TD2 Signaux aléatoires et processus stochastiques

Chapitre2 Exercices:NotionsdeVariablesAléatoires
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Exercice1.2
Considérerl’expériencedujetdedeuxdés.SoitXlenombretotaldesfacesde2dés.Quelle
estlaprobabilitépourqueXsoitentre4et6.DéterminerP .Tracerladensitéde
(
X≥5
)
probabilitéetladistribution(fonctionderépartition)deX.
Exercice2.2
(a)Trouverlaconstantectellequelafonction = estunedensitéde
f
X
(
x
)
{
cx,0<x<3
0,otherwise
probabilité.
(b)CalculerP
(
1<X<2
)
(c)Trouverlafonctionderépartition(dedistribution) (x)
F
X
Exercice3.2
Calculerl’espérancemathématique(theexpectedvalue)despointsdansl’expériencedujet
d’undé
Exercice4.2
ConsidérerlavaXavecladensitédeprobabilitéillustréedanslaFigureci-dessous.
CalculerE
[
X
]
Trouverlavariance
σ
2
x
Exercice5.2
SoitXetYdeuxvaaveunedensitédeprobabilitéconjointe:
=
f
XY
(
x,y
)
{
+ , 0≤x≤1and 0≤y≤2
x
2
xy
3
0, otherwise

Chapitre2 Exercices:NotionsdeVariablesAléatoires
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Vérifierque estunedensitédeprobabilité
f
XY
(
x,y
)
Trouverlesdensitésmarginales et
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
CalculerP ,P etP
(
X>1/2
)
(
Y<X
)
(
Y< ∕X<1/2
1
2
)
Exercice6.2
(X,Y)estunevaàdeuxdimensions(two-dimensionalrandom variable)avecunedensitéde
probabilitécommec’estmontrédansletableau
1.Tracer
f
XY
(
x,y
)
2.Calculer et (2)
f
X
(
1
)
f
Y
3.EsqueXetYsontindépendantes.
SérieSupplémentaire
Exercice7.2
Considérerlafonction
=
f
X
(
x
)
{
+ δ , x≥0
1
2
e
-x
1
2
(
x-3
)
0, x<0
Tracer etvérifierqu’ellereprésenteunedensitédeprobabilité.
f
X
(
x
)
CalculerP(X=1),P(X=3)etP(X≥1)
Exercice8.2
LavariablealéatoireXaunedensitédeprobabilité

Chapitre2 Exercices:NotionsdeVariablesAléatoires
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=
f
X
(
x
)
{
x, 0<x≤1
2-x, 1≤x<2
0, otherwise
1.QuelleestlaprobabilitépourqueXsoitentre1/3et3/2
(
<X<
1
3
3
2
)
2.TrouverlamoyenneetlavarianceofX
3.Trouverlafonctiongénératrice(themomentgeneratingfunction)deX
4.TrouverlamoyennedeXàpartirdelafonctiongénératriceetcomparerlesdeux
résultats.
Exercice9.2
LavaXaunemoyenneE = etunedensitédeprobabilité:
[
X
]
2
3
=
f
X
(
x
)
{
α+β , 0≤x≤1
x
2
0, otherwise
1.Trouverαetβ
2.DéterminerE[ ]et
X
2
σ
2
x

Chapitre2 Exercices:NotionsdeVariablesAléatoires
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Solutions
Exercice1.2
P(X=4)=3/36=1/12;((1,3),(3,1),(2,2))
P(X=5)=4/36=1/9;((1,4),(4,1),(3,2),(2,3))
P(X=6)=5/36;((1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3))
Dumomentquelesévénementssontmutuellementexclusifs,
P =P +P +P(X=6)
(
4≤X≤6
)
(
X=4
)
(
X=5
)
où
P =1/12,P =1/9,etP =5/36
(
X=4
)
(
X=5
)
(
X=6
)
⇒P = =0.333
(
4≤X≤6
)
12
36
P =1-P =1- = =0.833
(
X≥5
)
(
X<5
)
[
P +P +P(X=4)
(
X=2
)
(
X=3
)
]
5
6
Lafonctiondensitéetlafonctiondistribution(fonctionderépartition)deXsontmontréssur
laFigure2.1

Chapitre2 Exercices:NotionsdeVariablesAléatoires
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(a) (b)
Fig.2.1(a)FonctiondensitédeX,(b)FonctionderépartitiondeX
LafonctiondensitédeXestécritepar:
f
X
(
x
)
=
1
36
[
δ +2δ +3δ +4δ +5δ +6δ +5δ +4δ +3δ +2δ +δ
(
x-2
)
(
x-3
)
(
x-4
)
(
x-5
)
(
x-6
)
(
x-7
)
(
x-8
)
(
x-9
)
(
x-10
)
(
x-11
)
(
x-12
)
]
Exercice2.2
(a) estunefonctionnon-négativepourxdonnés.Pourque soitune
f
X
(
x
)
f
X
(
x
)
unefonctiondensité,ontrouvelaconstantec,telque:
dx=1 ⇒c=2/9
3
∫
0
c∙x
alors:
=
f
X
(
x
)
{
x, 0<x<3
2
9
0, ailleurs
(b)P =
(
1<X<2
)
∫
2
1
xdx= =0.333
(
2
9
)
1
3