Analyse Numérique: Résolution d'Équations Non Linéaires
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Analyse numérique
I Résolution des équations non linéaires dans IR
BENSAID.N
Chapitre 1
Résolution des équations
non linéaires dans IR.
I. Introduction :
Soit : une application continue.
On veut déterminer les solutions de 𝑓(𝑥) = 0 ou est un polynôme de
degrés>2. L’absence des méthodes analytiques pour une solution exacte nous
mènent à des méthodes numériques pour une solution approchée.
1) Localisation ou séparation des racines :
Principe : Déterminer un intervalle [ , ] contenant une seule racine dite racine
séparée de () = 0
Conditions :
− Nécessite l’étude des variations de , et l’utilisation du théorème des
valeurs intermédiaires (T.V.I)qui dit si:
∗ est continue dans ; (()=())
est dérivable dans [ ; ] ()
().() < 0
Alors [ ; ] / () = 0
Si en plus et monotone sur [ ; ] alors
− La réécriture de 𝑓(𝑥) =𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥)=0 sous forme 𝑓1(𝑥) = -𝑓2(𝑥), puis la
R R
recherches des points d’intersections entre 𝑓1 et 𝑓2
Exemple 1 : Séparer les racines de l’équation :
() = 33 + 1
•=
•() = ()= +
+
•signe de ’()= 33
’()= 0 = ±1 + - +
-1 +1 ()
•TB de variation
-1
+1
+
’()
+ - +
()
3 +
-1
()=0 admet (03) racines R1, R2 et R3
R1 ]-,- 1] , R2 [-1, 1] et R3 [1, [
et faire leurs projections sur l'axe x
BENSAID
Exemple 2
() = () 1 = 0 dans [- , ]
()= 0 = ()
e-x
1 sin(x)
R1 R2
0
R1 [0 , /2 ] , R2 [/2 , ] R1 et R2, sont les racines de ()= 0
2) Méthode de la Dichotomie (bipartition):
Principe : C'est construire une suite d’intervalles de plus en plus petits
contenants une racine séparée de () = 0 et approchée de la racine exact
α
en démarrant de l’intervalle I=[,]
Avec k = 0 , on pose = et = tel que ().() < 0 pour k0
On aura les racines séparées sous forme de =
, voir fig ci-dessous
Algorithme de la méthode :
Si 0 est une racine séparée de () = 0 dans [,] alors :
=
est la 1ère racine approchée
• ().() < 0 alors
=
sera la 2ème racine approchée , autrement
• Si ().() < 0 alors
=
sera la 2ème racine approchée
Et ainsi de suite, jusqu’à la racine approchée kème voulue
BENSAID
• si
|
|
le processus s'arrête
et on dira que ± est la solution de l'équation () = 0
− Le nombre d’itérations
Pour approcher à près sera :
()
2
()+ 1 ln : Logarithme népérien
é
Exemple
On considère l’équation : () = 3+ 1 = 0
1) calculer le nombre d’itération nécessaire pour résoudre () = 0 dans
[0,3 ; 0,4] avec une précision de = 0,5. 10 =0.005
2) Calculer une valeur approchée de cette racine par la méthode de bipartition
Rep :
1) ()
2
()+ 1 (,,)
2. 0,005
()+ 1 = 4,32 = 5
2) (). () < 0 (0,3). (0,4) < 0 0.018 < 0
(). () < 0
=+
2
| |
0 0,3 0,4 -0,018 < 0 0,35 0,35-0 = 0,35 > 0,005
1 0,3 0,35 -0,0037 < 0 0,325 0.025 > 0,005
2 0,325 0,35 -0.0012 < 0 0,3375 0,0125 > 0.005
3 0,3375 0,35 < 0 0,3437 0,0062 > 0.005
4 0,3375 0,3437 < 0 0,3406 0,0031 < 0.005
= 0,3406 ± 0,005 est la racine approchée de () = 0
3) Méthode de Newton (méthodes des tangentes ):
Notons par la racine “ exacte” cherchée et une valeur approchée
de On suppose que vérifie les conditions suivantes :
i. (). () < 0
ii. ’()0 sur [ , ]
iii. () garde un signe constant sur [ , ]
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