2017-2018 Unité d'Enseignement Résistance des Matériaux Chargé de cours : Schiepers Nicolas Pour l'IEPSCF-Uccle 2 CHAPITRE 1 NOTIONS DE STATIQUE 1.1 Définition Une force est l'action d'un corps sur un autre. Comme tous les vecteurs en général, une force est caractérisée par: son origine son intensité sa direction / sa droite d'action son sens 1kN 45° L'orientation de la force se mesure par un angle, en degrés. À moins d'avis contraire, on donne l'angle (mesuré en tournant dans le sens antihoraire) entre l'horizontale et la force. L'intensité de la force se mesure en Newton. Conformément au Système International, en abrégé : N Par convention, la représentation graphique de cette force se fait par une flèche dont l'origine se situe sur le point d'application de cette force. Sa longueur est proportionnelle à la force, elle est à une certaine échelle. NB : La Gravité : Le poids est une mesure de la force entre deux objets due à la gravité, le poids s'exprime en newtons. Par abus de langage, le poids est pourtant souvent exprimé en kilogrammes (unité de masse). Sur Terre, une masse de 1 kg génère une force (poids) de 9,80665 N (valeur qui varie légèrement en fonction de la pesanteur à l'endroit où l'on se trouve). La pesanteur « normale » (définie en 1901 lors de la 3e Conférence générale des poids et mesures) a été fixée à 9,80665 m/s. Pour le reste du cours, il sera toujours estimé que 1kg = 10N. 3 1.2 Addition vectorielle: méthodes graphiques La somme de deux ou plusieurs forces s'appelle la résultante. Il y a deux manières de trouver graphiquement la résultante de deux forces; la méthode du parallélogramme et la méthode du triangle. Dans une méthode graphique, on doit faire avec soin un dessin à l'échelle. On mesure les longueurs des flèches à l'aide d'une règle et leurs angles à l'aide d'un rapporteur. On ne fait pas de calculs (autres que les conversions d'échelle). Dans la description des exemples suivants on détermine systématiquement quelle est l'échelle du dessin. La représentation graphique d'une force impose de déterminer une échelle qui convertira l'unité de mesure en une certaine quantité de Newton. 1.2.1 Méthode graphique du parallélogramme 4 1.2.2 Méthode graphique du Triangle E! C! D! B! E! C! D! A! B! R! A! On ne peut additionner que deux forces à la fois par la méthode du parallélogramme. Par contre, si on utilise la méthode, du triangle, on peut continuer à mettre d'autres vecteurs bout à bout. La résultante est toujours représentée par la flèche dont l'origine est sur l'origine de la première force et la flèche sur celle de la dernière force. La figure finale n'est pas un triangle mais bien un polygone et on parle alors de «méthode du polygone» au lieu de «méthode du triangle». 5 1.3 Addition vectorielle: méthodes analytiques Rappel de Géométrie : Il y a deux manières de trouver analytiquement la résultante de deux forces: la méthode des composantes et la méthode du triangle (ou du polygone). Dans une méthode analytique, on peut faire, si l'on veut, un dessin approximatif; mais c'est à l'aide de formules mathématiques et de calculs qu'on trouve la grandeur et l'angle de la résultante. Voici donc les formules mathématiques nécessaires à ces calculs. Trigonométrie sin ! = " cos ! = # $ # tan ! = " $ Loi des sinus et des cosinus %&' ( ) = %&' * + = %&' , - C² = A² . B² / 2AB cos ! Avec ces formules basiques on peut calculer des résultantes sur base d'une méthode graphique. 1.3.1 Méthode analytique du triangle 6 1.3.2 Les composantes d'une force Avant d'aborder l'addition de forces par la méthode des composantes, il nous faut évidemment définir ce qu'est une composante de force, et pour cela, il nous faut un repère, ou système d'axes X-Y orientés. Un repère orthonormé. Par convention, l'axe X est horizontal et orienté vers la droite; l'axe Y est vertical et orienté vers le haut. Pour trouver les composantes d'une force F!, on doit d'abord faire un dessin approximatif de la force, représentée par une flèche ayant son origine au point 0,0 repère orthonormé. On enferme ensuite la flèche dans un rectangle. La composante X de la force (Symbole: FX) est le côté du rectangle qui se trouve sur l'axe X. La composante Y de la force (Symbole: Fy) est le côté du rectangle qui se trouve sur l'axe Y. Les composantes sont elles-mêmes des vecteurs: leur origine est, elle aussi au point 0,0 du repère orthonormé. Leur sens est identique à la force F! . Une composante X (ou Y) a donc une grandeur (représentée par sa longueur) et une direction. Mais elle n'a que deux sens possibles puisqu'elle se trouve toujours sur l'axe X (ou Y): même sens que son axe, ou sens contraire. Voila pourquoi on définira son orientation, non pas en donnant un angle, en degrés, mais plutôt en donnant un signe + ou - tout comme un vecteur dans un repaire orthonormé a une valeur positive ou négative. Une composante est positive si elle est orientée dans le même sens que son axe. Une composante est négative si elle est orientée dans le sens contraire à son axe. On détermine la valeur (grandeur et signe) d'une composante à l'aide des équations trigonométriques suivantes (où θ est l'angle entre l'axe des X et le vecteur F) : Fx = !F" cos # !F" Fy = !F" sin # 7 Inversement, si on ne connaît que les composantes X et Y d'une force, il est facile de déterminer sa grandeur et son orientation à l'aide des équations suivantes: F = ! F" ² + F# ² tan $ = F# F" %& et %B& par la méthode des composantes, il faut: Pour additionner deux forces A calculer les composantes X et Y de la force %A& ; %& ; calculer les composantes X et Y de la force B additionner ensemble les composantes X. Ce résultat est la composante X de la résultante; additionner ensemble les composantes Y. Ce résultat est la composante Y de la résultante; calculer la grandeur et l'orientation de la force résultante à partir de ses composantes. 1.3.3 Méthode analytique des composantes 8 1.4 Équilibrante La résultante d'un ensemble de plusieurs forces est la force unique qui pouffait remplacer l'ensemble: son effet est le même que celui de toutes les forces réunies. L'équilibrante d'un ensemble de plusieurs forces est la force unique qui pourrait annuler l'effet de toutes les forces réunies. L'équilibrante est l'opposé-de la résultante: elle a la même grandeur, le même point d'application et la même ligne d'action que la résultante, mais son sens est contraire. C'est à dire que et E! " = " #"R! E" = "R $%" = "" $& "" ± 180° Exercices 9 CHAPITRE 2 ÉQUILIBRE ET DIAGRAMME DES FORCES 2.1 Introduction L'équilibrante, comme son nom l'indique, est la force qui équilibre l'action de la résultante, c'est-à-dire qui annule son effet. C'est pourquoi l'équilibrante est une force de même grandeur mais de direction opposée à celle de la résultante: deux forces égales en grandeur, mais de sens opposés, auront toujours une somme nulle, donc un effet nul. Ainsi, un système de forces dont la résultante est nulle est un système de forces équilibrées: la somme de toutes ces forces (la résultante) est nulle. 2.2 Équilibre Mais quel est l'effet d'un système de forces équilibrées sur le mouvement d'un corps? Aucun. Si le corps est immobile, il le demeurera; si le corps est en mouvement, son mouvement continuera sans être modifié. Plus exactement: sans que sa vitesse ne change ni en grandeur ni en direction. Cet énoncé, maintes fois confirmé par l'expérience, est «le principe d'inertie», qu'on appelle aussi «la première loi de Newton». Ainsi, un corps qui se déplace en ligne droite à vitesse constante est en équilibre; si sa vitesse est nulle, le corps est immobile et on parle d'équilibre statique. Les charpentes et structures (comme celles des ponts ou des immeubles) sont en général des objets immobiles ou dont les déplacements sont petits. Ce sont donc des corps en équilibre statique. Il peut arriver qu'une structure présente des parties mobiles (le tablier d'un pont levant par exemple) mais les déplacements de ces pièces structurales mobiles se font toujours lentement, sans saccades, de façon à limiter les accélérations (ou changements de vitesse). Si la vitesse d'un corps est quasiment constante, il est presque en équilibre. A. Équilibre de translation Lorsqu'un corps est soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle, on dit qu'il remplit la «condition d'équilibre de translation». Cette condition s'exprime ainsi: !F" # = #0 La translation est un mouvement en ligne droite: un corps immobile en équilibre ne se déplace ni vers la gauche ni vers la droite (le long de l'axe X) parce que: F$ = 0 Il ne se déplace pas non plus vers le haut ou vers le bas car: F% = 0 Il ne se déplace pas davantage dans toute autre direction qu'on obtiendrait en combinant des déplacements horizontaux et verticaux. 10 B. Équilibre de rotation Cependant, sans se déplacer, le corps pourrait tourner sur lui-même. Il existe une seconde condition d'équilibre: la «condition d'équilibre de rotation». Pour qu'elle soit satisfaite, il faut que la somme des moments de toutes les forces soit nulle. M=0 Lorsqu'est réalisée la condition d'équilibre de rotation, le corps ne tourne pas sur lui-même (ou tourne à vitesse angulaire constante). Il est clair que les pièces de structure et de charpente, et même plusieurs de pièces de machinerie, réalisent cette condition. 2.3 Diagramme des forces Pour pouvoir appliquer les conditions d'équilibre (de translation et de rotation), on doit commencer par établir la liste de toutes les forces qui sont appliquées à la structure ou à la pièce qu'on étudie. Cette liste doit inclure toutes les charges, mais seulement les charges qui agissent sur la structure. On doit prendre garde de ne pas y inclure des forces exercées par la structure sur d'autres objets. La manière la plus simple et la plus sûre d'établir cette liste est de faire un schéma appelé «diagramme des forces» ou «schéma du corps isolé». On y représente seulement l'objet étudié et les forces qu'il subit. À l'exception du poids de l'objet, chaque force de ce schéma est associée à un objet qui est en contact avec le corps étudié. Lorsqu'on pose un problème en statique, on l'accompagne assez souvent d'un dessin qui représente la structure à étudier avec son environnement immédiat. Ce dessin, ou «plan de situation», ressemble à une photo du montage où l'on aurait indiqué les dimensions des pièces et les angles entre divers éléments. Le plan de situation, qui est un dessin concret, n'est pas le schéma du corps isolé (dessin abstrait), mais il existe souvent une certaine ressemblance entre eux. Voici quelques exemples de plans de situations (à gauche) et de schémas du corps isolé (à droite) correspondants. 11 2.4 Types de forces Certaines forces apparaîtront différemment dans un diagramme de forces : 1. Le poids du corps (symbole : !"). Le poids est la force d'attraction qu'exerce la terre sur tout objet. C'est une force verticale toujours dirigée vers le bas (le centre de la terre). La terre attire chaque particule de l'objet: le poids est donc une force répartie dans tout l'objet, mais on peut, par facilité, généraliser la représentation par une résultante verticale dirigée vers le bas, dont le point d'application est appelé le centre de gravité de l'objet. De toutes les forces qui seront dans le schéma du corps isolé, seul le poids est une action à distance: la terre n'a pas besoin d'être en contact avec l'objet pour exercer sur lui sa force d'attraction. (C'est aussi le cas des forces électromagnétiques, mais on ne les rencontre pas en général dans des problèmes de structure). Toutes les autres forces du diagramme sont dues à des choses qui sont en contact avec l'objet. 2. La traction exercée par un câble (symbole: !"). Un câble ne peut pas transmettre une poussée à un corps auquel il est attaché; il ne peut que tirer, en étant lui-même tendu. C'est pourquoi on appelle «tension» la force de traction exercée par un câble. Cette force est toujours dirigée le long du câble, et elle tire, à partir du point d'attache, qui est son point d'application. 3. L'effort de traction ou de poussée exercé par une barre légère (symbole: !" ou #") en admettant pour l'instant qu'une barre légère est une barre rigide dont le poids est beaucoup plus petit que les autres forces en présence dans le problème et donc, négligeable. Si cette barre est chargée, elle ne l'est qu'à ses extrémités. Une barre légère peut jouer le même rôle qu'un câble, auquel cas elle est en tension; mais elle est capable de transmettre une poussée aussi bien qu'une traction, dirigée selon son axe. 4. Les poids des autres corps que supporte l'objet étudié (symboles : !!!!!" $% , !!!!!" $& ). Ce sont des forces verticales, dirigées vers le bas, égales aux poids de ces corps, qui peuvent être concentrées en un point d'application précis ou réparties sur une certaine distance. 5. Les forces dues à des surfaces dures (planchers, murs, etc) en contact avec l'objet étudié. Ces forces sont de deux types: !"), ce qui signifie perpendiculaire à la a. Force normale (symbole: ' surface. C'est la réaction du plancher (ou du mur) qui résiste à la poussée d'un objet contre celui-ci. b. Frottement (symbole: 7). Le frottement est une force parallèle à la surface. Il est toujours dirigé dans le sens contraire au mouvement potentiel de l'objet étudié. Par exemple, si un objet posé sur le sol a tendance à glisser vers la gauche mais qu'il est maintenu immobile parce qu'il «colle» au plancher par frottement, la force de frottement que subit l'objet est dirigée vers la droite. 6. Réactions des appuis (symboles: (!", Rx , Ry, M). Voir suite du cours. 7. Forces diverses: pression du vent, de l'eau, séismes, etc. 12 2.5 Troisième loi de Newton : action-réaction Lorsqu'on dit que deux corps A et B «interagissent» ou «sont en interaction», on veut dire par là qu'ils exercent chacun une force l'un sur l'autre. On parle alors de l'action (la force que le corps A, par exemple, exerce sur le corps B) et de sa réaction (la force que le corps B exerce en retour sur le corps A). La troisième loi de Newton, appelée aussi "principe d'action-réaction" s'énonce comme suit : Dans toute interaction, l'action et la réaction ont la même gradeur, la même ligne d'action mais des sens contraires. L'exemple ci contre montre l'interaction entre le personnage et le mur sur lequel il s'appuie, on peut dire que la personne "agit" sur le mur en exerçant avec sa main une poussée contre lui ; le mur exerce sur sa main une réaction de grandeur égale, sur la même ligne d'action, mais en sens contraire. 2.6 Types d'appuis Tous les appuis (y compris planchers et murs) se regroupent en trois catégories : l'appui à rouleau, l'articulation et l'encastrement. 1. L'appui à rouleau empêche tout déplacement vertical mais permet les déplacements horizontaux et les rotations. Pour empêcher les déplacements verticaux, cet appui doit pouvoir exercer une force verticale vers le haut ou vers le bas. Rien de plus. L'appui du tablier d'un pont est habituellement considéré comme un appui à rouleau. Un plancher glissant (force de frottement nul) est un autre exemple d'appui à rouleau. 2. L'articulation ou rotule empêche tout déplacement vertical et horizontal mais permet les rotations. Pour empêcher les déplacements verticaux, cet appui doit pouvoir exercer une force verticale vers le haut ou vers le bas. Pour empêcher les déplacements horizontaux, il doit pouvoir exercer une force horizontale vers la gauche ou vers la droite. Il ne peut empêcher la rotation. La rotule est le mode de fixation privilégié des barres de treillis ou d'un treillis à un support. Un plancher très rugueux peut être assimilé à une rotule. 3. L'encastrement est le plus rigide de tous les appuis. Il empêche tout déplacement, vertical comme horizontal tout autant que la rotation. L'encastrement peut exercer une réaction verticale et une réaction horizontale, comme la rotule, mais doit en plus exercer un moment de force pour empêcher les rotations. Une colonne d'acier ancrée dans une base de béton est un exemple d'encastrement. 13 2.7 Notions de degré de liberté Un objet posé sur un des appuis précédemment cité aura la possibilité de se déplacer d'une certaine manière. Lorsqu'on empêche un type de déplacement, on prive l'objet d'un degré de liberté. Les types de déplacements sont, comme expliqué au chapitre précédant : vertical, horizontal et rotation. Lorsqu'une extrémité d'un objet (poutre) est posé sur un appui à rouleau et son autre extrémité est fixé par une rotule on prive l'objet d'un degré de liberté par le rouleau et de deux degrés de liberté par la rotule. On obtient un objet en équilibre isostatique. L'exemple le plus évident est le tabouret à 3 pieds. Si on le prive d'un appui (comparable à un appui à rouleau) ce tabouret, on obtient un équilibre hypostatique. On a seulement 2 degrés de liberté privés : il se casse la figure. Le tabouret à 3 pieds est donc bien isostatique : on le prive de 3 degrés de liberté. Si on ajoute à ce tabouret 1 pieds supplémentaire, on se retrouve avec un degré de liberté privé supplémentaire et donc un objet en suréquilibre. Il est alors décrit comme étant hyperstatique. 2.8 Conclusion du Chapitre Une fois dessiné le schéma du corps isolé, on est prêt à faire l'addition des forces et des moments. La loi de l'équilibre statique de translation décrète que la résultante n'existe pas: elle est nulle. La loi de l'équilibre statique de rotation décrète que le moment résultant n'existe pas non plus: il est nul, et ce, quel que soit l'axe de rotation par rapport auquel on le calcule. Rappelons ces deux lois : !F" # = #0 M=0 Ce sont elles qui nous permettront de calculer la valeur des forces inconnues qui apparaissent dans le diagramme des forces. Les types d'appuis déterminent la plupart du temps le nombre d'inconnues à calculer. Dans le cadre des objets isostatique il est largement plus aisé de calculer les inconnues que sont les réactions d'appuis. 14 Exercices 15 16
