformee de Fourier Discrete en sinus (TFD-sin) :
1
X.FS (k) ~ N
n;o x (n) sin (2rt!lk)
-N
N-!
(3.'3 1)
3.3
93
Les transformees partielles
• Une transformee en cosinus discrete (TeD) :
Vi N - I
XCD(O) ~ N 'n~O x (n)
()
(21t(2n+l)k)
X CD (k) -- N2 N~'
/::'0 x n cos
4N
(3.32)
alaquelle correspond 1a transformee inverse:
1
.
x(n)= ,rXCD(O)+
y2
L XCD(k)cos (21t(2n4N+ l )k)
N-1
k~l
• U ne transformee en sinus.discrete (TSD) :
(k) = ~
X
SD
i,'
2 N
x (n) sin ( 21t (n + 1) (k + 1) )
N + 1 n~O
2N + 2
(3.33)
A l' aide de manipUlations comparables ~ celles des donnees dans les paragraphes precedents, on peut etablir des relations entre la TFD et ces diverses
transformees ainsi qu'entre ces transformees elles-memes.
Par yxemple, d'apres les definitions, il vient :
TFD (N) ~ TFD-cos (N) - j TFD-sin eN)
Considerant la transformee en cosinus, il vient :
N/2-1
XFd k) ~ n~o x (2n)cos
(21tnk) N/4-1
N/2 + n~o [x (2n+l ) +x (N -2n-l )J
cos (
21t(2n +'l)k)
4.N/4
c'est-a-dire que la transformee en c.osinus d'ordre N peut 's e calculer a l'aide d?urte
transformee en cosinus d'ordre ~ et d'une transfonnee discrete d'ordre N /4, soit
;~
sous.forme concise :
TFD-cos (N) ~ TFD-cos (~) + T CD (~)
]
•
·m De memela transformee en cosinus discrete (TeD) -~'eGrit :
],
• XCD(k)~ ~
g
•
N
Nt' [x (2n ) cos 21t(4n+l)k
4N
n=O
'<e
8o
?
+x ('~n.+
"0
~
~
~
c'est-a-dire qu~ e.n posant, pour 0 ~ fl.~N/2 -1 :
yen ) ~x(2n)
yeN -n-l) ~x(2n + 1)
1)
cos
21t[4(N-n-l)+1]k
4N
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
94
il vlent;
·X . (k) _ 2
L
CD
- N
N~l
( )
2rr(4n + i )k
~ y n Gas
4"
1,
n=O
et en develappant Ie cosinus :
TCD (N) ~ GaS !~ TFD-GOS (N) - sin ~~ TFD-sin (N)
ce'qui s'ecrit egalement, en fauction des donnees et sous une forme concise :
TCD(x) ~ 2e(k) Re {e- i ;~ ·TFD (y)}
,(O)~
-aveC-
(:>.34 )
1
V2 el9(k)~1pourk~1, ... , N-1.
Atnsi, 1a transformee en COSlnUS discrete d'ordre N peut se calculer a l'aide
d'Ll:ne transformee de Fourier discrete de meme Drdre. Compte tenu du fait que
seule la: partie n~elle est utilisee dans Fexpression ci-dessus', on peut meme calculer
2TOD, en utilisant egalement la partie imaginaire. La meme methode s'applique a
la transformeeinverse et on peut calculer 2TCD inverses avec une TFD inverse, en
effeGtuant les operations indiquees it laiigtlre 3.3. Les relations enlre les varia bles :
FIG. 3.3
Calcul de 2 TeD inverses avec u.ne TFD inverse de m({me dimension
it I' entree de la TFD inverse sonl les suiv.nles [8J :
.
So~
Co(xr) + 100 (X2 )
v'2
2 Sk
; SNfl ~
~/2 (Xl ) + j CNfl (X2)
V2
~ {[Ck(X , ) + ~ _ k(x2 lJ GOS ( ;~ ) + [~~ k(Xl) ~ ~~ k(X2)l sin ( ;~ )}
+ j {[Ck(X1) +
~-k(Xo)l sin (;~ }r [Ck(x2l - ~-k(Xl)J cos (:)
·avee k ~ 1, .. " N -1 ; k;., N/2.
De meme en sortie de la TFD inverse,:
-t, (2p) = Re (s(P )) ; X, (2p + 1) = Re [seN - p - 1));
x2(2p) ~ 1m [s(P)); x 2 (2p + 1) = 1m [s(N - p -1 ))
3.3
95
Les transformees partlelles
La methode permet de reduire la quantite de caleuls en compression d'images,
par exemple,
Parmi les transformees a coefficients reels, on peut aussj mentionner la transformee, dite de Hartley discrete (TOO), definie jOar' :
1 N-1
k
k]
XHD(k) ~ N n~O x(n) cos 21t ~ + sin 21t ~
[
(335)
et pour 1a transformee inverse :
x(n )=
nk
nk]
L XHD(k) [ cos21t-tsin21tN
N
N-1
k~O
La liaison avec la TFD est donnee par [9] :
1
.
X (k) = 2: [XHD(k) +XHD (N ~ l-k)~}(XHD(k)-XHD (N -l-k))]
(3.36)
La transformee en cosinltS cliscrete est utilisee en compression de l'informatique, notamment en tr.aitement d1images. En effet, elle fournit pour les ·signaux
d'images une approximation de la transformation propre, qui permet de representer un.signal par Ie minimum de cornposantes.
Ce pouvoir de compression provient du fait qu'elle elimine les discontinuites
de bord de la TFD mentionnees au paragraphe 2.1, car elle correspond a I. TFD
d'une suite symetrisee. Pour pouvoir effectuer cette symetrisation avant d'.appliquer la TFD, 'il faut eviter d1avoir une valeur a l'indice zero, c.e qui est obtenu en
prenont la suite u (n) telle gue:
u(2p)~O
; O<>p<>2N-l
"(2pt1) =u (4N-2p ~ 1 ) =x(P)
; O<>p<>N-l
La TFD d' ordre 4N de la suite u;(n ) conduit, apres simplifications, a'l'expressibn (3.32) .
3.3.4 La transformee en cosinus discrete a 2 dimensions
.:ijj
~
,
La tr.ansformee en cosinus discrete a deux dimensions (TCD-2D ) est definie, pour
un ensemble de N X N donnees reelles, par les equations:
."••••
X('s,k )= 4e(k~: C~) :~: ~t>(n"n2)
2
],
•c
21t(2n1 + l )k,
o
cos
c
•
4N
cos
21t(m, + 1) k2
4N
(3.37)
'1C
8
-§
~
~
3
et:
N -1
x (n1, n,) = L
kl =0
N -1
~ E('s) e(k,) X (k ~)
k;~O
"
cos
.(21t ('Zn1 +1)k1 )
4N
cos
(21t(2fl;;+ 1)k,)
4N
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR'
96
aveC :
1
e(k)~;fi
pour
k~O
e (k) ~ 1
pour
k,* Q,
Cette trans-formee est separable et peut erre calculee de la maruere suivante :
L-)~"I (k) N~'
21t(2n2+1)1<:,
X (' k:l"/}2
N e" 2 n,~O
kJ
COS
4N
Ainsi la lransformee a deux dimensions 5e caleule en utilisant 2N fois l'algorithme corresponciant it 1a trahsformee TeD it Une dimenSion et Ie nombre de multiplications [eelles it effectuer est de lCordrede N"log 2 (N) , En 'fait, celte valeur peut
etre aheinte, notammen! en faisant appcl a un algorithme base sur la reduction
d1llne TCD d'ordre N it deux TCD d'ordre ~ [10]. Il est meme possible d'atteindre
la valeur
!
N2 log 2 (N) en h'utilisant pas la propriete. de separatibilite de la TCD-2D
mais. en etendant a. deux dimensions le p.rincipe d'entr.elacement par decomposi-
tion de, l'ensemble des N x N donnees en ensembles de ~ x ~ donnees [11].
Appliguee a uhe image, la TCD-2D fait apparaitre les frequences spatiales.
Par exemp1e, pour une ligne vertic ale d6finie par:
x(n"n,)~
1
N; n,~Q
x (n"n2) ~ 0; n, '" 0
les valeurs transformees X(k" 1<:,) s'annulent pour k2 ,. O. On verifie egalement
qu)une diagonale constante est transformee en une diagonale constante 1 la' matrice
unite est un element propre de 1a tran$formation.
3.4 TRANSFORMEE AVEC RECOUVREMENT
La fonction de filhage de la TFD peut etre al)1elioree en considerant des tmnsformees effectuees sur des blocs de donnees qui se reoouvrent [12].
Soit un bloc de donnees de longueur 2M, double de l'ordre M de la transformee. Au temps n, Ie bloc de donnees traitees est represente par un ensemble de
2 ve<;teurs a M elements designes par Xln) et X2(n) comme Ie montre la figure 3.4.
3.4
Transformee avec recouvrement
97
temps n + 1
•X (n + I)•
X,(n + I)
Xj(n)
,
2
X 2(n)
.
,
temps n
fig. 3.4.
Recouvrentent des blocs d£. donnees
Au temps (n + 1), Ie bloc de donnees com porte la moitie des donnees du bloc
precedent, c'est-a-dire que X,(n + 1) ~ X,(n).
La ttartsformee avec recouvrement permet de restituer les vedteurs. Xln) et
X 2(n). Sa matrice comporte 2M !ignes et M colonnes et elle correspond aux operations suivantes, sur deux blocs consecutifs ~
(3.38)
el
0\1. A 'et B sont deux matrices carrees:de cote M.
S'j ron considere main tenant les operations:
[N]U". [ Yl(n+l)
]~[A' l u
(n 1)
B'
Yl (n) ] ~
[ Y2(n)
B'
Y2
+
(3.39)
2
on obttent:
1
Z:[Y2(n) + Y , (n+ 1)]
~ [B'AX,(n) +B'BX2(n) + A'AX., (n + 1) + NBX2(n + 1)]~
5
l
c
"0
'li
•
(3.40)
Pour retwuver les ,"onnees d'origine a la fin du temps (n + I), G'est~a"dire
X 2(n) ~ ~ [Y2 (n) + Y
len + 1)], U faut que les conditions suivantes soient veTifiees:
B'A~ NB ~ 0
~
,.
1i
o
@
~2 [B'B' + NA] ~ I M
(3.4n
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
98
Par exemple, ce-s conditIons sont verifiees si les elements de la matrice' LA, BJ
de la transform6e sont tels que:
iT
ani( =h(n)\j 1).1 c6.
avec
[(n + M
1) M1t ] ,
- 2+
- 1)('k + '2
o ,; n ,; 2M -1 ; 0 ,; Ie,; M - 1 et
h{n) ~- sin
(n + ~)--"2 2M
E n fait, on a obtenu un bane de M filtres orthQgonaux et les termes h(n ), sont
les coefficients du filtre prototype qui, dans l'exemple est un fillre passe-bas en
sinus dont la re-ponse en frequence donnee a,u paragraphe 5.8, est plus selective
que celie du filtre de 1a TFD,
En compression d'image, les transformees avec reCQuvtement prodl1isent un
lissage et permettent de reduire les effets dits de hlocage,
l
3.5
AUTRES ALGORITHMES DE CALCUL RAPIDE
Les algorithmes de TFR constituent une technique pour calculer une TFD d'ordre
N avec un nombre de multiplications de l'ordre de N log 2(N), Dans les paragraphes precedents, il 'a ete montre que ce.s algorithmes ont une structure relativement simple et offrent suffisamment de souplesse pour qu'une bonne adaptation
aux contraintes d'exploitation et aUx caracteTistiques technologiques puisse etre
,a'isement atteinte, \i'pu leur grand interet pratique,
Cependant ils ne constituent pas la seule methode de calcul rapide de la TFD
et l'o n peut elaborer des algorithmes qui necessitent, tout au moins tialls certains
cas, un temps de 'calcul tnoindre ou Un no.mbre de rnultip1ications plus f~ible, au
qui sont applicables quel que so it Fordre Net pas obligatoirement une, puissance
de deux,
'
Une premiere approche cons~te a remplacer les multipIications cotnplexe$',
coCiteuses en circuits ou en temps de machine, par un ens,emble d'Qperations plus
faciles a mettre en' ceuvre. La reference [13J decrit une technique qui utilise une
caracteristique de la TFD mentionnee au paragraphe 2.4.1, Ie fait gue Ies operations de multiplication par les coefficients W k, correspondent a des rotations de
phase, La technique dlte CORDIC (caleu! numerique a rotation des coordonnees)
permet de realiser ces rotations par un enchalnement d'op6ratiorts simple$ : pour
faire tourner un vecteur (x, y) d'un angle 8 avec la precision 28n ' on opere une
suite de n rotations 61ementaires d1angles d8 j t~ls que tg d8 i -= 2- i avec 0 ~ i ~.n -1
et - ~ ~ 8 ::-:-; ~. Les coo.rdonnees Xi et Yi du vecteur a l1 iteration i cong.uisent aux
coordonnees a1'iteration i + 1 par les relations :
3.5
99
Autres algorithmes de ca/Cul rapide
Xi + 1 = Xi + signe
[8J .yj 2,-i
y, + 1 ~ y, - signe [e,].x,2-'·
(3.42)
fl, + 1 ~ fl, - signe [9,l. de,
La fonction signe [8;] est Ie signe de 8, et on prend 80 ~ - 8. Ces operations ne comportent que des additions avec decalages, elles peuvent etre plus avantageuses que
la multiplication complexe de meme precision.
Le ealeul d'une TFD d'ordre N avee un volume de multiplications qui soit de
l'ordre de N, au lieu de N log 2(N), peut etre obtenu par une factorisation de la
matrice TN d'un type particulier. En effet la malrice TN peut se decomposer en un
pmduit de trois f"cteurs :
au AN est une matrice de dimension J x N, avec J entier, CN est une matri'ce diagonale de dimension J et BN une matrice de dimension N x J. L a paJ'ticularite de
cette factorisation reside dans Ie fait que les ele"
ments des matrices AN et BN sont 0,
1 au - 1. Dans ces conditions Ie calcul demande J multiplications. Far exemple la
multiplication complexe. se. met'sous cette forme :
[~
Q
a+b
-1
0.
o
c.e qui permeJ .de Fdfectuer avec- :3 multiplic.ations reelles seulement Com me indique au paragraph" 2:7. Celte decomposition est evidente pour J ~ N '\ par, exemple
pour N = 3, il vieJ;lt :
1
1
. T3~ l ~
,o
"••
],"
•o
o
o
•
1 1 a 0 0 0. 0.
.Q 0. 1 r 1 .0 0
0. 0 0. 0 0. 1 1
n
0
1
1
W
W2
a
1
W2
W
1 0. D
a1 0
a 0. 1
1 0 0
0. 1 0.
0. 0. 1
1 0 0.
a1 0
0. O. 1
'1C
8o
]
~
Avec certaines valeurs de N faibles, il existe des factorisa tions tellts que 1 soit de
l'ordre de N, alors il en est de meme du nombre de multiplic.ations. Pour generalio
ser cette propriete et rnettre en evidence une f;:tctorisation de TN convenable il £aut
operer une permutation des donnee~ avant et apres transformation. Par exemple,
pour N ~ 12, en posant :
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR'
10Q
Xo
Xg
Xa
X,
X4
X ' ·~
et x'=
Xi
XJ O
X 7.
Xs
X,
X2
Xu
et en faisant appe1 aux produits de Kronecker de matrices, on verifie que:
.,
T)
4 ,x
De, meme. 81 N s_e de.compose~ en L facteurs pre-hliers entre. eux :
On peut monTIer que :
(H~)
En utilisant la factorisation definie precedemment pO\lf les matrices
prietes a\gebriques des produits de Kronecker, it v ient :
T", et 1es pro-
Ce resultat definit un type d'algorithme, appele algorithme de Winograd,
Il apparall c1airement que l' algorithme d'ordre N se deduit des algorithmes
d'ordre N; avec 1 '" i '" L; d'ou l'importance des algorithmes a faible nombre de
multiplications P,Qur les petites valeurs de N, La reference [14] donne des algorithmes pour N ~ 2,3, 4,5,7,8,9,16, au Ie nombre de multiplications est de l'mQre
de N, comme Ie montre 1e tableau 3.2, Dans la colonne des inultiplications, les
chiffres entre parentheses dannent 1e nombre de multiplicatio ns par des coefficients differents de 1, De plus ces multiplications sont des multiplications complexes qui correspondent a deux multiplication" noelles, Le nombre d'additions est
comparable a celui des algorithmes de TFR
Les algorithmes pour les faibles valeurs de N sont obtenus en calcu1ant la
Transfo.rmee de Fourier Camme un ensemble de' correlations :
N ~l
X k ~ L (xn -x,o)Wnk;
n =1
k~ 1, "" N-1
3 .5
Autres algorithmes de calcul rapide
101
Tableau 3.2. - NOMBRE D~ 0PERATIONS DANS LES ALGORITIIM;ES
DE WINOGRAD D'ORDRE N SAIELE.,
O.rdre
Multiplicatiens
dl< la TIm
2
3
4
5
7
13·
2
3
4
6
9
16
Additions
(0)
(2)
(0)
2
6
8
(5)
17
g
(8)
(2)
(10)
18 (10)
36
8
11
26
44
74
et en utilisant'les propri"les algebriques de l'ensemble des exposantsde W, definis
moduloN.
Par exemple, pour N ~ 4, l'enchalnement des operations est Ie suivar\t:
t2= .\1. +x 3
t1 =Xo + x2!
mo~1.(~ +,,), m l = 1. (11 -12)
me =1. (XO--"2)' m3= j(X,-X3)
X o= ·mo
Xl = 1112 + m 3
X2 ~ml
X3~~-m3
PourN =1\ :
~=~+~
~~~+4
~~~+~.
t4 = X1 -X5'
t5 =X3 + x7 ,
t6=X3-X7'
t7 ~ t1 + t')"
t8 = t3 + tS t
"••
mo ~ 1.(1, + '8),
m l ~ 1. (1, - 18),
m2 =1.(11-12).
'/J13 ~ 1. exo - x 4 ),
•c
m 4 = cos
"].,"
o
c
cn·
(14 -16),
•
.<e
8o
"0
~
:; s1=m3+ m 4' s2= m 3·-m 4, s3=m6+~ s4=m 6 -11'lrXo=tno ,· Xl = Sl + S3) Xl =m2 + m s , X3 = Sz -S4
~
~=mv
X j =S2+ S4_'
X 6 = in 2 = m:s,
X7=Sl-S3'
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
102
Finalement les algorithmes de Winograd apportent une reduction du volume
<,Ie aaleul, qui peut etre importan!e, par rapport aljX algorithmes de TFR. Il en est
de meme pour d'autres algorithmes, CDmme ce.ux qUI consistent autiliser les transfOTmees polynomiales [15].
Ces techfiiques peuvent apparaltre interessantes dans certaifle$ applications,
mais il fllut bien Doter qu'elles peuvent conduire a une plus grande capacite de
memoire et aun enchainement plus complique des operations, se traduisant par un
accroissement dl! voll.!me de materiel de I'unite de cbmmande du systeme au de 'la
taille des memoires de programme.
Vne autre voie· sed\lisante dans la recherche de I'optimisation uu traitement et
des,machines, est celle qui fa,it appel aux transformations ·algebriques.
3.6
TRANSFORMEE DE FOURIER BINAIRE - HADAMARD
La transforrnee de Fourier discrele et ~es variantes necessitent une quantite de caiculs qui pelit etre jugee excessive pour certaines applications 1 certains traitements
d' images en temp. reel pur exemple. Alors, on peut faire appel a des' transformee.
ayaJ,lt des proprietes comparables, mais sam; mult'ipikatlon..s, cQrnme la translormee dite de Fourier binaire ou Hadamard [16].
La transfonnee de Hadamard d'ordre N ~2M est definle lJar la matrice H", qui se
deduit de la TFD d' ordre 2, T 2 , par produits de Kr,me-cker:
H, oT' ~l:
"1,n,ot,0T'0[l
1
1
-1
l
1
-1
-1
-1
11 ;
-1
-1
1
HN~T2
(3 .44 )
C'est une transformee reelle, sym€trique et ortliogonale:
I.es algorithmes rapides sont les memes que pour la TFR, avec les croislllons
mais sans les multiplications. Sur Ie plan du filtrage, Ie bane de filtres: obtenu est
beaucoup moins selectif que celui de la TFD ~ car les fonctions elementaires comportent une frequence et des harmoniques. Par exemple, 1a figure 3.5 represente Ie
module de 1a transformee de Fourier de la ligne 31 <,Ie la matrice H 64 .
103
Les transformees a/ge'b riques
3.7
Amplitude
.0,5
0,45
0,4
0,35
o, ~
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
J
°°
I
10
20
30
40
50
60
Indice (0 - 63)
Fig, 3.5.
Sp ectre du wde 31/64 de Hadamard
Les matrices de Hadamard trouvent un domaine d'application inlportant en
radiocommunications. mobiles) car les elements sont utilises comme code:$. a'etalement dans les systemes bases sur l'etalement de spectre.
3.7
LES TRANSFORMATIONS ALGEBRIQUES
La transformation de Fourier conduit a faire des operations arithmetiques dans Ie
corps des nombres complexes; les machines qui realisent ces operations utilisent
generalement des repre§entations bin aires qui sont des approximations des donnees et des coefficients. La precision des ealculs est fonction du nombre de bits disponible dans la machine,
•
En fait une machine a B bits effectue des operations sur I'ensemble a 2B elements
des entlers : 0, 1, ... , 2B - 1. Dans cet enSemble les lois d'addition et multiplication
habituelles ne peuvent etre respectees, il faut introduire Ie decalage et la troncation qui
g entra1nent des appTO.ldrnatians dans les caleuls, camme inclique au paragraphe 2.3 .
.~
La premiere condition a remplir pour que les caleuls soient exacts dans un
S ensemble E est que Ie produit ou· la somme de deux elements de l'ensemble E
-@
-a
appartiennent a cet ensembie.. Cette condition est verifiee dans l!ensemble des
c"l entiers 0, 1, ... , M - l .. i les ca1culs sont faits modulo M. En choisissant convenab1e'ri
ment Ie module Mil est possible de definir des transformations ayant des proprieo
," les comparables a celies de la TFD et permettant 1e calcu! de convolutions sans
"@ erreur avec des algosithmes de oaleul rapide.
"
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
104
La definitio n de telles transformations repose sur les propri6tesalgebriques
des entiers modulo M, pour certains chaix de M ; on peut les designer par transfo r-
mations algebriques.
Le choix du module M est regi par les considerations s uivantes :
a) SimpliGite des caleuls dans une arithmetique modulo .
Dans son principe, uno. arithmetique modulo implique une division par Ie module
M . Cette division est triviale pour M = 2m; elle est Ires simple pour M = 2 m ± 1, car il
suffit pour obtenir Ie resultat d 1aj buter une retenue (arithm6tique en co:mplement
a un ) OU de la sOliStraire.
b) Le module doit eire suffisamment grand.
Le resultat de 'la convolution doit pouvoir etre represente 'sam. ambigui.16 dans
llarithmetique modulo M. Par exemple, une convolution a32 termes avec des don-
nee$ a 12 bits et des coefficients a 8 bits impose M > 2 '5
c) Proprie!es algebriques Gonvenables.
L'ensemble des entiers modulo M doH presenter des proprieles algebriques
perIPettant de dMinir de~ transformations comparables a la TFD.
D'abord il doit exister dans Get ensemble des elements periodiques, pour que
['on puisse elaborer des algorithmes de calcul rapide ; it faut disposer d'un element
oo tel que .:
On peut alors definir une transformation par l'expression ;
N-l
X(k)=
L .v (n)a. nk
(3. 45)
n=O
Pour que la Transformation inverse, d6finie par l'expre:;;sion ;
N-l
x (n ) = N-l L X (k)a.- nk
(3.46)
k= O
existe, il faut d'abord que N et les puissances de a possedent des. inverses.
On demontre que N a un inverse modulo M si N et M sont premie rs entre eux.
Ltelement a doit etre premier avec M et d'ordre N, c'est-a-dire ql)e aN = L
L'existence de la transformation inverse implique de plus une condition sur
les ai, c.' est-a-dire que:
N-l
L a.;k=Ni5 (i )
k ~O
avec
Il (i ) = 1 si
ll(i)=O .si
t' = 0 modulo N
i omodulo N
'*
Cette condition se traduit par 1e fait que les elements
n- aI ) deivent posseder
un inverse. On qemontre que l'ensemble des conditions pour l'existence d'une tnl,nsformatiqn et de son inverse se ramene ala condition sulvante: pour tout facteur pre-
mierP deM, il faut que N divise P -1. Ainsi , ~iM est premier, N doit diviser M-l.
Des algorithmes de caleul rapide peuvent etre elabores si N est un nombre
composjte, en particulier si Nest une puissance de 2 ; ces algorith:mes sont semblables a Geux de la TFR.
.
Les tran~formees a/ge'b riques
3.7
105
D'autre part les calculs a faire dans la transformation se trouvent considerablement simplifies dams Ie cas particulier ou ()( ~ 2.
Fjnalement un choix du module M tres interessant est Ie suivant:
quand M est premier. Ce. nombres sont les.nombres de Fermat.
Une transformation algebrique basee sur les nombres de Fermat est detinie
comme ·suit ~
- M odule M ~ 22m + 1
~ .Ordre de la Transformee : N =
-
2 In + 1
Transform~e directe :
1>1 . 1
X (k)~
L,. x(n)2nk
n ~O
- Transformee inverse:
N-l
x(n)~(2()
L X(k)2' nk
ave,c
t~2nH l-m-l
k=O
CeUe transformation permet de calculer des convolutions de nombLes reels"
comme la Transformation de fourier Discrete, mais aVec les avantages suivanls_~
- Le resultat est obtenu sans approximation.
- Les operations portent sur desnombres reels.
- Le calGul de la transfQrm6e et de son inverse ne neGessite allcune mtiltiplication. Seules restent les multiplications dans l'espace trans forme.
,o
Cependant cette technique presente des limitations importantes. Les calculs
etant eXacts, Ie moduie M doit eire suffisammenl grand, ce qUI cangult ii des
nombres de grande longueur.
Les·Telations entre les parametres M et N donnees ci-dessus, i-rpposent que les
."••" calcul~
soient faits avec un nombre de bits B de i'9rdre de ~ ; c'est-ii-dire que ie
~ nOlilbre cle termes de la convolution est approximativement Ie double du hombre
§ de bits des donnees dans- Ie calcuL L'applfcation S,e. trouve par suite- restreinte aux
~ convoiutions (:;omportant peu de termes.
8
Le domaine d'application des transformations algebriques peut etre elaTgi en
.§ faisant appel a d'autres nombres que les nombres de Fermat, ou encore en traitant
:; les conv.olutions a grands nombres de termes comme des convolutions a deux
1i dimensions [17]. La reference [18] d6Qrit un exemple de realisation.
§Les· transformations algebriques sont utilisees en cod age correcteur d'erreur,
o
<iii notamment pour les Codes de Reed-Solomon.
'1C
~
~
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
106
BIBLIOGRAPHIE
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[18]
J, H . MAe CLElLAN - Hardware Realization of a Fennat Number T ransform. IEEE
Trans. Vol. ASSP-24, June 1976.
,Exercices
107
EXERCICES
1 EifectlleF 1" pTgduit de Kronecker A <8l Ig, de 1a matrice A telle que:
A~
par la matrice uniteI3 de dimensi~n 3.
Effectuer Ie produit I3 ® A et Ie comparer au precedent .
.2 En prenant des matrices carrees- de dimension 2, vecifier Ies proprietes dys proguits
de ,Kronecker des matrices donnles au patagraphe3.1.
3 Bcrire Ia factorisation de Ia matrice sela TFD d'ordre 64 en base 2, en base 4 et en
base 8, st}lon la procedury donnee au paragraphe J .2.
4 En utilisant l'entrelacement temporel t factoriser Ia matrice. de Ia TFD d'ordre 12.
Quel est Ie nomBre minimum de multiplications et ad'ditions necessaire.? :Berire. Ie pro~
grainme de calcul.
5 Fa~toriser Ia matrice de.'la TFD d'ordre 16 en base 2, dans les deux <>as suivants :
- Ie.s donneys se presentent en entree et s ortie. dans l~ordre naturel,
- les-etages de calcul soilt identiques.
Donner, dans Ie demier cas, un schema de realisation en utilisant comme memrnres,
des registres a decal.age.
6 Soit a _cakuler une Trnnsfonne:e de Fourier Discrete d'ordre 16 port ant sur des donnees reeiles.
EciiTe l'algorithme qui utilise une TFD d'ordre 8, pour ce calcu1.
Ecrire.I'algoritbme base sur Ia TFD impaire.
Comparer ces algorithmes et Ies nombres d'operation s-.
7 Soit a calculer uhe TFD d'ordre 12, en utilisant une factorisation du type donne au
paragraphe 3.6 et avec les permutations indiquees pour les donnees.
Ev_alller Ie nombre d'operations et Ie compurer aux yaleurs trQuvet}s dans L'eXeItice 4.
·8 Pour effectuer la convolution circulaire des deux suites : x
=
(2, - 2~ 1, 0) et
h = (1, 2, 0, 0), on utilise. une transfonnee algebrique de module M = 17 et de coefficient
C<~ 4,
"••
',.
•
]
•c
o
c
•
'1C
8o
"0
~
~
•
-g
~
§
o
"
C0ll1111e N ~ 4, verifier que aN = 1. Ecrire la matrice de la transformation et de Ia transfonnation'inverse . V6ifi.er qlle Ie re.sultat chen::h~ e1itla s\.lite ,Y= (2, 2, -J. 2).
Chapitre 4
Les systemes lineaires discrets
invariants dans Ie temps
Les systemes lineaires discrets invariants dans Ie temps (UT) constituent un
domFl-lne tres important du traitement nume-rique du signal~ qui est celui des filtres
nl,lmeriques a coeffir;iynts frx~s. Ce.s 1?ystemes se caracterisent par Ie fait que leur
fonctionnement est regi par une equation de convolution. L'analyse de leurs-proprietes se fait a l'aide de la Transformation en Z , qui joue pour .les systemes discrets Ie meme r61e que la transformee de Laplace au de Fourier pour les systemes
conlin us. Dans Ie present chapitre les elements les plus utiles pour l'i\tude de tels
systemes sont introduits brievement. En complement on peut se reporter am references [1 ,2,3,4,5].
4,1
DEFINITION ET PROPRIETES
Un systeme discret est un systeme' qui convertit 'TIne ·suite de donnees d'entree'x en)
en une suite de sortie y (n). II est lineaire si la suite xl(n) + ax, (n) est convertie en
la suite y,(n) + aY2(n) . II est invariant dans Ie temps si la suite x (n - no) est convertie en la ·suite y (n. -no) quel que soit no entier.
SOil uo(n) 1a suite unitaire representee sur la figure 4.1. et definie par:
uo(n) = 1 pour n = 0
uo(n)=O pour n*O
(4,1)
Toute suite x (n) peut se decomposer en llne sDmme de suites uniraires convenabJement decalees :
rn
x (n)=
1:
m=- <D
x (m)uo(n-m)
(4.2)
4.1
Deflnition et proprleies
.,
109
.. •
'0 I
•
n
I
o
FIG. 4,1,
n
Suites unitaires
D ~ autre part soit hen) la suite qui constitue 1a repons~ du systeme a la suite unitaire uo(n). A lasuite Uo(n - m) correspond la reponse h (n - m) en raison de rin-
variance temporelle: La linearite entralne alors la relation suivante :
yen) ~ L .t ern) hen -m) ~ L hem) x(n -m) ~ h(n) • .t(n)
m
m
(4.3)
C'est l'equation de- convolution qui caract€rise Ie systeme lineaire invariant dans Ie
temps (LIT). Un tel systeme est done completement dMini par la dOllllee de la
suiteh(n). qui est appelee repanse lmpulsionnelle du systeme.
Ce systeme possede 1a propriete de causalit6 5i la sortie a l'indice n = no ne
depend que des entrees aux indices n ,;; no' CeUe propriete linplique que h (n) = 0
pour n <. O. et la sOTtie est donnee par :
y(n)=
L h(m)x(n-m)
(4.4)
m=O
Un systeine LIT est stable si a. toute entree d'amplltude borhee correspond une
sortie borne-e. Une cONdition necessaire et suffisante de stabilite est donnee par
l'in6galit~ :
Ln Ih(n)1 <00
( 4.5)
o
~
•
.~
Pour memtrer 'que la condition est necessaire il suffit d'appliquer au syste,me la
suited'entreex(n) telleque:
],"
x..(n)=+l
SI
o
- 1
51
•o
o
h'(n) C3 Q
h(n) < 0
•
lo II vient alors ptmr .n = 0 :
'0
~
~
•
1i
~
8
©
y (0) =
Lm 1/1 (m)1
Si l'inegalite (4.5) n'e&t pas veriftee, y(O) n'est pas borne et lesysteme n'est
pas stable,
,4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps
110
SI 1a suite d~entree est bornee, c~est-a-dire :
fx(n)1 s M
poqr loulli
alors 11 vien! :
ly(n)l,;; L Ih (m)1 fx(n-m )1~ M L Ih(mJI
m
m
5i I'egalite (4.5) est veTifiee, alors y enJ est borne; la condition est suffisante.
En particulier Ie systeme LIT dMini par la reponse suivante :
hem) ~am avec m ",, 0
est stable pour lal < 1.
Les camctl~ristiques des systernes LIT sout eturuees a Paige de la transformation en Z.
4.2
LA TRANSFORMATION EN Z
La transformee en Z, X(Z) de I. suite x (n) est definie par la relation SUlvante :
m
X(Z)~
L x(n) Z-n
n=-($J
(4.6)
Zest une variable complexe et la fonction X(Z) ppssede un domaine de convergence qui en geneTal est un anneau centre sur l'origine, de rayons Rl et R2. C!esta-dire qqe X(Z) est defini pour Rl < IZI < R2. Les valeurs Rl et R2 dependent de
la suite x(n). Si la suite x(n) represente la suite des echantillons d'un signal preleyeS avec 1a periocle T , 1a transforrnee de Fourier de cette suite s'ecJit:
w
S(t) ~
L J; (n )e-i2nJnT
A1nsi, pour Z = e J2J>[f 1a transformee en Z de la suite x (/1) cOl'noide avec sa
transformee de Fourier. C'est-a-dire que l'analyse d'un systeme discret peut se
(aire. ay~q' 1& transfQ)1l1ee en Z el, pO\lr connall,e 1& repon~e en freq\!eJ)q~ , suffit
de remplacer Z paT e i""fr
Cette transformee possede une transformee inverse. Snit r 'Un contour ferme
eontenant lous les points singuliers, bu poles, de X(Z) ainsi que I'origine; on peut
e-.crire:
a
zm-1X(Z)~
L'"
x(n)Zm-l-n~x .(m)Z· '+
L
Zm- ' -nx(n)
ni'm
n=-q;.
et .d'~pres Ie theoreme des re~id'Us :
x(m)~~f
zm-1X(Z)dZ
2TC} p
(4.7)
4.2
La transformation en Z
111
1
Par exemple si X(Z) ~ 1- pZ l ' on obtient par applioation directe de l'equation
ci-dessus :
:>;(n) ~ pn
pour
x(n)~O
pour li < O
n~0
De me me ii X(Z) definie par:
l-p,Z'
correspond la suitex(n) teUe que:
N
x(n)~
L a.p" pour
i= 1
I
x(n)~O
I
n""O
pour
n< O
U'ne condition de stabilit6 apparalt tres sirnplement en observant que la suite
x (n) est bornee si, et seulement si Ipil < 1 pour 1 "" i "" N, c'est-a-dire que les poles
de X(Z) sont ii ]'interieur du cerele unite.
Dans ces exemples, les termes de [a su1te x(n ) peuvent aussi etre obtenus
directement par developpement en serie. Quand X(Z) est une fraction rationneUe
une methode tres simp'le pour obtenir 'les pren1ier~~ valeurs de 'la suite x (n)
consiste afaire une division de polyn6mes. Par exemple pour:
1+2Z-1+Z-2+Z-3
X(Z) ~ l-Z '-SZ 2+12Z 3
la division directe donne :
X(Z) ~ 1 + 3Z- 1 + 12Z~ 2 + 25 Z.- 3 + . . .
d'ou ~
x(0) = 1 ;
x(1)~3 ; x(2)~12; x (3)~25
,o
" La transformation en Z 'possede la propriete de linearite·. D'autre I'art ]'a transfor•
.31mee
en Z de la suite :retardee x(n -~) s'e.crit:
•
~
•o
Xno(Z) ~ z~n0X(Z)
(4 .8)
g
Ces deux proprietes .gont utiliseys pour calculer la transformee en Z, Y (Z), de
ii
-a.
•
-g~
suites x (n) et h (n) qui ont pour transformees X(Z) et H(Z).
En calculant la transformee en Z des deux membres de l'equation de convolution(4.3) :
8
@
Y0)~Lb(m) x(li-m)
l• 1a suite y(n) obtenue en sor~ie d'un systeme iineaire discret, par convolution des
~
4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps
112
il vient ;
Y(Z) ~ l: h(m)Z-mX(Z)~H (Z) . X(Z)
m
('4,9)
Par suite la transform6e en Z ~ruIi produit de convo.lution est Ie produit des transformees. La fonction H (Z) est appelee fonction de transfert en Z du systeme LIT
c'onsidere.
La transformee en Z du produit de deux suites -,,(n) ~ "" (n) .x,,(n) estla fonetion X, (Z) definie par :
L
X3(:Z;)~ 2~j Xl(V)~(~)V-ldV
( 4.10)
Le contour dlinregration est a l'int6rleur du domaine de conveI;gence des fon,ctions
~ (V) etX2 (~).
L~ application aux suites causales arne-ne
a introduire 1a transformation en Z
monolaterale.
La transformation en Z monolaterale de la suite x (n) s'ecri! :
~
X(Z) ~ l: X (n.) z-n
n=O
(4.11)
Les proprietes sont res memes que celles de la transformation d6finie par 1a
relation (4.6), sauf pour les suites retardees. En effet la transformee de la suite x (n
= no) s~ ecrit :
.no
ro
Xno(Z) ~
l:x(n - no) z-n~z-no.x ( Z)+
l:x (-n ) Z-("9- h )
n =0
n=1
(4.12)
L ~interet de cette transformation est de prendre en compte- les conditions initiales et de fai're apparaltre les regimes transito'ires dans l'etude de la reponse d'un
systeme. D'autre part elle permet de determiner a partir de X(Z) le~ valeur.
extremes de la suite x (n). La valeur initialex (0) s'ecrit:
x (0) ~ Urn X(Z)
:z: ~w
\4.13)
eLla valeur finale, obtenue encaleulaht la transformee de la suite x(n + 1) - ,~(n) :
x (00) ~ lim (Z-l) X(Z) ~ lim (1- Z-l)X(Z-)
Z--d
l---+l
(4.14)
Pour .des developpements plus importants sur la transformation en Z et ses
applicatlons, on peut se reporter a la reference [6.],
Les resultats ei'-dessus s'appllquent au caleu! de la puissance. des signaux discrets,
4.3
4.3
tnergie et puissance des :s;gnaux-discrets
113
ENERGIE ET PUISSANCE DES SIGNAUX DISCRETS
Soit a calculer l'energie E du signal represente pa, la suite- .t(n), dont la
Transformee en Z s' ecrit X(Z) . Par definition :
00
lh
L lx (ll )12
n=-w
La sultex3(n) deDnie par:
peut etre consideree comme Ie praduit de deux suites, xl (n) et -'2 (n) telles <;lue :
a
a
La transformee X3 (Z) se "alcule partir des fonctions x., (Z) et X 2 (Z) l' aide de
la formule (4.10) donnee au paragraphe precedent pour la transformee en Z du
pradui! de deux suites. Vevaluation au point Z ~ 1 conduit a la relatiQn :
X3( 1 )~
Lw
n=-"D
1 JXl (V) X2 (1)
- -
~(n)12~ 21<'
)
dv
T
V
V
1
Si r est Ie ceIGle unite, = = vet par ~l!ite :
v
et comrne alors v = e j2 rr{, 11 vjent :
(4.15 )
".~••
~
~
~
o
lo
"0
~
~
•
~
,.
1i
o
@
C'est la relation de Bessel-Parseval donnee au paragraphe 1.1.1 qui exprime la
conservation de l'energie pour les signaux discrets : l'ener:gie du si$nal est egale a
l'energi~ cemtenue dans son spectre.
Les calculs ci-dessus font apparahre une expression utile pour la norme IIX liz
de la fo.nction X(t); en effet, par definition:
1
IIXII~ ~ J~1 IX(t)1 2df
1
4 • Les systemes Iine fjires discrets invariants dans Ie temps
114
n vient :
I X I ~~ 21 . J
Ttl
121 =i
X(Z) X(Z-l) dZZ
(4.16)
8i X(Z) esl une fonctian holomorphe de la variable c.o mplexe dans un
dQrnai"ne contenant Ie cercle unite, l'integrale se calcule par la methode des residus
et fournil directement la valeur de IIX liz qui est aussi la norme l:, tiu signal discret
.t(n).
Soit maintenan! a calculer I'energie Ey du signal yen) en sortle du systeme LIT
de reponse impu1sionnelle h (n) auque1 est applique Ie signal x (n).
Le signal,>: (n) est d'abordsllppose deterministe. D'aprb la relation (4.15), on
pent ecrire, en posant (0 ='2rcf:
La ,elation (4.9) fournit directement Ie resultat smvant:
(4.17)
Ces tesultats s'etendent aux -signaux aleatoires.
4.4
FlLTRAGE DES SIGNAUX ALEATOIRES
Si 1e signal x(nJ est .aleatoire et possede un moment d' ordre t, E [x (Ji)], on peut
caleuler I'esperance de la sortie y (n) du systeme LIT n vient:
E [y. (n) ] = L
h (m)E [x (n-ml]
m
(4.18)
Si i' esperance de x (n 1est stationnaire, i1 en est de meme de ceile de y (n), pourvu
que Ie systeme soit stable, G'est-a-dire qu'il verifie 1a relation (4.5).
Pour un signal x(n) stationnaire d'ordre deux, de fonGtion d'autocorrelation
r=(n), on peut calculer la fonction d'autocorrelation fyy (n) de la sortie du systeme
LIT D'apres I'expression de definition (1.58), on a :
fyy(n) = E[y(i)y(t-n)] ~ ~ h(m).E [x (i -m) y(i-n )]
En faisan! appara!!re]a fonction de correlation f;y (n) entre x(n 1et yen 1:
f;y(n)=E[x(i)Y(i-n)J
(4. 19)
fyy(n)
= L hem) f",(n -m)=h(n) * f;y(n)
.
m
.
(4.20)
il vi~nt :
4.5
Systemes de finis par un~ equation aux differences
115
Puis :
rxy(n )= L h (m)E [x (i)x(i -n-m) l ~ h(-n) 'ruen)
m
Ftnalement, on obtlent Ie resultat s-uivant :
ryy(n) ~ hen)' h(-n) "f,An)
(4.21 )
Alars, entre les transformees en Z , <!ixx (z) et <!in (Z) il existe la relation:
<!iyy (Z) ~ H(Z). H(Z-l). <!in (Z)
(4.22)
Cette expression peut constituer une approche plus commode que (4.'21) pour caleuler par transformation inverse la fonction d'autQcorrelation du signal de sortie.
Avec la transformee de Fourier, il vient:
(4.23 )
En pariiculieT, J'energie du signal de sortie s'ecrit:
(4.24 )
C'est l'equivalent de la relation (4.17) pour les signaux aleatoires.
n arrive que Ie sighal xCn) puisse 8tre assimile aUn bruit blanc de variance a}
Alors la variance
du signa l de sortie yen) , est doJi.nee-par :
0;
o~ J"
0; ~ 2~
_)H(e i "') 12 dO)
(4.25)
au encore en utilisant l'egalite (4.15) :
(4.26)
.:ijj
~
,o
Ces resultats, d'un grand interet pratique, sont souvent utilises par la suite, par
exemple pour l'evaluation des puissances de bruit de calcul dans les filtres.
."••"
],
•
5o
•
'1C
8o
4.5
SYSTEMES DEFINIS
PAR UNE EQUATION AUX DIFFERENCES
'0
~
~
Les systemes LIT, les plus interessants sont les systemes ou les suites d'ent'ree et
sortie sont liees par 'TIne equat ion aux differences' lineaire a coefficients constants.
3 En effet d'une part ils correspondent it des realisations simples et d'autre part ilg
o
@
constituent line excellent~ modelisation de nombreux systemes naturels.
~
4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps
116
Un systeme de ee type d'mdre Nest defini par larelalion suivante :
N
y(n)~
N
L ai" (fl -i)- L biy(n,-i)
i =O
1= 1
(4.27)
En appliquant la transformation en Z aux deux membres de eetle equation, et
en designant par Y(Z) et X(Z) les tTansformes des suites y (n) elx (n), on obtient:
N
Y(Z) ~ L aiZ-iX(Z) i=O
N
L biZ-iy(Z)
1=0
(4.28)
sait- :
Y(Z) ~ H(Z) X(Z)
avec,:
(4.29)
La fonction de transfert du systeme H(Z) est une fraction ralionnelle. Les qi et
bj sa.-nt les coefficients du systeme; certains coefficients peuvent etre nuts, ce qui est
Ie cas par exemple quand les deux sommationS de l'expTession (4.27) portent Sl1r
des nombres de termes differents. Pour faire apparaltre 1a reponse en frequence, il
suffit de remplacer dans B(Z), la variable Z par e i2nl.
La fonetion H(Z) s'ecrit so us forme d'un quotient de deux polynomes N (Z)
et D(Z) de degre N et qui possedent N racines Zi et Pi respectivement avec
1 ~ i ~ .N.
En meitant en evidence ces racines, une autre expression de H(Z) apparail :'
N
IDt
1
N eZ)
(1- Zi Z - )
H(Z) ~ D(Z) ~ ao ~N:'----
(4.30)
IT (1-P i Z-1)
, ~1
ou aoest un fcic!eur d'echelle; on peut eerire:
N
IT (Z-Zil
H(Z) ~ "0 -,-'cc'~''-----Y<
(4.31)
IT (Z-P,)
1=1
Dans Ie plan complexe, Zest l' affixe d'un point courant M, Pi et Zi '(1 ~ i ~ 1'1 )
sont.les affixes des poles "t des zeros de la fonction H(Z). On peut eerire :
Z-Zi ~ M2,. ei8 , et Z- Pi~ MPi·e i . ,
4.5
117
Systemes deflnis par une equation aux differences
ettpar suite la fonction de transfert s'exprime aussi pa r :
N
nN MZ;
j.1:
" '" e ,~1
H(Z) -ao .
1=1
(8 !- .,)
(4.32)
lY..l.Lj
II en resulte une interpretation graphique dans Ie plan complexe, La repanse
en frequence du systeme est obtenue quand Ie point courant M parcourt Ie cerole
unite. La figure 4.2 represente Ie cas d'un systeme d'ordre N ~ 2,
J
interpretation graphique
d'une jomtion de transfert.
FIG, 4,2,
R
z,
Le module de la reponse en frequence est ainsi egal au quotient du pr0duit
deS' distances du point courant M 'aux ~eros Z; par Ie produi! des distances. de M
aux p61es P;; la phase est egale a la difference entre la somme des angles que font
les vecteurs P)J avec l'axe reel et la ·somme des angles que font les vecteurs ~
avec l'axe reel, pour suivre la convention prise au chapitre 1.
Celte interpretation graphique est tres' utilisee en pratique car elk offre une
visualisation tres simple de la forme de la reponse en frequence d' un systeme.
En fait, l'analyse d'un systeme par sa reponse en frequence correspond a un
fonctionnement en regime permanent; elle est suffisante dans la mesure ou les
phenom~nes tram;itoires peuvent etre negJiges. Si ce n:est pas Ie ca!? il f©-ut intro"'
duire Ies conditioIiS initiales, traduisant par exemple j',Otat d'lm equipement et Ie
contenu de ses memo ires a la mise s,ous' tension.
Soit a eludier po ur les va leurs de l'indice n '" 0, Ie comportement du systeme
"•• defini par Fequation (4,27) auquel est applique la suitex(n), n\llle pour n < 0, La
.~ suite y(n) est completement determlnee si les valeurs y(- i) avec. 1 ~ i' ~ N sont
~ connues. Ces valeurs correspondent aux con,ditions initiales, et pour les introduire
~ il faut faire appel a'la transformation en Z monolater·ale.
o
~
La transformation en Z monolaterale est appliquee aux deux membres de
l l'equation (4.27), en supposant que l'entreex(n) est un signal causal, c'est-a-dire
ii que x(n) ~ 0 pour n < 0. Compte tenu de 1. relation (4.12) ql!i donne la transfor:; me", Y;(Z) de la suite re.lardee y (n - i) :
~
~
;
Y;(Z)~Zc '.Y(Z)+
L y( _ n)Z-U-n)
n =- 1
4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps
111f
it vient ':
y (Z)~
N
N
N
j= O
i=l
j= 1
L GiZ-iX(Z) - L, biZ-i y (Z)- L bi .L y (_n ) Z- (i -n)
np l
ol1<e;hcore
N
I
L bi L y(-.n) Z-(i-n)
Y(Z) ~ H (Z) X(Z) _ '.·_~-,-1-n"--~-,,1.N
CC---1 +L
i =1
(4.33)
bZ- i
!
La reponse du systeme a l'indice n, y (n), est obtenue par developpement en
serie ou transformation inverse.
I! faut noter que les valeurs y(-i) representent l'eta\ d'un systeme a la mise
en fonctionnement seulement si ce systetne n'a en me-moire que des' nombres de'la
suite de sortie. En fait it utilise sauvent d~ autres variables internes qui peuvent eire
introcluites dans t analyse en vue d1une generalisation et pour faire apparaitre
d"autre~ aspects touchant en particulier a la realisation des materiels.
4.6
ANALYSE PAR LES VARIABLES D'ETAT
L 6tat d1un systeme d10rdre N a llinstant n e:;;t dMini par un ensemble dlau moins N
I
variables internes represent6es par un. vecteur U(n ) aP1'e16 vecteur d'etat. Son
fonctionnement est regi par les relations entre ce vecteur d'etatet les signaux d' entree et sortie, Le fonctionnement d'un systeme lineaire auquel est appliquee la
suite d'entree ",en) et qui foqrnit1a suite de sortie yen) est oaracte.rise en tMarie
des systemes par Ie couple de relations suivantes, appelees equations d'etat [7] :
U en + i ) ~A.U(n) + B.x(n)
)len)
~ C!.U(n)td .•t(n)
(4.34)
A est appelee matrice du systeme, B la commande, C Ie vecteur d'observatiQn et d
Ie coefficient de transition. La suite x(n) est l' innovation et y (n ) l'observation. La
justificatiofi de ces denominations, qui ont leur origine en automatique, appara'it
dans la suite, en particulier aux chapitres 7 et 13.
La matrice A est une matrice carn~e de dimension N l B et C des vecteurs de
dimension N .
L'€tat du systeme a l'instant nest obtenu a partir de Fetal initial a l'inslant
zero par Pequation -:
n
U (n) =A".U(O) + L An-iB .x(i -l )
i= l
(4.35)
4.6
Analyse par les va.rlables d'etat
119
Par suite-Ie comportement d'un tel systeme depend des puissances successive$ de
la matrice A
La [onction de transfert en Z du systeme est obtenue en prenant 13 trimsforme" en Z des equations d'etat (4.34).11 vient:
(ZI - A) U(Z) ~ BX(Z)
Y(Z) ~ C' U(Z) + dX(Z)
avec I, matrice unite de dimension N; par suite:
H (Z) ~ C'(ZI _ A)-1 B + d
(4.36)
Les poles de la fonctirlll de transfert ainsi ootenue sont les· vakurs de Z
qui annulent Ie determinant de la matrice (ZI - A) , c:est-a-dire les racines du
polynome caracteristique de A .. Par consequent, ies poles de la fonction de transfert du 'systerpe :$ont IGs- valeurs prop res de la rnatrice A, qui doivent rester en
module inferfeures a Funite pour que la stabilit6- soit assure-e. Ce re-suitat est en
concordance avec I'equation de fonctionnement du systeme (4.35) ; en effet, en
diago-nalisant la matrice A, on voit que c,' est la condition pour que Ie vecteur
Uen) ~ An.u(o) tende vers zero quand n tend vers rinfini, situation qui correspond a l'evolution libre du systeme Ii partir d'un etat initial U(O).
L'examen de la fonetion de transfert du systeme (4.36) montre par ailleurs
que, quand un systeme est spGcifie par la relation d'entree-sortie, il existe une certaine latitude dans 1e choix des parametres d'etat ; en effet, seu1es les valeurs
propres. de la matrice A sont impos6es, et la :tn~trice dt! systeme pelJ-t etre reIhpl~­
cee par une matrice semblable A' = M -1 AM, OU M est 'une matrice inversible, qui
a les memes valeurs propres. Alors pour conserver la me-me suite de sortie, tl.'apres
(4.35 ) il faut ~
La ruatrice A peut aussi @tre remp1acee par sa transposee At i aloIs Ie systeme
est· deerit par Ull sysreme d'equations dllal de (4.34), ebrrespondantau vecteur
d 'etat V(n ) tel que:
V(n +1) ~ N. yen) + C.x (n)
yen)
~ B' .V(n) + d.x(n)
•
.~
~
•:5
~
.0..
8o
"0
~
~
•
~
-g
§
o
"
(4.37)
Cette representation d'etat fournit UI1autre mode de realisation du systeme.
Les·resultats obtenus dans ce paragraphe so.nt utilises par la suite pour etudier
certaines proprietes et pour faire apparaitre des structures de realisation de systemesLIT .
Une etude approfondie va etre faite dans les chapitres suivants pour deux
types de systemes LIT d 6fini~ par une 6quatlon aux differences, les filtres numeriql!es a reponse impulsionnelle finie et infinie.
4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans,le temps
120
BIBLIOGRAPHIE
[1] L. R. RABINER and B. GOLD - TheQry and Application of Digital Signal PrQces,illg.
Chapi!re II. Prentice Hall, 197-5.
[2] A. V. QpPENRElM and R , W. SCHAFEll.. - Digital Signal Processing, Chapi!re II. Prentice
J,Iall,1974.
[3] J, LIFERMAN - Le, ,ystemes discrets. Masson Ed. 1975.
[4] R. BOITE et H. LEIeR - Les jiltres Numeriques. Analyse ei synthese- des jiltres ulJidiniens.ionne[s, Collection CNET-ENST, Editions Masson~ 1980 ..
[5] J. MAX et collaborateurs - Methodes et Techniques de- Traitement du Signal, :t{ditions
Masson, 1981.
[6] E. I. JURY - Theor~ and Applicatiorl-Q/the Z-Trans/Qrm Method, John Wiley, 1964.
[7] l E. CAnzow -Discrete Time Systems, Prentice"Hall,1973,
EXERCICES
1 Solt un systeme LIT dont la reponse irnpulsionnelle h (n) est telle que. :
hen) ~ 1, 0 '" n ~ '3
h (n) ~ Q,
n < 0 e! n > 3,
Calcu\erla r~ponse y (n) iila.suite x (n) teile que :
0~n~5
x(n) = all, avec a=0,7 pour
x (n) ~ 0
aiiJeurs.
Rep6nse a la suite :
X(II)~COS (2;n) pOUT 0~n~7
x (11) ~ 0 ailleurs.
2 Montrer que.la Transfonnee en Z de la suite' causaie x(n) definie par :
x (n) = nTe-'cV1T pour n;;. 0
x (n) ~O
pou r
n< O
a pOl1r expression ;
Te- aT Z-l
X(Z) - ;C;--~~
- (1- e ,T Z 'l'
Cal euler les transform,ees inverses de In (Z -
tlons sur a et b pour que la suite obtenue converge.
Z
(Z-a) (Z-b)
a), =-,,;c;---;cc et etablir les condi-
121
Exerc:ices
3 Calculer la Transformeeen Z de 1a ·n fponse impulsionnelle
hen) =r"
sin [(n+ 1)8]
sin
.c el
hen) ~ 0
n73-0
n<O
Quel est Ie dOb:1ain,e de convergence de la fonct ion obte:Que? Placer I?es pole§ et zeros dans
Ie, plan des Z,
4 Sqit un systeme LIT dont la fonction de transfert a(Z) s'eerit :
1
H(Z)~ 1---1~6~Z='
, ~)-+~0~
,92~Z=~~2
a
et auquel est applique un signal spectre unifbtme et de puissapce unite. Calculer la puissanc.e du signal en sortie du systeme et donner 1a repartition spectrale.
5 Utiliser la Transfol1ilatiop. en Z monolaterale pour c·a1culer la repons~ pll systeme
d6tini par l'equatibn aux djffetences:
y (n) ~x (n) + y (n - 1) - 0,8:), (n - 2)
avec, les conditions initiale, y (- 1) ~ a 'e t y (-2) ~ billa ,uitex (n) definie par :
x (Ii) = e jn lJJ pour n ~ O·
x(n)~O
pOUT
n< O
Mettre en evidence la reponse-due. aux conditions initialeset 1a reponse en regim~ permanent.
"••
'.,
•
]
•c
o
c
•
'<e
8o
"0
~
~
•
~
1i
§
o
"
Chapit~e 5
Les filtres
ill reponse ilnpulsionnelle finie (RIF)
Les filtres numerlques. i\ reponse impulsionnelle finie (RIF) sont des systemes
lineaires discrets invariants dans Ie temps d6finis par une equation selon laqueJle
un nombre de sortie, mpresentant un echantil10n du signal filtre , est obtenu par
sommation ponde-ree d'u.n ensemble fini de pombres d'entree, representant les
echantillons du signal a filtrer. Les coefficients de la sommation ponderee constituent la reponse impulsionnelle du filtre et un ensemble fini d'entre eux seulemtmt
prennent des valeurs non nulles. Ce filtre est du type « a memoire £inie», 'c 'est-adire qu'il determine sa sortie en fanction d'informations d'entree d'anciennet6limite-e. nest frequemment designe par filtre non recursif, en raison de sa structqre, car il ne n6cessite pas de bouc1e de reaction dans. sa re.a'lisation , camme c'est
Ie cas poUr une autre categorie de filtres, ceUe des filtres a reponse impulsionnelle
tnfinie~
Les proprietes des filtres. RIP vont etre mises en evidence sur deux exemples
simples.
5.1
PRESENTATION DES FlLTRES RIF
Soit un signal x (t) represent';; paT ses echantillons x (nT ), pri'leves a la frequence Ie =
+,
et sait a.deter.miner 1'incidence sur Ie spectre de ce signal de l' opb-
ration qui consiste a Templacer ia. suite x (nT) par la suite y (nT) definie par la rela-
tion:
.
y.(nT) ~ 1/2 [x (nT) + x((n -1 ) T)]
(5.1 )
Cette suite est aussi celie qui estobtenue pap echantillonnagedu signal y (t) tel gu,,:
y (t) ~ 1/2 [x ('0 +x(t - T)]
5.'1
123
Presentation des filtres RtF
Si YU) et XU) designent les transformees de< Fourier des sig!1atIX y (t) el x(t). il
vienr :
L'operation etudiee correspond ala fonction de transfert
H(f) ~ Y (f)/X(f)
telle que :
HU) ~ e ~Mr cos ("tT)
(5,2)
C'est une ,operation de filtrage appelee filtrage en cosintlso'ide, qui conserve la
compos ante continue et elimihe la composante ~ la frequence fel2, camme il est
aise de Ie verifier directement.
Dans l"expression de H(f) Ie tenne complexe e-infI CaTacterise Ull retard
"'~ ~ qui est Ie temps de prop'agation du signal a travers Ie fillre,
La r"eponse impulsionnelle h (t) qui correspond ,au lillre de fanction de transfert IHU).l s'ecrit :
La flgure 5.1 represellte les caracteristigues du fillre,
IH If iI
,,
,,
,
"
o
fe
.f
"••
'.,
•
]
T
•c
1.
0
2
o
2
c
•
F-IG.5.,1.
'1C
8o
Lefiltrage en c'osinusoide
"0
~
~
Une autre operation simp1e est celle qui associe 'a la suite des x(nT) la suite
1i des y (nT) definie par:
"
o
@
y (nT ) ~ 1/4 [x (nT) + 2x [(n -1)'1' ]- +x [(n - 2)Tl]
,
(5.3)
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
124
Comme 1a prec6dente, elle conserve la compos ante ala frequence zero et elirnine
ce11e a/,12. Elle correspond ~ 1a fonction de transfert :
H(f) ~ 1/4 (1 + 2e-i 2rrfIf + e-i2rrJ2T) ~ e-i 2rrJT 1/2 (1 + cos 2n:/T)
(5.4)
Le filtre obtenu est dit en cosinuso'ide surelevee j son temps de propagation est
a IH(f) I correspond la reponse impulsionnelle h (t) telle que:
"t ~ T ;
h(t) ~ 1/4 o(t + T ) + 112 oCt) + 1/40 (t - T) .
-T
\I
FIG, "5.2.
T
•l
Filtre en cosinusoide sure!evee
Ce fi1tre est un passe-bas plus se1ectif que 'Ie precedent et i1 appara1! clairement que pour obtenir une fonction de filtrage plus selective encore il suffit d'augmerrter Ie nombre de terme§ de la suite x (nT) sur lesquels porte la sornmation
ponde-ree.
Ces deux exemples ont permis de faire apparaitre les caracteristiques suivantes des filtres RIF :
- Va suite d'entree x (n) et 1a suite de sortie y (n) sont reMes par une equation
du type suivant qui constitue la relation de definition :
N -1
y(n)~ ~
[",0
aix(n-i)
(5.5)
I.e filtre ainsi clefini comp9rte un nombre N fini de coefficients a j ; consiciere
comme ull systeme discret, i1 a pour r6ponse a 1a suite unitaire 1a suite h (i) leUe
que :
h (i) = ai sl 0 ~ i ,,;; N -1
h (i ) ~ 0
ailleurs.
C'est-a-dire que 1a reponse impu1sionnelle est simplement 1a suite des coefficients.
125
5.2, Eonctio"ns de transferl realisables
- La fonction de transfett du liltre s'ecril :
N -1
H(f) ~ .1: a;e-j2nf H
1=0
(5.6)
au encore, exprimee en fonction de la variable Z ;
N-1
H(Z) ~1: a;Z-i
1=0
(5:7)
- La fonolion H (f) , reponse en frequence da filtre, est une fOl1otion peri 0dique, de periode f, ~
i.
Les coefficienls atCG '" i '" N - 1) constituent Ie deve-
loppement en serie de Fourier de cette fonction.
La relation de Bessel-Parseval enoncee au paragraph" 1.1.1 permel d'ecrir,,:
(5.8)
- Si les coefficients sont symetriques, la fanction de transfert peut se mettre
sous la rorme d~un produit de deux terrn,es dont l'un est une fonction reelle et
l'autre un nombre complexe de module 1 representant un temps de propagation 't
cOnstanl el egal a un multiple entier de la demi-periode d'echantillonnage. Un tel
filtre est dil a phase lineaire.
5.2
FONCTIONS DE TRANSFERT REALISABLES
ET FlLTRES A PHASE LlNEAIRE
Un filtre numerique traitant des nombres qui repr€sentenl leg echantino:n~ du
signal pt€leves avec 1a periode T, a une repons,e en frequence periodique et de
!, periode j, ~ ~. Par suile celte fonction H(f) est developpable en serie de fourier:
."••••
H(f)
1: an
(5.9)
~
],
e +j 2nfd T
n =-m
•c
o
c
.~
avec:
8o
"0
~
~
•
~
a
~
-1 ff< H(f) e - j2nfpT df
n Ie 0
.
(5.10)
-g.
8
"
Les coefficients an du dlve!oppetnent sont " une constante pres les echantmons preleves aveC la periode T dl' la transformee de Fourier de la fonclion HCf),
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
126
prise sur un interval1e de frequence de largeur:fe ~ Comme ils constituent la r6ponse
impulsionnelle, la condition qe stabilite du filtre donnee par Ii! relation (4.5)
iinplique que les an tenden! Vers zero quand n tend vers l'infini. Par suite la fonction H(f) , 'Peut eue approchee par· un developpern,ent limite a un nombre fini de
term~s :
L
H(f) =
L an ei 2nfnT ~ Hdf)
n '>' -K
au K et L sont des entiers finis; l'approximation est d'autant meilleure que ces
nombres sont pius grands.
La proptiete de causalite, qui Iraquit Ie fait que dans un filtre reella sortie ne
peut preceder l'entree dans Ie temps, implique que 1a :reponse impulsimmelle hen)
soit nulle pour n < O. D'a1?res les relations (5.5) et (5.6), si Ie filtre est 'causal, alors
L ~ 0 et il vient ;
K
HL (f) ~
L an e-i""fnT
n =0
Il en resulte que toute fonction de filtrage numerique stab.!e et causale peut
etre approchee par la fonclion de transfert d ' un filtre RIF.
a
Le filtrage phase lineaire Gorrespond, pbl.!r la fe-ponse 'en freq\.lence ,
pression suivante :
H(f) ~ R(f) e-io(f)
al'ex-
(5Jl)
au R (f) est une fonction reelle au la phase 'Jl (f) est une fonation lineaiTe
ql (f ) ~ 'Jlo + 2rcf~; 'C est une constante donnant Ie temps de propagation a travers Ie
filtre.
.
11 fa1,J..t bien noter que cette condition he correspond pas, en toute rigueur, ~
une linearite de la phase. En effet, les changements de signe de R (f) amiment de.
discontinuites de -n; sur la phase; celle-ci peut se decomposer en une compos ante
discrete et une compos ante continue, a laqueJle la condition ci-dessus impose 'la
linearite . Cependant, par extension, les filtres etudies sont difs aphase l1neaire.
La reponse impulsionnelle d'un tel filtre s'"crit:
h(t) ~ e-ioo
fmR(f) e
i2.[(H)
df
(5..12)
En supposant d'abord 'Jlo nul et en d6composant la fonction reelle R (I) en une
partie paire P (f) et une partie impaire I (f), il heM:
h(tH)~2
f
P(f) cos (2rcft) df+2}
J: I (f) sin (2ITft)df
Si l'on impose ala fonction h (I) d 'eue noelle, il vient :
h (t + "0) ~ 2
J: P (I) cos (2ITft) df
5.2
Fonctio'ns de transferl realisable.s
127
Cette relation montce que la reponse impulsionnelle est symetrique par rapport all point t ~ ~ de l'axe des temps, c'est-a-dire que 1es coefficients du filtre doivent etre symetriques. Deux configurations se presentent alors, suivant que Ie
nombre de coefficients N est pair ou impair.
• N ~ 2]'> + 1 : 1e filtre a un temps de prop.agation 't ~ PT. La fonction de transfert s'ecrit:
(5.13)
• N ~ 2P : 1e filtre a comme temps de propagation ~ ~ ~ - ~)r" La fonction
de transfert s'ecrit :
(5.14)
Les h;, coefficients du filtre, constituent la reponse du filtre numerique a la
suite. unitaire. En negligeant les rep]iements de spectre, ils peuvent aussi etre consideres comme les eohantillons, preleves avec la periQde T, de la reponse impulsionnelie continue h (t) du filtre qui ala meme reponse en frequenee que Ie filtre numerique dans l'intervalle (-
2~' 2~)' mais sans' 1a periodicite sur l'axe <les fre-
quenc.es. L'iUustration est fournie par 1es figures 5.3 el 5.4 pour 1es cas au Nest
impair etpair, respectivement.
hI,I
,
a
I
.~--_ . ....
{ 2'-Pto+,-Ju)-,I~_ _ _..
i
: -
I•
Fro ..5.3 . Filtre symetrique avec.N impair
".~••
~
~
~
lo
"0
~
~
•
hl'l
,
a
2E:I
I
- t
II
FIG. 5.4 . Filtre symetrique avec N pair
Ces filtres font intervenir dans leur reponse en frequence la fonction paire
P (f). Avec des coefficients reels on peut aussi obtenir une reponse en frequence
qui corresponde a1a partie impaire de R (f), la fonction I (f).
Comme la fonction h (t) dolt erre reelle, cette categorie de filtres a pOur fonction de transfert :
.<
H (I) ~ - je-i 'mI' HI) = e - I :; e-;2<1' I (fl,
~
g,
Au dephasage proportionnel
a 1a frequence s'ajoute· un dephasage fixe
~ 'Po = ~ qui fait correspondre ft un signal, Ie signal en quadrature. Cette possibilite
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
128
est interessante dans certains types de modulation et est examinee ulterieurement.
La reponse impulsionnelle est nulle au point! = ~ et antisymetrique par rapport ace
pqint de I'axe des temps. Les configurations, suivant que Ie nombre de coefficients N
est impair ou pair, sont repre§entees ~ur les flgure~ 5.5 et 5.6 respectivement .
• N = 2P + 1 : Ie filtre a un temps de propagation ~ = PT
p
H(f) = - je-i'bif' 2 L hi sin (2rrfiT )
($.15)
J=l
• N = 2P : Ie filtre a un temps de propagation ~ = (p -~) T
(5.16)
Comme ho ::::' 0, la fanction de transfert ala meme expression dans les .deux cas.
~ (t)
,
,,
I
-
r
I
,
II
_
.,
I
•I
I
I
I
,,1
. I
,I
1:4:
.,
F1G.5.5. FlltTe antisymetrique N impair
,t
FIG. 5,6, Filtre antisymetrique N pair
nest aise de concevoir que des Mphasages fixes, autres que <Po = 0 et
Cjlo =
~ peuvent etreobtenus avec des filtres a coefficients complexes.
Le calcui des coefficients des filtres RIF va d 'abard etre etudi6 avec i'hypothese de la phase line,aire, qui correspond a l' essentiel des 'appliGations et lorsque
les specifications SQnt donnees sur la fe-ponse en frequence .
5.3
CALCUL DES COEFFICIENTS
PAR DEVELOPPEMENT EN SERlE DE FOURIER
POUR DES SPECIFICATIONS EN FREQUENCE
Les specifications en frequence correspondent aia donnee d'un gabarit.
Ppur un filtre passf}-Qas on impose p.ar exemple iUa valeur absolue de 1a fonction de transfert d' approc her la valeur l1'lvec' la predsion 8 dans l-a bande de fre"
quence (0,1,) olite bande passante et la valeur 0 avec la prec.ision
0" dan§ la bande
5.3
129
Calcul des coefficients
(/2' ~ ),dite bande affaiblie. Le gabarit correspondant est represente sur la figure
5.7. L'intervalle f..1 ~ 12 - 1, est appele bande de transition ella raideur de coupure
designe Ie parametre R, tel que :
R, ~
II + f~
(5.17)
2(12 - 11)
FTG, 5.7 . Gabarit de filtre passe~bas
U ne methode tres simple pour abtenir les coefficients hi consiste a developper
en serie de Fourier la fonction periodique H(I) it approcher; il vient alors :
1
h; ~ I,
ff, H(I)
0
e
-;2,; L
f. dl
Dans Ie cas du filtre passe-bas. correspondant a)l gabarit de la figt)Te 5.7, la
relation (1.5) conduit
a:
h~/l+ /'
I
.'••••"
'0
B
,
•§
~
l
]
(5.18)
.t~'
Le tableau donne en anneXe I du chavitre I peut ainsi etre utilise pour fournir une premiere estimation des valeurs des coefficients d'un filtre RrF dont, en
fait, les valeurs optimise-es calculees par la suite, s'ecartent generalement assez
peu.
Pour que Ie filtre soit realisable il faut limiter a N Ie nombre de coefficients.
Cette operation revient a multiplier 1a re-ponse impulsionnelle h (t) par une fenetre
temporelle g (t) telle que :
~
get) ~ 1 pour
g(t) ~ 0
-NT
NT
2
2
-- ~ t~ --
ailieurs.
5 • Les filtres a neponse imputstonnelle fin ie (RtF)
130
La transformee de Fourier de celte fonction s'ecrit en appliquant (1.10) :
G(f) =Nr
sin (rcjNT)
rcjNT
(5.19)
La figure 5.8 montre ces fonctions.
Le filtre reel, a nombre limite N de coefficients, a pour fonction de trimsfert
HR (f), Ie produit de cO)lvolution suivant:
HR(f) = [
H(f') G(f- f ) df'
La limitation du nombre de coefficients introduit des ondulations et limite la
raide-ur de coupure du filtre comme Ie montre la figure 5.9, qui correspond au cas
ou Ie filtre a realiser est un passe-bas ideal de frequence de coupure fe'
.I.
""'1'
.I. ..t
_ NT
2
·
M
II \T
NT
2
-I,
GI'
··~"""'~"""':'J
--""01""""-'f
ih
~ . . - - - -'
.-
•I
"
.... _,........v~".... ....... r l
- fc:
FIG. 5.8.
Ie
0
Fenitre rectangulaire
0
f,-
f
PIG. 5.9.
b rcidence de 'fa limitation
dit nombre de coefficients
Les ondulations dependent de celles de la fonction G(f) et, pour .les [eduire,
n'Suffit de choisir camme fehetre temporelle une fonction dont Ie spectre presente mOlns d'o ndulations que celui de la fenetre rectangulaire ci-dessus. C'est
la situation exl'osee au paragraphe 2.4.2 pour I' ana.l)'se spectrale et on peut utiliseI' les memes fonctions, par exemple la fene-tre de Hamming de-finie camme suit :
get) = 0,54 + 0,46 co. (ZrctINT)
pour
g(t) = 0
pour
It I'" NT/2.
It I > Nr/2
La cantrepartie de ia reduction des ondulations en bandes passante et affaiblie est un elargissement de 1a bande de transition.
5.,3
131
Calcul des coefficients
La fonction qui presente les ondulatiollS les plus faibles pour une largeur donnee du lobe principal, est la fonctibn dite de Dolf-Ttihebycheff:
G(x) ~
cas [K cos- 1 ('La cos ru;).]
ch [K ch 1 ('Lall
G(x) ~
ch [K ch- 1 ('La cos ru;)l
ch [K ch- 1 ('La)l
pOUT
xo~x ~ l-xo
(5.20)
pOUT
et
l~xo .:o::; x ~ l
1 cos- 1 ( Zo
1 ) ; K est un nombre entier et Zo 'Un parametre. Cette fancavec Xo :::: 1t
tion, que mantre la fi£ure 5.10, presente un lobe principal de largeur B, tel que :
B~2.xo~ ~ cos- ~)
1
(
et des lobes,secondaires d'amplitude constante egale a:
1
A ~ ch [K ch 1 ('La) .
J'IG ,-S.l.o ., Pp nction de Dplf-Tchebycheff
.."••
"
~
~
o
~
Elle 'est periodique et sa transformee de Fourier inverse est constituee d'ul1
ensemble de· K + 1 valeurs discretes non nunes, utilisees pour ponderer les coefficients du d6yeloppement en serie de Fourier de )a fonction de filtrage a appro-
lo chef.
"0
-a Exemple
1i
Soit 11 calculer les coefficients d'un filt;re passe-bas de frequence d'e<;hantillon8 nage I, = 1, frequence de coupure I, ~ 0,25, 'b ande de transition 61 ~ 0,115 et com@
portant N '" 17 coefficients.
5 • Les fillres a neponse impulsionnelle finie (RIF)
132
La fonclion de D olf-Tchebycheff correspond anle a pour parametres K ~ 16
et Zo tel que :
1
Cette valeur correspond a des ondulations d'arnplitude A ~c~h.--c[1'-:6cc-ch'--;1-;(CCZo"')l
a
dont la valeur a ete prise A ~ 0,1 , La transformee de Fourier inverse g(t) de cette
fonction se compose de 17 valeurs discretes non nulles qui sont donnees sur la
figure 5.11, a un facteur d'echelle pres,
gil}
go 91
gB
9,
I
FIG. 5.11.
1
o
I
go = 1
g, = 0,987
g, = 0,948
g3 = 0,887
g4 = 0,806
g, = 0,710
g, = 0,604
g7 =,0,49.4
88 = 0,904
Coefficients de- ponderation d'une fenetre de Dolf- Tchebycheff
Ces va leurs constituent les coefficients de ponderation de la fe-ponse impu lsionnelle h(t) du filtre passe-bas ideal, donne a la figure 5.12.
ko = 0,5
he. = 0,318
h, = 0
hs = - 0,106
h4,;=: O
h, = 0,064
h6= 0
h; = - 0,045
h, = 9
FIG. 5.12.
Reponse impulsionnelle du filtre ideal
Le filtre obtenu a pour coefficients les vale.urs aj = gj hi so it :
0,5
0,3141
o
a4 ~ 0
a5 ~ 0,0451
a6 ~ 0
a7 ~ - 0,0224
a8~0
La fonction de transfert est donnee par la figure 5,13.
5.4
CalGul des coefficients par fa methode de,~ moindres carres
133
H(fl
1,025
1
0,975
I
L_\
05r--- _____
'
.,
I
,
I
O,o~s
-0,025
I
I
I
I
,
i
~---+~--L-~,H~-7~--
0,5
q,125
f
Pm. 5.1S. Fonction de trans/en dufiltre reeL
II c.onvient de remarquer que si les ondulations de la fonction G(x) s0nt d~am­
plitud", constant", il n'en est plus de meme des' ondulations du filtre obtenu qui
decroissent en amplitude quC\.nd on s'eloigne de la bande de transition. D 1autre
part les ondulations en bandes' passante et affaiblie, sont les mel1fes.
Ainsi, la technique du developpement en ~erie de Fourier de la fonction a
approcher conduit a une determination simple des coefficients du filtre mais elle
implique deux limitations importantes :
- les ondulations' du filtre sont 6g a les en bandes passante et 'affaiblie ,
- l'amplitude des ondulations n'est pas constante.
La premiere des limitations peut etre levee par une methode qui garde la 'simplicite du calcul direct, la metho,le des moindres carres. De plus, elle correspond
precisement aux objectifs a atteindre dans un certain nombre d' appJications.
5.4
CALCUL DES COEFFICIENTS
PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES
Soit a ca!euler les N coefficients h; d'un filtre RIF de maniere a ce que la fonction de
transfert approche une fonction donnee suivant un critere des moindres carres.
Le ca1cuI peut se faire directement apartir de. la relation entre les coefficients et
•
·m la reponse en frequence, comme expose au paragraphe 5.16 pour un filtre a. deux:
B
, dimensions. Cependant,.il peut etre avantageux, notamrnent pour la precision des cal~ culs dans Ie cas d' un rrombre importaht de coefficients, de prQceder dans Ie domaine
o
~ des frequences el en partant d'une solution approchee. De plus, cetle methode est
generale et s'applique -aux fonctions-cout non quatiratiques, par iteration ; une telle
ii approche peut s'utiliser pour Ie calcul des,coeffioients des filtres RJI par exemple.
~
La Transformeede Fourier Discrete appliquee ~ la suite h;,avec (0 ~ i ~ N -1),
...J
fournit une suite Hk telle que:
"
l
1i
3
~
Hk =
, {k
1 N-1
L
h·e
-j"N
N
i= O
I
(5.21 )
5 • Les filtres a neponse impulsionnelle finie (RIF)
134
L'ensemble des H k , 0 ~ k ~ N - 1, conslilue un echanlillonnage de la reponse
en frequence du filtre avec Ie pas ~ .
Reciproquement les coefficients h; sont lies a I' ensemble des Hk par la relation :
ik
N-l
h~
1
'<'
... Hke
k=O
;2n-
N
(5.22)
Par suite Ie probleme du calcul des N coefficients est equivalent au probleme
de la delermination de la reponse en frequence du fillre en N poinls de l'inlervalle
(0, Ie)' La fonction H(f) est ensuite obtenue par la formule d'interpolation qui
ex prime Ie praduit de convolution de la suite d'echantillons Hk 8
(t- ~ I,)
par la
transformee de Fourier de la fenetre rectangulaire echantillonnee, calculee au
paragraphe 2.4 .
N -1
H(/) ~
L Hk
k=O
smLnN(i-~)J
N sin
[rr(f - ~)J
(5 .23)
On peut remarquer que cette expression constitue un autre type de d6velpppement en serie de la fonclion H(f) , a nombre limite de termes.
La fonction a approcher D(f) etant donnee. une premiere possibilite consiste
a ehbisir les Hk leIs que:
C 'est la methode dlte de I'echantillonnage en frequence.
La fonction de transfert du fill):e H(f) , obtenue par interpolation, presente des
ondulalions en bandes passanle et affaiblie, comme Ie monlre la figure 5.14.
FIG. 5.14. Fonction de transfert interpotee
5.4
135
CafGul des coeffIcients par fa methode de$ moindres carres
L'ecart entre cette fanction et cel1e qui est donnee represente ~me erreur
e (f) ~ H(f) - D(f) qu'il est possible de minimiser au sens des moindres 'carrees, La
procedure commence par une evaluation de l'erreur quadratique E qui est la
norme ~ de la fanctian d'ecarL A cet effet la reponse H(f) est echantillonnee
avec un pa,s de freqlJenCe A inferieur
a ~ _,de fa~on h apparaltre les valeurs inter-
polees, par exemplI" :
/1 ~ ~~
avec L entier superieur a1,
La fanction e (f) est caleulee aux fr"quences multiples de /1,
En general dans 1~evaluation de l'erreur quadratique E une partie seulement
de la bande
(D, ~ ) est a prendre en compte: poUr un filtre passe-bas ce peut etre
I. bande passante, la bande affaiblie au l' ensemble des deux, Pour exposer Ie principe du calcul on suppose que la minimisation porte sur la bande passante (0, [,)
d' un passe-bas; it vient dans cette hypothese:
No-I
(
!,) avec
E~ n~O e 2 n N~
De plus il est souvent utile d'affecter un coefficient de ponderation Po(n) it
l'element d'erreur d'indice n,afin de pOhlvoir modeler la reponse en frequence; on
obtient alors.:
E~
No-l
L
flo =
0
P~(n) e 2
(!,)
n
--'- , ~
NL
N~-l
L P1i(n) e2 (n)
(5,24)
n=O
La fanction erreur etant obtenue a partir de la formule d'interpolation (5.23),
l'errew ql1adratiql!e E est fanclion de l'ensemble des Hk avec 0,,;, k ,,; N -1 et est
exprimee par: E (H) , Si Fan donne" ces echantillons de la repanse en frequence
des accroissernents .n.Hk , on 0btient une nouvel1e v;;tleur de l~erreur quadratiquequi s'exprime par l'eg.lite:
.'!:::i
::w
~
~
N-l
E(H+/1H ) ~E(H)+
L
k=O
••
'.
1 N-I
N-I
],"
:2 k~O ~o
g
Compte tenu de 1a relatiQ_n de definition de E, et de 1a relation g'interpolation
•c
l• (5.23) il vient:
o
"0
~
~
•
~
-g
o5'
@
(5,25)
5 • Les fi/tres a neponse Imputsionnelle finle (RtF)
136
Ces equations s~ecr1v.ent se us un,e forme matr1cielle ~ so it A Ia matrice, a N
ligNe$ 'et No colonnes telles que ~
A~
[
qOO
1
a(Na- )()
a,a
a(No-l) !
~O(N-l)'
~(N-!)(No-i)
1
avec
oe(j)
aHi
a·· · = - 11
Soit Po 1a matrice diagonale· d'ordre No clontles elements sont les coefficients
de ponderalion Po en); it vi,mt :
[aa~J ~2AP~ [e(n)]
L'ensemble des termes
(5.26)
constitue une lllatrice carree d'ordre N
telte que:
(5,27)
La condition pour que E (H + AHl soil Ie minimum de la .fonctibn e$t que tbu!es
ses derivees par rapport aux Hk(O ,;; k ~ N -1) s' anmilent en co. point. Or :
La condition des moindres carres s'ecrit alors:
AP~ [e(nl] + AP~ Ai [AH] ~ 0
(5.28)
Dans ces conditions les accroissements tlHk (0 ~ k :s;; N -1) qui permettenl depasser des valeurs initiales des echantillons de la repons.e en frequence, aux valeurs
optimaJes_forment un vecteur co'lonne qui -s 'ecrit :
[AH] ~ - [AP~ A']~ l AP~ [e(n)]
(5,29)
Finalement Ie caleul des coefficients du filtre par I'approche proposee pour la
methode des moindres carres demande le.s operations ~uivantes :
1. Echantillonner la fonclion it approcher en N point·s pour ablenir N
nombres Hk(O ,;; k ,;; N -1) ,
2. Dans la bande de frequences ou l~yrreur doit etre minimise-e, interpoler la
rep" nse entre les Hk pow obtenir No nombres e (n) (0 ,;; n ,;; No -1.) qui represen·
tent I'ecart entre la repanse du filtre et la fanctian a approcher.
3. En fonction des contraintes de· Papproximatlon determiner No coefficients
de ponderation Po (n).
5.5
Caloul des coefficients par TFD
131
4. Calculer a l'aide de I'equation d'interpolation les elements'de la matrioe A.
5, Resoudre'l'equation matriciel1e qui donne les ,II,Hk ,
6, Operer sm l'ensemble des nombres (Bk + II,H,J aVeC 0 '" k ,;;. N ~ 1 une
transforrn'a tion de Fourier inverse pour obtenir les coefficients du filtre.
Les coefficients de ponc\eration Po Cn) permeltent, par exemple, d'obtenir des
ondulations en bandes passantes et affaibl1es qui soient dans un rapport donne ou
enCOI:e d'imposer a la re-pDDse en frequence de passer par un point p artie ulier ;
cette dernierecondition peut aussi eire prise en compte par la .reduction d?une
unite du nombre de degres de liberte, ce qui est plus elegant mais plus complique a
programmer.
La mise en ceuvre de la procedure de calcuJ ne presente pa~. de diffkultes par-
ticulieres; elle perlnet de calculer un filtte d'une maniere directe, Cependanl Ie
filtre obtenu a des ondulations qui n'ont pas une amplitude constante; or c'est un
objectif qui se rencontre frequemment. Pour 1'a!teindre il faut faire appel a une
technique iterative.
Si I'inversion ae matric.e de la relation 5,29 est delicate au impossible, il est
possible d'alteinc\re l'optimum en :rempla,ant celte matrice par une constante
faible et en iterant Ie processus, c'est l'algQrithme du gradient,
5.5
CALCUL DES COEFFICIENTS PAR TFD
Une premiere approche iterative consiste a utiliser la Transf0rmation de Fourier
Discr'e te\ qui se calc.ule efficacement par un algorithme rapide.
Soit it caleuler un filtre a phase iineaire a N coefficients <:t satisfaisant au gaba-
ri t de la figure ) ,7, On va utiliser une transformee de Fourier Discrete d'orc\re No
avec No '" 10 N,
La procedure consiste a prendre des valeurs initiaies pour les coefficients, par
,o
"••
'.,
exemple les termes h donnes par (5,18), pour - P '" i "" P, sl N ~ 2P + 1, Cet
ensemble de N valeurs est complete symetriquement par des zeros pour obtenir 'Un
ensemble de No valeurs reelles, symetriques par rapport a I'origine.
Ensuite, un calcul de TFD donne la reponse H(t) en No points de I'axe des
frequences. On peut ecrire :
•
]
~
o
~
lo
"0
~
~
•
~
au H;.(f) est la reponse ic\e.ale et E(f) I' ecart par rapport a celte reponse, On
effecrue alors un ecretage de l'ecartE(f), c'esl-a-dire que l'on remplace H(I) par
la fanction G(I) telle que:
G(I) ~ H;d (I) + EL(f,) si H(f) > H;d(f) + EL(f)
G(f) ~ Hut (I) - EL(I) Sl H(f) < Hut(f) ~ EL(f)
1io
,
o a u EL(t) represente la limite de l'ec.art donnee par-Ie gabarit, par exemple 0, au 0;,
©
pour Ie filtre passe-bas de la figure 5,7,
5 • Les filtres a neponse imputstonnelle finie (RtF)
138
Un caleul de TFD inverse donne No termes dont on Conserve ies N valeurs qui
encadrent l'ori.gine, en annula,nt le:$ a\ltres. Pllis, la procedure recommence, en pre-
nant la TFD des No valeurs ainsi obtenues.
En design ant par I(k) la somme des carres des No ~ N termes annules dans Ie
domaine tempoTd a l'iterahon k, on obtient une fanction dectoissa,nte si les specifications du filtre sont compatibles avec. Ie nombre. N de coefficients. On arrete la
procedure quand I(k) tombe au-dessous d'un seui! fixe.
En ..ppliquant la m6thode pow differents nombres de coefficients N, on peu!
approcher la solution optimale et me-me l'atteindre dans des cas particuliers. Tous
les types de filtres a phase.lineaire peuvent se caleuler ainsi.
Pour obtenir Ie filtre optimal, une methode basee sur l' approximation de
Tchebycheff est utilisee.
5.6
CALCUL DES COEFFICIENTS
PAR APPROXIMATION DE TCHEBYCHEFF
Le but a alteindre est d't"btenir Un filtre dont la reponse en frequenee presente des
dpdulations d~amplitude constante, de maniere a approcher au illieux I,m gabarit,
comme celui qui est donne sur la figure 5.7 pour un passe-bas dont les ondulations
ne doivent pas depasser l' amplitude 01 en bande passante et liz en bande affaiblie.
C'est un probleme qui rde-ve· de Papproximation dlune fonction par un polynome
au sens de Tchebycheff, la horme a considerer pour la fonotion d' ecaT! est la
norIile L",.
D'apres I'expression de la fonclion de transfert d' un filtre RIF a phase
lineaire. Ie ca1cul des coefficients se ram"ene a la determi'nation tie 1a fonction
HR(f) qui s'ecrit:
r-.1
HR (tl =
L h; cos (2ntiT)
(5.30)
i=O
quand 1e nombre de coefficients s'eleve a : N = 2r ~ 1. La technique qui va etre pr€sentee est valable dans tous les cas, que N soit pair ou impair, que les coefficients
soient symetriques ou antisymetriques. Elle est basee sur Ie thepreme d'3palyse
numeriqlle suivant [1] :
Theorem e : Une condition necessaire et sliffisante pour que HR (f) soit
l'unique et meilleure approximation au sens de Tchebycheff d'une fonction donnee D (f) sur \In sous-efiseIilble compact A de l'intervalle [0, 112], est que la fonction erreur e (f) = HR (f) ~ D(f) presente au mains (r + 1) frequences extremales
sur ACto,f" ... ,t,.), tellesquee(f,)= -eeL,) avec 1 ~ i ~ ret
~ e(.ti)1 = max le(f) 1
fe A
Ce reSqltat reste valable si ·une fonction de ponderation Po (I) de l'erreur est
ihtroduite.
5.6
Calcul des coefficients par approximation de J"chebycheff
139
Le probleme se tr:ouve ainsi ramene a ia resoll1tjon tiu systeme de (r + 1)
equations :
Le"s 'inconnues sont les coefficients du flltre hi (0 ~ i ::;;;: r -1) et Ie maximum de
1a fonction erreur : o.
SOllS. forme matricielle. en faisant apparaitre les tnconnues dans- un vecteur
colonne et en normalisant les frequences de maniere que fe..= ~ ~ 1 i1 vient :
D (/0)
1
cos (2lt/o) ...
cos [2lt/o(r -1)]
D (1,)
1
cos (2ItI,) .. .
cos [21t!; (r -1)]
=
1) (t)
1
cos (21t!,) ...
cos [2lttlr -1)]
1
P';-(fo)
-1
PO(f,)
(-1)'
PoCt)
ho
h,
hr _ 1
6
Cette equation Inatricielle conduit a la determination des coefficients du filtre,
ala conditiofi cependant que soient connues le& (r f 1) frequences extre"males h.
e'est dans la recherche des frequences extremales qu'intervient Line procedure iterative realisee suivant un algorithme dit de Remez et dont chaque etape
comprend les phases: suivantes :
- Des valeUl's initiales sont affect€es, ou sont disponibles pour les parametres
f,(O""'i""'r).
- La valeur 0 correspondante e'st calcuJee en r,~solvant 'Ie systeme d'equations,
a la formule suivante:
~e qui ,eonduit
..11•"
],
•c
o
c
•
'''-
g
]
~
-g
8'
@
avec:
ak ~
1
,U cos (2lt/,,) - cos (21t!,)
j =/-/{
Les valeurs de la fanction HR (f) sont interpolees entre les /; (0 ";; "i "'" r)
pour oalculer e(f).
- Les frequences extremales obtenues sont prises comme aleurs initiales
POllr I' etape suivante,
La figure 5,15 montre l'evolution de la fonctiGn erreur dans une etape du calcuL
La procedure est arretee quand la difference entre la valeur 0 calculee au moyen
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
140
des nouvelles frequences extremales et la vaieur preeedente tombe au-dessous
d'un seuil fixe a ravance. Ce reSultat eSt obtenu en quelques iterations dans 1a
grande maJorite des cas.
La convergence de cette procedure est liee au choix- des va'leu'rs initiales des
frequences h; pour la pr'emiere iteration, on peut prendre les frequences, extre-males obtenues avec une autre methode de calcul pour les coefficients du filtre, au
m&ne simpiement, une repartition uniforme des frequences extremales sur Pintervalle de frequence conSidere .
• (1)
i+ 1
s~------~~-----+~~--
FIG. 5.15.
Evolution de fa fonction erreur dans une efape
de l'algo rithme de Remez
Comme dans la methode des moindres carres du paragraphe precedent, on
trouve une etape d'interpolation des va.leurs de Hd/) qui, du fait de la repartition
non uniforme des freql,lences extremales, est plus commode a realiser en faisant
appel aux formules d'interpolation de Lagrange :
(5.31 )
avec :
r-l
Pk~ IT .
r
.
f ~ ~ xJ -x~
ef
X ~ cos (2rc/)
A la fin de Ja procedure d'iteration, les frequences extremales obtenues son!
utilise'e s pour produire Un echantillonnage a pas constant de la reponse en fre-
5.7
141
Relations entre nambre de coefficientset gabarit de filtre
quence, qui, par transformation de Fourier discrete inveTse, feurnit les coefficients
du filtre .
Des filtres ayant plusieurs ce-ntaines de coefficients peuvent etre cakules suivant cetle te~hnique, qui s'applique aux filtres passe-bas, pas$e-haut et passebande, avec OU sans Mphasage fixe [2]. Un exemple de c,alctil est donne en
annexe.
5.7
RELATIONS ENTRE NOMBRE DE COEFFICIENTS
ET GABARIT DE FILTRE
Dans les techniques de caleul qui ant .ote expo sees Ie nombre de coefficients N du
fillIe a ete suppose donne a priori. Or dans la pratique N est un parametre impor"
tant, par exemple dafls les projets ou il fauJ evaluer la capacite de ca'lcu'l necessaire
ala mise en ceuvre d'un filtre numel'ique satisfaisant aun gabarit donne.
Pour un filtre passe-bas, comme indique sur la figure 5,7, Ie. gabarit est donne
par l'ondulation en bandes passantes et affaiblie 0, et "", la frequence marquant la
fin de la bande passantef etla bande de transition !1f = f, - f" En analysan! les
" nombre de fillIes avec des specifications tres variees,
resultals du caleul d'un grand
on constate qll'en premiere approximation Ie nombre de coeffiGients est proportion1
1
nel au logarithme de If et de If ainsi qu'au rapport de la frequence d'echantillon1
2
nage fe a la bande de transition !1f Par ajustage des parametres on obtient alors
l' estimation N e suivante pour Ie hombre de coefficients:
(5.32)
~
Celte estimation particulierement simple est sufiisante dans la plupart des cas rencontres en pratique. EIle met bien en evidence l'importance relative des parametres, La bande de transition !1f est Ie parametre Ie plus' sensible; Ies ondlllations'
en bandes passante et affaiblie ont une contribution secondaire: par eX'emple
quand 0, = "" = 0,01, une division par deux de i'une de ces valeurs entraine seulement une augmentation de 10 % de l'ordre du filtre, De plus, il est remarquable de
constateT que, selan celte evaluation, la complexite du filtre ne depend pas' de la
largeur de la bande passante,
g
E;remples
lo
1, Le calcul d'un filtre a 39 coe·fficienls (N = 39) a conduit aux valeurs suivantes:
"~
'~
•c
•
"0
~
~
•
1i
~
§
81 ~ 0 , 017'•
"~
'O'~ 034 ',
~
f2 ~ 0,14375;
f·1 -= 0' 10375 ',
N~O,04
o
@
Avec ces valeurs de parametres 1'estirnaj:ion donne: N e = 40.
5 • Les filtres a neponse imputs;onnel/e finie (RtF)
142
2. Un filtre a i60t;oefficients (N = 160) a c.o=e parametres:
°
4
0, = 2,24.10- 2 ;
2 = 1,12 . 10- ; 1, = 0,053125 ;
12 = 0,071875; 11.f= 0,01875
L' estimation donne Ne = 164.
3. Un filtre a 15 coefficients (N = 15) a comme parametres:
0, = 0,0411 ; 1i:J = 0,0137; .f, = 0,1725 ;
A = 0,2875; !1f = 0,115
L 'estimation donne: N e =13 .
Les coefficients' du filtre correspondant it l'equation :
15
y(n)=L a;x(n-i)
1=1
onf pour valeur :
a, =- 0,00047 = a15
a2 = 0,02799 = a'4
a3 = 0,02812 = <7'13
a4 =- 0,03572 = au
a5 = - 0,07927 = an
a6 = 0,04720= alO
a, = 0,30848 = a9
as = 0,44847
Les ondulations du filtre sont donnees sur la figure 5.16.
FIG. S.16.
Exempli! de flltre optimal it 15 coefficients
n fa ut cependant noter que de&ecarts non negligeables peuvent apparaltre
entre la valeur N reellement necessair.e et la valeur estimee Ne , quand les limites
5 ..7
143
Relations entre nambre de coefficientset gabarit de filtre
de la bande de transition approchent les valeurs 0 et 0,5 ou encore quan,d N prend
des. valeurs ae quelques unites. Un ensemble de formules plus elaborees est donne
dans la reference [3].
Comme indique aux chapitres 7 et 10 un tiltre passe-haul peut lOire obtenu a
partir d'un passe-bas en inversantle signe d'un coefficient sllr deux. II s'en suit que
l'estimation (5:32) .'applique aussi aux filtres passe-haul. Quand Ie gabarl! presente pour les bandes passante et affaiblie des plages de frequenees ou les ondula"
hons doivent eire differentes, un majbrant du nombre de coefficients peut etre
obtenu en prenant pour 01 et ~ les contraintes les plus seve-res en bandes passantes
et affaiblies respectivement.
Dans Ie cas des filtres passe-bande, il faut faire intervenir plusieurs bandes de
transition. La figure 5.17 donne Ie gabarit d'un tel filtre ayant deux bandes de transition 1'./, et I'.fz. L'experienee monlre que Ie nombre de coefficients N depend
essentiellement de 1a bande de transition la plus faible. i'.fm ~ min (/I./~, i'.f2)' On
peut alars appliquer I'estimation (5.32) avec 1'.1 ~ I'.lm' Un majorant pour Ie nombre
de coefficients est obtenu en conslgerant le £lltre passe-bande comme la mise en
casoade d'un filtre passe-bas et d'un passe-hallt et en faisant la somme des estimations.
Ampl .
1 + $,
1
1- ~,
I,
FIG. 5.17.
f
Gabant d'un filtre passe-bande
."••" Exemple
]
~
g
•
'''8o
"0
~
~
•
1i
~
§
o
©
Un filtre passe-bande 'a 32 coefficients (N ~ 32) presente les caracteristiques
suivantes ~
OJ ~ O,Q1S ; liz ~ 0;001$; 1, ~ .0,1 ; 12~ 0;2 ;
I, ~ 0,35; 14 ~ 0,425 i i'.f;" ~ 0,075 ,
L'estimation par la relation (S.12) avec 1'.1= i'.fm donne Ne' ~ 32.
Un ensemble de forfiules pourl'estima.tion de I'brclre aes filtres passe--bande
est donne dans la rMerence [3].
5 • Les filtres a n"ponse impulsionnelle fin ie (RIF)
144
Les fbrmu1es d~e.stimation peuvent etre ut1lisees pour completer Ie. programme de caleul de&: coefficients du 'filtre, en faisant determiner 1e nombre N en
debut de programme. La relation (5.32) est t res utile dans les projets, pour les evaluatlonsde complexite.
Quand on observe les reponses en frequence des filtres calcules <lans la bande
de transition, on remarque qu~e lles sont proches d~une cosinusoi'de surelevee et
d' autant plus que les onduiations en bandes passante et affaiblie scmt proches. En
f~it) ce type de reponse correspond 'aux speGifications imposees en transmission de
donnees avec les filtres dits de Nyquist et il represente une autre approc he des
filtres RIF a phase lineaire.
5.8
FILTRE A TRANSITION EN COSINUS SURELEVE ET COSINUS
FILTRE DE NYQUIST - FILTRE DEMI-BANDE
La reponse en frequence )ClU) d'1m filtre dont la bande de transition est en cosinus
surdeve est representee a1a figure S.18.a.
.
H(r) .
'
0.5 --------- - - -- ----- .,-----
a
f
IN)
1+----------------,
a
f
lJI
lJI
2
2
F]G.5.18.
a) reponse avec transition en CQSinllS surele.ve,
b) impulsion enfrequence de largeur2f~ J
c) impulsion en frequence p.our fa trans.ition.
5.8
Fi/tre a transition en cosinus sure/eve et cosinus
145
On verifie ql,l~elle s'exprime comme Ie produit de convolution suivant ;
H(!) = I, (I) • [I2 (t).
2:/
cos (
~j) ]
(5.33)
ouJ,(t) est une impulsibn cle largeur 2/, e\12(1) Une impulsion de largeur 1'1/"
nans ces conditions, la reponse impulsionnelle h(t) s'ecrit comme Ie produit
de 2 reponses impulsionnelles i,(t) et io(t) donnees par :
i,(I) = 2/,
sin 1t 2/,t
1t
2/,t
er
A,pres simplifications, il vient:
(5.34 )
Le nombre total de coefficients du flltre est determine prihcipalement par la
(onction io(t) et la largeur de son lobe principal, egale a 3/1'1J.
Ainsi dans un filtJe a bancle de transition en cosinus sureleve, 1e l10mbre de
coefficients peut e tre estime par:
(5.35)
Cette estimation peut etre consideree comme une premiere approche, quand
3 on 1a compare a It' relation (5.32).
~
Les coefficients du filtre numerique sont obtenus paT echantillonnage de h (t),
.~ pour il '" P et N =2P + 1, soit:
],
"
1
•c
o
c
•
cos-n:
1'1/
Ie
l
.<e
8o
1~4(1'1///,)2,2
(5.36)
"0
~
~
•
~
1i
§
o
@
A noter que celte expression peut erre appliquee a un filtre quelconque et
donne une estlrnation directe·des coefficients plus precise·que la relation (5.18).
5 • Les filtres a neponse impulstonnelle finie (RIF)
146
Les resultat!? ci-dessus se generalisent atoule bande de transition posse-dant la
propriete de symeirie, c' est-a-dire qtte:
!J.f
H (f, T 1) ~ I - H (I, - 1); II I '" 2
Ces filtres sout a la base de la transmission numerique et on les designe par
filtres «de Nyquist ». Leur reponse irnpulsionnelle s'annule a taus les instants multiples de 112/, et, en traitement numerique, les coefficients d'indice multiple de
f,J2/, sont nuls. Un cas p.articulier important est celui du fillre demi-bande, dans
leqllei I, ~ 1,14. Alars, 'les coefficients pairs s'annulent et, pour N ~ 4M + 1 coefficients , la relation dlehtree-sortie s'ecrit:
y(n) ~+[x(n-2M)+ ;~, h,;_1[x(n-2Mt2i-l) +X (n - 2M- 2itl l]
Pour la Ie-panse en frequence , il vient:
.
1 [
M
H (j) = e-I·2rr2Mf
~ 1t 2 L
2
i=- l
Ce filtre necessite une quantite de cza lculs requite et c'est un 61erp..ent de base
du filtrage multicad'mce.
En 'transmission, ia fonction de filtrage se partage entre femetteur et Ie recepleur et on litilise frequemment Ie filtre demi-Nyquist, par exemple avec une bande
de transition en cosinus:
HIIl(!) ~ 1;
VI '" 1, - "'{
Hlf.'(!)=COSlolfHlf.'(f) ~ Q;
(/<- "'!)}2N;
ttl ~ I, t "'{
La reponse impulsionnelle slecrit ::
hlI2 ('t)-
( "'AI . ("'A
-4"'1 cos 2m I, + c- t c- sJh 2n:t I, - 1<
.
2
1tt
2
1- (4"'lt)2
(5.37)
Comme precedemment, un filtre numerique « demi-Nyquist » peut eIre oblenu
en.echantillonnant celt" fonction, c'est-~-clire en rempla,ant t par if I ,dans la relation (5.37).
5. 9
STRUCTURES POUR LA REALISATION DES FlLTRES RIF
La mise en reuvre des filtres RIF se fait par des·circuits qui realisent le& trois operations fondamentales- que sont la mise en memo ire, la multiplication et l'addition et
qui sont agences pour fournir, a partir de la suite des donnees x(n), une suite de
5.9
141
Structures pour la realisation des filtres RIF
sortie y (n) conformement a I'equation de definition du filtre. Aucune " peratio\l
reelle n'etant instantanee., I'equation qui est realisee t 1a place c\e la relation (55)
du paragraphe 5.1 est la sulvante :
N -1
y(n)~
L a x(n-i-1 )
i=O
j
(5.38)
Il faut N memoires de donnees et pour chaque nombre de sortie il faut faire N
multiplications et N - 1 additions. Differents arrangements de circuits'peuvent etre
envisages pour rnettre en ceuvre ces operations [4,5,6] .
La figure S.19.a donne Ie schema du filtre dans la structure dite directe.'La trans"
position dtt graphe de ce schema concluit
ala structure dite transposee et representee
sur la figure 5.19.b ou les memes Dperateurs sont agences differemmenl. Cette structure amime a r€aliser 1a multiplication de chacune des donnees x (n) par taus les
coefficients s\lccessiven'lent; d'autre part 'les me-moires stoGkent des sommes partielIes; en effet au temps n la premiere me-moire stocke Ie nombre aN _lx(n), la sui-
vante : aN _1X (n - 1) + aN _2x(n) et la dermere stocke ia sorume y (n). La difference
entre ces deux structures tient a la position des memoire$. Ort peut aussi envisager
une· structure intermediaire adeux memoires par coefficient, au les donnees internes
sont stockees pendant (~ c;l\lre~ T /2 darn; chac\jn<;; la stru<;twe en chaine amsi obtenue nepresente que des·interconnexions locales.
y(n)
x(n)
,o
"••
'.
],"
•o
o
o
•
FIG. 5.iQ.
Realisation des filtres RIP
a) siru,cture di'[ecte,
b) strncture transposee.
'1C
8o
]
;
Dans les fillres a phase llneaire, la symetrie des. coefficients peut etre exploitee
pour div1ser par deux le nombre de multiplications a faire par nombre de sortie, ce
1i qui est tres important pour la complexite d\J filtre et justifie l'utilisation q\lasi generale
8' de filtres a phase lineaire. La structure corresPQndimte est presentee sur la figure 5.20
@
pour 1a forme directe· quand Ie nombre de coefficients est impair: N ~ 2P + L
5 • Les filtres a [feponse imputsionnelle finie (RtF)
148
La complexite des circuits depend du nOI1).bre d1operations a faire , mais aussi
de l'ampleur de ces operations .; c'est ainsi que 'les termes de la mUltip]ication doivent avoir tin nombre de bits aussi re-duil que possible Ce qui tend a diminuer la
capacite de me-moire necessaire, tant pour les coefficients que pour Les donnees.
Ces limit:atiofls qIodifient les caracteristiques' de traitement.
1---.- - - - - - - - -.----I
Pm. 5.20. 'structure directe pour flltre .a phase fineaire
5,.10 LIMITATIONS DU NOMBRE DE BITS
DES COEFFICIENTS
La limitation du nombre de bits des coefficients d' un filtre entraine une a.1teration
de ia re-ponse en freq uence qui se traduit par la superposition dlune fonction paracSite. Leg: consequences vont etre analysees dans' le cas des filires a phase 'lineaire.
L'extensian des resultats aux filtres RIF quelcanques ne presente pas de difficultes.
Soit un filtre it phase lineaire it N ~ 2P + 1 coefficients, dont la fanction de
transfer! s'ecrit d'apres Ie paragraphe 5:2, relation (5.13 ) :
H(!) = e-i 2rrtpT [ho+ 2
;~, h; cos (2It/iT )]
La lih11tation du nornbre de bits des nombres qUi representent les coefficientsse traduit par une erreur oh; (0 ,;; i <; P) sur Ie coefficient h; qui, dans I'hypothese
d'u!1 arrandi ayec Un e¢helan de ql!antification q, est telle que:
5.10
149
Limitations du nombre de bits des coefficients
I1 en r",sulte la superposition a la fanction H(t) d'une fonction parasite e.(f)
telle que :
(5.39)·
L'amplitude de. cette fonction .doit etre limitee, pour que la TePOnse du filtre
reel reste dans Ie gabarit impose..
One borne est obtenue camme suit :
p
Ielf)l ,;; lahol + 2L1 lah;] leas (2ltfiT)]
~=
(5.40)
Cette borne est en general bea ucoup trap grande ; pour avoir une estimation
plus realiste il faut faire 'appel a une estimation statistique [7].
Quand l'etude porte sur un grand nombre de filtres ayant des specifications
variees et que l'on recherche des re-suItats gene-raux, on peut considerer les
vctriables OItj(G ~ i ~ P) comme aleatoires, independantes et a repartition l!niZ
forme sur Finlervalle [- ~, ~]; dans ces conditions elles ont comIDe variance- : i2 .
La fonction 'e (f) peutetre .consiaeree.comme'llleatoire egalement. Soit eo sa valeur
efficace sur I'intervalle de· !'requenee [0'/,], c'est-a-dire telle que:
1 f,
e6= ~ J le(f)1 2 df
fe
(541)
0
En fait la fonction e(t) est une fanction periodique definie par s.o n develbppement en serie de Fourier et l'€galite de Bessel-Parseval permet d'ecrire, conforme~
ment a la relation (5.8) :
,o
Par suife-Ia variance (}'2 de la variable aleatoire eo s'ecrit:
.."••"
],
~
En faisant l'hypothese d'independance de la frequence pour. le moment db
second otdre et compte tenu (1e la rtilation (5.41), Ta variable e(f) peut etre cansi"§- deree-camme une variable aleatoire de variance (}'2 telle que ~
o
~
o
I-g
,.
o
©
cr=~ti
(5.42)
Celte reiation fournit une estimation de le(f)1 beau coup plus faible que la
borne (5:40). En fait a(J) , resultant d'apres (5.39) d'une somme poncteJee de
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
150
variables supposee.s independantes, peut etre assimilee a une variable gaussienne,
de moyenne nulle si la quantification est faite par anondi, et d'ecart type cr, Pour
determiner Fe-chelan de quantification q, on peut alors raisonner aveC' les inte-Tva'lles de confiante; par exemple la probabilite pour que IeU)1depasse la v"leur 2p
est inferieure a 5 % d'apres Ie table.au dofme en annexe 2 au chapitre 1.
Les resultats ci-dessus vont inaintemmt etre utiltses pout' estimer Ie nombre de bits
be necessaire dans 1a representation des coefficients ~run filtrespecifi6 par un gabarit.
Etant donn6 un gabarit de filtre, soit om la valeur imposee par Ie gabarit pour
I'amplitude des ondulations ; salt q, l'amplitude des ondulations du filtre avant limitation du nombre de bits des coefficients. La fonction parasite i{(f) doit.atre telle que:
Ie (f) I <: 0", -00
Le degre de confiance dans [,estimation est superieur ~ 95 % si q est choisi tel que :
'1 (N < om -00
2 'V 3
2
Dans ces conditions:
(5A3)
Le nombre de bits be necess,\ire pnur repre-senter les coefficients- depend de '1a
plus grande des valeurs hi{O ~ i ~ P) et, compte tenu du signe, l'echelon de quantification q est donne par:
(5.44)
Si Ie filtre est un passe-bas don! la reponse en frequence approche. l'unite en
bande passante et correspondant au gabarit de la figure 5.7, les valeurs des coefficients peuvent en premi~re approximation etre ""loulees par la relation (5,18)'
Dans ces conditions Ie maximum est obtenupour ho avec:
1, t 12
ho~--
[,
(5.45)
AloI S (5.4~) el (5,44) conduisent a l'estimation suivante:
. . [/l + h
b,=ltlog2
{N
---Y;- -'V3'
om-1 oo]
(5A6)
aVec:
b, : nombre de bits des coefficients (signe compris) .
N : nombre de coefficients du mtre.
1, : limite de bande passante,
12 : debut de bande affaiblk
I, : frequenc", d'eehantillonnage.
om : limite imp osee par Ie gabatit pour l' amplitude des ondulations,
q, : amplitude des ondulations du filtre avant limitation du nombmde bits des
coefficients.
5.10
Limitatio'ns du nombre de bits des coeffic:ients
151
Ex~mple
Soit Ie filtre pa_sse-ba$ ~ 15 coefficients du paragraphe 5.7 dont les: parametres
sont les suivants :
'
I< ~ 1
N =' 15
f, ~ 0,1725
12 ~ 0,2875
Le-gabarit impose:
0, ~ 0,05 Il:, ~ 0,G2
Les ondulations dli filtre en bandes passante et affaiblie, avant limitation du
nombre de bits <,Ies coefficients, ant pour valeurs :
0,0= 0,0411 Ow ~ 0,0137
Dans ces condi tions :
Il vient;
On choisit b, ~ 8, c'est-a-dire des coefficients a 8 bits. La fonction eCt) correspondante est representee sur la figure 5,21.
• (11
0,011-----------------------,
0,1
0,2
0,1.
.:ijj
~
§
."••"
,qs
,,,
-0,01 L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _- '
Fw.5.2l
Erreur due
al'arrondi .des- coefficients.
],
~
Dans la pratique Ia relation (5.46) peut etre simplifiee. D ' abard la tolerance
fournie par Ie Kabarit du filtre est generalement rep artie equitablement entre les
ondulations ~lVant iimitation du nombre de bits de~ coefficients et feTfeur supple.§ mentaire que acette limitation, c'est-a-dire que 80 = Qm 12. D e plus, les fiJtres a r"ea"5. liser sont generalement tels que :
o
~
l
•
~
,.
-g
o
@
(5.47)
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
152
ce qui, d'apres la relation (5.32) correspond a une gamme importante des valeurs
des ·parametre$ ~ et o.z,. Dans ,c es conditio.ns on peut se baser sur l'estimati"on
.(5.35) e! remplace.r ~ par
;1
.e.t une estimation convenable. du nombre de bits
des coefficients est donnee par :
/1+/2
rJ:2]
b, = 1 +log 2 [ ---y:- ' \j 'I;l' om .
En faisant appata!tre la raideur de coUpure du filtre (5.17) et 1a bande de transition normalisee, on obtient fihalement :
(Ie )
(1 ')
1
.(/1+/2
2Af - 2 log 2 Af + log 2 min {O" Ii,)
b, = 3 + log 2
(548)
A.insi Ie nombre de bits des coefficients est directement lie aill!: specifications du
filtre . .II est remarquable de constater que les filtres Ii bande passante 6troite
demanden! moins de bits que les filtres a bande large.
Les relations (5.46) et (5,48) s'appliquent aux filtres p asse-h aut et eiies s'etendent aux filtres passe-bande"
L'analyse ci-dessus a ete menee ave'c Fhypothese d'une separation des operations de caleul des coefficients et de limitation de leur nombre de bits. II e,s t 6galement possible de considerer globalement l'ensemble de ces deux op6r.ations, mais
les techniques de calcul correspondantes sont plus compliquees [8].
5.11
LIMITATION DU NOMBRE DE BITS
DES MEMOIRES INTERNES
La limitation du nombre de bits des me-moires dans un filtre constitue une source
de <;Iegradation,s du signal ala traver",e de ce filtre.
Dans un filtre RIF il est possible d'6viter cette degradation. En effet si b d ,
designe Ie nombre de bits des donnees d1entree, be- etant celui des coefficients, iI
suffit de pouvoir faire l'accumulation des produitsa (b d + be) bits pour realise.r
exactement les calculs definis par (5.38). De nombreux circuits multiplieurs et prec.esseurs pennettent cette operation. Si les produits sont arrondis a bm bits pour
simplifier les circuits de multiplication et accumulation ~ il apparalt un bruit appele
bruit de calcuL
Dans les structures cQnsiderees au paragraphe precedent ce bruit slajoute en
sortie de tiltre.
La figure 5.22 montre Ie cadrage des nombres dans Ie filtre .
Compte tenu des valeurs des coefficients hi' les produits sont .decale~s d'un
nombre de bits Do qui, pour un passe-bas, s'ecrit d'apres (5.45) :
~
bo log 2 ( 1,
~-h )
5:11
Limitations du nombre de bits des memoires internes
153
I
L Donnees' d'entree
,
II,,
,
:.
I
I
:
! • bQ
1-1------------1 Produ;!.
•
L.
bm
•
~------:-------~ Registre d'i!.ccurT:Iuli!.tion
b.
,.
FIG. 5.22., Cadrage desnombres dans un [titre. RIF.
La sortie du filtre est obtenue dan$ un accumulateur ayant au moms
b a ~ (b o T b m ) bits,
En tait Ie nombre de bits b i a l' interieur de la machine doit etre -superieur a
cetie valeur ha pour e-viter les ciebordements, bien qU'avec une-represeptation en
complement a deux des debordements temporaires soient acceptable$. Ce nombre
de bits brva maintenant etre relie. aux specifications du filtre .
Au signal qui se presente it l'entree du filtre est superpose un bruit dont la
puissance est designee par BlI Cette pl.!issance de bruit est generalemeht liee :au
nombre de bits b d utilises pour representer Ie signal ; en fait elle est egale a ko 'fois j
avec leo ~ 1, la puissance de bruit engendree par la quantification 1 b d bits. Si Ie
bruit de calcul a pOllf puissance B" si Ie sigmil d'entree S et Ie bruit superpose B,
ont'tine distribution spectrale 'uniforme, le 'rapport signal a bruit SB en sortie du
filtre s'e"prime en decibels (dB) par:
(5.1.9)
5 Alors, la reduction ASB du rap'po r.t sign,al a bruit a la traversee du filtre slecrit :
.••
"••
(5.50)
],
•c
o
c
•
'5.
Si celte degradation doit rester faible, 'il vient :
8o
"0
~
~
•
(5.51)
~
1i
8'
@
11 faut maintenant determiner la relation entr~ la pliissance du bpuit de calcul
Bc.e:t Ie nombre de bits des memo ires internes bi'
5 • Les filtres a n"ponse imputstonnelle finie (RtF)
154
En prenant comme unite I. valeur maximaie des nomhres <,!'enlreex(n), c' esta-dire ;
fx(n)l ,;; 1
on a en sortie, d'apres la relation de definition (538) :
N-l
'ly(n)1 ",. i=O
L lalI
Pour un filtre passe-bas de reponse unitaire ala frequence zero ~ on a:
N-l
L a~l
i=Q
(5.52)
I
Dans ces conditions la somme des valeurs absolues des coefficients reste generalement inferieure a ql,lelques unites et on peut considerer que les inegalites SU1-
vantes:sont verifiees :
N-l
1 ",
L lail < 2
(5.53)
i =0
L'arrondi a bi bits dans Ie processus d'accumulation amene alors un bruit de caleul
Be tel gue :
alors que Ie bruit aFe-ntree Bl a pour valeur:
22(2 -b,)
B J ~ ko ' 12
avec
kQ;'< 1
Avec la meme approximation de N gu'au paragraphe precedent, la <,!egradation du
rapport signal a bruit a la traversee du filtre s'ecrit ;
3/,
4
ilSB = 4,3. N . ko 2 2(b ,
(5.54)
En generalles specifications du filtre imposent une limite a la valeur ilSB. En
supposant ko ~ 1 une estimation du !t1ombre de bits des memo ires dans la machine
est donnee par:
bi = bd +3 + ~. [lOg 2 (il~B)+ log 2
Uf)
+ log 2 (11
~ IJ] (5.55)
Il faut bien noter gue la validite de celte estimation est limitee aux faibles valeurs
du terme ilSB , exprirne en declbels. n appararr que les fillres a bande passante
etroite demandent plus de bits ; en fait il est possible de proceder a un recadrage
interne des nombres, en tenant compte de la reduction de puissance du signal
apres filtrage, qui correspond au nombre de bits b R avec:
(t)
b.R ~ 2:1 log2. 1, + 12
5:12
155
Fonetion de transfert en Z d'un filtre RIF
Avec. recadrage, Ie nombre de bits des memoires dans la machine est donne par
b iR = bi - b s . c'est-a-dire :.
(5.56)
Les· estimations donnees dans ce paragraphe et les pre.c edents fournissent une evaluation de la complexite des machines necessaire pour realiser les fonctions de filtrage RIF.
5.12
FONCTION DE TRANSFERT EN Z D'UN FILTRE RIF
La fonction de transfert en Z d'un filtre RIF a N coefficients est Un polyn6me de
degre N -1 qui s'ecrit (5 .7) :
iN ~ 1
H(Z) ~ ;~o
a,Z-i
Ce polyn6me passede N - 1 racines Z, (1 <;;; i %, N - 1) dans' Ie plan complexe
et s'e.crit SOllS la fonne d' un produit de facteurs :
N-l
H CZ)~ao
n (l_Z,Z-l )
1=
(5.57)
1
Ces ra'Clles pnssedent des particularites en r~ison des proprietes des filtres
RIP.
~
~
,
.••"
1ii
D ' abord si les coefficients sont reels, a toute racine complexe Zi correspond
une racine cornplexe con.fuguee Zj> ge sOTte que B(Z) s'ecrit sous forme d'un produit de termes du premier degre et de termes du :$econd degre ~ coefficients reels.
Un terme du second degre s'ecrit ainsi :
H:,(Z) ~ 1- 2Re(Z;) Z-l + IZ;12 Z-2
],
•c
(5.58)
g
D'autre part, la symetrie des co-efficients d'un filtre a phase lineaire dbit appa-
"6...
.§
-a.
raitre dans la decomposition en produits de facte.urs". Pour un terme du second
degre a coefficients reels il faut, 8i les racines sont complexes, que IZil =. 1, c'est-adire que le zere seit sur Ie cerc1e unite. Pour I,ln tyrme du 4e degre a coefficients
-g
reels, il faut que 1es 4 racines complexes soient les s.uivantes ! '4, '4.,
@
a-dire :
•
8
8"
~
z1 ' ==1 ,; ctesti
Zi
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
156
H.(Z) ~ 1- 2Re (Zi + ~J Z~l + [IZ,12 + 1~12 + 4Re (Zi) Re (~J] Z~2
- 2Re (Zi +
~J z,' + Z~4
(5.59)
Dans ces conditions un filtre RIF a phase lineaire pellt se decomposer en un
ensemble de filtres elementaires du deuxieme ou quatrieme· de.gre ayant la proprie\e de symetrie des coefficients.
Les racines du filtre passe-bas a 15 coefficients donne comme exemple dans Ie
p"'agraph<; 5.7 out ete calculees. Les affixes des 14 zeros s011t I<;s s\livan~ :
z, ~ -0,976 ± j 6,217 Zs ~ 0,492 ± j 0,266;
~ ~ - 0,797 ± j 0,603
Z6 ~ 1,573 ± j .0,851 ;
Z3 ~ - 0;512 ± j.D,859 Z, ~ 0,165
Z4 ~ - 0,271 ± j 0,962 Z8~ 6,052
Leur position dans Ie plan cQmplexe est donne sur la figure 5.23.
J
6,052 - R
\
•,
\
'., ' .
..... . -
FIG . 5.23 . Configuration .des zeros d 'uf? filtre RIF
Cette figure illustre Ies caracteristiques de Ia r.oponse en freql\ence du filtre et
est a rapprocher de la figure 5.16. Les couples de racines caracteristiques de la
llnearite en phase apparaissent egalement. Si cette contrainte n'est plus imposee]a
configuration des racines est modifiee.
'
II est intenssant d'observer que, camme Ie montre I'expression (5.14), la
reponse en frequence d!un filtre aphase lineaire anombre de coefficients pair s!annule· a I. demi-freql\ence d'echantillonnage [,/ 2. Un tel filtre poss~de done un zero
a1/ 2. De meme, si un filtre a nombre de coefficients impair possede un zero a
hi 2, ce zero est double, ce qui assure la syme-trie de la reponse en frequenceau
yoisinage de [,(2.
Fitlres a dephasage minima.!
5.13
5.13
157
FlLTRES A DEPHASAGE MINIMAL
Le temps de propagation a travers un filtre a phase lineaire peut etre trap imyortant pour certaines 'applications, D'au\re part, il n'est pas toujours possible ou interessant d'litiliser la symetrie des coefficients d'un filtre a phase l1neaire pour simplifier les calculs [9]. Alar< si la linearite en phase n'est pas une caracteristigue
impose-e, on pelJ-t esperer reduire '1a Gomplexite dufiltre en abandonnant cette
contrainte. En effet line fonction de trans-iert a phase l1neaire peut e-ire consideree
comme Ie produit d'une fonction a dephasage minimal par une fonction de dephaseur pur. La condition pour gu'une fonction de transfert en Zsoit d€phasage
minimal est que ses raeines soient a Finterieur ou sur Ie cercle unite. Ce point est
developpe au chapitre 51,
On peut o blenir les coefficients d'un fil\re it dephasage minimal ~ partir deS
coefficients d'un filtre a phase lineaire optimal d'une maniere simple,
En effet soit un filtre, it phase lineaire a N ~ 2P + 1 coefficients dont la reponse
en frequence s'ecrit :-'
a
Les ondulations en bandes passante et affaiblie sont 8, et 0:, respectivement.
Examinons Ie filtre obtenu en ajoutant ~ a la re-ponse precedente et en recadrant
pour approcher l'unite en bande paSsante, Sa reponse H?(f) est telle gue :
H 2 (f)
~ e-i"'iF'r 1 ~ 0:, [ho + O +2 i~' hi cos (2n:/iT )]
(5.60 )
2
En bande passanteil presente des orrdulations d'ampl1tude 0; telle que:
0,
Sa r.oponse en 15 ande affaiblie est representee sur la figure 5,24; les'Dndula-
"••
'.
20
lions son t limi tees a 0; ~ (1 + ~i) ,
],"
•c
o
c
•
'0..
8o
"0
~
~
•
•f
~
-g
"
o
@
FIG. 5.24.
Ondu/atil)llS en bande affaiblie du flltre surelevi
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
158
Ce filtre est a phase iineaire cal-" ia symetrie des coefficients est conservee. Par
c~ntre on pe-qt observer que les zero$' de la fOllction de tra,nsfert en Z qui sont sur
Ie cerole Unite sont doubles car H 2 (t) ne d"vient pas negatif. Dans: c~es conditions
la configuration des ZerQS esl ce!le de la figure 5.25.
FIG. 5.25.
Oonfiguration des ;-eros de H2 (f) et dufiltre d d-ep/ylsage minimal
Les zero~, qui ne sont pas sur Ie cercle unite ne sont pas doubles. Cependantle
module de la fonotion H 2 (f) n'est pas modifi€, a une constante pres, si I'on rem1
place les zeros Zi exterieurs au cercle 'unite par les zeros Z ' qui sont interieurs au
"
cerde unite el deviennen talors doubles egalement. En effet celte operation
revient simplement it une multiplication par G(Z) telle que:
G(Z) ~
Z~l) (
(l-z;-
Z-l)
1-~
(1- ZiZ-I) (1- ZiZ-1)
Or, sUr Ie cerele unit~ Z-l ~ Z, et la symetrie par rapport .a l'axe reel conduit it
I'egalite :
(Z-l_ Ztl (Z" - Z;) I
(Z-Z,) (Z-Zil 40,jro~ 1
I
(5.61)
Par suite:
Dans ces conditions on peut ecrire :
H,(f)~H'in(f).K
(K: constante)
au Hm (tl est la reponse d'un liltre qui a une fonction de Iransfert en Z dont les P
zeros sont simples et al'ipterieur Oil sur 'fe cercle unite. Ce fihre satisfait ala condi-
5.13
Fitlres a dephasage minimal
159
tion de phase minimale, il possede P + 1 c<Jefficients .e t le$ amplitudes des ondulahans en bandes passante et affaiblie sont Om! "'10m2 telles que ;
(5.62)
(5.63)
Pour calculer ce filtre il suffit de partir du filtre a phase lineaire dont les para-
metres 01 et ~ sont determines a partir de oml et 8m2 et de suivI1e 1~ proc&lure qui a
et6 decrite. Un inconvenient de- cette. procedure est qU'elle exige rextraction des
racine$c\'un polynome de deg.re N - l, ~e qui limite. les valeurs de N envisageables.
D ' autres procedures peuventetre utilisees [10], [11} En particulier une methode
simple peut etre deduite de la prediction iineaire, camme indique au chapitre 1:).
Une estimation N; c\e I'ordre du filtre RIP a dephasage minimal peut etre
deduite de la relation (5.32). Selon la procedure decrite ci-dessus, pour des specifications 01 et
°,11 vient :
2
o u encore :
(5.64 )
La validite de cette formlll" est naturellement limitee au cas au ~ <; 0,1. Le
gain obtenu sur I'ordre du filtre avec Ie dephasage minimal est fonction de l'ondulatfon en bande passante ; il reste relativement modeste en general.
Exemple
.,;
Soit Ie gabarit de filtre passe-bas suivant (exemple 3, paragraph" 5.6) :
"
~
·31
],"
Alors il vient ;
o
et Ie nombre de coefficients necesscdre pour Ie filtre a phase lineaire corresponda,nt
~ = 0,0822.
•c
~
'1C
O2.= 0,0000938
8 est estime a :N£,= 24, ce qui conduit aN~ = 12. En realite, on verifie que Ie filtre a
o
] dephasage minimal satisfaisant au g~barit neeessite 11 coefficients au lieu de
:; 1.5 pour Ie filtre pbase lineaire.
-g.
En conclusion, lorsque les symetries apportees par la linearite en phase ne
a
~
g peuvent pas etre exploitees, il peut etre avantageux de recourir aux filtres adepha@'
sage minimal.
5 • Les fillres a reponse imputstonnelle ('nie (RtF)
160
5.14 CALCUL DES FlLTRES
A TRES GRAND NOMBRE DE COEFFICIENTS
Quand Ie llGmbre de .coefficients du filtre est tn3s 61eve, par exemple un millier au
plus, ce qui correspond a des bandes de transition extremement faibles , de l'ordre
de quelques milliemes, les techniques d'optimisation deviennent difficlles a utiliser
au ne COrivergent pIllS. On peut alors utiliser des techniques sous-optimales mais
qui ne necessitent que Ie calcul de filtres a nombre de coefficients reduit. C'est Ie
cas de la methode dite du masquage en frequence [12].
Soit a realiser un filtre H(Z) dont la bande de transition AI est centree sur la
[requenee de caupure f,. On commence par calculer un filtre passe-llas HO(ZM) ,
avec Une frequeuce d'echantillonnage reduite 11 I,IM, avec M <
lii'
et tel que la
bande de transition d'une des Tepliques de c.e- [iltte sur l'axe de-s frequenc,e s co'in-
cide avec la bande de qansitian du filtre desire, ctJrnrne Ie montre la figure 5.26b.
Emuite, on construit 11 partir de HO(ZM) deux fillres complementaires comme
indique sur la figure S.26b, ce qui necessite pour Ho(ZM) un nombre impair de
coefficients, 2P + 1.
an obtient un diagramme a 2 branches~ auxquelles on applique leg filtres
G, (Z) et G 2 (Z), dits interpolateurs et '<lyant les repanses donnees a la figure 5.26c.
Il suffit aiors de sommer les sorties pour obtenir Ie filtre desire de la figure 5.26a.
Le .scMma global est ~elui de la figure5.27 .
M
,mJ
.s)
" ,
>".c..
1
~c
Ho(f)
o
f
b)
f
c)
G, (f)
G,(f)
•
F======l:e::::--*"
o
f
FIG" 5.26.
Principe du mas.quage en frequence
a) Filtre desire
b) Filtre sous-echantillonne
c) Filtres intetpolateurs
5.15
Filtres RIF a deux dimensions
161
-~• z-...
FIG. 5.27.
Schbna du flltre selon fa technique de masquage en frequence
La procedure necessite ainsi Ie calcul de 3 flltres ayant comme bandes de transition Mt.[, fc ~ k
~, (k + 1) ~ ~ fe' ou k est I'entier qui permet d' encadrer la
frequence de coupure fe'
La fonction de transfer! H(Z) du filtre desire prend la forme:
(5.65)
ce qui fournit les vaJeurs des coefficients.
A noter que Ie scMma de la figure 5.27 fournit une realisation efficace du filtre
global puisque Ie filtre HO(ZM) a M - 1 coefficients nuls entre deux coefficients non
nuls. Ce scMma peut se simplifier comme indique sur la figure 5.28. On peut prendre
comme filtres interpolateurs Fj(Z) ~ G, (Z) + G 2(Z) et F2(Z) ~ G, (Z) - G 2(Z), mais
ces filtres peuvent aussi se calculer directement a partir de leurs specifications
deduites de la figure 5.26.
-1 z- PM
HO(ZM) -
,c
'"
F, (Z)
2
x(n)
FIG , 5.2S.
±
~ z- PM
F,(Z)
Schema simplifie du flUre par masquage en f requence
w
w
'w
•
'0
B
,
•c
o
c
w
'0.
8o
]
~
."l
1ic
,
o
@
5.15 FlLTRES RIF A DEUX DIMENSIONS
Un filtre RIF a deux dimensions est dMini par une relation entre la sortie
yen, m) etl'entreex(n, m) quis'ecrit :
Nl-l N2-1
Y (n, m ) ~
L
j=O
L a;jX (n - i, m - 1)
j=O
(5.66)
5 • Les filtres a neponse imputsionnelle finie (RtF)
162
L'ensemble des coefficients ajj con,stitue une matrice AN1N2 de dimension Nl x N 2 .
La fonction de transfert it 2 variables correspondante, H ( Z,,~) s'exprime en fonction de cette matrice par:
N; -l
LaIJ. Z-i1 'Lit
(5.67)
j= 0
o u ep-core, SOllS forme vectorielle:
(5.158)
La matric" des coefficients A N1NJ est aussi appeiee ie masque. A titre
d~exemple, les filtres passe-haut suivants sont d'utilisation courante en traitement
d'image :
A' >'
[
~ l
~ 2
~1
01]
o
2,
o 1
A:' ~
;
[ 1 1 1]
1
~ L,
1
~1
~1
~1
Le filtre A' est dit de Sobel et A" de Prewitt. Dans les pweedures d'extraction des
contours' dans une image" ils sont 'utilises deux: fois, camme Gi-dessus' et apres: rotation de 90°,
Les coefficients des filtres a deux dimensIons peuvent etre calcules directement a partir des specifications dans Ie domaine des frequences a deux dimensions.
Quand la re-ponse impulsionnelle est une Jonction paire par rapport aux deux
variabl!3s, la reponse en frequence e-t les coefficients peuvent etre obtenus a partir
d' un filtre it une dimension et a pha&e line~ire. En effet soit H(0») la reponse en frequence d'un'tel filtre, qui, d'apn,s (5.13) en negligeant Ie terme de phase, s'exprime
par:
p
L
j= l
Or 1 11 existe entre cos. i(J) et cps- ro une relation polynomiale :
cos icil ~ T, (cos OJ)
(5.69)
au Ti Cx') est 1e polynome de 'Pchebycheff de degre i. Dans ces conditions H ( 0»)
s'ecl'jt alJssi ;
p
H(OJ)~
L g,(cosro),
(5.70)
i=O
Ensuite, le changement de variables:
K-1 L-l
cos.0) ~ H, (0)" "l2) ~
L 1=0
L t (k, I) cos kill, cos lcilo
k=O
(5.71)
5.15
Fillres RIF a deux dimensions
163
conduit a la fonetion adeux variables suivante :
L-1
I~O 1 (k, I) COS k"'1 COS ''''"
)
(5.72)
qui peut @tre reecrite sous la forme :
N2-1
L
j =O
h ij cos j"'1 cos j "'"
(5.73 )
avec :
N1 ~ 2KP + 1; N2 ~ 2LP + 1
La [onction t(k, l) peut etre choisie pour qu'a chaque valeur de '" corresponde un
contour dans Ie plan ("'!, ","). PaT exemple pour:
1
cos '" ~ '2 [cos
"'I + cos"," + cos "'1 cos"," - 1]
(5:74)
on obtiellt approximativement une symetrie circulaire, comme Ie montre Ie cieveloppement limite de cos "'1 pour (01 petit.
La figure 5.29 montre un exemple de reponse de filtre calcule par cette
methode.
La realisation d'un filtre a deux dimensions peut se faire par application
directe de la definition (5.66) . Dans Ie cas des filtres deduits d'une [onction monodimensionnelle, la realisation peut etre simplifiee en utilisant la relation (5.72) et
en proc6dant comme pour un filtre a une dimension et P + 1 coefficients gi (0 ~ j ~ P),
mais dans lequelle retard est remplace par la cellule a deux dimensions correspondant ilIa [onction If1 ("'1 ' "'") [13].
a
FIG. 5.29 . Filtre RJF it deux dimensions calcule partir d'llnfiltre 1-D it phase lineaire
Un cas de realisation particulierement simple est celui des filtres dits separabIes, pour lesquels la matrice des coefficients est dyadique, c'est-a-dire:
A N1Nz = V1V~
5 • Les fittres a n§ponse impulsjonnelle fin ie (RIF)
164
ou V, el V 2 sonl des vecleurs. Nors, confbrme)11enl a la relation (5.68) , 1a [pnotion
de transfert$e faotOTiSe :
($.75)
Les specifications de leis flltres sont soumises a deslimitafions. D'abmd, elles
doi",ent corresp<r.ndre it I ~ symettie ql!adrahtroe suivaht les .«es de t:omdon nees.
Comme ihdique sur la figu re 5.3Cl, Ie domaine des friquences utiles se divise en
ql!atre parties : passe-Das/passe-bas (BB), passe-baslpasse-haut (BH ), passehal!t/passe-bas (HB ) et passe-nautipassB-naut (HH).
"2
K
BH
HH
BB
HB
FIG. 5,30, Domaine!f dejrequence
pour un filtre i n separable
c
0
(Q1 c
•
"'1
Ensu:ite~, les specifications d~6ndu lation doivent etre defihies en consequence.. Par
exemple, pour un 'filtre 2]) de type passe-bas, Ie domaine HH subit I'affaiblissement des 2 !flll,es, horizontal et vertical. Une illustration est don nee par la figure
5.31 qui montre la reponse. en frequence d '·u h filtre 2D separable, base sllr Ie filtre
demi-bande de la figure 5.1'3 .
aXP.asse~bas/Pass~-bas
FIo. 5.31.
Filtre 2D demi-bande separable:-
b) Passe-haut!Rasse~baut
La realisation peut se faire suivant: 1a definition, c'est-a-clire qu~un tableau dedonnees '''presentant une image pent etre traite ligne par ligne ave.c Ie filtre .hori~
zontaI et colonRe p,ar colonne ·avec Ie filtre vertical.
165
CaJeul des weffielen!s de filtres RIF-2D
5.16
Quand Jlimage e~t soumL'ie .8. un balayage horizontal comme en te1evision~ le
signal ap),arait en fait comme mono-dimensio nnel et peut gtre traite comme tel. Si
chaque ligne comporte N points, la fanction de transfer! s'ecrit:
(5.76)
Par exemple, pour Ie filtre de SobelA', ort a :
A'~ [~ ].[- 1 0 1]
et Ie circuIt correspondant est donne ala figure 5.32. La realisation est flarticulierement simple, les circuits ne comport ant pas de.multiplieurs.
44~
I< In) •
+ ~> +
-. +,
FIG. 5.32.
y (n)
Realisation d'unjiltr'e dl extraction des contours
5.16 CALCUL DES COEFFICIENTS DE FlLTRES RIF-2D
PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES
La methode va etre developpee pour un cas particulier Important, celui des til tres
a syrnetrie quadrantale. Deux types de filtres correspondent a'cette categorie, les
fi ltres en rectangle et les filtres en losange, avec 'les domaines. de freCJuence d~ la
figure 5.33 .
.'!:::i
",
~,
to"
."
."••••
•
"
•
/1
\
\I
0
],
0
0
0
•
'5.
0
u
0
"0
~
~
•
~
-c0
•)
•
•
"'1
b)
5'
0
@
FIG. 5.33.
Filtre 2D en losange (<<) et en rectangle (b)
m,
5 • Les filtres a n"ponse imputsionnelle finie (RtF)
166
La rsponse en frequenee d'un filtre a phase nulle ayant (2M + 1) X (2N + 1)
coeffiGients avec symeirie quadrantale s?exprime par ;
M
H(w,, m,) ~ hoo + 2 L hiO cos iW,
i= l
N
M
M
+ 2 L hOi eosjro;, + 4 L
L h;/cos ioi, cos j.m,
1=1 j= l
i=1
'(5.77)
Au total Ie filtre possede (1 + M + N + MN) coefficients h;; de valeurs differenies.
La methode des moindres carne-s avec ponde-ration va e tre appliq!Jee. directement, pour approcher la reponse desiree, D(mll CO:2). Avec un facteur de surechantlllonnage egal a k, 1a fanction quadratique d'ecart, ou fanction cout, a minirniser
s'eerh:
""
L 1H
n ~o
2
(mn;
mn;. nn;)
- . -nn;) -D (mn;
- , -n",)1 W ' ( -
KM KN '
KM KN
KM KN
(5.78)
avec KM ~ k(M + 0,5) et KN ~ keN + 0,5) afin de couvrir la lotalite du domaine des
[reqllences lltiles.
La fonetion de ponderation W( w,, m,) permet d'ajuster l'approximation en
fanction des specifications d'ondulation par exemple.
Avec des notations simplifiees, il vient :
KM
Kr..,
L L e2 (m, n) W(m, n)
m=Q 1'1=0
J~
(5 .79)
Le minimum de la fonction cout est obtenu pour :
KM
iJe(m n)
KN
mL: o nL: e(m, n) W(m, n)
o
ah'
0
(5.80)
'I
Ce qui donne un systeme de (1 + M + N + MN) equations.
En designant par [h;j lIe vecteur des, Goefficients et p"r V{m, n) Ie vecteur frequentiel:
V ' (m, n) =
[1,.. ,2 cos (i ~:),., 2 cos (j ~:), ... ,
' mn;.),
(
(nIT
]
4 cos i KM cos \j K ) ...
N
1;;1 solution s~ecrlt:
x;.,
]
!::u!:o
W (m, n) V(m, n) D(m, n)
KM
[
(5.81)
5.16
(a/Cul des wefficients de fillres RIF-.2D
167
Si Ie nombre de coefficienls esl pair. i1 fa ul modifier les parametres. Par
exemple, pour un fillre ~ (2M) X (2N + 1) coefficients, il fa1JI prendre:
V'(m,n) ~ [ .. , 2 cos [(i-D,S) ~: J.
..
4 cos
((t- 0,5) ~:) cos (j ~:) ...J (5.&2)
avec KM ~ kM et KN ~ keN + 0,5).
Le vecteur des coefficients obtenu dan~ ce Cas pos~ede (M + MN) elements.
U ne caracteristique importante- des filtres utilises en traitement d'image est 1a
re-ponse a l'echelon unite. En effet, les surosdllations a la transition peuvent produire des repetitions de contours et ainsi degrader }-'irnage. En moclifiant ia
reponse desiree D( w" ~) par une inclinaison a la fin de la bande passanle et au
debut de la bande affaiblie', il est possible de reduire cessuroscillalions.
La melhode esl illuslree par Ie calc1Jl d'un fillre reelangulaire avec (2M + 1) x
(2N + 1) ~ 9 x 9 coefficients, avec 0.,125 el 0,25 comme fih de bande passante el
debut de bande affaiblie sur l'axe des frequences horizonlal et 0,0625 el 0,125 sur
l'axe verlical. Les 25 coefficients differenls oblenus sonl donnes par Ie la.leau :
[ 005~"
0,0491981
hi; ~ 0,041534
0,0299102
. 0,0180912
0;0419028
0,0393'451
0,0332908
0,0240605
0,0146366
0,0184534
0,0173566
0,0147612
0,0107414
0,0065523
~0,OO02861
~ 0,0002629
~O,000261
~ 0,0002704
~ 0.,0003836
- 0,"",,"
0.,0059292
- 0,005282
- 0,0041828
- 0,0031'209
1
ella rcponse- en frequenee correspondanle esl donnee- a la figure 5.34. Visiblemenl
cetle reponse esl Ires proche qe celle d'lln fillre separable.
Considerant mainlenanl un filtre en losange avec (2M + 1) x (2N) ~ 9 x 8.coefficients, une fin de bande passanle a 0,125 el un debul de bancle affaib!ie a 0,25 ~ur
les axes horizontal et vertical, le tab leau des coefficients suivaflt est obtenu pour un
q uadran :
0,0763835
0,0642979
h;; ~ [ 0,0276109
0,0065124
0,0680674
0,03951
0,0195655
0,00nOO2
0,0403862
0,0217936
0,0068997
0,0085984
0,0130039
0,0008111
- 0,0050102
.0,000071.
- 0,002745
-0,0110481
~O,0099831
~0,0073724
g La reponse en frequence est donnee a la iigure 5.35 . Le caJcul a He mene. en Gher.~
8o
chant areduire la reponsea [,~chelon unile g(i, j) clefinie par:
"0
~
~
•
1i
(5.83)
~
8'
@
Cette reponse est donnee egalement sur la figure. OU e lle a ete repetee ~ur les
4 quadrans, pour fournir une vue cornp'1ete.
...
'"'"
co,
0,5
~-'
III
=)')40
~ ~JI
", ------:-~J/.
"',
-0,5
cJ
0,'5
'"•
r-
[!i
~
~
..,.
-fl'
o
",
d)
a)
Fig. 534.
Filtre uCJimguJaire-a 9 x 9 caejfil!icllts
a) RepQ'flSe impuJsionnelte
b) Riponse' en frequenc£,
c) Coupe horizpfltd/e·de-ld riponse en frequence
il) f!.eponse -a ll'ichelon unite
"-
a
'"
~'
c
'0'"-
""
'"
iii'
"iii'""
:il
~
© Du.nod . La photocopie non a,utorisee est: un delit .
V1
:..
I H(ro roJ!
"
'"
~
s.
0,5 ~ .""
~
~~,,~~\;:,
n
~
...,
((~~};1J!
""''\.~?
-~/
~
c:-
~
-
Q
rD'
~~
0,5
c)
"
'0,5~
~
~
:0
'ji
'"to
~~~,
\~
. \:~
'
, \\ /
"
,'\
. " 'Z-- ;
,L Y ' "
",
>(1 '
a)
a
Fig. 5.35. Filtr"e en IOsilnge; 5) x 8"cfJe/ficienrs
a) Reponse impulsionnelle
b) Reponse wJrwuellCe
c) Coupe horizotda.le. de la repouse flit !requence
d) Rep"ons."e ii. ·l'e-c.helon unite
~
'"
<Q
5 • Les filtres a reponse impulsionnelle finie (RIF)
170
Les deux filtres calcules ont 6t6 appliques a une mire d'evaluation. La
figure 5.36 montre l'elimination des repliques obtenue par Ie filtre rectangulaire et
Ie filtre en losange.
Pour des developpements complementaires sur les techniques de calcul des
filtres RIF-2D, y compris avec coefficients en precision limitee et contraintes sur la
reponse it l'echelon unite, on peut se reporter aux references [14, 15].
c)
FIG. 5.36.
a) Image d'origine
b) Filtrage en losange de fa mire
c) Filtrage rectangulaire de fa mire
Filtrage d'une mire d'evaluation
Annexe
171
ANNEXE
EX!emple de calcul d 'un filtre RlF
FILTRE A2 BANDES DE FREQUENCE
NOMBRE DE OOEFF. = 32
'..*.. COEFFICIENTS .. *..
A
A
1 =
2
0.01064416 = A 32
= -0.00703074 = A 31
A 3" -0.02489676 = A 30
A 4"" -0.04257757 = A 29
A 5 = -0.04550193 = A 28
A 6 = -0.02596906 = A 27
A 7 = 0.00801637 = A 26
A 8 = 0.03449482 = A 25
A 9 = 0.03164973 = A 24
A10 = -0.00394829 = A 23
.A 11 = -0.04885845 = A 22
-0.06340511 = A 21
A 12 =
A 13 = -0.01710309 = A 20
A 14 = 0.08742009 = A 19
A 15 = 0.20962396 = A 18
A 16 = 0.29156661 = A 17
BANDE NUMERO
2
LIMITE INF.
LIMITE SUP.
VAL. RECH.
PONDERATION
0.0000
0. '1400
1.0000
1.00
0.1700
0.5000
0.0000
10.00
ECART
ECART EN DB
0.21175 0.02118
1.668 -33.484
FREQUENCES EXTREMALES
0.0000 0.0410 0.0801 0 .1172 0.1400 0.1700 0.1798 0.2032
0.2305 0.2618 0.2930 0.3243 Q.3555 0.3888 0.4200 0.4513
0.4845
5 • Les filtres a neponse impulstonnelle finie (RIF)
172'
BIBLIOGRAPHIE
[11 T. W . PARJ(S and J. H. MAC CLELlAN - Chebyshev Approximation for N gn Recursive
'Digital Filters with Iirtear Phase. IEEE Trltfts. Circuit Theo.ry, Vol. cr 19, March
1972.
[4] J. H. MAc CLEUAN, T . W. PARKS and L. RABINER - A Computer Program for DeSigning
Optimum FIR Filters. IEEE Trllfls. On Audio Ilfld Electr.oacoustics, Dec. 1973.
[3] J. SEEN and G. STR~G - «The Asymptotics Of optimal (Eqlliripple) FIlter,,>, IEEE
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[4] R. CROCHI1lRE and A. OP PENHEIM - Analysis of Linear Digital Networks. Proseedings
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[5] W, SCHUs,<lLER - On. Structures for Non Recursive Digital Filters, Arch , Blel>,
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[6] M. B EHANGER and G . BONNEROT - Premultiplication Scheme for Digital FIR Filt ers.
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[8]' F. G RENEZ - Synthe se des filtres numeriques n on recHrsifs .8 coefficients quantifies.
Annales des TWxQm. , 34, N O" 1-2, 1979.
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Charge-Transfer T ransv~rsal FIlters. Electronic L etters. Vol. 15, N' 8-, April 1979.
[10] R. B OITE and H. LEICH - A new Procedure for the design of High Order minimum
Phase FIR Filters. Signal Processing. VoL 3, W 2, April 1981, pp. 101-108.
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Systems·Jl, Vol. 40, N' 2, pp. 88·95, Feb. 1993.
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[14] P. SIQHAN- <:~· Contribution af'6tude des methodes de conception des filtres numeciques
RIP: application au traitement d'images »-. These de doctotat de l'ENST, mars 1989.
~< Design of 2D video filters with spatial Constraints >),
Proceedings of EUSIPCO·9 2, North Holland, Bruxelles, Allg. 1992, pp. 1001-1 004.
[1 5] V. OUVRARD et P. SIelHAN =
EXERCICES
1 On considere les 17 premiers coefficients d'un filtre passe-bas de frequ ence de coupure egale a 0,25 Ie donnes· it la figure V .1). Combien: prennent des valeurs differentes ?
Donner l' expression de la reponse. en trequence H(f) . Rechercher les points de 'Faxe des
173
Exerdces
frequences ou elle s'annule et donner l' ondulation maximale. Calculer les zeros de la fon ction de transferf en Z du filtre.
2 Soit un filtre db"nt la frequenced'echantillbnnage est prise comme reference: (te = 1)
et dont la reponse en frequence HU) est telle que:
H (k,0 ,062S) ~ 1 pour k ~ 6, 1, 2, 3.
H (0,2S) ~ 0,5
H(k .0;0625) ~o. pour k~ 5, 6, 7, 8.
Cnlculer par transformation de Fourier Dis ~n~te les 17 coefficients de ce filtre . Tracer
la reponse en freq~enge et donner les :z;eros de la fonction qe transfert en Z.
;? 1,Jtili§~t les fOJm\lles d\! paragrapbe 5.] pD\lt IlHe)'l1i.iner 108 ondulations 9\in ill!re
passe-bas a 17 coefficients dont la fn€quence de fin de bande passante est donnee par
11 = .0,2, et la frequence de debut de bande affaiblie par A = 0,3. Comparer les result-ats obtenus a ceux des exercices precedents.
4 Solt un filt re dont la fonction de. transfert H(f) est donne.e1 aun dephasage pres._par
l'equation:
4
HU) ~hQ + 2 L h,t -l cos [21< /(2i - tl T]
£= 1
Don!let les structures directe et h:ansposee permettant de nhlise r ce filtte avec Ie minimum d'elements. QueUes simplifications inte1Viennent si la frequence d'echantillonnage de
sortie peut etre divisee p&r deux?
5 Un filtre passe-bas etroit est defini parl'equatiott :
N-l
yen) ~ L
i=O
a,.t(n-i)
Comment se ttDuve modifiee la reponse en frequence si les c;::oefficients 111 sont remplaces par: a, (-1)' et par a, cos (
.'!:::i
",
i;) ?
Que deviennent les zeros du filtre dans cette operation.
6 S'oit un filtre pa~e-bas safisfaisant au gabarit de la figure 5.7 avec Les valeurs de
pa rametres :
~.
o
."••"
],
•o
o
o
•
'1C
8o
"0
~
~
•
1io
,
~
o
©
Combien de coefficients sont necessaires et combien de bits faut-il pour les
H3presenter ? Si les QQnnees app1i.(n_H~ eS a ce filtre ont 12 qits,si la degradation tolerable. du
rapport signal abruit est liniitee a dSB = 0,1 dB, combien de bits doivent avoir les donnees
internes?
7 Donner l'expression de la reponse en frequence du filtrS!- de l'exempk du para.,.graphe 5.3. Verifier la reponse en frequence aUK points 0, 0,25 et 0,5.
Les coefficients sont arronms a 6 bits (signe compris). Donner L'expression de la fon o.
tion erreur e-(f) intro.duite et la calculer au voisinage du point f= 0,1925 de raxe del" fre~
quences. El"aborer une formule analogue a (5.46) pourFesthnation du nombre de bits neces~
saire pour repr6senter les coefficients dans ce type de fiitre, en suivant 1a demarche du
paragraphe 5.10.
Chapitre 6
Cellules de filtres
ill reponse impulsionnelle infinie (RII)
Le's filtres numeriques are-ponse impulsionnelle infinie sont des systemes line-aires
discrets invariants dans Ie temps dont Ie fonctionnement est regi par une equation
de convolution portant sur une infinite d~ t<5rmes. En prillcipe~ ils conservent une
trace des signaux ql.!i'leur ont 6te appliql.les penqant une duree innnie, ils sont h
memofte infinie. Une telle memoire est realisee par une boucle de reaction de la
sortie sur l~entree, d!ou ~a denomination courante de filtre fe-CurSU. Chaql,le element de la 'suite des nombres de sortie est ca1cule par sommation pond6ree d'un
certain nombre d'61ements de la suite d'entree et d ~un certain nombre d'6lements
de la suite de sortie precedents.
Le fait d'avoir cette reponse impulsionneUe infinie permet d'obtenir en general des fonctions de filtrage beaucoup pliLs selectives que celles des filtces RIF a
quantite de calculs equivalente. Cependant la boucle de reaction complique I'etude
des proprietes et la conception de ces. filtres et amene des p·henomenes parasites.
Pour aborder l'etude des filtres RU, il est plus simple de considerer d' abord
les cellules de filtres elementaires du premier et du second ordre. En fait , I'interet
de ces ·structures. simples va bien au-de1a d'une introduction aux proprietes des
filtres RU, car elles constituent la forme de realisation la plus cour-ante. En effet,
e'est en general sous 1\1 forme d'un ensemble de telles eellules element aires que se
presentent en pratique les filtres RII, meme les·plus complexes,
6.1
LA CELlULE ElEMENTAIRE DU PREMIER ORDRE
Soit Ie systeme qui, ~ la suite de donnees ,«n), fait correspondre la suite y (n ) te11e
que :.
y (n)~x(n)+bY (fl-1)
ou b est une constante.
(6.1)
6.1
175
La cellule eJementaire du premier orfire
C~est une cellule 6iementaire du premier ordre.,
La repon~e de ce systeme ~ 1a suite unitaire uo( Ii) telle que :
Uo (n) ~ 1 pour n ~ 0
uo (n)~O pour n
0
*
est la suite YoCn) telle que:
Yo(/l)~O
YoCn) ~ bn
pour n < 0
pour n :;;, 0
Cette suite constitue la r~ponse impulsiannelle du filtre , elle est defi nie et I.
condition de s.tabjlite s'edrit :
d'ou : ibi < 1.
La ropanse du systeme a I. suite x en) telle que :
x(n) ~ 0 pow /l < '0
x(n )= 1 pour 'll· :;;' 0
est la suite yen) telle que :
y(n)~O
pour
n <O·
l_b n + t
y(/l) ~ l -b
PQur
n?'O
(6.2)
qui lend yers 1 ~ b quand /l tend vers I'infini, si Ie systeme est stable.
eette reponse est representee sur la figure 6.1.
YI n)
1
l-b ~------------------------------------
- ,1
,
I"
0
2
"t"
J
4·
f
5
(l
?
(I
9
10
. 1
I
FIG. 6: 1.
Reponse. de fa cellule du p remier· ordre at'e'chelon «nde·
11
n
6 • eel/ules de fillres a r"ponse impulsif)nnel/e infinle
176
Par analogieavec Ie systeme continu Q.e constante de temps "t, echantillonne
·avec·')a periode T et dortt la reponse y,(11) s'ecrit ~
() [1 e
Ye n =
-
2(n +
't
1)]
on d6finit la constante de temps de la cellule numerique du premier ordre 't en egal(lJ1t les va1eurs YolO) ~ (1-h)y (0). D ' oll :
T
y,(O)~(l-b)y (O) ~l - b
spit:
e -,~b
pour b ;> O. II vient aiors :
T
't~
( 6.3)
--
1nm
Pour des va1eurs.de b proches de i' unite:
b~1-1l
a'lec
O< Il <f l
c?est-a-dire les systemes de-fihis par la relatio.n:
yen ) ~x(n) + (1-8)y (n-1 )
il vient :
T
(6.4)
(6.5)
~=8
Cette situation se rencontre dans 1es systemes adaptatifs etudies au chapitre 14.
Slla suite x (n) resulte, pour n ~ 0, de l'echantillonnage du signal x (I) ~ ei2~ft
au x (t) = eiel , avec.la periode T ~ 1, II vient :
.
e jnm
Y (n) ~ 1- be iro
b n + 1 e+a
1- be iro
(6.6)
Cette expression fait apparaltre un regime transitoire et un regime permanent
qui correspond a la reponse en frequence H (ro) du fi1tre:
1
H(ro) ~ ~1-~
be~-~
iro
(6.7)
En faisan! apparaltre 1e module et la phase de celte foncHon i1 vient :
IH(ro)1 2 ~ 1 - 2b. cos
1
b ; <jl (ro) ~Arctg 1 b;inro .
co + 2'
- cos co
(6.8)
Pow le temps de propagation de groupe:
d<jJ
bcosro-b 2
~g(ro) ~ d'.' ~ ~~--~2
~
1- 2b cos ro + b
(6.9)
6.1
177
La cellule eJementaire du premier orfire
On peut remarquer que pour ro tres petit il est possible d'eeJire:
IH ero)12",
1
(1 - b)2 [1 t (1 ~b? ro
(6.10)
2
]
Cette expression est a rapprocher de la reponse HRcC ro) d'un circu'it R C qui
s'·e.crit:
(6 .1O-bis)
I1 apparait que pour les frequences nes faibles devant la frequence d'echantillonnage, le circuit numerique a une reponse qui peut etre assimi1ee a celle d1un
reseau Re.
La figure 6.2.a represente la forme de la reponse en frequence du circuit
n umerique du premier ordre. La figure 6.2.b donne la reponse en phase et la figure
6.2.c Ie temps de groupe.
b
1-b
'" (in)
CD
Ol
·-b
1+b
FIG.6.2.b.
FIG, 6,2,c.
Reponse enp/wse
Temp s ae groupe
La phase peut encore s'ecrire:
q>(ro) ~Arctg
.".,••
•
],
rc
sin CO
GOS(J)-
q>max = "2 - Arc. cos b;
b
ro ; cos ill > b
(6..H)
cos co = b
sin co
q> (ro)~ rc+Arctg cosro-b -ro;
cosro<b
•c
g BIle 'passe donc pa~ un maximum pour (J) tel que cos co = b, ce qui correspond. a
• l'annulation du temps de groupe. Le coefficient b Gontr61e donc ainsi directement
ii8 Ie maximum de la phase de la cellule.
-E.
La fonction de transfert de la cellule du 1" ordre s'obtient aussi a ['aide de la
o
~ transformee en Z. Sot! Y (Z) et X (Z) les transform;;es des suites de sortie et d'en-g§ tree respectivementj il vieLlt :
'6...
o
@
Y(Z) ~X(Z) +bZ~ lY(Z)
6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinie
17!r
d'ou 1a fonchon de transfert en Z, H (Z) telle que:
1
Z
Z-b
H(Z)~l_bZ
La reponse en frequence s'obtient simplement en rempla~ant Z par ej{J), dans
I ~expression de H (Z), avec ill ~ 2rr/
L 'interpretation graphique conduit a la figure 6.2.d. qui represente Ie' poie P
de cefte fanclian dans Ie plan complexe; c'est un pOlnt de l'axe reel, d'abscisse b.
-''-b
M
-''+b
--~ ------ - --- - - .
a
FIG. 6.2.a.
0 ,25
0,5
Reponse en Jrequence de fa cellule
du premier- ordre
FiG. 6.2.d. Fale de fa cellule
dll premier ordro
Conformement a cette figure:
et<p a- ill
IHI --~
M1'
~
La condition de slabilite impllque que Ie pole P s'o ita l'interieur du cerele
unite.
Un cas particulier interessant est celui de Pintegrateur a bande etroite~ d6fini
par la fonction de transfert suivante :
e
Hi"t(Z)~ 1-(1-e) Z- l
(6.12)
avec e petit tel que 0. < e % i.
On peut montrer alors que la largeur de bande a 3 dB est approximativement
egale a e et la constante de temps egale a l ie. Quant 1a norme de la reponse en
a
£
fr&juence, elle s'eerit: IIHII~ = 2:'
La transformee en Z monolaterale permet de faire apparaitre les regimes
transitoires et d'introduire les conditions initiales En effet :
L y(.n)Z.-n~ L x(n)z-n+b L y(n-1)z-n
n=O
n=Q
n=O
y (Z) ~ X(Z ) + bY e- 1) + bZ- 1 Y (Z)
6.2. La cellule du second ordre purement recursive
179
d'ou
Y(Z)~
X(Z)
by (-1 )
1-bZ 1 + J.-QZ, r
six en) ~ einw,X(Z) s'6crit:
(6.13)
La valeur ,y (n) s'obtient !lar la formule de]a transformee en Z inverse:
1
f
y(n)~ i 21t r zn -
1
[1
1
by(-l) ]
1-e;wZ I ' l ~ bz 1+ 1-bZ 1 dZ
En prenantcomme contour d'integration r un cercle de rayon superieur ·il
I'unite, Ie theoreme des residus donne:
ejnw
b n + 1 e- jw
n)-- 1- he iw - 1 - be IW. +y(-l)bn+l
y(
.
(6.14)
Cette expression peut aussi etre· obtenue de maniere clirecte par deve10ppement
en s66e de Y .(Z). Ell" fait ~pp.araltre, en plus de la repons.e correspondant 'au regime
permanent, Ia reponse transitoire et la reponse due aux conditions initiaies. Ces dernieres disparaissent quand n crott SI Ihl < 1, c'est-a-dlre si Ie systeme est stable.
De celte analyse, il resulte que la cellule d1) premier ordre offre des possibilites restreintes car eUe ne possede. qu'un pole, qui doit 'e lre reel pour que 1e filtre
soit a coefficients ree4, et sa reponse en frequence 'est une fonctjon monotone. La
ceUule du second ordre offre des possibilites beallcoup plus variees. C'est la struclure la plus utllisee en filtrage ntlmerique en raison de la modularit€ qu'elle
apporte dans 1a' realisation des fillres meme les plus complexes el de ses propriet"s
concernant la limitation du nojnbre de bits des coefficients et Ie bruit de calcu1.
Le cas de la cellule qui he comporle que des poles, au cellule purement recursive, va e.tre examine d~abord .
.'!:::i
.
"o 62
~
o
.'••"•
~
o
~
o
o
•
'5.
8o
"0
~
~
~
,.
-g
o
@
LA CELLULE DU SECOND ORDRE
PUREMENT RECURSIVE
Soit un systeme qui a la suite de donnees x (n) fait correspondre la suite y (n) lelle
que:
yen) ~ x(n) -b l y(n-1) -b2 y(n-2)
(6.15)
Dans celte expression, Ie signe des coefficients b j el b 2 est ohange par ra"pport
au paragraphe precedent, pour faciliter l'ecriture de la fonction de transfert en Z
du systeme_, H (Z), donnee par :
Z2
Z2 + bIZ + b2
6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinie
180
Cette fonction possede un zero double a l'or.igine et deux poles P, et P2 , telsque ~
b1
_
1, /
(
Pl,2~-:2 ± 2 V b'l:-4b 2
6.16)
Deux cas se presentent alors suivant Ie signe de by - 4h z :
• h1 ;;' 4b 2 : les deux poles sont silues sur ['axe reel du plan complexe; la fonelion. de transfert est simplement Ie proc\uit de deux fonctions du premier ordre a
c.oefficients Teels. La cellule de filtre correspond ante est la mise en cascade de deux
cellules du premier ordre et ses proprietes s~en d6duisent.
Les amplitudes se multiplient et les phases s'ajOlJtent. La reponse a1'echelon
unite en sortie qe la secOlide cellule 's\~crit, si b i et b z designent les coefficients:
1
[
Y2(n)= (l-b , ) (l-b:J l-bq+l- (1-h2)
b n + l _b n + 1 ]
\,-b:
(6,17)
La constante de temps correspondante 't12 s'eorit, pour des coefficients pro'c hes de
l' unite:
1:12 =
'112 'II ~1~2
(6.18)
'e t' pour des celltiles identiques :
Plus. generalement, pour N cellules identiques, la constante de temps~N s'exprime
approximativement par:
(6.19)
• b'l: < 4b;) : les deuX poles sont complexes conjugues; ils s'ecrivent Pet P,
avee :
( 6.20)
La figure 6.3 ilJustre ce cas ,qui est (e plus interessal1t, et est considere exclusivement dans la suite de ee paragraphe.
La relation entre la position des poles et les coefficients du 'filtTe appal'alt Ires
simplement :
b, ~ - 2Re(l,')
FIG . 6.3.
(6.21)
Cellul"e du second ordre iipO.les cOlT/plexes'
6.2
La cellule du second ordre purement recursive
181
c'est-il-dire que Ie coefficient dt! lenne en Z- l dans l'expression de H (Z) e$t egal
en module it deux fois la partie n§elle du pole et de signe inverse.
(6.22)
Le coefficient du terme en Z - 2 est egal ·aUCaTre dll module du po1e ou encore :au
carre de la distance du pole a l'origine. Ces deux relations sont tres utiles dans la
determination des coefficients des filtres comme on Ie verra dans la suite.
Si M designe Ie point d'affix.e e jill dans Ie plan complexe, Ie module de 1a- fonetion de transfert s'ecrit :
1
IH(ro)l~ MP.MP
et la phase. :
q> (ro)~~ +cx,- 2ro
PM
au a.I e! <X;c designent les angles que font les vecteurs PM et
aveC l'axe nlel.
Les expressions analytiques se d6duisent de H (Z) en faisant Z ~ e jill . En prenant pour H (Z) l"expression :
1
H (Z ) ~ 1 + b,Z· + b2 Z- '
'
il vient :.
1
(6.23)
IH lro) I' ~ 1 + bI + b ~" 2b j (1 + bz) cos ro + 2b z cos 2ro
,bl SIn co + b2 sin 2co ]
cjl (OJ) ~ - ,Arctg· [ 1 " b, cos ro + b cos 2ro
(6.24 )
2
Une- forme elegante pour exprimer la reponse en frequence et 1<\ phase est
obtenue avec. une representatjon des pOles- en coordQnnees polaires, P = re le , a
partiE d'une expression de H (Z) en produit de factems :
H (Z) _
1
(I-PZ·') (1- PZ-l)
Le~ Telation~ avec les coefficients b1 et b z spnt les. s-w.ivante.s :
."•••"
],
b,~-2tcos() ;
Pour H .(ro) on " btient :
1
H (ro) ~ [1 _ te j (8 <i» l [1 _ re jre m
)]
•c
o
c
•
'''8o
"0
~
~
•
,.
o
@
(6.25)
II vient alors :
IH (ro)I Z ~
1
[1+r2 -2tcos (9 -ro)lll + 1'2-21' cos (8 + ro])
( 6.23-bis)
. (ro)~ Arct [ rsin(8+ro) J-Aret [ rsin(8 - io-) ]
g I-tcos (8+ro)
g 1-rcos(8-io)
(6,24-bis)
~
1i
b2~ r2
<p
6 • Cellules de filtres a n!!ponse impulsionnelle infinie
182
Ces expressions permettent de tracer les courbes donnant IH(Ol)1 et <p(cu) en
fonotion de la pulsation CU = 2rcf
On verifie que IH(ro)1 est une fanction paire et que <p(ro) est une fonctian
impaire de la variabl~ w.
Les valeurs correspond ant .il des extremums de IH(cu)1 sont les racines de
I'equation suivante, obtenueen derivant I'expression (6.23) par rapporta ro:
sin ro [b, (1 + b2 ) + 4b 2 cos ro] = 0
Les frequences 0 et 0,5 sont des frequences extremales en raison de. la symetTie et de la peri9dicite de la reponse. Une autre frequence extremale fQ existe si la
condition sl,livante estremplie:
b, (1 + b2 ) I < 1
4b2
I
( 6.26)
au <e_hcore en coordonnees. pol&ires :
2r
(fi .26-bis)
CQs9< -+r
1
'
Dans ce cas il vient :
cos (2rclo) = cos roo = ~
b l (i+b2 )
4b
( 6.27)
2
La frequence 10 est la frequence de resonance de la cellule. L'amplitude a la
re~Qhance s~e.crit :
(6.28)
ou encore en coordonnees polaires :
H
m
1
1
1- r . (1 + r) sin 9
(6.29)
=-
Il apparait ainsi que la Iepanse en frequence a 1a resonance est inversement
pTDportionnelle ala distance du pOle au cercle unite. Cette expre'ssion constitue un
resultat fondamental, souvent utilise par la suite.
II est interessant egalement de faire appamitre pour la cellule du second OTdre
la caracteristique appelee largem de bande a 3 decibels, B 3 , telle que :
R, = 12 - 1, =
~ -
2rc
CUI
avec:
Ppur JlQe cell\lle
a fortl' resslQance (r = L).• d'apr~s (6.2.2) 'et (6.23\ pn peut
ecrire approximativement au vQisina.ge de la.frequence' de resonance:
)12 ""
IH(
CUI
1
1
4 sin 2 9 . 1 +,2 - 2r cos (8- CUI)
1
1
2. 2 (1- r 2 ) sin 2 9
6.2
La cellule du second ordre purement recursive
183
d'ou ~
Par developpemen! limite, on obti'ent :
IS-oi,l = 1- r
D ~ou l'approxirn'a tion pour une cellule aforte resonance :
1-r
B 3 ~-TC
(6.30)
Ce resultat est Iltilise pat Ia suite dans les caleuls de complexite.
Une autre caracteristique est parfois utilisee pour 'une cellule du &econd pure~
ment recursive, la bande equivalente du bruit B 2 . C'est 1a largeus de bande d'un
bruit dont la densite spectrale est supposee constante dans: celte bande et egale a
H~ et dont la puissance totale est egale a la puissance obtenue en sortie de la cel~
lule quand un bruit blanc de puissance unitaire est applique. Par definitio'n:
Eb·H;';,~IIHII~
En tenam compte de l'expression de IIHII ~ dOn'nee ci-dessous (6:36) et de la relation
(6.29) ci-dessus, i1 vient:
(6.3O-bis)
Cette expression est utile en analyse spectrale par exemple.
Les caracteristiques principales de la cellule- du second ordre purement reCJ.lT~
sive sont illustrees par un exemple.
E,<eliJpie.
Soit une cellule du second ordre dont les pilles ant pour affixe:
p ~ 0,6073 + j 0;5355
P ~ 0,60'73 - j 0,5355
.••
"••
],
•c
o
c
•
Les parametres sent les sUlvants :
b, ~ - 2Re (P) ~ - ~,2146
b2 ~ IOpiz ~ 0,6556
1
H(Z) ~ 1-1,2146 Z L, 0,6556 Z 2
'1C
8o
"0
~
1
IH (0l)12 ~ 2,905 _ 4,02 cos ill + 1,31 cos (20l)
~
•
~
1i
§
o
@"
S~ 2n:.0,1l56;
r=0,81;
fo~O,1ll;
Hm~4,39;
B3=O,06
Le modHle de la reponse est represente sur la figure 6.4 en fonctio.n de I. frequence.
6 • Cellules de fillres a r"pome impulsionnelle infinie
184
IH(f)i
5
Hm
4
3
2
o
0,3
FIG. 6:4.
0,4
0,5
Reponse d'une cellule du 2 ~ o rdre purement recursive
La reponse en phase de la cellule du second ardre s'eludie a partir des relations (6.24) qui expriment la fonction <p (m). Pour preciser les variations de cette
fon etion il est utile de caleuler d'abard sa derivee, c'e$t-a-dire ie temps de gwupe.
A partIT de la relation (6.Z4-bis), on obtient:
r cos (8 + to) ~r~
d<p
dm
rcos(8-to ) -r2
1 ~ 21' cos (8 + m) + r~ + 1-2rcos (8-m) + r 2
(631)
1: (m) =
r[co's(8+m) -r]
r [cos (8-Gi) - r]
1 _ 2r cos (8 + QJ) + r 2' + C<1-_--;2;-rco-s'-;('''8--~m')--c+~r-02
(6.32)
Soit :
La fonction 't ((J)) passe par un maximl!lm au voisin age de '1a irequence de reso8
nan~ e. A la fr"quence f = 2IT il vient :
t
r [. (1-1') [cosZ8-r]]
r
8 = - - 1+
. "'-() 1 - r
1 - 2r cos 28 + r'2
1- r
(6.33)
Exempte
r = 0,81;
8 = 2IT .,0,1156
La fig!!re 6.5 donne la courbe 1: (f) en fonction de la fre<J.uenc e. Cette courbe
passe par un maximum egal a 3,8 au voisinage de 1a resonance. L'unite de temps
est la periode d' echantillonnage T. Les valeurs obtenues sont a multiplier par T si
cetle periode est differente de l' unit6.
II apparat! que la fonction 1S (!) 'Prend des valeurs negatives. En fait it s'agil dN
temps de propagation de groupe tMarigue de la cellule. En effet chague element
de sortie y (n) est calcule par une addition au inlervient un hombre d'entree x(n) et
celte operation ne peut e.tre instantanee. Pour rendre Ie systeme realisable il faut
6.2
La cellule du second ordre purement recursive
185
retarder y (n), par exemple d'une unite; ie temps de groupe se trouvealors augmente d'autant : it la phase 4>(00), il faut ajouter la valeur 00, La [onGtion <p(oo) obtenue dans ces conditions est representee sur la figure 6.6; la penl~ est maximale au
voisinage de la resonance.
't' (I)
5
3
2
0~~--~--~~-----r-----+-----4~--
0,3
-1
_____________
Fm,6,5 .
0,4
:0,5
-_-_-_-_-_-_-_-_-_--_-_-_-_-_-_-1-'
f
T.emps de·propagation de groupe theori'que de fa cellule purement recurlive
If(!)
3
2
."••••
],
•c
o
c
•
o
0,1 fo
FIG. 6,6.
0,2
0,3
0,4
0,5
f
Caracterisfique de phase de fa cellule purement rec/lYsive
'1C
8o
]
~
-g
8'
©
Les expressions qui ant .ote donnees pour les fonctions IH(w)l, <p(w) et ~(io)
sont impor tantes car dIes permettent de determiner les me-mes fonctions poqr Ie:,:;
filtres realises par mise en cascade de cellules du second ordre, par multiplication
pour Ie module de la reponse en frequence au par addition pour la pnase et Ie
temps de propagation de grmlpe.
6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinie
186
Pour faire appararrre les conditions initiaies et les regimes transitoires', la
transformation en Z monolatera'le est utilisee, ,comme precedemment. A partir de
I' equation de definition de la cellule, on oblient la relation suivante entre les transformees monoleterales Y (Z) et X (Z) ,
Y(Z) X(Z)
-1+b, Z- ' +b2Z
2
b,y(-1)+b2[y(-2)+y(~ 1) Z- 11
l+b i Z ' +b2 Z 2
(6 .34)
Pour .< (n) = ei"", on obtient y (n) par la fOT)nule :
i
yen ) = c2- J Z" - l Y (Z) dZ
J n: r
avec
1
X (Z) = l~--e~i~wZ~-~l
en prenant comme contour d'integration r un oerc1e de rayon superieur -arunite-.
L:etude de la cellule purement recursive a ete faite dans Ie plan frequentie!.
DansJe plantemporel cette cellule possede une reponse impulsionnelle qui est une
suite h (n) que l~on deteqnine directement en examinant la reponse it 13 suite un!"'
taire, au par developpement en serie de la fonction H (Z) ; en effet on a, pour des
poles complexes :
PiP
- +
'H (Z) =l_P~ 1 . p_p l-pz- l p_p
•
~ h(nlz- n
n =0
1\ vien, alars :
_
. if
( )
hn-I
"
sin(n + 1) 1;)
(6.35)
'e,
·sm
La figure 6.7 donne la reponse impulsiOlinelle du filtre de I' exemple precedent.
h(n) .
,
'I
\
I
,,I
0,5:
\\
,,
-2-1012
FIG', $:7. Reponse impulsionnelle diune cellule.. du second ordre
n
6.2
La cellule du second ordre purement recursive
187
La reponse -a Pechelon unite slecrit a. partir de la definition, apres quelques
manipulations :.
g(n)~ 1
1
b b [1+b2 h (n) ~ h (n + 1 ) ]
+ " 1.+ 2
Il vient alors :
gln) ~ 1
[r '+'
i
12
8 1 + ~8
[rsin(i+ 1) 8-sin(i+2) 8]
+r - rcos
sm
2
]
(6.34-bis)
Cette relation est utile en automatique..
La " orme IIHI12de la fonction H(Ol) est utilisee par la suite ; Ie ealoul de eette
norme peut se faire par deux methodes, comme indique. au paragraplie 4.3. Par
sommation de serie :
IIHII~~ i: Ih (n)12~~ i: r"2n l-eos [2(n +1)e]
n=O
SIn
e n ~O
2
p" un cal cuI d'integrale s.uivantla m<\thode des Jesidus :
IIHII~'= ~ f
ZdZ
}2rc lzl = 1 (Z - p) (Z - P) (1 - PZ) (1- PZ)
Finalement il vient :
1 + r2
1
IIHII~ ~ 1 _ r~ , 1 + r 4 - 2r2 eos,2 8
(636)
La valeur IIHII, est egalement utilisee par la suite ~
,00
IIHII, ~ nL=0 Ih (n)1
.'!:::i
Cette valeur est bomee par l'inegalite :
1
m
1
IIHII] ~ SIne
-, - n=O
L rnlsin [en + 1)811 oS (1 -r) sme
,
(0 < 8 < rc)
(6,37)
ow
~
§
~
.m
~
•c
Exemple:
ffi
Quand les poles_sont sur l'axe imaginaire du plan des_Z , e = :2 et la reponse
impulsionnelle s~ectit :
o
c
•
'D-
S
o
"0
~
~
•
1i
~
o5'
@
Alars:
6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinie
188
Les resultats obtenus pour la cellule 9u second ordre purement recursiv.e
s'etendent it lacellule du second ordre generale.
6. 3
CELLULE DU SECOND ORDRE GENERALE
La cellule du second ordre la plus generale fail il1tervernr dans Ie caleul d' un element de 1a suite de sortie y (n) it I'instant n, ies do nnees aux instants pr6cedents,
x (n -1) et x (n - 2). Son equation de definition s' .ocrit :
y .(n.) ~ aoX(n). + a,x (n -1 ) + a,x (n - 2) - b,y (n -1) - b2 y (n - 2).
~ 6.38 )
n en resulte la [anction de transfert en Z suivante :
H (Z) _ ao + a 1 Z-l + a2 Z- 2
T
- 1 + b1Z 1 ~ b Z 2
2
qui comporte deux zeros- reels au complexes co&ugues pour que les_coefficients
soient ni els. La position de ces zeros, notes Zo et Zo, est assez particuliere. En effet
on rencontre del,lK cas d'l,ltilisation de La G~ihll~ d1,.l second o{dr~ g~nerale . D 'abQJ;'d
dans la realisation d'un element de filtrage; aloTs les .zeros sont presque toujours
places sur le .cercle unite, d'une part pour optimiser les caracteristiques d'affaiblis-
sement du liltre par i'introduction d 'une frequence d' affaibiissement infirn et
d'autre part parce que dans ces conditions une symetrie des coefficients a pparalt et
les calculs peuvent se ·simplifier. Ensuite dans la realisation de circuits dephaseurs
purs; aiors les zeros sont conjugues harmQniql)es des poles.
Le cas dufiltre va etre examine en premier. La fonction de tntnsfert d'une cellule s'ecrit :
(6:39)
ouencore:
Le module de la r6ponse en freql1ence de- la cellule du second ordre generale
dont les zeros sont plac6s sur Ie cerc1e unite s'exprime par:
12
IHT (Ol)
(a , ~ 2ao cosOl)3
~1+bl+b ~ + 2bl (1+b2) cosOl+2b2cos2Ol
(6.40)
Dne telle celll.!le peut etre consideree comn'le la I11i&e en cascade d'unecellule
de filtre RII purement recursive et d 'une cellule de filtre RIF a phase lineaire. PaT
suite les caracteristiques de phase et de temps de groupe de la cellule complete
so.nt les sommes cles caracteristiql,.les des cellules 61ementaires. C'est-a-dire :
r cos (S + ol) _1' 2
r cos (e-Ol) - r2
"'r (ol) ~ 1 +
+
(6.41)
1- 2r cos (S + ol) + r2 1-2r cos (9- w) + r2
6.3
189
Cellule du second ordre genera Ie
rsin(8+ro) ]
[ rsin(8-ro) ]
'h ero) ~ ro + Arctg [ 1 - r cps (8 + (0) - Arctg 1 -r. Slll
. (8 - (0 )
(6.42)
Ces deux expressions donnent la phase et Ie 4>mps de propagation de groupe
d~une cellule du second ordte dont les deux zeros sont sur Ie cer61e unite. Cette
cellule de filtrage est generalement appelee cellule du second ordre elliptique, par
reference. la techni.que utilisee pour Ie. caleul des coefficients.
E;<eJ1iple
Pour illustrer les proprietes de la cellule de fillrage du second ordre generale,
reprenons I'exemple du paragraphe precedent, en completant Ie fillre par 2 zeros
tels que ~
Zo = 0,3325 + j 0,943
et
Zo ~ 0,3325 - j 0,943
Les positions des singularites dans Ie plan complexe sont donnees par la figure
6.8.a. La fanction de hansfert lir C
Zl est Ie quotient de deux polyn6mes du second
degre N (Z) et D (Z) :
N(Z)
H,,(Z) =ao· D (Z)
N (Z) ~ 1- 0,665 Z- l + Z -2
avec
D (Z ) ~ 1-1,2146 Z-l + 0,6556 Z-2
FIG.6.S.a.
Poles et zero~ d'une cellule
du second o.rdre generale
o
."••"
],
~
o
~
l
.§
~
~
•
~
].
3
o
@
La figure 6.8.b donne la re-ponse en frequer.lce du flltre . Les contributions .du
numerateur et du denominate.ur de la fanction de transfert sont egalemen,t represente'es. Le.- facteur ao correspond a un facteur d'echelle qui est caloule poup que la
reponse du filtre ait une valeur specifiee a une frequence donnee. Par exemple:
HT (0) = 1 conduit a:
ap = D,33.
Les caracteristiques de te)TIps de propagation de groupe et de phasesont donnees par les figures 65 et 6.6 respectivement.
6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinie
190
fir!!)
5
,-,
4
\
\
\
\
3
\
\
_---,N(f)
\
2
........
"
"
"
I
I
I
' ,. . ,---. . __-------i,
~ ~.
"-
o
t
,,~
\.
--.
f
,-'
------------l1/D{f)
0,3
0,1
0,4
0,5
f
Repo11S£ en frequence de In cellule du second ordre generate
FIG. '6.8.b.
La nOrme IIHrl12 de la fonction Hr(ro) se calcule comme indiqVe precedemment, Il vient :
(6.43)
Un cas particulier 'i,mportant du meme type de filtre est Ie filtre dit «a
encoche », utilise pour retirer une frequence pure d1un spectre sans perturber ies
autres compos ants. Sa fonction de transfert s'eerit :
1 + a Z - l + Z -2
HJj(Z) ~ 1 Tal (1- ~)lZ 1 + (1- E)2Z 2
(6.44)
au e est un reel positif petit. Les poles de celte cellule sont a la distance E du cercle
unite et des zeros comme Ie montre la figure 6.9,a. Pour t tres petit la bande d'affaiblissement a 3 dB , B'E peut etre approchee par :
E·
B' E= -11:
ei2nfO
o
0,5 f
I,
FIG.6.9.a.
Filtre
1
aencoche du second ordre
En dehors de cette bande, les poles et zeros se com pensent et la reponse en
frequence est voisine de t unite. De plus, un tel filtre apport" une tres falble ampiification sur un bruit blano puisque, en appliquant (6.43), o n obtient:
2-3£
IIHEII ~= 2-5E = 1 +E
6.3
Cellule du second ordre gem,rale
191
Si la freq uenee clu signal a 61iminer n' est pas connue avec une grande precision ou
si elle varie, alors il faut elargir la bande d'affaiblissement et ecarter le~ zeros du
cerele unite d'11ne quantite dont l'ordre de grandeur est donne par la relation
(6.30).
La seconde categorie de ce1lules du second ordre generales est celle des
dephaseurs purs.
La cellule de circuit dephaseur est caracterisee par Ie fait que ie numerateur et
Ie denominateur de la [onchon de tranSfert ant les memes coefficients mais dallS'
l' ordte inverse:
(6.45)
Les polynomes N(Z) et D(Z) sont des polynomes images. II en resulte que
IH (eiw)1 ~ 1, c'est-a-dire que Ie circuit est un Mphaseur pur.
En fonction des poles et zeros la fonction de transfer! HD (Z) s'''crit :
(P_Z-l)(P_Z-l )
HD (Z) ~ (l-PZ-l)(l- PZ-l)
!l apparait que les poles et les zeros sont conjugues harrnoniques. La figure
6.10 represente leur position dans Ie plan qes, Z.
FIG,.6.W.
poles et'Zeros d'une cellule {i.e ~phaseU;, r
-:!
Zo
Le calcul de la phase et du temps de propagation de groupe de cetle cellule Se
"li Mduit Ires simplement des expressions (6.24) et (6.32) obtenues pour la ,cellule
·m purement r6cursive. En effet on peut ecrire :
],
N(Z)
•c
HD (Z) ~ D (Z) ~
o
c
•
'''8o
Camme dlautre part on a:
"0
~
~
•
-g§ Ii vieut ~
~
o
@
Z-2D(Z - 1)
D (Z)
6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinle
192
Le temps de propagation de groupe de I. cellule de circuit dephaseur, 'Cg (m),
s'ecr,i t to us 'c alculsfaits :
'C (ol) ~
g.
1- r2
1- r2
1-2/'cos(e-Ol) T r2
+ ~~~~~~
1-2rcos (8+ro)+r2
(6.46)
Il est facile de verifier que, quand olvariede 0 alt, Ja phase 'PD(ro) varie de 21t.
En dfet:
'PD(lt) ~
IT
Jo ,, (Ol) dOl~2
g
fIT
0
1-r2
da~ 2lt
1 + ,2 - 2r cos a
U ne app lication interessante de ce resultat est la posslbilite de realise r Je filtre
aencoche introduit precedemment al'aide d'un circuit dephaseur, camme indique
a Ia figure 6.9.b. Le zero du filtre sur Ie cerck unite correspond a la frequence OU Ie
dephasage est egal a It. En fait, c'est meme Un ensemble de deux filtres complementaires qui sont obtenus avec un seul dephaseur du second ordre [1, 5].
,--------:>~, +
YE (n)
x (n) ~-+----j D(lphaseur f----1
' - - - - - - - - : > ( - , ~ YL (nj
FIG. 6. 9.b..
6.4
Realisation d.'un filtre ii enco'Che et de son complement
STRUCTURES POUR LA REALISATION
Les 'cellules sont realfsees par des circuits qui effectuent directe;ment les oper'ations
repr:esentees dans llexpression des fonctions d~ transfert. Le terme Z-l correspond
a un retard d1une periode 6lementaire et est realise par une mise en memoire; les
coefficients utiliser dans les circuits sont ceux de la fonotion de transfert aveC' Ie
meme signe pour Ie numerateur et Ie signe oppose pour Ie denominateur.
Le circuit qui correspond directementil la relation de definition de la celiule
a
du second ordre. purement recursive est donne par la figure 6.11.
Les nomores de sortie yen) sont retardes deux fois, mUltiplies par les coefficients - b 1 ,et - b2 avant efetre ajoutes aux nombres d'entreex (n ). Le circuit comprend deux memoires de donnees et deux memQlreS de coefficients. 11 -taut effectuer, pour obtenir chaque nombre de sOTtie, deux multiplications et deux
additions.
6.4
193
Structures pour fa realisation
xln)
}----~---_y(h)
+
f--+-- y(n-l)
f-----o--~ y (n -1)
FIG ,6.11.
Circuits de fa cellule purement recursive
La cellule du second ordre generale peut@tre realisee conformement ·a la reIation de defihition. Cependant, it fatit alars deux memo ires de donnees pour les
nombres d' entree et deux memo ires pour les nombres de sortie. La ·structure 0 btenlle n' est pas canonique, elle ne con'lporte pas Ie minimum d'elements. En effet, il
suffit de deux memoires de donnees, si la fonction de transfert est factorisee
comme suit :
c'est-a-dire que les calouls. correspond ant 'au denominateur sont effeatues en premier et ceux qUI correspondent au numerateur ensuite. La structure, dite D-N, est
representee sur la figure 6.12; elle correspond a I' introduction des deux variables
internes u, (n) et u2 (n) formant un vecteur d'etat U Cd) a N ~ 2 dimensions. Le syste-me est decrit par les equations suivantes :
u, (n + 1) ~x(n) - b,u,(n) - b2u2 (n )
u, (n + 1) ~ U1 (n)
yen ) ~ aQx (n) - aob,u, (n) -aQb2u2(n) + a,u! (n) +"zUe (n)
Ou encore, SOllS forme matricielle, conformement a (4.34) :
U (n+l) ~ [ -~1 -g2].U (n) +[~]x cn)
(6.47)
y en) ~ [- Gob, + a,, - aob2 + a2l U en) + aot(n)
o
g
.~
8
.§
-a.
Cette representation d'etat conduit ains} a une realisatIon canonique ayant Ie
nOlnbre minimal de variables 'internes et par suite de memoires.
,
D'apn3s les resuJtats du paragraphe 4.6 il existe line structure duale correspondant aux variables- internes VI (n) et V 2 (n ) telles que:
(n +
~ b1.
[VI (n)] + [ - aob , + a, ]x(n)
[VI
v2 (1J + 1)
- b2 . 0 v2 (n)
- aOb 2 + "2
1)] [- 1]
y en) ~ v, (n) + aox (n )
6 • Cellules de iiltres a n!!ponsaimpulsionnelle infinie
194
y (n)
Fm. 6.12.
Cellule du second ordre en s(rncture D-N
Cette autre structure canonique est representee sur la figure 6.13. Elle rement
~ effectuer d'abord les operations du numerateur de la fanction de tra~fert en Z
et est dite N-D.
" [ n) ~--'r---1
}---~..-~ y( nJ
Z-1
Fm. 6.13.
Cellule du second Qrdre en structure N-D.
La cellule du second ordre elliptique est generalement realise.e cornme indique Sill" la figure 6.12-bis. 11 faut effectuer quatre multiplications ; celie qui porte
sur Ie coefficient "0. designe par [acteur d'echelle, est effectuee soit sur les nombres
d'entreex (n), soit en sortie de la cellule comme sur la figure. Le gain en caloul par
rapport aux schemas precedents apparait clairement
6.4
Structures pour fa realisation
195
~
x(n)
FIG. 6.12 bis.
y(n)
Cellule du second ordre elliptique
La ce1lule de dephaseulpur constitue un cas particulier pour la reallsation. En
effet, ia structure canonique ne permet pas d'exploiter ies particularites de ceUe
fonction ~ amplitude du signal canst ante et memes' va1eurs des coefficients a\!
numerateur et au denominateur. Dne structure a2 multiplicationS adaptee acette
fonction est donnee a la figure 6.14. La re1ation d'entree-sortie correspondante
s'ecrit:
yen) ~ x(n -2) + b, lx(n-1) - )'(n -1)l + bzlx(n ) - yen -2)]
x(n) ~-~------z+
."••••
l . -_ _.F
],
•c
'-- - - - - - . c . , ( +
+-_... y(n)
L..-_ _ _ _ _
o
c
•
'5.
8o
FIG. 6,14.
Cellule de dephaseu.r au secondcordre
a2 multiplications
"0
~
~
Au lotal, il faut 2 multiplications, 4 additions et 4 memoires. A noter que Ie
1i dephilSelir, par definition, n'a pas de factew d'echelle, la figure 6.14 permet de ne
8' mettre en memoire que des signaux d~ amplitude CQnstante, ce qui minimise la lon@
gueur des memotres et simplifie les estimations de bruit de calcul.
6 • Cellules de filtres a flaponse impulsionnelle infinie
196
Pour optimiser la cellule et redulfe Ie volume de circuits necessaires par multiplication il est important de minimiser Ie nombre.de bits de chacun des filGteun" Le
cas des coefficients va etre examine en premier.
6.5
LIMITATIONS DU NOMBRE DE BITS DES COEFFICIENTS
La limitation du nombre de bits des coefficients se traduit par Ie fait qu'ils ne peuvent prendre qu'un nombre limite de valeurs; 'il s~ en suit que les poles ont un
nOlnbre limite de p'Qsitlpns ppssibles a finte-rieur du <;:e:rcLe 4nlte; ii en est de meme
des zeros sur Ie cerele unite, dans Ie cas de la cellule de filtre elliptique. Ainsi la
quantification it be. bits de la valeur absolue des coefficients limite a 22h, Ie nombre
de positions que peuvent prendre les poles dans un quart du cerele unite et 2", Ie
nombre de frequences d'affaiblissement infini possible. La figure 6.15 represente
'ces positions pour be = 3.
-r--.~-.
. .. .. ....
.
.. ...-,
.
.
"
• . . . . .\
+ : ... ...-.
.~
'
",
~
:
•
•
Positions des pedes et zeros
avec une quantification a,3, bits
tks coefficients en valeur absolue
FIG. 6.15.
\
•••
'
,
,
,
o '
-:l'iL
•
'1
I
R
Si la fonction de traJisfert de la cellule a ete calculee d'abord et que la limitation du nombre de bits des: coefficients interv.ient ensuite:, la fonction de transfert
H (2:) se trouve mpdifiee par I'introduction des polynomes pan!sites eN(Z) et
eD (Z) au nUlJ1erateur et au denominateur [2]. On a la fonction HR (Z) "lelle. que:
H (Z)- N (Z)+eN(Z)
R
- D (Z) +eD( Z)
( 4 )
6. 9
Si l'on designe par Olli et 8bi (0 ~ i '" 2) les: errellrs d'arrondi faites Slir Ie<
cbefficients, les fonctidns de transfert parasites slecriveht:
2
eD (.f) ~ L 8bi c i 2<ri
.i= 1
.considerons Ie cas de la cellule de filtre elliptique dont les coefficients sont
quaNtifies. abe bits"signe Gompris, par arrofidi. Compte tenu des ifH~galites :
6.6
Limitation du nombre de bits des memoires de donnees
197
l'echelon de' quantification q s'ecrit :
q~2 x 21-b'~22-b ,
11 vient:
(6.50)
Le"s modifications de la fonction de transfert dues a la quantification. des coefficients d u denominateur prennent leur ampleur maximale pour les.freqllences voisines des poles, car alors la fonction D (f) passe par un minimum.
En supposant qu'ill).' y a pas d'arrondi des coefficients au numerateur, on peut
eGrire :
N U)
N (t) [
eD
(!)]
HR(I)~ D(I) +eD(I) = D(I) 1- D (f)
L'erreur relative globale sur la: repons,e, e (I) ~
HRUl-H(f)
H (I)
.
,.se trouve alors
bornee par:
(6.51 )
Cette expression permet de determiner le nembre de bits necessaire pOHr
representer les coefficients du denominateur en fanction de la tolerance sur la
reponse en frequence et des valeurs des coefficients. Elk est utilisee au chapitre
suivant.
Au numerateur la quantification du coefficient at de la cellule de filtre eJJiptique amene une modification de l.'abscisse des zeros qui se deplcicent ·sur Ie cercle
unite.. Le deplacement d~ la pointe d'affaiblis seme)1t 'infi!)i /; qui en resulte prend
I. valeur df; lelle que :
(6.52)
.••
]I
La quantification du coefficient ao de la cellule elliptique amime simplement
une modifica(ion du gain du filtre.
],
•
g 6.6
•
'0-
S
o
LIMITATION DU NOMBRE DE BITS
DES MEMOIRES DE DONNEES
"0
~
~
j
Dans la 'Strllcture D-N, qui est la plus c.Qurammentl.!-tilisee, Ie second facteur de la
-g multiplicatiGn est Ie nomore contenu dans la memo ire de donnees. Cette memoire
8 • necessairement une capacite limite,,; I. structure en boucle (fig. 6.12) fait que,
@
meme si les hombres d'erttree .t(n) Oht un nombre de bits limite et que les.
6 • Cellules de filtres a n!!ponse impulsionnelle infinie
198
me-moires sont vides 'a]a mise en fonctionnement, le nornbre de bits des donnees a
mettre en memoire droIt ind6finiment. Vne limitation, en general par tlTIOndi, est
hecessalre. D 'autre part les celltiles peuvent presenter des gains importants et des
instabilites, ce q:t.d conduit a introdulre une limitation de rarnplitude des donnees a
mettre en memoire avec un dispositif de saturation logique, Le schema de la cellule
elliptique du second ardre avec dispositif de saturation et quantification est donne
par la figure 6.16 pour la structure D-N. Ce schema suppose un seul dispositif de
limitation situe jlJ~te avant la mise en memoire, pOhlr simplifier ranalyse du circllit,
x{n)--~o{
)--_y{n)
.(n)
Z-1
RIG. 6. 16.
Cellule elliptique avec d, ispositiJ d e limitation-
Le dispositif de quantification apporte une degradation au signal qUi traverse
1a cellule de filtre, c'est :le bruit de calcu!. En effet, suivant Ie schema de la figure
1).16, 1a quantification revient superposer au signal d' entree x (n) un signal d'erreur e(n) qui traverse egalement Ie filtre. Si I'echelon de quantification a la valeur
q, ce ·signal d'erreur est considere camme ayant un spectre a repartition uniforme
a
i2 '
2
et une puissance
Dans ces conditions Ie bruit de calcul B, en sortie de la
cellule a pour expression, sife ~ 1 et d'apr~s la relation (4,25 ) du paragrap'he 4.4 ~
_rLJ'IN(f)
12
D u) df
Be - 12
0
ou encore en fanctia n .de 1a suite h (n) , reponse impulsiannelle du filtre :
B, ~ i~ n~o Ih(n)12
En utilisant les resultats des paragraphes precedents, dans Ie cas d'une cellule
du s,e,cond ordre purement re cursive a poles complexes de- coordonnees polaires
(r, 9), c'est-ii-dire. la relation (6.36), il vient :
q2
1 +r2
1
B, ~ -1-2 -1---r-2 o-1-c+- r-c4'_--O;C2r'2'c-o-s'.2"'9,
(6.53 )
6.7
Stabilite et auto-oscil/ations
199
el'PoUJ la cellule elliptique avec larelation (6.43 ):
B ~
'f. a5(2 + ar + aib2 - 4a , b , + 2bi - 2bD
(6.54 )
(1- b~)[(lT b,,)2- bY]
'12
L'echelon de quantification q est lie au nombre de bits des memo.ires: internes.
La relation fait intervenir l'amplitude de la fe-ponse en frequence la resonance de
la partie purement recursive; elie est etudiee en detail au chapitre sUlvant, dans la
mise en cascade de cellules.61ementaires.
a
Dans ce paragraphe seu1e 1a structure D-N a ete consideree. Les caleu1s
s' adaptent sans difficult" a1a structure N-D [3].
L'introduction dl,l dispositif de quantification a ega1ement des consequences
en Pabsence de signal.
6.7
.
STABILITE ET AUTO-OSCILLATIONS
En l'absence de signal 1\ Fentre.e de la cellule de fi1tre RII, it se peut qu' un signal
soit present en sortie. C'est d'abord le cas si les coefficients sont tels que la cellule
soit instable,
La condition de stabilite de la cellule est que les poles soient a l'interieur du
cerele unite. Celte condition delim(te un domaine de stabilite dans le plan (b b2 ).
"
D 'apres les resultals du paragr'aphe 62 le domaine des poles complexes est limite
par la parabole:
b _ by
2-
4
Alars la condition de stabilite impose :
o b 2 <: 1
oS
Si 1es p61essont reels il faut de pllis que :
, 1 y"C;--;-;61+ -1 Y b"2 ~ 4b2<1' - 1 < -b- - - b L 4b
22"
22'2
,o
."••"
ou encore :
~
Le domaine de stabihte corre.spondant est un triangJe deli mite p~):' le§ trois
droites :,
],
o
~
soit
Ib, < 1 + b,
1
(6.55)
'1C
8o
"0
~
~
comme represente sur 1a figure 6.17.
-g
Cependant, meme si la condition de stahilite est remplie, il se peut qu'en l'ab-
@
ral un signal constant ou periodique qui correspond ~ une auto-oscillation dufiltre,
8' sence de signal a Fentree, un signal soit present en sortie du circuit; c'est en gene-
6 • Cellules de fillres a reponse impulsi(')nnelle infinie
frequemment appele cycle limite. De teiles auto-oscillations peuv~nt se produire
·al!X ~rqnde$ amplitlldes par depassement de la capacit6 des memoires-s'il n'y a paS
de dispositif de saturation logique. L'equatiort du systeme en ['absence de signal
djentree- s'ecrit:
FIG. 6.17, Domaine de stabilite de la~ cellule du second ordre
La condition naturelle d'absence de telles oscillations s'exprime par l'inegalite :
ib, y (n - 1) + b2 y (n.-2)1 < 1
d'QU la condition necessaire et suffisante dlabsence d~autQ-oscillations aUK grandes
amplitudes:
(6.56)
Celte inegalit". deli mite dans Ie plan (b 1, b2 ) un carte a l'interieur du triangle
de stabilite de la cellule.
Pour eliminer toute possibilile d'oscillations de grande amplitude dlles, all
depassement de eapacite des memQIres" on demontre qu'il suffit d~ufiliser un dispositif de satmation logique camme indique au paragraphe 6.6 [4].
Des auto-ose-illations 'se produisent egalement en raison de: la quantificaticm
avant mise en me-moire. Elles sont de faibles amplitudes, dans- leg: systemes bien
cont;us. Elles tiennent au fait qulen realit6 Ie signal d1entree n'est jamais nul,
puisque meme en l',absenee de donnees x(.n), Ie signal d'erre~lT e- (n) dO ala quantification des- nombres- avant la mise en me-motre est applique-au filtre.
Un exemple est donne par la figure 6.18.
6.7
Stabilite et auto-oscil/ations
201
yin)
n
b, y!n~2) y'!n) y! n-1)
,
+ 4,55
5
- 1.,55
-5
5
2
- 1.,5 5
-5
-5
l
+ 4,55
5
-5
-+ L,5 5
5
5
0
+---,y..,!n-1}
,
FIG.6.18.
5
Aufo-oscilldtio llS:£Jltx faihle.s"amplitudes
Vne bome pe))t eire obtenue simplement pour de tels signaux, compte tenu ciu
fait que Ie signal d:erreur e(n) est lui-meme borne dans I'arrondi avec echelon q
par :
q
le(n)1"'" ~2
Si Ie. filtre a comme reponse impulsionnelle la suite h (i), les 'auto-oscillations
sont limi/ees et il vient:
[y(n)[ "" ~ t1h(t)1
Cette borne est en fait hes large; une estimation plus realisle de l'amplitude
Aa des auto-oscillations est do)mee par I'expression:
A a ~ ~ Max IH (ro)1
au H (ro) est 1a fonclion de transfert de la cellule.
L'application it une celiule purement recursive du .second ordre it poles complexes conduit, d'apres (6.37) et (6.29), ~ :
"••
'.
],"
•c
a
Iy(n)i ,;;
~ 7(1;-_-r-;-~-;sic--n-:coe
1
(6.57)
(6,58)
~
Ces signaux ont SQuvent un spectre de raies correspondant a des frequences
8a voisines de cene OU H(ro) est m~ip1um et qui sont, sait diviseurs, sait dans un rap] port simple avec la [requence d' ~chantillonnage,
~
Dans la conception des filtres.le nombre de bits des memoires deit etre suffi-g satnment grand et l'echelo.n q suffisamment petit pour que ces auto-osciilations ne
soienl pas genantes. II faut noter egalement qu'elles- peuvent etre eliminees par
© I'utilisation d' un ~utr" type de quantification que i'arrondi, par exemple la tronca'<e
~
8
6 • Cellules de filtres a reronse impulsi(')nnelle infinie
101
tion de la valeur absolue [5]. Cest alms au prix d'une augmentation de la puissance de bruit en pre'sence de signlil.
Les resultats obtenus dans ce chapitre vant etre utilises dans Ie ohapitre suivantqui traite de I. mise en cascade de cellule~elementaires.
BIBLIOGRAPHIE
[1] P. A. REGALIA, S, K. MITRA, P. P. VAIDYANATHAN -All-pass Filter: a Versatile Signal
Processing Building Block. Proceedings of the IEEE, 76, N' 1, January 1988, pp. 19-37.
[2] J. B. KNOWLES and E. M . OLeAnO - Coefficient Accuracy and Djgital Filter Response.
IEEE Trans. on Circuit TheolY, Match 1968.
[3] L. B. JACKSON - On the Interaction of Round-off Noise and Dynamic Range in Digital
Filters. BSTJ, Feb 1970.
[4] P. E REll-T, J . MAW AND M. TAYLO R - Overflow Oscillations in Digital Filters. BSTJ, Nov.
1969.
[5J T. CLAASEN, W. MECKLENBRAUKER and J. PEEK - Effects of Quantizations and Overflow in
Recursive Digital Filters. IEEE Trans. , Vol. ASSP-24, N ° 6, Dec 1976.
[6] S. K. Mm;A and J. F. MISER -Handbook for Digital Signal Processing, John Wiley, New
York,1993.
EXERCICES
1 Soij: It etudiet la cellule du premier ordre :
y(n)~x (n)+by (n-l)
dans les conditions suivantes :
.t(n) =0;
n<O
x(n) = C(!IS nOJ; ,n ;:: 0
b~-0;8;
1<
m~:2 ;
y (-l )~O
Donner l'expression de y (n) en faisant apparmtre les r{!gimes transitoire etpennanent.
Calculer,l'amplitude et la phase de la reponse partir de la valeur de y(n); venner a
l"aide des Tesultats du paragraphe 6.1. En considerant dans y (n) Ie regime pennane,11t, calculet Ie retard apporte par Ie filtre. Comparer la valeur obtenue aU temps de propagatiotr de
groupe. Justifier la ilifference entr.e les deux valeurs ..
a
2 Calculer Ia reponse du systeme d6fini par l'equation :
yen) ~x(n) +X (n-l) - O,~y
en -1)
2Q3
Exercices
a 1a suite unitaire Uo (n) et a 1a suite x (n) teile que.:
x(n)~O
pout n < O
x(n)2" l
poue n ~ 0
Donner la reponse en froquence en regime pennanent et tTimsitoire.
3 Soit 1a cellule du second ordre purement recursive. dont les (;;oefficients sont :
b1 =-1,56 ;
b2 =O~8
Donner 1a position des p01es. Calculer 1a reponse en frequenee, en phase et Ie temps de
pf0pagatibn de group-e~ Comment sont modifiees ces fonctions si ron ajoute deux zeros en j
et - 1.. Dan~ ceoG.a~ donnl;{r l~ !;\Cnema de realisation ;iOll.S foque P-N et eyaluer It} volume cl.e
ealculs af~re pour chaque nombre de. sortie.
4 D onner l'expr/iission de ia reponse impuisionnelle de la cellule do .second ordre
puremeht recursive dont les coefficients SOUt :
a
Calculer la frequence de r~sonance et l'amplitUde la resonance. Exprimer la repollse
H(m) el ,akuler la nonne IIHlb.
A cette. cellule on adjoint deux zeros sur le cerde unite pour obteniF un affaiblissement
infini a la fre-quence
3;e.
Quels sont les coefficients de la cellule? Calculer 1a nouvelle
expression de H(m) et la nouvelie v"leur de IIHlb?
Evaluer l'amplitude, des auto-oscillations aux petits niveaux, de cette cellule, dans une
realisation sous fonne D-N .e t sous forme N-D. Mettre: en evidence un exemp1e. d'auto-oscillation.
En l'absence de disposi1i£ de saturation logique, cette cellule presente-t-elle des {iutooscillations de grande amplitude? Faire apparmtre unexe.mple.
5 A ve.c_combien de bits faut-it representer les coefficients de la cellule pont la ionction
de transfert en Z s'6crit :
1-0,9S2Z- 1+Z- 2
H(Z) ~ 1-1406Z-1
+0,911Z,
. 2
,o
.."•••
B
,
•
o
o
c
.~
pour que la reponse en ftequen ce ne soit pas modifiee de. -plu,s de 1 % .;tu voisinage des'
p.01e:s. Calculer Ie deplat::ement de 1a pointe d'.affaiblissement infini.
6 SQit a realiser un dephaseur pur pu second ordre dontles·pOles ont pour affixes P1,2tels que;
P, 2 ~ 6,71 ± j 0,54
CaJ,culer les coefficients de 1a cellule et douner i'expressi91J- de la fonctioIi 'C'g(oo).
Montrer qu!iL existe ·un schema de realisation qui conduit a un nombre de multiplications
"5. reduit. Cette cellule peut-elle presenter des a~to-osQillations aux grandes amplituct:es en
I'absence de dispositif de saturation Iogique, et des auto-oscillations de faib1e amplitude?
§
"0
Chapitre 7
Les' filtres ill reponse
impulsionnelle infinie (RII)
Les filtres numeriques a Reponse ImpUlsionnelle Infinie (RIl), aU filtres recursifs
on! des proprietes qui se rapprochent de celles des fillres analogiques et les techniques utilisees pour calculer leurs coefficients sont d6duites de celles qui servent a
determiner les parametres des filtres analogiques [1, 2., 3].
Avant d'aborder les methodes de caleul des coefficients, it est utile de donner
un certain nombre d~expressions generales pour les caractedstiques de ces filtres.
7.1
EXPRESSIONS GENERALES
POUR LESCARACTERISTIQUES
Le fi ltre RII general est un systeme qui,
pOhdre la suite yen ) telle que:
a la suite de donnees x(n) fait corres-
L
y(n)~
K
L .al'x (n-l)- k=l
L bky(n-k)
1=0 .
(7.1 )
La fanctian de transfert en Z dece systeme s'ecrit..:
L
L a,Z- 1
H(Z) ~ _'-=~"-~__
(7.2)
l+Lb Z-k
k=l
k
C'est Ie quotient de deux polyn6mes en Z, qui sont'SollvenLde me-me degre.
Les coefficients
et bk etant des nombres ree1s, H (Z) est un nombre complexe tel que:
a,
7.1
Expressions generales pour les caracteristiques
205
La r~ponse en frequence du filtre s~ec rit avec les memes conventions que dans
les chapitres precedents:
Le module e! la phase s'expriment a partir de H(Z) par les expressions suivantes:
(7.3)
Par elevation de H ero) au carre et en u\ilisant (7.3), il vient :
(74)
En derivant la fonction <p (Z) par rapporU!.!a variable complexe Z . on o btient :
d<p =_ ~ [H'(Z)
dZ
~ H' (Z-l) ]
H (Z ) + Z 2 H(Z ')
2j
Rour Z = ei0 il vient :
d = - -1 Re [d
--'t
Z - In (H (Z)) ]
dZ
jZ
dZ
D 'ou I'expression du temps de propagation de groupe:
(7.5)
Les equations (7.3), (7 .4) et (7.5 ) constituent des eXPJessions mncises pour' Ie
calcul des principales caracterlstiques des filtre£ RU d'ordre quelconque.
Exemple
.soil :
1
,o
."••"
1
H (Z ) = D (Z) = 1 + b, Z 1 + b, Z 2
Ona :
],
•
o
o
c
• d'ou l'expression :
8
"6...
o
"0
~
~
•
1i
~
1- bi + b, (1 - b,) cos ro
. (00).= 1- 1 + br+ b;''' 2b 1 (1 + b2 ) cos ro + 2b2 cos (2ro)
(7.6)
8' qui est equivalente a l~expression donnee au chapitre precedent quanti les poles
@
sonl complexes. avec b, = - 2r cos 8 el fj2 = r2.
7 • Les filtres a n§ponse impulsionnelle .infinie
206
D1autres expressions des caracteristiques des filtres RII peuvent etre obtenues
a partir de l'expression de H (Z) en fonction de ses pOles el de ses zeros ; si Ie
nurneraleur et Ie denominateur de H (Z) ont Ie meme degre N, et sl N est pair, it
vient :
N
H (2) ~ ao
2
1+ajZ-l+a1Z-2
iI], 1 + bj Z + b~Z
1
2.
Le carre du module de la fonction de transfert est egal au produit des carres
du module des fonctions elementaires; la phase el Ie temps de propagation de
groupe S011t les sornmes des contributions des cellules e1ementaires.
Ii
2
IH(ro)12~ ao II
j=l
IHi (ro)12
N
2
~(ro) ~
L ~i(ro)
j=l
Les expressions gen~mles pour les cil.Jacleristiques des filtres EII donnees cj,
des'sus sont utHisees dans Ie calcul des coefficients.
7.2
CALCUL DIRECT DES COEFFICIENTS
PAR LES FONCTIONS MODELES
Une methode directe pour caleuler les coefficients d'un filtre RII consiste a faire
appel a une fonction modele, qui est une fonction re,elle dMinie sur I'axe des
frequences .
Les fonctions modeles considerees sont des fanctions connues pour leurs pro-
prietes de selectivite, les fonctions de Butterworth, Bessel, Tchebycheff et les fo nctions elliptiques. ElleS sonl egalemenl ulilis6es. pour Ie calcul des fillres analogiques. Elles constituent un modele pour Ie carre de la fonction de transfert a
obtenir. Cependant un obstacle apparall pour leur utilisation au calcul de fillces.
numeriques car elies ne sont pas periocUques alors: que la fonctioh a dbtehir a la
periode I,. II faut done etabtir une correspondance entre l'axe flOe! et l'-intervalle
[0, /<]. Une teile correspondance est foumie par une transformation conforme dans
Ie plan complexe qui doit posseder les proprie!es sllivanles :
- Transformer Paxe imaginaire-en Ie cercle unite.
- Transformer une fraction rationnelle de la variable complexe s en une frac"
lion rationnelle de la variable complexe Z.
- Conserver la stabilite.
Une premiere approche consiste a chercher a conserver pour Ie filtre nurn,eriqul'la reponse impulsionnelle du filtre analogique.
7.2
(afGul direct des coefficients par les fonctions modeJes
7.2.1
207
Invariance impulsionnelie
Soit 1e fi1tre ana10gique d6fini par l'equation :
y;(t) ~ bya(t) +xCt)
(7.7)
I1 a PQur .ronction de transfert :
1
H (s)~ - b
s- .
(7.8)
et pour re-ponse impulsionnelle-:
(7.9)
Un echantillonnage de cette reponse avec 1a periody T fournit la suite:
h(nT ) ~ ebT . n ; n;" 0
(7 .10)
1
H (z)~l - ehT-'
Z
(7.11 )
qui a pour transformee en Z :
..
"
."•••
Le pole Q du filtre ·analogigue .e st devenLL e bT pour 1e fi1tre numerique. La
methode se generalise a un norubre quelconque de poles,
Cette methode tres -simple est utilisee, par exemple, dans la simulation des systemes analogiques par des calcuiateurs numeriques. Pour Ie calcu! de fiitres, elle
presente un grave inconvenient, du fait qu replieme-nt de la reponse en frequence..
En effet, dans l'operation d'edlantillonnage, la reponse en frequence du fi1tre analogigue se trouve rep1i6e dans la bande utile du filtre numerique et les specifica"
tions d'amplitude ne peuvent pas etre conservees.
Vne autre approche consiste a 6tablir une correspondance directe entre. Ie
fonctionnement du fi11re ana10gique el du fillre numerique.
En :reprenant I'equation differentielle du filtre analogique, on peut ecrire, a
l'instant nT :
~
•
],
•c
y,a\nT) = Ya(nT - T ) + [
y~(nT - T'H) d~
(7.12)
Le calcui de I'integrale par la formule du trapeze conduit a :
o
c
T
Ya(nT) -Ya(nT - T ) ~:2 [y~ (nT) + y~(tiT - T)]
•
'1C
8o
(7.13)
'0
~
:; so it :
~
-g
§
~
T
Ya(nT ) - Ya(IIT - T ) ~ :2 [bYa CnT ) + x(nT ) + bya·(nT - T) + x (liT - T )]
7 • Les filtres a re-ponse impulsionnelle .infinie
208,
En prenant la transformee en Z des deU1' membres, on obtient I. fonction de
transfert en Z :
1
H(Z)~ 2 1-Z 1
T 1 +Z 1
(7,14)
b
qui fait apparaitre une relation entre s et Z, La transformatron ll'Omographique
correspondante est couramment designee par transformation bilinea:ire.
7.2.2
La transformation bilineaire
Soit la transformation qui au point du plan complexe d 'affixe Z fait correspondre
Ie point d'affixe s tel q\le :
2 1- Z-l
s~T 1+Z-1
(7.15)
Cette transformatio~ correspond a une approximation de .1'exponentielle,
puisque l' on a, pour les falb)es vale\lfS de sT :
1+
Z=
1-
T
2 s
T
2
,::::::::esT
(7.15bis)
s
A tout point du cercle tmite., Z = e jliJ'[" correspond un pQint S' teI que:
2 1_e- iwT
'2
roT
s ~T 1+e iwT~j T tg T
(7,16)
Par suite au cercle unite correspond l'axe imaginaire.
La relation qlli donne Z en fanction de s s'eerit :
2
T
-+s
Z~-2-
(717)
--s
T
Une fraction rationnelle en's est transformee en tine fraction rationnelle en Z
avec la particularite que Ie numerateur et Ie denominate-ur de la fanetion de Z ont
Ie meme degre,
D'autre part si s a une partie n~elle negative, Z est en module inferieur a 1,
c'est-il-dire que la partie du plan complexe de la variable s qui est a gauche de l'axe
imaginaire est transformee en l'interieur du cercle unite; cette propriete permet de
conserver les caracteristiques de stabilite des systernes,
2
Dans la definition de la transformation, Ie faeteur T ,est un facleur d'echelle,
T
1
/,
est la periode d'~chantillonnage du systeme numerique, Ce tacteur
7.2
209
Calcul direct des coefficients par les fonctions modeles
controle ia deformation de l'axe des frequences qui intervient quand la transformation bilineaire est appliquee pour obtenir la fonction de transfert en Z d'lln systeme numerique a partir d'une fonction complexe de s. En effet Ie systeme numerique obtenu, a une reponse en frequence fonction de Ia variable iN qui est liee aux
valeurs de la fonation analogiqwe initiale sur raxe imaginaire j ,iA par la relation
(7.16) ci-dessus. II vient :
(7.18)
La figure 7.1 illustre celte relation. On peut remarquer que pour les frequenees tres faibles la deformation est negligeable, eto qui justifie Ie choix du fac2
teur d'echelle T'
FIG. 7.1. De/onnation en f'requence apporlee par fa transformation bilineaire
.'••••"
'0
B
,
•
g
.~
Bien que d'autres transformations puissent aussi s' appliquer au calcul des
coefficients des filtres numeriques, Ia transformation bilineaire est la plus utilisee.
II faut remarquer qu'elle permet de caleuler les filtres numeriques a partir de fonctions de transfert de filtres analogiques au en utilisant les programmes de calcul
mis au point pour les filtres analogiques.
Il faut prendre garde cependant que la reponse en frequence se trouve dMorm6e, 'c omme indique precedemment, les pulsations analogiql1e (t)A et numerique
~ etant liees par la relation :
8o
(7.19)
"0
~
~
•
~
-g
,
Le temps de propagation de grollpe est egalement modilie :
c
o
@
(7.20)
7 • L.es filtres a n§ponse impulsionnelle infinie
210
c~est-a-dire qulun fihre qui, en analogique, a un temps de grQupe presque constant
est transforme en un filtre h'Umerique'qui n'a pas cette propri6te.
.
Pour ca!euler un filtre numerique a partlr d'un gabarit selon ceUe methode, il
faut predeformer Ie gabarit, ca!euLer Ie filtre analogique satisfaisant au nouveau
gabarit et ensuile appliquer la transforination bilineaire.
7.2.3
Les filtres de Butterworth
rour illus\rer Ie calcul des coefficients par line fonction modele. deux COli sont relenus, les fanctions de tiltrage de Butterworth en raison de leur simplicite et les fonc-
tions eiliptiques qui sont ies plus utilisees.
Une fonction de Butterworth d'o rdre nest definie par l'expressibn :
IF(co)12~
1
( CO )'"
1+ -
(7.21)
. CO,
Le parametre CO, donne la valeur de la variable pour laquelle la fonction pre·nd
1
la valeur "2' La figure '7.2'represente cette fonctibn pour diver.ses valeurs de .n.
FIG. '7 .2.
Fonctions de Butter-worth
a,5
Par extension analytique.o n peut Berire en prenant rot! = 1 :
1
Hes) H (-s) ~ 1 + (S)'"
1
1 + (_s2)n
c)
Les poles de cette- fa notion sont sur Ie cercJe unite; par exemple pour n impair
on peut ecrire :
H(s) H(- s) ~ --c2-n - -1- - " - -
II (s-eint)
K= 1
7.2
211
Calcul direct des coefficients par les fonctions modeJes
En affectant a H (s) les poles qui sont a gauche. de I'axe imaginaire afin
d'aboutir a un filtre stable, et apres regroupement pour obtenir des cellules du premier ou de second ordre acoefficients reels" il vient:
n o=- l
1
2
1
LI, ----(;--k
+ '2 cos re n .s + 1
H (s) '" 1 + s
CC
)--
S2
D e la meme: maniere on obtient pour n. pair :
!'
2
H (s) ~
1
E,
S2
+ 2 cos [
It (2k-l)1
2n
J's + 1
Le filtre numer\que correspondant est fourru par Ie changement de variable
(7,15), avec un facleur d'echelle convenable, c'est-a-dire :
1
l-Z- 1'
ill T . I+Z-1
tg-tLe point de I'axe des frequences oU. la reponse du filtre numerique prend la
1
valeur V2 est bien /,.tel que ill, ~ 2re/"
1
( Itk
En posant : u ~ tg (re/,T) et Uk '" 2 cos --;; ) on obtient la foncti01) de transfert en Z.suivante pour Ie filt,re numeTique d~o rdre n impair ~
n -I
1 " Z- I
H (Z ) - ~______~---cc-=-<
- (1+ u) + (l-u ) Z 1
.'!:::i
~,
o
~
LI,
avec ,;
,
."••••
],
•o
o
-1 )
2k
Pour n pair. aveC,Uk = 2 cos-( It ~ • tl vienl :
o
•
!'
'1C
8o
"0
~
~
•
-g
(1 +Z-1)2
n
k=l at 1 + bt Z + b~ Z
2
H (Z) ~
I
2
(7.22)
~
II apparaYt ainsi que les zeros de la fonction de transfert en Z se trouvent 'taus
8' au point Z ~ - 1, ce qui peut simplifier la realisation du fillre. D 'autre part la fonc@
tion est ~o mpletement d6terminee par la donnee des deux parametres n et u.
7 e_ Les filtres a re-ponse impulsionnelle .infinie
212
L'ordre n se calculea partir du gabarit du tiltre. Soit a realiser un filtre dont 10
reponse en frequence soit supetieure au eg<\le a 1-8, dans la bande [OJ, ] et inrerieure au egale. a 8;, dans la bande ~"
~
1
En revenant a la fonctiOri modele FC 0)),.
ces contr-aintes impliquent les inegalites suivantes :
Pour 01 et 02 petits, on obtient Pexpression de n sl1ivante :
1
2103 (201) + log (8;,)
n ~-
log (0),) -log C"",)
.ce qui donne pour I'ordre N du tiltre numeriqu¢ correspondant :
10g[00~]
N '" log [tg (lt/"T)]-log [tg (lt/,T)]
(7.23)
,Une fois h chO'isi Ie parametre u dait etre pris-dHn~ l'intervalle:
)1
1
1
( 1
(20,)zn
tg (lt/2T) 02 n ~ U ~ tg (ltJ;T )
Ces parametres permettent de calculer H (Z).
Exemple
Soit Ie gabari! suivant, deja considere pour les filtres RIF;
0, = 0,045 ;
00 = 0,G15; I, = 1 ; 1, =Q,1725 ; 12 = ~,2875
on trouve N = 7,3; ia vaieur retenue est N ~ 8 et pour Ie choix minimal de· u it
vient ;
H (Z) = 0,00185
(;i. + Z-l)2
(If Z-l)2
1- 0,36 Z 1 + 0,04 Z 2 . 1- 0,39 Z '+ 0,12 Z 2
(1 + Z-l)2
(1 + Z-1)2
. 1-0,45Z "+0,31Z 2' 1-0,5SZ ' +0,69Z 2
La r.oponse en fr6quence obtenue est dorinee par la figure 7.3 et Ie temps de
propagation de groupe par la figure 7.4.
Quand la bande de transition du filtre ,·111 = 12 - 1, est suffisamment faible, I'expression (7.23") se simplifie comme suit:
(7.24)
7.2
Calcul direct des coefficients par les fonctions modeJes
213
Ainsi i'ordre du filqe est alors inversement proportionnei it la largem de I.
bande de tranSition, comme pour 'les fillres RIF. 11 seen ~l!it qUe I. selectivite reste
assez limItee en pratique.
Finalemenl les filtres de Butterworth 'sont faciles it calcuJ,er, des simplifications
importantes peuvent apparaltre dans leur rea'lisation en raison de 'la cmifiguration
des zeros et aussi dans certains cas des poles·, mais leur selectivite est beaucoup
plus faible que celle du liltre optimal que constitue Ie liltre elliptique.
H (f)
o,s
o
0,1
FJG, 7.3.
Reponse en frequenGe diu.n flUre de Butte.nvorth d "'o"rdte 8
."••••
o
0,1
•c
'FIG. 7.4.
Temps de,Ptopagation.de> groupe du filtre de Butterworth
0,4
o,~
t
T (t)
10
10
],
0,1
0,3
0,4
0,5
o
c
•
'1C
8o
"0
~
:; 7.2.4 les fi Itres elli ptiques
1i
~
§
o
"
Le liltre elliptique presente des ondulations en bande passante et en bande affaiblie. 11 est optimal en ce sens que pour un ordre,n donne et des amplitudes d 'ondu-
7 •. Les filtres a re-ponse impulsionnelle 1nfinie
214
lations fixees il presente Ia bande de transition la plus faible . La fonction modele
fait ;,ppel aux fonctions elliptiqlles ; elle s'ecrit :
,
1
'T ~ (u) ~ 1 + f!.zsnz (u, k,)
(7.25)
au y -= sn (u, k). est defini de fa,on implicite par la fonction elliptique incomplete de
pr,emiere espe'ce :
de
Are.siny
(1. =
f
--------co,
o
(l-kZsinZe):>:
(7:26)
Une representation de la fonction T 2(U) pour It ~ jm est donnee par la .figure
'7.5 ou sont indiques le~ parametres correspondant a kl tel que:
IT Ii'" )1 '
, k--..........,.-
~ 1---'''"''-----''"'-,\,
-'A.'
,
,,I
.....
- - - - - - ~- ~
--:;;-..:---
o
Pw,75.
Fonction .defiltrage elliptique
La fonction sn 2(m, k) "scille entre 0 et.L pour m < m, ·et entre
v'N-l
e
. et
l'infini pour m ." m,.
On montre que l'ordre n du fillre est determine a paTtie des parametres k, et
k, i.cteur de selectivite, tel que. :
par Pexpression ;
n=
K ( k)K(~)
K(k,)K(v'1="k2 )
7.2
215
CalGul direct des coefficients par les fonctions modeJes
au K (k) est l'integrale elliptique complete de premiere espece :
K ( k) ~
de
"2
Jo (1 - k" sin' e)z1
(7.27-bis )
Cette integrale se oolcule par 1a methode d'apprm;imation <iu polynome de
T chebycheff qui conduit a une errellr de I'ordre de 10-8 avec un polynome de
degre 4. La fonction inverse de l'integrale incomplete de premiere espece est .calculee par 'Ie qUQtient de deux series. rapidement convergentes.
Une expression simplifiee peut e tre obtenue pour l'ordre n du filtle partir du
gabarlt gen6ral donne par la figure 5.7. Avec l'hypothese d ' une onclulation en
bande passante comprise entre 1 et 1- 28" et les parametres suivants (fig. 7.5) :
a
il vient :
n=
22 . ln :(
"
,2",). [~]
co, In
82 V 0,
(7 28)
(il,
L.'ordre N du filtre numerique satisfaisant Ie gabadt de la figure 5.7 est alars donne
2 (2)
N= "cz .In ' Ilz~ . In
l
8 tg ("NI,)
(/3.\ ( 11)
tg " t;J- tg " /~
J
Generalement la bande de transition !J.I ~ 12 - fr est petite, et il vien!, en passant
aux logarithmes decimaux :
. [2]
4 sm. (2" 11)]
IlzVB, .log [I,
!J./, It·
f,
N = 1,076. log
'li
(7.29)
a
a
Cette expression est
rapprocher <ie la relation (V.32) pour les filtres
reponse
impulsionnelle
finie.
Ainsl pour les filtres; RJI de type elliptique, l'ordre
,
1ii
est propGrtionnel au logarithme de l'inverse de la bande de transition normalisee,
.•~ ce qui conduit ~ des valellrs beaucoup plus faibles que dans 1e cas des filtres RIF.
~ De plus, la relation (7.29) montre que la largeur de bande internen! : la valeur
~ maximale de Nest atteinte pour fl voisin de fe/ 4, c'est-a-dire une bande passante
c
g representant la moitie de la bande utile. Une simplification supplementaire peut
.~ etre obtenue pour Jes filtre s a bande passante etroite; dans ce cas l~ordre N' du
8o filtre est donne par :
~
"0
~
~
•
1ic
,
~
~
~ ] . log (~ , ~f )
N ' = 1,076 . Iog [ Ilz
(7.30)
et c'est la raideur de coupure qui intervient, comme pour les.filtres analogiques.
7 • Les filtres a re-ponse impulsionnelle .infinie
116
Une fois I'ordre du filtre determine, la procedure de caicul comporte la determination des poles et des z6roJ; cle T 2(u) qui presentent une dou,ble perioclicite
dall'lle plan complexe. Par changement de variable, puis application de la transformee- bilineaire on aboutit a la configuration des' poles et zeros dl1 filtre numerique
dahs Ie plan des Z [4].
Pour Ie calcul d'un filtre selon celte technique Ie gabarit est specifi6 par:
- L'amplltude crete a: crete des ondulations·en bande passante exprim6e en dB :.
BP ~ -20 log (1- 201)
- L ' amplitude des ondulations en bande affaiblie exprimee en dB par:
AT
~ 20 log ( ~)
- La frequence de fin de bande passante: FB.
- La frequence de debut de bande affaiblie : FA.
- La frequence d'echantillonnage : FE.
Exemple
Soit Ie gabarit donne au paragraphe precedent; BP ~ 0,4; AT ~ 36,5; FE ~ 1;
FB ~ 0,1725; FA ~ 0,2875. On trouve N ~ 3.3, la valeur reterrue est N ~ 4. Les
zeros et les poles.ant les affixes suivants (fig. 7.6) :
E, ~ - 0,816 + j 0,578
P, ~ -6,407 + j 0,313
Z, ~- 0,2987 + j 0,954
Pz ~ 0,335 + j 0,776
FIG . 7.6.
o
Poles et zbos d'un flltre elliptique
,
Pour faire apparaltre les pointes d'affaiblissement infini, la courbe
1
IH(t)1
donnant l'affaiblissement du filtre en fonction de la f[('quence est representee sur
la figure 7.7.
La figure 7.8 donne Ie temps de groupe du illtre obtenu. Les courbes sont a
comparer au;< reSllltats obtenus avec Ie filtre de Butterworth calcule sm Ie meme
gabarit; elles font apparattre un avantage important pour Ie filtre elliptique qui
demande un ordre.deu;< fois plus faible et apporte une reduction de complexite des
circuits dans la me-me proportiofi,
7.2
Calcul direct des coefficients par les fonctions modeJes
217
1
IH (t) I
. _l!_~
dB
50
40
30
20
0,
hzsJ
17
o
0,1
FIG. 7.7.
Fe 0,2
0,3
0,5
R,epollSe en frequence· d'unfiltre elliptique d' oTdl;e 4
10
5
o
0,1
FIG, 7.8.
."••••
],
•:5
c
0,2
0,3
0,5
Temps de gtoupe d'un flitTe- ellip'tique d'o'rdre 4
Les methodes qui ont ete exposees permettent de ca!euler des filtres passeba:s, a partir desquels il est possible d'obtenir des filtres passe'haut et passe-bande
par des transformations en frequence.
•
.<e
8o
"0
~
~
7.2.5 Calcul d'un filtte quelconque par transformation d'un passe-bas
•
-g
~
Leg. procedures de calcul presentees dans les paragraphes precedents conduisent a
8' une fonction R es) qui par transformation bilineaire fournit lafonctlon de transfert
©
en Z du filtre numerique. Pour s ~ jw la fonction Hew) est uile fonction de filtrage
7 • Les filtres a re-ponse impulsionnelle 1nfinie
21.8
passe-bas sur Ie domaine des frequences qui s\etenci de zero a rinfini. Ii est possible de lui appliquer des transformations qui conduisent a d'autres types de tiltres
[5]. Par exemple pour obtenir une fonction passe-bas dont Ia bande passante
s\ete:nd de 0 a O)~ a'partir d~une fanction done 1-a bande passante couvre'le domain'e
[0, ()),] il faut fi\ire Ia transformation :
En partan! d'un tiltre passe-bas dont Ia ba)1de passante est limitee a 1 on peut
obtenir les filtres suivants, en desigpant par COB_et CI.\I les limites inferieures et superieures de 1a bande passante:
- A titre passe-bas: s 4
s
ffi
H
cu.
- Passe-haut: s --> - Passe-bande : s -->
s
s2 + cu" cu.
(
)
scu,, - cu.
s( cu" - cu.)
- Coupe bande : s --> -0,2-"'---=
S + cu"",&
Ces transformations conservent 'les amplitl.lpes des ondulations de la r6ponse
du filtre mais arne-nent une deformation en frequence.
Une methode plus directe consiste a utiliser d?autres transformations q:ue Ja
tranSformation bilineaire pour 'aboutir a I'expression H (Z); par e"emple Ia transformation suivante permet d\)btenir directement un filtre numerique passe-bande
a partir d'une fonction de fillrage en s p~sse-bas .:
1 1-2cos.(rooT) Z-l +Z-2
l-Z 2
s~T
(7.31)
Pour Z = ej~T, i1 vient :
. 1 cos CP.loT) - cos (())T)
s ~JT
sih (())T)
(732)
Si la bande passante du filtre numerique s'etend de cu. a cu", il faut choisir Olo,
tel que les abscisses des points tran:;;formes soient egales en valeur absdlue et de
signe oppose:
cos (())oT) - cos (cu.T)
sin (OlsT)
,rOll :
cos (OloT) ~ cos (cu"T )
sin (cu"T )
7.3
Techniques iteratives
219
Cette approche evite d'afouter une etape daBS la procedure de c.lcul d'un
flltre passe-bande.
11 est egalement possible de faire appel a des transformations dans Ie plan des
Z qui conservent Ie cercle unite ; la plus simple est la transform~tion de Z en- Z
qui change un filtTe passt?-bas en passe-haut.
La transformation suivante OU (t. est un nQmbre reel :
Z-'-a
Z-l..., l-aZ'
(7.33)
change un passe-bas en un autre passe-bas. En fait on montre que la transformation la plus gen6nile a pour expression [51 :
K
Z-l..., ±
I1.
k=il
(7.34 )
avec lakl < 1 pour assurer la slabilite.
Par exemple un passe-bas est transforme en passe-bande par:
_
Z-2_C!, Z-1+a,
Z - 1 ..., - -=-,,----'----=-.-----ca"Z 2 - a, Z '+ 1
(7.35)
11 apparait ainsi que Fan peut calculer d'une maniere directe a partir de fonctions modeles tous les types de flltres. Cependant des limitations importantes interviennent d'abord parce que les o ndulations du filtre dOlvent etre constantes, par
exemple pour les flltres elliptiques, dans Ies bandes passantes et affaiblies; ensuite
les methodes exposeeS' ne permettent pas de ternr compte d'eventuelleg· Gontraintes
sur la reponse impulsionnelle. 'Pour lever ces lim.itations il faul faire apge! aux
techniques d'optimisation,
."!:::i
"~, 7.3
.."••
],"
TECHNIQUES ITERATIVES
POUR LE CALCUL DES FlLTRES RII
AVEC DES SPECIFICATIONS EN FREQUENCE
•c
o
~
'''-
Les methodes d' optimisation permettent, comme pour les fiUres RIF, Ie c&lc\ll d'un
8 fillre RII sur des specifications quelconques. Cependanl Ie calcul est un peU pIUs
o
] delicat dans ce cas car des precautions doivent etre prises pour eviter d'aboutir a
~ un..systeme instable.
-g
Deux methodes vont etre presentees qui correspondent a deux criteres d'opti5 misation differents. Le premier critere est la minimisation de FerreuI' .quadratique
~
o
©
[6] .
7 • Les fillres a ,,?pense impulsiennelle infini<;
220
'7.3.1
Minimisation de I'erreur quadratique
La fanction de transfert d'un filtre est donnee SOllS forme factorisee par l'expressio)1 introduite prececiemment :
,..
1 + a~ Z '-- il -t' a~ Z ~2
1 + hil Z -1 + b~ Z -2;
ao> 0
(7.36)
en considerant que Ie numerateur etle denominateur sont de meme deg.re N pair.
Soit D(I) la fonctipn it approcher par la reponse en frequence du fillre HCt);
Pee art entre ces fenctions fepre-sente- une errel,lf qu'il est possible de mini miser au
sens des rnoihdres carn~-s, en un nombre de points, egal a No, de l'axe de$ frequences; 'il vient alors :
La valeur E est fOIl,ction d'un ensemble de 2N + 1 parametres, qui sont ies
coeffi~ients du 'filITe :
ayec.
N
1 ~ i '>S. 2
Le minimum cprrespona al'ensemble des valeurs des 2N + 1 patametres xk tel
que :
Pour Ie parametre ao il vient en posant H (Z) ~ aoR, (Z)
D'DU la valeurdeao :
No -1
n~olD ([nl lt H , Ctn) 1
tJo =
No-l
(7.37)
1: IH, (In)[2
n =0
Le probleme'd'optimisation se trouve ramene a2N variables.
La procedure consisle a partir d'une fooction H~(Z) initiale., fournie par
exemple par la methbde de calcl1! direct des filtres elliptiques donnee au paragraphe precedent, et asu,pposeT que lIon se trouve suffisamment pres de l'optimum
pour que la fonction E puisse etre assimilee a une fonction quadratique des 2N
73
Techniques iteratives
221
parametres X}c Alors Poptimum cherche est fourni par un ac-croisselnent des parametres donne par Ie vecteur ~ 2N elements AX tel que',
2N BE
1
E (X +AX) = E(X) + L -a-!u;k + -2
k=l
Xk
~N
2N
L L
k=l /=1
En desjgnant par A la matrice a 2N lignes et a No colonnes qui a pour elements :
et par A Ie vecteur col'Onne aNo tertnes em tels que:
La condition des moindres carn~s est obtenue en ecrivant que Eex + AX) est
extremum. Comme au panlgraphe 5.4 pour Ie calcul des coefficients aes fillres RIF,
il vient :
La methode consiste ens\lite a reiteTer Ie calcul avec les nouvelles valeurs des
parametres, ce qui ooit conduire l'optirrtum c'herche. Les chances d'atteindre ce
but et la rapidite de la methode dependent des accroissements donnes am parametres; la meilleure strategie est sans doute celle qui est fournie par I'algorithme
de Fletcher et Powell [7].
Pour s'assurer de la stabilite du systeme obtenu on peut contr6ler la stabilite a
chaque etape au madifier Ie systeme obtenu en re!11plac;ant les poles Pi exterieurs
a
au cercle unite par 1 ~ ce q:ui pe modifie pa.$le module de la reponse en frequence
Pi
,o
a une constante pres. Dans ce deTnieT cag. it faut en general reprendre la procedure
d'optimisation pour aboutir al'optimum.
La minimisation de 1'erreur quadratique moyenne peut etre appliquee a
d'autr.e s fonctians que la reponse en frequence, par exemple Ie temps de propagation·de .g roupe [8].
."••"
~ 7,3.2 Approximation au sens de Tchebycheff
•o
o
~ Ce ccitere correspond a une limitation de 1'amplitude des ondulations .de la
S
reponse en frequence du filtre dans certaines plages de frequence , ce qui est Ie cas
o
] Ie plus comant.
;
Une methode eleganteconsiste a faire appel a.l'alg0rithme utilise pour le .calcuI des coefficients des filtres RIF a phase lineaire, l'algorithme de R e mez.
La technique de calcul consiste a partir d'une fanction de filtrage initiale J-L, (Z)
proche de la fonction H (Z) chercMe. Cette f,mction peut etre' par exemple de
'D-
222
7 • Les filtres a flaponse impulsionnelle infinie
type elliptique et avoir ete caicui';e par la methode du paragraphe 7.2.4 en utilisant
un gabarit adapte; elle ~'ecrit :
Les zeros des fo.nctions de filtrage etant en general sur Ie cercle unite, Ie
numerateur N (Z) peut etre considere camme la fonclian de transfert cl'un filtre
RIP a phase lineaire.
La premiere €tape de la technique iterative consiste a calculer une npuvelle
valeur du nUrnerateur, N j (Z), par l'algorithme dann6 prececlemment. Dans ce call
cuI Do(t) est la fonction a approcher en balide passante et IDoU)1 est lltilisee
comme ponderation.
Ensuite on recherche une nouvelle valeur du denaminateur Dl (Z). On peut
chercher directement une fonction ql!i approche IN j (f) I dans la bande passante en
utilisant Ie prOgramme de calcul de filtre RIF. Une methode plus sat[sfallianle
cOl1siste autiliser une adaptation des techniques de calcul des flUres analogiques.
En suppasant que 1a fanctian cherchee H (f), 'lui s'6crit :
N(!)
H(f) ~ D (f)
sOJt telle que :
on peut poser :
et II vient :
La figure 7.9 represente les fal)ctians IG (1)1 et IN (1)1 dans Ie cas a'un filtre
passe-bas.
Les zeros de la fanction G (Z) sant sur Ie cerele unite et, pour la calculer, on
peut utiliser une procedure. basee sur un programme de calcul de filtre· RIF. La
I
[anclion de panderalian est detell11inee a partir de IN (1)1 '
ED aptimisant airisi alternativel)1ent en ban.de aifaiblie et en banqe passante,
on abou!i!, en quelques, iterations a la fanctian de filtrage cherchee.
Les coeffiGients du filtre sont ensuite obtenus en ne conservant pour H (Z) que
les poles qlli sont it l'inte"rieur du cerele unite, afin que Ie fillre sait stable.
7.4
Filtres bases sur les fanctions spheroiaales
213
IG (I) I
VIG 7 .9, Fonctwns N(f) et G(j) p;JUr un filtre passe-bas
L,
La figure 7.10 montre un mtre de VOle telepho.nique qui a ete caleule en utilisant celie methode. Des techniques d'optimisation plus gener-ales peUvenl aussi
conduire au filtre cherche, notammen! la programmation lineaire [3].
1
IH (Ill
de
0,9235 +j 0,189
30
,
I
I
;:1
I
I
20
-0,1.515'
0,7326
,I
I
I
,
0,1.
I
I
I
I'
.'•••"•
I
o
],
•c
1000
2000
1.000 f H,
FIG . 7,10. Filtre calcule par une teGhnique iterative
o
c
•
'1C
8
~
~
7.4
•
-g
Au lieu de chercher a approcher un gabarit ou une fonction, Ie critere de calcul des:
@
baude de. frequence.
FlLTRES BASES SUR LES FONCTIONS SPHERO"iDALES
~
~
8 coefficients peut etre la maximisation de la concentration de l'energie dans une
7 • Les filtres a flaponse impulsionnelle infinie
124
Soit A. un scalaire representant cette concentration et dMini par Pexpression ;
1
'A~ rIC H(I) H(I) dl/f'lH(I) H(I ) dl
(7 .38)
2
au [- 10' j,] est la bMde dans laquelle on cherche .a concentrer l'energie.
Pour:
p
H (I) ~
L
ane- j2rr'j"n
n=-P
il vient, par calcul direct:
(7.39)
Ou encoresous forme matricielle:
C'est une equation aux valeurs propres et les coefficients du filtre sont les elemepts du vecteur propre associe a la plus grande valeur :propre de la matrice car:...
sin(n -m)2rcIG
ree R. dont les elements sont les termes
(.
. )
-
"
n-m -n:
Les elements des vecteurs prop res de I. matrice R soht "ppeles s equences
spheroid ales [9].
Unfiltre RIF a ainsi ete obtenu. Il est egalement possibLe cI:obtellir un filtre
RII. En eITet, soil Ie filtre purement recursif tel que:
[H(I)[2 ~
N
1
1
2
+[ :nL 1b ei2ntn [
=
tJ
pour lequel les coefficients sont caJcules de marne-re a nrinimiser l'energie du
cienominateur dans la bartde [- I,,f,], sous la condition JH (toll 2 ~ ~ . Alars Ie caleul
precedent peut etre reconduit, en caleulant les coeffi.cients Qn (1 '" n '" N ) a partir
des elements du vecleur propre associe a la plus petite valeur propre de la malrice
spheroidale. D'abard Ie [acteur d'echelle du vecteur propre est choisi tel que· :
IH (t)12 ~ ~. Ensuite on Qalcule les poles de l'extension analytique de [H (1) 12 et Ie
fil\re H (Z) est obtenu ·en ne conservant que celjX qui sont a l'interieur du cerCle
unite, pour fournir un filtre stable.
Les calculs peuvent etre simplifies par I'utilisation de procedures it~ratives et
l'exploitation des propri6tes de la matrice sphetoic\ale [9].
7.5
Les structures representant fa fonction de transfert
215
Exemyie:
Soit:
Le veeteur'propte minimal V min s'ecrit:
V~'n '" [1,0
~ 2;773
- 2,773
1,0]
S1 T d6signe l'a matrice dont les elements sbnt Ies terp:;les' ej21tfc(n ~ nt) avec 1 ~ n,
m '" N, Ie f""teur d'6chelle correspond ant ,al'egalite Yin'n TVmin ~ 1 a pour valeur
10,46,
Apres factorisation de l'extension analytique H(Z) H(Z-l ), I. fonction de
transfert du filtre obtertu est 10 suivante :
00704
H(Z) ~ (Z _ 0,73 + jO,446) (Z ~ 0,73 - j 0,446) (Z - 0;'141)
La methode de calcul , presentee ,pour Ie filtrage passe-bas, s'etend -au cas des
fillres passe-bande,
7.5
LES STRUCTURES REPRESENTANT
LA FONCTION DE TRANSFERT
Les filtres RIl peuvent etre realis'6s par des circuits qui effectuent directement les
operatfons representees dans l'expressjon de leur fonctIon de transfert. Le terme
Z-1 correspond a. un retard d~une periode d'echanti1lonnage, realise par une mise
en memo ire ; 'les coefficients a mettre en reuvre dans 'les -circuits 'sont eeux de Ia
fonation de transfert, avec Ie meme signe pour Ie numerateur et Ie signe oppose
pour Ie d6nominateur.
Seules. les structures canoniques, c'est-a.-dire celles qui demandent Ie minimum d'operateurs e lementaires, circuits de calcu1 et memorres, sont ~xaminees .
.'!:::i
'ii. 7.5.1
les structures directes
]I Elles correspondent a une realisation globale de la fonction de transfert en Z, So it
.•~ arealiser Ie fi1tre purement re9ursif de fonction de transfert :
~
~
c
,~
8
1
H(Z)~ - - N - i
l+LbZ1
i=1 -
o
"0
~
~
.'l
1i
"
o
@
Un nombre de 1a suite. de sortie y (n) est obtenu a partir des nQm:bre~ de la
suite d'entreex(n) par la relation:
N
y(n)~ x(n)-
L- b;y(n- l)
i=l
7 • Les filtres a reponse impulsionnelle infinie
226
qui clonne les operations aeffectner clans la realisation du filtre. Le sehemacorrespondant e&t donne par la figure 7.11. Le circuit comprend N memoires de donnees
poUr stocker les y (n - i) (t ~ 1, ... , N) . Le caleul de dhaque element de la suite de
sortie necessite N multiplications el N additions.
• (n)
} - - - - . - - - y (n)
--_._y (n-lj
FIG. 7.11. Cireuit de filtre purement recur-sit
Un filtre RIT general peut etre considere comme la mise en cascade d'un filtre
p\lfement recursif et d'Un filtre RIF. Quahd Ie numerateur et Ie denominateur de
la f,mction de transfert sont de meme degre, le circuit obtenu est celui de la figure
7.12. II correspond a la fonclion de transfert en Z sulvante :
.
N
La.Z-;
j
=9 I
H (Z) ~ --oc; - - N
1+Lb.Z-;
j= 1
!
Comme Ie denominateur est caleule en premier, la structure est dite D-N.
L'ordre des operations. pel,l.t etTe inverse et Ie numeratettr oalcule en premier,
La structure dite N-D se deduit de la precedente par une transposition; elle est
donnee par iafigure 7.13. Les nombres stockes dans les memo ires sont des somrnes
partielles. Une particularite ihteressante est que chague nombre yen) ou xen) est
multiplie par tous les coeffioients sllccessivement, ce qui peut simplifier la mis,e en
·",uvre dela multiplication ..
Comme les cellules du seco.nd ordre, ces structures pel.!-vent et-re d6crites par
les equations d'etat (4.34) et (4.37), en introduisant les variables ui (n) et v;(n) avec
1 :-:; i~N ,
7.5
227
Les structures representant fa fonction de transfert
FiG. 7.12.
• (n!.
FIG.7. l l
Filtres RJl e.n stmcture. directe D-N
yIn)
Filtre RII en structure dire'ete N-D
7 • Les filtres a n§ponse.impulsionnelle infinie
228
La matrice du systeme A sleerit :
-b,
o
1
(7.40)
o
De meme it vient :
1
o
o
B=
a
o
C'= (a, - aob ~ -aob2 • • .• , aN - aob N )
"
En pratique les structures directes sont peu utilisees car elles presentent des
diffiCu1t;;s de realisation, liees a 1a limitation du hombre de bits des coefficients, qui
conduisent apreferer les structures decomposees.
7.5.2 les structures decomposees
Au lieu de realiser H (Z ) directement, on peut effectuer une decomposition en
,somme ou produit de fonctions elementaires du premier ou de second ort;lre reaiisees'separement.
La decomposition en produit correspond a 1a structure cascade ou.Ie filtre es;i
realise par une suite de cellules du premier et du second ordre :
I
N
,I], (1_Z,Z-1)
H (Z) ~ ao N
IT (1- Pi Z - 1 )
f =l
l -ZZ-1
= "0 " " .
p' 1
1- .Z
(7.41 )
,
-
1-2Re(Z;)Z-1 + IZi l ~ Z- 2
1- 2Re(Pj )Z 1 + I Pj l2Z 2
Celte structure est 1a plus utilisee car el1e presente, en plus de sa modu1arite
des caracteristiques avantageuses de faible sensibilite aux arrondis des coefficients
et au bruit de caleul.
La fonction H (Z.) se decompose a..ussi ~n ftactions rationne)]es; i1 vient :
(7.42)
7.5
Les structures representant fa fonction de transfert
229
La realisation corresponci it la mise en paralJe1e de M celiules elementaires
camme indiql!e sur la figure 7.14.
yin)
Fm , 7.14.
Struct}1re'paraltele
Les nombres yen) son! obtenus par sommalion des nombres isus des differentes cellules auxquelles sontappliques les nombres tren!ree x (n).
L,e ehoix entre ces oifferentes forn'le:$ oe realisation est cQnoitionne par les
faoi1ites de mise en ce-uvre par 1es incidences de la limitation du nombre de bits
dans 1;;1 representation des coefficients sur l~s caracteristiques du mtre re;;tlise et par
la puissance du bruit de calGul produi!.
1
7.5.3
Structure a base de dephaseurs
Les fanctions de transfert de type Butterworth, Che.bycheff oil elliptiq)le peuyent
se decomposer en une somme de .deux dephaseurs [:LO]. Pour une telle f011ction , it
vient:
H(Z) ~ N(Z) ~ ~ [A, (Z) + A, (Zl]
D(Z) 2
.'ijj
§
(7.43)
ou A, (Z) et A, (Z) son! des fonGtions de tramfer! de dephaseurs.
Le caleul de A, (Z) et A, (Z) it partir de H (Z) fait intervenir 1" fonction
~ cQmplementaire G (Z) ~ ~ ~~i telie que :
],
(7.44 )
•
c
o
c
.~
On suppose que 1a fanGtion de depart H (Z) est tene qlle N (Z) est Un poly-
§ nome symetrique et M(Z) est antisymetrique, c'est-a-dire :
"0
~
(7.4~)
~
•
1i
~
§
o
@
Dans Ges Gonc\itions, il vient, en Gombinant (VII-44) et (VII-45) :
N(Z)N (Z) +M(Z)M(Z) ~D (Z)D(Z)
(7.46)
7 • Les filtres a reponse impulsionnelle infinie
230
et
[N (Z) + M(Z)] [N (Z) -M (Z)] ~ Z-ND (Z-l ) D (Z)
(7047)
On pem remarquer que les zeros de N (Zi) + M (Z) et N (Z) - M (Z) som
conjugues harmoniques, et que ce sont les zeros de D (Z) et leurs inverses.-En designa1)t par P; (i ~ 1, ... , N) les poles du filtre, done les zeros de D (Z), on peut ecrire,
aune constante pres:
,
N
/ =1
1='+1
N (Z) +M(Z) ~ II (1_Z-1P; ) n (Z-l _P;)
(7.48)
e.t
N
7
N (Z) -M ( Z) ~n (Z-Lp; )
j=l
II (l_Z-lP;)
i=r:+l
au r estIe nombre de zeros it l'interieur du cercle unite pour Ie polyn6me N (Z) + M (Z).
En divisant par D (Z), on obtient:
N
. II (Z-l_ P,)
H (Z) + G (Z) ~ '_~_n_"_ __
(7.49)
II (1_Z-1P,)
.I=r+.1
et,de meme
,
n (Z-Lp;l
H(Z)-G(Z)~ '_~_'- - -
,
(7.50)
Les dephaseurs A, (Z) et A 2 (Z) ont les expressions suivantes :
(7.51)
Finalement, Ie filtre H (Z) et son complement G (Z) sont obtenus par Ie
schema de la figme 7.15.
x(n)
A.,(Z)
FIG.7.15.
Realisation d'un filtre RI! et dufiltre comptementaire par un c:ouple de dephaseurs
7.. 6
Limitation du nombrede bits des coefftcients
2]1
La procedure generale pour Ie caleul des dephaseurs a partir d'un filtre elliptique par 'exemple est la sllivante :
- Cakuler une. fonction de transfert H (Z) ~ ~ ~~~ de filtre. ellipJique d'ordre,
N impair.
- C(l.lculer les coefficients du polyn6me antisymetrique M (Z) a partir de N (Z)
et D (Z) en lItilisant (7.46).
- Determiner les inverses des poles de H (Z) qui sont des racines du PQI)!nomeN(Z)+M (Z)
- Calculer A, (Z) et ~ (Z) par la relation (7.51).
Une approche simplifiee, quand }'ordre Nest peu eleve, consiste arechercher
dir.e ctement A, (Z) et Az (Z) par cambinaison des poles. Ainsi, pour:
H (Z) ~ 0,05:46
1 + 1,8601Z- 1 + 2,9148Z - 2 + 2,9148Z- 3 + 1,8601 Z-4 + Z -5
(1-0,4099Z ') (1-0,6611Z '+0,4555Z 2)(1-0,4993Z '+0,844SZ ' )
il 'Vient :
A (Z ) _ 0,4555 - 0~6611Z-1 + Z-2 .
1 - - 1-0,6611Z-1+0,4555Z 2 '
A (Z) ~ (- 0,4099 + Z- l) (0;8448 - 0,4993 Z-l + Z-2)
2
(1- 0,4099 Z ')(1_ 0,4993 Z 1 + 0,8448 Z 2)
..
ow
~
La structure a base de depha:$eurs est int6ressante car elle fournit de~ filtres
complementaires avec les memes calculs, ce qui est utile dal\s les banes de filtres,
comme indique aux chapitres 11 et 12. De plus, elle .est mains sensible que les
autres structures aux arrondis des. coefficients.
II est remarquable d'observer que les filtres decomposables en somme de
dephaseurs sont entierement definis par leurs poles.
En fait, la realisation en somme de dephaseurs de la figure (7.15) est la realisation la plus effie ace pour un filtre elliptique, puisqu'elle uecessite un nombre de
multiplications egal a I'ordre du filtre.
,o
"•
·31
],"
7.6
LIMITATION DU NOMBRE DE BITS DES COEFFICIENTS
•5 La. nilse en reuvre des bperations de filtrage implique la limitation du nombre' de
o
.~
bits des coefficients du filtre qui constituent un des termes des multiplications.
8o L'incidence sur la complexite. est importante car la multiplication est souvent Ie
] facteur Ie plus critique. II faut done rechercher Ie nombre de bits minimal qui per~ mette de satisfaire alix contrainte:$ imposees ala fonction de filtrage.
-g
La limitatIon du nombre de bits du faoteur d'echelle ao se traduit par une
8' modification du gain du filtre;, mais n~aifecte pas la forme de la reponse.en fre@
quence. Le gain du filtre €tant specifie avec Une certaine tolerance aune frequence
~
7 • Les filtres a reponse impulsionnelle infinle
232
donnee, par exemple 800 Hz pour une voie te1ephonique, ;1 faut s' assurer que la
representation binaire de ao permet de $atisfaire cette cbntrainte.
La limitation du nombre de bits des autres coefficients modifie la fonction de
transfert en introduis'a nt des polyn6mes parasites eN (Z) et eD (Z) au numerateur et
'all denominateur, On a en fait 1a fonctian de transfer! HR (Z) teJle que :
H (Z) ~ N (Z) + eN (Z)
R
D (Z) + eDCZ)
(7.52)
Si I'on designe par oai et Obi (1 '" i '" N) les errenrs d'arrondi faites sur les
co~fficjents, ces fanctions parasites s~ecrivent en fanction de la frequence normaii-
see (f, ~ 1) :
N
N
"" (I) ~ L Oai e- j2rrfi;
eD (I) ~
L Obie-j2rrf i
i =l
j= l
.
En fait ces expressions constituent les developpements en serie de Fourier de
fonctions periodiques de 1a frequence. L'ega1ite de Besse1-Parseva! (1.7) qui relie
la puissance d'un signal a celie de ses compos antes permet d 'eorire, si I, ~ 1 :
'
f
N
)eN (1),12 d/~ i~l loail'
Si q designe l' eche1on de quantification:
et 1111e borne est dbtenue pour leNU)1par :
ieNU)i '" N ~
(7.53)
Une estimation statistique (j de leN(f) 1peut etre obtenue en tonsiderant les
oai comme des variables aleatoires uniformeme)1t reparties sur l'intervalle [- ~, ~
Elleest eva1uee a partir de la v-aleur effieace de 1a' fonction eN (f). II vien't :
0 2~
'
f
Q
1
2
ieNU)1 2d/~ N 'L
12
D'ou :
(7.54)
Cette e&timation est valable a la fois pour leNU)1et leD (/) 1~ elle est nettement
ihterieure a la borne (7.53) donnee d-dessus et en fait beaucoup plus proche de la
realite, des que N depasse quelques ·unites.
Les consequences de. l'arrondi de& coeffic!'ents peuvent etre analysees sepan~­
ment pour Ie numerateuT et Ie denominateur de la fonction de transfert, en considerant 1a bande affaiblie d'une part et la bande passante de t:an tre. En effet en
examinafit la configuration des poles et des zeros dans Ie pl&n des Z, on observe
7.6
233
Limitation du nombre de bits des coefftcients
que les poles determinent la reponse du filtre en bande passante et les zeros en
bande affaiblie.
- En bande affaiblie, Farrondi des cpeffioients du denomJnatellr peut etre
neglige et, avec comme VaTiable ro=2rrf; il vient:
HR ()
ro =
N(ro) + eN(ro)
'ID (ro)1
L'erreur sur la r6ponse est alors estin'lee par:
Si Ie gabarit impose que les ondulations en bande affaiblie soient inferieures
en module a 0" en partageant la tolerance en deux parties eM!es, l'une pour les
ondulations en l'absence d~erreur d~ aITondi sur les coefficients et Falitre pour tenir
compte de l'erreur due acet arrondi, 'il vient:
(7.55)
- En bande passante, l'arrondi des coefficients dt! nurnerateur peut etre neglige :
.
N(ro)
N(ro) [
eD(ro) ]
HR(ro) = D(ro) +eD(ro) = D(ro) 1- D(ro)
(7.56)
a
Si les-ondulatio ns en bande passante dOlvent etre inf6rielires e n module 01'
l'ineg<;tlite suivante doit etre verifi6e, en partageant encore en deux parties 6gales
la tolerance :
a
Ii,
-- < ID (ro)1
2
(7.57)
Cette condition est en general beaucQUp plus cantraign;mte que la precedente
car la fanclian ID (ro)1prend en bande passante des valeurs tres faibles, d'autant
plus que Ie filtre est plus selectif. De plus, quand la bande passante est ~troite, les
coefficients peuvent prendre des valeurs importantes. Pour un passe-bas comme
celui de la figure 7.16, on peut ecrire ,
D(Z) = [l-Z-l]N'
FIG. 7.16.
Poles et zeros d'un'passe-bas etro if -+---,o¥_c--ci:-+;--<~
7 • 'Les filtres a reponse impulsionnelle infinie
134
et par suite ;.
Nl
b i "" t.'I(N- t') .1
(7.58)
Dans ces conditions il faut un tres grand nombre de bits pour PQuvoir a la fois
representer les grandes valeurs des coefficients et faire 'une erreur de quantification
tres faible . Clest pourquoi on utilise presque exclusivernent les structures decom-
posees faisan! appel a des cellules du premier au du second ordre.
Considerons d'abord la structure cascade correspondant a la decomposition
(7.41) de la fonction de transfert qui, si l'ordre N du filtre est pair, s'ecrit :
N
IT
H (ro) ~ N ero) ~
Ni Cro)
.
D Cro) i ~j Di (ro)
el au les po1yn6mes Ni (ro) el D i Cro) sont du second degre.
En baRde passante, il vient, si l'arrondi des coefficients des polynomes Nitro)
est neglige :
N
H
ro ~ 2
Ni (co)
R( ) - [I, Di (ro ) +BiCro )
o u e.heare :
N
N (ro) [
2 eiCro) ]
HR(ro) = D (ro] l- i~l Di Cro)
(7.59)
Or, d' apres (7.53') on a :
lei(ro)
I ""
q
el l'erreur relat ive globale e( ro) sur la reponse eldreqllen ce se trouve bornee par :
N
2
1
Ie (ro)1"-;; q. i~' ID,((Oll
(7.60)
Cette expression met bien en evi'dence Favantage de la structure d€composee
puisque la. borne de l' er-reur est proportiannelle a:
N
2
1
i~l ID,(ro)1
au liell d' elre, d'apres.(7_S6]., proportionnelle a:
N
'2
IT
1
i~ l IDi (ro )1
De plus la valeur absolue des coefficients du denominateur ne peut depasser 2
pow que Ie filtre sait stable.
7.7
Nombre de bits des coefficients 'en structure cascade
235
Avec la structure parallele, egalement en bande passante, on a ;
N
N
H(CQ) =
±
N;(m)
,' ~1 D;(m) +e;(m)
""
Compte tenu du fait que les termes I
±
N; (m) [1- e,(m)]
Di(m)
j ~ l D;(m)
~:i:~ I ne sont pas tres differents de
l'unite, rerreur faite o.ans ce cas e$t voisine qe ce11e qui e$t faite Hvec la structure
cascade.
En bande affaiblie, on obtient pour la structure caseade, en dehors des fr"'·
quences d'affaiblissement infini :
N
N
n Ni(ro) +ei(ro) -~ N(ro) [ 1 + ~ ei(ro) ]
( ) i~l
Diem)
D (m)
'~1 Ni COl)
HR m -~
2
L.
.
(7.61 )
Et pour la structure parallele on peutfaire I'estimation :
N
)
N
N
.~ ~ N;(m) * e,(m) _ ~ N;(m)
H R' (9l-~
i~l
Di(ro)
- ~
~ e,(m)
. =f- """
i~l D;(m)
i~l Di(m)
ou encore
N
N
±
IT
HR(ro) = Nem) [1 +
ei(m)
Di em) ]
D(m)
i~l NiCOl) i~l N,(m)
i
(7.62)
'* 1
En faisant la comparaison entre (7.61) el (7.62), on remarque qlle les
N
termes Ci.i ~
~
~
~
•
.~
•
D (m)
. .
n* N'(
) peuvent prendre, en bande affmbhe, des valeurs beaucoup
2
'1
j=l
i
. ill
1
plus grandes que I'unite, par exemple au voisinage des Zeros du filtre; it en resulte
que la ·structure parallele est "jJlus sensible aux erreurs d1arrondis que la structure
casoade dans 1a bande affaiblie,
Finalement la structure cascade est celle qui permet de representer les coefficients des filtres RII avec. Ie nombre de bits Ie plus faible, c' est Ta pIus utilisee.
ii,
•c
o
c
.~
8o
"0
~
7.7
NOMBRE DE BITS DES COEFFICIENTS
EN STRUCTURE CASCADE
~
•
-g Pour faire apparaitre des formules simples donnant Ie nombre de bits necessaire a
~
§
o
@
la representation des coefficients d'un filtre passe-bas realise en structure cascade,
11 faut d'abord rappe1er un certain nombre d'obsetvations fartes precedemment.
7 • Les liltres a naponse impulsionnelle infini~
236
D'abard la fonction de transfert H (Z) d'uj1 filtre ellipfique s'ecrit :
N
1+a ; Z-1+Z-2
2
.
'~1
0 l+biZ
H (Z) ~ I1 a' ~~'c-co~~
(1.63 )
'+b~Z 2
D'apres les re-suItats du paragraphe VI,5, l'arrondi des coefficients a{ amene seulement un deplacement sur T'axe des frequences de la pointe d'affaiblissement lnfini
correspond ante du filtre. Dans Ie caleul il est possible <I' en ternr compte et ainsi
I'effet de I'arrondi des coefficients du numerateur de la fonction de transfert en Z
se trollve, minimise. Par suite c'est generalement Ie denominateuT de la fanction
H (Z) qui impose Ie l).ombre de bits des coefficients. Les poles de cette fon,tion
doivent rester a 'Finte-rieur du cerc1e l.!n'ite dans Ie plan co.mplexe et, camme indique au paragraphe 6.5, la limitation a b, bits par arrondi correspond pour les coefficients a une quantification avec.'un echelon q tel que :
(7.64 )
Le nombre de bits be inclut Ie signe. L'erreur qui re-suite de cet arrondi sur 1a
reponse en frequence est bornee par.1a relatiol) (7.60). En general, comme indique
au debut de ce paragraphe, Perreur e( co) est nettenlent inferieure a eette borne et
pour obtenlr une estimation reali'ste il faut faire une evaluation statistique. Par
analogie avec la distrioution gaussienne"oll Ie rapport entre la valeur de crete et
Pecart type est vOIsin de 4, on peut ecrire :
N
q
1
2
Ie (00)1 = 4 '~1 ~
ID~,('oo")1
(7.65)
Les valeurs les plus raibles pour les. termes ID,( (0)1 sortt atteintes en bande passante au la limite a considerer est 01' Si 010 deSigne l'amplitude des ondulations du
filtre avant limitation du Rombre de bits de~ coefficients il faut que:
le(oo)1 '" 01-010
et par suite, compte tenu de (7.64) et (7.65) il faut chQ'isir b, lei que:
N
~
b, = log 2 ( ~ -8
1
) + log 2 ( Maxi ID
)1)
O~(i)~1t t=l
j CO
10
(7.66)
Parmi les ~ cellules du second ordre, la plus importante pour l'esti'ination consideree est celle qui a les poles les plus proches du cercle unite et dont Ie gain a la
resonance prend la valeur la plus elevee. Soient r et 81es coordonnees, polaires des
poles de cette cellule, d lapres la relation (6.29):
1
1
1
Hm~ O~ffi"!" IDi(m)1 ~ (l-r)' (l+r)sinS
7.7
237
Nombrt; de bits des co'efficients en structure cascade
D 'autre part, la 1argeur de bande a 3 decibels B3 de celte cellule est donnee par la
relation (6.30) ~
1-r
B3~ --.f,
TC
.
Or :il existe, dans les illIres a grande selectivite en particulier, une .relation
directe entre la largeur de banr;le Bs de cette cellule et la bande de transition du
filtre Af; l'appI'9ximation suivante peut ~trefaite:
At= 3B,
et par suite:
Af
1 - r= -
(7.67)
f,
Compte tenu au fait gu'il est generalement possible d'approcher 8 par 2TCfif"
il vient ;.
t;
1
(7.68)
Hm '" At' 2 sin (2TCf,if,)
Pour les autres celli,lles l~amplitude ala resonance est nettement plus faible et
on peut raisonnablemenl faire Fapproximation supplementaire suivante ~
N
Et finalement :
b, "" log 2 (
~
~ 15 ) + log 2 [ {'r 2 sm. (1 f)]
l
10
(7.69)
2TC
Si la tolerance 0, est partagee entre les ondulations du filtre avant arrondi des
coefficients et les ondulations supplementaires dues a cet arrandi, Oro ~
."•••
],
•c
o
b,
= log 2 (~ ) + log 2 ( {f) + 'log 2 ( . (1 J;))
1
SID
o
d,il vient :
(7.70)
21t----.:!:
f,
.Gette expression est a rapprocher de (5.46) pour les mtres RIF. La bande de tfansitton normalisee ccmtribue a augmenter be et ies filtres RII demandent en general
ii un p'lus grand nombre de bits pour la representation des coefficients que les. filtres
:;- RIF. De plus ce nombre de bits crolt guand la bande passante diminue .
...J
Les estimations ci-dessus ont 616 faite~ avec }lhypothese (rune limitation par
1i§ arrondi. Pour la reponse en freguence HR (co) d'un filtre, ce gui importe Ie plus
~ c'est Ie comportement des pol)'1lomes parasiles ei(m) au voisinage imme-diat des
~
l
~
7 • Le.s filtres a reponse impulsionnelle infinie
238
frequences qui minimisent les Dj(ro), comme Ie montre la relation (7.59). En pratique il se peut que l' on tr01we des configl!rations de coefficients quantifies qui
donnent des resultats meilleurs que Farrorrdi. Ces configurations qui peuve-nt
conduire a des valeurs de' b, inferieures de p\l1sieurs unites a I'estimation (7.69),
pellvent etre atteintes par exemple par une recherche systematIque au voisinage de
l"Hrrondi.
7.8
BRUIT DE CALCUL
Dans la realisation des filtres RII, unC" autre limitation intervient, ceUe qui porte
sur la capacite des memQires de donnees et qui est a l'origine du bruit de cateul.
L ' analyse correspondante va etre faite dans Ie cas de la structure O-N, mais les
memes raisonnemenfs s'appliquent a la structure N-D. Bien que cette- structure
possede des avantages specifiques" lies principalement au ca.leul des sommes parhelles et arenchainement des multiplications, c;est la structure O-N qui est la plus
utilisee car e-lle est en general plus facile a conce-voir, a meUre en ceuvre et a
verifier.
En presence d'un signaJ, c'est-a-dire pour des valeurs non nu11es de X (n) ,
l'qperation d'arrondi avant mise en memoire avec Ie pas de quantification q, esJ
equivalente a la superpo~ition au signal d'entree d'Ul) signal d'erreur een) tel que
q
, ,
'f
d'
2
q2
1e ("n )1 ~ "2' suppose a spectre um orme et e puissance : (j = 12'
5i d'autres arrondis interviennent, p"ar exemple dan~" "les multiplications, il
appayalt clairement que les signaux d\erreur produits sont a ajouter soit au signal
d'entree. soit au signal de sortie $wvant qu"'ils correspondent aux coefficients de la
partie recursive ou non recursive, comme Ie montre la figure 7.17. Par suite pour
simplifier ranalyse, seul Ie cas de la quantification unique est considere, etant
donne qu'i! est touJours possible de se ramener facilement a ce cas en modifiant la
puissance du bruit injecte.
Le signal d'erreur applique a l'enlree du nitre subi! la fonction de filtnage et la
puissance du bruit de caleul en sortie s' ecril:, e1), appliquant la relatioH (4.25) :
q2 Jll~(f) 12
B,~ 12 0 OU). <if
(7.71)
au encore en "fanction de 1a suite.h (k), Teponse.impulsionnelle du filtre :
(7.72)
La realisation, en structure cascade oITre 'llfl certain nombre de possib'ilites
pour reduire cette. puissance de bruit [11].
N
Quand Ie filtre est realise par mise en cascade de 2 cellules du second ardre,
ie b,uit de calcul produit dans une cellule subit la fanction de filtrage <,Ie bette cel-
7.8
Bruit de ca/cul
239
luie et des suivantes. Dans ce cas il faut remarql,ler que IJamplitude, ou niveau, a
l'entree de chaque cellule varie avec Ie rang de la cellule et I", [r6quence du signal
considere.
x (n)
yIn)
.(n)
.s (n)
FIG. 7.17,
Erreurs d 'arrondi -dans /a ·stn£.cture D·N
La figure 7.18 donne Ie diagramme des amplitudes a une [requence donnee
dans la bande passante telie que l'amp1itude prend la valeur 1 a l'entree et a la sortie du filtre. Si la procedure d'arrondi est 1a meme pour toutes les cellules Ie bruit
produit est Ie meme el 1es contributions s'ajoulent. Le bruit tola1 en sortie du filtre
dans ces conditions ~ pour pUL')sance :
N
q
B,~ - "
L2
12 ,~I
N
(fl II2 1-DiU)
N(f)
'- 12 )
Cellule 1 Cellule 2
(7.73)
df
0 '~J
Cellule 3
Entr!1!
,
"••
,
,,
II ' "
Sortie
I
I
'.
],"
•c
o
c
Erreur
'1C
d~rrondi
•
8o
"0
Fm.7.18.
~
~
IT
.
.
Diagramme des niveaux d une JrequPJce de fa hande passante
•
~
-g
§
o
©
n
est important de constituer la cascade des cellu1es de fa,on
bruit de caloul total.
a minimiser Ie
7 • Les filtres a flaponse impulsionnelle infinie
240
On peut agirsur 3 parametres:
- l'appairage des pD.les et des zeros pour constituer une ce1lule,
~ l'ordre dans lequel sont rangees les cellu les,
- Ie facteur d'echelle affectea chaque cellule.
Ces trois' parametres vont@tre examines succe~siveli1ent:
- Appairage des poles et zeros; II faut mini miser l'ensemble des produits :
N
ce qui conduit a minimiser chacun des facteurs, et en particulier obtenir la plus
faible vaieur maximale pour chaque facteur. Cette condition est approxirnativernent remplie par la procedure tres simple qui consiste a assQcier au pale Ie plus
proche du cercle unite Ie zero Ie plus voisin, au pole suivant Ie zerQ restant Ie plus
voisin et ainst de suite, corume Ie montre la figUJe 7.19.
FIG. 7.19. Appairage des poles et zeros
dans fa structure cascade
- Determination de l'ordre des cellules : Ie facteur qui a la plus forte contribution au bruit total est sauve-nt celui qui a la valeur maximale la plus 'e levee : il peut
eire interessa,nt de Ie mettre en debut de chaIne pour qu'il ne contribue qu'une
seule fais dans la somme totale suivant l'expression (7.73) et d'interconnecter les
cenules par ordre de maximum deeroissant.
n faut remarquer cependant que la relation (7.73) suppose que l'arron,di est
fait avec Ie meme echelpn poUr toutes les cellules, ce qui n'est plus verifiii dans la
realite avec les recadrages des nomhres dans les memoires internes qU'entraine
Pintroduction des facteurs d'echelle, pour eviter l eeretage des signaux dans
chaque celLule. En toute rigueur la determination de I'ordre des cellules nec_e ssite
la.connaissance de ces facteurs d'echelle etJ'evaluation de la puissance du bruit de
caleul total dans chaque cas particulier. On iJ)1agine ta complexi!e du probleme
pour les filtres d'ordre "Ieve. Aussi l'hypathese de l'intercannexion des cellules par
orme maximum decroissant est eonservee 'iei, car, d 'une part elle· conduit a des
evaluations simples et generalernent realistes, d'-autre part elle entra,lne principalernent la superposition d'un bruit ayant une repartition spectraIe- constante au signal
present al'entree du filtre, ceoqui peut etre interessant en pratique, surteut pour Ie
filtrage a bande etroite,
l
7.8
Bruit de ca/cul
241
Finalement ces deux regles tres simples d~appairage et dlinterconnexion des
cellules mnstittlent une approximation suffisante pour I. realisation.
- Calcul des facteurs d'echelle : ce sont les parametres qui commimden! Ie
cadrage des nombres dans les memo ires de donnees internes. Clest le dernier element necessaire pour eva-Iuer Ie bruit de caleul et determiner la capacite des
me-moires en fanction des specifioations.
La limitation de la capacite des memoires de donnees fait que I' amplitude du
signal a I'in\erieur du fil\re est limitee a une valeur Am' qui est une amplitude
d'ecretage c!est-a-dire que tout nombre superieur aAm avant la mise en me-moire
est ramene a c.ette valeur pour etre mis en memoire: II resulte de c.ette operation
une distorsion harmoniqlJe du signal qui souvent )1' est pas tolerable et qu' il faut
chercher a eviter.
Le signal applique a la premiere cellule doit avoir une amplitude telle que
multipliee par Ie gain de cette cellule, elle ne conduise pas a un ecretage inadmissible du signal; par suite il faut multiplier Ie signal d' entree par un facteur prelimi·
N
naire agoLa fanction de transfert du fillre d'ordre N realise en '2 GeUules du
1
2' mdre peut g'ecrlre, pour \In filtre elliptique, sous la forme:
N
2
N( )
i~ l
Di (m)
H (O») ~ as IT a6~
avec ,.:
N,(O»)
D,(O)}
1 +a\e - joo -f e.- 2j cQ
1 + b4.e jro' + b~e 2/1fJ,
Etant donnee I'hypothese d'un a.rmndi unique dans chaque cellule faite prece·
demmen!, la relation (7.73) donnant Ie bruit de calcul total devient :
N
N
-
B, ~ i~ (ag)"i~J: ~(ab)~ I~:iji dt
2
(7.74)
1
.•
"••
Avec la structure D·N, Ie s, he:Iha du liltre est celui de 1~ figure 7.20, OU gon\
egalement representes les points d1.ntroduction des differentes puissanc.es de bruit
N
.(
N)
.
],
de caleul ei avec 0,,;; i ,,;; 2' Les tcormes ab 0,,;; i,,;; 2
.~
Pour calculer Ie facteur preliminai re
il faut considerer la reponse de la pre1
miere cellule Dl (m) et tenir cOl:npte du fait que les nombres d' entree du filtre x (n)
sont les facteurs d'echelle
g• qui doivent etre calcules de rnaniere ~ 6viter recretage ou signal dam:les.Ge11\.!les .
§
i
as
3 sont representes par un nombre tie bits limite et ont une amplitude supposee elle], . me-me limitee aAm , dest-a-dire que:
o
"
ix (n)1 ,,;; Am
7 • Les fiftres a n§ponse.impulsionnelle infiniE;
242
Point d,"ecretilge
Point d"ecrehge'
t ,-----,
: ,-----,
,,
,
I
~N~)
"
'0
FIG. 7.20.
Sch€.ma de structure. cascade.
Si Y, en) designe les nombres en sortie de I. cellule de fanction de transfert
1
D, (OlJ et S) la suite h (k) est la reponse impulsionnelle, on peut ecrire :
00
ly,(nJI ·oS I
hO
00
Ih(kJlla8x(n-kl l oS a8Am I
k ~O
Ih(k)1
D'apres les resultats donnes au paragraphe VI.2, pour une cellule a poles
comp1exes de coordonnees polaires (r, fl) i1 Vlenl (VI.37) :
1
00
k~olh(k)1 oS (l-rJsin8
En prenanl
(7.75)
dngarantitl'inegalite: ly(n)1 oSAm·
On peut faire un choix mains re&trictif pour lefacteur
en reduisant la condition d'absence d'"(~cretage aux ·signaux sinuso'idaux j dans ce cas c'est la valeur :
as
H~ ~ Max Dl~Ol) ~ (1- r;) sin e
I
I
qu'ilfaut faire intervenir et dans ces conditions:
ag ~ (1- r2) sin 8
(7.76)
Cette valeur est ihferieure au double de la precedente.
Une troisierne strategie de cadrage est souvent utilisee, celle qui porte sur
l'energie des signaux [12].
D'apres les resultats du paragraphe IV.3, ['energie du sighal y, (n) s'ecrit:
'oS
[ L.~ x (k) ] . (agy 2-1 J" ID dOl(ro )12
2
k=-ro
TC
-1t
1
7.8
Bruit de (alcul
243
La condition:
(1.77)
conduit a l'expression d u facte.ur
as suiYante, d'apres la relation (VL36) :
(a O)2 = (1- r 2) (1 + r 4 - 2r2 cos 2 8)
o
(1 + r2)
Exemple:
Soit r '" 0,845;
cos 8= 0,396 ( fig. 7.6)
(1- r) sin 8 = 0,142
(1 - r 2 ) sin 8 = 0,262
(3' cas) = 0,644
as
De ces trois strategies de cadrage, qui correspondent aux normes des signaux
L 1, La:> et L2 , 1a secbnde constitue un bon compromis; c'est celle qui est retenue
dans la suite de ce. paragraph~. II faut aussi :remarquer qu'elle faciIite les verifications experimentale.s et les mises au point araide de; signaux sinusQ'idaux.
On designe par Hln et K;' les yaleurs suiyantes pour la cellule de rang i ,
Hln = mal<
1
Di~(il)
K mi -_ max abN;(ro)
-D,(to) I·,
1
;
avec
1
N
1~i~ 2
Avec.la technique de cadrage choisie:
1
as= H'm
et pour les cellules a poles complexes, d'apres (VI.28) "
."••••
~
~
o
II n~y a. pas d'ecretage en sinusoIdal dans 1a seconde cellule S1 Fihegalit6 s;uivante est verifiee :
c
•
1 x K' x H ~ oS i
BJ.m
m
m
.<e
8o
"0
~
~
•
~
1i
§
o
@
Ce qui amene a prendre:
7 • Le.s filtres a n§ponse impulsionnelle infinle.
244
Les termes Kin peuvent se calculer directement par (VI.40), Une valellr
app, oohee peutetre obtenue a l'aide de (VI.27) par:
~ 1 [a,1 - bj(12b1
+ b D] . H'
K 'm-aO'
'm
2
(1-b2)
2
L (bil
V 4b~
2
a6:::::: ---~~-~c1
bl(l + bi)
a, 2bi
Une est,iination plus simple pour a,6 peut etre ootenue en conside.rant l'inegalite :
~ ~1 N1 (Ol) D2
~l
I"" INi
(Ol) I
(Ol) I
D~ (Ol)
IH~ D, (Ol)
Pour les frequences voisines de cdle qui minimise D z(Ol) on a souven! IN, (Ii» < 11,
ce qui est facile a verifier 'Par la position des poles et des zeros, Alars on peut
prendre:
Les facteurs d'echel,l e des cellules suivantes 'Se determinent de la me-me
maniere et finalement la procedure se resume comme suit:
1, Appliquer aux nombres d'entree Ie facteur preliminaire
2.
Affecter a I. cellule de rang i ( 1 "" i "" ~
Ki =
m
-1)
as ~ ~
1 .
m
Ie facteur d'echelle a6 tel qlle :
H~
H~tl
On peut souvent fairy Papproximatidn :
a l.= _1_
o Hietl
in
(7.7'6)
Avec cette approximation, il faut cependant verifier que les valeurs obtenues
pour les derniers facteurs d'echelle ne sont pas trap faibles , afin de ne pas ·augmenter i!,utilemen! Ie bruit de. calcu!.
N
3. Calculer Ie facteur d'echelle a 5 de la demiere cellule pour que Ie filtre ait
exattement Ie gain 1 en une frequence de reference dans la bande passante.
En pratique, parmi les
(~ t 1) valeurs de a6, ~ sont prises comme pllis-
sances de deux, pour que la multiplication se rame-ne aun simple decalage.
7..9
245
Determination de fa .capacite des memoires internes
La procedure simple exposee ci-dessus est suffisante dans de nombreux (::as
pratiques. Une methode plus precise consiste a tenir compte de to utes 1es cellules
precedentes pour determiner un facteur d'echelle. Finalement il 'a pparalt que Ie
facteur d'echeUe de la' cellule de rang i est [onction des cellules qui la precedent
alors que 1es cellules qui s\livent cette cellule filtren! Ie bruit qU'elle produit.
Vne fots connus les facteurs d~ echelle, tous les elements qui interviennent
dans la realisation sont disponibles et la puissance de bruit de caleul en sortie du
filtre peut etre determinee pour chaque valeur du nombre de bits des memoires de
donnees.
7.9
DETERMINATION DE LA CAPACITE
QES MEMOIRES INTERNES
A l'entree du filtre 1e signal est constitue de nombres x en) qui. sont representes par
un nombre de bits limite et egal a Dd . Par suite' ce signal peut etre considere
comme comprenaht Ie signal ideal auquel se superpose un bruit de puiss'a nce B I .
Les nombres x(n) sont supposes prendre des valeurs positives et negatives et limitees en valeur absoll.le a 1"c'est-a-dire :
fx(n)1 '" 1
La representation du signal a hd bits correspond aun echelon de quantjfication q
tel gue:
q = 2-bd+ 1
La puissance de bruit BI superposee au signal d'entree est supposee egale a
koCko ~ 1) fois la puissance du bruit engendre par la quantification avec cet echelon, -c.'est-a=-dire :
(7.79)
"~
'~
~
•:5
~
'1C
8
o
]
:;
~
-g
5
o
.@'
En general Ie bruit de calcul, qui est Ie bruit ajoute par Ie flltre est a cpmparer
au bruit deja present a l'entree et ee qui importe c'est la degradation du rapport
signal a bruit lors de la traversee du filtre.
Comme explique precooemment, quelle que soit la precision des operations
arithmetiques, une operation d'arrondi doit intervenir sur les donnees inte-m es
avant la mise en memoire; elle se traduit par la 'S-uperposition a la suite representant Ie signal, d'une erreur e (n) et par consequent par une degradation du rapport
signal abruit ,ala traversee· du filtre.
Dans un filtre ell structure cascade, Ie bruit engendre par la limitation a bi bits
des donnees internes est suppose applique a l'entree de chaque cellule du second
ordre. Pour terur compte de 1a fa~on de realiser cette limitation, on suppose que ia
puissance dl! bruit engendre est egale k fois (k ~ 1) la puissance de bruit dfi
un~- quantification a bi" bits. En effet cette limitation peut etre un aUQndi Unique,
a
a
7 • Les filtres a reponse impulsionnelle infinie
246
comme sur 1a figure 7.17 ou un arrondi apn3s chaque mwtiplication comme assez
·sou..vent en pratiqtte.
La determinatio n de 1a capacite des memoires internes, et done di.l nombre de
bits des donnees b;, doi\, tenir {;ompte de la plage de variation des amplitudes. Si,
dans la cascade de cellules' du second ordre, on place en tete la cellule ayant Ie plus
fort gain a la resonance H~, alors Ie signal doH 'e tre divise par Hln a l'entree du
filtre pOl,lf garantir Pabsence d'ec retage, tout au mains pour ies signaux slnuso'I'-
daux., ce facteur H ~ etant donne par la relation (7.68). II en resulte que la premiere
cellule introdult une degradation t.SB du rapport signal a bruit qui s'exprime en
decibels par:
t.SB
~ 10 log [1 + (H~ 2 ~ 2-2 (b' -b d)J
(7.80)
La degradation introduite par les autres cellules, qui ant une amplitude maximale plus faible est en general mains i.mportante et peut etre negligee. II s'en suit
que la capacite des memoires peut etre determinee a partir de (7 ..80). Si la degradation t.SB doit etre faible, alars :
_
1
[
k (H')2
b; - bd + 2: log 2 4,3 . 1<0 .
m
'
1]-
t.SB
(7.81)
Compte tenu de la relation (7.568), en supposant k ~ 1<0, on obtient :
1(1)
b;""bd + ~ log2 2
t.SB
+log2
[Ie
~ .
( 1]
'~
t.1 . 2 .11
sm
(7.82)
"7:
Dans celte expression la degradation du nipport sigMI ii bruit t.SB est exprimee en
decibels.
Cette expression est rapprocher de 1a relation (5'.5:3) pour les filtres RIF. Les
filtres tres selecttfs et a bande etrolte demandent des nombres de bits 61eves pour
les memoires internes.
a
II est important
ae bJen souligner que les evaluations ci-dessus, en particulier
les relations (7.80) et (7.81) reposent sur une approche simplifiee. Dans une etude
approfondie il faut calcu!er la degradation t.SB du rapport signal a bruit a la Iraversee du filtre en 'localisant exacternent e t en prenant en compte tou.tes les SQurces
de bruit, et en adaptant en cons.equence la relation (7.74) pour la determination du
bruit de a.leu! total. De plus il faut faire intervenir la puissance du signal en sortie
du filtre puisque c'est en ce point que Ie bruit eSI calcule.. La conception du filtre
faisant intervenir une optimisation globale partant sur rappairage des poles- et des
ZeTOS , Pordre des cellules et les facteurs dJechelle repre-sente en general un travail
considerable qlli ne se justifie que rarement.
Les resultats de ce paragraphe et du precedent sont illusttes par les deux
exemples suivants :
Exemple 1
Salt Ie filtre du 4" ardre donne au paragraphe7.2.4 (fig. 7.6) :
Hln d, 8; H;;,~2,2
7.!J
Determination de fa capacite des memoires internes
aO
o =025
., ·, a'0 =05
·,
247
a2Q =0549
'
et
La fonction de- transfert fibalement realisee est la suivante :
1 +0,5974 Z-l + Z-2
.
1 + 1 6:32 Z -1+ Z- ~
,
0549
H(Z) = 0,25 . 1-0,670 .Z 1 + 0;7144 Z 2 . 0,5 1-0,814Z-1+0,2636Z
2' ,
Le schema du filtre est celui de 1a figure7.21.
f
f
Q f--..--- -o{.
h----{
Q
0,2S
0,,549
0,5
z- \
0,670
O,597t.
r'
Z-1
-0,711.,4
1,6'32
- 0,1636
FIG . 7.21. Schhna d'un flltre 'elliptique d'o fdri 4
Sf les nombres d'entree sont fournis par un convertisseur AnalogiqueNumeoique a 12 bits et si 1es memo ires ant une capacite de 16 bits; 1a degradation
du rapport signal a bruit avec k = 2 etko = 1 ""st estimee par (7.80) a ,
6SB = 1010g (1 +
,o
."••••
],
•:5
c
•
'0-
S
o
"0
~
~
•
~
,.
1i
o
@
~) '" 6,) dB
Exemple2
Soit Ie filtre passe-bas tresse1ectif d'mdre 10 dont les coefficients ant pour
valeur:
al = -1,41956
a1= -1,37231
a1= -1,22241
"1 = -0,73120
£11 = l,O?660
b ! = - 1,50269
ai = -1,49805
b l = -1 ,50916
b t =-1 ,53308
bl =-1,55640
b l = 0,98242
bj.= 0,93652
bj = 0,85767
bl = 0,73730
bl= 0,62646
7 • Les filtres a reponse impulsionnelle infinie
148
et dont 1e gabarit correspond aux parametres (fig. 5.7) :
0, ~ 0,01; 02 ~ 0,0002;
t~ ~ 0,112.;
12 ~ .0,117
11 vient :
Llarrondi apres multiplication par a8, b i et bi conduit aprem;lre k = 3 dans Pestimation (7.80), qui, pour ko ~ 1 et b; ~ b d cohduit a: 6SB ~ 43,5 dR
Cette estimation peut etre comparee aJa solution optimale obtenue par ;pro-
grammation dynamique [13]. Dans ceUe S<llution, en designant par Z; 1e zero correspond.nt au cOefficient a\ et: P; 1e pOle correspond.nt a. b\ et b&(1 ,,;; i ,,;; 5), leg
appairages et Pordre des cellules sont les suivants:
~-~
~-~,
~-~
~-~,
~-~
et pour feB [acteurs d'echelle :
a8 ~a ,11838; a6~ 0,45112; a5~ 0,14724 ;
a8 ~ 0,70252; ,g ~ 0,43834; a5 ~ 0,38293
L ' application de 1a relation (7.74) en prenant en compte toutes 1es sources de
bruit, dOIUle :
Si Ie signal d'entree a un spectre uniforme sa puissance en sortie est redliite
j
par 1e [acteur N 1,. Ii en n,su1te que 1a degradation du rapport signal a bruit a la
trRversee dll filtre slecrif:
(6SB)opt ~ 34,7 dB
Par rapport ·" l'approche simp1ifiee, dans le cas de ce filtre tres selectif, l'optimisation apparte un gain de 8,8 dB en bruit de ca1cul, soit, exprime. en nombre debits des memoires internes, un gain inferieur a2 bits.
7.10 AUTO-OSCILLATIONS
En l'absence de signal a l'entree du filtre. RH, la limitation du nombre de bits des
memoires de donnees peut entralner l'apparitioIL d'auto-oscillations de faible
amplitude et de; forte amplitude.
Des auto-ose.illatiQns peuvent se produire auX grandes-amplitudes 1 par depassement de la capacite des memdires. L lequation du systeme slec:rit alor's:
N
yen ) + I
j=l
b;y(n-i ) ~O
(7 ..83 )
Comparaison entre les filtres RII et RIF
7.11
249
L.a.lcondition d1absence naturelle de tels phenome.nes s'exprime par l~i:nega(ite :
jI
b;Y(ti-i)! < l
Rour des filtres d'ordre superieur a 2, on montre que la presence a'un dispositif de satmation logique ne suffit plus a garantir I' absence d' auto-oscillations de
grande amplitude [14]. Par contre un filtre realise p'a r un10 caseade de cellules du
seoond brdre aveG dispositif de saturation logique ne presente pas cette possibilite.
Les auto-oscillations de faible amplitude produites par une cellule, se trouvent
filtrees par les cellules sl,livantes, pour lesquelles ie :sign al ePentree n'est pas nul.
Si la strateg.ie qui consiste ainterconnecter les cellule$ par ordre de 'maximum
de-croissant est appliquee, en l'absence de signal a l'entree du filtre , l'a premiere
cellule peut .produire une auto-oscillation, a une frequence voisine de ia frequence
de resonance c ~est-a-dire ala limite de la bande passante pour un filtre tres selectif.
En fait I'auto-oscillation correspond a I'insertion dans la chaine de la figure 7.21
d 'un signal parasite eo dont I'amplitude est limitee par la quantificati(')ll comme
indique au paragraphe VI:7. L'amplitude Aa de l'auto-oscillation a la sp rtie du
filtre de gain unite et en structure cascade D-N peut ainsi etre estimee par
c
Aa= H.lt . 2- b ,
OU b.j designe comme precedemment le nombre de bits des memo ires internes.
D 'apres la relation (7.68) it vient :
t.
1
At" sm. (2"7)
/1\
A = 2- b , -1 '--'a
(7.84)
Celte ex pression f04Init une r~lation"ntre I'amplit\lde des auto- os"iU~ti"ns et
les caracteristiques du filtre , pour la methode de rea,lisation consideree.
D 'autres methodes de re-alisati6n , par exemple Ftnterconnexion des cellules
dans un ordre different, peuvent conduITe a des valeurs plus faibles de i' amplitude
de ces signau*" parasites.
7.11
•
.~
]
,o
COMPARAISON ENTRE LES FlLTRES RII ET RIF
Les deux types de filtres examines RII et RIF, permettent de satisfaire Un gaharit
quelconque donne. La question du choix entre ces deux approches se p ose fre:5 quemment au concepteur de systemes. Le crite-re est la complexite des circuits a
c
mettre en reuvre ; en pratique la compara~on se raIl1ene p:rincipalernent al'evalua'0S
Do n du parametre simple que constitue Ie nonibre de multiplications a e ffectuer
o
] C0mme on Ie verra dans un chapitre ulterieur.
;
Les. relations (5.32) et (729) donnent des estimations de I'ordre N des filtres
1i RTF et RII necessaire pour satisfaire des specifications de filtrage passe-llas expri8' mees par I'ondulation en bande passante et affaiblieet par la Jargeur de bande pas,
@
sa,nte et de bande de tram;ition.
Q)
7 • Les filtres a flaponse impulsionnelle infinie
250
P<Jur Ie filtre RIF a phase lineaire les coefficients presentent une symetrie et, S1 N
N
N
est pair, :2 ont des: valeurs diffetent,es. Un tel filtre necessite clonc :2 memoires de
coefficients et N memoires de donnees 'internes. Pour chaque nombre de sortie 1l'faut
N
faire :2 mUltip1ications et N additions. Si la linearite en phase n 'est pas imposee, il
est possible de reduJre 1'ardre N, avec les filtres a dephasage minimai, comme l'indique la relation (5.62). Celte roouction depend de I'ondulation en bande passante et
reste inferieure a 50 %; 'il s'en suit une augmentation du nombre de multiplications
puisque 1a symetrie des cQefficients disparail. Parmi les avantages d<;s filtres RIF, il
faljt ~ouligner ql.!'ils sont toujours stables et qu'ils.sont faciles arealiser.
Les flltres RII sont plus d6licats a mettre en reuvre; sauf cas particulier, c\est Ie
type eIliptiq\le qui est Ie plus efficace et Ie plus utilise. L'estimati<Jn (7.29) montre
que l'ordre du filtre p.asse par un maximum au voisinage de la frequence ~ ~ c,Qmme
Ie montre la figure 7.22. Solt n cet ardre; en supposant que Ie filtre est realise en cdluTes du second ordre cOIlJ-portant chacune 4 coefficients et 2 memo ires de donnees
(paragraphe 6.4), il faut pour realiser Ie filtre h memoires de donnees, 2n memoires
ae coefficients et chaque nombre de sortie exige 2n additions et 2n multiplications'.
,
n
I
I
8
I
I
7
I
I
I
I
6
( NI4 =261
I
5
/>1. = 0.05 I NI4 = 1~ I
.
i.
I
3
1
o
0,1
0,2
0,3
0,4.
0.5
FIG,7,22. Ordre d'un flltre passe-bas elliptique-en fQnction de la largeur de la bande passante'
Si la comparaison entre filtres RIF et RII se limite au nombre de multiplications faire pour obtenir un hombre en sortie, dans Ie aa.s dl.! pass<;-bas, Ie type RII
est plus avantageux que Ie type RIF pour les va leurs de parametres telles que :
a
N > 4n
(7.85)
Bibliographie
251
D' apres les relations (5.32) et (7.29) c'est 1a bande. de transition qui est le
paramelre 1e pIllS important dans 1a comparaison et l'on a it p eu pres 1e meme
nombre de mUltiplications, dans 1es conditions 1es plUs defavorab1es pOUr 1e fi1tre
RH, pOUf" une bande de transition teHe que:
~ I, "" 2 log ( I, )
.3 "'I
"'I
c'est-a-dire "'I "" 1,/3. n s' en suit que l'inegalite (7,85) est verifiee des que "'I ~st
inferieur a1/ 3. C'est le cas dans la grande majorit" des applications. Par exemple,
pour 1es valeurs de paramet.r~s correspondant a la figure 7.22, cetie inegalit" est
tOt~jours, verifiee.
La 1inearite en phase peut etre approchee dans une bande de frequence limitee avec un filtre RI!, en comp1etant par e.Xemple Ie filtre elliptique de base par un
ensemble de circuits d'egalisation du temps de propagation de groupe. Ces circuits
sont des dephaseurs purs dont les proprietes ont .ote exposees au paragraphe VI.3.
L' experience montre que Ie filtreRIF, qui presente une linearite en phase parfaite,
demande tOlljollrs mains de caleuls [15]; il est, de plllS, facile a realiser.
Finalement, 'il est recommand6 d'utiliser les filtres RIF quand la linearite en
phase est demandee et lesfillres RII dans les autres cas.
Cepenaant, la comparaison ci-dessus a ete f"ite 'avec I'hypothese implicite que
la cadence alaquelle se presentent les nombres, est' la meme en entree et sortie du
filtre. Les termes de la comparaison se trouvent sensiblement modifies si cette
contrainte dispara'it, camme le,montre un Ghapitre ulterieur,
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ASSP-25, W 2, April 1977.
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F1R and IIR Digi tal Filters. BSTJ. Vol. 53, Feb. 1974.
EXERCICES
'1 Utiliser les fOlmules du paragraph~ 7.1 pour calculer la reponse en: frequence et en
phase et Ie temps de propagation de groupe de Ia cellule detime par la relation :
y (n ) ~ x (n ) + O,Tx (n- i) + 0,9 y (n- i)
Merue question pour Ia cellule dli second otdte de fonction de transfeit en Z :
b,+ bj Z - I + Z- 2
H (Z! ~ ---"'-~~~~
, 1+b 1 Z- 1 + b2 Z - 2
2 Pour calculer un filtre numerique passe-bande on se propose d'utiliser des abaques
pour filtres analogiques. De que! gabarit doit-on partir pour que Ie flltre nume-rique affaibli$se dans les bandes (0 - 0,15) et (0,37- 0,5) et l1e presente pas. d'affaiblissement dans la
ban de (0,2 - 0,33) en supposantf, ~ 1 ? Etudier Ie cal cuI direct apartir de 1l transformation
d'un passe-bas' par la relation 7.31.
3 Calcul~r les coefficients. d'un filtre de Butterworth o'"ordre 4 dont l 'amplituq~ prenq
1
la valeur
Y2 aIa frequence Ie= 0,25 . Donner la decomposition en cellules du second ordre~
4 Utiliser une transformation en frequence pou r transformer Ie filtre passe-bas 9U
paragraphe 7.2.3 (fig. 1'.6) eil passe haUl avec pour limite de bande passante fH ~ 0,4.
c.omment evoluent les poies et les zeros dans cette op€ration ?
5 Donner la decomposition en celhi,les d.1.l. second. ordre du filtre de la figure 7.1 O.
Calculer'les fa(;;teurs d'echelle des 'cellules et la longueur des memoires 'Si Ie· bruit de.calc;ul
1
·ajoute par Ie filtre doit rester infe-rieur en puissance il 10 du bruit present a Fentree et Bi
Ies nombres a l'enttee comp~ent 10 bits.
253
ExerC:ices
6 Le gabarit dela figure 7.10 est e1argi de 0,1 dB PQur peJIDettre un arrondi des coeffic;ient~ du filtte . Combien de bits sont necessaiies pour terresenter les coeffici~nts dans la
structure cascade? Faire 'Fevaluation pour la structure parallele. Rechercher un optimum
pOlrn l'auon.dides ooefficients~ pel\t-on Tedl\ire.le nombre de bits trouve precedemment?
7 Le filtre donne en exemple au patagtaphe 7.2.2 preseute-t-il des auto-oscillations?
Queiles .sontles fr6quences et 1es amplitudes ? Meme question pour 1e filtre de 1a figure 7 ,20,
S QueUe est la quantite de calculs demandee par Ie filtre de la figu te 7.6? Com bien de
memoires sont necessaires ? Combien de coefficients demande un filtre. RIF pour Ie meme
gabarit. Comparer les quantites de ca1culs et les capacites de memoire.
9 Darts un equipement de transmission numerique MIC on se propose de; realiser la
fonctlon de. filtrage de voie par technique numerique.
Lesignal te1ephonique est echantillonne a 32 KHz et code a 12 bits, Ie fi1trage est effec,.tue par liD fi1lie RII de type paBse-bas,
La bande passante est 3300 Hz, 1a bande affaiblie commence i! 4 600 Hz.
Les ondulations en bandes passante et affaiblie ont 1es valeurs :
° 0,015 ; 8
1 '"
2 ", 0,04
Le programme de calcul des filtres elliptiques foumit 1es resultats suivants ;
ordre du filtre : N = 4.
Zeros , Z] = 0,09896 ± j 0,995
~ = 0,5827 ± j 0,8127
PoleS: p ] = 0,6192 ± j 0,2672
P 2 = 0,702 ± j 0,589
• Calculer 1a function de transfert du filtre decompose en cellules du 21ld ordre.
• QueUe est la valeur du fadeur d'echelle glQbal saepant que J'amplitude a la fre~
quence 0 est 0,99.
" Les coefficients sont quantifies 10 bits. De:tenuiner Ie dep1acement des pointes-infirues et eval\l ~ r l~ s\lpp1ement d'01J9I).laJioA. ~n bange pass~te.
• Calculer 1e facteur d'echelle affecter chaque cellule et estimer Ie bruit de calcu1
produit si les memoires de donnees ont 16 bits.
• Donnerle schema complet du filtre.
• E valuer 1a complexite en :
N ombre de multiplications et additions par seconde.
N ombre de bits de memoires .
a
a
•'!:::i
a
Ie gabarit de filtresuivant: BP = 0,2 dB; BA = 45 dB; FB = 1700 H, ;
", fA=104 QOOOn5considere
;FE= 8 QOO 5 2'
~
o
"••
'.
•
],
•o
o
o
•
'D-
S
o
"0
~
~
-g
8'
@
2
Calcuier Pnrdre du filtre necessaire. En prenant CQffime ordre N = 6, on obtient une
marge sur 1es ondulati6ns; calq.J.ler cette marge e-t compater Ie resultat a ce qui est obte-n\-l avec
les pOles et zeros foumiS par Un progtanime de calcul, en tra~~t la reponse en frequence.
Poles
zeros
0,19588Hj 0,926044
- 0,210790 ct]' 0,999778
0,2(;)9059 ±j 0,736096
- 0,235254 ±j 0,971934
0,394027 ± j 0,307068
-0,814631 ± f 0,579971
Ca1culerlenombte de bits des coefficients.
La degradation du rapport signal a bruit ala traversee du filtre etant Iim1tee- -a 0,1 dR,
quelIe est l'mlgmentation d,u nombre de bits des memoires internes par rapport au nombre
de bits des nombt es tepresentant Ie signal d'enttee.
D bnner Ie schema complet du flltre.
Chapitre 8
Les structures de flltres en chaine
Les structures de filtres presentees dans les precedents chapitres se deduisent
directement de la fonclian de transfert en Z de ces filtres ; les coefficients. appliques
aux circuits multiplieurs sont les coefficients des puissances de Z -1 . Avec. des operations supplementaires a partir de 1a fanction de transfert, on peut aboutir a des
structures plus elaborees ayant des proprietes interessantes, c'est Ie cas des structures en chaine.
En filtrage analogique, les structures en chaine permettent de realiser des
filtres ayant des ondulations tres faibles et une excellente selectivite, avec des COffiposants passifs de precision limitee. En nume-rique ces propri6tes peuvent se traduire par une reduction du nombre de bits a affecter a 1a representation des coefficients et, par suite, des gains en circuits et une reduction du bruit de calcul.
Les filtres analogiques en chaIne sont bases sur la mise en cascade de quadripOles dont les proprietes vont d' abard etre rappekes [1].
8.1
PROPRIETES DES QUADRIPOLES
Le quadrip61e general ferme sur les resistances R1 et R2 est presente sur la figure
8,1 avec les variables courant I et tension V aux acces 1 et 2, Ce quadrip6le suppose lineaire est defini par sa matrice d' impedance z, qui traduit les relations entre
les variables, generalement prises sous forme reduite avec :
V
v~ - '
YR '
FIG. 8.1.
i~I.YR
Quadrip8le avec terminaisons resistives
Proprietes des quadrip6/es
8.1
255
Il vient:
(8.1)
avec :
Z=
[ZU %12.J
Z21 Z22
Les valellPs Z12 et Z21 sont les impedances de transfer! du quadripOle.lles! dit recipL'oque s.J ; Z12 = Z21"
Si en refournant Ie quadrip61e, Ie regime exterieur n~ est pas niodifie, il est dit
syrpetrique et I'on a : Z11 =
'22'
Pour faire appara'itre les coefficients de transmission et re-flexion du quadrip61e on Ie d6finit par une autre matrice, la matrice de repartition. En se pla~ant
dans une situation de feference au les resistances de terminaisan sont unitaires, on
considere les andes incidente:s et reflechies a et b telles que:
1
(8.2)
(8.3)
Les variables a e( b son! liees par des relations. qui s'obtielll)ent en utilisant (8.1) :
a=
~ (n 12); ; I2 = [~ ~ J
b=:t:(z-J2)i
2
II vient :
(8.4)
avec:
."••"
],
•
et:
s = (z - 12)(z + 12)-1
(8.5)
g Si Ie quadrip61e est reciproque, alors on a :
•
'D-
(8.'6)
S
o
'0
~
~
•
au 't est Ie coefficient de transmission tel que :
~
-g
§
o
"
(8.7)
8 • Les structures de filtres en chaine
256
En designant par Z, et Z2les impedances vues a l'entree et a ia sortie du quadrip61e
respectivement, il vient :
(8.8)
Les valeurs PI et P2 sont les coefficients de re-flexion a l~entree et a la sQrtie du quadrip"le.
Si Ie quadripo!e est non dissipatif, la puissance active qu' il absorbe est nulle.
On montre que 1a matrice de repartition d'un quadripole reciproque non dissipatif
peend la forme canonique. suivante [2] :
I]
s~ ~ [h
g I± h.
(8.9)
oil/, g et h 'Sont des polynomes reels ayant les proprieres' suivantes :
- Ils sont lies par une r.elation, qui sur Faxe imaginaire correspond a:
Ig1 2~
Ih1 2+ 1/12
La notation h.(P) corresp(md a h(- pl.
- Suivant que I est de degre pair au imllair Ie signe inferieur au superieur est
a prendre dans (8.9).
- Toutes les racines de g dans Ie plan complexe sont dans Ie demi-pian de
gauche.
Les polyn6mes I, g, h sont les polynomes caracteristiques du quadripole; les
racines de 1(P) sont en g~neral sur l'axe i"mginatre en bande affaiblle, ce sont les
zeros de transmission, Les racines de h(P) sont les zeros d 'affaiblissement et pour
un quadrip61e non dissipatif 'ils se trouvent en general sur l'axe imaginaire dansJa
bande passante.
Pour Ie quadrip61e de la figure 8.1, Ie coefficient de transmission s'ecrit :
2
s12-_ 2V
fR;,,4
E yIt
(8.JO)
On designe par affaiblissement la fanction ArC m) exprimee en dB. et definie par :
La relati'on suivante :
I
J(m} 12+ I h(m) 12~ 1
gem)
gem)
exprime simplernent Ie fait que la puis~ance non transmise est I'efiechie.
(8.11)
8.'1
Proprh§tes des quadripoles
257
Pour la mise en cascade tie quadrip6Jes it est interessant de considerer egalemen t'la matrice de transfert t definie par :
(8.12)
La mise en cascade de quadrip61es se traduit par Ie produit de leurs matrices de
transfert.
La tnatrice de transfert des quadrip61es non dissipatifs se met sous la forme
canonique suivante :
/_- ~f [±± h]
g.
h. g
FIG . 8.2.
(8.13 )
Matri ces de transfert de quadripoles etementaire$
A titre d'exemple la figure 8.2 donne les matrices de transfert de quelques· quadripoles 61ementarres.
Le fait que Ie quadrip61e soit non dissipatif a des mnsequences imP'lrtnntes
"~ sur l'affaibl1ssement Af(ro). En effet, en bande passante, la fonction Aj(ro) ne peut
.~ prendre de valeurs negatives et par suite aux frequenees au hero) s'annule, iI doit
~ en etre de meme de la derlvee de Aj( ro) par rappgrt it l'un queleonque des para:5 metres. Dans un filtre a Indw;:tances et capacites termine par des resistances, une
~ variation des valeurs des elements L et C n'affecte pas J'affaiblissement au premier
.<e
8 ordre, -aux frequences ou it s~annu]e.
o
]
Si I'ondulation est faible on peut supposer qUe cette propriete s'etend a tmlte
~ la bande passante. Pratiquement on peut eonsiderer que, dans un. filtre en echelle
par exemple, les interactions entre les differentes branches sont telles qu:une
derive sur un element se repercute sur l'ensemble des facteurs de la fonctlGn d~ af­
faiblissemellt avec un effet de compensation glob ale qui en minimise l'incidence.
~
8 • ,Les structures de filtres en chaine
258
Dans ces conditions, il apparait tres interessant de rechercher des st~uctures
de filtres num6riques ,!y,!nt des proprietes simil'!ires. En effet dans un filtre numerique dont les arhplltudes d'ondulation en bandes passante et affaiblie sont comparabIes, e'est Ie denomin'!teur·de la [anction de transfert qui fixe Ie nombre de bits
neces~aire a la representation des. coefficients. On peut dOflG esperer llll gain
important avec les structures d6duites par exemple des fi1tres en ec helle, SUI: les
coefficients eux-memes, sUr la compleXite des multiplieurs et egalement sur la puissance de bruit de cal cuI.
Les structures en echelle sont les plus c6uramment ufilisees en mtrage analogique passif. La procedure 'pour obtenir les elements d'une telle structure" partir
d'une fonction de transfert donnee est deerite en detail dans la reference [2] . Elle
consiste a factoriser la matrice de transfert glob ale, definie a partir de la fauction
de transfert H(m) ca1culee, en matrices partieIies correspondant aux bras serie et
parallele de la structure en echelle.
L'approche la plus directe pour obtenir une structure de filtre numerique ."
partir d'une structure de filtre analogique en echelle consiste a simuler Ie .graphe
de fluence da:t1s.1e dornaine tension~courant.
8.2
LES FlLTRES EN ECHELLE SIMULEE
La representa:tion des filtres en echelle ~ l'aide de "leur graphe de iluence est utilisee pour la synthese des filtres actifs a l'aide de circuits Integrateurs ou differencia~
teurs.
Pour rnettre en evidence Ie grap'he de fluertce dans Ie dornaine tension~cou~
rant, on considere 1e filtre en echelle de la figure 8.3, termine sur les resistances Rl
et R2.
FIG. 8.3. Fittre en e(helle ·analogique
L'application des lois de. Kirchhoff conduit 'lUX relatiqns:
1, = (E-V2)R,';
lK_l=(V"_2- VK)ZK~';
I N+1 = VNRi i
V 2 = (1, - ['lY,'; V K= (IK_1 - IK+1)Y ii '
ou l'indice K prend les valeurs : 4,6, ... N.
J
8.2
259
Les fillres en echelle siml!/ee
Le graphe de fluence est compose d'arcs a chacun clesquels est c;tssoci6 un
coefficient repr€sentant une impedance ou line admittance. A chaque sommet est
associe so it la tensIon en un nreud soit Ie courant dans une branche. Pour chaque
arc o n forme Ie produit du cbefficient correspondant par la grandeur assoclee a son
origine et la grandeur attache-e-·a chaque sammet est la sohlme des produits correspandant aux diffe-rents arcs incidents.
Le graphe clu filtre en echelle de la figure 8.3 est represente sur la figure E.4.
Les- sommets 'a uxquels sont a,ssocies les courants: et les tenSions alternativernent, se
succedent. La topo logie ainsi o btenue est dite a ~< boucles 1mbriquees-», et dans la
litterature anglaise« leapfrog ».
F1.G. 'SA.
Graphe de fiuen a d'un jilt1;e en ~chelle
Les filtres numeriques dits en echelle sllnulee sont des structures obtenues en
sitnuhmt chaque arc du groupe au chaque branche de l'echelle par un organe de
fonction de transfert equivalente.
Un Cas particulierement simple est celui ou les impedances series ZK~ l ·sont
des inductances et les branches par alleles YK sont des capacites: (K ~ 4,6, .,., N ).
Ce cas est celui des filtres sans 'pointes d'affa'iblissement infinl au purement recursifs. Les fo nctions de transfert a prendre eucompte sont de la forme :
R
1
Zj(:'1 ~ --,-- ; Yj(' ~C R
S~_l
s· K
.'!:::i
",
."•••
u
0
•
],
•
0
0
0
•
.<e
0
u
•
0
'0
~
~
•
~
,.
,;
0
0
@
5I;
.,
•
sL _
N1
E.
FIG. 8:5.
Schema de fll!re realise par integrateurs
(8.14)
8 • ,Les structures de filtres en chaine
260
au s est Ja variable de Laplace et Rune eonstante de normalisation. Il s'agit dans
les deux Cas de fanctions' de transfert d'integrateurs a,isement realisables avec des
arnplifieateurs operationnels et des resealix R - C. On aboutit alors au diagramme
de la figure 8.5, deduit de la figure 8.4, qui reRresente les fonetions realistOes et Ie
schema du Gircuit aVec les integratel!fs.
La realisation numerique consiste a rempl-acer ohaque integrateur par unefonetion equivalente. Dans la reference [3] il apparatt que Ie seul circuit numerique
integrateur simple realisable et equiv-alent Un integrateur analogique est eelui qui
est represente par la figure 8.6 et dont la fonetion de transfert en Z, I(Z) s'eerit:
a
1
aZ-'i
I(Z) ~ 1- Z I
FIG. 8.6.
(8.15)
Circuit numerique integrateur
L'equivalence entre les inte-grateurs analogiques et numenques est obtenue
co.mme- pour ioute fonctiort de trahsfert, en rempla~ant Z par e jooT . 11 vient ;
_jill!'
1(0l) ~
ae 2
1- e- jmT
a
1
2j
sin ( Ol
~)
(8.16)
Test la periode d'echantillonnage du circuit mimerique. Cette fonction est equivalente a la fonction " aT anaJogique avec une transformation de l'echelle des
jOl
frequenees. Si fA designe la frequenee analogigue et iN la
frequence numeriqlle on a :
(8.17)
La defor.mation ainsi app()[tee a l'echelle des frequenees est different" de eelle
obtenue avec 1a transformation bilineaire introduite au chapitre precedent, 'comrne
Ie montre la figure 8.7. Jl faut tenir epmpte de e~tte deformation dans Ie ealeul d' un
filtre a partir d'un gabari!.
Le circuit de la figure 8.6 presente I'inconvenient de fatre apparaitre la
I
a
fonction Z- i qui correspond un cjrcuit ae memoire supplementaire. Or la fonction de transfert d' un filtre en echelle n'est pas modifiee quand les impedances de
toutes les branches sont multipliees par une meme fonetion [3]. Celte propriete
8.2
261
Les fillres en echelle simu/ee
Vlq ,.8.7. Vefonnation de l'&:helle des jrequenGes
par transformation sinusotdale.
a deja ete utillsee precedemment pour introduire la constante de normalisation R.
1
En mult:ipli~nt les imp€dance$ par Z~ ~ , on €limine ce terme de toules les [onctions de transfert en Z des ihtegrateurs du circuit qui deviennent :
TR
L
ritZ) = :L, . 1 _ Z- 1
pour i impair
el ;
pour i pmr
1
z-
.'!:::i
Par contre l~s. resistances de terminaison sont transforrnees' en Rt
2: et R2 Z- i ;
les terminaisons TIe sont plus purement resistives-J elies ont les .fonctions de transfert :
R 2.e - j n[T
", Quand la frequence d' e.chantillonnage est grande devant la bande passante cet
~
o
.."••"
],
•
o
o
c
•
effet peut etre neglige; il en resulte une modification non significative de la fanction de \ransfert du fil\re. De plus les r€sist~nces ~ e\ ~ pe1)Ven! eire choisies unitaires, de meme que- 1a cpnstante de- normalisation R. Le schema du filtTe numeriq.u e obtenu dans ces conditions est donne par la figure 8.8.
Les coefficients ont les va1eurs. suivantes~ pour un ordre N impair :
'1C
8o
'0
~
~
•
T
a2i_1~
~ ;
'0i~
T
--'
4+1 '
i~1,2, ...
N-1
-2-
(8.18)
~
-g
Le filtre ainsi' realise. necessite. N multiplications et N memoires pour line i onction
8' de transfert djo rdre N; pour ces parametres la structure ~t canonique. Le nombre
©
d ' additians s'€leve a 2N + 1.
8 • }..es structures de fjftres en chaIne
262
Fm. 8.8.
Filtre numerique en echelle simulie
En reswne Ie caleul d' un filtre numerique en echelle sllnulee a partir d'lln
gabarit impose demande-les etapes suivantes:
- Transposer le gabarit en modifiant l'&:chelle des frequences a l' aide de 1a
relation (8. 17) ci-dessus.
- Calouler les elements d'un filtre a elements passifs LC en echelle, salisfaisant au gabarit transpose.
- A partir des va leurs d 'elements obtenues calculer les coefficients
ai (i = 1, 2, N) du filtre numerique par les relations (8.18).
L'interet principal de la structure obtenue est que les coefficients peuvent etre
representes par un nomhre de bits tres faible, qui peut ne pas depasser quelques
unites; alo'Is certaines multiplIcations peuvent se rameneT a de simples additions et
l'on peutmeme dans certains cas eliminet to utes les multiplications du filtre, ce qui
S8 traduit par une economie substantiel1e de circuits. Pour illustrer cette propriete,
on considere le filtre passe-bas d' ordre N = 7 [3] , dont les elements ont pour valeur
(fig. 8.5 ) :
R = R, = R,,= 1
C2 = 1;2597 = Cs
L 3.= 1;5195 = L,
C4 = 2,2382 = Co
L 5 .= :l,6796
Les co efficients ai (i = 1, 2, ... , N) du filtre numerique eh echelle Sllnulee oorres1
pond ant sont caloules avec ·une periode d'echantillonnage T ~ j, = 0,01 par les
formules (8.18) ci-dessus. ·Les ondulations du filtre en bande passante wnt repartees sur la figure 8.9, quand les coefficients sont representes par 10, 5 et 3 bits. It est
remarquable de constater qU'avec la representation a 5 bits, les zeros d1affaiblissement sont conserves. Avec 3 bits, i1s sont conserves egalement a Pexception de
ceilli qui est le plus proche de la bande de transition. Ainsi se trouve verlfiee 1a
propriete d'insensibilite au premier 0rdre des zeros d'affaiblissement, enoncee au
Nragraphe 8.1.
8.3
Les tlispositifs a commutation de capacites
FIG. 8.9.
263
0 ndulations en bande passante pour diverses rep resen.ta.tions
des cNfficients
Par rapport a la structure cascade du chapitre precedent, 1e gain Gbtenu sur cet
exemple peut etre estime a 4 au 5 bits pour la representation des coefficients.
La technique decrite dafls ce paragraphe peut s'etendre aux types de filtres,
autres que Ie passe-bas purement recur:sif, mais avec des complications de schemas.
D'aulre I?art la neeessit" d'avoir une frequence d'echantillonnage grande devant la
banc\e passante n'esl pas tres' favorable pour l'efficacite dt! traitement. En fait la
structure en echelle simulee est surtout utilisee avec un autre mode de realisation
des caleuls, celui qui apparatt dans les dispositifs a commutation de capacite.s,
8.3
LES DISPOSITIFS
A COMMUTATION DE CAPACITE-S (DCC)
Les filttes utilisant les dispositifs a commutation de capacites ne sont pas des filtres,
numeriques au sens strict, car ils ne font pas appel aux opetateurs arithmetlques.
: Neanmoins iis emploient les memes methodes de calcul et sont complementaires.
.~ des filtres' numeriques. Ils sont tres. utilises dans 1es conVersions' analogique-nume]
rique.
•:5
Le principe de base, qui a ete introduit dans la reference [4] , est Ie suivant: Ie
c
•'<e fait de commuter une capacite Centre c\eux tensions V1 e! V2 a la frequence I, est
§ equivalent a introduire une:· resistance R telle que ~
"
::J
"0
~
~
•
~
]
8' entre les deux tensions, En effel, eGmme Ie mantre la figure 8,10, la capacite se
©
charge SOllS les tensions V, et V2 alternativetnent et il s'en suit. un tnll1sfert de
8 • LeJ structures de filtres'en chaine
264
charge· C(V, - V 2) ; si les operations sbnt effectuees ala cadence f., d e courant i tel
que ~
circule entreJes tensions V1 et V2 .
FIG. 8.10.
Commutation d'une capacite' entre les tensions Vi et V2
Cette resistance equivalente s'introduit dans un circuit integrateur camme
indique Slir 1a figure 8.11. L'inte-grateur consid6re pre-sente un sommateur a $on
entree, comme ceux de. la figure. 8.5. Llequation decrivant k - fonotinnnement de
l'integrateur analogi que est donnee. Dans Ie schema avec commutation de capacite, la c.apacite ~ est appliquee, a1a cadence-fel alternatjvement entre Ie;: tensions
V 6 et V, d' une part et l'entree de I'amplificateur operationnel d' autre paTt.
L1expression de la variation AV2 de la tension de sortie pendant la duree At, suppa..,
1
see grande devan t la periode t;' e$t indiguee .sur Ie ~chema.
FrG. &.11. Integrateur a commutation de. capacites
La conditiol1.d'equivalence entre les deux types d 'integrateurs s'ecrit :
(8.19)
Cependant pour analyser completement l'integrateur a commutation. de capacites
il faut tenlr compte de 1'echantillonnage [~l et calculer sa fonction de transfert en
Z. Soit v,(l) Ie signal d' entree et V2(1) Ie signal de sortie; la peri ode d'echantillonnage Test sup po see divisee en deux parties egales. La capacite. C1 est cannee..,
8.3
Les dispositifs a commutation de capacites
265
tee pendant ~ a. rehtree de I'integrateur et pendant 2: la tension ve(t) lui est
T
appliquee; SupPQsons que ce soit entre !es instants
transmise a.l'integrateur s'ecrit Q(nT) teUe que:
nT et (n + ~)
T. La charge
2
Dans ces conditions al'instant (n + l )T, la: tension en sortie s'ecrit :
En prenant la transformee en Z des deux membres, it vient :
1
~~i2 ~H(Z)~- ~ . 1~~~1
(8.20)
On retrouve Ie type de fonction de transfert donnee par la relation (8.15) pour les
circuits numeriques; Pintegrateur a commutation de capacites realise exactement
les memes fonctions que les circuits numeriques du paragraphe prec(Edent et la
me-me deformation de l'axe des frequences intervient. II faut noter que, pour
qu"aucun retard supplementaire ne s ~ introduise et pour que cette fonction soit
conservee dans la mise en cascade de deux integrateurs, les capacites de ces deux
integrateurs doivent etre'commutees en opposition de phase.
Le schema avec dispositifa commutation de capacites d'un filtIe en echelle
siinulee comme cellii de.- la figure 8.5 est obtenu par substitution de circuits integrateurs, en calculant dans chaque cas la valeur adonner aux capacites commutees.
1
Exemple:
.,;
Soit it realiser avec le$: dispositifs it commutation de capacites Ie filtre de
'li Butterworth d'ordre 4 dont Ie schema analogique est celui de la figure 8.12.a.
La procedure decrite au paragraphe precedent conduit ~u schema de ia
": figure 8.i2 ,b pour une realisation avec des integrateurs, en supposant tmitaires les.
.~
resistances de terminaisons. Le schema avec DeC est donne par la figure S.12.c.
~ Les coefficients ai (i ~ 1, 2, 3, 4) qui definissent les rapports de capacites sont caleu-
•5
leg par les relations (8.18).
Si Ie' filtre a line frequence fc d'affaiblissement a 3 dB egale a 1 kHz les para'DS metres analogiques sont les suivants :
~
o
"0
~
~
•
1i
~
,.
o
@
Cz~121,8.10-6;
C4~294,1.ro'""
L3 ~ 294,1.10 -6; L, ~ 121,8 .10-6
8 • ,Les struc:tures de filtres en chaIne
266
R,
l5
L3
V,
E ·
I
R,
G,
oj
v.
L
bJ
E
~'2
.4 c~
C2
V,
~~
~-n-y
oj
FIG. '8.12. J!iftre d'ordre 4 d commutation de capacites
Avec une frequence d'echantillannage de 40 kHz, il vient:
1
11,76
a2~ - - ~ 0 085 ~a.,
.
'
Finalement, dans les disP0sitifs .8. commutation de capacites-, la precision.et la stabilite (Ie la canstante de temps cl'un integrateur dependent de ia frequence d'ec),antillonnage four nie exterieurement et d' un rapport de capacites. Ces dispositifs peI'mettent la realisation de filtres tn3s selectifs sur une pastille de siliciulll, SOllS la
forme d~u11l circuit integre monolithique.
8..4
LES FlLTRES O'ONOE
La premiere approche propasee pour la simulation numerique des filtres ana logiques e n eche lle a ete basee sur une simulation element par e lement, en considerant les variables d'onde. Des 'structures generales de filtres numeriques condui-
8.4
Les fillres d'onde
267
santa des coefficients representables par un faible nombre de bits peuvent etre
ainsi .olaborees, B11e$ sont designees par filtres d'onde [6,7].
Le filtre numerique est suppose offrir quatre acees a quatte suites de nQmbres
comme indique sur la figure 8.13,
FIG. 8.1.3.
Acoes dujilt're d'onde
L'onde incidente' est constituee 'par les elements de la ,suite a fillrer 'a, (n),
L'ollde transnllse correspond aux elements de l'a suite b 2(n) filtree par exemple par
un passe-bas. L'onde refiechie btCn) correspond a la suite filtree par Ie filtre complementaire, par exemple passe-haut. On remarqUe que Ie dfspositif realise les
deux filtres ala fa is. La quatrieme suite az(n) est supposee mille,
Comme aux paragraphes pr6cedents la determination i:lu filtre numeriqlle se
fait a partir du filtre analogique en echelle, en deux eta pes, D ' abord les elements,
nUffierigues correspondant aux elements analogiques sont definis. Aux bOTnes
d ~une i'nductance au d'une capacite les andes 'in.cidente A et r6ilechie B s'ecrivent :
A~V+RI
B~V-RI
au V et f sont la tension et le courant aux bornes, R une resi~Umce de refe-rente.
POllr line inductance L on a :
V~LsJ
U n equivalent numerique peut etre obtenu tres simplement en faisant appel a
la transformation suivante, qui e st la transformation homographique introduite au
?
~apitr" pre.ced<mt, au facteur d'?chelle ~. pres:
s~
1- Z-l
.1 + Z ,-1
".~•• En prenant c.mnme resistance de :reference R :::-.. L, 1a relation suivante est 6tablie
~
~
o
entre les andes incidente et refl,echie aux born~s du circuit numerique equivalent a
l'inductance L :
c
•
.1L
8o
'0
~
~
-g.
8
.@.
(8.22)
Ainsi l'equivalent numerique comporte un retard unitaire et une multiplication par
-1. POllr une capacite l'equivale nt numerique est simplement un retard unitaire.
Dans cette procedure il apparalt que chaque element possede une resistance
de :reference particuliere et la deuxieme phase de la determination du filtre. numeriql!l.ec.ons~te a interconnecter convenablement les elements qui ont des resis-
8 • }..es structures de fjltres en chaIne
268
tances de reference distinctes, ce qui necessite des dispositlfs d1adaptation. Pour
mettre en serie deux elements 'il $aut utiliser uIi adaptatel!r sirie dont le symb6fe
est donne par la figure 8.14.a.
FIG. 8.14.a.
Connexion et symbole. de l'aJaptateur serie.
Les relations entre les couples de variables d'onde (a" 6, ), (a" b2 ) et (a" bj )
sont obtenues en tenant compte des relatio ns qui oaracterisent eet adaptateur :
I, ~ 12 ~ I,
(8.23)
V,+V2+V3~O
Fro,'8 .14.h.
Schema de r a'daptateur serie
Le scMma Be l'adaptateur s6rie est donne par la figure 8.14.b. LeS ondes,refiechi'es s'expriment par:
avec
2R,
~,~ R 1. +R+R
"'-"2
3
avec
(8.2 4)
8.4
269
Les fillres d'onde
Pour la connexlon paraliele, Ie symbo[e et Ie schema sont donnes par [a figure 8.15.
Les relations qui caracterisent l'adaptateur correspond ant sont 'les suivantes':
I, + 12 + 1, ~ 0
(8.25)
Vl~V2~V,
FIG. 8.15.
SymbDle et schbna de l'adaptateur liardllete
Comme ci-dessus ces relations conduiseht a determiner les andes Teflechies par' les
expressions:
avec
k~ 1, 2, 3.
et:
.."••"
(8.26)
],
•c
o
~
'1C
8
o
]
~
~
1i
Lors des interconnexions d'adaptateurs entre eux, il peut apparaifre des boucles
sans retard, c'est-a-dire qu'a un acces, une oude refiechie peut dependre de l'onde
inci<,lente au meme acces qui depend elle-meme de l'onde rMlechie a calculer. 11 est
possible d~o1Lvrir cette bouCle en irnp0sant a la resistance de refe-rellGe a cet acees
une valeur telle que l'onde refiechie ne depende pas de l'onde incidente. Cette
§
condition est realisee a Pacces 2 par exemple si, clans P6.quation donnant b 2 , 113
@
coefficient de a2 est nul, c_e qui pour ['adaptateUr serie impl1que : 'R2 ~ R, + R j .
o
8 • Les structures de filtres en chaIne
270
Il vlenl alors :
Pour radaplaleur paraDide : G 2 ~ G, + G, avec:
a,~
G1
G, +G,
az~1
et
Ces adaptateurs sont dits auverts adroite.
Tous les elements necessaires ala d6tennination du filtre sont ainsi disponibles.
Exemple:
Soit Ie filtre de'la figure 8.16 avec les valeurs :
R,~ R2 ~1n
C, ~ 0.1086 F;
L, ~ 0.2091 H;
~ ~ 0,1907 F
L2 ~ 0.0202 H;
LJ= 0,09021 H
Cdiltre a 5 elements, il faut 5 memoires el 5 adaptateurs.
Le schema du filtre est donne par la figure 8.17.
Les adaptateurs nUmerQtes 1, 3 et 4 sont de type, -serie ouverts a un acces et
·ont pour coefficients :
~, ~ 0,91725
~3~ 0,99616
~4 ~ 0,8120
R,
FIG. 8.16.
E;xemple de Jiltre de reference
FIG . 8.17 .
Sch~ma sylWptique d'un filtre d'onde
L,
8.4
Les fillres d'onde
271
L'adllptateur 2 est ciu type parallel" ouvert a un acces; il a pour coefficient
a<:, ~ 0,8284. L'adaplateur 5 est de type parallele ge'neral, 'avec deux coefficients qui
sont: u, ~ 0,8956 et
~ 0,99618.
0;,
rIG. $'. 1$. Reponse. en frEquence du filtre d' onde
La fonction de- transfert en Z correspondant a l'onde- transmise est abte-nue.a
partir des elements donnes au paragraphe 8.1. Elle se met so us la forme suivante :
_ (Z + 1HZ2 + 2Z(2~3 -1) +1J
H (Z ) D(Z)
(8.27)
Elle presente un zero double au point -1 et dellx zeros sur Ie cercle unite Zl et Zl
tels que:
Z, ~- (2~3 -1) + rl/l- (2~,-W
(8.28)
3 qui ne dependent que du coefficient ~3 '
:
La figure 8.18 re-presente la re-ponse en fre-quence du filtre abtenu sans arrondi
.~ des coefficients et avec un arrondi a 6 bits des coefficients autres que ~3' Les pro~ prietes de faible sensibilite en bancle passante sont nettement m~es en evidence .
•:5
eet exemple montre que les coefficients peuvent etre representes par un
~ faible nO,m bre de bits comme clans les fiUres en echelle simulee. L'arrondi du coef'1C
8o ficiellt ~3 se traduit par un deplacement de la pointe d'affiliblissement infini,
] comme en structure cascade.
;
Une propriete intf~Tessante- des filtres dlonde est que les memes ca1culs et les
-g memeS circuits fournissent en. me-me temps Ie filtre complemerttaire_. Le signal de
8' sortie filtrt' correspond alors a la suite b,(n) de la figure 8.13. L'affaiblissement en
@
frequence de ce filtre est donnee a la figure 8.19'.
"
8 • Les structures de fjltres en chaIne
272
EIG.8,19,
Afffliblissementdufiltre de rejiexiolJ
Les filtres d 10 nde ont ete Qbtenus par une analogie avec.les lfgnes de- transmission..; une analQgie avec les tuyaux sonares a conduit aux flltres en treilHs.
8.5
LES FlLTRES EN TREILLIS
La structure de treillis apparalt dans les etudes d'analyse et de synlMse de 1a parole,
pow: la simulation du conduit vocal, et plus generalement dans les systemes de prediction linea;re. Elle perme! de n§aliser des filtres de type RIF et de tYPe RJI [S].
Soil la structure aM cellules representee sur la figure 8.20'.
Fm. 8:20', Filtre en trei/lis dg type· Ri F
Les suites de so rtie de la premiere cellule, Yl (n) el u,(n) sonl liees a la suite
d' entree x (n) p ar les relations suivantes :
y,(Il) ~ X(fi) + k,x (n -1)
u,(n) ~ k,x(n) + x(n-l )
('8.29)
8.5
273
Les fillres en Ireillis
De meme les suites de sortie de la deuxieme c.;liu!e, Yz(n) el ",,(n.), sont liees a
la suite cl'entree par :
Y20) ~ x(n) + kj (l + k2 )x(n -1) + k:,x(n - 2)
" 2(n) ~ k:,x(n) + k,(l + k2)x(n -1 ) + x(n - 2)
(8.30)
Par iteration ilapparalt que les suites de Sbrtie du filtre, YM(n) et "Men), ~ont
liees a la suite x(n) par les relations suivantes, qui correspondent a un filtrage de
Iype RTF:
M
YM(n)~ ~
aix(n-i )
(8.31 j
~ aM_An - i)
(8.32)
i=O
M
/=0
Les deux filtres RIF ains} obtenus ont les memes coefficients mais dans Fordre
inverse; leurs fonctions de transfert en Z , HM(Z) et UM(Zj, sont des polyn6mes
images. 11 vient :
M
,HM(Z) ~
~
ai Z-i
j=O
M
UM(Z) ~ ~ aM _; Z- I ~ Z-MHM (Z-I)
(8.33)
i=O
Pour determJner les coefficients k i du filtr" en treillis a partir des coefficients
ai. (1 :oS i ~ M), 11 faut proceder p'ar iterations.
a
D'abord Ie coefficient ao est suppose egal I'unite. Ensui!e il est aise de verifier d 1apres les relations donnees prece-demment, et aussi directement sur 1a
figure 8.20, que 1'om a :
Cette remarque est a ia base du ca!cul. En designant par Hm(Z) lOt lJm(Z)
.. (1 '" III "" M), les fonclions de !ransfer!correspondant aUl< sorties de 1" cellule de
", rang m, on pelit ecrire 1a relation matricielle suivante :
kmZ ][H",_,(Z)]
."••
"'C
o
-1
],"
•o
o
o
Z~ l
Um-I (Z)
Cette relation peut aussi s.'ecrire, en supposant km *- 1 :
•
'1C
8o
(8.34)
"0
~
~
•
~
-g.
Ains; le&polynomes Hm _1(Z) lOt U m _1 (Z) so.n! des polynomes images de degre
g III - 1 dont les coefficients ai(In-I) (1 "" i "" m - 1) se calculent a partir des coeffi"
cierrts aim (1 "" i ,,; m) des polynomes HmCZ) et Um(Z) .
8 • ,Les structures de fjftres en chaIne
214
Dans ces conditions il vient :
1
aCm-1)(m-1)~ 1-a 2
[aCm-1)m -amma,ml
(a35)
mm
Les coefficients k m (1 oS m oS M ) sont ainsi calcules en M iterations.
Exemple:
Soit la fonclion de transfer! H3(Z) telk que. :
H3(Z) ~ 1-1,990 Z-l + 1,572 Z~2 - 0,4583 Z-J
II vient:
D'apres Ia relation (8.34), OTh pevt ecrire :
H 2 (Z) ~ 1 -1,607 Z -1 + 0,8355 Z-2
D \ru:
kz ~ 0,8355
Par application de Ia relation (8.35), il vien! :
k, ~ - 0,8756
et H 1(Z) " 1- 0,8756 Z ' !
La realisation de fillres de type RIT purement recursif conduit a une structure
duale, representee sur la figure 8.21.
FIG . .8.21.
Filtre e.n treilliS de type Rllpurement recursif
Les suites xl (n), u1(n) et y(n) sont liees par les relations suivantes :
yen) ~ x,(n) - k,y(n -1)
u,(n) ~ kty(n) + yen -1 )
De meme Ies suites x2(n),x,(n), u,en) e! u,.(n) sont Mes par les relations:
x,(n) ~h(n) - kzu,(n -1)
1L~(n)~k2x1(n) + 1L1(n-1)
8.5
275
Les fillres en treil/is
Il en resulte entre ['enlree x 2 (n) et I. sortie y(n) la fonction de transiert H:J(Z)
telle que :
1
H:J(Z) ~ 1 + !s(1 + k2)Z~1 + /SZ 2
De meme entre ,,"(n) et yen) apparatt la fanetion de transfert U2 (Z) telle que:
U 2 CZ) ~ k:z + !sC1 + k:z)Z~l + Z-2
Par iteration il apparat! que les suite$ -,,,(n) et yen) d'une pa-rt, (iM(n) et yen)
d'autre 'part sont liees par les relations:
1,1
y(n.) ~xM(n) -
L bjy(n - i)
(8.36)
i= 1
(8.37)
Il en resulte les fonctions de hansfert HMCZ) et UMCZ) telles que:
"M-l
UMCZ) ~
L bM~jZ-j + Z-)\1 ~ Z-MDM(Z- l)
(8.38)
i = .Q
Pour caleuler Jes coef(icients k j (1 "" i ~ M) du .fillre en !reillis a partir des
coefficients bi du filtre RII 11 faut pro ceder par iterations en remarquant que Fan
a:
_,;
ow
~
,o
-.'•••"
En d¢signant par Hin(Z) et Um(Z) [es fonctions relatives a ['ensemble de m
cellules (1 '" m '" M),:iJ est possible, a partir des equations de definition :
xm_ICn) ~,xm(n) - kmum_ICn - 1)
um(Ji) ~ km-"m_l(n) + Um_l\n - 1)
B
, de faire appararrre la relatioThmatricielle suivante :
•
o
o
c
•
-<e
8o
]
~
~
Comme dans Ie cas tiu lype de fillre RIP, celte relation matridelle s'ecrit
aussi/ pour klfl =to 1 ;
1 [1
Dm _1(Zl] _ _
-km][DmCZ1]
[ Um_lZ)
- l - k};, -kmZ
Z
Um(Z)
(8.39)
8 • Les-structures de filtres' en chaine
276
Cette expression permet, comme precedemment pour les filtre~ RIF, de calculer, a partir du pcilynome DM(Z) tel que :
M
DM(Z) ~ 1 + L b;Z-;
1'=1
les coefficients kj (1 '" i .,,-; M) du filtre RII en treWis, en M iterations.
Les structures en tmillis donnees par les figures 8.20 et 8.21 sont canoniques
pour les me-moires de donnees, rna is pas pour les multiplications. Elles peuyent
etre rendues canoniques, par exemple en utilisant pour Ie type RII la cellule il uno.
mUltiplication representee sur la figure 8.22. Par contre, il faut alors une addition
de plus.
Fm. 8.22.
Cellule de filtre en treillis Ii UJU!' seufe multiplication
Les equations de cette cellule arordre 1 sont les suivantes :
(1 + k)xl(n ) ~ yen) + ky(n -1)
(1 + k)u,(n) ~ ky(n) + yen -1)
Au facteur (1 + k) pres eUes sont bien equivalehtes,a celles du treillis a deLix multiplieurs.
Contrairement aux structures de-crites dam. 'les paragraphes precedents, les
filtres en treillis ne presentent pas d' avantages partlculiers pour Ie ilOmbre de bits
necessaires a la representation des coefficients. Cependant une propri6te interessa,nte en pratique est la suivante : une condition necessaire et suffisante poqr que Ie
filtre RII ait taus ses poles ill'inledeur du cercle unite el done soit stable, est qUe
les coeffidents soient en module infeTieurs "a i~unite.
Ik;1 < 1;
1 "" i"'M
Celte propri"te est evidente pour k, sur la figure 8.21 , si I'on isole 13 cellule
correspondante; dIe s'etend aux autres coefficients en consider ant les sousensembles du circuit, et en.raisonnant par r:ecurrence.
n en resulte un controle de stabilite tres simple arealiser et particulierement
utile dans les systemes Oll les valeurs des coefficients evoluent en per,manence,
camme les filtres adaptatifs.
8.5
277
Les fillres en treillis
Les structures de trdllis considerees ci-dessus sent so it non rec\lfsive soit
puremenl recursive. II f~ul remarquer que la struct!!re puremenl recursive peut
eire completee pOur faire un filtre general, il suffi! de former une sommation pondere" des variables u",(n). En'effet, la relation :
M
vM.(n) ~yoy(n)+
b Ymum(n)
m=l
definil un filtrage de type RIF sur Ie signal yen), en raison des relations (8,37).
Les coefficients b, (1 '" i '" M) etan! fixes, les coefficients Yi peuvent etre caloules
pour obtenir un numerateur queiconque pour Ie illtre genera1.
Il' est interessant d'observer egalement que la ~trllcture purement recur~ive
cOmporte la fonction de dephaseur pur. En effet, les equations (8.37) et (8.38) permettent d\~crire :
'H (Z) ~ UM(Z) ~ b M + bM _ 1 Z - ! + .. . + Z-M
D
X(Z) 1 + b,Z 1 + ... + bMZ M
Celte expression montre que, camme indique al!. paragraphe (6,3), Ie signal
uM(n) est la sortie d 'un d€phaseur pur dont x(n ) esl Fentree. La fonction de transfert HD (Z) slexprime directem~nt en fonction d~s coefficients du trelllis par une
fraction continue :
(1 - ki.)Z-1
HD(Z) ~ kM + ----~-=.--1
(1-k2
-1
kMZ
+
k
M-I
Z- l
+
)Z-I
M - l
1
T ----c
( l;-_~k2m,)""Zc"
k,+ krZ'+1
..
ow
~
Celte remarque peut etre ulilisee pour calcuier directement ies poies clu filtre en
treillis [9] "
,o
Vne, application interessante d~s resuTtats ci-dessus est Ie flltre
a encoche
."••"
inlroduit au paragraphe 6.3. La sortie du filtre a eneoche YE(n) est obtenue simplemen,t en ajoutant un additionneur au circuit de la figure 8.21, pour effectuer I'ope-
•o
ration:
],
o
o
•
(8.40)
'5.
8o
"0
-a.
A Pord[e 2, la fonction de transfert.du dephaseur s\~crit:
H
Z _ ls+ k ,(1+Is)Z-I+Z-2
D( ) - l+kr(l+Is)Z ' T IsZ 2
8 • ,Les structures de filtres en chaine
278'
Une propriete uttle de cette approche est que 1a frequence O}o et la hande d'affaibliSsement a 3 dB, B3E, peuvent etre ajustees independamment [10]. Ce decouplage provient des relations suivantes :
k,= - CGs Olo
1- tg n:B3E
- 1 + tg n:B3E
~ -
(1- 10)2
(8,.41)
Si J'on fait une soustraction dans l'equation (8.40) au lieu d'une addition, c'est
lefiltre complementaire que I'on obtient.
8.6
ELEMENTS DE COMPARAISON
Apres 1a presentation des diverses structures de filtres numeriques il est utile de
faire. une recapitulation de ieurs proprietes. La reference [11J presente une analyse
comparative det"illee.
La structure 1a plus,facile a obtenir est 1a structure cascade, puisque les coefficie)lts cqrJe.SPQllq~llt it ulle simpJe factorisation de la fonction de trans/ert en Z.
Elle conduit aU minimum de multiplications, d'additions et de memoires. P"r
contre 1a representation des coefficients peut rtecessiter un nombre de bits important·
Le chaix entre les structures cascade et t.reillis ne se pre-sente generalement
pas pour les filtres a coefficients fixes car 1a structure en treillis correspond a des
utllisations particulieres.
Les structures tin~es de la simulation des reseallx analog.iques. en echelle, les
filtre. en echelle simulee et les filt,es d'onde, Qffrent line ,epTesenta.tion des coefficients qui peut se iimiter quelques bits meme pour des filtres tres selectifs; il s'en
sliit que I" suppression des IrtUltiplieurs est envisageable; comme ce soht gener·alement les circuits les plus complexes Ie gain en materiel est appreciable. Cependant
il faut tenir compte d'un certain nombre de complications. D'abord Ie nQmbre
d'ac\ditlons est augmente. Ensuite, I'enchalhement des operations se Gomplique
car, par exemple dans les filtres d'onde, il faut faire les calculs correspond ant aux
andes incidentes et refiechies a l inteTieur tiu mtre et executer ainsl un aller et
retour entre T'entree et la sortie. Ces operatil.:ms exigent des memorisations complementaires pour des resultats intermediaires. D'autre part Ie multiplexage des
operations entre plusieurs filtres, qui est un avantage important du traite'm ent
numerique, est rendu dif:tlcile. Finalement une eva]uation complete est necessaire
avant de xetenir ce type de structure.
a
1
l
BIBLIOGRAPHIE
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CNET-ENST, Paris, 1981.
Exercices
27'1
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hla.t rice de transfert, RevueMBLE, Belgique, Vol , 10, N° 1, ~67.
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Mars 1975.
[4] B. HOSTICKA, R. BRODERSEN and P, GRAY - MOS S~1]lpled Data Recursive Filters Using
Switched Capacitor Integrators. IEEE Journal Solid-State Circuits, VoL SC-12, Dec.
1977,
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[6] A. FETIWEIs - Digital Filter Structuies Related to Classical Filter Networks. Archiv.
Elek. Ubertragung, VoL 25, Feb. 1971.
[7] J. R. BOITE et H. LrucfI - Synthi:\se des filtres numeriques simulant les filtres· a inductances et capacites. Artnales des Telecom. Tome 31, 1'P~ 3-4, Mars 1976.
[8] S. K. MITRA, P. S. KAMAT and D. C. HUFf - Cascaded Lattice Realization of Digitai
Filter'S. Circuit Theory and Appli{:ations, VoL. 5, 1977.
[9] W. B. J ONES and A. O. STEINHARDT - «Finding the Poles of the lattice filter», IEEE
Trans., VoL ASSp c33, W 4, Oct. 1985, pp.1328-1331.
[10] T. SA'RAMAKI, T. H. Yu and S. K. MITRA - V ~ry low S'ensitivity Realization of IJ.R
Digital Filters Using a Cascade of Complex All-pass. Structures, IEEE Trans" CAS-34,
Augl1st 1987, pp. 876-1l86.
[11] R. E. CROCH!ilRE and A. V. O PPENHEIM - Analysis of Linear Digital Networks.
Preceedings of the IEEE, Vol. 63, W 4, Aprii ,975.
EXERCICES
a
1 .~crire pour les quadripoles eh3mentaires donnes Iil figure 8.2, les matrices d'impedance et de repartition. Dorther les matrices d/impedance, de repartitiou et de ttansfert
quand les elements sont des cirtuits resonants LC.
a
,o
.."•••
2 Soit 1e nitre qe Butterworth d'ordre 4 donne la figure 8.l2.a. Tracer Ie graphe qe
fiuence correspondant. Donner Ie schema du filtre numerique en echelle simulee et crilcliler
ies coefficients en partant des valeurs donnees pour les elements analogiques, avec une ' fr6~
quence d'echantillonnage de 40 kHz. Examiner I-a modification de fonction qe transfert en
bande passante. apporlee par une reduction de la frequence d?echantillonnage de 40 kHz a
10 kHz .
],
Tracer Ie gfaphe de fiuep.ce du filtre de la figure 8.16, qui cOinptend Un circuit' r6so•B nant 3dans
une branche. Donner un schema de realisation avec dispoSitifs acornrnutntion de
c
Q)
'5.
8
.§
~
a
capacites· et calculer les-rapports de capacites pour chaque integrateur partir 9~s elements
i,lualogiques en supposant une frequence d'6chantillonnage de 20 kHz. Comparer la repgnse
en frequence obtenue a celle du filtre d'onde.
~
•
~
-g
,o
o
@
4 D~terminer les elements du filtre d'onde correspondant all filtre passe-bas qe.
Tchebycheff d'ordre 7 dont les elements analogiques sont donnes au paragraphe 8.2. La frequence d'echantillonnage est prise egale a10 kHz. Donner Ie schema du fiitre numerique en
echelle sinlulee cortespob,dant.
280
8 • Les structures de fiftres' en chaine
Comparer les quantit6s d'operations a faire dans chaque reaiisation. Quelle.est 1a plus
avantageuse?
Comparer les reponses- en frequence, quand les Goefficients sont repre-sentes.pm 5 bits.
5 Calcul~r 14 re-ponse en frequence du 111tre f}U treillis Qoune en e~ernple au ~par·a­
graphe 8,5. Cgmment evolue cette reSpon.se qU3rtd les patathettes sont repr€sentes pat 5 bits.
Etablir Ie schema du filtre avec des celiules une seule multiplication. Comment doit-on
modifier Ie schema pour obtenir Ie filtre Q,e fqrretion d~ transfert en ZinV~z;se .
a
Chapltre 9
Signaux complexes
Filtres de quadrature
Interpolateurs
Leg· signaux complexes, solis la forme de suites dont les elements sont des.nombres
comp lexes, sont d~une utIlisation courante en traitement numerique clu signal. De
telles suites ant ete considerees par exemple all chapitre qui \n\ite de la
Transformation de- Fourier Disorete. Dans Ie- present chapitre-, une cate-garie parti-
culiere de signawr complexes va etre etudiee, qui effre des propri6tes interessantes, celles des signaux: an~lytiques . Ces signaux interviennent principalement
dans les processus de modulation et de multiplexage. Les proprietes des transformees de Fourier de suites reelles et causales vont etre examinees d' abord [1, 2,3].
9.1
'li
TRANSFORMEE DE FOURIER
D'UNE SUITE REELLE ET CAUSALE
Soit une suite d'61emenls x (n) dont la transformee en Z s' ecrit :
~
"••
.~
]
•
c
o
c
•
'<e
8
-§
rn
X(Z) ~
l: x (n)z-n
n =-m
La transformee de Fourier de cette suIte est abte-hue- en rempla~ant Z par "e j2r;f
dansX(Z):
00
X (f) ~
l: x (n) e.~i2ftnf
n=-m
Si les elements x (n) sont des nombres reels, on a :
~
~
•
X(-f)~ X (f)'
§
Les vale.urs de XU) aux frequeuees negatives sont complexes conjuguees des
valeurs aux frequences positives .
~
-g
o
@
(9.1)
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
182
Dne condition supplementaire peut etre imp osee a la suite x(n) , d'etre causale. Les consequences sur X (f) vant etre examinees.
La fonction X (I) peut etre separee en parties reelle et imaginaire :
X (I) ~ XR(I) + jX I (I)
(9.2)
Si 1a suite x (n) est reelle, d'apres la relation (9.1), la fonction XR (I) etant paire est
la transformee de Fourier d 'une suite paire Xp en) et la fonction XI (I) est la transformee de Fourier d 'une suite impaire x,(n ), telles que :
xp (n) ~xp(-n)
x,(n) ~ - x,( - n)
x (n) ~xp (n) +x,(n)
(9.3)
Ii vient dans ces conditions:
~
XR(I) ~ xp (0) + 2 L xp (n) cos (21m!)
(9.4)
n=l
m
XD) ~ - 2 L x,(n) sin (2Mf)
(9.5)
n=l
Si la suite x (n) est causale, c'est-a-dire que:
x(n)~O
pour
n<O
o n a les relations (fig. 9.1):
1
,<;(n) ~ xp(n) ~ '2 x (n)
pour
11 ;,0 1
xp(O) ~x (O)
et 11 vient :
m
XR(I)-X(O)~ L x(n ) cos (2nnf)
(9.6)
XI(I) ~- L x(n ) sin (2nnf)
(9.7)
n~ 1
n= 1
FIG. 9.1.
Decomposition d'une suite causale en patties paire et impaire
9.1
Transformee de Fourier d'une suite reeJ1e et causa/e
283
Ii apparait que ces deux fonctions sont liees. Pour passer de I'une al'autre il suffit
de changer cos (2Itnf) en - sin (2M/) au inversement; une telle operation est
appelee une quadrature, elle va etre exprimee analytfquement.
Par gefinition un'e suite causale est une $uite qui ~mti§fait l'egalite :
x (n)~x(n).Y(n)
au la suite Y (n) est telle que:
Y(n) ~ O
pour n < 0
Y (n) = 1 pour n ;;' 0
Cette Buite est un echartlillortnage de laofonction echelon unite Y (t) qui possede,
au sens des distdbutions, une transformee de Fourier FY donnee par [2J :
1 (1) * -1o(f)
FY = c-- vp } 2It
f
au vp
(7)
(9.8)
2
est 1a distribution definie par 1'e.xpression:
(9.9)
la valeur principale de l'integrale au sens de Cauchy etant elle-meme' definie par :
vrJ"·-~ 0(1)
dl" foo q>(f) dl= !~ u-' q>(f) dl + Joo _q>U) dlJ
f
-~ I
-~ I
.; I
l/e.chantillonnage introciuisant une periodiclte du spectre, on d6'montre, en introduisant la transformation bilineaire et aved la relation (7.10), que la transformee
de Fourier de la suite Y (n) telle que:
yen) =0 pour n <: 0
y eO) d/2
Y (n) ~ 1 pour n > 0
~
.."
••
],
e$t la distribution FYn qui s'eqrit :
1
1
FY n = T vp [cotg nfl + -2 oU) pour
-J
•
1
- -
1
""'I"'
"
2
2
(9.10)
g Au produit de delJX suites. G'Orrespond 1e prodlJit de convol1!liion des transformees'
.~
de Fourier. I1-vient :
8o
"0
~
~
•
~
1. En separant les parties reelles et imaginaires, on obtient:
o
@
Xd/) t jX,(f) ~ vp [cotg nIl
* [X,u) - jX (f)l t x (0)
R
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpo/ateurs
284
Les relations qui Hent les partres reelle et imaginaire de X (I) s'expriment par :
1
XR (I) ~ x(O) t tXr(f') cotg [rr (f - t'l] dt'
(9 .11)
2
1
X,(f) ~-t XJj.(t'l cotg [rr(f-t'l] dt'
(9 .12)
?
ou encore SOllS line forme differente sans introduire.les vale-urs princi'pales de Cauchy ':
XR (I) ~ x(O) XI (f) ~
t,
t
1
[XrU) - XrU')] cotg [rr(/- t'l] dt'
(9.13)
.2
1
[XR(/)-XR(f')] colg [rr.(f- f')] dt'
(9.14)
Les parties reelle et imaginaire de la transformee de Fourier d'une suite causale
soht !ieees par les relations (9,11) et (9.12) qui correspondent a la transformation de
Hilbert pour les signaux contlnus.
Exemple:
Soit la suite Uk (n) telle que:
Uk(k)~l
Uk(n) ~ 0 pour .n ic k
XR (f) ~ eos (2rrkl); XM) ~ - sin (2rrkf)
On v€rifie directement que :
·t
1
cos (2ICk!') cotg [rr (f- f')] dt' ~
f'l
1
cos [2rrlv(f- t'l] cotg (rr.!') dt' ~ sin (2rrk!)
"
,
f~l sin (2rrkt') c.otg [ft(f - f')] dt' ~ +'1sin [2rrk(f - t')] cotg (rtf') dt' ~ ~ cos (2rrkll
1
1
2
2
D'autre part d'apres la relation de Parseval on pel)tecrire :
f:XA (f) d!~ J:Xy(t)dl
La partie reelle et la partie imaginaire de X (I) ontla merne puissance.
9.2
SIGNAL ANA~YTIQUE
Les signaux analytiques cO'rrespondent aux sjgnaux causaux quand on echange
temps et frequence. Leur spectre ne contient pas de compos antes aux frequences
negatives et leur denomination provient du fait qu'ils constituent la restriction a
9.2
Signal analytique.
285
l"axe reei ci'une fanctian de varIable complexe anaiytique c'est-a-dire cieveloppabie
en s6-rie entiere dans une reg.ion contenant cet axe.
Les proprieles des signauX analytiques se deduisent de celles des signaux causaux en echangeant temps et frequence.
Soit Ie signal : x (t) ~ XR (t) + jx,(t) tel que:
X(I)~O
pour 1 <, 0
Les fonctions xl< (t) etx,(t) sont transformees de Hilbert l'une de l'autre :
1
x (t)~-
foo x~
(t')
dt'
(9.16)
1
x (t) ~- -
foo x~
(t') dt'
(9.17)
.R
I "
TC ' _ (p
1t
t-t'
_",t_t t-
D' autre I?art la transformee de Fourier de la fonct ion'reelle :
1
_
xR (t) ~ 2: [x (t) +x(t)]
(9.18)
est lafonction X R(I) telle que :
1
XR Cf) ~ - [X(I) +X(- I)]
2
(9.19)
<'est-a-dire que X R (t ) ~ ~ X (I) pour les frequences positive.s et X R (f) " ~ X (- I )
pour les. frequences negatives.
Dememe:
1
.
-
XrV) ~-j 2: [X(lJ-X(-/)]
(9.20)
La figure 9.2 :illustre la decomposition du spectTe d'nn signal en parties reelles et
imaginaires.
Exempte:
~
~
,
•c
g
•
'<i-
S
o
:[
1
",,(t) ~ sin rot ~- j 2: [ei"" - e- f "']
I1 ap.paralt finalement entreXR (f) et XI (f) les relations suivantes :
X,(f)~-jXR(f)
pour 1 > 0
X, (I) ~ jX R (I) pour 1< 0
1 C'est-a-ciire que x,(t) est obtenu a parfir de X (t) paT une rotation egaie a ~ des
R
o
@
composantes. La transformation de Hilbert coflsiste en une mise en quadratl!re des.
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
286
composantes du signal; c'est une operation defiltrage avec laore-ponse en frequenee Q (f) repr6sen!ee sur la figure 9.3.
o
•
o
•
'i
FIG "9.2.
Sp.ectre d'un signa] analytique
a (I)
FIG. 9.3.
Repoflse enfrequence
du jiltrs de quadrature
o
-i l - - - - - -
Exemple:
xR (r) ~ [[A(t) cas (2rrtr)- B(t) sin (2rrtr)]d/
(9.21)
xI (r)~ [[A(t).sin (2lttr) +B(t) cas (2lttr)]dt
(9.22)
Les proprietes des signaux analytiques Gontinus peuvent se transposer aux
signaux discrets moyennant certaines adaptations.
Un signal disere! 'a une !ransformee de Fourier periadique, Un signa'! discre!
analytique x en) dectuit d'un signal reel, est un signal diseret dont la transfarmee de
Faurier x" (t), qui ala periatie f,~ 1, s'anmile pDUf -
~ "" t < 0 (fig. 9.4).
Si un signal diseret x(n) est obtenu par eehantillonnage d'un signal continu
analytique x (t) it '!a frequenee t, ~ 1, il eanvien! de remarquer que la restitution de
9.2
Signal analytique,
287
signal contlnu a partir des vaieurs discretes est abtenue par un filtre de re~titution
qui ne conserve que les compos&ntes du sign~l comprises dans la bande (0, t,)
cOmme Ie montre la figure 9.4. La formule de restitution correspond ant a l'e'xpression (1.57) , s'ecrit:
x (t) =
.
L x (n) sin [1t(l-nll
.. e i n(I -n)
1t(t- nJ
(9.23)
n~- ~
I
-I
~
Q
•
o
FIG . 9.4.
Spectre d'un signal analytique disc ret et filtre d'interpolation
Par suite l'echantillonnage n ' apporte pas de degradation au signal analytique
,t"
(t) si son spectre ne 'c antient pas de compo:santes aux frequences -superieures. Oll
egale at,. D'oll Ie theoreme de l'echantillonnage: p'?,UT un signal analytique:
Un signal anaiytique qui" ne contient pas de composantes it des frequences
superieures DU egale aim est entierement determine par la suite de ses valeQrs prelevees·a des instants espaces de T =
~
,
."••"
l.
La suite x (n) se decompose en une suite ree-lle X R (n) et une suite imaginaire
x:r(n ), telle que:
],
Les transformiies de Fourier correspondantes XriR(f) et Xnr(f) sont obtenues i\
.~
precedemment.
g• partir de la transfonnee de Fourier Xn (f) par les relations (9.19) et (9.20) donnees
8o
1
'0
O< t < 2
~
~
•
~
,.
-g
o
@
pour
1
-2 </ < 0
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
288
Les relations entre les suites xR(n) et xr(n) sont obtenues en considerant Ie
filtre de quadrature dont la reponse en [requence e$t donnee par la figure 9.5 . La
reponse impulsionnelle de ce filtre est la suite h (n), telle que:
o
h(n)=
LJ-"J2nnt <if +
t (1
j). ",i - t df
2
(mt)
pour
*0
2
h(n) = - :1 sin 2 1tn
(9,24 )
'n
h(O) ~ 0
.i
2
_i
2
-j t-----'
h (n )
1
7
-4 -3 -2 -1
OJ2345678n
FIG.95.
Reponses dufiltre de quadrature
En appliquant a ce filtre la suite x R (n), on obtien! la sUitexr (n), d 'ou :
2
xl(n)~-
sin2(1t~)
m
L
1t m = - ' ~
m. *n
xRCn-m)
m
(9.25)
'
dememe :
(9,26)
Les suites xR (n) etxr(n) sont liees par la transformation dite de Hilbert d iscrete [4].
L'examen des el<,ments de la suite h (n) amene plusieurs [emarques. D ' abord
Ie fait qu'un element sur deux soit nul entIaine que si la suite x R (n) a egalement un
9.3
289
Calcul des coefficients d'un filtre de quadrature RIF
element sur deux nul, il en est de meme de la suite xr(n ) et les deux suites X R (n ) et
XI (n) sont entrelacees. Un exe;mple sera donne ulterieurement.
D 'autre part la reponse impulsionnelle du filtre de quadrature correspond a
un cas de fillre RIP" phase line aire mentionne au paragraphe 5.2. En effet sa
re-ponse en frequence s'ecrit:
L h(n) sin (2rcnl)
Q(t)~-j.2
(9.27)
n=1
Pour la Tealisation il faut limiter Ie nombre de coefficients.
9.3
CALCUL DES COEFFICIENTS D'UN FILTRE
DE QUADRATURE RIF
Un filtre de quadrature realisable est obtenu simplement en limit ant Ie nombre de
termes sur lesquels porte la sommation (9.27) . La reponse en frequence s' ecarte
alors de la reponse ideale. En pratique Ie filtre est specifie par un gabarit donnant
l'ondulation toleree 8 dans une bande de frequence (fr, 12) comme Ie montre la
figure 9.6. Pour aboutir a un filtre RIP satisfaisant on peut partir d 'un filtre passebas et utiliser les resultals obtenus au chapitre 5. En parliculier,
Q( f)
Wff//P/////t&,j
1+ &
V//hV/ij/##/A
1-&
I
I
I,
t
o
1.
-1 + ~
f2
I
I
1
I
T
f
__wY/d?'///Lf'lA
-1 - ~
FIG . 9.6.
Gabarit de flUre de quad'rature
on peut faire appel au filtre demi-bande introduit au paragraphe 5.8, dont la
re-ponse en frequence est representee sur 1a figure 9 .7.
BIG . 9 .7. Reponse enfrequence
d'un filtre demi-bande
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
290
Ce filtre est specifie par sa bande de transition "'f et les ondulations en bandes
passante et aWtiblie, qui sont egales 80 , COl11me indiql!e au paragraphe 5.8, les
coefficients pairs sont nuis et la reponse en frequence a pour expression, avec N
~ 4 M + 1 co'efficients :
a
(9.28)
Vne translation de cette re-ponse egale a 0;25 sur l'axe des.frequences conduit a la
fonction H' (I) telle que:
H'(I)
~ H (1- 0,25) ~ e- i'2.aMf 2~ [1- 2 1=1
.~ (-1)' hZi - 1 sin [21t(2i-1lfl]
Les 'Coefficients h~ du filtre correspondant gJec;ivent :
IIs prennent des valeurs imaginaires. En rapprochant l'expression H ' (f) de 1a
relation (9.27) donnant Q (f), i1 apparait que l'ensemb1e des coefficients an te1s que:
eonstitue l'ensemble des Goefficients d'un mtre de quadrature dont l'ondulation est
ega1e a 200 dans 1a bande [
Ai,~ - i J
Exemple:
Pour les specifications 00 ~ 0;01 et "'f ~ 0,111 on trouve : M ~ 5.
a, ~ 0,6283
~3 ~ 0,1880
a5 ~ O ,Q904
a) ~ 0,044,3
Qo ~ 0,0231
L'expression H' (I) correspond a un fillre complexe qui camp rend deux partieS', d'une part 'Un circuit, de retard de 2M periodes 61ementaires j d'autre part un
circuit de fillre de quadrature, camme 1e montre la figure 9.8. Les sorties de ces
deuX circuits constituent la partie n~elle et la pattie, imaginaire du s~gnal c.omplexe.
On peut dire que le syst-eme comporte deux branches,' 'TIne branche n~el1e et une
branche imaginaire .. 11 permet finalement de convertir un signal reel en un signal
analytique, c'est un filtre analytique RIF. Ce dispositif est parfois appele modulateur IQ.
9.4
Dephaseurs a 90" de type recursif
rS ign
reel
291
Rehrd : 2M
Si g nal-
".L-
a-naly t ique
~
Pm. 9.8. Filtre analy tique'.RIF
Filt re de
QUi.drilture
Il faut remarquer que la structure demeure si Ie filtre passe-bas' de base n' est
pas de type demi-band", auquel cas les coefficients d'indice pair ne s' annvlent, pas.
En fait, la translation de frequence de 0,25 correspond a une multiplication des.
coefficients par un facteur complexe, tel que les coefficients h~ prennent les valeurs :
K
h'n= e - j ?-nh
. n
(9.29)
Dans ces conditions la branche rcoelle du systeme n' est pIlls un simple retard;
une fanction de filtr (l.ge est realisee en meme temps que la generation du signal
analytique.
Les circuits a fe-ponse impulsiQnnelle finie perme-ttent ainsl d'approcher Ie
filtre de quadrature ideal sans faire dlerreur sur Ie dephasage mais en faisant une
approximation de l'amplitude dans la ballde passante. Les circuits
a reponse
impulsionnelle infinie Qil recursifs fournissent une approche duale ; Us permettent,
par l'utilisation de dephaseurs purs, d' approcher ie filtre de quadrature sans errem
sur I'amplitude mais 'avec une approximation sur la pha~e.
9.4
."••"
],
•
DEPHASEURS A 90 0 DE TYPE RECURSIF
Un circuit dephaseur recursif est caracterise par Ie fait que Ie numerateur et le
denorriin jIteur de sa fonction de transfert en Z SQnt des:polyn6mes images, c'est-adire qu'ils presentent les memes coefficients mais d-ans l'ordre inverse. Les proprie-
tes des dephaseurs ant Me introduites au paragraphe 6.3.
II est possible de concevoir ull Gouple de dephasellrs de telfe sOTte que les
signaux de sortie presentent une difference de phase approchant 90° avec une
g erreur inferieure a E, dans une bande de frequence (t" I,) donnee. Les techniques
.~ de calcul sont les memes que pour Ies filtres R II. La proc6dure pour aboutir a une
g difference de phase ayant un comportement de type elliptique est la suivante [5] :
"0
~
~
•
~
-g
§
o
"
Determinatio n de l'ordre du circl,lit ~
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpo/ateurs
2.92
aV6-Cles valeur-s de parametres:
k= tg (rcft). k = [1 - t g (e/2)
tg (rcfz) ' 1
1 +tg(£l2)
J2
- D etermination des·zeros Zi de la fanction de transfert en Z:
A = Sn [ (4i + 1) ~~v-t=k2), Vl- k<]
'(Sn : fonction eJliptique).
A
p;=-tg(·rc/i) V1 ~ N
1+p
z· ~ - -'-'
I
I-Pi
pour
D~i ~ N-l
Exemple;
Soit les specifications: 1, '" 0,028;
tg (ltA) = 0,0875; b
12 = 0,33 et e = 1 il vient :
0
0,0505;
"" = 0,9657; N = 4,8.
En prenan! N = 5 on obtient :
Po = - 0,0395
Zo =
0,9240
P, = - 0,3893 -", = 0.,4396
P2 = - 3,8360
Z2 = - 0,5864
P3 = -1,0039
Z3 = - 0,00197
P4 = -
0,1509
Z4 =
0,7377
Pour constituer Ie oircuii les irois premiers zeros Zj sont affectes aune branche,
les deux demiers a l'au!re branche et la difference de phase en fonction de la frequence est donnee par la fonction <p(t) representee sur la figure 9.9.
Les dephaseurs de types recursifs perrtrettent d'obtenir deux signaux en quadrature. II faut noter que dans cette operation, ils introduisent aussi une distorsion
de 'phase qui est la meme pour les deux signaux.
Ces circuits peuvent etre utilises darts les eql.!ipement$ de modulation et de
multiplexage.
9.5
Morjulation a bande laterale unique
293
, (I I
11'
------ ~ - -- ------
~
1LH
2
,
Ij
-1!.. - E
I
I
1
,
I
I
I
0
r,
I,
0,5
FIG, 9.,9. Carac.teristique de dephaseurs. it 90°
9.5
MODULATION A BANDE LATERALE UNIQUE
La modulation d1un signal se traduit par un de-placement du spectre sur Paxe des
frequenees. Elle est a bande latera1e unique (BLU) si,. pour un signal noel, la partie
du spectre qui correspond aux frequences positives est deplacee dans Ie sens des
frequences positives et la partie qui correspond aux frequences negatives est deplacee vers les frequences negatives.
Ainsi au signal: s (t ) = coseilt, corre spond Je signal module:
sm (t) = cos (Ol " Olo) t = cos rot cos Olot - sin Olt sin Cilot
Une telle operation peut etre realisee par la proc'edure suivante :
- Fmmer 1e signal analytique Sa (n) = SR (n) + iSI (n) correspond ant au sigHal
reel que eanstitue la suite s (n) .
- Multiplier la suite sa (n) par la suite de nomb.res complexes :
,o
."
"••
<;os (2r"'/o) t i sin (2rw/o)
et conserver seulement la partie n~elle sm(n) de la suite .ainsi obtenue .; il vient ~
],
•o
e
~
L'evalution du spectre du signal est donnee par la figure 9.10 et les cirouits
8e cQrrespandanls par la figure 9.11.
]
Si Ie filtre ana1ytique est du type RIF, la suite sR(n ) est simplement la suite
; .s (n ) retardee. Avec les dephaseurs a 90° recursifs~ il n' en est plusde meme.
-g
La suite correspond ant au signal module sin (n) pettt etre :additionnee a
8' d:autres suites modulees pour fournir un signal multiplexe en frequence comrne en
©
t6lephonie par exemple.
'1C
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpo/ateurs
294
-
0
"f
. S.(f)~
,
--i
- - - - - --~O'------"'~--'f,--a
•
o
FIG , 9.10.
Modulation ii band!! latirale unique
oln)
+
Sm (n)
Hz
FIG, 9,11,
9.6
Circuit de-modulation B'L U
LES FlLTRES A DEPHASAGE MINIMAL
Les .p roprietes des signaux eausaux et analytiques etudiees au debut de ce chapitre
perrnettent d'e,lair,ir un point du calcu) des filtres qui n'a pas et€ traite, concermmt les caracteristiques de phase [3].
La reponse en frequence d'un filtre H (f) s'eqit:
et
H(f) ~ A(t)e-io(f) avec A(f) ~ IH U)I
<p(f) = ~ Arg [H(t)l
Le terme AU) est l' affaiblissement et <p(f) est Ie Mphasage apporte a un signal
sinusoIdal, de frequence f , par Ie flltre.
Si Ie filtre est a coefficients niels, sa r<sponse impulsionnelle, la sufte h (n), est
f(,~el1e et par suite :
H (f) ~ H(- f);
A(f) ~ A(- f)
et <p(f) =- <p(- f )
9.6
Les fillres a dephasage minimal
295
Le terme h (n) est obtenu par:
hen)
Ji
~ 2 o ACt) cos •[2n:nf-<p(f)Jdf
(9.30)
La reponse ne pouvant preceder I'application du sigmil au filtre , un filtre realisable
est necessairement causal, avec:
h .(n)~a
pour n<O
Il s~en suit que .si la repon,se est decomposee en partie reeUe et partie imaginaire :
H(t)~HR(I) ± jHrU)
les fanctions HR (I) et HI (I) sont liees par les relati,ms (9.11) et (9.12) donnees au
paragraphe 9.1.
Or un flltre est SDuvent specifie seulemertt par la dOl1nee de contraintes sur
I'ar,nplitude :
et il en re-sulte une indetermination sur Ie dephasage.
D'une maniere generale, Ie tTaitement d1un signal demande tin certain temps,
qui correspond au temps de propagation a travers Ie systeme. Ce parametre est
caracterise par '1e dephasage en foflction de la freq\lence. Pour n'linim~et ce temps
de propag.ation, on est conduit rechercher la caracteristique de dephasage minimal, ce qui leve !'indetermination sur Ie calcul du filtIe . Une autre possibilite pour
lever cette indetermination est de specifier un dephasage lineaire.
a
Un filtre stable et realisable a line fonction de transfert en Z, H (Z), dont les
poles sont a l'interieur du cercle unite, les zeros pouvant etre a }'exterieur. Soit Zo
un tel zero et soit HI (Z) la fonGtion tene que ~
1- 2 Re(7.o)Z' I + IZol2Z- 2 Z-2 (Z-7.o)(Z-Zo)
H, (Z) ~ 12'.012_ 2 Re (2'.0) Z '+ Z 2
(Z-I- 2'.0) (Z-I - 2'.0)
~
~
C!est 1a fonction de transfert dlun dephaseur pur du second ordre, qui a. ete. intro-
3 duite au paragraphe 6.3 lOt do:nt Ie temps de propagation de groupe est donne par
]i. la .re1ation (6.46). On pellt €crire :
.•••
],
H (Z) ~ H, (Z) .Hz(Z)
~
au Hz (Z) est urle fonction qui s'annule en Zo 1 et appOTte ~n dephasage plUS faible
~
que H (Z) . Un raisonnement par iteration amene
l
a la conclusion que la fonotlon
qui ale dephasage minimal est la fonction Hm(Z) obtenue en rempla<;ant dans
.§ H (Z) tous les zeros exterieurs- au cercle unite par leur inverse.
:;:La formulation de la condition de phase minimale est que la fonclion :
~
~
~
o
"
In[l'1(Z) l~ln[A(Z)l-j<p(Z)
n'ait pas de pOles a j'exteriel!r du cercle miik
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
Dans ces conditions les fonctions In [A U)] et <jJ(f) sont liees par les relations
(9.11) et (9.12) correspond ant it la transformation de Hilbert, Ce sont1es relations
de Bayard-Bode pour les systemes discrets :
In [A (f)]
~K- [ , <jJ(f'Jcotgre(f-f')df'
(9.31)
2
1
<jJU) ~ Ji lIn [A (t)] cotgre(f- f'Jdf'
(9 .32)
·2
La. constante K est un facteur d'eehelle pour I' amplitude.
Une autre formulation de la condition de dephasage minimal, pour Ie flItre
realisable et stable deflni par H(Z), est que H-l(Z) corresponde egalement a un
filtre realisable et stable. Un exemple est donne 'au paragraphe 15.3 avec la prediction l1neaire.
De meme l une fonction HM (Z) dont les zeros sont aPexterieur du cerc1e unite
est dite a dep hasage maximal.
9.7
FILTRE DIFFERENTIATEUR
Un mtre differentiate.ur est un filtre de <J1'Iadrature dont la reponse est proportionnelle a la frequence :
.~
Hlro) ~D(ro)e-)2
(9.33)
D (ro) ~ ro pour 0 oS ro '" ro, '" re.
S; la fin de bande passante ro, est egale a re, Ie filtre est dit 'pleine bande.
Le filtre nUfnerique it N coefficients correspondant a pour reponse :
H ero)
~ R(ro)e-i(~ ,,,,N-l)r,,)
(9. 34)
avec R(ro) fonction reelle telle que
p
R(ro)~
L h; sin iro;
N~2P+1
(9.35)
£=1
R(ro)~
(1)2 ro ; N ", 2P..
Lp h;sin i- -
[=1
Les reponses impuisionnelles de ce type de filtre ant Me pnlsentees au paragrap,he 5.2.
Les methodes de calcul des coefficients donnees pour les flltres generaux
slappliquent a ce cas particulier, notamment les moindres carres. Un cas simple est
celui du filtre plelne bandel qui est necessalrement a nQmbre de coefficients pair
9.8
297
Interpolation par filtre RIF
c,!mme Ie montre la relati.on (9.35) et pour lequella tecbniqu", des moindres carres
conduit ~ l'e<fpression suivante pour les coefficients [6] :
.
8 (_1);<1
h;= IT (2i-1)2
(9.36)
Si la fonction desiree Deco) est proportionnelle a une' puissance de la frequence.le differentialeur est dit d'ordre superieur.
La conversion q'un signal reel en signal complexe s'accompagne 'Souvent
d'une operation d'interpolation, notamment dans les interfaces analogique-numeriques des recepteurs de communication.
9.8
INTERPOLATION PAR FILTRE RIF
a calcuJer certaines valeurs du signal entre les eGhantillons
connus. C' est une fonction de filtrage qll'il est generalement commode de realiser
par des filtres RIF [7, 8].
Soit ~ qlc\J,ler )eg vakws x(JlT t .,), ~ partir de la suite x (liT) en utilisant un
filtre RIF N = 2P + 1 coefficients. Le retard ~ est tel que I~ I,;;; T/2.
L~interpolation consiste
a
::/(1)
o
3T
FIG. 9.12.
lnte ~polation.'livec un retard ~
.'!:::i
"~
~
.••"•
Le filtre lui-merne apporte un retard KT, avec K entier et Ia sOTtie y(n) dait
etre telJe que:
Yen) R'x [(n-K)TH]
(9.37)
]
~
La fonction de retard s:expr.ime egaJement avec la fonction de transfer·t en Z.
5 Il faut avoir, en posant T ~ 1 :
c
•
'<i-
S
o
'0
'N -l
H(Z)~
L a;Z~ ;R''Z(KH
(9.38)
i=O
~
~
j
au encore dan's Ie domaine des frequences :
(9.39)
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
soit:
N-l
L a· e- j(i -K)ro ~ 1
e- j~ro
j""Q
(9.40)
l
En posant K = P, 'apres changement de variable, il vieht :
p
L h·e-jiUJ~l
j =_P I
(~ .41)
L hi e- i (i H )ro""l ;
(9.42)
e- ~ro
et, nnalement :
p
G(roj=
i =-- P
Les coefficients hi de l'interpolateur se determinent a partir de ceUe relation
et on peut utiliseI' les techniques d'approxirlJation classiques, par exemple les
moindres Garres.
Pour les systemes dans lesquels Ie retard peut varier, camme les boucles de
synchronisation, il est interessant de pouvo.ir reIier les valeurs des coefficients allX
valeurs du retard -v, ce qui per-met a l'interpolateur de suivre re.volution du retard.
L'interpolation de Lagrange est une approche de ce type.
9.9
INTERPOLATION DE LAGRANGE
Dans Ie domaine freguentiel , I'interpolation de Lagrange correspond a un filtrage
~<max fiat », c'est-a-dire ;;lvec annulation des derivees de]a reponse en frequence a
l'origine. Les coefficients sont obtenus par res.olution du systeme d'equations
lineaires suivant :
G(O) = 1
G(Pj(O) =0;
l ~p ~ P
(9.43)
Ainsi pour P '= 1, on obtient:
h_l+ho* h,=l
(~-I)h_ l + ~ho +(~'l-l)h l=O
(9144)
(~-l)2h_l +~2ho + (~+ Ij2h', = 0
ce ql,li conduit aFequation matricielle :
l
11-1
1
(1-1)"
1:
1
~+1
1
Jl J llJ
h 1
.h-o
,,2 ('1:+ 1)2 . ""
_ 0
- 0
(9.45)
Interpolation d~ Lagrange
9•.9
299
dont la solution s'eerit:
It
-1
~ ·1tr+1) . It ~1- ?
't',
2" o
"~(,,-1),,,
'2
I!-J
On peut observer que la norme de la fonction H(ro) s'eorft :
IIHII~ =
3
p
3
L itT. = 1- _,,2
+ _,,4
2
2,
(9.46)
i~-P
ce qui montre que l'erreur quadratique d'interpo1ation croll avec 'Ie retard ~ et est
.
I
1
maXIma e pour 't'::::;: 2'
V ne miSe en amv<e efficace est obtenue en remarquant que Ie syst~me (9.45)
cpnduit ades coefficients qui peuvent se mettre SOllS la forme:
N-l
L b"j
11
h~
(9.47)
j=O
I
avec boo = 1 ; biD = 0 pour i", O. II vient alors.:
P
(N-l
)
ZPH(Z) = i~P J~O bij"i Z- i
et, en 1.nversant les sommations :
N '-l
ZP H(Z) ~
L C(Z) ,,1
i =o
(9.48)
J
aveC:
1?
1
C(Z)
= j=_P
L bZ}
IJ
Le schema de realisation correspondant est donne par la figure 9.13. II
s' adapte facilemen! aux evolutions du retard ".
x(n) __- - + - - - - - - - - - - -__---~~
."••••
],
•c
o
c
} - _.. y(n)
•
.<e
8o
"0
~
~
•
FIG", 9,13,
Re,ilisation d'un interpolatel)I de Lagrange
~
1i
,.
D
@
L'expression g€nerale des coefficients hi' sollllioN du systeme (9,45) est obtenue en remarquant que la matrice. carn~e est de type Vandermonde. Les determi-
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
'300,
nants et sOllS-determinants s'annulent quand deux lignes ou deux colonnes sont
identiques, il en resultent qu'ils ~e mettent sous 1a forme de produits defhcteurs.
En generalis ant a des retards ~ quelconques, les coefficients du filtre d'interpolation de Lagrange s'ecrivent:,
N- l
~
,
a;~. IT ~; O~ i~ N-1
} =O ;]# l
~- }
(9.49)
et les valeuTs interpoIees. ~
N-l
x(nT-~)""y(/l)~
L a;x[(n ~ i)Tl
i = 0:
(9.50)
La qualit" de 1'1nterpolation est fonotlon du hombre coefficients. Quahd ce
nombre tend vers i'infuii, on retrouve la formule de l'echantlllonnage (1.57), en
utilisant l'identite ~
sin 1tt~ It/ II
(1 ~ n~)
(9,51)
n#O ,
qui permet d'€crire :
(9.52)
'/
et ell pasant ~ ~ T .
Dans certaines ap,plications, comme ly trace de courbes ou Ie traitemerit
d ' images, les donnees sont disponibles Imr bloc et il faut interpoler des valeurs
dans.Ie bloc,
9.10 INTERPOLATION PAR BLOC - SPLINES
a
a
Le fait d'avoir traiter un ensemble fini de donnees permet de faire appe! des
filtres dont la reponse impulsionnelle he possede pas la propriet" de Nyquist, c.'esta-dire qu'elle ne s'annule pas aux multiples enliers de 1" periode d'echantillonrtage. Mais ~lors, pour cOnserver les echantillons cannus, il faut effectuer un pretTaitement des donnees, qui est une operation de filtrage inverse-. Les f6nctions de
ce type les plus utilisees s<;lnt les splines [9].
La fonction spline de degre m est de'finie par les m convolutiollS' suivantes :
(9.53)
g,10 ,Interpolation par bloc - splines
301
au Bo(t) est 1'impulsion de largeur unite:
1
1
Itl < -
2
1
It I = -
2
1
o
It > I
2
La convolution elant une integration, p1us Ie degre est 61eve plus la fanction
est !isse,. puisqu'j[ faut aller de plus en pius loin dans !'ordre des derivees pour
trouyer qne discontimlite.. Une fanction tres lltilisee est la spline cubique.
2
Itl'
'3- W+ 2
B,(t) =
o ,,; Itl < 1
2 -It!'
l oS l < 2
6
(9.54)
2oSI11
0
Etant donne un ensemble de. N valeurs senT) , avec 0 oS n oS N - L il faut
d ~ abord effectuer une operation de filtrage inverse et abtenir un nouvel ensemble
de valeur x(n), auquel sera applique Ie filtre d'interpolation.
Pour la spline cubique, avec T = 1 , les echantillons ant pour transformee en
Z:
B3CZ) =
Z + 4 + Z-l
6
(9.55)
el i1 vient :
6
1
1
Bi'(Z) = 2 ," V3 1 + (2 _ v'3)Z' 1 ' 1 + (2 _ v3)Z
.:ijj
au encore
c
(9.56)
:
~.
,o
."
"••
~
6- 3V3 [ 1
B3' (Z) = 2v'3-3
1
r
1 + (2- Y3)Z-l + -1-+-C:-(2- _-v'3
3'C)Z-
1] (f.l.57,,)
o
Des deux [acteurs de B.; '(Z) dans (9.56), run est causal. et I' autre anti-causal.
Le premier facteur peut etre applique a la suite s (n) pour faurnir !a sortie u (n).
.~
u (n)=s(n) - (2-v'3)u (n-l)
~
o
8o
(9.58)
~
Le second facteur, applique a la suite u (n) donne la suite x (n) chercMe :
•
1i
x(n l =2+Y3 , u(n)-(2-v3)x(n+l)
"0
~
~
,.
o
@
6
d -
Dans ce cas, il faut effectuer le§ calcul dans ia (lirection inverse.
(9.59)
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpo/ateurs
302
Les deux recurrences demandent des valeurs initiales, u (0) et x (N - 1), dont
la determination depend de$ conditions aU)< limite$' au bloo de donnees,
Genetalement, on considere une extension par symetrie en dehors du Dioe de donnees, ,,'est-ii-dire s(- n) ~ s en) ef seN - 1 + k) ~ seN - 1- k), La perimlicite est
alors de 2N - 2, et Ie developpement en serie du premier facteur dans l'expression
(9,56) cDnduit a la valeur initiale :
00
ll (O) ~
L (0-2),ns(n)
n=O
soit:
(9,60)
Pour 'les grandes valeurs de N et seion la precision recherch6e, la sommation
peut etre limitee aux premiers termes.
Dans I'autre sens"la valeur de x (N -1) peut etre obtenue par caleul direct. En
effet, par la decomposition de B, l(Z) en fractions rationnelles donnee par (9,57),
puis un developpement en serie des deux tennes et en 'utilisant l'expression de
'I (n) en fonction de s (n) correspondante pour n ~ N - 1, avec la symetrie de s (n)
autour de N - 1, on aboutit aFinitialisation suivante :
x(N -1) ~
6-30
'
[2u(N -1) -seN -1)]
20-3
(9,61)
On verifie bien que pour Ie signal constant s (n) ~ 1, il vient :
1
lI(Q)~ 3- V3~ urn ) et):(N -1 ) ~ h X(Il)'
Une fois obtenues les valeurs du Hloc transforme, l'interpolation est effectuee
paT
s(t) = Lx (n)Bm(t -nT )
n
(9,62)
La sommation est liI1)it€e aux termes pour lesquels la fonction spline nlest pas
mille, QUqnd Ie degre n Crolt, comme ~U paragraphe pTecedent, cet interpolateur
tend veTS l'interpolateur ideaL
9.11
CONCLUSION
La transformation de signaux reels en signaux complexes est une operation de
fillrage dit de quadrature, Ce fillre de quadrature peut avoir une reponse en frequence quelconque et i1 perrnet, notamment, de reaiiser une reponse proportionnelle a la frequence, c'est Ie filtre differentiateur.
3Q3
8iD/iographle
En pratique, les transformations reel-Cbmplef{e et inversement se realisent
efficacement par interpolation a l'aide (i'un liltre demi-bande. Le gabarit c\e ce
lillre se delinit a parlir des objectifs de performance sur la distorsion de friiquence
et les residus de bande image.
L'interpolation est une operation fondarnentale Me ill'echantillonnage.
En tMarie, elle se delinit par la formule de l'echantillonnage qui correspond a
a
a
un filtre phase lineaire et reponse irnpuisionnelle inllnie.
En pratique, pour conserver les echantillon~' cortnus, il f~ut f~tire appel a un
liltre RIF a phase lineaire. Un cas particulier important est l'interpolation de
Lagrange qui correspond a un fillre dit" max flat », dont les derivees de la repQnse
a
en frequence s'annulent l'origine.
L'interpolation par bloc, comme en traitement d'images par exemple, peut
utiliser des reponses de filtres qui ne conservent pas les echantiilons conn us,
comme les fanctions splines, moyennant un pretraitement.
Les fanctions splines constituent une autre approximation de ll.l1terpolateur
ideal.
BIBLIOGRAPHIE
[1] E t ROVEINE - Introductton ii fa theorie de la cQ1!1munica,tion. Tome I, Ed. Masson , 1970.
[21 B. PICINFBNO - Elements de theorie dusignal. Dunod Dnive"it';, 1977.
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, signals: application to time delay estimation, IEEE Trans. VoL IT-46., July 1000" pp.
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[9] M. UNSER, Splines .' a Perfect Fit for Signal and Image Processing, IEEE Signal
Processing Magazine, Vol. 16, N' 6, November 1999, :pp. 22-315.
'3 04
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
EXERCICES
1 C~lc\llerla Trans/olIDee de Fourier X (f) de 1a suite teelle et causale x (11) telle.que :
x('ll ~ 0 pOLLr n <: 0
x (11) ~ a" pour n '" 0
avec
lill < 1
Decomposer XC!) en parties rUlle et imaginajre.
2 Montrer que la fonction X (Z) telle que :
1
X(Z)~ l-aZ 1.
peut eire ebtenue a partir de sa partie.reelle sur Ie cercle unite,1a fonction Xl', (m) donm~ejJar:
l-acosoo
XR((O) ~1 _ 2acds(O+a2
avec
lal < l
3 A partir d'un signal. reel fepre-.sente par la ,suite.x en), .o n fonne· un signal .c.omple-xe.
dont les parties reelle et imaginaire sont donnees par :_
x R (n) =x (n) cos
Xl(n)
(2" i)
~x (n) sin (21"( ~)
Quelies remarques·pel.j.t-on faire- suy. les suites xI<, (n) et Xl (n) ?
Le signal obtenu est-il\in signal analytique ?
Un filtre demi-bande est applique a chacune des suites x R (/1.) et xrCn) et Ie signal com-
-i- .Quelle operation a ete ainsi effectuee sur Ie signal ,r eel x (n) ? Effectuer la suite de ces operations sur Ie signal x (It) ~ cos (IT;;)'
plexe mnsi filtr6 est multiplie par 18 suLte complexe eo- j'l lt
4 Etudier l'incidence sur un filtre de quadrature RIF de la limitation du nombre de
bits des coefficients. En reprenant la demHr(lbe des paragraphes 5,6 et 5,8: pour les mtres
RIF a phase lineaire, rechercher une formule d'estimation donn~ant Ie nombre de bits des
coefficients err fonction des parametres du filtre de quadrature, ondulation d'amplitude et
bande de transition.
S Etablir une expression simplifiee pour }'ordre d'un dephaseur a 90° de type. RII.
Etuct'ier l,.ncidence de la limitation QU nombre de bits des coefficients Sllr It{s caract6ristiques et recb,el cher une formule d'estiniation en fonction des parametres. Effectuet une
verification des resultats obtenus sur l'exemple du paragrapbe 9.4.
6 Soit la fonction H (Z) definie par :
H(ZJ ~ [(1_ZoZ- 1) (1- ZoZ-l))'
3Q5
Exerdces
avec
Cette fonctlOn est a phase minimale. Donner l'e:xpresslOn de 1a fOliction a phase
lineaire e1 de la fonction a, phase maximale qui ont la meme caracteristique d'amplitude.
Comparer les n3ponses impulsionnelles.
7 Pour converur un signal reel eehantillonne a la fr6quence 2f~ en un signai complexe
echantillonne a la frequelice fe' on utili$e un filtte demi-bande de fonction de transferl
H(Z) "'0 - 0,0506 + 0,2954 Zc2 + 0,5 Z- 3 + 0,2951 Z-' - 00506 Z- '
Calculer la reponse du filtre aux frequences 0 et fJ$. En. dequir:e l'ond.ulation et Ia 1argeur de la bande de transition.
On utilise ce filtre pour realiser un modulateur IQ auquel on applique Ie signal
x (n) = silJ (n
~-). Donner l'expression du signal complexe y (n) en sortie et morttter qu'il
com porte une composante a la frequence fe/4 et une composante a la frequen.ce 3fJ 4.
Quelles sont les amplitudes de ces composantes ?
8 Dans un recepteur a modulation de frequenc~, Ie discrimillateur (convertisseur
amplitude-frequence) est un filtre differenciateur a 5 coefficients ayant les valeurs suivantes ·;
h ~ [- 0,1766
0,9696
0
- 0,9696
0,l766]
T racet 1a reponse de ce filtre et detennmer la bande passante et I'ondulatidn en bande
passfl.nte.
Quel est Ie retard apportepar ce.filtre?
"••
'.,
•
]
•c
o
c
•
'1C
8o
"0
~
~
•
-g
~
§
o
"
Chapitre 10
Le flltrage multicadence
Le filtmge multicadence est une·technique qui a pour objet de reduire la vitesse de
c.leul dans les. filtres numeriques et en particljlier Ie nombre de multiplications a
faire par seconde. En effe-t, ce parametre est generalement considere camme
representatif de la complexite des systemes.
Dans un filtre, Ie nombre de multiplications a faire par seconde Mit ~'exprime
par:
ou I, est la c·adence a laqueUe se font les calculs. Le parametre/, correspond generalernent a la frequence d'echantillonnage dlj signal qUe representent les nombres
traites .. Le facteur K depend du type de filtre et de ses performances.
Pour redurre la valeur de MR on peut agjr sur l~ fact~ur K, en choisissant Ie
type- et la structure qe fil\re les mieux apprQpries et en optimisant Fordre de ce
filtre en fauction des contraintes. et des caracteristiques a obtenir. On peut egalement agir sur l'autre facteuf, fe' en faisant varier l;;tfrequence djech~ntilldnnage au
COUTS, du traitement; les. avantages-ainsi obtenU's soilt conside-rables dans. de nombreU){ cas pratiques.
La frequence d'echantillonnage d'un signal reel est superieure au double de sa
largeur de bande. Au GOllrs clu traitement la largeur de banqe varie; par exemple,
une operation de filtrage elimine les composants indesirables et la largeur de
baucle utile se trouve reduite. En un point ou la bande utile a .ole re.duile, la frequer)ce d'echantillonnage du signal peut elie-meme etre redljite. II s'en suit qlle Ia
frequenee d'eehantillonnage peut etre adaptee a la largeur de bande du signal a
chaque etape clu traltement, pour minimiser la vitesse de caicul dans un filtre.,
Avant d'etiJdier 1es developpement$' et la mise en ceiJvre de ce principe de base, il
c.onvient d'abord d'analyser nncidence sur Ie signal et son spectre cl'un changementcle frequence d'echantillonnage.
307
Sous-echantillo'nnage et transformee en Z
10.1
10.1
SOUS-ECHANTlllONNAGE ET TRANSFORMEE EN Z
Comme i'augmentation de frequence d'echantillonllage, ou interpolatimt, la reduction de freql,lence t;l'echantillonnage, ou decimation, rnodifie la transformee en Z
du signal. Le cas d'une roouction paT Ie facteur 2 est iUustre par la figure 10.1, qui
montre les operations effectuees sur le ·signal, Ie symbole de decimation et les
spectres. La suppression d'un echantillon sur deux est obtenue en aj'outapt Itt suite
d 'origine et la me-me suite apres inversion du sjgne d'un echantillon sur deux.
Celte inversion dec ale Ie speGlre autour de la demi-frequence d'echantillonnage.
Apr~s addition de$: spectres, Ia periodicite dans Ie domaine des frequences
S(~P)
Sin)
a)
b)
Sll)
SII - 112)
I
S(-l)
~
S(l ) +S(-l )
/3J~
Sill - S(- l )
."••"
I
A.
A.
f
•
C)
],
•c
o
c
•
'1C
8o
RIG.10.1.
a) operations de decimatlon
b) symbole de fa decimation
c) spectres et transformees en Z
Sous-echantillonnage'pdr 2
"0
~
~
• se trouve divisee par deux. Quand on decompose 1a suite sen) en deux suites entT'e1ic lacees, en posant :
,
o
Z-' S, (Z2) ~ [S(Z) -S(-Z)]12
S6(:V) ~ [S (Z) + S (- Z)]l2
©
~
10 • Le filtrage multicadence
308
on obtient les transformees en Z des deux suites, Ie terme Z2 caracterisant Ie doublement de la periode d'echantillonnage et Ie facteur Z-1 representant l'entrelacement. La tran~formee en Z de s(n) est reconstituee par:
S (Z) ~ SJJ (Z2) t Z-l S, (Z2)
Les formules de decQrnposition et reconstitution etablies pour Ie facteuT 2 se
generalisent a un entier M quelconque. Cette generalisation est abordee par les
transformee$_de Fourier.
Soit Ie signal S(I) dont Ie spectre Set) ne 60ntient pas de composantes aux hequenees supe-Tieures a une valeur 1m et suppose echantillonne avec la periode T
telle que :
1
MT > 2fm;
M entier
On se propose d'examiner la relation qui existe e1),tre les transform'e es.de Fourier
Si(f) des suites entrelacees ,
s[(n ~) MT} i~O,~, 2, ... , M-l ,
t
D'apres les resultats du paragraphe 1.2, la transformee de Fourier de la distribution u6(1), telle que:
uoCt) ~ L
n =_<D
o(t - nMT)
est la distribution Do (f) telle que· :
L
m
n "*' - tt>
n)
0 (f --
MT
La transfortnee de Fourier de 1a distribution 'Ui (I), teUe que;
"i(I)~ n~m o[t-(nt ~)MTl i~O,l,,,.,M-l.
(10,1)
e,st I. distribution DiU) telle que:
Vi (!) ~
n)
L
00
n=-$
(i)
1
,.
(
e-i2rr[" * .M ""T ~ - .- .ci"'fiT L Ii f - - MT
n=-o7>
MT
ouepcore:
1
0
.
in
-}21t-
Ui(f)~ MT ,,~w e
M
(
n)
0 f- MT
(10.2)
Comme Si (f) (i ~ 0, 1, "., M - 1) est Ie produit de convolution de S (f) par I.
distrihut\on DiU), il vient :
W
.i"('
n)
- /2r; l
·
S,(j) ~ MT n~m e M S f- 'MT
,.,
(10.3)
10.1
Sous-echantillo'nnage et transformee en Z
309
Calculons maintenant Ie spectre SM (f) tel que :
1
SM(f)~ ;~o S;(f) ~ MT
M-l
·
n)
(
;n
M-l
2':wS f- MT ;~o
e
-j21f:.-
M
Comrne la deuxieme sornmation s'annule pour toute valeur de .n sauf les multiples de M , il vient :
i
n)
SM(f) ~ T n~rn S f - T
W
(
(10.4)
1
spectre qui corre$pond a un signal echantillbnne a la frequence T .
Les termes s;(f) s'expriment egalement en fonction de S~r(f) " En effel dans
1a relation (10.3) 1a sommation peut se decomposer comme suit:
S;(f)~ ~T jrn ): s [t-(n * :) ~ le-j2rr~
ou encore :
et finalement :
1
SJf)~ M
m)
l:o eMS f- MT
.;m
M-1
- ]21t -
M
(
(10.5)
La figure 10.2 illustre Ie cas ou M ~ 4.
S4>
/\A. /\/'.. /\J'." /\/'--.
-'4T
s~ ~
.."••
],"
•c
o
c
5~
VV
•
"0
~
~
•
1i
~
,.
o
@
4T
s~
l
4T
VV'VJ.7"
/\A.
s~
'1C
8o
_2_
VV VV
VV
~
1..-
•f
T
,
/\A.
•f
T
/\A.
1..-
•f
T
/\/'--.
1
•i
,
•i
T
/\A
T
FIG. 10.2. Spectres ootenuspar 4 eclwntillonnages entrelaces
10 • Le filtrage multicadence
310
Les spect,es Si (f) correspondent a des echantillonnages entrelaces, a la £re-
I
1
querice MT et Ie speclre SM(f) correspond a I' echantillonnage a la frequence T '
Le changement de frequence d~ echantillonnage revient aechanger ces spectres.
IL est interessant de remarquer sur la figure 10.2 que Ie fait de retarder la suite
des impulsions d'echantillonnage provoque des rotations de phase de valeurs mul21t
tiples de 1\1 des bandes image autom des multiples de la frequence d'echantillon-
1
nage MT '
L'addition de tautes les suites d'impulsions retardees entralne une annulation
des ban<;les image sauf autour des frequenees mUltiples de
1
T ' qui devient la nou-
veJle frequence d' echantillonnage. e'est une application des proprietes de linearite
de la Transformee de Fourier.
n faut maintenant faire apparailre les relations entre les transformees en Z
des differentes suites d'echantillons.
La transformee en.Z cje la suite s (nT) est definie par :
L
S(Z)~
n=-w
senT ) Z-n
(10.6)
Lespectre SldCIl du.signal echantillonne avec la periode Test obtenu en remphl!;:ant Z par e j21rfr , c~eSt-'a-dire que :
SM (f) ~ S (ei2n~)
En decomposant la sommation dans S(Z) ii vien!:
M-1
S(Z)~
L
"fl = - OO
L s (nMT+iT ) Z- CnM+')
i=O
ou epcore:
M-l
SCZ) ~
<Xl
L Z-i n L
i =O
s (nMT' tiT ) Z-nM
", _ oJ:>
En posant :
S;(ZM) ~
L
n =-<1;>
s (nMT + iT ) Z-rlM
il vient :
M-1
S(Z) ~
L Z-i S· (ZM)
[=0
(1Q.7)
I,
Les termes Si (ZM) sont les transform"es en Z des suites s [( n +
~ ) MT] pour
i ~ 0, 1, " ., M -1. Le facteur Z-i traduit l'entrelacement de ce:s suite~.
10.2
Decomposition d'un filtre RtF passe-bas
311
Il faut maintenant exprimer S, (ZM) en fonction de S(Z). En rempla,ant dans
l'equation (10:7) Z par Z e-i"'mlM, il vien!:
m
S(Z e-
i 2IT
M-l
2n:
M ~ .Lo ei M"" Z-' S, (ZM)
,
~
et-s-ollS fonne matriciel1e :
~~i)e-i2rr1M) 1 -1 [ zSf~~iM) 1
[ ~(Z e- "'(M-1)(M) =T
Z-rM-1)L_l(zM)
I
N
oil T "lest la matrice de transformation de Fourier discrete-inverse.du d ,apitre 2.
En mul!ipliant les ·deux membres de cette equation par la matrice TN' on
obtient:
1 M-l
. im
m
12IT
Z- 'SJZM)~ M L e- ." S(Ze-I"',,) ; O,o;t,o;(M-l) (16.8)
m ",Q
ce qui correspond bien a1a rela tion (10.5) pour les reponses en frequence .
2IT
En posant~ COlllme au chapitre 2 : W = e - j M, il vient:
1 M-l
S,(ZM) ~ L W'm z's(zwm)
M m~O
(10.8 bis)
Les expressions (10.7) et (10.8) sont des relations fondamentales en fi!trage
multi cadence.
Les resultats obtenus, et en particulier .les relations (10:3) et (lOA) sont
1
val abies pour des signaux s (t) dont Ie spectre n'est pas limite a la frequerrce 2 MT'
Le repliemerrt de bande intervient ·alors.
10.2
DECOMPOSITION D'UN FILTRE RIF PASSE-BAS
.'!:::i
"~ Le fillrage multicadence va d'abord (ltre mis en evidence dans Ie cas des filtres
~
.•S!
~
RTF, oll' il s' introduit naturellement. En effet soit un filtre RTF passe· bas qui elimine les composantes de frequence superieure ou egale a la frequence fe' dans 'Un
signal echantillonne a la frequence f~ . Le signal filtre necessite une frequence
d'echantillonnage egale a 2/, seulement et en rait il suffi! de fournit les nombres de
g sortie acette cadence .
La relation qui, dans un filtre RIF -q.'Qrdre N , determine les nombres de la
.~
§ suite de sortie y (n), a partir de la suite des nombres d'entree x (n)l s\?crit' :
•
]
;
1i
,.
o
@
N- i
y(n) ~ i~O a,x (n - i)
(10.9)
Chaque nombre de sottie y (n) est calcule a partir d'un ensemble de N
nombres d'entree, par sommation ponderee avec les coefficients ai. (i = 0,1 , ... .,
10 • Le filtrage multicadence
312
N - 1). Dans ces conditions les cadences d~entree et sortie sout independantes et la
red\lction qe la cadence qe ,sortie qan~ Ie rapport k ~
{i" suppose entier, Se tra"
dult par une reduction de la vitesse de cal cuI dans Ie meme rapport.
Le meme raisonnement s'applique a l'61evation de frequence d'echantillonnag~ , au interpolation. Dans ce cas la cadence en sortie· est superieure ala cadence
des nombres d'entree, PoUr faire apparattre le~ gains en calcul il suffit simplement
de considerer que les cadences sont egales en incorporant dans la suite d'entree un
nombre convenable de donnees nulles,
L'independance qUi existe entre l'entree et la sorlie dans les filtres RIF peut
etre exploite.e dans les flltres a bande passante etroite ~ .m eme si les cadence.s d'entree et sortie 90ivent etre igentiques, en decomposanJ Pope-ration de filtrage en
deux phases [1].
- Reduction de la frequence d'echantillQnnage de la valeur t, a une valeur
intermediaire to teile que:
to "" 'lte
- Elevation de la frequence d'echantillonnage au interpolation de to at"
La figure 10.3 illustr~ cBtte <;Iecomposition, Si les deux operations sont efIecC\lees avec \In meme fime d'orqre N, Ie nombre de multiplications a faire par
secende MD s'exprime par :
(10_10)
R~duction
de. Le ,
InhrpoLation
•
j fo
FIG. 10 :3. Iii/ire a Redndl'on-Inte:rpolation
Cette valeur est acomparer a1a realisation dil'ecte en un seul filtre· qui cemduit
'ala Valeur M R , telle q\le ;
(10,11)
Par suite la decomposition est interessante des que Ie Tappert k =
est
superieur -a 2 c~est-a-dire des que:
, < t,
4
J,
Cette approche apparalt amSl bjen· adaptee aux filtres a bande passante
etroite.
II faut cependant remarquer que dans les deux cas la fonclion <;Ie fillrage obtenue n'est pas rigoureusement la meme et que des dis torsions sont intervenues dans
10.2
Decomposition d'un filtre RIF passe-bas
313
la decomposition . comme Ie montre ia figure 10.4. En effet. Ie sous-echantillbnnage
interl11ediaire 'ala Jrequence to '~ 2fc a trois consequences ;,
- Le rep liem.mt autour de la frequenee
~ des composantes residQelle&de,
• fil trage aux frequences
'
"
, qlll, en fcSU
< 1te
.
1 apres
supefIeures
a. In L a d'lstorslOn
sIgna
2: .
est une clistorsion de type harmonlque; sa ,puissance BR depend de l' aIfaiblissement du li ltre de r6duetion et se caleule it partir de sa fonction de transfert H(f) en
utilisant les resultats donnes aux chapitres precedents.
I,
0
f,
.1
JHJ
1+5
1-'0
a
f,
(
2f,
b)
IH J
2f,
f
c)
"••
'.
],"
•c
o
FIG, 10.4, Reponse en frequmce du filtre multicadence
11) Rep o,n se dUfiltre direct
b) Reponse en sortie dufiltre de reduction
c) RfJpanse dlljiltre multicadent;e
c
•
'1C
§
]
Par exemple, si Ie signai dlentp§e a une distribution spectrale- uniforme et une
p uissance unitaire, la puissance totale BT dl:l signal replie s'ecrit :
~
(10,12)
10 • Le filtrage multicadence
314
En designant par 1, la limite de ia bande passante <,Iu filtre , un maj"nlnt de B1' est
foumi par la relation ;
La distorsion peut etre supposee 11 distribution spectl'ale uniforme et seule la pu~s­
sapce en bande passante ~st 'acdnsiderer, il vient dans ce cas:
(10.13)
II fall! temr cOlupte de cette degradation dll signal dans Ie calcul du filtre de. reduction [2].
- La periodicite en frequence de la reponse du filtre de reduction avec la
p6riode 10introduit une distorsion dont la puissance Bi est fonction de l'affaiblissement du filtre interpolateur.
Si ce filtre est Ie meme que Ie filtre de reduction,. avec les memes hypotheses,
o n obtient camme precedemment:
Cette distorsion, exterieure ala bande passante, peut etre genante pour I'addition
dJl)utres signaux au signal tiltre.
- Va mise en cascade de dell)< filtres: augmente les ondulations' en bande passante. Par exemple ces ondulations sont doublees sj Ie meme £ltre est utilise dans
les deux operations.
Finalement les sous-ensembles. du filtre multicadence doivent etre COhQUS
pour que l'ensemble satisfasse aux caracteristiques glob ales imposees au filtre.
Le schema de la figure 10.3 se simplifie sl les frequences d'echantillonnage du
signal avant et apres fillrage pe\JVenl etre diffe'renles. Le principe expose peut
aussi s'appliquer aux flltres passe-haut et passe-bande, moyennant PintroductiQn
d' etages de modulation et demodulation par eRemple.
Le principe de decomposition peut etre etendu au sous-ensemble reducteur defrequence d'echantillonnage et au sous-ensemble interpolateur,.ce qui. apporte 1m
gain supplementaire. Un filtre elementaire particulierement efficace p"ur realiser
ce$ sous-ensembles est Ie filtre RIF demi-bande.
10.3
LE FILTRE RIF DEMI-BANDE
Le filtre RIF demi-bande a .ore presenre au paragraphe 5.8 ; dest lll< fllire
1; phase lineaire dont la reponse en frequence H (I) prend la valeur
~ afa trequence' ~
10.3
Le fillre RtF demi-bande
315
et est antisymetrique par rapport a ce point, c ' est-a~ dire que la fanction H (I) verifie le$ relations :
H (
~< ) ~ 0,5; H (~ + I) ~ 1- H (~ - I)
(10.14)
Pour un nombre de coefficients N = 4M + 1, on a :
H (f) = e -j2TI'2M(
~. [1 + 2 ;~, h
2i _ 1 eas [21O(2i - 1)
fl] (10.15)
Les coefficients h; sont mus pour i pair sauf h o• La figure 10.5 illustre les caracteristiques de ce filtre. Le gabarit est defini par I'andulation en bandes passante et
affaiblie 8 et par la largeur "'I de la bande de transition; ces parametres etant donnes, 'Ie nombre de coefficients_N peut etre estime par les formules donnees au paragraphe 5.6. Dans ce cas partieulier, c.es formules peuventetre simplifiees et d'apres
(5.32) il vient:
(t)/e
N
.
2
N '" 3' log 10 8 2
_.- -
",
.... -
I:W)
,,
,
-~
M
0,5
Ie
f.
f
T
."•••
]•
FIG. 10.5. Filtfe RID demi-b ande
En considerant l' affaiblissement ~ teL que :
AJ~1010gU2)
;
'''-
8
/,
ii et compte tenu du role partieulier que jaue la frequenee 4' dans ee type de filtre ,
~
~
j
on peut' ecrire :
2[AJ J Ie
M=3'1O- 1 ·4"'.f
10 • Le filtrage multicadence
316
D'oll la relation tres simple suivant" entre l'·affaiblissement exprime en decibels el
la banqe qe transition, pour un nombre aonne qe mefficients :
.
A! ~ 10 + 15 .M.
(4N)
ft .
(10.16)
En fait c'est nne relation approchee valable des que M depasse.quelques 'unites.
Les coefficients se calculent par Ie programme general de c~lcul des illtres
RIF, il suffit d 'introduire les. donnees correspondantes.
La 'felation entre les suites d'entr.ee et sortie s'ecrit :
1 [
M
yen) ~ 2: x(n -2M) + ;~1 h 2i _,[x (n - 2M + 2i-1 )
+x(n-2M-2i+1 1l ]
(10.17)
et Ie nombre de multip:Iications a faire pour chaque element de 'la ~uite de sortie
y (n) est egal a M . On peut remarquer que ces operations ne portent que sur leg.
elements de ia suite d'entree d'indice impair. )1 s'ensuit que si un tel filtre est utilise pour Tedllire la frequence q'ecihantillonnage de la valeur /, a la valew fo ~ .;,
Ie nombre de multiplications a faire par seconde est egal aM fo. Il en est de meme
pour elever la frequence d'echantillorrnage de fo a f, ~ 2/0 ,. l'operal ion consistant
alors simplement a calculer un echantillon entre deux eGh~ntillons de la suite d'entTee.
Finalement Ie nombre de multiplications a faire' par sec.onde· dans un filtre
demi-bande avec changement de freqllence d'echantillonnage s'ecri! :
~ [~ log (10 '52 ). r~. ~] !;
1
MR
(10.18)
Le nombre de rnemoires de donnees dans une reduction de fr6q1.lence
d~echantillonnage est Ie nombre necessaire pour stocker les donnees sur lesquelles
porte la so=ation ponderee, c'est-a-dire : MMD ~ 2M . Dan,s une interpolation i1
faut non seulement calculer la son;m'le pondere~ mais entrelacer le~ resultats avec
la suite d'entree-retardee de M periodes ; alors on a :
MMD~ 3M.
Dans les deux cas Ie nombre de memotres de coefficients est egal a
Exemple:
Un ensemble de illtres demi-bande ayant des caracteristiques utiles dans les
applications est fourni par Ie tableau 10.1 qui donne les coefficients qllantifies,
l'ecHelon de quantification etant pris co=e unite [3].
La reponse en frequente se caleule simplement p~ application de la relation
(l(~15). Les filtres F4, F6, Fa et P9 correspondent" uno. valeur du parametre 4 ~!
10.4
317
Decomposition avec filtres demi-bande
egale a l'unite. avec des ondulations de 37, 50, 67 et 79 dB respective-ment. Les'
filtres Fl, F3 et F5 ont de$' reponses monotones.
Les avantages de la structure de filtre particuliere decrite dans ce paragraphe
-peuvent etre utilises p<;>ur Ie filtrage multicadence gen,eral.
Tableau. 10.1. - FILTRES RIF DEMI-BANDE
Filtr,,,,
hn
hl
F1
1
1
1
9
19
115.0
-
208
-
Fl
2
F3
16
32
256
3.46
512
802
8192
F4
F5
F6
F7
F8
F9
10.4
i:t1
""
3
25
44
S3
- 116
302
490.
5042
.Iv,
1
-
h:o
-1277
3
9
7
33
429
-
6
- Wi
18
DECOMPOSITION AVEC FlLTRES DEMI-BANDE
L'exploltation des particularites du filtre eMmentaire dernl-bande conduit au schema
de filtre multicadence donne it la figure 10.6. La freq uence intermediaire 10 est avec I.
frequence d'echantillonnage J; dans un rapport qui est une puissance de deux :
I, ~ 2P .fo
(10.19)
r-- - -------l
I
I
I
X 101I
F,'e
F'
"
p
.
F iLt re
de bas'e
!
I
."••••
],
~
o
~
l
o
"0
~
~
•
~
1io
,
o
©
Fly. 10.6.
Decomposition avec flltres dem t~ bande
La reduction et l'elevation de frequence d'echantillonnage sont faites par une
mise en cascade de P filtres demi-bande. L'e nsemble comporte un filtre de base
fonotionm'm t a la frequence 10 et encadre de deux cascades de filtres demi-oande.
Le filtre passe-bas global est specifie par la donnee des parametres suivants :
• Ondulation en bande passante: 0,
• Ondulation en b ande affaiblie : Ii,
• Largenr de bande de transition: 1'1/
• Fin de bande passante: fr
• Debut de bande affaiblie :
t;
10 • Le (iltrage multicadence
318
Pour ca!euler les filtres demi-bande il faut definir Ieurs specifications.
L'ondulation en bande passante est sup po see partagee entre les filtres demi-bande
et Ie· filtre de lJase. D'autre part, chaque filtre doit avoll tine o nduiation en bande
affaiblie meilleure que O2 , Il en resulte que pour chaque filtre·demi-bande, l'ondulation 00 est donnee par:
(10.20)
Le premier filtre demi-bande Pi de la cascade peut etre determine si sa bande
de transition N, est fixee (fig . 10.7).
H(f1
/lo'!
~\
o
,
,----""\
/
\
I
\
r
f,
PIG, 10.7.
r "--t-'J
/.
"
I
\
f.
I
h
--I,
2P
2
f.
•1
\1
Bande de transition du premier filtre demi--bande
Pour fixer At l il faut congideret que Ie r6le du premier filtre est d'eliminer les
composantes du signal qui pourraient se replier ,hns la bande utile apres division
par deux de la frequence d'echantillonnage. Il vient :
Nl~ ~ -2t2
D'apres la relation (10.18) Ie nombre de. multiplications M "l a faire dans Ie
premier filtre s~ecrit :
·
d'
,
k1 qm. tra d'
It
E n Intra
ursant Ie' param~tre
Ult I"
.ecartentre f2 et
'2" ,2I?'. et te 1que ':
k~ 1.2P+1
et en pbsal1t :
2 (1)
D (ool ~ 3' log 1006
iLvient ;
10.4
319
Decomposition avec filtres deml-bande
La bande de transition du ie filtre de la cascade :$'eorit :
Comme la frequence d'echantillonnage d'entree de ce fillre a la valeur
2;'"
Ie nombre de mult.iplications Mel afaire ·s'exprime par:
1 (12i - k )-' 14
Mc,= D(oo) ' 2'-"
2F'
.
La frequence d'ec'hanlillo'nnage en sortie du i e filtre etant ~ , le nombre total
M e de multiplications a faire dans la cascade deP fillres r€sulte de la sommation :
Soit :
1
p
1 [
k ]-'
Me = 2:' D (oo)·f,. ,~, 2' 1- 2P -'
La fonction S(k) telle que:
S(k)=,i,
(10.21 )
~,[1-2:-r
prend des '{aleurs voisines de l 'unit~. sauf pour les faibles valeurs de. Pet quand k
s'appr.oche de .l'unite, ce qu'il convient de chercher a eviter en reduisant par
exemple d' une unite le nombre de filtres de la cascade. Par suite on peut dotmeL
Fexpression approche'e simple:
Me '"
.•"
]I
~ .log ( lO\,J I,
(10.22)
Le Rombre de memoire. pour les coefficients est egal dans chaque filtre au
nonfbre demultiplicationsMc,' Pour I'exprimer il suffit d'une somma lion. II vient:
p
1
P [
k
MMcc=.L
M C' =-2· D (80).L
1- 2P -'
1=1
[ =1
],
•c
J-'
(10.23,)
o
~
'1C
Cette valeur pelit etre appTool1ee par :
t
-g
MM CG ""
~ .D(8o)[P + k[l ~ k + l-\k]]
(10.24 )
CB nornbre de memo ires de donnees est e,gal I;lU double de la valeur obtenue
8 POllr les ~oefficients, avec qes, dhoix de structures convertables, comme on Ie verta
@'
ultl3rieurement.
10 • Le filtrage multicadence
320
Pour estimer le volume de calculs a faire par seconge dans Ie filtre complel il
faut determiner I'orc\re N du filtre de base:
avec :
D
50 0
(02', 0,)~ 23· log (1)
1 2
Les vale urs des parametres de complexite pour Ie filtre complet represente a
la figure 10.6 sonl finalement les sUlvanles :
- Nombre de multiplications par seconde :
i
MR~ /, [D (00) + 2;+1' f ·n (i ,00)J
(10.25)
- Nombre de memojre~. dedonnees :
(10.26)
- Nombre de memoires de coefficients:
(10.27)
Cette estimation est basee sur I'hypothese que les deux cascades de filtres
derni-bande sont identiques. Les relations (10,25-26-27) sont utiles dans les projets
pdur evaluer I'interet dans ohaque cas du filtrage multicadence. Le& deux exemples
ci-dessous illustrent leur application.
Exempte 1 ..
Soit un filtre passe-bas 6trolt de-fin! par les valeurs de parametres suivantes :
Les parametres ont les valeurs :
P ~ 3;
0,Q1 ; 0,001 } ~ 0,00083;
60 ~ min { 12
D
D (00) ~ 3,3
(i, 0,) ~ 2,76 ; k d J,8; S(k) ~ 1,6
11 vient :
Une realisation directe cortd"it a un fillre d'ordre N ~ 110., ce qui correspond
aux valeurs :
10.4
321
Decomposition avec filtres demi-bande
Exefr!plec2 :
Soit un filtre tres etroit tel que :.
Ie ~ 1; h ~ 0,OQ5; N ~ 0,00025 ; O.j ~ D.001 ; 0,- ~ 0;Q001
Les parametres Qnt les valeurs :
P~6;
.
D C&,)~5 ,38 ;
0,001
oo~min { 24;0,0001
(0
1
D 2,02) ~4,72;
}
~O,0000416
k~O,64 ;
S(k)~ 1,07.
II vient :
MR ~ 7,76 ; MMD ~ 350; MMc ~ 152
Une realisation directe conduirait a un filtre dont fordre N serait de plusieurs
millier.s et qui ne peut etre envisage pratiquement.
Ces exemp les font bien apparaitre l'avantage des techniques de fi ltrage multicadence: II est interessant egalement de faire une comparaison avec les :filtres Rlf.
Cette cOIDp-ar..aison va e:tre menee sur uniiLtre satisfaisant al) gabarit suivant :
/)1 ~ ~ ~ 10-2
N~ 11~12 .10- 1
et pour Lequel on fait varier Ja position de 1a bande de transition, c'est- ~-dire Ie
rapport:
:ijj
Le fi ltre RII est su.ppose e tre de type elliptique et realise en cellules dli second
ardre demam;lant 4 multiplications chacune. Supposant" ~ lies nombres de mult iplications a faire par 's econde et de memoires de donnees sont reportes au tableau
10.2.
~
TableaU' 10.2. - CbMPARAISON DES COMPLEXTTE;s DES FILTRES RIF,
."••"•
],
•c
o
c
•
lo
'0
~
~
•
~
1i
§
o
"
MULTICADENCE Ef RII
2f.
k f- f.z
~~lt!(jjt~!
Multipmrations
--
RW
Multicl!d.e nce
RII
F:'lfl
45
65
'23
3
5
110
19
12
10
220
8
15
15
15
15
90
1S.0
220
440
2
Multicaillence
Ell
90
7
80
7
95
105
7
7
10 • Le filtrage multicadence
322
Les resultats montrent que Ie filtrage multicadence est nettement plus avantageux que Ie filtre B,lF aussi bien en memoires de donnees. qu'en ml!ltiplieationS.
Par c~ntre, Ie filtre RIIl etant a phase min1male, est eel'Lli qui ne.c essite Ie minimum
de memoires.
On {'eut observer que si Ie filtre de base est un filtre d'ordre 61eve et ·si la
lihearite en phase n'est pas indispensable, il est alors avantageux de remplacer Ie
filtre de base, qui fonctiQnne a Ia cadence en entree et sortie, par un filtre RlI.
UIie reduction substantielle du volume de calcul peut ainsi etre obte)1Ue.
Le filtrage multicadenc.e utilisant des cascades de filtres demi-bande s'a'vere
ain,s~ etre avantageux pour la quantite de calculs et de memolres, mais la realisation d' un liltre par une serie de sous-ensembles fonctionnant des cadences differentes est susceptible de compliquer l'enchainement des calculs et de reagir sur la
complexite de I'unite de commande des systemes ou sur la tail1e des memoires de
to
a
programme des calculateurs de traitement.
D'autres strUGtures que les nltres demi-bandes peuvent etre envisagees en fil-
trage multicadenee. D ' abord on peut chereher a reduire Ie nombre d'etages, en utilisant des. variations de frequences d'echantillonnage par des facteurs superieurs a
deux. Les techniques de choix des facteurs les plus interessants sont donnees dans
la r6f~r~nce [4J, Ie vpl um~ de c.leul 1)ecessaire est plus ejeve q\l'avee l~~ fiJtr~s
demi-bande mais l'enchamement est plus' simple, ce g\li peut etre 'appreciable si un
calculateur: universe! est envisage.
Le filtrage multic'adence, tel qu'it a "te present" dans les paragraphes precedents, repose sur une decomposition des pItres avec introduction de ~ous­
ensembles de 'type non recursif. Dans un but de generalisation, la question se pose
de savoir s'il est possible djobtenir des gains en calcul avec des sous-ensembles
recursifs. En f&it, i1 Gst 'important, 'at1n de pOllYoir optimiser Ie trait~ment multicadence dans- des' cas plus- generaux que la realisation d'un senl filtre, de mettre en
evidence la fonclion de dephaseur.
10.5 FlLTRAGE PAR RESEAU POLYPHASE
La mise en evidence des relations de phase entre clifferents echantillonnages d'un
meme signal 'a Me faite au paragraphe 10.1. .[.,es resultats vont etre 'ut1)ises pour
analyser sous cet aspect Ie filtrage multicadence [5J.
Soit une reduction de 1. freq\lence d'echantillonnage /, par un [acteur N ; la
suite d'entr6e x(n) a pour transformee en Z la fonGtion X(Z); Ia transform"e de
.
f
Fourier de ceUe suite est obtenue en rempla,ant Z par e,2'7:, soit X(e
.
12n
f
r. ). La
suite de. sortie y (Nn) echantillonnee a la freguence ~ a pour trahsformee en Z
une· fanction de la variab'le ZN : Y(ZN). Par suite si des circuits dephaseurs interviennent dans cette openttion leur fonction de trm"lsfert est aussi fbnotion de la
variable ZN et peut etre calculee a partir de la fonction de filtrage global.
10.5
323
Fittrage par reseau polyphase
La structure de dephaseur va etre mise en evidence d'abord dans l\~lement
particulierement simple que co.nstitue Ie filtre RlF derni,bande, ql!i est defini par la
relation (10.17).
Cette relation ,peut etre reecrite comme suit:
2M
y(n)~ ~2 [x(n-2MlT 1=1
L ai x(n-2i+ll]
(10,28)
avec ~
a j =.h(lM_2i+l)=a2M_i+l
'Pour
1~ i ~M
La fonction de transfert en Z -corresponc!ante a pour expression:
(10.29)
ou encore :
H(Z) ~ ~ [HoCZ2) + Z-l H, (Z2)]
2
(10.30)
.
La r~ponse en fr~quence corre~pondante slec.rit .:
1
f
f
H(f)=:z [e Ci2nT.2M+e-j2~T. . H,(f)1
(10.31 )
La fonctiofi HoU) est llHe caraoteristique de dephaseur pur lineaire, l?uisqu'elle
cerrespond
aun retard.
En raison de la sym6tr~e de$ coefficients, laofonction H, (I) est egalement a
phase 'lineaire.. 'Celte partie du filtre fonctionnant ala cadence /, , HI (f) presente
2
la periodicite ~. Camme Ie nombre de coefficients est pair, dlapres les result-ats
du paragraphe Y.2 on peut ecrire :
H1 (f)
.11••
~ e-i2nJ(M- ~) fRet)
au encore, en explicitant la phase .
H, (f) ~ e
j
-iQ
{ f )2M .e-i.e!) R(I)
c
i
o
La fonclian q>(f) est lineaire et pre$ente la perioc!ioite
o
(10.32)
1.
Pa'r suite, elle s'exprime
-l par:
•
~
,.
(10.33)
1i
o
©
ou ~Yl Tepresente Ie plus grand enlier contenu dans x.
10 • Le (iltrage multicadence
324
Pour l'amplitude. on peut reprendre la relation (10.8), avec la symetrie de
H (f), ce qui conduit a ~
e-;2,1; H (f) ~ flU) - H (~ -I)
1
En introduisant la proprlete d'antisymetrie par rapport a la frequenc" :;demon tree au pmagraphe (10.4), il vient :
IH1 (f) I ~ 2IH(f)I-l ;
f,
o ""f"" -'-4-
Les ondulations sont doubles de celles de H (f) et la fonction s' annule pom
f~ ~ , frequence qui correspond au changement de phas.e de It.
La figure 10.8 represente les fonctions IH, (f) I et q>(f) qui caracterisentle filtre.
La phase <I"> (f) telle que:
<I"> (f) ~ q> (f) + 2IT
f
f,
(10.34)
est conslante el prend les valeurs a ou IT.
.2 f
Finalernent Ie circuit dont la reponse en frequence est la fanction e -/ ]"; y:.
H, (f) approche un dephaseur pur dans les 1;landes utiles, c'est-a-dire en bandes
passante et affaiblie ; Ie nombre de ses coefficients et sa complexite dependent du
degre d'approximation, c'est-a-dire de la bande de transition Af et de I'ondulation
en amplit\lde o. Ces r~s\lha\s sont it rapprocher de ceux du paragraphe 9.3.
o
"
h
T
'" (f) + 2" i..
T
fe
~
f
2
r-----::::..;' 2" 1fe
"2
o
-~
I fe
IT
2
FIG "10 :8.
Fonction Hi (f5 du filtre demi-bande
f
10.5
325
Fitlrage par reseau polyphase
Le filtre demi-bancle se presente comme un reseau a 2 branches, se-ion la
figure 10.9., La repanse globale correspond a la samme des repanses des' Cleux
branches camme Ie monti;e la figure 10,11.
Z-2M
H,IZ')
Fro,lJ19 . Piltr.e demi-bande avec dephaseuIs
x(n)~.-~-
Y'(n)
FIG. 10.10.
Bane de deuxfiltres
S, I'an change Ie signe de la fanctian H J (f), alars, camme Ie mantre la figure
10.11, ull fillre passe-haut est 0btenu, Aihsi un ensemble de deux filtres est obtenu
avec, les memes cakulS, Soient Bo(Z) et B j (Z ) les fanctians de transfer! de ces
filtres ; Ie: systeme correspond ant, represente sur la figure 10.10, est caracterise par
Fequatiop matricielle suivante:
1] [Z'Z"H
2M (Z2) ]
-1
J
H
"••
'.,
•
H,
]
•c
o
c
•
'"'8o
I Ie
Iz.
I
"0
~
~
•
-g
H,
I
~
'--....l..--f
o5'
I
@
FIG. 10.11.
Ij..eponse en W1I:pliiude duJ iLfre ·demi-bande·
(W.35 )
10 • Le filtrage multicadence
326
On reconnait la matrice de la Transformee de Fourier d'orclre 2. La generalisation de ce resultat a un bane de N fiUres fa,it intervenir une Transformee de
Fourier d'ordre N.
On peut aussi remarquer que, en changeant dans H, (I) Ie signe d'un coefficient sur deux, la reponse en frequence se trouve dec alee de ; ) et on obtient Ie
filtre de quadrature du paragraphe 9.3.
Les resultats obtenus pour Ie filtre demi-bande se generalisent facilement a un
filtre RIF utilise pour reduire au dever la frequence d'echantillonnage par Ie facteur N. Soit H(Z) la fonction de transfert en Z d' un tel filtre. En supposant qu'il
possede KN coefficients. on.peut ecrire:
H (Z) ~
KN
,N-l
i "'Oo1
n =O
L a;Z- ; ~ L z- nHn CZ n)
(10.36)
aveo:
Ce filtre peut e tre realise par un reseau a N branches, suivant la figure 10.12,
appele reseau polyphase, car chaque branche a une reponse en frequenc e qui
approche celle d'un Mphaseur pur. Les dephasages sont constants par plage de
frequence et multiples entiers de
~
Quand il y a changement de frequence
d'echantillonnage dans un rapport N , les circuits des differentes branches du
reseau ope-rent a la frequence ~
FIG. 19. 12.
Filtrage par reseau polyphase
Les filtres a Reponse Impulsionnelle Infinie ayant des selectivites plus grandes
que les filtres a Repanse jmpulsionnelle Fink, it est interessant d'etudier les filtres
multicadence a elements recursifs.
10.6
Filtrage multicadence a ~"jments RII
327
10.6 FlLTRAGE MULTICADENCE A ELEMENTS RII
La technique de base pour Ie caleul d' un filtre multicadenee a elements EII consiste a
faire ie meme type de decomposition de Ia fonction de transfert dll filtre RII giobal
H(Z) qll.e celui qu.e faurnit Ia relation (10.36). La fonction H(Z) est supposee etre un"
fraction rationnelle au Ie denominateur et Ie numerateur sont de me-me degre.
Une telle decomposition est obtenue en faisant apparaitre les poles de H(Z) :
K
TI (Z- Zk)
tI(Z) ~ go ~kKo;c
~ l~_-
(10.37)
IT (Z-P k )
k~ l
En utitisant I'identite :
ZN - Pk' ~ (Z-Pk)(ZN- l + Z'H Pk + " .. + Pk'-J)
(10.38)
On ob.tient :
K
IT (2- Zk) (ZN-l + Pk ZN-2 t . .. t Pk' ~ l )
H (Z ) ~ a ..k.::c
~ l"---- _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
o
K
EVZN -PrJ
qui s-'ecrit SO llS une -autre far:me :
KN
L a·Z- i
j= O
I
H(Zl ~ ---'-.:c"K'----1 + IT b Z-Nk
k= l
.k
11 vient alors :
(10.39)
"• o u encore :
.~
•
],
(1OAO)
•c
o
c
.~
Totltes les branches du reseau polyphase sont determinees. Eiles ant tautes la
§ me-me partie recursive et se distinguent par la partie non 'recursive camme Ie
i montte la relatioli (lOAO) . Dans Ie principe, la difference par rapport au para.'l
graphe precedent est que les dephase:uTs RII obtenus, pris rindividuellement, ne
8"
La structure pour realiser Ie filtre multicadence SOllS cette forme est donn6e
la figure 10.13 dans Ie cas de [,augmentation de frequence d'eohantillonnage.
-g sont pas aphase lineaire.
©
a
10 • Le filtrage mu/ticadence
328
y (nl
------------
FIG. 10.13.
akN+n
Augmentation de frequence d'echantillonnage par une structure recursive
1
TOlls les calculs se font a la cadence NT' mais on peut observer qu~il y a a
faire un nombre de multiplications egal a KN + K + 1. Une realisation directe du
filtre RII demande dans les memes conditions (2K + 1). N multiplications. Par
suite la decomposition apporte un gain qui est seulement de Fordre du facteur 2.
Le v eritable interet de cette decomposition est pour les banes de filtres .
Dans la procedure ci-dessus, il faut toutefois remarquer que la 'p'a rtte recursive
du circuit de la figure 10.13 correspond a des pOles "leves a la puissance N ,
Cette transformation est representee sur la figure 10.14 pour K ~ 8.
pr.
/
,
I
I
/'
/
•
,
,
' \
, I
•
- -"-
\
\
, p, I
•
\ ,•
,
,,
,
•
pN
,, •
, ,
•
•
J
I
-
J
"I
/
/'
/
,I'
FIlS. 10 .14. Poles du riseau 'polyphasfi
R
10.7
Bane de fillres par reseau polyphase et TFD
329
Elle mont,e que les poles se dispersent a !'interieur du cercle unit6 et 8'e10ignent de ce oerole [5]. En effet 8i l'ona :
IPkl ~ 1- E aveo E tres petit et 1'0s1tif
il vient apres elevation ala puissance N :
IPrl = l-Nf
C'est un element tres favorable pour l'incidence sur la fonction de transfert d~
la representation des coefficients du denominateur, comme Ie montre Ie paragraphe 7.'1 et en partioulier la relation (7.66). En fait, la structure est realisable sous
forme direote albrs. "Iue Ie filtre initial n..e I'est pas,
Le"s incidences de la limitation du llOlnbre de bits des coefficients s'analysent
obmme all ohapitre 7, Il en est de meme de l'evaluation de la puissance du bruit de
ealeu!.
10.7 BANe DE FILTRES PAR RESEAU POLYPHASE ET TFD
Un calcwateur de Transformee de Fourier Discrete constitue un bane de filtres(paragraphe 2.4) qui sont bien adaptes au filtrage multioadenoe.
Cependant il faut remarquer que les filtres ainsi realises presentent des recouvrernents importants. Pour arneliorer la discrimination entre les composante.s du
signal, on effeolue une ponderation des nombres avant applioation de la TFD. Les
coefficients de ponde-ration sont les e-chantillons d~ fonctions dites fen-etres d'analys.e speotrale. La realisation de panos de filtres par reseau polyp'hase et TFD
oonstitue. en fait la generalisation des fenetres d'analyse speotrale [6, 7J.
Soit a realiser un bane deN tiltr.es qui oouvrent la bande [a,!, ] et sont obtenus
par transtalion en frequenee d'un filtre de base au filtre prototype, de ia valeur m . ~
avec , l % m ~ N-l.
Si H(Z) est la fonction de. transfert en Z du filtre, une translation en frequenoe
f.
"•• de m. Nse tr'aduit par un changement de vcrriable de Z en Z .e N; G'est-a-dire
'.
],"
j2Jt m
que Ie filtre d' indice m a pour fonotion de transfert Bm (Z) telle que
•c
o
c
•
'<e
BmCZ) ~ H(Z.e
m
j2H
N')
8
]
~
~
En appliquant ia <;ieeomposition de H(Z) introduite dans les paragraphes preeedents~ il vient :
10 • Le filtrage multicadence
330
En tenant compte du fait que les fanctions Hn (ZN) sont les n'leme;s pour tous les
fi ltres, une factorisation peut interverur, conduisant a l'equation matricielle suivante:
1
W
1
W2
i -l
WN
1[
W(~-lJ'
WN- l W" (N - l )
H o(ZN
)
Z-'H
, (ZN)
]
Z-(N - j) ~N(ZN)
(10.41)
2rr
ouW= e-j N .
La matrice carree est la matdce de la TFD . Le bane de fi ltres est realls" par
mise en cascade du,r"seau polyphase de ia figure 10.12 et d'un calculateur de TFD.
Le fafictiannement de ce dispasitif est illustre par 1. figure 10.15, qui mantre
les dep hasages qui interviennent aux differents points du systeme po ur aboutir a
ne conserver que 1e signal compris dans 1a bande [2~' 2:rr]' dans Ie cas au
N=4.
II ,!, ; 0
C-1
0
~U
" I~EBCl
1I'f'=T
@ C1
1
f@C
,C,
,
I"ED
-'.C,2
A
C,
co~ 6'j'= 3;
C,
C,
C,
Co
0
I
8T
I
3
8T
,
T
FIG. 10.15. D ephasages dans un bane de 4 [Mires
Le r"seau polyphase a pour effet de carriger, dans la partie ut'lle de ia bande
elementaire [2~' 2~T ], I'effet de ['entrelacement des nombres en sortie du calcul ateur de TFD l ce qui permet d l 6viter Ie recouvrernent entre les filtres et conduit
ida fanctian de. filtrage de la iigure 10.16. Celte fanctiOlLne depend gue du iiltre de
b'a seH(Z) qui p eut etre saj! de, type RIF sait de type R II , et qui peut !>tre sp6e,iM
pour que les filtres du bane. n' aient aucun recollvrement, au au c.Qntrai re aient par
exemple un point d'intersection a 6 dB, ou 3 dB camme au chapitre suivant.
10.g
Conclusion
331
~If)
1
r----,
I
I
I
I
f
o
Fm. 10,16.
,-----..,
\
II
I
\
I
\
I
I
\
f
\
\I
\
-'-'NT
2NT
---.L
f
NT
llonctiOli de jilrrage d'un bane de flltres sans reco.uvremeni
La reponse impl!lsibnnelle du filtre qe base est 1'1 [,metre d'analyse spedtrale
du systeme. Si les filtres sont specifies pouP n1avoir aucun recouvrement en frequen,ce, la frequence d\~chantillonnage' en sortie des filtres, au en entree suivant Ie
mode d\ltilisation, peut prendre la valeur ~ et l' ensemble des calculs peut etre
effectue acette cadence.
Si Nest une puissance de 2, l'algorithme de TFR peut etre utilise pour calculer la TFD et Ie nornbre de multiplications reelles MR a faire par periode d'echantlllonnage dans l'ensemble du systeme s'"erit:
(10.42)
Cette valeur est a comparer ala valeur 2K. N 2 que' necessite un ensemble de
N filtres RII de meme ardre fonctionnanl a la cadence ~
10.8 CONCLUSION
Les iiltres RIF possedent une propriete d' independance entre les cadences
d'echantillonnage en entree et en sOTtie, qui est exploitee pour adapter la oadence
• des calculs a la largeur de bande du signal au cours du traitement. Cette propriet"
.•~ s'etend aux structures recursives, moyennant une transformation. La .fonction de
~ base qui jntervient est la fonction de gephaseur,
~
Le ililrage multicadence ~'app lique aux filtres bande passante etroite. II peut
~ apporter des .gains en calcul consider abIes quand existe entre la frequence d'echantillonnage et 1a bande passante d'un filtre un rapport qui d6passe un ordre de gran.§ deuI, situation frequente en pratique.
:;
L'emploi de ces techniques impose une analyse plus fine du trattement. Les
-g. limitations a leur emploi proviennent principaletnent des complications dans l'en§ ;;halnement des calculs qU'apporte la mise en cascade d'etages differents et fonc~. tionnant ~ des cadences differentes. Dans chaqlie "l:'plication potentieile du filtrage
"
a
l
~
~
10 • Le filtrage multicadence
332
multicadence i1 faut examiner avec sain ce point pour eVlter qu1un acc::roissement
excessif de l'urtite de comrnande Oll du prognnnme a 1instructions he vienne compenser les gains- en calcul.
BIBLIOGRAPHIE
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Reduction of Computation S.peed in digital Filters. IEEE TransacUons, ASSP-22, 11..0 4,
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[7] N . J. FlJIEoIi. -Multirate D igital SfgrralProcessing, J01:m Wiley, Chichester, 1994.
EXERCICES
1 Donner Ie nombre de bits affectes aux coefficients des filtres demi-bande du tableau
10.l.
Placer surles abaques de lafigure 10.5, les filttes F 6,F8 et F g •
Utiliser les resultats du paragraphe 5.10 pour evaluer Ie supplement d'ondulation
apporte par la limit;:ttion du nomore de bits des coefficients oans les filhes demi-bande.
Tester l'evaluatigll sur les filtres F 6, Fa. et F 9.
2 Estimer Ie nombre de coefficients des trois flltres de 1a cascade dans l'exemple 1 du
paragraphe lOA.
Chaque resultat de multiplication etant arrondi, analyser Ie bruit deoalcul p roduit dang.
la reduction de frequence d'echantillonnage et donner une expression de sa puisBance.
Meme question pour l'elevation de frequence d'echantillonnage et Ie filtre de base..
Comparer avec la realisation directe.
'Donnerune estimation de la distorsion \.Ie repliement .
3 Un filtte pour une voie.te16phonique a une bande passante qui s'etertd de 0 a 3AOO Hz,
avec une ondulation inferieure a 0,25 dB. L'affaiblissement est superieur a 35 dB a partir de
4000. Hz. Pour une frequence d'echantillonnage Ie = 32 kHz, donner une realisation en filtra,gemulticadence avec une cascade de filtres demi'-barrde. Comparer1e nombre de multi-
333
EXerc:ices
plieations et d~additions a faire par seeonde et Ie voiume de m emoire avee les valeurs obte~
nues p pLir un filtrage RIF direct.
Le signal applique au filtre. est compose de. nombres a 13 bits-, les ealculs sont faits a
P~lQe qe cegistres .a 16 bits. EyalLl-er la p-l,lissanc;e 'dj.l Of!.lit de. calqil d.ans-Ia r~cluc;tiQn et dans
l'elevation de frequenee d'echantillQnnage.
4 Un ealculateur de Transfonnee de Fourier Discrete est un bane de filtres unif01me
dont les earacteristiques ont Me indiq~lees au 'paragraphe 2.4. Etudier les d~phasages introduits dans les Transfonnees de Fourier Impaire et doublement impaire du paragraphe 3 .3.
Comment sont cara:ctc.~·rises les banes defiltres ainsi obtenus?
5 Soit a realiset un bane de deux :filttes a partir dl). filtre RII d'ordre 4 donne en
exemple au paragraphe 7.2.4. Les zeroset les pOles du demi-plan superieur ont pour a.ffixes
(fig, H)
Z l ~ - 0,816 + j 0,5715;
Z, ~ -0,2987 + j 0,954
Pi ~ 0,335 + j 0,776
Utiliser les formules du paragr':lphe 10.6 pour calculer les fQnetions de transfer1: en Z
des branches du reseau p,olyphase. Donner les affixes des pOles et zeros dans Ie plan cdmplexe.
Utiliser les resu1tats dl,l- ehapitre 7 pour detertniner fincj.dence .sut la reponse en frequenee de 1a limitation du nombre de bits des coefficients du clenominateur de la .f onchon
de transfert. Comparer avec la realisation directe.
Donner Ie sep-ema de realisation du bane de deuX filtres et compter Ie nombre de multiplications neeessaire en supposant que 13 frequenee d~echanti110nnage en sortie de ,c haque
filtre est la moitie de la valeur a ! ~~ntree.
"••
'.,
•
]
•c
o
c
•
'5.
8o
"0
~
~
•
-g
~
§
o
"
Chapitre 11
Filtres QMF et ondelettes
La compression de certains -signaux, notamment la parole, Ie son et r image, fait
'appe1 a la deCOlnposition en sous-bandes avec reduction de frequence d'echantillonnaEe et a la reconstitution -a partir des sous-bandes, apres stack age ou transmission. L'approche la p.lus simple pour realiser ces operations consiste a faire
appeJ a des bancs de 2' filtres ,
11.1
DECOMPOSITION EN DEUX SOUS-BANDES
ET RECONSTITUTION
Le scMma d'ensemble est donne Ii'la figure 11.1, Le sigmil x (n) a analyser est
applique. a deux filtres, un passe-bas.Ho(z) e.t un passe.-haut H, (z ), Les sorties sont
sous.- echantillonnees par: Ie facteur 2. La :reconstitution est effectuee a parfir de
sequences dont un echantillQn sur 2 est nul, liltrees Fune par un passe-bas Go (Z ) et
l' autre par un passe-haul G, (Z}
x(n)
X(n)
FIG, 11.1. Banes de 2filtres pour decomp.osition-reconstitution par.Ie facteur 2
Comme expJique au paragraphe 10,1, Ie sous-6chantillonnage en sortie des
filtres d'analyse provo que l' addition au signal utile deS' bandes images
HoC-Z)X(-Z) et H, (-Z)X(-Z), La disparition de ces signaux indesirables en
sortie du bane de filtre ~ dy synthese implique la relation:
('11.1)
Fiftres QMF
11.2
335
Cette ce ntrainte est satisfaite en ut ilisant les m'Smes filtres dans les deux sousensembles et en prenant, pour les filtres de synthese:
(11.2)
AloTs, la conditio n de reconstitution s'exprime par :
Ho (Z)HkZ) -H,,(Z)Ho (-z) ~ Z-K
(11.31
auK est Ie retard global apporte au signal,
Ensuite, il faut calculer les coeffioients des filtres, en fonction du type de filtre
et des specifications dans Ie domaine des frequences, le nombre de coefficients
determinant la qualite d'e la separation entre les sOl.ls-bande:s.
L'approche la plus simple, celle qui minimise la quan!ite de caleuls, co nsiste a
prendre des filtres;; phases lineaires et jdentiq ues [1].
11.2
FlLTRES QMF
Comme indique au chapitre precedent, 'Un reseau polyphas,e a 2 branches permet
d 'obtenir, avec le$' memes calculs, un filtre passe-bas et Ull filtre pass¢-haut, Le
sous-echantillonnage peut alors etre realise a l'entree des filtres d ' analyse et Ie
schema global est donne;; la figure 11.2,
FIG, 11.2.
,'ii
Filtre QMF
Les fonctions de lransfert Ho (V ) et H, (Z2) constituent la decomposition
polyphase du filtre prototype H (Z ) cOest-a-dire que ~
~
"••
'~
(11.4 )
11 faut ensuite determiner les conditions que doit satisfaire Ie filtre prototype
~ pour que les relations de base (11.1) et (11.2) soient verifiees, La fonction de trans•:5 fert totale du systeme a pour expression:
c
•
'1C
(11.5)
8o
"0
~
~
~
1ic
,
o
©
Or, les composantes polyphases sont liees au fillre prototype par les expressions donnees au paragraphe 10.1, 'Soit:
.
11 • F-iltres QMF et onde/ettes
336
et, par suite:
T(Z) ~ ~ [H2(Z) -H'(-Z)]
(11.6)
On montre alors que, pour obtenir Ie changement de signe necessaire a 'la
reconstitution dans (11.2), il faut prendre un filtrC'prototype a nombre pair de coefficients: N ~ 2P. En effet, la n'ponse en frequence d'un tel filtre s'ecrit, comme indique au paragraphe 5.2,
(11.7)
au HR (I) est une fonction n,elle paire. On a egalement,
H
~) R /- 1),
(I -21) ~e ' \ 22H
2
-i2n
Jp -
(
(11.8)
Dans ces conditions, sur Ie cerc'le unite, il vient:
J
- a
) [Hr, (i)+Hl;, (21 \;]
41
[H2(Z) _H2(_Z)lzo,j2'f~
e-1 J\jp - 1
1
(11 .9)
et 'la condition de reconstitutton s ~ecrit :
Hi\(t) + Hi'< ( ~ -
I) ~ 1
(11.10)
Le terme de phase dans ['expression (11.9) donne Ie retard apporle par la fonction de transfert totale et, donc~ Fensemble de- decomposition-reconstitution, soit:
K =2P-1.
La terminologie QMF (Quadrature Mirror image Filter) provieI)t de la decomposition polyphase du filtre prototype a nombre pair de coefficients. En effet,
comme explique au chapitre 5, ce filtre est interpolateur, c'est-a-dire qu'il apporte un
retard d'un multiple impair de la demi-periode d'echantillonnage. Dans ces conditions, les expressions obtenues au paragraphe 10. 1 conduisent ala decomposition:
1
3
H(Z) = Z-T H-'- (Z'') + r T H~ (Z2)
2
2
qui se reecrit plus simplement;
1
H (Z) ~ Z 2- [Ho CZ 2) + Z- l H., (Z2)]
(11.11)
II v,ient alars pour les compos antes polyphases :
1
1
HO (Z2) ~ Z2 [H(Z) + jH(- Z] ; H iCZ2) ~ V: [H (Z ) - ;H(- Z]
(11.12)
et la reponse en frequence:
(11.13)
11.3
Decomposition et reconstitutlon parfaite
337
La bande de base et la bande image sont en quadrature. Par extension, Ie
terme QMF peut s'app1iquer tous le$ banes de 2 filtres pour decomp<Jsitionreco nstitution.
Il reste, ensuite, a cal euler les coefficients. La' relation (11-10) montre que ia
fonctiofi de transfert H2 (Z) est celle d'un filtre demi-bande ~ nombre impair de
coefficients de type Nyquist et H (Z) est un filtre passe-bas demi-Nyquist. Le calcul
se fait a partir d'un gabarit speeifiant pour H (I) les limites de la bande passante 1,
et de la bande affaib1ie 12' les ondulations 01 et 02 et en imposant l'amplitude Y2/2 a
la frequence 1/4. Pollr que H Z(I) appro.c he la condition (11.10) aVeC, une ondu!alion 0, on prend :
a
Exemple :
Soit un TIltre passe-bas aN = 8 coefficient dont les parametres sont leS' suivants:
11f~ 0,24 ;
A ~ 0,13 ; 12 ~ 0,37 ;
°
~ 0,Q1
Le calcul fournit 'les coeffic'ients ·suivants:
h, ~ hs ~ 0,015235 ; h 2 ~ h7 ~ 0,085187
h3 ~ h 6 = 0,081638 ; h4 ~ h5 ~ 0,486502
Les deux branches du reseau pOlyphase obtenu, Ho(Z2) et HI (Z2) ant les
memes coefficients, mais dans l'ordre inverse.
i5
Le filtre L h; Z-i devrait avoir ses coefficients'pairs nuls, sauf h~.
1=1
7
En fait, on trouve
L
(hli)2 = 1,7. 10->'
i=1;i ;F 4
.,;
",
Des methodes iteratives peuvent, si necessaire. completer Ie caic\ll et permettre de mieux approcher la .symetrie.
La qualite de la reconstitution depend de l'ondulation 0 et, done, du nombre
de coefficients. Pour obtenir une reconstitution parfaite" i1 faut ab'andonner lJ op _
tio n de filtres identigues et Ie sous-echantillonnage a l'entree de Fanalyse [2J.
~
o
"•• 11.3 DECOMPOSITION ET RECONSTITUTION PARFAITE
'.
]"
•
En posant P (Z) ~ Ho(Z)HI (-Z), on observe que la condition de ree6ns.titution
g (11.3 ) s'ecrit :
•
'D-
S
o
"0
~
~
~
1i
§
o
@
P (Z) -P (_Z) =Z-K
(11.14')
C'est-a-dire que P (Z) est >In filtre passe-bas a nombre impair de coefficients'
dont tous les coefficients d 1indice pair sont nuls 1 sauf le coefficient central qui est
ega! a['unite. Par e.xemple, pour M ~ 2 coefficients differents, il vient:
P (Z) ~ h3 T h , e z t Z-J + h, Z- 4 + h 3Z- 6
(11.15)
11 • Fillres OMF el onde/ettes
338
et les coefficients des filtres passe-bas Ho(Z) et H, (-Z) sont soumis a la contrainte
que, dans leur produit, leB coefficients des termes en Z-1 et Z;-5 sont nuls. 11 reste
des degres de liberte qui sont \ltllises pour oblenir des proprietes particulieres.
Dans un premier exemple, on choisit des pblynomes de degre different!?, a
coefficients syrnetriqlles et ayant des zeros 'au point Z=l . Alar-s, en prenant :
H1(-Z)~ ~ (l+Z-I?
Ho(Z) ~ (1 + Z~ l)(ex" + a.,Z-1 + a.,Z-z + ex"Z-3)
(11.16)
la condition de reconstitution parfaite impose que, dans Ie produit P (Z), Ie coefficient du !erme Z-I soit nul et celul du terme Z-3 egal a I'unite, ce qui donne ex" ~ - ~
3
eta., ~8 '
Finalemen!:
1
[-1 + 2Z-I + 6Z- 2 + 2Z- 3 _Z- 4 j
(11.17)
8
Les deux filtres ainsi ob\enus So)]t a la base de la transf9J;m~ti9.!l reversible,1l1ilisee dans la norme de compression des images fixes JPEG2000, dans l'option sans
perte. Les reponses en frequence des filtres sont donnees a la figure 11.3. 11 faut
noter ie desequiJibre des deux sous-bandes, les filtres ne sont pas du type clemiNyguist.
Ho(Z)~ -
.Amplitude
1,4
1,2
K,I-Z)
0.8
0,6
0,4
0.2
.0
o
0,05
0.1
0,15
0.2
0.25
0.3
0.35
0,4
0,45
0,5
Frequence
FIG . 11.3.
Reponse eft fri?quence des flUres dans fa norme ]PEG sans pel tt?'
11.3
339
Decomposition et reconstitutlon parfaite
Une decomposition en deux sellS-bandes egales peut etre obtem,J.e en abandonnant l'option de phase lineaire et en factorisant comme suit Ie filtre demi-bande :
(11.18)
c'est-a-dire que les fillres Ho(Z) el H, (- Z) ant les memes coefficients mais. dans
l'ordre inverse et Ie polynome P(Z) est de degre 2)( et possede 2K +1 coefficient.
En fonction du nombre M de coefficients different, dans Ie filtre demi-bande, on a
l'egalite 2K +1~4M, c'est-a-dire K ~ 2M - L Le fait que l'entier K soit impair permet de satisfaire la relation (11.2) et, avec Go(Z) ~ Z-kH o (Z-'), ~ (Z) ~ - Z-kHo
(Z-l) et G, (Z) ~ - Ho (- Z), on verifie que les conditions (11.1) et (11.3) sont sa tisfaites.
La procedure de cal cuI des coefficients est celle des filtres RIF a pj1ase minimale decri!e au paragraphe 5.1S. Au coefficient central d' un filtre demi-bande, on
ajoute l'ondulation, ce qui rend les zeros ·sut Ie cercle unite doubles, puis, les fac...,
teurs a phases minimales et maximales sont extra its [3].
Comme exemple, on considere Ie cas d'un filtre P(Z) a 2K + 1 ~ 15 coefficients,
. specifications h ~ 21 - 12 ~ 0,2. Les M ~ 4 coefficients dif ferents ant
calcule avec les
pour valeurs:
h, ~ 0,62785 ; h3 ~ 0,18681 ; h5 ~ 0,08822 ; h7 ~ 0,05297
L'ondulation a pour valeur 0 = 0,047 et Ie coefficient central devient: ho = 1,047.
En prenant un des zeros qui sont sur Ie cercle unite et ceux qui sont al'interieur, on obtient pour Ie premier filtre:
Ho (Z) ~ 0,3704 + 0,5111 Z-I + 0,2715 Z-L 0,0885 Z-3- 0,1346 Z-4
+ 0,0338 Z-s + 0,0973 Z-L 0,0703 Z-7
.:ijj
~
."••"
],
•c
o
c
•
'1C
8o
"0
~
~
•
1i
~
,.
o
@
La reponse en frequence correspondante est donnee a la figure 11.4. Par rallport au fillre d'origine, l'ondulation en bande affaiblie est devenue VB.
11 • F-illres OMF et'oflde/ettes
340
Amplitude
1.4 ,-------------------r-----~--~--~--_,
0,8
0,6
0,4
°°
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 ,5
Frequence
lim. 11.4, Reponse en !requenGe- dufiltre d!analyse'passe~ bru
Dans les caracteristiques a retenir 'pour les facteurs de F(Z), it en est une qui
est interessante pOhlr la compression des sighagx et des. images en particulier, c'est
la regularite de 1a re-ponse en frequence. En filtrage, cette caract6ristique se traduit
par I", pr",sel)ce ge ~erQs multiples all point Z ~ ~ 1 dans la fonction ge transf~rt.
Sur Ie plan des prinoipes, l'approc'he est justifiee par la \hel'>rie,des; ondelettes',
11.4 ONDELETTES
La tMorie des ondelettes a pour obj'edtif la representation de,S signaux dans Ie
domaine temps-frequence. C'est une repr.esentation que Fanalyse- de Fourier n'e
permet pas, car elle suppose Ie -signal periodique ou de duree infinie. Ainsi, pour
localiser un. signal a la fois dans. Ie temps et en frequence avec la transformee de
Fourier, i1 faut introduire une fene-tre glissante.
La transformee en "mdelette utilise comme base de decomposition des fonclions dites ondelettes, deduites d'une fonclion ge'neratrice par translation et dilatation, Elle perlnet d'analyser des signaux de duree quelconque [4, 5].
En pratique~ la transformee en ondelettes discrete correspond a un banc. de
filtres nbn uniforme 'e t une approche efficace pour la mise en re1:1vre consiste a
metfre en cascade des banes de 2 filtres comme ceux des paragraphes precedents,
avec reduction par 2 des frequences d'echantillonnage a chaque etage et memes
coefficients pour Ies filtres. Les operations de translation et dilatation sont effec-
11.4
Ondelettes
341
tuees automatiquement par les changements de frequence d'echantillonnage. La
structure· en arbre ainsi obtenue est illustree la figure 11.5 POtjf l'analyse. Bien
entendu, on peut aussi obtehir un bane de filtres uniforme en completant la
branche basse sur Ie schema.
a
Xln)
FIG. 11.5. Bane de fiIfres non unifonne, par structure en arbre.
.:ijj
~,
"•
.~
i
•c
g
Hour Ie calcul des coefficients, l'objeciif est a'aUeindre la regularite maximale,
c.' est-'-dire d'avoir dans la fonclion P (2':) Ie maximum de zeros au point Z ~ - 1 .
Un filtre demi-bande • N coefficients differents possede 4N - 1 coefficients en tout
et est de degre 4N - 2. Ce filtre ayant 2 (N - 1) coefficients nuls, la fonction P (Z)
comporte un facteur de degre 2 (N - 1). Alors, Ie facteur rest ant est au maximum
de degre2N. Ensuite, il faut factoriser P (Z) pour obtenir les deux filtres d'analyse
et synthese..
Dans une solution a phase minimale, les filtres obtenus possedent 2N coefficients e.\ la fonction de transfert en Z du filtre passe-bas presente N zeros au point
Z = - 1 du plan complexe. COl1lme dans les paragraphes precooents, les valeurs
numeriques peuvent etre determinees directement en cQrnbinant cette contrainte:avec les conditions d'annulation des coefjicients des termes impairs dans Ie produit
P (Z). On peut aussiobtenir P (Z) et factoriser.
Le tableaU 11.1 donne les coefficients des fillres Ho (Z) pour les premieres
valenrs de N. Les coefficients des autres filtres intervenant dans Panalyse et la synthese, H, (Z), Go (Z) el G, (Z) selon la figure 11.1, sont donnes par :
2N
Ho(Z)~ i~,ho,iZ-; ;h"i~(-l)'ho.2N.l_i i I?I,i~hl~.N+1-i
(11.1.9)
Les repons,e s en frequence sont donnees a la figure 11 .6. On remarq'ue la simi-
l• litude avec les reponses des filtres de Butterworth du paragraphe 7.2.3; qui posse-
ii dent les memes zeros au point Z ~ -1, ont egalement la propriet" (1e reconslitu-E. lion parfaite quand 1;, frequence de coupUre est placee au milieu de la bande utile
• et .ant 'une reponse en frequence monotone.
...J
,.
1i
o
@
11 • Fillres OMF et'ondeleltes
342
Tableau 11.1. - COEFFICIENTS DE.S ONDELETTES A PHASE MJNrMALE
N~2
I'l ~ 3
N ~4
1'1 = 5
0,482963
0,(l36516
0,224144
-0,129410
O,Sl32671
0;806892
0,459878
- 0,135011
- 0,085441
0,035226
0,230378
0,714847
0,630881
- 0,027984
- 0,187035
0,030841
0,032883
- 0,010597
0,160102
0,693828
0,724307
0,138427
-0,242295
-0,032245
0,077571
-0,006242
-0,012581
-0,003336
Am~li!Ude
1.5 r--~-~-~-~-~-~-~-~-~---'
I ". - .. ,,- .. -" .." ..." ...--.".. "" "". '." " -" ""-,,- --- - " ,,-- --" ""-"". "" -- -" "- -
N =1
0 ,5
N =5
0k-~=-~~~~~~~~~~-;~~~
0,05
0,1
0 ,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0.4
0.45
0,5
Frequence
FIG. 11.6.
Reponse en friquences des ondelettes
aphase minimale
II est egaletnent possible d' obtenir des. filtres. a phase lineaire, en donnant au~
fi ltre spasse·bas el passe·haut des nQmbres de coefficients differents et impairs.
Par exemple, Ie tablea u 11.2 donne les coefficients des filtres (9,7) utilises
dans la norme JPEG 2000, pour la compression ave0 taux ele,>,,, et pertes [6].
11.4
Ondelettes
3 43
Tableau 11.2. - FILTRES POUR COMPRESSlmN AVEC PERTE pANs JPEG 2000
Zi
H" (2 )
HI(Z)
i = ±0
0,602949
0,266864'
-0,078223
- 0,016864
1,115087
- 0,591272
- 0,057544
0,091272
1 =
1
±1
= ±2
1 =
±4
L'evaluation de 1a precision de reconstitution se fail par Ie c.llcul de I. reponse
impulsionnelle de l'ensernble analyse-synthese. En multipli.nt par Hl (- Z) 1'e polynome obtenu en annulant les coefficients d'indice impair dans Ho(Z) et en ajout.nlle produit par Ho(- Z) du polynome obtenu en .nnql.nlles coefficients d'indice pair dans HI (Z), on verifie que Ie poly nome obtenu • son coefficient centr.l
egal a l'unite et ses autres coefficients nuIs, avec vn ecart inferieur a 2.10- 6. eet
ecart provient de l'arrondi des valeurs qes. coefficients.
1,4
Amplitude
1.2
0, 8
0,6
0,4
0, 2
"••
'.
•
],
•
c
o
c
•
'1C
g
o
o
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
P,35
Q,4
P.45
0 ,5
Frequence
Fig. 11.7.
Reponse en frequence des filtres dans la nonneJPEG 2000 avec perte
La figure 11.7 montre les, reponses en frequence des filtres HO (Z) et ~ (Z)/2,
qui font encore appar'ltre un desequilibre dans Ie part.ge du signal, m.is plus
faibie que celui de la figure 11.3, les filtres ayant davantage de coefficients, Ces
-g filtres ont la moitie de leurs zeros aux points Z = ± 1 du plan complexe, ce qui
8' donne 'nne grande fegularite aux re-ponses. en frequence, propriere importante en
©
traitement d'im'ges, Cependant, il faul signaler que celie '. ppn;,che produit une
]
;
11 • Fillres QMF el onde/eltes
344
arnplificati,m du bruit a la synthese. En effet, dans la cQrnpression des images, une
operation de quantification a lieu apres I' analyse et la synthese apporte une 'amplification du bruit de quantification pa r Ie facteur 1,243. Ce factellr est plus eleve que
pour d'auhes techniques de caicul des filtres QMF.
En ce qui concerne la complexite arithmetique, il faut SO\lligner que Ie
nombre de multiplications est tres proche de celui de la technique polyphase, car il
est possible de profiter de la syrnetrie des coefficients, ala fois dans la partie analyse et dans la partie syntMse.
11.5 STRUCTURE EN TREILUS
La factorisation (11.8) du filtre derrti-bande peut egalement se faire avec la representation en treillis, en annulant un coefficient sur deux. La structure modulaire-
obtenue est donnee a la figure 11.8.
(------- -,
I
---- ~ - ' ~ . ~~- . ,
.
i
j
t___ ~_~ , __ _________ ,_,-J
<~--..- --- --j
K.cellules-
Fig .. 11.,8.
I
K celiules
Bane de "2 filtres en situctnre treilli's
Les fanctions de transfert des fiJlres d' analyse et synthese sont obtenues par
les caleuls indiques au paragraphe 8.5. Par exemple, pour 3 cellules, K ~ 3 , il
vient :
Ho (Z) ~ 1 + ex, Z-l - a , a,Z-2 + a,Z-3
Hl(Z)~ - O<g-a,a,Z-l
-a,Z-+ + Z_3
(11.20)
ce qui correspond a la relation donnee precedemrnent, soil H j (Z) = - Z-K Ho (- Z~l).
La fanction de transfert de l'ensemble s~ecrit :
K
T(Z) ~ Z - 2 (K-l) II (1 + aT)
(11.21)
j=1
Le retard est donc de 2 (K - 1) peri odes d' echantiUonnage. Les coefficients du
treillis sont calcules a partir des specifications sur les filtres. Par exemple, en impo-=santunzeroaupointZ ~ -letHo(l) = 4, onobtient :ex,~1+v'2;a,=1 - v'2.
En comparant avec Ie paragraphe precedent, il apparalt que Ie treillis est moins
efficace que Ie. autre. factorisations , puisqu'au tableau 11.1 Ie filtre a 4 coefficients possede 2 zeros au point Z = - 1. Cependant, iJ presente des avantages en
11.5
Structure en trei/lis
345
realisation. notamment la modularite de la structure et Ie fait que la propriete de
reconstitution parfaite n'est pas affectee par l'arrondi des coeffioients [7].
BIBLIOGRAPHIE
[1]
R.E.CROCHIERE and L.R.RABINERl ~<: Multirate Digital Signal Processing », Pr enticeHall Inc., Englew60d Cliff" N.J., 1983 .
[2J M. V EITERU, <~ Filter Bankes Allowing Perfect Reconstruction », Signal. Processing,
Vol.10, n 03, April 1986, pp.219-244.
[3]
M . SliITH and T . BARNWELL, « Exact Recon.struction Techniques' for T Tee Structured
Sub-band Coders », IEEE Transactions, ASSP-34, n° 3, June 1986, pp.434-441.
[4]
1.
[5]
S. MA1hAT, "A Wavelet Tour of Signai Processing», 2nd Ed., New York : Academic,
1999.
[6]
A. S",GBRAg, C. CHRlITOFOULOS mld T. E BRAHIM!, "The lPEG 2000 Still Image.
Compression Standard })", IEEE' Sigpa1 Proce'ssing Magazine, Vol.l8, nQS, Sept.2001,
pp.36-58.
[7]
P.P. V AIDYANA THAN, ~<:Mu1tirate .systems and Filter Banks », Prentice Hall Inc.
Englewood Cliffs, N.J. 1993.
D AllBEClUES, « Orthononrtal Bases for Compas:tly Supported Wavelets »,
Communications on Pure and Applied Mathematics, Vo1.41, 19881 .p p. 909-996.
EXERCICES
1 On applique leJrignalx(nl ~ cos. (mr/4) it un filtre de fonc1ion de transfert :
H (Z) ~ - 0,050 + 0,117
z- + 0,4S2 Z- 2 + 0,452 Z-3 + 0,117 Z- ' - 0,050 Z1
5
Que! est Ie retard apporte par ce filtre- et quelle est sa n§.pon's e en frequence.
Donnt;!r l."expression du signal de sortie.
~,
DOlUler Ie schema d run banc de 2 filtres QMF ayant H (Z) comme filtre prototype.
5 Exprimer Ies signaux en sortie des filtres d'analyse. CalcuierJa fonction de transfert de l'ensem"51e analyse-synthese et donner l'expression du signal reconstitue.
"••
2 Dans une decompositIon-reconstitution parfalte, on chen::he a factoriser Ie poly~ nCiffie prototype P CZ)~ suppose de degre 6, en deux facteurs de meme degre. Rti~herchant la
~ tegularite maxlmale, on impose au filtre passe-bas HoCZ) d'avoir ses 3 ~eros aU point Z =
o
.~
~
"§.§
-a.
•
~
§
~
-1. Calculer 1es coefficients du filtre passe-haut Hl CZ) et donner les valeurs de ses zeros.
Comparer les reponst}s en frequent:e<avec celles de la fi~re 113 .
Vne quantification intervient en sortie des filtres d'analyse. Calculer Ie facteur d'amplification dans 1a phase de synthese.
3 Des filttes d'analyse a phase lineaite possedent 3' et 5 coefficients. Calculer les
valeurs pour avoir 1a meilleure separation possible des sous-bandes et la re_constitution parfaite.
11 • Fillres QMF et ondelettes
346
Quand un bruit bl&llc de puissance unite. est applique
quelles pui,st;ance5' trouve-t-Qll en sortie.
a i'entree des filtres d~analyse,
4 Le signal x(n) ~ cos Cnnl4) est applique. aux filtres d'analyse du tableau 11,2.
Donner l'expre:<iSion des signaux en sortie 9~S flltres, avant et apn~s sous-echantillonnage.
Dans1a reconstitution, donner l'exptession des signaux en sortie de c}1acun des filtres. avant
1'addition finale.
5 On se propose d'etw;Her 1a -sensibilite de l'operation de decomposition-reconstitution 1a precision des coefficients.
Donner une borne superieure de l'erreuT de reconstitution due a l'arrondi des coefficients pour les flltres du tableau ILL Verifiet Ie J"esultat en prenant Ie premier flltte du
tableau 11.1, a 4 coefficients, avec une representation sur4 bits. Donner 1a reponse en freq\lence 9U filtrt;! avec cette representation.
Memes questions que ci-qessus pour leS'iiltres dli tableau 11.2.
a
Chapitre 12
Banes de filtres
Les teclmiques de decomposition et reconstitution des signaux presentees au chapitre precedent se generalisent a un nombre quelconql.le de sous-bandes avec l'utilisation de banes de plus de deux filtTes. En principe, dans ee cas egalement, Ie
sous-echantillonnage peut intervenir en -sortie des filt:r:es d'analyse, mais on prefthe
generalement effectuer Ie sous.-echantillonnage en entree pour exploiter la Gon'lbina1s,on reseau po lyphase-TFD et mtnim'iser ainsi la complexite arithmetique.
12.1 DECOMPOSITION ET RECONSTITUTION
Dans la realisation d'un pane de flltres. par reseau polyphase et TFD exposee au
para,graphe {lO.g), les operations qui interviennent sont reversibles, ce qui conduit
au schema de la figure 12.1, pour une operatiO)1 tie decomposition et retonstitution
d 'un signal [1-2] .
•'!:::i
",
.'•••"
~
0
.il,•
x(n )
TFD
•
TFD- 1
0
0
0
•
'1C
0
u
0
"0
~
~
•
~
'ri
0
§
0
"
Fm. 12.1.
Principe de in decompqsition t t reconstitutiQn
x(n)
12 • Banes de fillres
348
La difficulte, dans la reaiite, consiste a mettre en ceuvre les operations asscciees aux fonctions Hi! (ZN).
Le filtre H(Z) qui sert de base au processus, Ie filtre prototype, possede une
decomposition polyphase dont les elements satisfont la relation (10.8) :
Z-'Hi(ZN)~
1"1-12"
(
2")
N,1:o
e-iNiinH Z e-iNm ; 0 ,;;;,,;N -1 (12.1)
Si Ie fillre de base H(Z) a une frequence de coupme inferieure a 2~ et .s';l
presente un affaiblissernent important pour les frequences superieures ou €gales a ;N '
1
c'est-a-dire. si les repliements de spectre dus a l'echant1llonnage ala cadence N
sont neglige ables, on peut ecrire :
(12.2)
Dans ces conditic.:)lls fegalite suivante' est verifiee sur Ie cerc1e unite, au facteur Z-N
pres:
Soit :
H,(ZN) HN _i(ZN)
HQ(ZN)' Ho(ZN) ~ 1;
Q,;; i ,;; N-1
(12.3)
Ces egalites traduisent simplement les relations de phase illuslree$ par la figure
10.15.
Alors, on peut prendre HN _,(ZN) pour realiser H i-1 (ZN), c'est-a-dire utiliser
Ie meme banc de filtres a la decomposition et a la reconstitution du signal, l'operation glob ale correspondant a une multiplication par H ~( Z·N).
Dans un certain nombre d' applications, il n'est pas possible de uegliger les
repliements de spectre; c'est Ie cas par exemple quand il faut decomposer un
signal le sous-echantillonner par Ie facteur N et Ie reconstituer ensuite avec la plus
gran,de precision possible. sur I'ensemble de la bande. Alars, soit G (Z) la fonction
de transfert du fillre de base pour la reconstitution. Comme Ie pro.duit d'une transformee de Fourier discrete par son inverse est egal a Funite, Foperation globale
correspond a 'une decomposition du signal x (n) en N suites entrelacees x (PN + i),
auxquelles sont appliques·N operateurs de fonetion de transfert Gi CZN ) .H,(ZNj.
1
12.2
.Analyse des elements du reseau polyphase
349
A.vee la ",duetion de frequenee d'echantillonnage par N dans la partie decomposition, appelee aussi analyse, et l"augmentation par N da,ns la p&rtie reconstitution, appelee aussi synthese, Ie schema correspond ant est donne la figure 12.2.
1
Tous les traitements dans Ie dispositif correspondant se font 8._1a cadence N' ce .qui
a
en fait une approche particulie-rement efficace.
x(n)
xc.-)
TFD
i(n)
TFD-1
X(.)
SYNTHESE
ANALYSE
FIG. 12.2. Banes de filtres polyphases pour r anaryse et fa synthese des signaux
La condition de reconstitution avec Ie retard K s'ecrit :
(12.4)
Le retard K doit eire Ie 11)eme dans toutes les branches du '[eseau polyp\1ase
pour que Pentre1acement correspondant a l'augmentation de frequence d!echanllllonnage par N pulsse rendre Ie signal inilial retarde, x (n - K).
Pour determiner les fonctions inverses Gi(ZN), il faut proceder aune analyse
detaillee de, la reponse en frequenee de.s elements du reseau polyphase .
.:ijj
§ 12.2 ANALYSE DES ELEMENTS DU RESEAU' POLYPHASE
"••
'~
La repopse en frequence des elements Hi(ZN) du reseau polyphase se d6duit
~
par exemple, cornme sur la fig;ure 12.3. Dans ces conditions, un filtre dcmne ne §e
]
;
telle que H(f) ~
~ directement de 1. relation (12,1). Cependant, des simplifications peuvent interve•:5 nir. En effet, les 'filtres du bane pre-sentent generalement un recouvrement limite,
'''-
g superpose ql.l'avec ses voisins immediats si la reponse du filtre prototype H(Z) est
1
a pour If I > N'
Alars, on peut ecrire pour la branch" d'indice i :
,1~
.
H,(f) ~ H(f) .. e -' Ni H (f-~)
(12.5)
12 • Banes de fillres
350
H
:...~~~M~~_) ~
+-----:'' ---- - - t'- - - - - - - -........_
o
F.J:G. 12,3.
3
1
N
2N
f
2N
Recouvremenf des filtres voisins
l'
La periodicite de cette reponse etant N' si les coefficients sont reels, il suffit
1
de considerer la :reponse dans l'intervalle 0 ~ / ~ 2N et il vient :
2<
H;(f) ~ H(f) + e+NiH (~-~
(12,6)
En supposant que la reponse du filtre prototype soit une courbe monotone
1
decroissante danS' la bande de transition /1,./, Hi (f) ne peuts' artnulet pour /
2N '
*
Pour la valeur ~, il vient ;
2<
Hi (2~ )~ H(2~) 1+ N
(
e -j
i
)
(12.7)
Celte reponse est nulle pour la branche i = ~.
Donc', avec la decomposition (12.1 ), elle-meme issue de l'expression (10.36), la
N
branche d'indice :2 n'est p.as inversible, puisque sa [anction de transfert en Z possede un zero dans Ie plan Z au point - 1. Pour obtenir un ensemble de branches
inversibles, il faut faire appel a une autre decomposition polyphase.
Au chapitre V, il a ete monlre qu'un filtre RIF a phase lineaire a nombre de
coefficients pair est un lnterpolateur a mi-periode d'echantillonnage. On peut
considerer qulil provient d'un filtre RIF a nombre de coefficients impair, ayant la
me11)e reponse en frequence) par un sous-echantillonnage d~un facteur 2. 11 faut
done partir d'une decomposition polyphase- a 2N branches et ne conserver qu'une
branche- sur dew<. On obtient alors pour H (Z) la fermul,,:
(12.8)
.Analyse des elementsdu reseau polyphase
12.2
351
Avec cette decomposition, 1l amplitw;le minimale H min dans une branche est
donnee par:
H. ~ IH 2 +2 (~)
(I-e-iif )1~2sin--"2N I ~ 1
2N
mill
N
1
(12.9)
Par suite, pour avoir un re-seau polypbase inversible, il suffit d'imposer au
filt", prototype RIF a. phase lineaire d'avoir un nombre pair de coefficients.
Quant la position des .zeros des fonctions Hi + ~ (ZN)dans Ie plan ZN par rap-
a
2
port au cercle unite, on obserye qulils se repartissent egalement entre l'interieur et
l' ~xterieur du cercle unite . La justification se trouve dans Ie fait que lese16·ments
Hi + ~ (Z N) ,sonl Ii phase presque lineaire.. De plus, l'amplillide de la reponse en
2
frequehce restant proche de l~unite, les ZerQS s6nt loin du cercle unite, sauf pour
les branches qui presentent un affaiblissemenl important a la frequence 2~ quand
N est grand.
Comme exemple, on peut prendre Ie cas d'un bane de N ~ 2. branches avec un
fillre prototype a 16 coefficients, selon Ie tableau 12.1.
Tableau 12.1. - CoEFFICIENTS D 'UN PILTRE PROTOTIPB
lil
coefficients
ho = hl~
0,002.898
1
hi ~ h"
- 0,009972
"2
h2 = h13
- 0,001921
3
h3 = h12
0,035969
4
h4 = hll
- 0,016119
5
h, ~ hlO
- 0,095302
0
h6 ~ h,
0,106799
7
h) ~ he
0,477347
°
"••
"].,•
•c
o
La f(mction de transfert defirue par:
c
•
'1C
8o
"0
7
Bo (V)~
L h']j (Z-2)1
(1210)
i=Q
~
~
j
-g
8'
@
possede'7 zeros repartis comme indique sur la fig 1:6.4.
A 1'6vidence, ils sont eloignes du cercle unite. La seconde fanction, HI (Z2),
possede les memes coefficientS', mais dans·l'ordre inverse. Les zeros sont done les.
inverses des precedents.
12 • Banes de fillres
352
-3
-2
-1
o
2
3
4
Real part
FIG. 12.4, Zeros d'un etementpolyphast avec. N =2
12.3 CALCUL DES FONCTIONS INVERSES
En se pla<,ant dans Ie plan Z pour les 'fonctions de transfert, Ie calcul de la fonction
inverse pour les elements polyph~ses commence par une factorisation au les' Ll
zeros a Ftnterfeur du cercle unite- sont separes des Lz zeros qui sont a Fexterieur :
(12.11)
Le terme hiO est un facleur d 'echelle.
Pour tout zero Z-c exterieur au (jerc'le unite, on peut ecriTe :
L (Z,' )' Zl
j=O
(12,12)
12.3
353
Ca/Cul des fonctions inverses
et, par suite, I'inverse du second facteur de (12.12) peut eire approche avec une
precision arbitraire par lln nombre fini de termes, Soit 1a fanction Gi (Z ) definie
par ':
(12.13)
ou L3 est un entier.
La condition d~ lnversid n est satisfaite si :
,(
~
l=O
C
I
Z-l) (1. a Z-l) ~
1=0
Z- (L,+L,)
I
(12-14)
Le chotx du retard L2 + L J se juslifie paT Ie fail que les coefficients du deve1oppemenl (12-12) sonl decroissanls et que 1e second facteur dans (12.11) est a phase
maximale. La relation Q'inversions'ecritsous forme mat;ricielle-:
(12.15 )
MA~
ou 'Ie veeteur A a pour elements les coefficients tll- inconnus. Le systeme est ~ur­
determine et it admet une solution au sens des moindres carres, donnee par la rela.
tion :
(12.16)
.'!:::i
",
~
o
."••"
En reprenant l'exemp1e precedent, les coefficients a, et b, de Go(Z) qui interviennent dans l'equation (12.13) sont dbnnes dans Ie tableau 12.2, pour L3 ~ 5.
Tableau 12.2. - COEFFICIENTS u'1)N ELE:MENf POLYPHASE DE SYNfHE5E
a,
h,
],
0
- 0,000017
o
1
- 0,001214
- 0,207030
2-
0,000053
- 0,033224
3
0,000662
0,002642
4
- 0,004129
0,005796
5
- 0,019944
•o
c
•
'1C
8o
'0
~
~
•
1i
1
~
,.
o
@
12 • Banes de fillres
354
L} 6cart par rapport a la valeur ide'ale c!e Pinverse, clest-a:-dire llerreur de
reconstitution secaleule comme la norme du vecteur (MA)t - [0, 0, ., ., 1]. En
valeur quadratique 011' obtient:
J ~ I (MAl' - [0, O~ "
1J I ?
(1;2-17)
Dans l'exemple ci-dessus, on trouve J ~ 1,02.10-7 avec L, '" 5 el J = 8 .10 07
ave.c, L, ~ 4.
La 'structure des elements polyphase de sytIthese OJ (Z) est celle d'un filtre RII
general. Comme 'les p61e$"Zk sont eloignes du cercle unite, une realisation en struc-
ture directe est possible. Elle est representee
a la figure 12.5. Avec L3 ~ 5, it faut
done 9 multiplications et 5 memoires pour realiser un element et Ie retard apporte
flat [,ensemble analyse et synlhese est egal a L, + L, ~ ·9.
FIG. 12.5. Structure d'un e.lbnent polyphase de synthese
La methode de Galeul des. elements polyphases de synthese exposee ci-dessus
est generale et s' applique a tout filtre d'analyse, a la seule. condition qu'il ne possede pas de zero sur Ie cercle unite. EIle necessite d'effectuer un calcul par
branche, avec des coefficients obtenus differents, Elle permet de specifier Ie filtre
d' analyse relativement independamment du filtre de synthese. Cependant, il peut
etre interessant de sacrifier un peu de fiexoibilite pour obtenir un calcul plus systematique et plus' sitnple, camme aU'c haFitre lJf~,edent.
12.4
355
Banes de filtres pseudo-QMF
12.4 BANeS DE FlLTRES PSEUDO-QMF
Le principe 'repose sur I'hypothbse que, pour un filtre donne, l'affaiblissement est
tel que les repliements n e proviennent que des ban,"es voisines, [3]
Soil H(Z) la fonotion de transfer! d'un filtre prototype passe-bas a phase
li'ne aire ayant la re-ponse en frequence representee a la figure 12.6.
En cbnsiderant un nombre de coefficients eM! a LN, il vient:
LN -1
H (Z ) ~ k~O
h k Z-
k
(12.18)
Dans Ie bane , Ie filtre d'inqice i, centre sur la frequence 2'4'N+ 1, ff pour fanction
de transfert H (Z e
2i + 1
- J2rr:--
4N ),
' al'
, a• Ia frequence
'
2i4N
+1 + L1'f',
L ors d e I' an al yse, une CGrnposante d U sIgn
sltuee
1
3
avec, par exemple, 4N < N < 4N' va eITe affaiblie suivant Ie facteur H CN ),
Le sous-echantillo nnage
compos ante la frequence :
a
a ia cadente ~ va produire un repliement de celte
2i+ 1
3
(2i+1
)
3
4N + 4N 4N + AI "" 4N -1'1/
iH(f)1
a)
1.
2N
o
1.
4N
1
2N
1.
N
"••
'.,
•
]
•c
o
c
•
'<e
8o
"0
~
~
•
~
1ic
,
o
©
4N
2N
FIG. 12 ..6.
.a) Filtre.protofype
b ) Band uniforme £Ie N flUTeS .reels
N
Bane de flltres reels
3
2N
1
12 • Banes de fillres
356
tors de la synlhese, ceUe cdmp<?sante, repllee dans la bande du filtre d'indice i, va
,
,
2i+l
1
.,
..
se t(Ouver a la frequence 4N + 2N - 1'.1 et dIe va sublr I affalblissement du
filtre de synthese d'indice i , soil G ( 2~ -
At), si G (Z ) designe Ie filtre prototype de
synthese. Finalement, la composante repliee aura subi l'affaiblissement :
H(At) G (~
-At\)
2N
Or, la meme composante. de signaL va etre traitee par Ie filtre d'indice i + 1, puisqu'elle tombe dans sa bande passante. 'L'echantillonnage produit ensuite une comp6sante image, qui, lors de la synthese., vient s"ajouter ala composant~ re.plfee pre-
cedente avec l'affaiblissement H ( 2~ - 1'./) G(I'.t) . Le processus est illustce par I.
figure 12:7.
D im) la condition pour qqe ces con'lpos~mte~ -se cOlhpensent ;
1
[H(/'.[) G ( 2~ - At) + [H (2~
-At) GW)1 ~ 0 (12.;]9,)
+1
H(f)
,
--At
2N
2;+ 1
4N
FIG, 12.7.
2;+ 3
4N
Repliement d'une composante (lans Ie bane defiltres
Cette condition d' absence> de repliement peut etre obtenue en prenant G(t) ~ H(/)
et en appliquant une difference de phase de ~ entre les filtres d'indice i et i + 1, a
l'analyse et a1a synthese.
La difference de phase necessaire peut e:tre obtenue en introduisant des
dephasages dans les fonctions de modulation, par exemple en prenant pour les
coefficjents hile du filtre d'a nalyse d'indlee i :
12.4
357
Banes de filtres pseudo-QMF
(12.20)
avec a '" i <; N -1 et 0 '" k '" NL -1 .
Et pour les coefficients dq filtre de synthese :
(12.21 )
Enpos;mt:
(12.22)
il vient, pour les fonctions de-transfert correspondantes :
Hi (Z ) ~ aiciH (ze -jt" +1) 2~ ) + ii)';H
(Ze i +U 2~ )
(12.23)
Gi(Z)~ (jAH (Ze-j(:lid) ;') + aiC;H(Zei(:lin)2~)
(12.24 )
(:>;
Avec la symetrie des coefficients ilk et Ie cent rage des fonctiQns de modulation, les
relatipns suivantes -so nt verifiees:
gik ~ hi(LN -l-k) ;
Gi (Z ) ~ Z-(LN -1) Hi (2:-')
(12.25 )
Dans ces conditions, la re-panse totale du systeme d'analyse et synthese s:ecrit :
N-l
1
I(Z) ~ X(Z) ~X(Z)
N i~O Hi (Z) G,cZ)
.,;
'li
§
'"
:
':}l
~
Z-(IN -1)
N-l
N
[ =0
L Hi(Z)
H i (Z-l)
.
(12.26)
C'est-a-clire que Ie systeme global est a phase lineaire.
Avec I'hypothese que les filtres ant un aifaiblissement suffisant pour que
seules les bandes voisines puissent apporter un repHement significatif 1 i1 faut inaintenant d~terminer les valeurs a donner aux angles f\ pour obtenir J'annulation desiree.
En sortie du filtr" Hi (Z ), apres sous-echantillonnage, Ie signal sOecrit, con for-
5 mement a I. relation (X .S) :
c
•
.1L
8o
(12.27)
"0
~
~
~
Et pour le signal en sortie du systeme, il vient :
1i
! X(Z) ~ ~#: Gi (z)XJ~) ~ ~ :~: x (zwm)~#: G,(Z)
H, (ZW m) (1 2.28)
12 • Banes de fillres
358
La co ndition de parfaite reconstitution s ~ ecrit alors :
N- l
i~O G;(Z ) H,(Z ) '" Zok
(1229)
N-l
L G (Z) H (zwm) =0 '
i =0
I
I
. ,
1 ", m '" N-1
(1,2.30)
Pour faire apparaltre l'annulation des composantes repliees, il faut examiner
Ie sign)!:l en sortie de chacun des filtres de synthese. En sortie du filtre O,(Z), Ie
signal Xi (Z) peut s'ecrire, en rep Tenant la rel ~lion (12.27) :
~
1
X i(Z) = Gi(Z ) N
N ~.l
l:,o Hi( zwm ) X (ZWm )
(1.2.31 )
Mais, d' apres la definition (12.24) et les. hypotheses faites sur I'affaiblissement, Ie
.
2i + 1
filtre Oi (Z)
' ne Imsse pas~er que la bande centree sur la frequence 4N el les
.deux bandes voisines . .Compte tenu de la repa.r tition des bandes sur I' axe des frequences, les indices m associes aces bandes voisines correspondent a d~s transialions de frequenee telles que :
2i+l
m
2i+1
1
4M ± N = - 4M ± 2N
(12.32)
En effet, Ie sous-echantillonnage amene des translations de :frequence ,qui sont des
multiples entiers rle la freq uence ~ .
Dans ces conditio ns, les v aleurs de m s'ecrivent :
tn=± i et m=± (i+1)
Par exemple, en reprenant Ie cas de la figure 12.7 , la eomposante repliee pro-
.
,
1
vie nl d une composanle a a frequence -
(214N+ 1 + AI)\ M calee'
'
i+1
de N ' soit:.
)+i+N 1 -_ 2i+3
_ f
4N
A
_ ( 2i + 1
4N +N
~
Par s.u iteX,(Z) se limite 'aU cleveloppement suivant, en reprenantIa definition
(12:23) de Hi (Z ) :
'"
1 [
( _ 2i'+ 1
Xi'(Z ) = O,(Z) N aiciH ZW
4
l]X (Z) + aici.H ZW 4 X (Z )
(
2i + 1 )
12.4
359
Banes de fillres pseudo-QMF
2i-l)
(
I- Xi )
+ aiciH ('zw -4- X(ZWi) + aliH ZW - 4 - X(ZW-i)
(
2'+3)
(
2i+3)
+ ai ci H ZW-4- X(ZWi+ l) +aic;H ZW--4- X[ZW-(i+1-)]
(12.33)
Camme:
N-1'
X (Z)~L
X i(Z)
/=0
(12.34 )
les repliements rannulent dans X(Z) si la bande 'haute de X,cZ) Gompense la
bande basse de ~ + 1 (Z). La condition correspondante s'obtienl en repmlan! dans
l'expression~de Xi(Z ) la definition (12.24) de Gi (Z) et en ecrivan! la meme expression pour Xi + 1 (Z). Les facteurs de X[ZW i + '] et X[ZW-(i + I)] s' annulent SI la
condition suivante est verifiee :
c'est-a-dire si :
(12.35)
n fau! done que les dephasages verifien! :
(12.36)
La premiere condition de parfaite reconstitution (12.29) s'ecrit alors :
N-I [ (
1)
1
2i+I)] 2 I
(
2i+I)]
(') (
N ,~o Ci H ZW "4
+ L'i H ZW--4+ (a3 +iiJ) H ZW4 H ZW-4
( N-I ) ('
+ (a};_I+a};_I ) H ZW-4- H ZW
o
~
',.
:
]
N-l) ~1 (12.37)
4
car les produits croises ne s~ annulent pas a l'origine et a la demi-frequence
d'echantillonnage puisque les filtres sont voisins.
Pour faire disparaltre ces produits croises, il faut prendre :
•o
,n:
()i ~ (-1) ' 4
o
o
•
(12.38)
'1C
§ et la condition impQsee pour Ie calcul de la reponse en frequence du filiTe proto-
"0
-a.
type s\~crit finalement:
1
Q ""' 1< 2N
(12.39)
12 • Banes de fillres
360
H (t)= 0;
A noter que les choix suivants sont egale)11ent possibles pour les dephasages
dans 'les banes d'analyse e1 de sYl1these :
IT
1
• 8, ~ (i + 1) .2 ; la reponse totale du systeme s'annule aux frequences 0 et .2'
IT
1
• 8, ~ i '2 ; la reponse totale double aux frequences 0. et '2'
En resume, la procedure de calcul d'un bane. de N filtres reels pseudo-QMF
comprend les deux operations suivantes :
1. Calcul du filtre prototype a phase Iifl6aire approchant les specifications
(12.39), avec LN coefficients.
2. Determination des fonctions de transfert des fillres d 'analyse et synthese
par les expressions :
2i+1
LN-1)
H (Z) ~ 2 LN~"
.... cos [ 2IT - .( k - - + (2t. + 1) -IT] hkZ- k
,
k~O
4N
2
4
G (Z)~2
,
[2i+1( k- LN ~ 1) -(2n
. 1) -It] h .. Z-k
LN-l
L cos 'lIT - k~O
4N
'2
4
•
(12.40.)
(12.41)
Le gabarit du filtre prototype refiete la separation desiree entre les sousbandes. Plusieurs approches peuvent etre envisagee$ pour ie calcul.
12.5 CALCUL DES COEFFICIENTS DU FILTRE PROTOTYPE
C'est Ie calcul des coefficients d'un fillre demi-Nyquist et la premiere approche
consiste a prendre line bande de transition en cosinus et autiliser la formule (5.37).
Une autre approche, plus efficace, consiste a utiliser la methode de I'echantillonnage en frequenee evoquee au paragraphe 5.4, En partlculier, quand la bande de
tr-ansition est egale a l'espacement entre les sous-bandes, les coefficients sont obtenus par une formule simple. [4].
Soit K un entier et un ensemble de KN eehantillons Hk (0. <;; k <;; KN -1) dans
Ie dornaine des ftequences, tels que:
(12.42)
12.5
361
Calcul des coefficients.du mtre prototype
Generalement ie nQmbre N de sous-bandes est pair. Les coefficients du filtre
eorrespondant h; (0'" i '" KN -1) sont obtenus p.ar TFD inverse.
La relation:
K-I
Ho+2 L (-1)"Hk ~O
k~1
(12.43)
permet dJ~nnuler Ie coefficient milieu hKNI2? ce. qui amene un nombre impair de
coefficients pour Ie filtre. Il en resulte un zero double a la demi-frequenGe d'echantillbnnage, comme indique au paragraphe V.12 et done un affaiblissement important aux frequences 61evees.
Pour K ~ 3 et K ~ 4, les equations (12.42-43) definissent un systeme determine
et les echant1110nS en frequence prennent les valeurs :
H j ~ 0,911438;
Hz ~ 0,411438
et
1
-Vi'
-'
H, ~ 0,971960; H 2-
(12.44 )
Par exemple, pour un bane de N ~ 16 filtres 'avec K ~ 4., les coefficients sont
donnes par la relation :
K-J
It; . , ~ 1 + 2 L (-1 )~Hk cos (21tkiiKN) .i 1 '" i '" 63
k=l
(1245)
Le- filtre obtenu est a nombre impair de coeffiC'ients. La reponse en frequence~
dont la bande de transition est egale a 1/16, est donnee a la figure (12.8), avec les
valeurs.des 63 coefficients (h, est nul).
"••
'.,
•
]
•c
o
c
•
'1C
8o
"0
~
~
•
~
1i
§
o
"
1 i • Banes de fil l res
362
r
o -\
Amplitude
(dB)
-SO
-100
Frtquence nonnalisee
h;
CO~fficients'
lh
Coeffigients'
hi
1,999999ge-09
h 17 - h '{I)
- 4,1421356e-01
Iv;, - hfi4
2,437486ge-03
hiE- h:4~
3,3302151e-01
h j - h 63
8,9600890e-03
,h t.') - h~7
- 1,8860434e-01
h.4"~ hEr2:
1 ,73091780-,02
1v;,«~h40
'2 ,4872388e,02
hs - kG!.
2,40787290-02
~1- h~5
3,0941094e-01
hJ5 - hfiQ
2,5214011e-02
6,6263312e-01
J,0775305e+00
~-h5S
1,6635762e-02
hfi
hS8
5,0758287e-03
hn - h"
hn - h43
"-14 - h 42
h , _ h"
- 4 ~0 1 0768e- 02
~5 =:=h41
2,0420 1080+00
hlo - "'6
9,4346766e-02
~ 6 -h40
2,5568746e+00
hll = hss
- 1,5992266e-91
~7 - h 3Cj
hll - "',
- 2,3402304e-01
hza- h3~
3,06575<j4e+09
~ ,546175ge+00
h lJ ~
- 3,0941094e-01
hp, ~h37
3 ,9759213e+00
- 3,766235ge-01
.h 3.0 -h3f'J
4,3344420e+00
"'3
h14 - hs2
1,54254800+00
h~ ~ h"
- 4 ,245215ge-01
h31 = hj5
4,60416580+00
h16 = hso
-4,41058180- 01
.h" ~ h"
4 ,7716422e+00
I
Fl,G. 11.$.
h33
I
4;82842710+00
Filtre prototype obtenu parechantiilonnage en frequence ,
p our banc. de 16 filtres et 64 coefficients
I
12,5
363
Banes de filtres pseudo-OMF
Lafigure moutre que 1'affaiblissement croit avec la frequeuce. Il est a1'lssi possible
d'bbfenir un affaiblisserrtentcuns\ant en reprenant la methode du paragraphe 11.2
avec des specifications adaptees-. Des techniques lteratives peuvent completeT la
'procedure pour mieux approcher la condition de symetrie (12.39). Un exe~p\e de
filtre est donn6 a la iigure 12.9, 11 possede 64 coefficients', fDurnit un affaiblisserrtent
de 58 dB et sa bande de transition est de 1/16, comme a.1a figure 12.8.
20 ,-------+-------~-----+-------r------,
'AmpHtud~
(dB)
0 '\
(
- 20
-40
-60
-80
_1 00
-120
-140+-----~-------r------+------+----~
o
0.2
0.4
0.8
O.B
Frtquence normalistie
I~
C-oeffi'cien~'s
h,
9 0efficients
10 -hM
h" -h~
9.2839870e·004
h1.7 - h 43
6,4021587 e·003
5,9685008e·004
los - h "
- 4,7447370e-003
h,-h",
6.8568814e·004
h19 - h 46
2;1424791e·003
h 4=h61.
6,8789993e·004
h", - h "
1,4680266e· 003
hs-hf{)
5;6482087 e ·004
h", -h44
6,09,82460e·003
h6 = hS9
2,80979670.004
~2=h43
1,1699623e"002
h7-hsa
- 1,91W!096e·004
fQ.3- h "
l,8159361e· 002
~ 8.6214757e · 004
~4 =:=h41
2,53'023J8e.002
.,.'•.•"
il
"'~ hS7
h, ~hs ,
- I ,7275867e·003
~5 - h 40
3,2898876e·002
hw = hs5
- 2,7557760e:003
hz6:= h39
4,0672Q58e·002
c
o
c
•
hi! - hs.
- 3,8879464e·003
~7 - h38
4,8309834e·002
•
'''-
h }2= h;,S
- 5,0372397e·003
h"s ~ h37
5,5491156e·002
h i'.?='hsz
&,08904240 ·003
6,1893832e· 002
114 = hsl.
- 6.9067117e·003
hzg- h 36
h 30·= h35
•
hJj =/150
- ,,3368967 e ·003
1i
hip = h49
- 7,2203731e·'003
flsl =.h3~
h32 = h n
1 ,1226'098<-002
,
8o
"0
6;722329kOQ2
~
~
~
§
o
@
FrG, 12.9. Filtre protofy.pe'pour bane'de 1.6 filtreS'
7,37089~8e· 002
12 • Banes de fillres
364
En normalisant par Ie facteur 64les valeurs des coefficients du ta.bleau de la figure
12,8, on verifie que Ies dell)< techniques de ealeul eonduisent it des valeurwpro';hes.
Une fois les coefficients caleules, il faut proceder it la mise en teuvre et agene'er ies caLculs pour que la quantite d1operations arithmetiques ·soit minimale.
12.6 REALISATION D'UN BANe DE FlLTRES REELS
Soit a n~aliser un bane de N filtres reels ayant les reponses en frequence de la
figure 12,6 et un nombre pair de coefficients 2LN, dans Iequelle filtre d'indiee i a
peur coefficients:
(12.46)
avena", i ,o; N ; 0,0; k,o; 2LN - L
Une decomposition ~n reseau polyphase et transformee de Fourier Discrete
peut etre obtenue en posant k ~ 2Nl + m, avec a "",l ,0; L -1 et 0 ~ m ,0; 2N -1 .
En effet, la sortie x;(n ) du filtre d'indice i s'ecrit :
1) (.k + 1)]
(12.117)
2:
x;(n) ~ 2IN
k;O-1 :t(n -k) hk cos [2IT
2N ( i + 2:
au encore, en rempla,ant kpar 2 Nl + m et en simplifiant :
x;(n) =
21: co~~~ (i+ ~)(In+ D~t:
(12.48)
En ·appliquant au filtre prototype ia decomposition gene.raie (X.36) des fonctions
de trahsfert ~ il "ient :'
2N -1
H(Z) =
l: Z -m Hm (Z2N)
m=O
(12.49)
et les filtres Hm (Z2N') sont ceux qui interviennent dans la seconde sommation de
I'expression (12.48.) . Pour tenir compte du facteur (- 1)', il suffit d' introduire les
fonations Hm (- Z2N) et Ie "Schema corresponclant aux filtres d'analyse est donne a
la figure 12.10.
12.6
Realisation d'un bane de filtres. reels
o
xo(n)
x, (n)
Tr8nsforrn6e
en
Cosinus
F-w.12.l0.
Schema d'un bane deN filtres reels
La decomposition fait apparaitre un reseau polyphase a 2N bo.anches et une
transformee en cosinus.
Ce schema peut encore se simplifier, car, dans la transformation 'e n cosinus
cOl1sideree, deux entrees symetriques subissent les memes operations, hll signe
pres. En factorisant, on aboutit ~ la transformee cloublement impaire en cosinus
qui est uh cas particulier mentionne au paragraphe III.5.2. De plus, avec Ie sous1
echantillonnage, Ie systeme fonctionne a la cadence N ' Camme l.'enserpble comporte 2N branches, une don nee x (n) se trouve traitee par les filtres H; et H; +.N a
deux instants successifs. Dafis ces 'conditions, on peut regrouper les 2N branches.
N
du reseau polyphase en "2 s.ous-ensembles ayant la structure en treillis de la figure
12.11. Le schema global est alors celui de la figure 12.12. Dans Ie cas des 'filtres
pseudo GMF etudies au paragraphe precedent, ce schema s'applique avec l'introduction des dephasages. En effet, en feprenant la relation (12.47) ave." les coefficients de fillre de I'expression (12.40), la sortiex;(n) du filtre d'indice i a 2LN coefficients s'ecrit:
2 LN ~1
]I
.3:
•
],
x;(n) ~ 2
L
k=O
cr(n- k) hk
.
CDS [ 2n
•c
2i+i(
:2lJN-l)
. re]
4N k 2
+ (2 i + 1) 4
(12.50)
o
c
.~
8
.§
En posant cette fois k = IN + .m, on obtient la double sommation suivante :
N-l 2L-l
; x; (nl ~21::o I~O cos [(2i + l)(2m+l+N) 4~
(i2.51 )
366
12. Banes de filtres
FIG . 12.11. Structure en treillis pour Ie reseau polyphase
-lZ-IN-1)
r-
Ho
HN
r-----v xo(n)
----<
H2N _ 1 HN _ 1
f------D x, (n)
x(n )
()----<
TFDi2
-
Z-IN I2 -1)i
-
Z-Nf2
r-
HN / 2
HN+NI2
HN/2 _I
HN + N12 - 1
- ---<
- r<
r-----v XN_1 (n)
FIG. 12.12.
Structure optimisee du bane de N filtres reels
Le developpement des cosinus fait apparaitre les termes suivants :
n:
n:
cos (2i + 1) (1- L) 2: ~ cos (1- L) 2:
et :
n:
IT
sin (2i + 1) (1- L) 2: ~ (-1y sin (1- L) 2:
Realisation d'un bane de filtres, reels
12.6
367
De plus,. la relatio n suivante est verifi6e :
cos [(2i + 1)[2 (N -l-m) +1] 4~ ] ~ (-1 )' sin [(2 i + i) (2m + i ) 4~ ]
Entin, pour lenir compte du terme N dans: l' argument du eosinlls de (12.51), il suf-
N
fit de deealer les donnees en indice de 2 ' E n eomb'i nanf taus ees res,u ltats, la sortie xJ n) se ealeu1e eomme suit :
xi ln) ~2 m'fo cos (2i + l )(2m+l ) 4~ Ym (n )
N-!
[
]
(12,52)
avec :
Ym{n) ~ [- Y2." - l - m (n ) + Yz "+m (n )] ;
2'
• 2
N ,
O ~ m· ~ --l
2
Ym(n) ~ ['Y, m- " Cn) - Y, 3 "- m- l (n )];
,
2
' 2
et ~
'2L -l
Yl,m (n) ~
2L- l
hm(h )~
1t
L cos (l - L) 2: h,N+mx (n-IN -m )
m= O
L
71;=0'
'n:
sin (l - L) 2. " IN+m x (n-IN -m )
L es suites y" m(n) et Y2, m(n) sont entrelaeees, avec la I requenee d' echantillon-
3
1
'li nage 2N et Ie bane de fillIes d'analyse se realise a l' aide d 'une "transfoTme/: en
,.•
o
cosinus do ublement impaire. Finalement, les dephasages introduits par la tech• nique pselldo-QMF ant ele prig' en compte simplement par cles' rearrangements de
g do nnees avantla transformee.
],
•
'''8o
"0
~
~
•
1i
~
3'
o
@
12 • Banes de fillres
368
BIBLIOGRAPHIE
[1] M. BELlANGE~ and J. D AGUE! - «TDM-FDM Transmulliplexer : Digital Polyphase and
FFI", IEEE Trans. on Communications, Vol. COM-22, n O9, Sept. 1974, pp. 1199-1205.
[2] R. E. CROCHIERE al1d L. R. RABINER - Multirate Digital Signal Processing, Prentice-Hall
Inc., Englewood Cliffs, 'N . J., 1983.
[ ~ ] N . J. F LUlGB -Multirate Digital Signal Processing, John Wiley, Chichester, 1994.
[.4] K. W. MARTIN - « Small Side.-lobe. Filter Design for ,Multitone Data Communications >"
IEEE Trans - CAS II, Vol. 45, W 8, August 1998, pp.1155-1161.
Chapitre 13
Ana~yse et modelisation
La mode-lisation des systemes est l"un des grands domaines du traitement du signal
Par ailleur~, la mode-lisation des signaux constitue une autre approche pour leur
analyse, avec des proprietes qui different de celles de 1a transformee de Fourier et
des filtres de-finis dans Ie domaine des frequences. La prediction line-aire, en partiGulie-r, est un Dutil simple et efficace pour caraGteriser certains type de signaux et
proce-deT a leur cpmpression. Les traitements sont specifies dans Ie domaine temporeI, en utilisant les parametres statistiques et principalement Ia correlation.
13.1 Autocorrelation et intercorrelation
Pout mesurer Ie degre de similitude de deux signaux nn definit un coefficient de
correlatien. Ii est naturei de faire correspondre Ia valeur 1 de ce coefficient a deux
si'gnaux ipentiques, la va'leur zero adeux signaux sans aucune relation et la valellr1 it des signaux opposes. Qnand on compare des signaux dec ales dans Ie temps, Ie
coefficient de correlation devient une fonction de temps,. et l~on obtient 1a fgnction
d'intercorrelation si les signaux sont differents et 111" fo nction d'autocorrelation s'ils
sont identiques.
Des definitions et des propri6tes des signaux aleatOlreS vont maint(3nant etr(3
rappelees, pour reprendre et comp'leter les' paragraphes 1.8 et 4.4.
Comme indique au paragraphe 1.8, la fonction d'autocorrelation du signal
aleatoire cliscretx(n) est la suite fn(P) telie que:
(13.1)
ou E [xl designe I'esperance de x.
Avec l'hypothese d'ergodieite, il vient :
N
r;Ap)~ N-t
lim 2Nl _l L x (j: ) .;c ( i-p )
+
OO
j=o-N
(13 .2)
13. Analyse et modelisation
370
La f~nction Yxx(P) est paire ; e1Ie a comme valeur a l'origine la puissance du signal
et qwi l que soit n :
(133)
Soit un ensemble de N coefficients h;.(l "" i ;S N). Le oalcul. de l'a variance de la
variable yen ) telle que:
N
yen) ~ L h;x (n-i)
j=l
conduit a:
N N
E [y2 (n)] ~. LL h;hiB [x(n - i).x (n- ill
l= l J",1
sait:
N
N
I.) [y 2(nl ] ~ L
L h;hirxxCi-j)
i=lj=l
(13 .4 )
Comme cette variance e~t positive ou nulle, il en resulte 1'inegaht€. suivante :
N
N
L ;Lhhrxx. (i -j)~O
i =-I J=1 t
J
(13.5)
Cette propri"!;; oaraolerise les fane lions de lype posi tif.
Si dans 1a definition (13.1) on remplace x (i - n) par un autre sign(l.l, on obtient
une [onclion qui permet de com parer cleu~ signaux differeIi\s dec ales, La fanetion
d' inlercorrelation entre deux signaux discrels x (n) et )' (Il) est la suile rry (p) telle
que :
rry (p) ~ E[x(ily (l-pl ]
(13.6)
Avec l'hypothese d' ergodi'cile :
1
r~(p) ~ Nli~. - N
'J
-~2
N
L x(i)y(i ~ p )
+l ; ~-N
(13.7)
On 'a egalement :
(13.8)
Par exemple dans Ie cas au ces signaux constituent l'entree et la sO.ftie d'l.U1
filtre de coefficientshm :
•
y(n)= L hmx(n-m )
m=O
i'l vient, camme indique au. paragraphe 4.4 :
13.1
Autocorrelation et intercorteiation
371
soit ;
(13.9)
De. me-me :
(13.lD)
et e.ga1eme nt ;
(13 .11)
Sf deux signaux aleatoires centres sont tndependants, leurs- fonctlQns d'intercorrelation sont nulles. De plus, on a touj burs l'ine'galite :
1
[rry( p)['" '2 [r,,(O) + ryy(O) ]
(13..12)
Il est interessant de signaler que Ie calcul des fonctians d:autocoJrelation et
d'intercorrelation peut, dans certains cas, se faire ·sanS multiplication, en rempla<;;ant .les s~gnaux par leur signe. En particulier, si x(n ) est un signal gaussien, on
montre qlle [2] :
rxx (p ) ~ ~. Vr: (O). E [x Ci ).signe [x li - pJ]]
(13.13)
l ~ ru(O). sin (~ . E [signe Ix (i) .x (i - p)l])
(13.14)
fU(p
.'!:::i
Ainsi toute l'information contenue dans un signal gaussien est fournie par ses. passages par Zero. Ces relations, qui peuvent s'eteng.re a d'autres types de. signaux,
permettent de simplifier les calculs et, par suite, les materiels.
La transformee de Fourier if> xy (I) de 1a fane lion d'intercorre1ation r xy (p) prend Ie
nom d'interspectre :
"
~.
" au X (I) designele spectre de 1a suite x (n) et Y (j) Ie spectre conjugue de 1a sUJte y (n).
.~
~
,
Si 1a suite y (n) est 1a sortie d' un fi1tre de fanctian de transfert H (I) , i1 vient:
•c
H (I) ~ y (f) ~ Y (I) X(J)
o
c
X U)
•
'<e
8
o
"0
X (I) X (j)
D'ou 1a relation :
~
(13.15)
~
•
~
Io qui correspond a (13.9). De m~me a1a relation (13.10) correspond :
@
if>ry (I) ~ wt,(f) H (f)
13. Analyse et modelisation
372
et finalement ;
(13.16)
Ces resultats s'appliquent a l'anaIyse spectrale des signaux aleatoires en general et sont utiles pour l'etude des 'systemes adaptatifs.
13.2 ANALYSE SPECTRALE PAR CORRELOGRAMME
La transformee de Fourier de la fonctipn d'autocorrelation est la densit6 spectra1e
d~ p\1iss~l)ce 4\1 sigl1 aJ :
ill
S (f) ~ L r(p )el'bwf
p=_oo
(B.17)
en designant par rep) la fonction CI' autocorrelation (AC) du signaL En pratique, l'analy~e du signal se fait apartir d!un nombre limite, No, d'6chantillons.
Il faut done commencer par estimer les valeurs de r(p) .
Une premiere estimation de la fanction AC est fournie- paT l'expression :
1
l$4
rlp)~ ----.,---- L x(n)x(n - p)
(13. 18)
iVo
n=p+l
Elle est biaisee car :
No-p .
E[r, (p)] ~ -V-r(P)
o
En fait, pour avoir une estimation non biaisee 11 faut prendre:
1
r2(p)~~
N
f x(n)x(n-p)
(13.19)
0- P n=p+i
A partir de P valeurs de la foncttonAC, l'e~tim'ation spectrale dite correlogramme
est donnee par:
(13.20)
au encore, en fonction du spectre theorique :
S
La variance 'est
dQnnee par:
C'" ~ SCf)
' * sin",! (2P -1 ,
CRJI
stnTC
(1321)
approximativement
(13.22)
Il ap,parait alors qu'il faut prendre Ie minimum de> valeurs de la fonction AC pouJ
effectuer l'estimation, c'est a dire qu'il faut ~e limiter a~ valeJdTs s,ignificatiyes de
la fonction AC resultant de l' estimation [1].
13.3
Matrice dl'autocorreiation
373
L'approche la plus directe pour ohtenir Ie spectre de puissance d'un signal a partir
de No 6chantillons Iconsif,te a calculer la transformee de Fourier discrete et it
prendre les valeurs X (k) I'. Le developpement de ce terme mohtre que c,' est l'estimatio)} biaisee (lS.18) de la f"nction AC qui intervient dans celte procedure.
13,3 MATRICE O'AUTOCORRELATION
La matrice d'autocorrelation CAe) de dimension N d~un $ignal est la matrice carfee suivante :
RN '<'
r eO)
r (1)
r (2)
r(l)
r(2)
r(l)
r(Ql
reO)
r(l)
r(N - :l) r(N - 2) f(N -3)
r(N -1 )
r(N - 2)
r(N - 3)
r eD)
La fonction d'autocorrelation etant de type positif (13.5)., la matrice d'autocorrelation est definie positive et symetrique. En fait, elle possede une double
symetrie, puisqu' elle est aussi symetrique par rapport a.la seconde diagonale. II en
resulte un ensemble de proprietes fondamentales. [2].
On considere d'abard les valeurs prop res A;(O ~ i "" N ~ 1) de la matrice d'autocorrelation d'ordre N. L'equation caracteristique :
conduit aux 'relations:
(13.23)
N-l
N.r (O)~ L A;~Ncr i
(13 .24)
i=Q
C'est-a-dire que si Ie determinant de la matrice est non nul, aucune valeur
"li propre n'est nulle et leur somme est egale it N fois I. puissance du signal.
•
.~
~
•
Le caractere defini positif de la matrice RN e ntraine de plus qu'elles sont
toutes positives:
g
A; > 0;
•
0 "" i "" N - 1
(13..25)
'1L
§
Pour qu1il en soit ainsi, il Dll.tt et il suffiX que les determinants suivants soient
I tous positifs :
•
1i
~
,.
o
@
13. Analyse et modelisation
374
. ' reO) r(l). . '
r(O), det [r (l) r(Q) ], ... , det [
reO)
r(l)
r(l) . .. r(N -1)
reO) .. " r(N -2)
1
;
r(N-l) ...
reO)
Les matrices, correspondantes sont les matrices d'autocorrelation d~oTdre inf6rieur ou egal aN.
Dans ces conditions, 1a matrice Rr{ e-st diagonalisable et 11 vient:
(13.26)
au M est une m~trice carree de dimension N , telle que M ' ~ M- ! et diag(A;) 1a
matricediagonale des valc;urs pIopres. Mt peut@treegaleaM dans certains GaS"
La matrice s'exprime en fanction des vecteurs propres normalises U i (0 ~ i ~ N -1 )
par:
1'1-1
RN ~ ;~o ~ A;U;U/
(13.26 bis)
L~ analyse des systemes fait apparaitre les puissances successives des matrices
RN et R"l En utilisant, d'une part, Ie theoreme de Cayley-Hamilton selan lequel
line. matrice veri fie $on equation caracteristique et, d'autre p.art, la formule d'interpolation de Lagrange deja utilisee au paragraphe V.5, on montre que la puissance d'une matrice s'exprime en fonction des puissances de ses valeurs prop res :
(13.27)
Pour les gran des valfllirs del'entierp, avec :
Amax ~ O ~I'max
(A)
~N-l,
I
On peut ecrire, si ce maximum correspond
ala valeur zero de rindice :
Par suite pour les grande~ valeurs de p, on peut faire l' approximation,
(RN)P '" Ai:,,,, .KN
(13.29)
a u KN est la matrice carree d 'ordre N de la relation (13.28); camme la matrice RN
est diagonalisable et satisfait (13.26), KN s'exprime aus$i plus simplement comme
Ie ptoduit de M -1 par une matrice deduite de M en annulant fa utes les lignes sauf
celle qui correspond a l'indjce de la plus grande valeur pro pre.
Dellleme.d'.apres (13.26) on pel1t e,rire dallSles memes conditions ~
(13.30)
13.3
Matrice dl'autocorreiation
375
avec:
1
.
('"mill
~
min
O ",; j ~ N-l
(".)
I
En fait , il apparalt dans Ia suite que ces deux valeurs propres extremes, Amin et
f... mIDP conditionnent Ie comportement des systemes adaptatifs.
L'interpretation physique des valeurs propres de 1a matrice d' autocorrelation
n'apparalt pas aisement apartir de leur definition. Pour eclalrer ce point il est interessant de les rapprocher du spectre du signalx(n).
Le cas ou Ie signal x (n) est periodique et de periode Nest considere d'a.bord.
Alars, la suite r (p) elle aussi est periodique, et, de plus, elle est sym6trique avec:
r(N-t)~.r(i);
O ~ i E N-1
Dans ces conditions Ia matrice ~N est une nratrice circulante, dans laqueile chaque
ligne se deduit de 1a precectente par deca.1age. Si 1. suite <l>rt (n) (0 E n E N - 1)
designe 1a transformee de Fourier de 1a suite rep) , 1a relation suivante estfacile a.
verifier directement, TN etant la illatrice de la transformee de Fourier d'ordre N:
(13.31)
D 'apres 13 .26, les valeurs propres de la matrice RN sont dans ce cas les valeurs de
la transformee de Fourier discrete de 'la fonction d'autocorrelation, c'est-a-dire le:$.
valeurs de la denslte spectrale de puissance du signal. M est Ia matrice de la transformee en eosin us (par. 3.3.3).
Cette relation est egalement valable pour un bruit blanc eliscret puisque Ie
speotre est constant et que comme la matrfce d'autocorrelation est a un facteur
pres upe matrice unite, les vaieurs propres sont eg-ales.
Les signaux reels ont gem3ralement urte densite spectrale de puissance non
oonstante et leur fonction d'autocorrelation r(p) decrOlt quand l'indice p crolL
'.ii Alors, pour N suffisamment grand, les elements significatifs de la illatrice de
dimension N :$e trouvent regroupes au voisin age de la diagonale principale. Dans
• ces conditions, soit R~ la matrice d?autocorrelation du signal x(n) suppose perio.~ dique et de periode N; ses valeurs prop res forment un echantil\onnage de la denE site speotrale de puissance. La difference entre RN et R~ tient au fait que R~ est
~ une matrice circulante et elle apparait principalement dans Ie coin supe-rieur droit
g et Ie coin inferieur gauche; ainsi on peut observer que RN se rap proche davantage
• d'une matr'ice diagQnale que R~ ; par sl!ite ses valellrs propres sont moins disper.§ sees. En fait, sous certaines conditions generalement realisees en pratique on
montre que:
1
~
"
l
1
~
~
•
1i
~
,.
o
@
min
O ~ f1- ~ N' -l
(<I>xx (n)) E " " ill "" k max E O".;;nmax
(<I>.IT (n))
il< N-l
(13.32)
13. Analyse et modelisation
376
et pour N suftisamment.grand :
).mill
. '" O "';'f~
min 1 (<I> xx (t))·
· .,
).m~ "" (J';;!~
max 1 (<I>r t (t))
'
(13.33)
Fihalement, on petit consld€rer en pratique que les-valeurs propres extremes
de 1a matrice GPautocorrelation approchent les valeurs extremes de la densite specIrale de puissance du signal, quand la dimension de cette matrice est su(tisammen!
grande.
13.4 MODElISATION
Les filtres numeriquess:appliquent it la modelisation des systemes, selon Ie schema
de la figure 13.1. Le signal x(n) est applique au systeme et au modele et les coefficien,ts sont calcules pour minimiser }'ec art entre les sortie:;; du sysreme et clu modele.
y (n)
Systeme a modeliser
x(n)
Filtre numerique
yen ).
FIG.13 .1.
Modetisation d'unsysteme
Le type de filtre a utiliser comme modele depend de la conn!rissance a priori du
systeme a modeliser. Cependant, les filtres de type RIF s'imposent en general,
pour leur facilite de calcul et de mise en ceuvre. La _:;Iortie s'ecrit alors :
(13.34 )
au X (n) est Ie vecteur des N donnees les plus recentes, Ie nombre de coefficients N
etant choisi en fanction de la connaissance du modele. L'erreur de-sortie est d6finie par
(13.35)
Le Gritere retenu pour Ie calcul des GC1efficienls est gene-Talement la minimisation
de ['erreur quadratique moyenne (EQM) :
!=E[e' (nJ]
(13.36)
13.4
Modelisation
377
Uannulation des d6rivees de ia fonction coud mndlita la relation E[e (n)X(n )J ~ 0,
qui exprime la decorrelation entre la sortie et Ie vecteur des donnees d'entree Ies:
plus recentes. II vient alars :
E [yen ) X(n )J-E[X(n) X/Cn)] H ~ Q
(13.37)
La definition (13.1) de la fonction d'autocorrelation montre que E[X(n) X/Cn) ]~RN
et les coefficients sont donnes par :
(13.38)
c'est-a-dire que ies coefficients du liltre modele sont obtenus en multipliant ['inverse de la matrice AC p.a( leveQteur d'intercorrelation ,",Ire ta sprtie du systeme
et'Son entree, defini par :
x(nJ
x (n-1)
( 13.39)
x(n+l}-N
L~erreur quadratlque moyenne minimale, EmiDl est. obtenue en combinant (13.36)
et (13.38), ce qui faurnit les 3 expressions:
Em;n ~EII (n)]-H'RNH
Em;n ~E[y' (n) ]-H'ryx
Em;n ~
.:ijj
~'
~
(13.40)
Ell (n) ]-r~, R;;/ryx
L'egalisation est un cas particulier dans. 'l eguelle -systeme aJ110deliser est l'inverse
de celui qui a produit Ie sighal d'entree x(n). Ainsi, en transmission et en Fabsence
de bruit~ regaliseur a pour fonction de transfert rinverse de celIe du cana1.
~
•
.~
:5
Exemple :'
Soit Ie signal x(n) en sortie d'un canal, lie, au'x donnees emises d(n), sup po sees non
correl€es et de puissance:unite, par la relati0n :
~
x(n)~d(n)+O,5d(n-l)+O,2d(n-2)
8o
Les 3 premiers. e lements dela fanction AC ont pour valeur:
]
~
c
"0
~
r (O'l ~1,29
~
•
~
r (l)~O,60
r(2)~O,20
1i En prenont comme signai de rMerenc", y (n)~ d (n), on obrient les 3 coefficients
8 d un egaliseuI' par:
1
©
13. Analyse et modelisation
378
0,20] ~1 [ 1] [0,9953]
H~ 0:60 1,29 0,60 0 -0,4971
129
[0;20
'0,60
~
0,60
0
1,29
0,0778
Comme erreur de sorlie, On trouve Em'n,~O,0047 et 1a [onclian de transferl T (Z) de
l'ensemble d mal et egaliseur s'exprime par:
TCZ) ~O,9953 - O,OOlSZ ' +.0,0273 Z-3-0,0609 Z-~+O ,0156Z-4
On peut peut verifier que Ie filtre H (Z) constitue un,e approximation a 3 coef-
ficjents de l'inverse 9U cBnal, qui est un filtre a repon.se irnpulsionnelle infinie.
13.5 PREDICTION LlNEAIRE
La prediction lin6aire est un cas particulier de lnodelisation dans Ie leq\lel1a sortie
du systeme a lnodeliser est Ie sfgnallui-m<ome, comme Ie monlre la figure i3.2
x (n)
Y-A
-H
(-Zl---'
FIG. 13.2, Principe de fa pred.iction lineaire
L 'erreur de sortie., ou erreUr de prediction, s' ecrit
N
e(n)=x(n) - L atx(n-i)
(13'.:41)
f= 1
(13 .42)
La decorre1ation entre l'erreur de prediction et Ie signal d'entree implique les N
relation!? :
N
r(p)= L a,r(p-i)
1';'p5N
(13.43)
1= 1
13.5
379
Predktion linea ire
Pour l'erreur q\ladratique moyenne minimale (EQMM). il vient:
N
EaN~r(O)- ~ air(i)
(13.44)
i= 1
Les relations ci-dessus se combinent pour iournir l'equation matricielle de 1a prediction lineaire :
(13.45)
U n signal est illt preclictible si l'erreur de prediction est nulle, c'est-a-dire s'il ab ei!
al'equation de recurrence suivante :
,N
.t(n)~ ~ aix(n-i)
j= l
Le signal est alo[s constitue de sinuso'ides en nombre inferieur au egal aN12 et Ie
filtre de fonclion de !ransfertH(Z)~l-AN (Z) passede des zeros sur Ie cercle unite,
N au maximum. Par exemple, pour N=2 et une sinusoi'd e a la frequence fo, 1a fe.CUrrenee devient :
.t(n) ~ 2cos (2rcfo) _~ (n- I ) - x(n-2)
Les zeros de H (Z) sont sait sur Ie cerele llnite, soit a l'interieur car il est a phase
minimale. En effet, ·s'il existait un zero en deho rs du cercle unite, IZoI > 1, alors la
fonctian H'(Z) telle que
H'(Zl~
(l -Z " )(1-~~)
H(Z)
(l-z"Z ') (l-=z"Z ' )
Zo
Zo
;;onduirait .a une erreur de pred"iction plus faible que H(Z) puisqu'on aurail:
IH'(eiffi) I~-l-IH(eiffi) 1
IZol2
"li C0mme indique au pamgraphe 9.6 . D 'apres l'expression de la puissance du signal
·m de sortie- d~ un filtre donnee par la relation 4.24, ill puissance en sortie de H~(Z)
~ serait inferleure a la puissance en sortie de H(Z), pour un meme signal applique
~ aux deux' filtres.
o
c
•
'1C
8o
"0
Le filtre H(Z) etant a phase minimale et invergib)e, la prediction lineaire est utili·
see pour analyser et modeliser les signaux. En effet, a partir de l'erreur de prediction on peut remonter au signal en inversant la relation (13.41).
~
~
•
-g
~
o5'
@
N
x(n) ~ e(n)- L aix (n..:;)
i=l
(1346)
13. Analyse et modelisation
380
C'est 1a mode1isalion dite autd regressive (AR). En faisant I'hypothese que ]'erreur de prediction e(n) est tIn bruit blano qe pUiss&nce E aN ) une estimation du
spectre du signal est donnee par:
EaN
S _4R (J)
(13.47)
Si Ie filtre H(Z) est de type RII, Ie modele est dit ituloregressifa moyenne adaptee
CARMA) et On peut egaiement en deciuire une estimation spectrale.
13.6 STRUCTURES DE PREDICTEUR
Les filtres RIF et RII peuvent etre realises par des structures en treillis, comme
indique au paragraphe 8. 5. L'approche est particulierement .avantageuse en prediction Hneaire. [3]
Les coefficients de prediction sont donnees par la relalion (13.4.2). UinversipD de
matrice qu'implique cette expression peut etre evitee par tine procedure iterative.
L'algorithme de Levinson-Dmbin fournit une solution du systeme (13.43) par
recurrence, en un ensemble de N etapes. Elle est initiali'see en posant camme puissance du signal d erreur :
l
Eo ~ reO)
A I'Mape de rang i (1 '" i '" N) Les.calculs suivants sont effectues :
1
k; ~ - -
Ei _ 1
[ r(i) - ;L
~1 af-l r (i-j )] ;
}=1
q.{ = kt
i - 1·
a iJ·=a(-1-k.a
1
I 1-1'
1 :-:;}' ~ i-I
E;~ (l-krl . E;_l
(13.48)
(13.49)
AJ'elape de rang N, les N coefficients a; sqnt 6b tenus par :
ai=af i
l ~ i~N
Le terme E j correspond a la puissance de ferreur residuelle <;Lvec un pr~dictet1:r
d' ordre i. D'autre part les valeurs des coefficients k j obtenues aux etapes' precedentes ne sont pas remises en cause a Petape de rang i; la procedure est bien
sequentielle et 1e modele· s'affine quand Ie nombre d'dapes, done de coefficients
Structure de predicteur
13.6
381
augmente. car avec Ik,.1 < lla puisS1mce de l'erreur diminue a chaque etape d' apres
la relation (13.49).
Les coefficients k,. definissent completement Ie filtre et conduisent a un mode de
re alisation. En effet, le signal d~ erreur l'etape i est ia suite. et(n) telle que ;
a
,.
e,. (n) ~x (Ii) - L ajx (n - j)
j=l
La fa nction de transfert du filtre cQrrespondant est maintenant designee par
A,. (Z) qui s'ecrit donc :
,.
A,. ( Z) ~l-
L a,.Z- j
j =l
1
D ' apres 1a relation (13.48),;1 v.ient ;
A ,.(Z) ~ A"_l (2:) - k,. Z-"A ,,_j (Z- I)
(13.50)
Avec les elements du paragraphe 8.5, en pas ant :
B/ -1 (Z ) ~ Z · (l-lj A /- 1 (Z-l)
on obtient :
(13.51 )
A la fonction B,. (Z) correspond la suite b,..(n), pour laquelle on etablit la relation :
(13.52)
Finalement les coefficients ki conduisent a·une'structur.e en treillis conforme a
la figure 13.3.
x In)
,o
."••••
],
•o
o
Fm .13. 3.
Filtre de p rediction /ineaire en treillis
o
•
'1C
8
.§
-a.
La convergence de la procedure est assuree. 5i leg· relations suivantes sont veriflees:
(13.53)
13. Analyse et modelisation
382
U ne autre decomposition du filtre de prediction est fournie par la methode des
p'aires de raies spectrales~ qui consiste a separer la fonction de transfert en deux
parties, associees aux parties paire et Impaire des coefficients. En prenant la recurrence (13.50) a l' ordre N+l et en designant "par PN (Z ) Ie poJyno me obte nu avec
kNJ-l =1 ~ il vient :
(13.54)
De fneme , en design ant par QN(Z) Ie polynome obtenu avec k N+1 ~l :
(13..55)
II s' agit bien d'une decomposition du polyn6me AN(Z) puisque la somme des
2 relations precedentes donne:
(13.56)
et PN (Z ) et QN(Z) s·o nt des polyn,omes a coefficients ayant les symetries paire e t
irnpaire respectivement. Its sont a phase lineaire et, camrne ils ne peuven.t avojr dez eros al'exterieur d.u cercle unite en tant que predicteurs, tous leurs zeros sont sur:
Ie cercle unite. ,[)e plus., si N est pair, o n verifie les relations: PN (l ) ~ 0 ~ QN(-1)..
D 'ou la factorisation :
Nil
PN (z) ~ (1- ,,1) L (1- U os 8;r1+ z-~)
(13.57)
j=l
Nil
Q,,(z) ~ (1 + ;::-1) L (1- 2 cos (oj Z-1 + Z-2)
j=l
Les deux Jeux de parametres 8i et rob 1 ~ i ~ N , donnent une no uvene representation des parametres de prediction.
Si Zo ~ ed % est un zero du polyn6me AN (Z) sur Ie cercle unite, c'est aussi un
ZeFO de PN (z) et QN (Z). Si ce zero se deplace vers l'interieur du cercle unit,\, les
zeros correspond ants de PN (z) et QN(Z ) se deplacent sur Ie cercle unite, dans des
directions opposees a partire de coer En fait une condition necessaite et suffisante
pour que 1e polyn6me AN (z) soit a phase minimole est que les zeros de PN (z) et
QN(Z ) soient simples et alternent sur Ie cercle unite.
L'approche ci-dessus.conduit aune structure de realisation du filtre de prediction donnee a la figure 13.4. Les fonctions de transfert F (z) et G (z) sont les facteurs a phase lineaire des e~pressions (13.57) . La structure se prete a une realisation en cascade de celltiles du second ordre et la propriete de phase mlnimale
globale est controlee en verifiant l'alternance des coefficients des termes en Z~1 .
13.7
Bibliographie
383
x n)
FIG.13,4,
predicteunl decomposition-polynomiale
13.7 CONCLUSION
La matrice d1autocorrelation (AC) intervient dir~ctement dans 1a med6lisation
avec Ie critere de l' eyreur qlladratique moyenne minimale (EQMM). Bien qu'eUe
n'apparaisse pas explidtement dans les algorithmes de filtrage adaptatiI les plUs
courants, ses valeurs propres, en particulier]a valeur pro pre miunimale, condition""
nent Ie fonctionnernent du systeme.
La matrice AC peut meme etre utilisJ§e directement pour obtenir une analyse spectrale a haute resolution du signal, paT la methode de decomposition harmonique
[4]. Dans celte methode. ie signal est modelise par un ensemble de sinusoides dans
du bruit, les frequences des sinusoides etant associees aux zeros du filtre propre.
minimal, c1est a dire.1e filtre qui a pour coefficients les elements du vecteur propre
associe a la valeur propre minimale. Par rapport a i'a 'prediction lineaire, la decbm"'
position harmonique per met d'eviter Ie, blais introduit par Ie critere des melndres
carnSs.
La prediction lineaire permet une analyse des signaux en temps reel et peut fournir
un ,m ode decompression simple et effie ace .
13. Analyse et modelisation
384
BIBLIOGRAPHIE
[1] I .Max et collabaratems, «Methodes et techniques de traitemeht du signah>,
Editions Masson, Paris, 1981.
[2] T.G.Ciarlet, «In troduction a Fanalyse numerique matricielle et a Foptimisation», Editions Masson, Paris, 1.982.
[3] I ,Makholll, «Linear Prediction: A Tutorial Review», Proceedings of the IEEE,
Vo1.63, April 1975, pp.561-580.
[4] S.Marcos, «Les methodes a haute resolution - traitement d'antenne et analyse
spectral,, », Editions Hermes, Paris, 1998.
EXERCICES
1 Soit Ie signal .t(n) =j2sin(nn i 4). CalClllet (e~ 3 premiers .elements de 1" fonGtion
d'autocorrelation. Calculer les vmeurs propres et Ie'S ve.cteurs propres de la m'at1ice AC de
dimension 3x3. Verifier les relations 13':26 de decol11:position et reGonstitution de la matrice.
2 Le predicteur dll second ordre de fonction de transfert H(Z)~1-a,Z-1-""Z-2 est
applique au signal x(n) ~ j2sin(nw) + 6(/1) au ben) est un bruit blanc. gaussien de puissance
ponner l'expression de la puissance du signal en sortie du predicleu,r. Par derivation ~ en
a-t
de.duire les expressions des coefficients de prediction at ,e t a2 . Comment evoluent ces valeurs
quand la puissance du bruit augmente.
3 Soit Ie signal suivant ' ,t(n)sinVHr / 4) + cos(!1'1r / ~J . Ca.lG!ller .les 3 pX.~miers elem~mls
de: la fonction efautocorrelation . En dtduire· les valew-s des coefficients du predcteur du
second ordre. Placer les zeros du filtre de prediction dans Ie pl·an des Z.
Donner l'expression du signal d'etteut de prediction et caiculer sa puissance.
4 Donner la decomposition polynomiale a symetrie paire et impaire du filtTe de predjction suivant :
1- AN (Z ) = (1-1,6Z-1 + O,9Z-2 )(1-Z-1 + Z-2)
Localiser les .zeros oJes polynomes obtenus. Comparer aver;:· ceux du filtre de qepart .
Chapitre 14
Filtrage Adaptatif
Le mirage adaptatifinteTVient quand il faut realiser, simuler au modeliser un syste-me dont 'les c'aracteristiques evoluent dans Ie temps. II -conduit a l'a mise en
ceilvre de- fHtTe s a coefficients variables dans- Ie- temps. Les variations de s Goefficients sont .de-finies par un critere d'optimisation et realise-es suivant un algorithme d' adaptation, qui sont determines en fonction de l'applicafion. n existe
une grande vari,,!e de criteres et d'algorithmes possibles [1-4]. Dans Ie p resent
chapitre,. est considere Ie cas simple mais d'une grande importance pratique du
cIite-re de minimisation de l'erreur quadratique moyefine associe a l'algorithme
du gradient.
14.1' PRINCIPE DU FlLTRAGE ADAPTATIF
PAR ALGORITHME DU GRADIENT
Le principe du filtrage actapVatif est represente sur la figure 14.1; il corresponct a
.:ijj
~
,o
."••••
],
•
o
o
c
•
.D-
S
o
"0
~
~
•
~
1i
§
o
"
une operation effectuee sur 'Un signal T~U x (n) pour faurnir 'une 'sQrtie dont Ia difference avec un signal de reference y (n) soit minimisee, Cette minimisation est
obtenue en caloulant les coefficients du filtre pollr chaque nouvel ensemble de
donnees, reference e t signal Te~u .
14 . Filtrage Adaptatif
386
x (n)
)\(n)
y(n)
FILTRE
PROGRAMMABLE
+
-
signa I
d'ent ree.
.., ;-..
reteren ce
e(n}
ALGQRITHME DE
MISE A JOUR
DES COEFFICIENTS
Principe du filtrage adapfatiJ
FIG. 14.1,
Ainsi, en svpposant qU'a l'indice n, n ensern,bles de donnees aient Me re~us ,
les coefficients du fillre adaptatif suppose de type RIF, representes par le vecteur
H (n), qui minimisent la fonction cout quadratique J (n) definie par:
n
J(n ) ~ L [y(p)-W(n )X(p )] 2
p=l
(14.1)
all X (p) est le-vecteur cdlonne d'61ements
(x(P), x (p -1), .. . x (p + 1- N),
sont donnes, en reprenant les calculs du paragraphe 13 .4, par Pequation :
H(n ) ~ R,<, (n) Ry,(n)
11200- x2
('14.2 )
L'estimation de la matrice d'autocorrelation du sjgnal rer;;u peut s '~xpdmer COffi-
:;::~~~~;:~::::~ J, [ X()~)l) 1
[x (p), ... , x(p+ 1-N) ]
:r (p t I-N)
(14.3)
De meme, L'e~timatiol1 du vecteur d'intercorrelation entre reference et entree
.g?ecrit :,
"
ryAn) ~ L y (p) X (p)
p =l
(14.4)
14.1
387
Principes du fiflrage adaptatif pour a/gorithme du gradient
Quand Ie nouvel ensemble de donnees {x (n + 1). y (n + 1)l devient disponible. Ie
vecteunjes coefficients'H en + 1) peut etre "·aleule a partir c\e H (n), par une mise a
jour. En effet, d'apre. les relations (14.3) et (14.4) II v'ient:
RN (n + 1) ~ RN(n ) +X(n + 1)X «(n + 1) ;
(14.5 )
ryxCn + 1) = ryr(n ) + X en + 1)y Cn + i)
Et par suite :
RN(n + l)H(n + 1 ). ~ ryr(n + 1) ~ ryAn) + X(n + l )y(n + 1)
soit:
RN(n + 1)H(n + 1) ~RN(n)R(n) t X(n + 1)y(n t 1)
soit encore :
RN(n + I )H(n + 1) ~ [RN(n + I)-X(n + 1)X t(n + l )lH(n) + X en + l )y(n + 1)
et finaiement :
Hen + 1)~ H (n) +R,,'(n +1 )X(n+l)[y(n+ 1)-Ht(n)X(n +1)
(14.6)
II est interessant de remarque, ' que la quantite :
e(n+l)~y(n+1)-Ht(n)X(n+1)
(14.7)
represente l'erreur en sortie du systeme, calculee a I'indice en + 1), avec les coefficients H (n) obtenus a l'indice- n; cette erreur est appelee 1'erreur «.a priori », alars'
que Ie meme calcul avec H (n + 1) co.rrespond al'erreur dite {< a posteriori >}.
Les algorithmes dans lesquels les coefficients s,mt, a chaque valeur de l'indice,
caleules par la recurrence (14.6) sont les algorithmes de moindres carrees.
Des algorithmes simplifies, mais d'un grand interet pratique, sont obtenus en 'fempla<,;ant la matrice R,,'(n) par la matrice diagonale OI N , au 0 est un reel que I'on appelle
Ie p.as d'actaptation. La mise ajour des coefficients est alors faite pat l'equation ,
H(n + 1) ~ H (n) + oX en + i)e(n + 1)
(14.8)
.'!:::i
"3 L'algorithme ainsi obtenu est appele algorithme du gradient, car la quantite
~
~
,~
1
- Xen + 1)e(n + 1) represente Ie gradient de la fonelion 2: e2 (n + 1), c'est-a-dire
~
•:5
de la v aleur instantan6e de I'erreur quadratique. Ainsi la modification des coefficients est faite dans la direction d"u gradient de 1.'erreur instantanee, mais avec Ie
~ signe inverse. ce qui correspond bien a 1a recherche d1un minimum. CeUe proce'1C
8o dure est analogue ala methode dite de plus grande deseente en optimisation.
]
Dans des conditions statipnnaires, Ie vecteuf' des coefficients converge ~ en
; rnoyenne, vers i.a sohltion theorique. En effet 1a relation (14.8) pe,ut aussi s\§crire,
-g. compte tenu de la definition de 1'erreur :
,o
o
©
H (n + i)= [IN- oX en + 1)Xt (n t 1)]H(n) t oX en + 1)y (n + 1)
(14.9)
14. Filtrage Adaptatif
388
En prenant l~esperance des deux membres, pui~que:
(14.10)
au RN est la matrice d'autocorrelation du signal rer;;u et
r yx '1e vecieur des N premiers elements de la fanction dl"intercorrelation entre reference et signal re~u , il
vient, quand n tend vers nnfini :
(14.11)
Ainsi l'algorithme du gradient converge en moyenne vers la solution optimale
H optl d'ou la denomination egalement de gradient stochastiq:ue. Le critere de minimisation correspond ant est1e mite-re aes moindres carn~s moyens.
U ne fois la convergence obtenue, les valeurs optitnales des coefficients s'expriment
paT la relation (14.11).
La valeur minimaie E min de l'erreur quadratique corres-pondant a I'ensemble des
valeurs optimales des coefficients s'exprime egalement en fQnction des signaux
y (n), x (n) et de leur intercorrelation comme indique au paragmphe (13.4).
Le schema du fiitre adaptatif obtenu est donne a la figure 14.2. Les variations des
coefficients sont calculees par inqltiplication pourchaque valeljr de I'ecart ern) et
accumulees..
FIG. 14:2. lliltre RIF adaptatiJ en strucf/lre 'airecte
Le. chobe de la valeur Ii dans (14.8) resulte.d'qn compromis entre la rapidite. de
convergence et la valeur de l'erreur residuelle quand la convergence est obtenue.
Ces deux caracteristiques vont etre etudiees successivement, mais il faut d'abord
examiner les conditions de convergence.
14.2
389
Conditions de convergenGe
14.2 CONDITIONS DE CONVERGENCE
Le cas.d'un systeme parfaitement dimensionne et sans bruit de. mesure est considere d~ abord. C'est-a-dire qu'apres convergence, l'erreur residuelle est nulle. En
design ant Ie vecteur d'ecart des coefficients par ilH(n) ~
ecrire al'instant n :
H"",- H(n) , on peut
~H(n + 1) ~ ~H (n ) -Ile (n + 1)X (n + 1)
(14.12)
yen + 1) ~ H;",X(n + 1).; eCn +1) ~ ~HtCn) XCn + 1)
(14.13)
On a egalement:
La nOTme du vecteur d'e-cart des coefficients s'ecrit :
II~H (!l + 1 ) 11~
~ I~H(n)ll~ + &' e 2 (n + 1) Xt (n + 1) X (n + 1) - 20e (n. + 1) iltH(n )X(n + 1)
et, en rttilisant (14.13) :
I~H (n + 1)11~ ~ I~H(n)ll ~ + Il il(n + 1) [8X'(n + 1)X(n + 1) - 2]
(14.14)
Une suite monotone decrolssante est obtenue et 1a convergence est garantie si
.
les conditiom: suivantes sont verifiees :
2
o < Il < =~~=-~
Xt(n + 1)X(n + 1)
(14.15)
On peut en deduire les conditions pOUT Ie choix du pas d'adaptation :
0<8<
."!:::i
2
N.max [x 2(n )]
(14.16)
Pour des signaux a facteur de crete 6levee et pour des nombres de coefficients
"~ N depassant quelques unites, la borne superieure peut etre trap limitative et
~
.~
~
•
conduir.e a une adaptation lenle .
En considerant la moyenne des ecarts et en prenant l'esperance des deux
termes de la relation (14.14), en supposant l'independance entre e·2 (n + 1) et
Xt(n + 1)X(n + 1), il apparait que la convergence ne peut pas se produi·r e sl les
g conditions §uivantes ne sont pas vermees :
•
'1C
8o
"0
~
2
0< 0 < Ncrx2
(14.17)
~
•
-g
au 0; designe la puissance du signal Q'entree..
@
crete Fc du signal d~entree et, dans les 'a pplications, on peut retenir une valeur
~
8
Les deux barnes superieures (14.16) et (14.17) sont reliees par Ie facteur de
14. Filtrage Adaptatif
390
intermediaire, par exemple (14.17) avee une marge. A noter que dans Ie cas de
signaux gaussiens, la convergence est defl'lontre.e pOllf :
1 i
0< 0 <: 3 Na;
(14.18)
Si I'on introduit un bruit de mesure, Ie schema est celui de la figure 14.3.
x(n)
ern)
'--------'
FIG. 1'1-.3. Filtre adaptatif avec bruit de mesure
e(n + 1) ~ t.Ht (n) X (n + 1) + b en + 1)
(14.14)
Le bruit ben) est de moyenne nulle et a pour pUissance ai;. L'e.c art quadratique des coefficients satisfait la relation de recurrence suivante :
IIt.H(n + 1)11~~ IIt.H(n)ll ~ + oti'(n + 1) [oXt(n + l)X(n + 1) -2]
(14.20)
+ 2oti2 (n + 1) + 2M (n + l)f.Ht(n) X(n + 1)
Le bruit b (n) etant non correle avec Ie signal, Ie demier terme du memhre de
droite est nul en moyenne et la condition de conv.ergence s'obtjent en prenant l'esp6rance Bes deux termes de (14.20) :
[6Nai-2]ER + 2ai; < 0
(14.21 )
en designant par ER I'erreur quamatique moyerme.
Alors, la convergence s~arrete quand regalite suivante est verifiee :
_ a~
E R--~--
1-~Na2
2
>
(14.22)
c'est~a-dire qu'apn3s convergence-, il subsiste une erreur residuelle de puissance ER
et la puissance du bruit O'F correspond a l'ene;ur quadratique minimale E min , celle
qui est atteinte quand les coefficients ont la valeur optimale HOPf" Cette erreur res!",..
duelle est analysee dans Ie cas .general au paragraphe 14.4.
14.3
Constante de temps
391
La stabilite etant Hssuree, 11 est mteTessant tt··eval'uer ia rapidite de conver"'
genee et de faire app.araltre 1a constante de temps C\U filtre adaptahL
14.3 CONSTANTE DE TEMPS
Soit d'abord un filtre a un $eul coefficient hI (n). bans 'ces conditions, ['equation
d'evolijtioh (14.9) $'ecrit ,
hj(n + 1)= [1 ~ox2(n+1)]hl(n) +ox(n+l);,(n +1)
(14.23)
Le coefficient de ce mtre a pour. valeur mbyenne b = 1- 00';'. Pour une estimation
glob ale de ses caracteri$tiqlles', ee :filtre peut etre assimile a une cellule RII du premier ordre a coefficient fixe egal a b. Alars. pour -is petit la relation (6.5) donne la
con,stante de temps:
Ce resultat pelJl, sous certaines conditions, se generaliser a un filtre aN coefficients.
Salt [u(n) ]Ie vecteur d 'ecart d6fini comme suit :
[urn )] = M[Hopt- H(n)]
(14.24)
au M est la matrice de rotation qui intervient dans la diagonalisation de RN donnee
par l'equation (13.26).
En 'utilisant (14.11), on verifie que I'equation d'evolution des coefficients (14.9)
s'ecrit, dans Pespace transforrne et en moyenne :
E[uen + 1)] = [IN - odiag(1.i )]E[u(n)]
(i4.25)
Ce systeme correspond aN constantes de temp~
(14.26)
".3:• et 11 montre que c'est la plus petite vaieur propre Amin de la matrice d~autocorrela~
tion du signal d'entree qui determine Ie temps de convergence du filtre adaptatif.
Le cas Ie plus favorable est celui ou Ie signal d~ entree est un bruit blanc car,
g alors, toutes les valeurs propres sont egales ala puissance du signal et Pon a :
i
•
'1C
8o
"0
(14.27)
~
~
•
~
1i
Cette expression donne une estimation de la constante de temps du filtre
@
dents. Les equations dJevolution des coefficients se simpllfi,ent daI1$ ce cas, de meme
8· adaptatif qui est ainsi Inversement proporlionnelle. au pas de variation des- coeffi-
14. Filtrage Adaptatif
392
que l'evolution de l'"rreur quadratique moyenne E (.n). Pour celte clemiere, en
supposant nullesles valeurs initiales des coefficients, il vient :
(14_28)
au (J~ designe 1a puissance du signal de Teference.
Une illustration est donnee a 1" figure 14.4.
Erreur quadratique moy~nne
1.2 rc--~--,-----,-----,----,----,-----,----,----,----,
1 ·
0.4
0.2
112 00;
Or------L--------------~
o
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
temps: n
FIG. 14.4. Evolution de-l!EQM pOUT un bruit blanc en entree
Dans les applications, on recherche souvent la plus goande rapidite d' adaptalion et 1'on wuhaite done donner au pas d'adllptation 1a plus grande valeur possible.
La condition (14.17) donne une valeur maximale pour Ie pas d'adaptation qui,
avec- les hypotheses faites 1 correspond aune limite de convergence, c'est-a-dire; que
si 0 de-passe cette limite, Perreur quadratique s~acorolt, en moyenne.
Vne illustration ge01pHrique simple, basee sur. une representation de la SU[face d'erreur supposee symetrique, montre que ia plus grande rapidite d'adapta1
lion est obtenue pour la moilie de cette limite, soit 0 ~ N 2' Ce resultat se demontre
ax
analytiquement a partir de ['approche donne" au paragr"aphe suiVan!. Dans ces
conditions 1a constante de te-m ps satisfait rinegalit6 :
(14,29)
14.4
393
Erreur tesiduelfe
Pour completer l'etude du filtre adaptatif, it faut encore evaiuer l'erreur residuelle apn3s cO'nvergence, dans Ie cas genen\l, c'est-a-dire avec dimensionnement
imparfait el bruit de mesure.
14.4 ERREUR RESIDUELLE
Apn3S une phase transitoire correspondant a 1a convergence, les coefficients du
filtre adaptatif evol'uent en permanence autour de leur valeur optimale, car Ie pas
de variation 0 reste constant, ce q.ui d\illleurs est 1a condition d'adaptation permanente du systeme. II en resuite que l'erreur residuelle E R , d6finie comme la limite
de l'esperance de l' erreur quadratique E (n) quand n tend vers l'infini, reste superieure ala vaieur minimaie EmiO"
Llerreur residuelle ER est evaluee en considerant revolution du vecteur
[a(nl] defini par l'equation (14.24) :
[a(n + 1)] ~ [a (n)] - oMX (n + 1) e(" + 1)
(14.30)
Pour estimer la valeur des oarres des elements du vecteur [a C"l], il est commode de considerer la matrice [a(n)] [a(n )]t dont la diagonale eSt constituee des
elements cherches.
Il vient :
[a en +1)] [a (n +1)]t~[a(n)] [a (nl ]' -2oMX (n + 1)e(n +1) [a(n )]t
+ o2e 2 (n + 1)MX(n + 1)Xt(n + 1) M' (14.31)
L'erreur e(n + f) s'exprime en fQnction de [a(n)] par:
ern + 1) ~ yen + 1) - H~tX (n + 1) + X t(n + 1)Mt[a(nj]
En fait i'evolution t;lu systeme est commandee par ce couple d'equations. Afin
d' obfenir des resultats uliles, it est necessaire de faire des hypotheses simplifica.'!:::i
::iij
~
trices.
Les variables suivantes $ont supposees independantes :
• l'erreur pour les valeurs optlmales- des coefficients;
• Ie vecteur des donnees : X (n + 1);
• l'ecart des coefficients par rapport it l'optimum : H (n) - Hopt:
c
g
•
lo
Ces hypotheses ont pour consequence:
E[[y(n + 1) - H;"tX (n + 1)]Xt(n + 1)Mt[a(n)]] ~ a
(14.32)
"0
-E. En prenantl'esperance des deux membres de l'equat~bn (14.31) il vient:
•
~
8
@
E([a (n + 1)] [a (n + 1)]') ~ [IN- 20 diag (i.i)]E{[a(n)] [aCn)]t)
+ I)2E (n) diag(i.;)
(14.33)
14. Filtrage Adaptatif
394
Et 'quand n tend vers 1'infini, apres la phase traRsitoire :
E{[a (ool] [q(ool'}~ ~ E(oo)IN
(14.34)
D ' apres!a definition (14.24) du vecteur [q (nlli! vieItt a1lSsi :
o
E ([Hopt - H (w)] [Hort - H (00 )]') ~2 E( OJ) IN
(14.35)
Done, apr<3s convergence ~ les ecarts des coefficients sont independants et ont
meme variance.
11 faut rnaintenant appliquer ces re$'lltats au caleul de la pllissance de l'erreur
residuelle.
Pour un ,\cart ~H (n) des coefficients, l'erreur resi.d uel\e correspondante
s'ecrit:
(14.36)
o u e ncore, avec (14.24) .:
E (n 1~ E",in + [q(nll' diag. (1.,) [a (n1]
(14.37)
En effectuant les produits, il vient
N-l
E(n) ~ E mID
.. + iL
1.a3 (n)
=0 I I
(14.38)
CollllPe les ecarts des coefficients ont meme variance, on peut faire une mise
en facleurs et, en utilisant I'expression (14.35), il apJiarait qlle l'erreur r6siduelle a
I' infi'ni ER est donnee par:
(14.39)
A noter que I' on 'retrouve ainsi la condition de stabilite (14.171,
En pratique, compte tenu de la marge generalement prise sur Ie paS d ' i\daptation 0, Fapproximation suivante peut etre faite:
ER "" Emin'(l+ ~Na;)
(t4.40)
En fonction de la constante de temps, avec la relation (14.27), il vie.nt :
ER "" E (1 + NT)
min
2~,
(14.41)
Le compromis entre const&nte de temps et eCqrt residuel "appaTalt a'insi clairement ;.
Test l'a periode. d~ echanti11onnage considen~e jusqu'id c.omme egale al'unite.
L'accroissement d'erreur resiQuel1e due au pas d'aQ.aptaiion 0 correspond en
fait a \In bruit de gradient,
14.4
Erreur tesiduelle
395
Le fonctionnement d 'un filtre adaptaill peut eire illusl):e par Ie predicteur
d'otdre 2 d6fini par les 6quations suivantes :
e(n + 1) ~x(n + 1) -a, (n)x(n J-a,(n)x(n-l )
a, (n+ l ) ~a, (n) tox (n )e(n +1)
a,(nt 1)~", (n ) t/lx (n -l)e(n t 1)
En prenant comme signal x (n) ~ sin n
i,
(14.42)
avec des va leurs nulles pour les coeffi-
cients arorigine, l'evolution de l'erreur et celle des coefficients sont donnees par la
figure 14.5. Les valeurs optimales des coefficients correspondent it un filtre RIF
ayaht Un zero sur Ie cercle unite ala frequenae
0)
~ , poqr annuler Ie.signal d'entree.
x(n) ~~r------l
8,(n)
~------~+~------~
e(n)
a)' SGhbna du p"redicteuT du seGond ,ordre
b)
e(n)
"••
"].,"
o
•c
o
c
•
"1C
8o
"0
~
~
•
0,0
§
b) Er'reur en sbrtie.
~
-g
o
@
50
100
150 200 250 300
400 450 500
14. Filtrage Adaptatif
3911
cJ
-3
/
I
/I
-1 .6
---",
If-
ZEROS·
~
::
--
-1
/
\
+1
-"-
::;,.
"11<_
\
'" '--- +,
___ V Y
-1 ..8
\
I
COEFFICIENTS
0.0
\
/
/
V-
-0.8
"
r--.
_1 .6
c) Evolution ,des co,ejjicients
FIQ . 1'1.,5. Filtre d~>Jire dictiQn du seco1J4 or4r~
14.S PARAMETRES DE COMPLEXITE
Les parametres de complexite des filtres adaptati rs SOJlt les memes que ceux
des filtres coefficients fixes, c'est-il-dire principalement la cadence des multiplications 1 Ie nombre de bits des-coefficients et des memQires intern'es.
Les limitations du nbmbre de bits des coeffidents et des donnees internes
coritribuent a augmenter J'erreur residuelle qui prend la valeur E RT . Les specifications sont generalement donnees par un gain minimum du systeme, c ~est-a-dire
qm; Ie rapport de ia puissance du signal de reference
il I'erreur residuelle to tale
ERT do it exceder une valeur imposee G 2 :
a
0;
3
Oy
~ 0 2
(14.43)
ERT
La constante de temps'te , si elle est imposee~ dait etre compatible avec Ie gain
minimum du systeme pour que Ie filtre soit realisable avec la techn ique du gradient.
La donnee des parametres du fi ltre adaptatif G et t , permet de calculer Ie
nombre de bits des coefficients et des donnees internes pour chaque structure,
l' ord;re du filtre etant choisi suffisamment grand pour que llecart minimal B min soit
lui-meme suffisamment faible et permette de satisfaire (14.43) .
D ans Ie cas du filtre R IF realise en structure clirecte camme sur la figure 14.2,
on effectue generalement les arrondis a la sortie des multiplieurs et 'l e sche.ma
devient celui de la figure 14,6.
14.5
Parametres de comp/exite
FIG, 14,6,
397
Filtre adaptat7f RIF avec limitation des coefficients et donnees internes
Le a ruit associe a l'arrondi des donnees internes avec Ie pas q2 correspond a
2
I' addition de la puissance N ~~ a l'erreur minimaJe E min.
Si les coefficients sont quantifies avec Ie pas q l' les erreurs d' arrondi ainsi produites correspondent a un vecteur qu'il faut introduire dans l'equation d'evolution
des coefficients. En admettant que les erreurs d"arrondi sont independantes des
autres signaux et entre eIles, il en resulte dans (14.33) un terme supplementaire
2
egal a i.J1c IN et I'equation (14.34) devient :
12
8
1 Qr dlag
.(1)
-
E{[a(ro)] [a(ro) ] t) ~ - E(ro) IN + 20 2
u
12
(14.44)
Ai
TouteS' operations faites , Ferreur residuelle totale ERT S" e.crit:
,o
.••
'••"
'0
1
[E
N qz2 N ql2J
E RT ~ --~0
",in +
12 + 28 12
2
I --Ncr
2
x
(14.45)
B
,
~
o
~
'1C
8o
"0
~
Et pow' des valeurs petites des pas d'adaptation et de. quantification, on peut faire
l'approximation:
~
ERT-E.
mm
(.1+ N .o. cr i ) + N- qy
q~
+N2
28 12
12
(14.46)
~
•
Les valeurs relatives des 4 termes qui interviennent dans cette ex pression peu1io vent etre choisies en fonction de chaque application. Une option courante consiste
,
~
o
@
a considerer que E min est Ie plus important et que Ilerreur residuelle supplemen-
14. Fii/rage Adaptatif
398
taire, clue au pas d'adaptation 0 est egaie au bruit introduit paT les arpondis
internes, c'est-a-dire :
(14.47).
Si b, est Ie nombre de bits des coefficients et hm'" I'amplitude du plus grand coefficient, on a:
Dans ces c9ndi tions :
h2
max
3' 8 2 . B min . a;
2 2De = ~?
Avec I'hypothi>se que Em'. est Ie terme preponderant dans (14.46), c' est-a-dire que
I'oh a :
G il . E min, :::::::::
a;
et en introduisant la constante de temps, i1 vient approximativement :
b, '" log 2 ('e,) + rag 2(0) + log 2( hm ",. ~: )
Le terme
(h
m ",.
(14.48)
~: ) depend du gain du systeme, du signal et de I'brdre du
filtte, il faut Ie determiner pour chaque ·app·licatioh.
L'expression (14.48) montre que Ie nombre de bits des coefficients est directement lie a ia c'instante de temps et all gail) d\l sys\~rne.
De la meme maniere les expressionS (14.47) permettent de determiner Ie
nombre de bits des donnees internes hi en pasant :
Avec I'hypothese a;' p o ; , qui correspond notamment au cas de 1a predicticm
lineaire et de Fannulation d'echo, en prenant la valeur 4 pour facteur de orete du
signalx(n) c.omme dans Ie cas gaussien 1 il vient:
q2= 4 .a x ' 2 1 - bI
et ensuite :
En introduisant les paran1etres du systeme, on obtient approximativement:
b, = 2 + log 2(
CJ, ) + log2,(0) + 2~ log2('e,)
CJy
(14.49)
14.6
Algorithmes normalises et algorithmes du signe
399
Les expressio ns (14.48) et (14.49) permettent de guider ies co ncepte urs de systemes dans le$ options de realisation .
14.6 ALGORITHMES NORMALISES
ET ALGORITHMES DU SIGNE
La constante de temps d 'un filtre adaptatif et son eITeur residuelle sont liees a la
puissance du signal d' enlree x(n). Quand ce tte puissance peut varier dans des proportions importantes, on peut modifier l'adaptation comme suit:
H (n+1 ) ~H (nl +
8
( 1) (
)X (n+1 )e(!l+1 ) (14.50 )
X ' l" + ' Xn+1
C'est un algorithme dit norma'lise. On peut verifier qu'il 'Conduit a urie erreur a
p osteriori nulle si 0 ~ l.
En pratique, plutat que 'calculer Ie produit scalaire X '(n + 1)X (n + 1) on peut
fllire une estimation recursive de la puissance, ce qui .conduit
a:
Px(n+1 ) ~ (1-£ ) Px (n ) +£x2 (n + 1)
H (n + i ) ~ H (n ) + oXen + 1)e(,, + 1)
PA n +1 )
.'!:::i
'1i
,o
."•••
•
],
•o
o
(14.51)
Le parametre E de l'estimation recursive est chaisi en fonction des variations
de ia puissance du signal. '11 doit au moins eire de Pordre de I'inverse du nombre de
coefficients N du filtt e.
Dans certaines applications, i1 est imp>oTtant de minimiser les operations et on
utilise albrs des algorithmes simplifies dans iesquels ies variations des coefficients
sont fonction du signe des termes e(n) ou x (n), ou encore des produits e(n).x (n - i ) ;
ceosont les algorithmes du signe. La reduction de complexite ainsi obtenue se paie
par une degradation de certaines performances du systeme [2].
Soit par exemple I'algorithme d'adaplation suivant pour les coefficients :
hi(n + i) ~ h;(n ) + ~ .e(n + 1) .signe [x (n + 1- ill
(1452)
Pour x non nul, on a :
$igne [x1~ I ~I
o
l•
Si la loi de prQbabilile de l'amplitude du signal x (n ) est symetrique, en toUte
~
~
resulte que les variation§ donnees par Pexpression (14.52) sont compar:$l bles a
celles donne.es P"' (14.8) avec:
II premiere approximation on peut rem placer f>; (nll par la valeur efficace ax ' II en
,.
1i
o
@
400
14 . Fiitrage Adaptatif
Poursuivant dans cette voie, on peut reduire les variations des coefficients a
une, valel!T constante en prenant Ie produit des signes :
h,(n + 1) ~ h;(n) + A. signe [e (n + 1 )]. signe [x(n + 1-l)] (14.53)
Les variations sont alors comparables a celles donnees par (14.8) avec:
(14.54 )
A partir de valelUs nulles des coefficients, dans la phase de convergence du filtre,
on peut considerer que O'e = O't et la constante de temps t s pour l'algorithme du
signe considere peut s'exprirner par :
't =
s,
1 a
"J!.
A O'x
-
(14.55)
ApreS c.onVergence on peut prendre 0'; : : : E min ; si Ie pas de variation est suffisamment petil et pour Ferreur residuelle. ERS dans l'algorithme du signe, il vient ,
(14.56)
L1erreur residuelle se trouve ainsi augmentee par rapport a l'algorithme du gradient, ce qui conduit a prendre pou, A des valeurs falbies.I1 faut egalement noter
que la condition de st.billte (14.17) se traduit, en considerant la relation (14.54),
par l'inegalite suivante :
(14.57)
a
qui fait appa,raltre une limite inferieure de l'erreur residuelle et peut conduire de
tres petites valeurs de ~. D'ailleurs 1 en pratique, on modi fie generalement l'equation (14.52) pour effectuer les variations comme suit:
h;(n + 1)~ (1-e).h;(n) +Asigne [e(n +1 ) .x(n+1 ~ i)1
(14.58)
La _c anst ante £', positive et faible, Jt1troquit l!lle fonction qe rappel a zero .des
coefficients en l'absence de signal.
De plus, dans ces conditions les coefficients sont borne~ par:
(14.59)
Cependant cette modification contribue it augmenter I' erreur residuelle. En effet il
en resulte un biais sur 1.'estimation des coeffk:ients, Gar au lieu de (14.11) on a:
ii"
E[H(oo)J~ [ £ I" -r RN] - ' .E[y(n).X(n)]
(14.60)
14.7
Fiitrage RtF adaptatif en structure cascade
401
L~ augmentation correspond ante de l'erreur n§siduelle se ca1cule alors par une expression semblable ~ (14.36).
Le choix des constantes £ et D. est a faire en fanction des performances a
atteindre dans chague cas. Un choix raisonnable consiste aprendre e plus petit gue
6, par exemple d'un ordre de grandeur.
Les filtres adaptatifs 6tudies dans les paragraphes cl-dessus s.ont de type RIF
en structure directe. C'est une approche simple et robuste, tres utilise-e. En fait,
comme pour les filtres ~ coefficients fixes on peut fajre 'appe1 d~ ~utres structures',
a
14.7 FlLTRAGE RIF ADAPTATIF
EN STRUCTURE CASCADE
DaNS certains problemes de mode-lisation ou d'automatique, il est important de
connattre les racines de la fonction de transfert en Z du filtre adaptatif.
II est alors commode de faire appel aune realisation par mise en cascade de L
cellules du second ardre H,(Z) , 1 ,;; i ,;; L , telles ql1e :
H i(Z) ~ 1 + a\Z-l +n~Z-2
En effet d' apres les resultats du chapitre VI, si les zeros de cette cellule Z\ et
Zi sbnt complexe§, on a :
Z~ ~ ZL
a ~ ~ IZ\12;
at ~ - 2Re(Zi)
SOl! un filtre adaptafif dont la fonction de tronsfeTt H (Z) s'ecrit :
L
H(Z)~
n (1 +a\Z-l +a~Z-2)
(14.60)
j=l
..
~
]
.•"
],
•c
A partir d' un ensemble donne de valeurs des coefficients il faut appliquer des
variations proportionnelles au gradient cle la fonction d'6cart E (A), pour minimiser Ferreur quadratique moyenne. Compte tenu de 1a :r:elation de definition de
E (A), il vient:
aE
2
ay(n)
N o- l
aak ~- No Ho [Y (Ii) -y (n)) . aa~ ; ~~~'~L
(i4.(}1 )
Pourcalouler Ie terme gi tel que, ;
..
o
aY(n)
gk (h) ~ - .'
c
•
i'
o ak
'1C
8o
I on peut (aire appel al'expressio.n de y(n) obtenue par transformation en Z inverse
.'1
a partir dt)']a transformee X (Z )' de la suite x (n ). Il vien! :
1
Y(h)~:--2'
TtJ
J zn-I . L (1+a(Z-1 +a~Z-2) .X (Z).dZ
L
r
[,=1
14. Fillrage Adaptatif
402
au r est un contour d'integration convenable. D 'ou:
f
ay(n)
1
k
_.Tt}
r
fZ
n- 1 Z - k
----a:T ~ ~
Zn-Iz- k
n (1 + al Z-l + a1 Z-2) .X (Z) .dZ
/=1
L
1*i
ou encore:
_1_
2rrj
r
.
c;-----c""H~(,Z~)--,--;c;-02 .X (Z) . d Z
'l+a{Z l+a~ Z
(14.62)
c'est-a-dire que pour former Ie terme gk (n), il sufftt d' appliquer la suite y (n) a une
cellule recursive dont 'la fanctian de transfert est l'inverse de cene de la cellule de
rang i; c~ est une cellule avec les memes coefficients, mais de signe oppose. Le
schema correspondant est donne par 1a figure 14.7. Les variations des coefficients
sont calculees par les expressions suivantes :
daHn) ~ Ii.g~(n). [y en) - Yen)]:
(14.63 )
Le filtre ainsi obtenu est plus complique que celui du paragraphe precedent,
mais il fDurnit tres simplement 1a position des zerO's du filtre, qui, en raison de 1a
presence d'une partie recursive doivent etre a J'interieul' du cercle unite dans Ie
plan des Z pour assurer la stabilite du systeme.
Les techniques lOla borees pour les filtres RTF s'etendent allX filtres RII.
FIG. 14.7. Filtre RIFadaprari! enstrucrure rascade
14.8
403
Fillrage adaptatif RII
14.8 FlLTRAGE ADAPTATIF RII
Les coefficients d'un filtre RII peuvent etre caleules pour des specificatious dans Ie
temps en utilisant camme au varagraphe 7.3, la technique de minimisation de l~er­
reur quadratique moyenne dans une procedure iterative. Des algorithmes pour
l'adaptation des coefficients aux evolutions d'un systeme dans Ie temps s'en d6duisent, camme pour la structure RIF.
Un systeme lineaire 'Peut etre modelise par un filtre RII puremenl reoursif de
fonction de transfert en Z, G (Z) telle que:
(14:64)
Dans ce cas, Ie modele est dit autaregressif(AR). Cette approche tres interes"
sante et commode, est encore convenable si 'la meillel!re representation du systeme
oorrespond a une fonction de transfert en Z, H (Z) quotient de deux polynOmes.et
telle que:
N(Z)
H(Z)~ D(Z)
au N (Z) a tOllS ses zeros_a11interieur du cerGle unite et est ainsi a phase minimale.
En effet, dans ce cas on peut ecrire, pour un entier M convenable:
1
M
- - = '1+ L c;Z ~i
N(Z)
;~1
Alars il suffit de prendre pour Ie degre K tiu denominate\lr de la fonction
G (Z) une valeur suffisante pour re-presenter H (Z). La presence de zeros interleurs
au ce(cle unite dans Ie systeme, conduit a une augmentation du nombre de pOles
.'ijj
~,
~
.•"
],
•c
o
c
•
'1C
8o
"0
~
~
•
du modele [1].
Le filtre RJI general correspond a un modele dit autoregressif a moyenne
adaptee (ARMA). C'est l'approche la plus generale pour modeliser un systeme
lineaire. La sortie du filtre RI! dont il faut calculer les coefficients pour approcher
une suite. y (n), sur un ensemble de No indices, s'eeTh :
y(n)~
L
K
1=0
k=l
L a,x(n-l)- L bkY(n-k)
(14.65)
La f",nction d'erreur E(A,B) s'exprime par :
1
E(A,B) ~ No
N~ = 1
n'iio [y(n) ~ y(n)F
(14.66)
~
-g
A partir d~ un ensemble de valeurs de coefficients, pour minimiser 1a fonction
©
lions proportionnelles au gradient de la fonction E CA, B) et de signe oppose.
8' d'ecprt sUlvant l~algorithme du gradient, 11 faut donner aux coefficients des varia-
14. Filtrage Adaptatif
404
La presence d!une partie recursive introduit des complications. En effet, Ie calcul
dugradient conduit aux expressions :
aE
8y (n)
2 N,-l
aa/~--N
~ [y(n) ~ y(n)]~;
o '1=0
OoSl~L
avec
aY(n)
K
a)i(n - k)
- aa ~x(n-l)- L bk·
a
k~ l
I
ay (n)
ab k
·
K
~ - y(n- k) - L bk •
~
aY(n - k)
ab
k
k=l
(14.67)
(14.68)
Pour faire appaniltre Ie mode de realisation des relations (l4.67) et (1+'68),
on pose:
L
~. q/Z-1
H (Z) ~ ---"-I~--,:0c--_ _
K
N(Z)
D(Z)
l+LbZ- k
k=i
k
Il vient:
Y(nJ~ 2~ } Jr Zn-l.H CZ).X(Z).dZ
et pax suite:
ay(n)
1 J
.
1
----aa;~ 2rrj r zn-tZ- l DCZ) .X(Z) . dZ
J
aY(n) _ ~
n-l
-k
(-1 )
abk - 2ITj .r Z
.Z . D '(Z) .H(Z).x(Z) .dZ
(14.69)
(14.70)
Le gradient est ainsi calcule .a partir de la suite obtenue en appliquant 1es suites
x (f!) el y (n) aux circuits correspondant a la fonclion de transfert D ~Z) .
Une approchesimplifiee conduit a ignorer les seconds termes dans (14.67) et
(l'L68) ce qui correspond a la realisation la plus simple:
da,(n) ~ o. [y (n) - Y(n)] ..'(Jl-l);
QoS I oS L
dbk(n) ~ - 8. [yen) - Y(nl]. y (n -1<;); loS k oS K
Le schema correspondant est donne par la figure 14.8.
(14.71)'
14.8
405
Fiflrage adaptaUf RII
x(n I
2: K bk "!(n-kl
k=l
FiG . ·14.8~
Filtre RII adaptatif en structure direct!!
Pou~ chaque valeur de l'indice n, les coefficients az et bk :;;-o nt incre.mente:;;
d'une quantite proportionnelle all produit de l'erreur
e(n) ~ y (n) - y (n) par x(n -I ) et y(n - k) respectivement.
L'(\tude de la stabilite et des parametres de ce type de filtre adaptatif est plus
delicate que pour Ie filtre de type RIF [5].
Cependant la stabilite d'tin filtre RII est facile a co ntroler quand il est realise
par une cascade de cellules du sec.ond ardre" ce qui de plus effre les avantages indigues dans un precedent chapitre pour 1a realisation.
Soit un filtre realise par une cascade de cellules de second ordre et de fa'n ction
de transfer! G (Z). Dans Ie cas llutoregressif, iJ vient :
1
L
G(z)=ao·
g 1 +l>iZ '+ 0£Z
(14.72)
2
Pour controler la stabilit" d'un tel filtre , il suffitde s'as.surer que les conditions
suivantes sont remplies, d"apres Ie paragraphe6.7 :,
Ibil < 1; Ib{1 < 1+ bi;
"••
'.
],"
1 ", i '" L;
Comme precedemment, Ie calcul du gradient de 1a fa.n ction d'erreur ne-cessite
la connaissance du terme
tel que:
gk
•
c
o
c
•
'0..
8o
"0
Considerant que :
~
~
•
~
-g
"
o
@
(14:73)
1 L
Y(n)= -2' J zn-l .4o· IT
Tr]
r
.
;~ 11+bjZ
1
1
'
+b~Z
2·X(Z)dZ
14. Filtrage Adaptatif
406
on 0 btient :
Jyb(n) ~- _1_ J
J k'
2'
It}
z""
" ,
,
"
r
Cette expression ~ignifie que leg. termes gi (n), avec k = 1,2 et 1 ~ i ~ L, sont
obtenus en al'pliquant la suite Y(n) a la cellule recursive de rang i" Le scMma cor-
respondant est c.elui de Ia figure 14.7, au les cellules de ·second ordre non recursives
soni remplacees par les cellules. recursives. Pour chaque valellf de l'indice n la stabilite du systeme, est testee paT les relations (14.73).
La methode qui vient d 'etre exposee s'applique aussi au modele ARMA, pour
lequel elle conduit a des circuits un peu plu:; cOllipliques.
Les techniques utilisees dans les paragraphes precedents procedent paT minimisation globale de I'erreur quadratique moyenne. II est possible d'o btenir une
minimisation sequentielle, etape par etape, en utilisant la structure des treillis.
Le filtre en treims de la figure (13.3) peut etre ada pte a chaque valeur de l'indice par un algorithme de gradient; en effet les signaux en sortie des cellules eJementaires s'ecrivent:
e,en) ~ e;_1 (n ) - k;b; _l(n -1 )
b,(n) ~ bi _1 (n -1) - kA_ l Inl
(14.74)
et ks gradients I::mt pour expressions :
0e7(n)
~ ~ -2e,(n)b i _ 1 (n -1)
,
Alo.rs, les variations suivantes pellvent etre app'liquees aux coefficients_en -~uppo­
sant que I'on cherehe a mini miser les ronctions E le7(n) +b7(n )l, pour 1 oS i"", N :
ki (n + 1) ~ ki(n) + 0i (ei(n)bi_1.(fl-1) + bi(n) ei_1(n))
(14.76)
Comme la puissance des signaux ei(n} et I;!,(n) deeroit avec l'indiee i, Ie pas de
variation OJ doit etre r~liea ce.tte puissance pour 9btenir Fhombgeneit6 des
constantes de temps.
14.9 CONCLUSION
Des techniques pour ooncev6ir et realiser des filtres ada'Ptatifs pnt et6- presentees.
Elles sont basees sur I' algorithme du gradient, qui constitue l'approche la plus
Bibliographie
407
simple et 1a plus robuste po ur faire varier les coefficients. La structure RIF directe
a ete etu(JJ6e en detail, en faisan! apparaltre les parametres a 'aciaptation, mnstante
de temps et erre llr residuelle, et de complexite~ cadence des multiplicatIons et
nombre de bits des coefficients et des donnees internes; c'est la' structure la plus
utili$ee. D'autres 'structures peuvent, dafis certains ca.s, presenter dGs. avantages
interessants, les structures RII, mixtes RIF-RII au en treillis. L'analyse des conditions de stabilite de ces structures, Petw;ie des parametres d 'adaptation et de COffiplexite pe1.lvent' -se faire eli suivant une demarche analogue a celle d6crite pour la
structure RIF.
L ~ algorithme du gr'a dient amene une evolution relativement lente des valeurs
des. coefficients dtt fiItre, notamment quand on recherche une erreUT fesiduelle
faible et quand on l' utilise SallS sa forme la plus depouillee, I' algorithme du signe.
Pour atteindre une pius grande rapidite d' adaptalion, on peut recalouler periodiquement l'ensemble des coefficients en faisant "ppel a des procedwes iteratives
rapides ; la structure en treillis se prete bien a cette approche et pennet d' analyser
ou de mQd61iser des signaux comme la parole en temps reel avec des circuits de
cQrnplexite moderee.
L1algorithme du gradient peut etre perfectionne, par exemple en utilisant des
pas (i~ var\~tion c!iff~r~nts et v&riables P9W les coeffici~nts a\l J)~\l d'\ln P&s \lniforme, obtenus a partir d,'e$timations de~ caracteristiques stati$tiql.ll~$ des signaux.
Des critl~-res mieux appro pries dans certaines applications que la minimisation
de l'erreur quadratique moyenne pel,lvent etre envisages et des algorithmes plus
performants que Ie gradient peuvent etre eIabores [1]. Cependant la tnise en reuvre
de ces algorithmes est generalement nettement plus compliquee et des problemes
de sensibilite aux imperfections de la realisation peuvent apparaitre.
Finalernent'les stryctures RIF et RII, fonctibnnal1t suivant Ie erite-re de minimisation de l'ePreur quadratique moyenne et utilisant l'algorithme du gradient ~ ..ou
sa forme la plus simple l' algorithme du signe, offrent un bon compromis de simplicite, d' effica:cite et de robustesse pour Ie filtrage adap tatif.
BIBLIOGRAPHIE
."••"
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•c
[2] O.
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c
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S
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"0
~
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1ic
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Dekker Inc., 1995.
14. Filtrage Adaptatif
408
EXERCICES
1 Le signal x (n) ~m+ eet'), oum est une coostante et ern) un bruit blanc de puissance
cr: est applique a un estimateur recursif, dont la relation entre suite de softie y (n) et suite
d'entree x (n) est donnee par :
y (n) ~ (1- b)y (n-l) + bx(n)
La suite x (n) etant supposee nulle pour n < Q, calonler y (n), Si b '"' 0,8 eombien £aut-il
d'6chantillohS pout que y (n) approchem en moyenne a moins de 1 %.
Calculer l'erreur quadratique moyenne.en sortie E [(y en) - m) '] pour n > 0; quelle est
sa limite quand n tend vers l'infini? etl!dier son evolytion et Ie choix du ooeffioient b pow les
troi-s cas sliivants :' o e = In, 0"( > 111 et o <! < m.
Comparer les perfonnances, de cet estimateur recursif avec ceiles de l'estimateur non
. '
1
n
recursi! deJini par: y (n) oc - - ~ xCi')'
11-+1 i=O
2 Un signal runllsolda1x (nJ est applique a un tiltte ptedicteur RIP du second ordre
3n
x(n) ~ sin ZIT 8
Calculer les coefficients. a1 et a2 de ce filtre et placet les zeros dans leplan (jes Z.
Les coefficients €tant initialement nuls, tracer 1a ttajectoire de&. zeros de ce filtre pour
un pas d'adaptation 8 = O,l.
Un bruit blanc discret de puissance. (j 2 etant ajoute au signal, calculer les nouvelles
vaieul's des coefficients de prediction. Tracer dans ce cas 'une trajectoire des zeros du filtre.
3 Soit un fiItre transve.l)<>al destine a egaliser un canal ayarrtla fonction de transfert ~
0,5
c(z) ~ 1-0,5Z- 1
Calculer la puissan~e du signal re~u x (n) en supposant les donnees non correlees et de.
pUIssance unite. Pour N = 3 coefficients Gonner les valeurs de ces coefficients. U n bruit
blanc de puissance Q«o = 0,1 est ajoute au signal ie~u. Calculer les valeurs des coefficients et
comparer aux resuItats precedents. Quel est Ie facteur d'amplification du bruit? A partir de
la reponse impulsionnelle de l'ensemble canal-egaliseur, calculer la puissance de Finterferenee entre les symboles.
Calculer la valeur prQpre Awn de la matrice d'autocorrelation R j du signai reQu.
Dans llne realisation adaptative, on prend 0 = 0,05 comme pas d'adaptatiQn. QUelle est la
constante de temps clu filtre adaptatif. Verifier par simulation.
409
Exetcices
4 Oil considere Je. schema de 1a figure J 4.3 .dans leque1 ie signal d'entree est une suite.
d'ech:)1ltillons non correlOs et de puissance unit 6, Ie filtre R ,p,(Z) ~
le. filtre JldaptatifR [Z) ~ a~:
:lZ ;
Z I
i: ~:~;~ ,
etle omit blanc additif b (n) a pour puissance 'O? =O,l.
- Calcuierles valeurs optimales des coefficients du filtre adaptatif.
- Bcrire les equations de mise ajour dans une h~alisation adaptative et 90nne'r les bornes du
pas d'adaptation 8. Tracer la courbe d'evohttion des coeffidents pOUF la valeur 5 = 0,1, verifier la ·CQnstante de temps et Ferreur residuelle .apres convergence.
"••
'.,
•
]
•c
o
c
•
'<e
8o
"0
~
~
•
~
1i
§
o
"
Chapitre 15
Applications
Le traitement du sign al accompagn.e 1a generalisation de Pelectronique a rensemble aes secteurs techniques. Qllelq\ies exernples a'applications sont pri\sentes
dans ce chapitre: principalenmt.du domaine des communications.
c
15.1 DETECTION D'UNE FREQUENCE
Soit a determiner Famplitude. de la compos ante a la frequence fo d 'un signal
echantillonne ala frequence t; > 2to. La suite des operations a faire correspond au
schema de la figure 15.1.
Signal
d"entree-
Sign~l
F"iLtre
p<lsse-Nnde
FIG. 15,1.
togiqUt
Detection a'une frgquence par filtrage passe-bande
to.
Le signal est applique a un filtre passe-bande etroit centre sur la [requenee
La fanction ,de redresseur est ensuite realisee en prenant la valeur absolue des
nombres obtenus. La suite de ces.valeurs absolues est appliquee a un filtre passe-bas
qui fournit la valeur de l'amplitude cherchee. Si c'est la presence de la composante a
lafrequence qu'i! faut detecter, une logique a seuil fournit l' information logique.
Ce traitement peut etre analyse camme suit ; s:o it so (t) Ie signal ~ detecter avec-:
to
so(t) ~ A sin (6'01)
Prendre la valeur absolue des nombres_qui Teppesentent les echantillons de .ce
a multiplier ces echanti1lon~ par un sigpal Carre ip(t) en pha~e et
d' amplitude unitaire..
s~grral revient
15.1
Detection d1une frequence
411
D'apres Ia relation (1.6) du paragraphe 1.1, on peut ecrire :
(15.1)
avec
. [1[(211.+
I)J
2.
sm
h", * 1 ~ (- 1) n . -~(~---c;~)I[
1
211+1
2
Le signal. (j(t) obtenu apres redressement s'eerit :
ro
s(j(t) ~ 2A L hZn+l sin [(2n + 1)'"o t] sin (ev)
n.=o
ou enc.ore :
s ([(I) ~ Ah, + A L (h 2nd ~ h2n _ 1 ) teos (2nuV)
n =1
(15.2)
Pour obtenir l' amplitude A, i1 faut eliminer 1es termes dela somme infinie. Les
prQduits parasites correspondants- ont, a partir d'un cert-ain rang, une frequence
superieure a la demi-frequence d1echantillonnage ~ et se trouvent replies dans la
bande utile. 11 faut choisir les caracterisligues du fillte passe-bas, en parliculier la
freguence de debut de bande affaiblie pour "liminer les parasites [es plus importants; ce:hlX qui demeurent en bande passante amenent des fitlctuations sur la
mesure de l'amplitude A .
Dans ceUe methode, il est avantageux d'utiliser un filtre passe bande· Rfl et un
filtre passe-bas RIF, car la mesure. d' amplitude peut etre faite a une cadence inferieure aIe. II existe une autre methode qui permet de n'utiliser que des flltres muticadence; e1ie est basee sur une modulation par deux porteurs en quadrature a ia
freguence 10 et est presentee a la figure 15.2.
Signal
A
d~~nt-t@e
FIG . 151 .
DUection.J'une Jrequencepar modulation et filtrage passe-bas
La compos ante adetecter s ~ ecrit :
set) ~ A sin (6101+ <p)
15. Applications
412
ou ''P represente un dephasage de la composante ii deteeter par rapport au porteur.
Apres filtrage pass<7bas sur les deux branches, pour eliminer les. produits parasites\
on obt'ient Ie's signaux :
A
A.
SR ~ 2 smc.p; Sr~ 2 cos 'P
(153)
L'amplitude chercMe est obtenue par :
A ~ 2yCO:SCO-i-,c-cS""1
La realisation rigoureuse du calcul X ~ YS'k + Sy est compliquee et on se
contente en general d' une appmximationX', qui depend du dephasage 'P.
Le tableau 15.1 donne diverses approximations et'les erreurs relatives correspqnaantes. Ces erreurs peuvent etre n5duites par multiplication, par un coefficient
de r~centrage C, c'est-ii-dire en ca!culant la valeur X 'c telle que :
X o ~CYS'k + Sy
Tableau 15'.1 . -ApPROXIMATION DE X = V Si + S1
(X'-X)
lC
max = - - -
C
max(X<~~)
ISRI + ISrl
0,41421
0,82843
0,17157
Max (lSRI, IS]I)
0,29289
1,17157
0,17157
Max (ISRI, ISII) + ~ min (IS~I, ISII)
0,11803
1,05803
0,05573
X'
La detection d,lune frequence avec modulation demande en gepe nil moins de
caleuls que la methode qui utilise un filtre passe-bande, mais elIe neeessite de disposer des signaux porteurs convenables.
La fonction de detection d'une frequence est utilisee dans les systemes de
transmission des signaux de signalisation et constitue l'essentiel des di~positifs
recepteur.s de codes 'multifrequences.
Dans les conneXions entre centraux te-lephoniques et postes d1abonne, 1es
informations relatives al'etabli'ssemel)t, au maintien et a la tarification des communications sont transmises par un code de signalisation multifrequence. Le poste
d'abonne a clavier engendre deux tonalites, l'une provenant d'un groupe de 4 frequences basses, l'autre d'un groupe de -4 frequences hautes, constituant ainsi un
ensemble de 16 codes possibles. Les valeurs de ces frequences 'sont donnees dans
Ie tablea1J, lS.2.
15.2'
BoUcle a verrouillage de phase
413
Tableau 15.2. - FRtlQTJENCES DU CODE tJ E CLA VffiR.
Code de <lja..,w[
:!:[eq}leIic:e~ en Hz
BF
697
770
'852
941
HF
1209
1336
1477
1633
te recepteur de code multifrequence a pOllr fonction de detecter ia presence
de CeS cle,ux tonalites et de fournir I'indication du code represente.
15.2 BOUCLE A VERROUILLAGE DE PHASE
Oette fODation intervient pour la recuperation de rythme dans les terminaux et
les recepteurs [1-2]. Le principe est illustre a la figure 15.3.
Quand la boude est a l'equilibre, la frequence produite par I'oscillateur
controle en teflsion est egale a la frequence du signa1 d'entree et Ie detecleur de
phase produit un signaLdant la composante continue est extraite par Ie filtre passebas etroit. Le detecleur de phase peut etre un modulateur qui effectue Je produit
de 1a sortie de l'oscillateur par 1e signal a'entree.. Si la frequence nominale de l'osdlIate-ur est egale a1a fre-quenee d'e-ntree, les signaux sont en quadrature et la COIDppsante continue en sortie du modul'ateur est nulle. Si ce n'est pas Ie cas, l'ecart de
phase par rapport it la quadrature produit une composante continue qui decale la
fre-que-nee de }'oscillateur de 1a quantite necessaire pour que, les frequenees solent
109 ales. La largem de bande du fillre de boucle determine la plage d'accrochage de
l'asservi~ement! Ie temps qe reaction et I.e niveau de bruit resiallel.
(I)
Detecteu,
de ph ...
Flltrel
ampliticafeu,
Oscillateu,
'l's( I)
contrOie
en tension
i
."•••
],
FIG. 15.3.
Principe d'une boucle ii verrouiliage de phase
En numerique, on pevt reproduire integralement ce fonctionnement.
g• Cependant., il existe unr;;:- soupiesse supplementaire, dans la mesure ou on peut
.~ effectuer Ie caleul des phases, L'os.cillateur numerique peut etre realise par un
§ aceumulateur de phase connecte a une me-moire qui fournit les echantillons de la
I sihusol'de, On peut done traiter directement les valeurs des phases a l'entree et a la
sortie de la boucle et I'ecart de phase peut eire obtenu par simple soustraction. Un
modele correspondant a une boucle du second ordre est donne 'a la figure 15.4.
C'est un asservissement a 2 Goefficients Xl et K 2, cOL'respondant respectivement a
la commande dite proportionnelle et integrale.
15 • .Applications
414
+)-----------<l~----1
'I'.(n)
FIG. 15'A.
Modele d'une boucle dusecond -ordre
L'osdllateur c6ntro16 en tension est represente par l'1ntegrateUr gUt fournit 1a
phase de sortie q>s(n). La fanction de transfert entre la sortie et l'entree s'ecrit:
H(Z)- <I>,(Z) _
K, Z-'+(K 2 -K , )Z- 2
- <I>, (Z) - 1-(2-I(,)Z-1 + (l-K, + ~)Z-2
(15.4)
C'est W1e fonction de transfert de filtre passe-bas, qui vaut un a la frequence
zero:... Les caracteristiques-du filtre sont d6terminees par les deux parametres Kl et
K 2 • Le domaine de stabilite s'etudie en utilisant les resultats du paoagraphe VI:7 et
en posant b, ~ K, - '2 et b 2 ~ 1 - K j + K 2 . II vient alors : 1 - K, + Ka < L
IK, - 21 < 2 - K, + K2 ·
Dans Ie plan des coefficients K, et K2 , le domaine de stabilite est un triangle.
La fanction de transfert entre 1'6cart de phase et Pentree s\krit:
<I>,(Z) - <I>,(Z)
iI>,(Z)
(15.5)
La presence dUi tefme (1 ~ Z= 1) 2 .au numerate'llr indique qulune telle boucle est
capable de suivre une derive de phase.
15.3 CODAGE MIC-D1FFERENTIEL
La compression des signaux est une des applications de la prediction lineaire. Une
iJ[\lstr~tian est donnee dans Ie do.maine de la \~I&pl1Qnie par Ie cadage Mic-diffe-
rentiel [3].
Pour une voie telephonique Ie cod age a 8 bits, avec une frequence d'echan-
tillannage de 8 kHz, conduit au debit de 64 kbitls. Le signal peut etre ~ spectre plat
ou sinusoYdal avec Famplitude maximale admissible dans-toute la gamma des frequences utiles i la distorsion de quantification a une distributipn spectrale consideree comme uniforme. Or Ie signal de parole presente une clensite spectrale qui, a
long terme, decrolt fortement avec la frequence partir d'une valeur inferieure
1 kHz. Dans ces conditions- une adaptation· du codage aux caracteristiques>du
a
a
s~gnal permet une reduction du debit binaire.
Le principe du codage MIC-differentiel repose sur une prediction lineaire du
signal a coder, camme indique au paragraphe 13.5. C'est la difference ern) entre Ie
15.3
Cadage MIC-differentiel
415
signal x(n) et la prediction x(n) qui est ""dee et trans mise a chaque peribde
d'echantillonnage. Comme Ie signal d'erreur eCn) a One distribution speCltale
proche d'une distribution uniforme, 11 explo-ite beaucoup mieux les possibilites du
cadeur que Ie signal de parole initial.
La figure 15.5 donne Ie schema de principe du codage MIC-differentiel. La
suite e' (n) resulte de l'addition a e(n) de l'erreur de quantification et x' (n) est la
suite Issue clu decodeur. Le signal e (p) a pour expression:
N
e(n)~-1' ( n) -x(n)~x (n) - L ajx(n-i )
i= 1
Codeur
Dec odeu r
y ff't l ~
x (n I
•
p
X I n)
FIG. 15.5.
x'l n)
p
x:'( nJ
~
Principe du codage M1C-differentiel
Le filtre depre.diction P a pour fonction de transfert la fanction P(z ) teJle que:
N
p(Z)~,L
a,Z-l
(15.6)
,~l
L'ordre du filtre N et les coefficients a;(1 '" i '" N ) doivent etre cholsis pour
minimiser la puissance du signal e (n). Dans ces conditions, pour une valeur donnee de N, les coefficients sont caleules par ['expression 13.42, qui fait intervenir les
"Iements' r(k) (0 oS k '" N) de la fonction d'autocorr61ation du signalx (n). Pour Ie
signal de paTole les evaluations suivantes ant He proposees :
r(O ) ~l ;
~
.•••
c
r(3)=0,2274
a, ~ 1,936; a2 = - 1,553 ;
•c
o
r(2)~O,5570;
Elles mettent en evidence une forte correlation entre echantiUons voisins. Les.
coefficients correspondants:ont pour valeur:
],
•
r(1) = 0,8644;
Les valeurs prQpres de la matrice d'autacorrelatian R3 sont :
'1C
8o
A., ~ 2,532;
"0
~
~
•
~
]
"
o
@
Camme:
~ = 0,443;
1.3 = 0,025
15. Applications
4111
Ie gain de prediction correspond ant est voisin de 13 dB .
Dans 1·'1 realisation des systemes· MJC-differentiel pour les telecommunications, un certain nombre d'amelior atlons ont et6 apportees au prinCip~ de la figure
15.6, pour atteindre un degre de qualite eleve avec des equipements peu complexes:
• 1a predictio n est faite en utilisant 1a suite e (n) transmise apres quantificatio n. ce qui reduit la puissance de distor.sion de quantification. De plus Pemetteur
et Ie recepteur fonctionnenta partir des memes informations: et i1 n'est pas necessaire de transmettre des informations supplementaires ~ pa17 exe~ple poUr introduire des procedures adaptatives.
• Le quantificateur est rendu adaptatif en faisant varier T'echelon de quantification en fanction d'une estImation de la puissance du signa1. Cette approche permet de tiTer profit du fait que les signaux telephoniques ont une puissance soit
canst'ante soit 'lentement variable. La parole par exemple est un signal non stationnaire qui, cependant, peut etre considere comme stationnaire sJir des durees
c.ourtes, de l' ordre de 10 ms.
• Le predicteur est rendu adaptatif pour tenir compte des speotres des divers
signaux et suivre les evolutions acourt terme du spectre de la parole.
Cessystemes sont de type MIG-Differentiel Adaptatif (MIC-DA).
Le sehema du filtre de prediction dans Ie codeur et du filtre de reconstruction
dans Ie decodeur est donne par la figure 15.6. La fonction de transfer! H (Z ) du
c.odeur est donnee par :
N
H (Z ) ~1- ;~, ai Z-i~ ----c:NcC'l~-
L
i =l
(15.7)
aZ- i
I
1 +--;-:--N
I -L
aZ- i
1= 1 I
a
La prediction x (n) est calculee p artir de la suite reconstituee y (n). L e quantificateur Q introduit une distorsion qui s'ajoute au signal d~ entree et qui est suppoS·e e avoir un spectre uniforme. Par rapport au principe de la figure 15.5, la
distorsion de quantification est reduite d'un facteur appro chant Ie gain de prediction G.
15.3
Cadage MIC-differentiel
417
vln )
FIG. lS.6.
Filtres dans un systeme MIGdifferentiel
Le rapport signal a bruit SB du systeme complet s'ecrit :
SB ~
Lx 2 (n)
Lx 2 (n)
n
n
L[y(n) -x(n)J2
n
Le 2 (n)
_~n~_ __
Le 2 (n) L[Y (n) -x (nJF
n
n
Sait pour de$ signaux $iationnaires :
SB _ E[x 7(n)]
E[e2 (n)]
- E[e 2 (n)]' E[(y(n)-x(n ))2]
(15.8)
Le premier terme est Ie g.ain de prediction. Si ae signal d'erreur e (n ) a un
spectre uniforme et si la mstorsion de quantification q (n) ~ e(n) - eq (n) est faible,
alors "Ie gain de prediction G est tel que:
G T~ ~
2"
r 11 -~
(1Sg)'
dill
-n
i= 1
2
a.e_iiffi I
I
Les egalites suivantes-sont vertfiees :
q(n) ~ e(n) -eq(n) ~x(n) -.'t(n) - eq(n) ~ x(n)- yen)
.~
~
.."••"
Dans Ie cas dlune transmission sans erreurs entre codeur et decodeur, Ie rapport
signal .a bruit du systeme s'exprime eh decibels par :,
E [e 2 en)]
SB~201ogG +lOlQg E[q2(n)]
B
,
(15 .1D)
Pour maximiser Ie deuxieme terme de cette expression, un quantificateur optimal peut etre utilise, comme au paragraphe 1.12.
a
~
La fanclion de transfer! H (Z) du codeur peut etre de type RIP, RII ou mixte
RIP-RH. En utilisant les techniques du chapitre 14 les filtres de PJediction et
-§ reconstitution peuvent etre rendus adaptatifs.
-a.
Le schema d'un transcodeur entre une voi'e MIC au debit de 64 kbitls et une
•
~ voie MIC-DA a 32 kbitls est donne a la figure 15.7. L'echelon de quantification est
1i5 ajuste en fanction de ia racine carree de 1a puissance moyenne du sigpai x (n), esti~
l
~
mee apartir de 1a sortie du quantificateur.
15 • .Applications
418
MICDA
~~~~~1~327'kbit/s
d'echelon
eq(n)
1-----4.--"-----1
FIG': 15.7.
Quanti!.
inverse
Schema d'e transcodeur MIO MI9 DA
La qua]jte de transmission de ce systeme est telle qu'i! ne produit aucune
degradation notable pour la plupart des signaux telephoniques. Avec un predicteur
d'un, ordre suffisant, par exemple RIF d'ordre 10, Ie gain de prediction sur la
parole va de 6 dB pour les sons non vaises a 16 dB pour les sons valses, avec une
valeur subjective glob ale de 13 dB environ; pour des signaux de modems rapides,
4800 bitls, il est d'environ 4 dB. Le Tappmt signal a bruit du quantificateur optimal
it 4 bits est voisin de 20 dB. Avec ces valeurs, Ie rapport signal a bruit d'un systeme
MI C-DA est suffisant pour transmeltre la parole est les donnees dans de bOnnes
conditions.
Sur te plan international un algorithme de conversion MIC-MICDA a ete normalise par rUIT (Union Internationale de Telecommunications); il est decrit dans
I' avis G 721 [4].
15.4 CODAGE DU SON
Les banes de filtres sont a la base de la conlpression nurnerique du son, oar ils
permettent de profiter des particularites de l'oreille et notamment de i'effet de
masquage.
Ualgorithme represehte a la figure 15.8 et normalise sous l'appellation UITTfG722, permet 1a transmission du son sur Ie canal telep110mque a 64 kbitls. Le
signal audio a une bande dile elargie de 7 kHz, il est echantillonne a 16 kHz et
code a 14 bits. Un banc de 2 filtres QMF perinet d'obtenir 2 sous-bandes echantlllonnees a 8 kHz qui sont ensuite c"dees en MIC-DA aux debits de 48 et 16 kbitls
pour les_bandes basse et haute respectivement. Une operation de multiplexage,
avec insertion de donnees eventuellement, fournit'Ie debit de 64 kbitls a transmettre.
15.5
Annulalion d'echo
419
---l MIC-OA 16 kbilS/S
46 kbilsls
14 bit. -16kHz QMF ---l MIC-OA
Signa I Audio
Filtres
64 kbl Isis
MUX
FIG. 15.8, Codage Ii deux sous-bandes'd'un signal audio
La compression du son de haute qualite pour la diffusion numerique ou Ie
stockage est definie par la nonne ISO/CEI 11172 [5-6]. Elle est basee sur un banc
de 32 filtres it 512 mefficients, de type pseudo-QMF. Les signaux ains] obtenus
sont quantifies separement, aVed l!n nombre de bits pour chaql!e sous-bande tel
qUe Ie bruit de quantification reste a un niveau inferieur 31!1 ·s euil de masquage. Ce
seuil, inustre a 1a figure 15g, est d6fini pour chaque sous-bande a partir d'une analyse par tFD 1 024 points enappliquant les resultats de la psycho-acQustique.
a
A
o
16 kHz
FIG. 15,9.
Exe/Tlple de coutbe de masquage pOUI un signal sonore
La meth"de permet d1atteindre un debit de 64 kbitls pour llne voie son monophonigue de haute qualite. (MPEG - Couche 3 / MP3) [6].
15.5 ANNULATION D'ECHO
"•
.•~
~
~
o
~
l
.§
~
~
50
o
©
Dans les reseau:x; de trans-miss:idn, des echos se Jilroduisent quand une replique
retardee et affaiblie clu signal , emis par un te:rminallocal a destination d'un terminal distant, atteint Ie recepteur local. De tels signaux d'echos ant leur origine dans
les transformateurs hybrides qui effectuent la conversion 2 fils - 4 fils, dans les
desadaptations d~impedance Ie long des lignes a 2 fils et, dan~ certains cas particuliers comme la telephonie mains-Iibres, dans les oouplage.s acoustiques entre les
haut-parleurs et les microphones des terminaux. L'annulation d'echo consiste a
mode-tiser ces couplages parasites entre e.metteurs et recepteurs locaux et i sou-strair~ )ln echo synthetigue de l' echo reel [7].
Deux situations differentes peuvent etre distinguees, seion la nature des ·signaux
impliques, a savoir la parole et les donnees. 'Le cas des modems pour tri,lnsmission
de donnees est traite en premier, car il est plus simple a·aborder.
15 • .App/katio!]s
420
15.5.1
Annuleur d'echo pour donnees
L'exploitatian la plus efficace des lignes a 2 fils est realisee quand les signaux de
donnees 'Sont transmis simultanement dans les deux directions et dans leg- memes
bandes de frequence. La transmission est alOTS dite bi-directionnelle au fu llduplex. Le principe est illustre ala figure 15.10.
Le signaixA (n) est transmis du terminal A au terminai B ·?t travers une ligne a2 fils.
Le signal y (n) 'il Fen tree du recepteur du terminal A possede 2 composantes, Ie
signal YB (n) provenant du terminal B qui est Ie signal de donnees 'utile et Ie signal
reilechi qui constltue I'echo perturbateur produit par xA (n) et designe par rA(n).
La [anctian du filtre H(z ) est de produire un echo synthetique y(n) aussi proche
que possible de'A (n), de sorte que, aprilssoustraction, Ie signal d' erreur e(n) reste
suffisamment proche de YB (n) pour que la tran$mission des donnees du terminai A
au terminal Bait la qualite suffisante.
Le choix des parametres du filtre adaptatif est guide par Ie contexte. Le nombre N
des eoefficients est d6duit de I", dmee de la reponse impulsionnelle d'6cho ca mpenser, en tenant compte de la frequence d'echantlllonnage.
a
Terminal B ,.
~-----+--K
I
I
Ligne 2 fils
I
I
_____J
H (Z)
Terminal A
,~(")
L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ____ _ _ _
F~G .1 5.10.
Principe deYannulation d ~echo
Il est necessaire de rendre Ie filtre adaptatif, parce que les caracteristiques de la
ligne de transwissian peuvent changer avec Ie temps. Pour tout filtre adaptatif, la
nature des. signal!X d'entree est importante et dans: Ie cas_present la ~ittiation est
tres favarable. En effet, comme Ie montre la figure 15.10, I'entree du filtre est Ie
signal de donnees emis xA(n), qUI est generalement non correle, a une puissance
unite et donc pos&ede la matrice d'autocorrelation RN ~ IN' Alars, ['algorithme du
gradient a des performances equivalentes a celie de I'algorithme des moindres
15.5
Annulation d'echo
421
carres, Ie pas d'adaptntion 0 etant borne par 21N et la mnstnnte de temps a pour
valeur "t ~ 1/8 . Dans' I'! phase d'apprentissage, la puissance moyenne de l'erreur de
sortie s'ecrit, en appliquant la relation (14.28) :
E,(n) ~ IIHoptl~(l - 9j2n
(15.11)'
La norme la.du vecteur des coefficients d'echo IIHop,I~, repr€sente la puissance du
signal d' echo.
En transmission bidirectionnelle, Ie signal utile YB (n) dans la reference est plus
faible que l'echo rACn). Si A, designe Ie rapport de l'echo au signal utile, SB Ie rapport du signal desire au brllit a l'entree du recepteur, alors l'affaiblissement d'echp
Ae doit satisfaire l'inegalite suivante :
(15.12)
Par exemple, avec SB ~ 40, dB et A, ~ 20 dB, alOTS A" ~ 60 dB, ce qui implique un
haul niveau de performance de l'annuleur d'echo, pour ce qui est de Ferreur residuelle en regjme permanent, apres convergence. .
D'!ns l'adaptation, Ie signal utile cree un ecart sur les coefficients p'!r rapport i\ la
valeur optimale et 11 en resulte line augmentation de l'erreur resi'duelle en sortie.
En designant par 0'; la puissance du signal utile des donnees re,ues et ~n utilisant
les, resultats de l'etude de l'algorithme du gradient, la variance de chaque coefficient de filtre apres convergence a pour valeur 0'~o/2 et Perreur residuelle est N fois
plus grande, soit N 0';8/2. Pour atteindre 'Un objectif de rapport signal a bruit SB. le
pasd'adaptation doit.satisfaire I:inegalite :
(lS.B)
Dans- cette approche, on a suppose que la puissance de l'erreur de sortie est voisine
de celle du signal utile (J"~. Par exemple, avec SB ~ 10' (40 dB) etN ~ 60, il faut
prendre Q < 3,310~, C'est une valeur tres faible, qui entraine une tres longue phase
d'apprentissage. Jl est important de noter l'impact sur la precision des coeffiCients.
En appliquant les resultats sur la precision des coefficients en filtrage adaptatif par
gradient, on Qptient l'expres&ion simplifiee suivan,t e pour Ie nombre de bits be des
"•• coefficients:
'.
],"
b, ~ log2(...L) + 1,Iog2(A,)
•c
8
o
2
(15.14)
c
•
'1C
8 Avec 8 = 3,3 10~ et A" ~ 106 , il vient : be = 29. En pratique, il n'est pas obligato ire
o
d 1utiliser cette precision dan$les mUltiplications du filtre, elle est setilement neces~ saire dans.la mise Jour des coefficients.
]
~
a
15 • .Applications
422
15.5.2 L'annuleur d'ec.ho acoustique
L1arinulation d'echo acoustique conduit
ades filtres de tres grande longueur~ Avec
la vitesse de propagation des bndes acoustiques dans i'air' v ~ 330 mis, une J'req uence d"ec hantillo nnage f, ~ 8 kHz et une distance parcourue 2D = 100 m on
aboutit a N ~ E2.f, ~ 2400.
v
Onrencontre cette situation dans les salles d1audioconference par exemple.
De plus, l'annuleur d'echo do it faire face a des situations difficiles: pour l'adaptativite, COllme la doub le parole. Durant la conversation, il peut arri ver que les
2 utilis'ateufs paTIent en meme temps et 11 y a transmission bidirectionnelle simultanee. Cette situation amene pes ecarts sur les coefficients, ce qui reduit l'affaiblissement d'echo. En fait, pendant la double parole, il faut gele r les coefficients, ce qui
pOSt; Ie probleme de la detection de d'JUble parole. U ne approche simple est indiquee a la figure 15.11. Elle consiste acomparer Ie niveau du signal regu r (n) avec
detecteur
de nivea u
decision
de doubl e
oui/non
parole
r (n')
detecteur
de niveau
y
+
yt,,)
e(t1)
AE
•
xtrt )
FIG. 15.11.
Detection de doub.le parole
Ie niveau du signal e(n) ap""s souslraction de l'echo synth6tique. En l:absence de
signal de parole distante dans r(n) et s1 l'-annulation fo notionne correctement, les
niveaux sont nettement differen ts. A u contraire, pendant la double parole, les
niveaux se rapprochent. Avec celie information, on peut decider de la presence de
double parole et geler les coefficients.
Les parametres pgur la detection de nivea\> et la decisio n dojve]1t eqe choisis
;aveo so.in, pour eviter une fausse decision et des retards excessifs. Le$ d6tecteurs
de- niveau peuvent e-tre bases sur des rnesures- de puissance ou d'amplitude.
15.6
Traltement des images de television
423
15.6 TRAITEMENT DES IMAGES DE TELEVISION
Les videocommunications et la diffusion des signaux audiovisuels en numerique
s"appuient sur pes techniqlles-de compressIon d'images-abase de traitement a une
ou deux dimensions.
Une image animee est une fonction sex, y, t~ A.), de 4 variables, qui sont les
deux variables du plan, Ie temps et la longueur d'onde. En television, ce signal est
ramene a une seule dimensi'on pour 1a ~ransmission.
La variable longueur d'onde peut etre retiree en considerant que Ie sy~teme
v.isuel humain comporte trois types de recepteurs qlli effectuent des fonctions de
filtrage conduisant a 3 signaux correspond ant aux cQuleurs primaires Rouge"Vert
et Bleu (R, V, B) .
Le balayag.e de television ran'lene ensuite ces signaux atrois dimensirms ades.
signaux monodimensionne1s. Les images sont analysees 25 fOls par seconde, a raison de 625 lignes par analyse. En fait les lignes paires et impaires d' une irnagesont
regrollpe.es dans d.eux trames differentes:multiplexees dans-Ie temps, d'ou une frequenc_e de 50. trames entrelacees par seconde.
Pour fa transmission les composantes primaires R, V, B sont remp.lacees par
.des combihaisGfiS lineaiI:es, appeJees respectivement luminance Y et differences de
couleur ou ohrominance Dr et Db, telles que.:
j
y~
a,30R + O,59V + a,llB
Dr ~ R - Y ~
0,70R, - O,59V + O,llB
Db ~ B - Y ~ - 0,30R - O,59V t a,89B.
La n umer-isation de ces signaux se fait avec une frequence de 13,5. MHz pour
la luminance et de 6,75 MHz pour les -signaux de cl)rominance-. La conversion
AnalogiqllelNumetiq"e et'lnt a 8 bits, Ie debit correspond'lnt s'ell,ve a 216 Mbitls.
Ce format correspond a la re.c ommandation CCIR 601 de l'Un et il est dit de type
422. n conduit ii des images se present'lnt sous la forme de tableaux de nombres de
8 bitS" comprenant 720 points par ligne et 576 fignes lltiles, dans Ie cas d'un
:ijj balayage a625 !ignes.
Une image correspond done a 414720 octets pour la luminance. et207 360 octets
pour chacune des Gomposantes de c'hrominance.
•
.~
Les techniques de reduction de debit s'appllient sur Ie fait qu'llne bonne
•
], modelisation est fournie par la sortie d' un filtre RII du premier ordre auquel est
~ applique un bruit blanc gallssien [8]. La fonation d'autocorrelatiQn a 2 dimensions
g 90rrespondante s~e·crlt :
~
"
•
.<e
8o
"0
~
~
•
~
1i
§
o
"
15 • .Applioations
424
ou a et ~ sont des ca nstan-tes positives. Pour le spectre aSSOcle, 11 vie:t~t:
40;~
S (ro ""') - r '
•
v
- 0 (0;2 + roJ) (~ 2 + roD
(15.15)
La p1us grande compression dans Iii representation d'un signa1 e$t obtenue par
la transformation propre, basee sur les-vecteurs prop res de la matrice d:autocorrelatio)1. Dans Ie- cas des signaux du premier orrue, cette transformation est bien
~~pprochee par les trafisfoTmee.s en cosinus ou sin~: discretes., presentees aux paTa-
graphes 3.3:3 et 3:3.4.
Dans les normes de compression d'images, c'estla T e D , appliqu6e a des blocs
de 8 X 8 points d'image el~menfaires ou « pixels », qui a He retenlJ-e.
Les normes elaborees pour la visiophonie, Ie stock age des images lOt la televi·
sian numerique font appel a la cambinaison des 3 techniques suivantes [6] :
- l'estirtration du mouvement, :pour pouvoir minimiser 1a difference entre
l~ image courante et 1limage prece-dente;
- la transformation en cosinus discrete pour minimiser la redondance
spatiale;
- Ie codage statistique a longueur va riabl,,\CLV).
Le schema general d'un codem d'image est donne a la figure 15.12 .. Lo. quantificateur Q opere a partir de seulls qui peuvent eire pilotes par U Th clispo$itif de
regulation, permettimt a l'aide d'une memoire tampon d'atteindre un debit
constant.
Imago.
sources
Estimatioo
du
mouvement
FIXE
INTRA
INTER
I
FIG, 15,12,
Train
num6rique
vectows
Modo,
Memoires
d'imago'
01 pr6dlclicn
Schbna general d'un c.odeurJ'images animees
15.7
Transmission multiporeuse - OFDM
425
Pour la television de qmilite commetciale Ie debit pellt etre redllit jUS'lIl'i\
mpins de 4 Mbit/s soit un facteur de compression de l'ordre de 50 [9].
Des filtres numeriques interviennent dans les operatiorrs. dl"interpolation ou de
S9us-echantillonnage, p'ar exemple pour les changements de formats d'image ou
Festimation de mouvement. Ce sont des filtres separables.
La compression numerique des signaux multimedia ~ parole ~ image et son, permet ae reduire conSioerablement les debits necessai"res a la diffusion des programme~ et elle oftre la possibilite, assoc1ee aux techniques de transmission nume'r:ique ahaute efficacite spectrale, d'emettre plusieurs programmes dans des canaux
utilises en artalogique pour un seul programme.
Les teohniques a halite efficacit6 spectrale fQnt une utilisation intensive du
traitement numerique et elle~ tire.nt Ie meilleur pro:fit des particularites des canaux.
C'es! ainsi que les techniques multiporteuses peuvent conduite i\ aes debits de plusieurs bits/s/Hz sur des caname de qualite limitee ou susceptibles d'elre perturbes,
15.7 TRANSMISSION MULTIPORTEUSE - OFDM
Vo bjectif des techniques de transmission multiporteuses est d'approchet la capacite
theorique d'un canal, d'une part en limit ant reffet des dis torsions, d'autre part en
ajustant 1e debit. la densite spectrale de bruit. En effet, en divisant un canal donne
en plusie urs dizaines centaines au milliers de sous:-canaux on rend negligeab1e l'effet des distorsions sur ehaque sous-canal et on peut affecter • chacun le' debit qu'il
est capable de supporter. Une approche simpie et effie ace pour meltre en ceuvre ce
principe consiste a faire appel ala Transformation de Fcurrer Rapide dest la technique dit" OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) dont.1e principe
est represente i\ la figure 15,13. Le flux de donnees. transmettre est converti en N
flux ekmentaires' debit N fois plus faible, qUi sortt appliques ii l'entree d' un calculateur de TFD inverse. Conformement a la definition de la TFD inverse donnee
au chapitre 2~ cette operation correspond a une modulation par
1
1
1
les flux elementaires de N porteuses, aux frequences multiples de ~ et a l'addition
de l'ensemble des signaux ains! modules. L a cadence des symboles OFDM est
."••"
l'ensemble des demodulations et restitue les donnees d'origine, qu'il suffit de
~
~erialiser pour retrbuver Ie flux tot11l initial
],
alors de f, . A la reception, apres passage par Ie canal, une TFD directe effectuc-
N
.
o
c
•
'''8o
"0
~
Donn6es
~
•
~
d(n)
Conversion
s6rieparaliOia
TFR-1
TFR
].
§
o
"
FIG. 15.14.
Principe de fa transmission OFDM
Conversion
parallele-
Donn·6es
sene
d(n)
15.7
Transmission multiporeuse - OFDM
427
5i x (n) est 1e signal emis, Ie signal re,u y (n) s'ecrit :
p
y(n)~ L
p- o
Cpx(n-p)
Comme x(n) s'exprime It partir des donflees dk par
N-l
·2rr
x(n) ~ L dke +iN'kn
k-O
(15.17)
On obtient pour y (n) la double sommation
P
N-l
p = 0
k=O
ZIt
y(n)~ L Cp L dkeiN'k(n- p )
(15.18)
En posant:
il vient finalement
(15.19)
On .retrouve bien la prGpriete de convolution circulaire de la TFD et Ie recepteur fournit les donnees emises multipliees par Ie spectre du canal H k .
La redQndimce des signaux emis peut etre exploit¢-e par Ie recepteur pour la
synchronisation. En effet-, en calculant la fonction de correlation suivante :
n
r(n) ~
L
i=n-Ng *l
y (i) y* (i - N)
(15.20)
on fait apparattre des pics, comme indique sur la figure 15.14, gui caracterisent Ie
debut de chague symbo1e, permettent de caler 1a fenette d'analyse temporelle du
~ recepteur et peuvent contribuer ala synchronisation des horloges.
.
~
La synchronisation en temps et en frequence e.st un probleme delicat dans les
~ -systemes a gf-and nomb:re de porte-uses et des symboles particuliers- de reference
.~ sont introduits ou certains sous-canaux sont reserves a des signaux fixes appeles
~ pilotes.
•
La fignre 15.15 represente Ie schema par bloc. d'un recepteur de television
g numerique pour la diffusion terrestre [11] . Les interfaces analogiques amenent Ie
.~ signal dans ia bande 0,76 - 8,37 MHz etla conversion Analogique-Numerique g'effec§ tue aIe = 18,28 MHz. Ensuite une conversion reel-complexe par filtre de quadrature
"0
"E. est effectuee et la frequence d'echantillonnage est ramenee a 9,14 MHz. Avant Ie calcuI c;le la TFR aN = 8192 points, un mu1tiplieur comp1exe .effectue Ie ca1age en fre-g. qllence du spectre du signal. La synchronisation temporelle commande Ie positionne§
o ment de la fenetre de la TFR. Le signal emis comporte 6817 porteurs actifs dont
1
"
15 . Applications
428
177 sont consacres a des signaux pilotes, ce qui permet une synchronisation fine du
recepteur, qne estimation de la reponse frequentielle du 'c anal pour l'egalisation et
unemesure de la distorsion dans chaque sous-canaL Le temps de garde-peut attelndre
jl1Nu'a 20 % dela dureedu ·syrnbole.
Ce systeme doit permettre la transmission c\e debits jusqu'a 32 Mbit/s dans un
cana l aveo espacement de 8 MHz, soit 4 bits/s/Hz.
Un autre exemple d:application de l' OFDM est Ie systeme ADSL (Asymmetric
Digital Subscriber Line) qui permet la transmission versol'abonne sur sa p.aire de
cuivre de debits pOuvant atteindre 6 Mbitls au-dessus du signal telephQnique . Le
s~gnal multiporteuse occupe une bande de 1 MHz avec 256 porteuses.
,---
Synch ronisation
de frequence ~
,..
Extraction
de.
pilote.
+
----
•
(t)
InterfJlce'
analoglque
HAIN
Egali.aUa!
de
IJQ~~ N =TFR8192 1-""1-- sous-canal
Synchronisation
temporelle
1+'
Oa!n ~e. d(n)
FIG', tS.15. Rec,eptmr de televi8jo/l numerique jerrestre
Les avantages de la technique OFDM resident dans sa faib le sensibilite aux
distorsions du canal, une relative immunite aux bruits impulsifs par l'effet :de
J!lOyennage de Ia TFD, Ia possibilite d'6viter les brouilleurs a spectre etroit et
l'-aj ustement du debit ala densite spectrale du bruit.
Par contre, cette technique nec.essite des dispositifs de synchronisation d6licats
et elk est &ensible aux non-linearites. En partiGulier, il fa'lt bien noter q'le Ie signal
emis dans Ie canal etant la somme d'un grand nombre de sign aux aleatoires de
me-me d istrioution; 'il a une distribution d'amplitude gaussienne et un facteur d'e
crete de 12 dB, ce qui est un inconvenient par rapport aux modulations a enveloppe constante, utilisees en radiocommunication par exemple.
Les intervalles de garde en temps et en frequence, les signaux pilotes, les symboles de reference reduisent l'efficacite du systeme. Des apprOGhes basees S'lr Ie
principe des bancs de filtres a decomposition et reconstitution presque parfaites-, cequi limite Ie recouvrement des sous-canaux aux voisins immediats, permettent
d' ~viter ces_pertes, au p;rix d'un supplement de traitem,ent. Avec des egaliseurs
adaptatifs dans chaque sOlls-canal, its reduisent aussi les- contraintes de synchronisation et ils devraient permettre d1approcher les limites des capacites de transmission tMmiq ues [12].
Bibliographie
429
BIBLIOGRAPHIE
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."••••
],
•c
o
c
•
'1C
8o
'0
~
~
•
-g
~
§
o
"
EXERCICES
Elements de reponse et 'i ndications
CHAPITRE 1
1.1
'1 2 " (_1)p"1
t
1L (O ~ -2 + - L
cos 2IT(2p-1) - .
'ITp d
2p-1
T
1.2
senT) ~ sin (1m + '1') ~ (-1) " si n '1'.
La possibilite de reconstitution depend de ql. ( ql =
~ aui; W= .0. non).
2V2
1.3
H (fel2) = IT (0,92 dB ).
1.4
1.5
.,;
",
'••"
~
c
'..,•
•
B
1.6
s (n) ,, 0 pour
a
c
fe ~ 2MHz;
1.8
p(1 ) = - ,~ ;r«.l=2(fQ-fl)
la
1
k
'Ilk =- 2n "8 n + kIT.
ilf = 1 kHz.
1.7
•c
•
Valeur maximale de s (n) = 8;
1
ltVA2_S 2
sin IT (f,-fl) <
1t
o
"
f)
1 't"·
cosn (A +fl.l <·
psm2"n
~
~
2-
. IT
15
~
•
Iic
,
(f
19
Partie· periodique~ coefficient de Fourier :
Cn = --:;-:cnn
.
,..
1-cOSITf'I
Parhe non penodlqlle ; spectre: S2 (f) =p (1 -p)T IT 'flT '
432
Exercices
1.10
Rapport signal a bruit dam la bande 300 - 500 Hz ~ 75 dB (fe ~ 16 kHz; gain 3 dB).
1.1,1
Disiorsion de quantification : raie a ~ Ie. ;pui,ssance : 0,0195 2.
1.12
~
Si la taracteristique est centree : al = 0 pour 0
lal
q
2q
0'" lal '" 1. Centrage Ii 2: : a l ~
pour a '" lal "' l.
~ ~; al ::::: 4nq ~l - 4~2 ppur
n
1.13
Sans Ocfetage (facteur de crete) : 10 bits; avec 6oretage" i % ~ 9 bits.
1,14
En oodMe lineaire (SIB)"" ~ 50 dB; en non lin6aire il varie de 35 ~ 38 dB quand Ie
signal varie de - 36 dB i1 a dB.
1.15
Valeurs optimaJes : XQ~ D; x l ~ 0,9816;)" ~ 0,4528; y , ~ 1,510.
CHAPITRE 2
2.1
La TFD de laseconde suite est li~e aJa. premiere par:
<
X'(k) ~e - j" 4 X(kl
2 .2
Multiplications teelles: MR ~ 28; Additio.hs roelles ~ A R ~ 84.
2.3
Les petites differences proviennent des Tepiiements dans Fechantillonnage et decroissent quand N r;:roit.
2.4
Nombres de mUltiplications complexes: 160, 96~ 72. Additio~s : 384.
2.5
Puissance maximaie de bruit sur une sortie: 28. q 2/12. Avec quantification a 8 blts des
coefficients , 1£(1, k)1 '" 0,003.
2.6
Recurrence:Xc ,," x(N-l); x,,~x(N -1-m) +WX ~ _lPour
l"'m "" N ~ l
n faut N -1 multiplications complexes.
2.7
Bruit d'arrondi total: N
i; +
N q 2; degradation Be rapport signal ~ pruit: LlSB ~ 11,5 dB
(Bmit d'entree q'l12).
2.g
Enregistrement: 20000 6chantillons ; me-mQire 160 kblts temps de: cycle pour une
lIiultfplidatioh : 1).18.
29
Les fen'Stres en cosinu8, Hamming et Blackman affaiblissent les lQbes secQ11daires,
mais ne p~r.mettent plus de de.t e~ter la presence ge la oomposante faible.
2.10
Sur la figure 2.131es multiplieuts sont utilises It 50 %. La pleine cap~cire est obtenue
en doublant la me-moire d'entree avec lecture altemee.
2.11
Memoires: 120, ,30 et 6 nombres dans les 3 etapes respectivement. Trois multiplleurs
complexes sont ne.ces-saires dans deux Mapes; leur renclement peut etre 'porte it.
100 % pa r des memoires tampon.
tJements de reponse et indications
433
CHAPITRE 3
3 .1
On veiifie que les'produits 13 x A et A x 13 sont differents.
3.2
On verifie les relations 3,3. 3.4. 3.5, 3.6.
3.3
Nombres tie multiplieurs recis en baBes 2,4 e18 : 384, 284 et 246.
3.4
La TID d'ordre 12 clemande 20 multiplic;ations complexes.
3.5
Utiliser les relations (3.18) et (3.21) pour obtenir lOll 2 factorisations.
3 .6
Le calcul base sur line TFD complexe d10rdre 8 conduit a24 multiplications reelles,la
transformee impaire it 26.
3.7
Ave!;: cettemethode les operations de An dispar·aissent, ce qui reduit it 16le nQmbre
de. multiplications complexes.
3.8
Matrices de 18 transformation:
T~
[t
1
4
16
13
1
16
1
16
1~ ] ' T-l~13 [i
•
16
4
I
1
1
13
16
4
1
16
1
16
1~6
]
13
CHAPITRE 4
l_a 9 - n
1
p.our5~n' ~ 8.
4.1
Reponseo alasuitea l'i:.v(n) ;:- a n - 3
4.2'
Proceder par derivation et developpement en serie et integratiGn
~
-a
1
Z- l
1
(1
1 )
1n(z-a) ~- '~l nan Z'; (l-aZ 1) (I-bZ .1) ~a-b ,~o ' b n - a'
&
Z- ' .
lal < 1; Ibl < 1
avec
4.3
1
H (Z) - -;c;-----;;:~__o:;______;~~
- (I-Fe i 'Z 1) (l-re f'Z 1)'
!!.4
Puissance en sortie : 21 ; H (ol) ~ 4,41-1,336 cos'" + 0,46 C.DS 2W.
4.5
Reponse du systeme :
~
el'·
y(n) -I ~ e-l w+0,8e- 'I . ," r
,-" [
(a-0,8b )
rs1n(n+lJS
sinS
0,8a
Sill
(ns)
' e
SIn. .
1
434
Exercices
CHAPITRE 5
5.1
La reponse s'annule pour j~ 0,288 ; 0,347 ; 0,408 ; 0,469 ondulation m3'limale, ~ d,08.
Zeros de H (Z) : 0,606; 1,651; 0,4292 ± j0,464; 1,073 ± j1,161.
5.2
Coeffkients : - 0,012; 0; 0,042; 0; - 0,093; 0; 0,314; 0,5. Uros de H (Z) : 0,4816;
2,016; 0,3764 ± jO,368; 1,3583 ± j1,328 ondulation maximale: 0,03.
5.3
8 = 0,017, valeur inf6rieure aux valeurs ci-dessus.
5'.4.
Avec fol2 en sortie, les nombres de memoites et multiplications sartt divises pat deux,
par entrelacement (voir § 10.5).
5.5
Dans Ie plan complexe. H (Z) tourne de 11; et de ± "2 ~ ce. qUI donne un.passe-haut et un
IT
.
passe-ban de.
5.6
Coefficients : N = 27 ; precision des calculs: b ~ = 12 bits ; .h I,= 20 bits.
~.7
Coefficients de la fonction erreur : - 0,0065 ; 0,0034; - 0,0015; - 0,0019'
e(0,1925) ~ e-I'<8to (~0,0028)
b, = 1 +
~ log, (/;'/) +log, (min {~1' 5,l)'
CHAPITRE 6
15.1
Suivre Ie developpement du paragraphe (6.1). La differenc y yutre Ie retard .e1 Ie
temps de groupe du filtte illustre la non-linearite dela [eponse en ph~e.
6.2
1
Reponse al'echelon unite: y (n) ~ 18 (1- (- 0,8) ,+ 1) + (- 0,8)" + 2 Y (-1) .
,
Poles ,:, P = 0,78' ± jO,438. Les zeros n 'aj,outent pas de multiplicatiQns dans Le circuit:
6.4
H". ~ 85; cos OJo ~0,808; IIHI!' ~ 8,53.
Ave~ des zeros Ii 3//8: IIHI!, ~ 25,8.
Frequence des auto-oscillatiollB voisine de fJI0; amplitude = 42q. Auto'-osciilatio,IlS
de forte amplitude possible car (6.56) non-verifi6e .
6.S
.bc?3- 13 bits; deplacement de la pointe d'affaiblissement: dft ~ 2,210- ~ fe'
H(Z) = 0,796-1,42Z- 1+ Z-2 ., (w)calcule ar(6.45)
1-1,42Z 1+0,796Z "
6.6
Realisation possible avec 3 multiplications.
g
p
.
tlements de reponse et indications
435
CHAPITRE 7
7.1
. 1.49 + 1.4 cos m
CeUute du 1" ordre : IH'(m)1 2 = .,.-c.,--ccc.-::-:cc-::1,81 -1,8 cos m
1,6 sin CD
1,6 (0,37 cos 0) - 0,2)
q>(m) =Arctg. 1,63 _ 0,2 cos m; <[m) = (0,37 co, (j) _ 0,2) 2 + 2,66 siQ' CD
Frequence. caracteri.tique, : 0.162; 0,231; 0,538; 0,736.
.
.
(I t Z-I)4
7.3
FonctlOn de transfert : H (Z) = 0,094 (l + 0,039Z ') (1 + 0,447Z ')'
7.4
. .
.
Z - l_c<
sin ,,(fr-f j)
I
Tran.sformat10n :Z- =-\_c<Z_ 1 ;C<= sin rr(fl+f j)
avec
f . =0,1725 ; /\ =0,1 ;
00=0,3.
7.5
Facteuts d'echelle: a8= 2-" ; a!=2+'2; a3 = 2.
Pour H (j) = 1, il vient : aQ '" 0,515 et = 4,12; Precision : b, = 16bits.
7.6
Nombre de bits des. coeffioients· : b, = 12 bits. Optimum obtenu par recherche systeniatiq!l-e auteur ge i'arrondl , "L e Pole Qptique 0,9235 ± }0,189 ne,permet pas de ramener b) i 11 bits.
7.7
Le filtre du paragraphe 7.2.2 peut avoir des auto-Qscillations d'an'lplitude infeneUJ;:e i
3q et de frequence voisine de fe/5. De m'erne pour Ie filtre de la figure 7.20.
7.8
Le filtre RII nece~ite 7 multiplications et 4 memoires alors que l~ RIF equivm¢nt
demande 8 multiplications et 16 memoites.
79
Fanchon de transfert :
1-1,165Z- 1+ Z- 2
1- 0,l98Z- 1 + Z- 2
.
H (Z) = 0,0625 1-1;404Z- 1 + 0,84 Z- 2 1-1,238Z-1 + 0,455 Z- l
aa
Jl =4832 Hz; f 2=7495 Hz; 11" ~4Hz ;
f'aGteursd'ec;helle.:a §=2---,J; a a =1- 1 ; a6=1.
...
7.10
",
.'•••"
l1f,=-3Hz.
Oydre theorique: N = 5~ 19; pour N = 6. 81. devient tn3s faible~ Nombre de bits des
coefficients: be =: i1 bits. Difference entre donnees internes et entree. : 7 bits .
~
c
.,••
B
CHAPiTRE 8
•c
a
c
•
'''a
u
a
15
~
~
•
~
-ca
,c
0
"
8.1
5_ _ 1
- z+ 2
[z 2J
2
l' ;
t=
[1-4/2 1+ ;:/2ZI2 ]
-z/2
1
Pour des circuits LC, prendre z = Ip + Ip ou Z =
.LC
1
Lp+ Cp
Exercices
436
8.2
I.e- diagramme est 'ceiui de 13 figure 8.3 avec·N = 6 et Y 6 = O. Pour
f.;= 40 kHz ; a1 ~a4 ~0,205;
a,~a3 ~ 0,085;
les codficients_sont mUltip1i€s par 4 pour Ie = 10 kHz.
8.3'
8.4
1
1
s 1
lises par des connectio~s directes de 1'entree de 1a branche centrale aux deux additionneurs. Valeurs d~s coefficients: a'j = 5,510- 4 ; a2 = 2~610-4 ; a:, = 2,410- 4 ; a4 = 4)610.- 4 ;
L,lLl ~ 0,097; L,/L, + LI LI ~ 0,32,
Coefficients:
0<1 = 0,4425; 0:3 = 0,1856; a 5 ~ 0,1793; 0<, ~ 0,7359
I.e circuit de la figure 8.2 peut et're utilise. Les produits- s~ . ~ et s~. -L sont reas~
~2 ~ 0,2255; B4 ~ IT,1781 ; ~6
= D,1944; ex; ~ D,7169
Avec be. = 5 bits Ie flltre d'onde .a mains d ~ondulations.
8.5
zeros du filtte en treillis : 0,6605; 0,6647 :±; jO,S020 apres (l.rrondi it 5 bits des k,.C
0,6661; 0,6377 ±jO,5002.
CHAPITRE 9
l-acos 2nJ
-a sin ~~J
+ j c;----o;---;;c-~~
1+a ' -2acos 2nJ
l+a'-2a cos2rr f'
9.1
X (I) ~
9.2
Calculer XI (00) par transfonnation de Hilbert; au ecrire
1[1
11
XR (CD) ~2 I -p. + I-p ,
9.3
Les sequences X"R(n) et xr (n) ont leurs tennes non nuls entrelaces. L'operation faite
1 . IT
par x (n) est un filtrage analytique ; y (n) ~ 2 e- I ' 5'
9,4
Nonibre de bits des coefficients : b, = 2 + ~ log, ( ~f ) + log, (~ ).
9.5'
Ordredu dephaseur:N = IOg(n10g(Y,
coeffictents , b, = log,
m (7, )
+ log,
%}
+ log,
(~ ) ,
Pourl'exemple du paragraphe 9.4 : N ~ 4,97; b, = 14 bits~
9.6
Fonctions de transfer!; :
H m(Z\~ ~1-2Z- 1+2Z-2 _ Z- 3+02
, 5Z- 4
HdZ) ~ 0,5 -1,5Z- 1 +2,2SZ-1 _1,5 2> 1+ 0,5Z- 4
HMCZ) ~0,25 - Z -i + 2Z~ ·j - 2Z-j + Z- 4
tJements de n§ponse et indications
9.7
437
Reponse en frequence du filtJ:e
H(t) ~ e-12<31 [0,5. + 0,5902 cos 2nf -0,1012 cos 6nfl
HCO) ~
H( ~ )~ 0,989 , 01~ 0, ~ 0,011 ; !1f~ ~.
Sortie dumodulateur IQ.
.
,
y (n) ~ 0,4945 e - i(" -514 + 0,0055 e1(" -')4
A pn3S sous-echantillonnage, en pasant n = 2p + 1
•
•
y(P) ~-0,4945e- IP 2 -0,OD55eiP~ .
Deux con'lp6santes i ~' et - ~ = 3 ~ .
9.S
Bande passante: [0; 0,25]; Qndu1ation : 4.10-': retard : 2T
CHAPITRE 10
10.1
Nombre de bits des coeffidents be. = 1, 2, 5, 6, 9 ~ 10, 10, 11, 14. Pour Ie filtre demibande : b, = 2 + 1b (110 m - 80).
102
Filtres dans 1a suite de trois filtres : Io.f ~ 0,4 avec M ~ 2; Io.f ~ 0,15 avec M ~ 3 ;
Io.{= 0,025 ave c M ~ 8. Bruit de caleu1 en sortie d'UD fi1tredernL.bande : 2M
i2'Apros
2
q2
1es3 filtres, PB~ 20 12'
10.3
a
...
",
'••"
La fonction peut se realiser avec un filtre demi-bande (M = 3) et un fiUre passe-bas a
54 coefficients, d'ou une capacite de calcul de. 264 ,kmultls. Une. realisation directe a
tOO coefficients conduit 400 kmult/s .
c
10.4
La TFD impaire correspond auil deca1<)ge en frequence de fe12N.
'..,••
10.5
Fonctions du reseau polyphase:
~
B
D (Z) (1 - 0,1954 Z- ' + 0,069 Z-2) (1 + 0,98Z- 1+ 0,51Z- 'J
•c
N 1(Z) ~ 1 + 7,806Z -1 + 9,718Z _2+ 3,773 Z - 3 + 0,1883Z- '
c
N>(Z) =3,713 (1 + 2,908 Z- 1+ 2,035Z- 1 + 0,317 Z-') .
0
•
'''0
u
0
15
~
~
•
~
-c0
,c
0
"
Le schema est comparable acehii de lafigure 10.1 ; cadence des mult.: 8f~/
Exercjces
438
CHAPITRE 11
ILl
Reponse en ftequenoe : H(t) ~ e-p"ifl" [0,904 COS'ITj + 0,234 COs 3'ITj - 0,1 cgs 5",1]
'IT
Signal de sortie:y en;) ~ 0,963 cos (n-2,S) 4
En sortie des filtres d.'.analysel arreS sous-echantillonnage ;
u, ,(n), ~ 0,963 cos(n - 2,5)
3'TT
''IT
4 + 0,963 cos(n -2,5) -4'IT
_
3''lT
"" (n) ~ 0,037 cos (n - 2,5) 4 + 0,037 cos (n - 2,5) -4-
Fonction de transfert totale :
T(2) ~Z-'[ -0,023+ 0,121 Z-2 + O,882Z-4 + 0,121 Z-h-0,023 Z-' ]
'IT
Signal reconstitue : _,' (n) = 0,g29 cos (n-~) 4
112
Fonctions de transfert de~ deux factelJ-fS
Facteur d'amplificatidn: i~ ~ 1;25
11.3
Reptendre la procedu;re du paragtaphe 11.3 sans imposer Ie zero double au pomt-1
pour H, (- Z)
1L4
Signaux<k.oftie:y, (n)~0,951co;(n-4 l ;
h (n) " 0,15 cos (n-'3) ;
I.e sous-echantillonnage introrJuit les composantes im;1ges aJa frequence 3/8.
On verifie queles composantes images s'annulent ala reconstitution.
11.5
L'eneur de reconstitution est bornee p"\f Ie pas de quantification multiplie parJe
double de 1a somnie des valeurs absolues des coefficients.
tJements de reponse et indications
439
CHAPITRE 13
13.1 Follctiol).AC: reO) ~ 1; r(l) ~ 0,7rJ7; r(2) ~ 0
Valeurs propres de R, : N ~ [2, 1, 0]
13.2
Pui.ssance- de sortie--;
En annulant les·derivees, il vi~nt :
sin 2w + CT6/2
a 1 =2cosw
13.3
1 + QS2. + 2 COS20)
[
sm2w+IT~(2+CT5) ;al =-11-V,S (1 + afY - cos w
J
7
1
'IT
.'IT
-
L
2'IT
Fonction AC : reO) ~ 1; r (l ) - (cos4 +cos-:3J r(2) ~ --'-cosT
2
4.
,
,
On verifie que les zeros du pr6dicteur se situent entre les points d'affixes ei"4 et ei "3
13.4
On verifie que les racmes des pol ynomes obtenues sont sude certIe unite et v6·rifient
Ie principe d~a1temance.
CHAPITRE 14
1
.
14.1 Constante de temps 't = "8; il taut 23 echantillons JX)ur que y (n) approche ma 1 % err
moyenne. Apres la transitioil, l'erteur quadratique est (jomiee par (11.39) . Lesestimateurs re.cursifs et non recursifs sont equivalents pour n -= ~ ~
14.2
Le flltre de prediction presente un affaiblissement infini ala frequence fe/8; d'ou :
al~y'2 ;
a2~-1.
avec un bruit o lil vie:nt :
1+20 2
1 )"
a1 ~''2
=''2(1-60
VL 1+'80 2 +"80 4.
VL
14.3
1
2
a1 = - 1+8 a 7 + 80 4 ~
~ - '(1 - 80 )
Fonction d'autocorrelation du .sigp.ai
Yo = Px·=
1
1
1
:3 ; .f .1 = "6 .; .r2 =12
Valeur optimale des coefficients : H ~p, = [2; -1; 0]
Avec bruit: H ~pj ~ [1,35 -0,50 -0,07]
440
Exerdces
Facteur d'amplification du bruit IIH op,ll : ~ 2,O~
De la reponse totale (Canal + egaliseur), on de9,uit la puiss'ance de. l'interference residuelle.
Valeur propre minirnale Amin = 0,235. On yerifie que Ia 'c onstante de temps en simulation correspond l'estimation avec ~Ulill"
a
14.4
Donner 1!expression de l'erreur de sor,tie e1:. techercher les valeurs d e-s coefficients qui
minimisent sa puissance.
On paurra commencer par ren'lplacer, dans la relation d'eilttee,...sortie dujiltte H (Z),
la sortie y (n) par la reference yen) et calculer les vaieurs optimales des coefficients
dans-ce cas.,
INDEX ALPHABETIQUE
A
A (Ioi de' quantificatiolllloD line-aire), 37 .
Adaptateur (liltre d'onde), 268.
Adaptatif (filtrage), 385.
Aigebrique (transformation), 103.
Algorithme de TFR, 54-59.
Algorithme du gradient, 385.
Algoritbme du signe., 399.
AlIlplitude d'un signal, 15.
A-N ~ co.nw-rsion Analogique -Numerique,5'l.
Allalytique (filtre RIF), 294.
Analytique (signal), 2$7 ,
Alllluleur d' ecbo, 420.
A posteriori (erreur), 387.
Appairage des poles et zeros, 238.
A priori (erreur), 387 ,
AR (modele Auto-Regressif), 380,403.
ARMA (modele Auto-Regressif aMoyelllle Adaptee).
403 .
AnOlldi (operatioQ), 35.
Auto-correlation (foll ction de) , 17,399.
Auto-oscillation, 199.
B
Bane de fillies, 67, 347.
Bande affaiblie, passante, de U3nsition, 129
Bande a3 dB, 182,237,
Bande equivalente de bruit, 183.
Base double, 61.
Bayard-Bode (relations de), 296.
Bessel-Parsevai (egalite de), 10,
Binaire (repre-sentations), 44.
Bit : chiffre binaire, 37 .
BLU (modulation a Bande. Lathale Unique), 293.
Bou<;les imbriq!lees, 259 .
Bruit blanc, IS .
Bruit Gaussien, IS .
Butterworth (filtre de), 210 .
Bruit de quantification, 33 .
Bruit de calcul
- TFD, 64.
- Filtre RIF, 153.
- Filtre RI1; 23S.
c
Cadrage, 153, 243.
Ca:Jcul des coefficients
- des filtres RIF, 12S-144.
- des filtres RIl, 206,
Capacite des memoires (calcul de), 245.
Cauchy (valeUI principale de), 283 .
Causal (sjgnal), 109, 2S1.
Cascade (structUIe), 228 .
Cellule de filtre
- premier ordre, 174.
- secbnd ordre, 179.
Circuit LC, 257 ,
Codage d'un signal, 37.
Codage optimal, 40.
Commande,11S.
Complement (representation en), 44.
Conditions initiales, 117, 178.
Constante de temps, 176, 391.
Convolution tapide,'72.
CoJ]voiution (definition), 11.
Cordie, 98 .
Cosinus (Transformee en co.sinus discrete), 92, 95 .
Covariance, 16.
Croisillon de TFR, 55 .
Cycle-limite (voir auto-oscillation) .
D
DCC : Dispositif a Commutation de Capacites, 263 .
Decibel, 21.
Deci mation, 307 .
Decomposition d'un filtre (multicadence), 311.
Decomposition (d'un_signal), .337.
Deformation en frequence
- bilineaire, 20S,
Index alphabetique
442
- siuusoYdaie, 260.
Demi-bande (filtre RIP), 144, 289, 317 .
Oephasage
- lineaire, 125.
- minimal, 157 .
Depbaseur a 90 P
- RIF,289.
- RI!,291.
Detection d'une frequence" 414 .
Deterministe. (signal), 15.
Deux dimensions (Filtre RIF a), 161.
Deux dimensions (Transfonnee en cosinus discrete a).
95 .
Differences (equation aux), 115.
DifferentiatelIT, 296.
Distributions, 12,
D-N (structure), 194.
Dolf-Tchebycheff (fonctioll), 131.
Durbin (procedure de), 380.
Dymimique de codagC; 35 .
E
Heart-type, 18.
EChantillonoage
- en frequence, 24.
- theoreme,25.
Echelle simulee (Blue en), 258,
Eche;lon unite, 175,2&3.
Echelon de quantification, 32.
EUiptiql\e (jiltre), 213 .
Encocbe (Filtre a), 190.
Elltreiacemenl frequelltiel, 57 ,
Eulreiacemellt temporel, 54"
Entropie,41.
EQM (erreur quadratique moyenne), 376
EQMM (erreur quadratiquemoyenne minimale), 379
Ergodidte (signal aleatoire), 17_
Erreur quadratique, 133, 220, 387.
Erreur residuelle, 393.
Etat (variabl e d'), 118.
Extremale (frequence), 138.
Filtie en treillis, 272, 344 .
Fletcher et Powel (algorithm_e), 221.
Fonctions modeles, 207 .
Fonctioll de. transferl en Z,116_
Fourier (analyse de) , 1.
Fourier (coefficients de), 8.
Fourier (serie de), 8.
Fourier (trausformee de), 9.
Fra,ction continue (developpement ell), 277 ,
Frequence d' echantil1onnage, 23 .
Frequence spatiale, 12.
G
Gabarit de filtre, 129_
Gain du systeme adaptatif, 396_
Gauss (1oi de), 18.
Gradient (Algorithme du), 385,
Graphe de fiuellce, 259.
H
Hilbert ( transformation de), 285_
Image (traitement), 162, 423 .
Impulsiop isolee, 10_
Impulsions (SUite de), 8.
Innovation, 118.
Intercorretation, 369 ,
Interspectre, 371.
Invariance impulsionnel1e, 207
Invarianc_e temporelle, 108.
Inversion biumre, 57.
Integrateur (circuit), 178.
Interpolateur, 297_
Interpolation, 26, 297.
IQ (in phase-quadra.ture), 290,
10 (modulateur) , 428.
K
Kirchhoff (Ioi de), 257 ,
Kronecker (produit de), 8Q .
F
Facteur de crete, 21.
Facteur d'echelle (cellule RII), 240 .
Fepetre d'analyse spectrale, 71
Fenetre (fo,nction), 71, 128.
Fermat (nombre de), 105.
Filtre en chalPe, 254 .
Filtre d'onde, 266.
Filtre prototytte~ 329 .
Filtre RIF, 122_
Filtre RII
- cel1ules,174 .
- general, 204.
L
Lagrange (interpolateur), 298.
Lagrange (formule d' interpolation), 140.
Laplace (ioi de), 21.
Lapped Transform (transform'e e avec r ecouvrement)
96 .
Limitation du nombre de bits
- TFD,6] ,
- Filtre RIF, 148,
- Filtre RH, 196.
Lpi normalereduite, i8_
log ~ logarithme base 10, 2L
Index alphabetique
443
log 2 : logarithme base 2 au billal, 42.
log 4 : logarithme base 4, 61,
In : logarithme lleperieQ (base e), n.orme ISO, 37 ,
M
Matrice d'autocorrelation, 373.
Matrice de permutation de TFD ~ 84 .
Matrice de TFD, 54.
MIC (Modulation par Impulsions et Codage), 414.
MIC-DA (MIC diffurelltiel Adaptatif), 414.
Modelisation,376.
Modulation (phase-amplitude), 293.
Moindres cartes, 133, ,385.
Monolat6rale (transformation en Z), 110
Multicadence (filtrage), 308.
Multifrequellce (code), 412,
Muliiporteuse (modulation), 425.
N
NA ; Conversion Numerique-Analogique, 35.
N-D (structure), 194.
Norll)aie (distribution), 18.
Norme d'nnefonction, 22 ,
NOll-retursif,l22.
Numerisation du signal, 7 .
o
Observation, 118,
OFDM,425 .
Olldelettes,33A .
Oudulations d'un filtre reel, 128,
Optimisation (calcul des coefficients par), 133, 219.
Ordre des cellules, 245.
p
Parasite (fOllCtiOll), 149, 232.
Parseval (egalite de), 9.
Partielle (transformee de Fourier'), 84.
Pas d'adaptation, 387.
Periode d'echantillonnage, 23.
Permanent (regime), 176.
Phase lineaire, minimale (voir depbasage) e
Pbase d' un signal, 15 ..
Pointe d'affaiblissemen.t infini, 213 e
Polaire (coordonnee), 181.
Pole, 116.
Polypbase (reseau), 329.
Ponderation (fonction de), 12.
Prediction lineaire, 378.
Prewitt, 162.
Pseudo-aleatoire (sequence), 31.
Pseudo-QMF,355 .
Pulsation (dlun signal), 15.
Q
QMF,335 .
QUaillature (filtre de), 289 .
Quadripole,254.
Quantification (operation de), 32.
R
Raideur de coupure (d'un filtre ), 129.
Rapport signal a bruit, 37.
Rayleigh, 21.
Recursif (filtre), 174.
Reconstitution (d'un signal), 337.
Reduction de rrequence d'ecbantil1onnage, 307 .
Remez (algoritbme de), 139.
Reponse en frequence, en phase, 15 .
Reponse impulsionnelle, 108_
ResidueU e.( erreur), 393.
Resolution spectrale, 70.
Resonance, 182.
RIF : Reponse Impulsionnelle Finie, 122 .
RII ; Reporrse lmpulsionnelle Infinie, 174 .
s
Sbannon (theoreme de l' echantillonnage), 27.
Sinus (Transformee en sinus discrete), 92 .
Signal aleatoire
- continu,16,
- discret,29.
Signal complexe,281.
Sobel, 162.
Spheroidal (fonctions), 221.
Spectre (d'un signal), 9.
Spectre (ca1cul de), 70e
Spline, 300,
Stabilite ( condition de), 109.
Stationnaire (signal aleatoiI'e), 16.
Structures de filtre RIF, 146.
Structures de filtre RI1, 192, 225 .
Suite unitaire, 108.
Systeme LIT, 108.
T
Tcbebycbeff (norme), 22,138,
TCD (Transformee en cosinus discrete), 92, 95'.
Temps de propagation de groupe, 15.
TDF ; Transformee de Fourier Discret~, 5Q,
TIDI : Transfonnee de Fourier Discrete Impalre, 86.
TFDII : Tranformee de Fourier Discrete Doubletnent
Impaire,89.
TFR : Transformation de Fourier Rapide. 53 ..
Transformation algebrique "103 .
Transformation bilineaire, 208.
Transformation d'un filtre passe-bas, 217 ..
Transformation sinusoid ale, 261.
444
Index alphabetique
Transformation en Z, liO.
Transformee avecrecouyremellt, 96.
Transitoire (regime), 176.
Treillis (filtre en), 272, 344,
TSD (TransfoflI\ee en sinus discre-te), 92.
TV numerique, 423 ,
U
UlT : Union Internationale des Telecommunications,
37 .
v
Valeur propre, 173.
Variance, 18.
Virgule (fixe, fJottante),37 .
w
W : Coefficient de base de la TFD, 53.
Wiener-Hopf (equation-s de), 377.
Winograd (algoritbme de), 101.
z
Z : Variable utilisee dans l'analyse des systemes discrets, 110.
Zero (d'uue fonction de transfert), 116.
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L pSFAISCEAUX J;IERTZ~S A-NALQGIQUES ET Nl}I>ffiRIQUES, par E. f\'ERNAl'U!1EZ et M. MA:rnIEu. A paraitre.
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D ELALOGIQUE cABL~'AUX MIGROP ROGESSBUR:;j par J.-M. B ERNARD et J. HUGON'.
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LA C0MMUNlCATION AU QU(]TIIJIEN. De 1a tradition et du changement
050162 - (I) - (1,5) - OSB 80°- CP2- ABS
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pi us en' pi u ~ V3StQ.
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MastQ r et des e leves des eco les d' i n8e n ie u rs qui 'des i rQ n't
con naitrQ le~ pri nc i pales tQch niq uQS de traitQ men\' n umEiriq ue
du si8nal.
Dans Ie domai ne d u traitQme ntd u si8nal, I~s tQch niq ues n um~
riq UQS apportQ ntau jou rd ' huides p=i bi Iitas Pred i8 ieusQS : une
con CQ ption ri80u reuSQ des systames, u ne rQpraj ucti bi Iita ais9Q'
dQS eq ui PQ me n~, unO! fia.bi Iita d QS caractaristiq uQS exploitoo~
Q! une facilita de sUPQ.rvision . caPQndant; O¥toch.niquQ;> pre'SQntQnt un certai n de8re ~d' abstraction . cat OUi ~ PQrmet de faciIitQr 1' =95 aux tQch niq uQS numeriq ues en rQl iant la th eorie at
la pratique,
Q;!t:te 8+ ed ition en tie rQ me nt rev jse~ preSQ nte des c hapiirQs
com pleme ntai I8S ati n' de montl8 r les con nex ions qUi ax iSi:e nt
entrQ les fi ItrQS ~ F QI les ondelet\9s. L' analyse QI la mod e.1isation des si8n·aux qUi s' i nte8rQnt de pi us en plu~ dans les
system QS sont e89.leme nt etud ioos.
C\;ls appl ications pratiq UQS QI'dQS Q;(elt; iCQs Corri89s sont prop:>seS8. la fin de chaque chapitlB Jin que Ie 19c!eU r'pui= val id.er de. man ierQ conc retQ SQS acq uis.
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ISBN 1. 1 005016.2 3:
:
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«! ~'u
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