Analyse numérique I Résolution des équations non linéaires dans IR BENSAID.N Chapitre 1 Résolution des équations non linéaires dans IR. I. Introduction : Soit 𝐹𝐹 : une application continue. On veut déterminer les solutions de 𝑓(𝑥) = 0 ou 𝑓𝑓 est un polynôme de degrés>2. L’absence des méthodes analytiques pour une solution exacte nous mènent à des méthodes numériques pour une solution approchée. 1) Localisation ou séparation des racines : Principe : Déterminer un intervalle [𝑎𝑎 , 𝑏𝑏] contenant une seule racine dite racine séparée 𝛼𝛼 de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 SA I D Conditions : − Nécessite l’étude des variations de 𝑓𝑓 , et l’utilisation du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)qui dit si: ∗ 𝑓𝑓 est continue dans �𝑎𝑎 ; 𝑏𝑏� (𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) ∗ 𝑓𝑓 est dérivable dans [𝑎𝑎 ; 𝑏𝑏] 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 ( ) ∗ 𝑓𝑓 𝑎𝑎 . 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 Alors ∃𝛼𝛼 𝜖𝜖 [𝑎𝑎 ; 𝑏𝑏] / 𝑓𝑓(𝛼𝛼) = 0 Si en plus 𝑓𝑓 et monotone sur [𝑎𝑎 ; 𝑏𝑏] alors 𝛼𝛼 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 − La réécriture de 𝑓(𝑥) =𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥)=0 sous forme 𝑓1(𝑥) = -𝑓2(𝑥), puis la recherches des points d’intersections entre 𝑓1 et 𝑓2 et faire leurs projections sur l'axe x R R BE N Exemple 1 : Séparer les racines de l’équation : 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥 + 1 • 𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 • 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑥𝑥) = −∞ 𝑥𝑥 → −∞ 2 • signe de 𝑓𝑓’(𝑥𝑥)= 3𝑥𝑥 − 3 𝑓𝑓’(𝑥𝑥)= 0 ⇒ 𝑥𝑥 = ±1 • TB de variation 𝑥𝑥 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) −∞ + -1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥) = +∞ - -1 - + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) +∞ +∞ 3 -1 −∞ R R R 𝛼𝛼 1 ∈ ]-∞,- 1] , 𝛼𝛼 2 ∈ [-1, 1] et 𝛼𝛼 3 ∈ [1, ∞[ R +1 + +1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=0 admet (03) racines 𝛼𝛼 1 , 𝛼𝛼 2 et 𝛼𝛼 3 R 𝑥𝑥 → +∞ R Exemple 2 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) − 1 = 0 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 0 ⇒ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 e = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) -x sin(x) 1 𝛼𝛼 1 R 0 dans [- 𝜋𝜋 , 𝜋𝜋 ] 𝜋𝜋 2 𝛼𝛼 2 𝜋𝜋 R 𝛼𝛼 1 ∈ [0 , 𝜋𝜋/2 ] , 𝛼𝛼 2 ∈ [𝜋𝜋/2 , 𝜋𝜋 ] ⇒ 𝛼𝛼 1 et 𝛼𝛼 2 , sont les racines de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 R R 2) Méthode de la Dichotomie (bipartition): R D R SA I Principe : C'est construire une suite d’intervalles de plus en plus petits contenants une racine séparée de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 et approchée de la racine exact α en démarrant de l’intervalle Ik =[𝑎𝑎𝑘𝑘 , 𝑏𝑏𝑘𝑘 ] Avec k = 0 , on pose 𝑎𝑎0 = 𝑎𝑎 et 𝑏𝑏0 = 𝑏𝑏 tel que 𝑓𝑓 (𝑎𝑎𝑘𝑘 ). 𝑓𝑓(𝑏𝑏𝑘𝑘 ) < 0 pour k ≥ 0 𝑎𝑎𝑘𝑘 +𝑏𝑏𝑘𝑘 2 BE N On aura les racines séparées sous forme de 𝑥𝑥𝑘𝑘 = , voir fig ci-dessous Algorithme de la méthode : Si 𝑥𝑥0 est une racine séparée de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 dans [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] alors : 𝑥𝑥0 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏 2 est la 1ère racine approchée • 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑓𝑓 (𝑎𝑎 ). 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) < 0 alors 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎+𝑥𝑥0 2 sera la 2ème racine approchée , autrement • Si 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ). 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 alors 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 +𝑏𝑏 2 sera la 2ème racine approchée Et ainsi de suite, jusqu’à la racine approchée kème voulue • si |𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 | ≤ 𝜀𝜀 le processus s'arrête et on dira que 𝑥𝑥𝑘𝑘 ± 𝜀𝜀 est la solution de l'équation 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 − Le nombre d’itérations 𝑛𝑛 Pour approcher 𝛼𝛼 à 𝜀𝜀 près 𝑛𝑛 sera : 𝑛𝑛 ≥ (𝑏𝑏−𝑎𝑎) ln� 2𝜀𝜀 ln(2) � +1 ln : Logarithme népérien 𝜀𝜀 ∶ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑é𝑒𝑒 Exemple On considère l’équation : D 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 3𝑥𝑥 + 1 = 0 1) calculer le nombre d’itération 𝑛𝑛 nécessaire pour résoudre 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 dans [0,3 ; 0,4] avec une précision de 𝜀𝜀 = 0,5. 10−2 =0.005 Rep : 1) 𝑛𝑛 ≥ 2) 2𝜀𝜀 ln(2) � + 1 ⇒ 𝑛𝑛 ≥ (0,4−0,3) ln� 2. 0,005 ln(2) 0 � + 1 = 4,32 ⇒ 𝑛𝑛 = 5 𝑓𝑓 (𝑎𝑎). 𝑓𝑓 (𝑏𝑏) < 0 ⇒ 𝑓𝑓 (0,3). 𝑓𝑓 (0,4) < 0 ⇒ −0.018 < 0 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑓𝑓 (𝑎𝑎𝑘𝑘 ). 𝑓𝑓 (𝑏𝑏𝑘𝑘 ) < 0 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 2 BE N 𝑛𝑛 (b−a) ln� SA I 2) Calculer une valeur approchée de cette racine par la méthode de bipartition |𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 | ≤ 𝜀𝜀 0,3 0,4 -0,018 < 0 0,35 0,35-0 = 0,35 > 0,005 0,3 0,35 -0,0037 < 0 0,325 0.025 > 0,005 2 0,325 0,35 -0.0012 < 0 0,3375 0,0125 > 0.005 3 0,3375 0,35 <0 0,3437 0,0062 > 0.005 4 0,3375 0,3437 <0 0,3406 0,0031 < 0.005 1 𝑥𝑥5 = 0,3406 ± 0,005 est la racine approchée de 𝛼𝛼 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 3) Méthode de Newton (méthodes des tangentes ): Notons par 𝛼𝛼 la racine “ exacte” cherchée et 𝑥𝑥𝑛𝑛 une valeur approchée de 𝛼𝛼 On suppose que 𝑓𝑓 vérifie les conditions suivantes : i. ii. iii. 𝑓𝑓(𝑎𝑎). 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 𝑓𝑓’(𝑥𝑥𝑛𝑛 ) ≠ 0 sur [𝑎𝑎 , 𝑏𝑏] 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥𝑛𝑛 ) garde un signe constant sur [𝑎𝑎 , 𝑏𝑏]
