Application 1 sur la loi de Laplace

ELECTROMAGNETISME
Présenté par
Chaambane Mohamed Soibaha
Ingénieur en électromécanique
Applications sur les rails de
Laplace

Une tige MN de longueur et de masse , placé perpendiculairement aux rails parallèles (AB) et
(A’ B’) contenus dans le plan horizontal, pénètre dans un région où règne un champ magnétique d’intensité 
. A l’instant t=0, On ferme l’interrupteur K. Le rail alimenté par un générateur de f.é.m. E=2V et de résistance
interne . Aucun opérateur extérieur n'agit plus sur la tige qui est initialement immobile ; toutefois, on
constate qu'à la fermeture de l'interrupteur K, la tige acquiert un mouvement de translation parallèle au rail.
1.Expliquer la mise en mouvement de la tige ainsi que l'apparition d'un phénomène d'induction.
Prévoir qualitativement le rôle de la f.é.m. induite.
2.Donner l’expression du champ électromoteur et préciser son signe.
3.Déterminer l’expression de la f.é.m. induite en fonction de de B, vet 
4.Exprimer, en fonction de ,l’intensité du courant et l’expression vectorielle de la force de Laplace.
5. Etablir l’équation différentielle liant la vitesse v de la tige à l’instant .
6.Déterminer les lois v(t) et i(t) en mettant en évidence une durée τcaractéristique de l'évolution.
7. Déterminer les expressions de la vitesse limite et de l’intensité 
du courant à l’instant t=0. Faire l’application numérique.
8. Effectuer le bilan énergétique du système et vérifier que l’induction
réalise une conversion de puissance électromécanique au sein du circuit.
Problème 1: Rails reliés par un générateur

1. Expliquer la mise en mouvement de la tige ainsi que l'apparition d'un phénomène d'induction. Prévoir
qualitativement le rôle de la f.é.m. induite.
Lors de la fermeture de l'interrupteur, le générateur débite dans le rail un courant
électrique qui traverse la tige de N vers M et, compte tenu du champ magnétique
vertical ascendant, génère des actions de Laplace dirigées horizontalement vers
la droite. De ce fait, la tige est mise en mouvement vers la droite, ce qui provoque
une augmentation de la surface, d’où un phénomène d'induction.
D'après la loi de Lenz, la f.é.m. induite doit s'opposer aux variations de flux magnétique à travers le circuit, donc au
déplacement de la tige. Ce déplacement étant dû au courant débité par le générateur via les actions de Laplace, la
f.é.m. induite doit être en opposition sur le générateur et modérer ainsi la valeur du courant circulant dans le circuit.
2. Donner l’expression du champ électromoteur et préciser son signe.
Le champ électromoteur est donné par la relation:    
.3. Déterminer l’expression de la f.é.m. induite en fonction de de B, vet 
i

4. Exprimer, en fonction de ,l’intensité du courant induit.
En appliquant la loi des mailles dans le circuit fermé AMNB
Expression vectorielle de force de Laplace 
Circuit électrique
5.Etablir l’équation différentielle liant la vitesse v de la tige MN
Application du théorème de centre d’inertie :
En projetant suivant x’x,on a :
on a : 
x
x’
Expression de la vitesse limite atteint par la barre
La barre atteint une vitesse limite si 

6 Déterminer les lois v(t) et i(t) en mettant en évidence une durée τcaractéristique de l'évolution.
L’équation (1) est de la forme : 
 avec  
La solution particulière de l’équation différentielle s’écrit :  
La solution générale de l’équation différentielle s’écrit :  
Pour déterminer la constante B, on utilise les conditions initiales : à t=0,   
En remplaçant A et par leurs expressions, on trouve :