CAVITÉ FABRY

GMEE109 - TD2 ∼ M1 - 2012–2013
TD2 :
C AVITÉ FABRY-P EROT
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2- Par la suite, nous nous plaçons dans le cas d’une incidence
normale, i.e., θ = 0. Nous supposons aussi les deux miroirs identiques de réflectivité r (R) en amplitude (intensité).
2a- Montrer que la transmission TFP en intensité du FabryPerot peut se mettre sous la forme d’une fonction d’Airy :
TFP =
1
,
1 + F sin2 (φ/2)
Nous étudions ici une cavité Fabry-Perot constituée de deux
miroirs plans de réflectivités (transmission) r1 (t1 ) et r2 (t2 ) en amplitude, distants d’une distance L. L’indice optique du milieu est où F, coefficient de finesse, sera explicité.
n entre les deux miroirs et 1 à l’extérieur.
2b- Déterminer les longueurs d’ondes et fréquences résonantes
dans la cavité, i.e., celles correspondant à un maximum de
transmission. Exprimer l’intervalle spectral libre, différence de
Ondes planes
fréquence entre deux fréquences résonantes successives, en fonction de L et n.
1- Considérons une onde plane dont l’amplitude E du champ Application numérique : prenons un laser He-Ne constitué d’une
cavité plan-concave pour laquelle L = 20 cm et n = 1. Calculer
électrique est exprimée sous la forme E = E0 expi (ω t−k z) , avec ω
l’intervalle spectral libre. Sachant que le laser émet autour de
la pulsation du champ, k la constante de propagation, t le temps
632 nm, quel est l’ordre du mode de résonance ?
et z la distance de propagation.
2c- Tracer l’allure de la fonction d’Airy en fonction de la
1a- Si θ est l’angle d’incidence à l’extérieur du Fabry-Perot,
déterminer l’angle α d’incidence sur les miroirs à l’intérieur de fréquence pour deux réflectivités différentes, en respectant relativement les minima et maxima de la fonction d’Airy, ainsi que
la cavité.
les largeurs spectrales des pics de résonance.
1b- Déterminer le déphasage φ entre deux ondes transmises
successivement à la sortie du Fabry-Perot en fonction de n, L, α, 3- Afin d’étudier plus en détail un pic de résonance, nous considérons par la suite un Fabry-Perot de grande finesse, i.e., F 1.
et de la longueur d’onde λ.
3a- En se plaçant autour d’une fréquence de résonance νN , nous
1c- En calculant la somme des ondes résultantes, déterminer le
champ total transmis en sortie du Fabry-Perot.
posons δν = νN − ν l’écart en fréquence à la fréquence résonante.
Montrer que la fonction d’Airy peut s’exprimer sous la forme
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d’une Lorentzienne :
TFP =
1
,
1 + (δν/Γ)2
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4a- Le champ électrique du mode fondamental Gaussien
s’exprime sous la forme :
2
ρ
ρ
w0
−(
)2
−i ( k z − Φ + k 2 R(z) )
exp w(z) exp
,
E = E0
w(z)
où Γ sera interprété physiquement et son expression explicitée en où Φ = atan(z/z ) est la phase de Gouy, z la distance de
R
R
fonction de n, L et F.
Rayleigh, w le rayon de mode, w0 le rayon de mode minimal,
3b- Une cavité est souvent caractérisée par deux quantités nor- R le rayon de courbure, et ρ la distance à l’axe de propagation.
• Déterminer le déphasage φ entre deux ondes transmises sucmalisées :
cessivement
à la sortie du Fabry-Perot le long de l’axe optique
- la finesse : rapport de l’intervalle spectral libre sur la pleine
(ρ = 0). Comparer ce résultat à celui obtenu dans le cas d’une
largeur spectrale à mi-hauteur,
- le facteur de qualité Q : rapport de la fréquence de résonance onde plane.
• Déterminer l’intervalle spectral libre. Compte tenu de l’ordre
sur la pleine largeur spectrale à mi-hauteur.
Exprimer la finesse en fonction de de la réflectivité R. Pour le du mode de résonance d’un laser tel que le laser He-Ne, comlaser He-Ne, calculer finesse et facteur de qualité en prenant une parer à l’intervalle spectral libre obtenu pour une onde plane.
réflectivité en intensité de 99,5 %.
3c- Supposons la présence d’une perturbation (fluctuation de
température, de pression, etc.) sur la longueur L et/ou l’indice
optique n. Comment est affectée la fréquence de résonance ?
4b- Le champ électrique des modes symétriques d’ordre
supérieurs (modes de Laguerre-Gauss) s’exprime sous la forme :
2
ρ
ρ
w0
−(
)2
−i (k z−(1+2 p) Φ+k 2 R(z) )
exp w(z) exp
L p ( X ),
E = E0
w(z)
où p est l’ordre du mode transverse et L p le polynôme de Laguerre d’ordre p.
- Déterminer le déphasage φ entre deux ondes transmises succesFaisceaux Gaussiens
sivement à la sortie du Fabry-Perot le long de l’axe optique.
- Les différents modes transverses résonnent-ils aux mêmes
fréquences ? Tracer l’allure du spectre en transmission pour une
4- Tout faisceau laser étant confiné transversalement, cavité Fabry-Perot supportant plusieurs modes transverses.
l’approximation en onde plane n’est que peu satisfaisante,
4c- Quel serait l’allure du spectre en transmission d’une cavla description en faisceaux Gaussiens est alors mieux adaptée.
Nous étudions par la suite les faisceaux Gaussiens dans une ité Fabry-Perot dissymétrique (transversalement) supportant des
modes d’Hermite-Gauss ?
cavité Fabry-Perot symétrique sous incidence normale.