2-Ensembles

Cours d’algèbre 1
Filière MIP-MIPC
premier semestre
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Chapitre : Ensembles
(Logique (partie 2))
Karim KREIT
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Table des matières
1Ensembles et applications ............................................ 4
1.1 Ensembles ............................................................................................... 4
1.1.1 Définitions et notations ..................................................................... 4
1.1.2 Ensemble défini par une forme propositionnelle .................................. 4
1.1.3 Sous-ensembles ............................................................................... 5
1.1.4 Opérations de base sur les ensembles ............................................... 6
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1. Ensembles et applications
1.1 Ensembles ............................................................... 4
1.1 Ensembles
1.1.1 Définitions et notations
Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments qu’on écrit entre deux acco-
lades. Vous connaissez déjà quelques ensembles :
•l’ensemble des entiers naturels N={0,1,2,3,...}.
•l’ensemble des entiers relatifs Z={...,−2,−1,0,1,2,...}.
•l’ensemble des rationnels Q=np
q|p∈Z,q ∈N\{0}o.
•l’ensemble des réels R, par exemple 1,√2, π, ln(2),. . .
•l’ensemble des nombres complexes C.
•des ensembles d’objets divers comme
{0,1},{rouge,noir},{a,b,c,d,...}=N.
•Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅, c’est l’ensemble qui ne contient
aucun élément.
•Soit Eun ensemble si xest un élément de Eon note
x∈E
et x<Edans le cas contraire.
1.1.2 Ensemble défini par une forme propositionnelle
Soit P(x) une forme propositionnel sur E. L’ensemble Fdes éléments xvérifiant
P(x) est noté par:
F={x∈E:P(x)}={x∈E,P (x)}={x∈E|P(x)}
Definition 1.1.
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Chapitre 1. Ensembles et applications
Exemple 1.1 •nx∈R| |x−2|<1o,nz∈C|z5= 1o,nx∈R|06x61o= [0,1].
•Le singleton {a}={x:x=a}.
•Le cercle du plan C={(x,y)∈R2:x2+y2= 1}.
1.1.3 Sous-ensembles
Soit E,Fet Gtrois ensembles quelconques.
Ont dit que Eest inclus dans Fest on note E⊆Fsi et seulement si chaque élément
de Eest un élément de FAutrement dit:
E⊆F⇔(∀x∈E:x∈F).
On dit alors que
•Eest un sous-ensemble de F.
•Eune partie de F.
•Eest contenu dans F.
•Fcontient Eet on note F⊇E.
La négation de E⊆Fest notée E&Fc.a.d
(E⊆F)⇔(∃x∈E:x<F)
Definition 1.2 (Inclusion).
L’inclusion d’ensembles possède les propriétés suivantes:
Propriétés •∅⊆E.
•E⊆E(réflexivité).
•(E⊆Get G⊆F) =⇒E⊆F. (transitivité).
•(E⊆Fet F⊆E)⇐⇒ E=F. (égalité de deux ensembles).
•E,F⇔(E&F ou F &E). (Négation).
Exemple 1.2 •N⊆Z⊆Q⊆R⊆C.
•[0,1] &[−3,1[.
•E={a,b, c}={b,a,c}={c,a,b, b, c}.
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