FEM 01 Introduction à la FEM

ESTP – Cours d’éléments finis – J Poulain
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INTRODUCTION AUX ELEMENTS FINIS
1 POURQUOI LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ? 2
1.1 Aspect historique : résolution par la méthode des déplacements 2
1.2 Aspect historique : recherche d’une solution approchée par les méthodes énergétiques 3
1.3 Vers l’approche locale 5
2 EXEMPLE SUR UNE BARRE 5
2.1 Résolution par les équations de Bresse 5
2.2 Résolution par la méthode de Galerkin 6
2.3 Résolution par la méthode des éléments finis 12
3 CONCLUSION 15

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1 POURQUOI LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ?
1.1 Aspect historique : résolution par la méthode des déplacements
Le comportement des structures est régi (modélisé) par des équations différentielles qui trouvent des solutions
analytiques que dans des cas très limités de chargements et de géométries.
Par exemple, l’équation différentielle qui régit le comportement linéaire d’une plaque mince dans le plan (x,y)
est donnée par l’équation différentielle (équation de Lagrange, 1811) :
Où est la déformée selon z ,  le chargement vertical et  
 est la rigidité à la flexion de la plaque.
Cette équation différentielle de 4ème ordre trouve des solutions pour des chargements constant ou à variation
limitée et pour des géométries réduites : plaques circulaires, plaques rectangulaires principalement.
Dans le cas d’une plaque simplement appuyée sur son contour, Navier a proposé en 1820 une solution en
procédant à un développement de  et  en double série trigonométrique :
Et a ainsi pu établir :  
Où
La connaissance de l’expression de  permet d’accéder aux efforts internes. Par exemple, les moments de
flexion sont reliés à la déflexion  par les relations :

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Les contraintes dans les matériaux peuvent ensuite être déduites des moments de flexion :
Il est intéressant de noter que la résolution du problème passe par la recherche de l’expression de la déformée
de la structure, pour en déduire ensuite les efforts internes, contraintes et déformations. Cette méthode est
ainsi à rapprocher de la méthode des déplacements vue en RDM ou de la méthode de résolution matricielle des
structures à barres ou en poutre : on cherche à déterminer les inconnues de déplacement au nœuds des barres
ou poutres, pour en déduire les déformations et contraintes.
1.2 Aspect historique : recherche d’une solution approchée par les méthodes énergétiques
Les équations différentielles qui régissent le comportement d’un solide ne trouvant pas de solution exacte sous
forme close (expression explicite) ou sous forme de développement en série, on a recherché au cours du 19ème
et début du 20ème siècles des expressions approchées de  qui respectent les conditions aux limites. Les
méthodes qui ont été développées reposent sur une approche énergétique : minimisation du potentiel interne
(Ritz) ou application du théorème des travaux virtuels (Galerkin, Vlasov).
La méthode de Galerkin repose sur l’écriture de l’équilibre élémentaire d’une dalle. Considérons une soumise à
un chargement quelconque  et notons  sa déflexion sous l’effet du chargement.
L’équation d’équilibre élémentaire s’écrit : 
Pour chaque variation arbitraire de la déflexion , il vient également, au niveau élémentaire :
Où représente le travail des efforts internes et  représente le travail des efforts extérieurs
Ainsi, à l’échelle de la plaque, pour toute variation arbitraire du champ de déplacement réel , il vient :
( 1)
Cette équation constitue le théorème des travaux virtuels.
Considérons maintenant une déflexion approchée, cinématiquement admissible (c’est-à-dire respectant les
conditions aux limites), sous la forme : 
Toute variation arbitraire de  peut être obtenue par une variation d’un paramètre  :
Pour que la déflexion approchée soit solution du problème, elle doit respecter le théorème des travaux virtuels :
( 2)
Il s’ensuit :

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( 3)
Qui peut s’écrire sous la forme :
On obtient ainsi un système d’équations linéaires à coefficients  que l’on sait résoudre. On peut par ailleurs
noter que, les fonctions  étant choisies de manière à respecter les conditions aux limites, elles ont une forme
canonique telle que définie dans la Figure 1 et les intégrales du type :
ont donc des valeurs bien définies, calculées à l’avance et disponibles dans la littérature.
Figure 1 : fonctions de forme respectant les conditions aux limites
Les méthodes énergétiques (variationnelles) constituent une avancée importante dans la résolution de
problèmes complexes. Elles nécessitent cependant le recours à un nombre élevé de fonctions de forme pour se
rapprocher de la solution exacte de la déformée, surtout lorsque le champ de chargement présente de fortes
variations ou des singularités. Par ailleurs, ces méthodes, bien qu’approchées, recherchent une solution à
l’échelle globale de la structure et reposent sur des fonctions de formes de type polynomial, sinusoïdal ou
hyperbolique.

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1.3 Vers l’approche locale
Un double mouvement s’est opéré au milieu du 20ème siècle, permis par le développement des calculs
informatiques : celui de la discrétisation d’une structure en petits éléments et le recours au calcul matriciel.
Ainsi, un solide peut être vu comme un assemblage d’éléments de tailles pour ou moins grandes et de formes
plus ou moins complexes. Les inconnues à résoudre sont les déplacements des nœuds qui forment le contour
des différents éléments. Ainsi, dans le cadre d’une structure élastique linéaire, la relation Force-Déplacement
peut s’écrire de manière générale : 
Où :
 est le vecteur des forces nodales
 est le vecteur des déplacements nodaux
 est la matrice de rigidité de la structure.
La matrice de rigidité de la structure est obtenue à partir des matrices de rigidité élémentaires (ie de chaque
élément) suivant les techniques d’assemblage vues dans le cadre des calculs matriciels des structures. La
matrice de rigidité d’un élément dépendra bien sûr des caractéristiques des matériaux , de la géométrie
de l’élément et de la manière dont est approché le champ de déformation à l’intérieur de l’élément (champ de
déformation linéaire, quadratique).
Comme vu dans le cours sur les méthodes matricielles, la construction du vecteur Force est obtenue soit par des
efforts directement appliqués aux nœuds, soit, lorsqu’il s’agit de forces appliquées sur les éléments, de forces
nodales équivalentes, basées sur des méthodes énergétiques.
2 EXEMPLE SUR UNE BARRE
Prenons l’exemple d’une barre OAB, encastrée en O, de longueur 2L, de module E et de section transversale A.
La première moitié OA est soumise à un chargement longitudinal de traction d’intensité variable 
.
Nous allons établir l’expression de l’allongement de la barre  suivant trois méthodes :
- La méthode de référence, par intégration des équations de Bresse,
- La méthode de Galerkin,
- La méthode des éléments finis.
2.1 Résolution par les équations de Bresse
Il convient d’abord de calculer la réaction d’appui horizontal en O :
L’effort normal a pour expression :