CAVITÉ FABRY
GMEE109 -TD2 ∼M1 - 2012–2013 [email protected] 1
TD2 :
CAVITÉ FABRY-PEROT
Nous étudions ici une cavité Fabry-Perot constituée de deux
miroirs plans de réflectivités (transmission) r1(t1) et r2(t2) en am-
plitude, distants d’une distance L. L’indice optique du milieu est
nentre les deux miroirs et 1 à l’extérieur.
Ondes planes
1- Considérons une onde plane dont l’amplitude Edu champ
électrique est exprimée sous la forme E=E0expi(ωt−k z), avec ω
la pulsation du champ, kla constante de propagation, tle temps
et zla distance de propagation.
1a- Si θest l’angle d’incidence à l’extérieur du Fabry-Perot,
déterminer l’angle αd’incidence sur les miroirs à l’intérieur de
la cavité.
1b- Déterminer le déphasage φentre deux ondes transmises
successivement à la sortie du Fabry-Perot en fonction de n,L,α,
et de la longueur d’onde λ.
1c- En calculant la somme des ondes résultantes, déterminer le
champ total transmis en sortie du Fabry-Perot.
2- Par la suite, nous nous plaçons dans le cas d’une incidence
normale, i.e., θ=0. Nous supposons aussi les deux miroirs iden-
tiques de réflectivité r(R) en amplitude (intensité).
2a- Montrer que la transmission TFP en intensité du Fabry-
Perot peut se mettre sous la forme d’une fonction d’Airy :
TFP =1
1+Fsin2(φ/2),
où F, coefficient de finesse, sera explicité.
2b- Déterminer les longueurs d’ondes et fréquences résonantes
dans la cavité, i.e., celles correspondant à un maximum de
transmission. Exprimer l’intervalle spectral libre, différence de
fréquence entre deux fréquences résonantes successives, en fonc-
tion de Let n.
Application numérique : prenons un laser He-Ne constitué d’une
cavité plan-concave pour laquelle L=20 cm et n=1. Calculer
l’intervalle spectral libre. Sachant que le laser émet autour de
632 nm, quel est l’ordre du mode de résonance ?
2c- Tracer l’allure de la fonction d’Airy en fonction de la
fréquence pour deux réflectivités différentes, en respectant rel-
ativement les minima et maxima de la fonction d’Airy, ainsi que
les largeurs spectrales des pics de résonance.
3- Afin d’étudier plus en détail un pic de résonance, nous consid-
érons par la suite un Fabry-Perot de grande finesse, i.e., F1.
3a- En se plaçant autour d’une fréquence de résonance νN, nous
posons δν =νN−νl’écart en fréquence à la fréquence résonante.
Montrer que la fonction d’Airy peut s’exprimer sous la forme
d’une Lorentzienne :
TFP =1
1+ (δν/Γ)2,
où Γsera interprété physiquement et son expression explicitée en
fonction de n,Let F.
3b- Une cavité est souvent caractérisée par deux quantités nor-
malisées :
- la finesse : rapport de l’intervalle spectral libre sur la pleine
largeur spectrale à mi-hauteur,
- le facteur de qualité Q: rapport de la fréquence de résonance
sur la pleine largeur spectrale à mi-hauteur.
Exprimer la finesse en fonction de de la réflectivité R. Pour le
laser He-Ne, calculer finesse et facteur de qualité en prenant une
réflectivité en intensité de 99,5 %.
3c- Supposons la présence d’une perturbation (fluctuation de
température, de pression, etc.) sur la longueur Let/ou l’indice
optique n. Comment est affectée la fréquence de résonance ?
Faisceaux Gaussiens
4- Tout faisceau laser étant confiné transversalement,
l’approximation en onde plane n’est que peu satisfaisante,
la description en faisceaux Gaussiens est alors mieux adaptée.
Nous étudions par la suite les faisceaux Gaussiens dans une
cavité Fabry-Perot symétrique sous incidence normale.
4a- Le champ électrique du mode fondamental Gaussien
s’exprime sous la forme :
E=E0
w0
w(z)exp−(ρ
w(z))2exp−i(k z−Φ+kρ2
2R(z)),
où Φ=atan(z/zR)est la phase de Gouy, zRla distance de
Rayleigh, wle rayon de mode, w0le rayon de mode minimal,
Rle rayon de courbure, et ρla distance à l’axe de propagation.
•Déterminer le déphasage φentre deux ondes transmises suc-
cessivement à la sortie du Fabry-Perot le long de l’axe optique
(ρ=0). Comparer ce résultat à celui obtenu dans le cas d’une
onde plane.
•Déterminer l’intervalle spectral libre. Compte tenu de l’ordre
du mode de résonance d’un laser tel que le laser He-Ne, com-
parer à l’intervalle spectral libre obtenu pour une onde plane.
4b- Le champ électrique des modes symétriques d’ordre
supérieurs (modes de Laguerre-Gauss) s’exprime sous la forme :
E=E0
w0
w(z)exp−(ρ
w(z))2exp−i(k z−(1+2p)Φ+kρ2
2R(z))Lp(X),
où pest l’ordre du mode transverse et Lple polynôme de La-
guerre d’ordre p.
- Déterminer le déphasage φentre deux ondes transmises succes-
sivement à la sortie du Fabry-Perot le long de l’axe optique.
- Les différents modes transverses résonnent-ils aux mêmes
fréquences ? Tracer l’allure du spectre en transmission pour une
cavité Fabry-Perot supportant plusieurs modes transverses.
4c- Quel serait l’allure du spectre en transmission d’une cav-
ité Fabry-Perot dissymétrique (transversalement) supportant des
modes d’Hermite-Gauss ?
1
/
2
100%
