Cryptographie : Chiffrement, RSA et Tests de Primalité

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La Cryptographie
La cryptographie est un domaine essentiel pour protéger les données numériques dans un monde
de plus en plus connecté. Ce sujet explore comment les différents aspects de l'algèbre moderne
sont utilisés pour répondre aux défis de la sécurité offrant des solutions innovantes face aux
risques croissants liés aux informations sensibles.
La cryptographie transforme les données sensibles en informations sécurisées via des procédés de
chiffrement. Elle convertit les messages en formats inintelligibles garantissant leur
confidentialité et leur intégrité tout en accompagnant la transition vers un environnement
numérique plus sécurisé.
Positionnement thématique (ÉTAPE 1) :
- MATHEMATIQUES (Algèbre)
- INFORMATIQUE (Informatique pratique)
Mots-clés (ÉTAPE 1) :
Mots-clés (en français)
Cryptographie
Cryptanalyse
Chiffrement asymetrique
RSA
Test de primalité
Mots-clés (en anglais)
Cryptography
Cryptanalysis
Asymmetric encryption
RSA
Primarity test
Bibliographie commentée
La cryptographie joue un rôle fondamental dans la sécurisation des échanges d’informations à
travers différentes méthodes de chiffrement. Dès l’Antiquité, des techniques comme le
chiffrement de César, basé sur un simple décalage des lettres, ont été utilisées pour masquer les
messages [1]. Cependant, ces méthodes symétriques ont montré leurs limites face aux progrès en
cryptanalyse, ce qui a conduit à l’émergence du chiffrement asymétrique. En 1978, , Rivest
et ont publié un article: Shamir Adleman A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-
[2], dans lequel ils présentent le cryptosystème RSA, qui repose sur laKey Cryptosystems
difficulté de factoriser de grands nombres premiers. Ce système permet d’assurer la
confidentialité et l’authentification des messages grâce à une paire de clés : une publique pour

chiffrer et une privée pour déchiffrer. Le RSA repose fortement sur les propriétés arithmétiques
des nombres premiers, ce qui nécessite l’utilisation de tests de primalité efficaces pour générer
des clés sûres [3]. Parmi ces tests, on retrouve les méthodes probabilistes comme le test de
Miller-Rabin, qui permettent de vérifier si un nombre est premier avec un haut degré de
certitude [1]. Malgré la robustesse de RSA, plusieurs attaques cryptanalytiques ont été
développées pour tenter de le casser. L’attaque par fractions continues exploite le cas où l’
exposant secret est trop petit [4], tandis que l’algorithme LLL de réduction de réseau permet de
briser RSA lorsque certaines relations entre les paramètres sont mal choisies [5]. D’autres
attaques, basées sur la factorisation de en ses facteurs premiers et , remettent en questionN p q
la sécurité du RSA si ces nombres ne sont pas suffisamment grands ou s’ils sont trop proches l’
un de l’autre [4]. La cryptographie continue ainsi d’évoluer face aux avancées en cryptanalyse et
en informatique quantique, qui menacent les schémas classiques et nécessitent de nouvelles
approches pour garantir la sécurité des communications.
Problématique retenue
Dans quelle mesure la cryptographie permet-elle de convertir des données sensibles en
informations protégées tout en garantissant leur confidentialité et leur intégrité face aux
menaces numériques
Objectifs du TIPE du candidat
L’objectif est d’explorer les premières techniques de cryptographie et d’essayer de les
implémenter en programmation. Il s’agira également d’analyser certaines propriétés
arithmétiques des nombres premiers permettant de réaliser l’algorithme RSA, de programmer
différents tests de primalité, ainsi que d’étudier et implémenter quelques attaques sur le
cryptosystème RSA.
Références bibliographiques (ÉTAPE 1)
[1] CHRISTOF PAAR ET JAN PELZL : Understanding cryptography: a textbook for students
and practitioners
[2] R. L. RIVEST, A. SHAMIR ET L. ADLEMAN : A Method for Obtaining Digital
Signatures and Public- Key Cryptosystems : https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/359340.359342
[3] PIERRE ROUCHON : Arithmétique et Tests de Primalité : https://studylibfr.com/doc
/658008/arithm%C3%A9tique-et-tests-de-primalit%C3%A6
[4] SONG Y. YAN : cryptanalytic attacks on RSA
[5] ABDERRAHMANE NITAJ : Cryptanalyse De RSA : https://nitaj.users.lmno.cnrs.fr
/CryptRSA.pdf