Cours de maths 4ème : Projections

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A
B
C
D
N
E
F
G
M
(d)
(d')
2 3 4 5 6 7 8-1
2
3
4
5
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
A
B
C
D
N
E
F
G
M
PROJECTION
Cours de 4AS
1-Activités d’introduction
Activité 1 :
Dans la figure suivante on donne les points
A(2 ;3), B(4 ;1), C(- 1 ;0), D(3 ;2), E(2 ;0),
F(5 ;3), G(4 ;- 2), M(1 ;4) K(5 ;0) et N(6 ;- 1) et
les droites (d) et (d’) d’équations respectives
y x 5
= − +
et
1
y x 1
2
= −
1) Vérifier que :
• Le point D appartient à la droite (d),
• La droite (CD) est parallèle à (d’).
Le point D est l’intersection entre la droite (d) et la parallèle à (d’) passant par C.
On dit alors que le point D est l’image (le projeté) de C par la projection p sur (d) parallèlement à (d’).
2) Vérifier que les points C, D et F ont pour projeté sur (d) parallèlement à (d’), le point D.
3) Vérifier que :
• Le point N appartient à la droite (d),
• La droite (GN) est parallèle à (d’).

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4) Vérifier que les points E et B sont les milieux respectifs des segments
[
]
[
]
CK et DK
et que B est
l’image de E par p.
On constate alors que la projection conserve le milieu.
5) Comparer les longueurs du segment
[
]
CK
et son image
[
]
DK
par p.
On constate alors que la projection ne conserve pas les distances.
Activité 2
ABC est un triangle quelconque et D est un point de (AC) différent du milieu de
[
]
AC
.
1) Déterminer les images de A, B et C par la projection
1
P
sur (BC) parallèlement à (AB).
2) Construire le point E, image de D par
1
P
3) Construire le point F, image de E par la projection
2
P
sur (AB) de direction (AC)
4) Construire le point G, image de F par la projection
3
P
sur (AC) de direction (BC)
5) Quelle est la nature des quadrilatères AFED et FECG ?
6) En déduire que
AD EF
=
puis que
AD CG
=
.

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2-Définitions
Définition 1
Soient ( ) , ( ∆ ) deux droites sécantes et un point du plan.
La droite qui passe par et parallèle à ( ∆ ) coupe ( ) en un point
′
.
Le point
′
s’appelle le projeté du point M sur ( ) parallèlement à ( ∆ ) ou image de M par la
projection sur ( ) de direction ( ∆ ).
Définition 2 : ( Cas particulier :projection orthogonale)
Si deux droites ( ) et ( ∆ ) sont perpendiculaires, la
projection sur (D) parallèlement à ( ∆ ) est appelée
projection orthogonale, et on dit que M’est le projeté
orthogonal de M sur (D).
Exemple
ABCD est un carré de centre O, déterminer les projetés
orthogonaux
a. Du point A sur (CD)
b. Du point C sur (BD)
c. Du point B sur (AC)
d. Du point O sur (AC)
Solution

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3- Projeté d’un segment
Soient (D) et (D’) deux droites sécantes et
[
]
AB
un segment du plan. On considère la projection p sur
(D) parallèlement à (D’) .
(
)
AB
coupe les deux
droites (D) et (D’)
(
)
AB
et (D) sont parallèles
[
]
AB
et (D’) sont parallèles
Le projeté de
[
]
AB
est un
segment
[
]
A 'B '
de longueur
différente.
Le projeté de
[
]
AB
est un
segment
[
]
A 'B '
de même
longueur.
Le projeté de
[
]
AB
est le
point
A'
intersection de
(AB) et (D).
4- Propriétés
1) Dans une projection p sur une droite (D) parallèlement à une droite (D’), tous les points de (D) sont
invariants. Autrement dit : chaque point de (D) est confondu avec son projeté.
M (D) p(M) M
∈ ⇔ =
2) Dans une projection p sur une droite (D) parallèlement à une droite (D’), tous les points de (D’) ont
la même image : le point d’intersection de (D) et (D’).
M (D') p(M)
∈ ⇔
est l’intersection de (D) et (D’).
3) Lorsque le projeté d’un segment
AB
est un segment
A 'B'
alors le milieu I de
AB
se projette
en I’ milieu de
A 'B'
. Autrement dit la projection conserve les milieux.
4) La projection ne conserve pas les distances.
Application
Soit (D) et (L) deux droites sécantes et (AB) une droite
sécante à (L). On désigne par I le milieu de
AB
. On
considère la projection p sur (D) parallèlement à (L).
1) Construire les points A’,B’ et I’ images respectives de A, B
et I par p.
2) Marquer le point J intersection de (AB’) et (II’). Montrer
que J est le milieu de
AB'
puis déduire que I’ est le milieu
de
A B
′ ′
. (On pourra utiliser le théorème de droites de
milieux).

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5- Projection et rapports de distances
Propriété
La projection conserve les rapports de distances.
Exemple
Dans la configuration ci-contre
(
)
AA' //(BB')//(CC')
AB A'B'
AC A'C'
=
CB C'B'
AC A'C'
=
AB A 'B '
BC B 'C '
=
Application
Exemple de partage d’un segment en parties de même longueur
Pour partager un segment donné
[
]
AB
en sept parties de même longueur on peut effectuer le
programme suivant :
• Sur la figure, on construit une demi-droite
[
)
AX
d’origine A, non parallèle à (AB).
• On place sur
[
)
AX
sept points
1 2 6 7
A , A , ... A , A
tel que
1 1 2 2 3 6 7
AA A A A A =... =A A
= =
• On considère la projection p sur (AB) parallèlement à
(
)
7
BA
et on marque les points
1 2 7
B , B , ... B
images respectives de
1 2 6 7
A , A , ... A , A
par p, (On note que le point
7
B
est
confondu avec B).
• On a alors
1 1 2 2 3 6 7
AB B B B B =... =B B
= =
et le segment
AB
, est partagé en sept parties de
même longueur.
6- Exercices
Exercice 1
[
]
AB
est un segment de longueur 13 cm. Placer le point M tel que
3
AM AB
7
=
. Justifier la construction.
Exercice 2
Soit un triangle et et deux points définis par: 2
AI AC
3
=
et 2
AJ AB
3
=
1) Faire une figure et compléter la phrase : est le projeté de sur ( ) parallèlement à …..
2) Soit le milieu du segment [ ], la droite ( ) coupe ( ) en
a)
Donner l’image du segment
GM
par la projection p sur (AB) parallèlement à (BC)
b) Soit K le milieu de
AG
et K’ est l’mage de K par p. Que représente K’ pour
AJ
?