partiel hydro 24 corr

Licences L3 de Physique, LDDPC et LDDGP
M´ ecanique des Fluides - Phys-A311
Universit´ e Paris-Saclay
Ann´ ee universitaire 2024-2025
Partiel de M´ ecanique des Fluides
Jeudi 31 octobre 2024, dur´ ee 2h
Le bar` eme affich´ e est ` a titre indicatif uniquement et pourra ˆ etre modifi´ e.
I. Tube de Venturi (4 points)
Un tube de Venturi est un tube destin´ e` a mesurer la vitesse d’´ ecoulement d’un fluide. Il se compose d’un
convergent conique prolong´ e par un col cylindrique et suivi d’un divergent conique. Le fluide utilis´ e dans le
Venturi est de l’air de masse volumique ρ= 1 kg m−3. On consid` ere l’´ ecoulement d’air comme l’´ ecoulement
stationnaire d’un fluide parfait incompressible. La vitesse est uniforme sur une section donn´ ee, elle est not´ ee
U1et U2respectivement dans les sections S1et S2. La section d’entr´ ee du convergent est S1= 4 cm2et le
rapport des sections est S1/S2= 10.
Les points 1 et 2 sont branch´ es sur un tube en U, de section sn´ egligeable devant S2, contenant du mercure de
masse volumique ρHg = 13,6.103kg m−3. La diff´ erence de hauteur de mercure est not´ ee ∆h. On rappelle que
la pression varie de fac¸on hydrostatique dans la direction transverse ` a un ´ ecoulement parall` ele et on admet que
l’acc´ el´ eration de la pesanteur est g'10 m/s2.
∆h
U1
S1
S2, U2
12
g
FIGURE 1 – Tube de Venturi.
1. Exprimer la diff´ erence de pression p1−p2en fonction de la vitesse U2dans le col et de la masse
volumique ρ. Quel est son signe et que cela implique-t-il?
On applique le th´ eor` eme de Bernoulli entre les points 1 et 2. On en d´ eduit que
p1−p2=1
2ρU2
2−U2 1.
La conservation du d´ ebit impose, par ailleurs, que
U1
U2
=S2
S1
=1
10.
1

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Ainsi, la diff´ erence de pression devient
p1−p2=1
2ρU2
2
1−S2
S12
| {z }
negl.
'1
2ρU2
2>0.
Il y a donc une d´ epression qui apparaˆ ıt dans le col du fait de la survitesse.
2. Exprimer U2en fonction de la diff´ erence de hauteur de mercure ∆h. Faire l’application num´ erique
dans le cas o` u on mesure ∆h= 2 mm. En d´ eduire le d´ ebit d’air dans le Venturi que vous exprimerez en
L/min.
Il n’y a pas d’´ ecoulement dans le tube en U de section sn´ egligeable par rapport ` aS2. On
applique la loi de l’hydrostatique et on en d´ eduit que
p1−p2=ρHg g∆h'1
2ρU2
2.
La vitesse dans le col est alors donn´ ee par
U2'r2ρHg
ρg∆h'23,3m/s.
Le d´ ebit d’air dans le Venturi vaut dans ce cas
Q=U2S2= 9,3.10−4m3/s = 56 L/min.
II. La balance hydrostatique (6 points)
En 250 avant J´ esus-Christ, le roi Hi´ eron II de Syracuse commanda une couronne en or pour l’offrir aux dieux.
Il remit ` a l’orf` evre la quantit´ e d’or n´ ecessaire ` a sa confection. Lorsque la couronne fut achev´ ee, elle ´ etait ma-
gnifique et sa masse correspondait exactement ` a celle de l’or fourni. Cependant, le roi nourrissait des soupc¸ons
et demanda ` a son ami Archim` ede, alors ˆ ag´ e de 22 ans, de v´ erifier si la couronne ´ etait bien enti` erement en or ou
si l’artisan avait utilis´ e de l’argent. Cette v´ erification devait ´ evidemment se faire sans alt´ erer la couronne. De
plus, la forme complexe de cette derni` ere ne permettait pas un calcul direct de son volume.
Archim` ede trouva alors un moyen de d´ eterminer si la couronne ´ etait v´ eritablement en or, en inventant une
balance hydrostatique permettant de mesurer la masse volumique de la couronne et de la comparer ` a celle de
l’or. De nos jours, les balances hydrostatiques sont encore utilis´ ees en gemmologie pour tester la qualit´ e des
pierres pr´ ecieuses.
On consid` ere un r´ ecipient cylindrique de rayon constant R= 4 cm, rempli d’eau jusqu’` a une hauteur h(fi-
gure 2 (a)). L’axe Oz est orient´ e vers le haut, la surface libre de l’eau, en z=h, est soumise ` a la pression
atmosph´ erique p0. La masse volumique de l’eau est ρ= 103kg/m3et l’acc´ el´ eration due ` a la pesanteur vaut
g'10 m/s2. Le r´ ecipient, une fois rempli d’eau, est pos´ e sur une balance dont la tare a ´ et´ e prise lorsque le
r´ ecipient ´ etait vide.
1. Rappeler l’´ equation de l’hydrostatique et d´ eterminer l’expression de la pression avec l’altitude z.
L’´ equation de l’hydrostatique est ∇p=ρ g . On en d´ eduit que
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p0
h
p0
h’
0
z
g
balance
(a)
p0
(b)
p00
z
FIGURE 2 – (a) R´ ecipient rempli d’eau sur une hauteur h. (b) On immerge la pierre pr´ ecieuse dans l’eau en la
suspendant par un fil. Le niveau de la surface libre est en h0
∂p
∂z =−ρg ⇒p(z) = p0+ρg (h−z),
`
a l’aide de la condition aux limites p(z=h) = p0.
2. Exprimer la force de pression r´ esultante s’exerc¸ant sur le fond du r´ ecipient en z= 0 et la comparer au
poids du volume d’eau contenu dans le r´ ecipient.
La force de pression r´ esultante exerc´ ee par l’air et l’eau sur la paroi du fond est donn´ ee
par
Fp= (p(z= 0) −p0)πR2=ρg h πR2
| {z }
Volume d’eau
,
et correspond au poids du volume d’eau dans le r´ ecipient.
3. Archim` ede immerge cette fois la couronne, de volume Vet de masse volumique ρc, dans l’eau en la
suspendant par un fil (la couronne ne repose pas sur le fond du r´ ecipient) comme illustr´ e sur la figure 2
(b). Le r´ ecipient contient toujours le mˆ eme volume d’eau, la nouvelle hauteur d’eau est not´ ee h0et on
n´ eglige le volume du fil.
(a) Exprimer le volume de la couronne Ven fonction de R,het h0.
Lorsque Archim` ede immerge la couronne dans l’eau, le niveau d’eau passe de h` ah0. On
en d´ eduit que le volume de la couronne est donn´ e par
V=h0−hπR2.
(b) Exprimer la nouvelle pression qu’exerce l’eau sur le fond du r´ ecipient en z= 0 en fonction de p0,
ρ,g,h,Ret V. En d´ eduire que la force de pression r´ esultante peut s’´ ecrire sous la forme
Fpz= (M1+M2)g.
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Identifier M1et M2et en d´ eduire la diff´ erence de hauteur, ∆h=h0−h, si l’exc` es de masse mesur´ ee
par la balance en pr´ esence de la couronne dans l’eau est de 31 g.
La variation de la pression avec zest donn´ ee par p(z) = p0+ρg (h0−z)une fois que
la couronne est immerg´ ee dans l’eau. On en d´ eduit que la pression qu’exerce l’eau sur la
paroi du fond est
p(z= 0) = p0+ρgh0=p0+ρg h+V
πR2.
On en d´ eduit alors que la force de pression r´ esultante exerc´ ee par l’air et l’eau sur la paroi
du fond
Fp= [p(z= 0) −p0]πR2=ρg h+V
πR2πR2=
ρπR2h
| {z }
M1
+ρV
|{z}
M2
g.
M2correspond ` a l’exc` es de masse mesur´ ee par la balance (masse de fluide d´ eplac´ e).
Connaissant M2, on peut en d´ eduire que
∆h=M2
ρπR2'6,2mm.
(c) En d´ eduire la masse volumique de la couronne ρcsi sa masse est M= 440 g. Comparer cette
densit´ e` a celle de l’or, ρor = 19,3g/cm3, et conclure.
La masse volumique de la couronne est donn´ ee par
ρc=M
πR2(h0−h)'14,2g/cm3< ρor.
Les soupc¸ons du roi ´ etaient donc bien l´ egitimes.
III. Vase de Tantale (10 points)
Le vase de Tantale est un dispositif qui peut, dans certains cas, pr´ esenter des oscillations de relaxation p´ eriodiques.
Le r´ eservoir, de section Sconstante et de hauteur H, est aliment´ e en permanence par un robinet Rimposant
un d´ ebit volumique d’eau Q0constant (figure 3 (a)). Un siphon, de section constante s, permet de vidanger
le r´ eservoir (figure 3 (b)). On oriente l’axe Oz vers le haut, l’origine z= 0 ´ etant prise au niveau du fond du
r´ eservoir. L’entr´ ee du siphon est situ´ ee en z=H1, le haut du siphon en z=H2et la sortie du siphon en
z=−H0. L’ensemble est plong´ e dans l’air de pression atmosph´ erique p0et l’acc´ el´ eration de la pesanteur est
not´ ee g.
La figure 3 (a) illustre la phase de remplissage du r´ eservoir ` a d´ ebit constant. Une fois que le siphon est amorc´ e
(figure 3 (b)), l’eau s’´ ecoule dans le tube de section sS, de sorte que le r´ eservoir peut se remplir puis se
vider selon les d´ ebits d’alimentation Q0et de vidange Qv. On note Aun point de la surface libre de l’eau dans
le r´ eservoir et Bun point ` a la sortie du siphon. On suppose l’´ ecoulement d’un fluide parfait et incompressible.
L’objetif de ce probl` eme est de d´ eterminer l’´ evolution temporelle de la hauteur d’eau dans le r´ eservoir en
fonction du d´ ebit d’alimentation Q0.
1. Le r´ eservoir est initialement vide (figure 3 (a)). On s’int´ eresse ` a la phase de remplissage du r´ eservoir.
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(a) D´ eterminer la loi d’´ evolution de h(t).
La variation de la hauteur d’eau est impos´ ee par le d´ ebit d’alimentation et la section du
r´ eservoir telle que
Sdh
dt =Q0.
On obtient ainsi, apr` es int´ egration, que
h(t) = Q0
St,
compte tenu que h(0) = 0.
(b) Exprimer la condition sur la hauteur d’eau hau point Apour que le siphon s’amorce en phase de
remplissage (c’est-` a-dire qu’un ´ ecoulement prenne place dans le siphon sans intervention ext´ erieure)
et en d´ eduire le temps de remplissage τRpour amorcer le siphon.
Le siphon est amorc´ e d` es que h(τR) = H2. On en d´ eduit que le temps d’amorc¸age du
siphon est
τR=SH2
Q0
.
2. On consid` ere maintenant que le siphon est amorc´ e et la hauteur d’eau h(t)est quelconque (figure 3 (b)).
(a) On consid` ere que la hauteur d’eau h(t)n’´ evolue que tr` es lentement et l’´ ecoulement peut ˆ etre
consid´ er´ e comme quasi-stationnaire. Justifier que la vitesse au point Aest n´ egligeable par rapport
p0
Q0
Q0p0
0
H0
H2
H
z
h(t) A
B
p0
RR
(a) (b)
g
Qv
H1
FIGURE 3 – Vase de tantale : (a) phase de remplissage avec un d´ ebit d’alimentation Q0et (b) phase o` u le siphon
est amorc´ e de sorte que l’eau s’´ ecoule au point Bavec un d´ ebit de vidange Qv.
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