Y. A. M ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam Sér i es:TSE DEVOI RDE MATHÉMATI QUES EXERCI CE1 Lepl an ⃗ ⃗ c ompl e xee s tmunid’ unr e pè r eor t honor médi r e c t( O;u,v) . 1° /Ondonnedansl ’ e ns e mbl eℂde snombr e sc ompl e xe sl ’ é quat i on( ): 3 2 ) ) z+126i=0 z +( z +( 1+i 4i a)Mont r e rque( )adme tunes ol ut i onr é e l l equ’ onnot e r az1 b)Ac he ve rl ar é s ol ut i ondel ’ é quat i on( ) .Ondé s i gne r aparz2e tz3l e saut r e ss ol ut i onsde ( )ave cRe ( z2)<Re ( z3) . 2° /A,Be tCs ontl e spoi nt sde d’ af f i xe sr e s pe c t i ve sz1,z2e tz3.Pl ac e rl e spoi nt sA,Be tC. Que le s tl anat ur edut r i angl eABC? 3° /Onc ons i dè r el at r ans f or mat i onhde { M’ (x;y')telque: ' ' dans quiàt outpoi ntM( s oc i el epoi nt x; y)as 1 x=2x' 2 y=2y- ze tz’é t antl e saf f i xe sr e s pe c t i ve sdeM e tM’ Expr i me rz’e nf onc t i ondez.Donne rl anat ur edel at r ans f or mat i onhe tpr é c i s e rs e sé l é me nt s c ar ac t é r i s t i que s . EXERCI CE2: Unl abor at oi r eder e c he r c heé t udi el ’ é vol ut i ond’ unepopul at i onani mal equis e mbl ee nvoi ede di s par i t i on.Cel abor at oi r eme taupoi ntunt e s tdedé pi s t agedel amal adi er e s pons abl ede c e t t edi s par i t i one tf our ni tl e sr e ns e i gne me nt ss ui vant s:≪Lapopul at i ont e s t é ec ompor t e 50% d’ ani mauxmal ade s .Siunani male s tmal ade ,l et e s te s tpos i t i fdans99% de sc as;s iun ani maln’ e s tpasmal ade ,l et e s te s tpos i t i fdans0, 1% de sc as ≫. Onnot eM l ’ é vé ne me nt≪l ’ ani male s tmal ade ≫e tTl ’ é vé ne me nt ≪l et e s te s tpos i t i f ≫. 1° /Dé t e r mi ne rl e spr obabi l i t é sp( M) ,p( T/ M)e tp( T/ s tl ’ é vé ne me ntc ont r ai r edeM. M)où M e 2° /Endé dui r el apr obabi l i t ép( T) .Onr e mar que r aqueT=( M∩T)∪( . M ∩T) 3° /Lel abor at oi r ee s t i mequ’ unt e s te s tf i abl e ,s is aval e urpr é di c t i ve ,c ’ e s t–àdi r el a Devoi rdeMat hémat i quess uj etN° 2 Page1 Y. A. M ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam pr obabi l i t équ’ unani mals oi tmal ades ac hantquel et e s te s tpos i t i f ,e s ts upé r i e ur eà0, 999.Ce t e s te s t i lf i abl e? PROBLÈME: ( ) -x -2x A/ /. Onc ons i dè r el af onc t i onnumé r i quefdé f i ni es urℝ parf ( x)=8e e . 8( e1) x 1° /Dé mont r e rque ,pourt outr é e lx,f ( x)= 2x e 8( 2e) x 2° /Dé mont r e rque ,pourt outr é e lx,f‘ ( x)= ;f‘dé s i gnantl af onc t i ondé r i vé edef .En 2x e dé dui r el es i gnedef‘( x) . 3° /a)Dé t e r mi ne rl al i mi t edefe n+∞.Donne runei nt e r pr é t at i ongr aphi quedur é s ul t at f ( x) .I nt e r pr é t e rgr aphi que me nt x b)Dé t e r mi ne rl al i mi t el or s quext e ndve r s-∞ def ( x)e tde c er é s ul t at . 4° /Donne rl et abl e audevar i at i ondef . 5° /Tr ac e rl ac our ber e pr é s e nt at i ve( )defdansunr e pè r eor t hogonal( uni t é s:4c me n abs c i s s e se t2c me nor donné e s ) . B/ / . Oni nj e c t eàl ’ i ns t antt=0unes ubs t anc edansl es angd’ unani mal .Al ’ i ns t antt( tpos i t i f e xpr i mée ns e c onde s ) ,l ac onc e nt r at i onydes ubs t anc ei nj e c t é ee s t: ( ) -t -2t y=8e e . Onappe l l e≪c onc e nt r at i on≫l er appor te nt r el aquant i t édul i qui dei nj e c t ée tl aquant i t édu s angquil ec ont i e nt . 1° )Enut i l i s antl e sr é s ul t at sdel apar t i eA/ ,donne rl et abl e audevar i at i ondel a c onc e nt r at i one nf onc t i ondut e mpst ,tpos i t i fe xpr i mée ns e c onde s . 2° )Auboutdec ombi e ndet e mpsl ac onc e nt r at i one s t e l l emaxi mal e?Ondonne r auneval e ur appr oc hé epardé f autdec er é s ul t atauc e nt i è medes e c onde s . 3° )Cal c ul e rauboutdec ombi e ndet e mpsl ac onc e nt r at i on≪r e t ombe ≫auquar tdes a val e urmaxi mal e . 4° )Cal c ul e runeval e urappr oc hé edef ( 9) . Devoi rdeMat hémat i quess uj etN° 2 Page2