ELECTROMAGNETISME Applications sur les rails de Laplace Présenté par Chaambane Mohamed Soibaha Ingénieur en électromécanique Problème 1: Rails reliés par un générateur Une tige MN de longueur 𝑙 = 0,25𝑚 et de masse 𝑚 = 20𝑔, placé perpendiculairement aux rails parallèles (AB) et (A’ B’) contenus dans le plan horizontal, pénètre dans un région où règne un champ magnétique B d’intensité B = 0,5T. A l’instant t=0, On ferme l’interrupteur K. Le rail alimenté par un générateur de f.é.m. E=2V et de résistance interne 𝑅 = 0,4Ω. Aucun opérateur extérieur n'agit plus sur la tige qui est initialement immobile ; toutefois, on constate qu'à la fermeture de l'interrupteur K, la tige acquiert un mouvement de translation parallèle au rail. 1.Expliquer la mise en mouvement de la tige ainsi que l'apparition d'un phénomène d'induction. Prévoir qualitativement le rôle de la f.é.m. induite. 2.Donner l’expression du champ électromoteur 𝐸𝑚 et préciser son signe. 3.Déterminer l’expression de la f.é.m. induite en fonction de de B, v et 𝑙. 4.Exprimer, en fonction de 𝑅, 𝐸, 𝑣, 𝐵 𝑒𝑡 𝑙 , l’intensité du courant et l’expression vectorielle de la force de Laplace. 5. Etablir l’équation différentielle liant la vitesse v de la tige à l’instant 𝑡 > 0. 6.Déterminer les lois v(t) et i(t) en mettant en évidence une durée τ caractéristique de l'évolution. 7. Déterminer les expressions de la vitesse limite vL et de l’intensité I0 du courant à l’instant t=0. Faire l’application numérique. 8. Effectuer le bilan énergétique du système et vérifier que l’induction réalise une conversion de puissance électromécanique au sein du circuit. 1. Expliquer la mise en mouvement de la tige ainsi que l'apparition d'un phénomène d'induction. Prévoir qualitativement le rôle de la f.é.m. induite. Lors de la fermeture de l'interrupteur, le générateur débite dans le rail un courant électrique qui traverse la tige de N vers M et, compte tenu du champ magnétique 𝐹Ԧ i vertical ascendant, génère des actions de Laplace dirigées horizontalement vers la droite. De ce fait, la tige est mise en mouvement vers la droite, ce qui provoque une augmentation de la surface, d’où un phénomène d'induction. D'après la loi de Lenz, la f.é.m. induite doit s'opposer aux variations de flux magnétique à travers le circuit, donc au déplacement de la tige. Ce déplacement étant dû au courant débité par le générateur via les actions de Laplace, la f.é.m. induite doit être en opposition sur le générateur et modérer ainsi la valeur du courant circulant dans le circuit. 2. Donner l’expression du champ électromoteur 𝐸𝑚 et préciser son signe. Le champ électromoteur est donné par la relation: 𝐸𝑚 = 𝑣Ԧ ∧ 𝐵 = 𝑣 𝑥Ԧ ∧ 𝐵𝑧Ԧ = −𝐵𝑣𝑦Ԧ 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝐸𝑚 = 𝑣𝐵 .3. Déterminer l’expression de la f.é.m. induite en fonction de de B, v et 𝑙. 𝑒= 𝑑Φ − 𝑑𝑡 𝑜𝑟 Φ = 𝐵. 𝑆Ԧ = 𝐵𝑧. Ԧ 𝑛𝑆 = 𝐵𝑧. Ԧ 𝑆𝑧Ԧ = 𝐵𝑆 = 𝐵𝑙𝑥 = 𝐵𝑙𝑣𝑡 ⟹ 𝑒 = − 𝑒 = 𝐸𝑚 . 𝑁𝑀 = −𝐵𝑣𝑦. Ԧ 𝑙 𝑦Ԧ = −𝐵𝑣𝑙 𝑑Φ 𝑑𝑡 = −Bvl = −𝐵𝑙𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 x x’ 4. Exprimer, en fonction de 𝑅, 𝐸, 𝑣, 𝐵 𝑒𝑡 𝑙 , l’intensité du courant induit. En appliquant la loi des mailles dans le circuit fermé AMNB 𝐸 + 𝑒 𝐸 − 𝐵𝑙𝑣 on a : E − 𝑅𝑖 + 𝑒 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑖 = = 𝑅 𝑅 Expression vectorielle de force de Laplace 𝐹Ԧ 𝐸 − 𝐵𝑙𝑣 𝐹Ԧ = 𝑖𝑙Ԧ ∧ 𝐵 = 𝑖 𝑁𝑀 ∧ 𝐵 = 𝑖𝑙𝐵 𝑥Ԧ = 𝐵𝑙 𝑥Ԧ 𝑅 5.Etablir l’équation différentielle liant la vitesse v de la tige MN Application du théorème de centre d’inertie : 𝐹Ԧ + 𝑅 + 𝑃 = 𝑚𝑎Ԧ En projetant suivant x’x, on a : 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑣 ⟹ 𝑑𝑡 𝐸 − 𝐵𝑙𝑣 𝑑𝑣 lB = 𝑚 𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝐵2 𝑙 2 𝐸𝑙𝐵 𝑑𝑣 𝐸𝑙𝐵 𝐵2 𝑙 2 𝑣 ⟹ + 𝑣= 𝑚 = − 𝑑𝑡 𝑚𝑅 𝑚𝑅 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 (1) Expression de la vitesse limite atteint par la barre Circuit électrique La barre atteint une vitesse limite si 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =0 ⟹ 𝐸 𝑣𝐿 = 𝐵𝑙 6 Déterminer les lois v(t) et i(t) en mettant en évidence une durée τ caractéristique de l'évolution. 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑑𝑣 𝐵2 𝑙 2 𝐸𝑙𝐵 + 𝑣= 𝑑𝑡 𝑚𝑅 𝑚𝑅 (1) L’équation (1) est de la forme : 𝑑𝑣 𝑑𝑡 1 𝜏 + 𝑣 = 𝐴 avec 𝜏 = 𝑚𝑅 𝐵𝑙 2 𝑒𝑡 𝐴 = 𝐸𝑙𝐵 𝑚𝑅 La solution particulière de l’équation différentielle s’écrit : 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 = 𝜏𝐴 La solution générale de l’équation différentielle s’écrit : 𝑣 𝑡 = 𝐵𝑒 𝑡 −𝜏 + 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 Pour déterminer la constante B, on utilise les conditions initiales : à t=0, 𝑣 0 = 𝐵𝑒 𝐵 = −𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 ⟹ 𝑣 𝑡 = −𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 𝑒 𝑡 −𝜏 + 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 = 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 1 − 𝑡 −𝜏 𝑒 0 −𝜏 + 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑡 = 0 = 𝜏𝐴 1 − 𝑒 𝑡 −𝜏 En remplaçant A et 𝜏 par leurs expressions, on trouve : 𝑚𝑅 𝐸𝑙𝐵 𝑣 𝑡 = 𝐵𝑙 2 𝑚𝑅 1− 𝑡 −𝜏 𝑒 𝑡 𝐸 −𝜏 = 1−𝑒 𝐵𝑙 𝑡 𝐸 −𝑡 𝐸 𝐵𝑙 𝐸 𝐸 𝐵𝑙 −𝜏 = 𝑒 𝜏 1−𝑒 𝑒𝑡 𝑖 𝑡 = − 𝑣 = − × 𝑅 𝑅 𝑅 𝐵𝑙 𝑅 𝑅 𝑡 𝐸 𝐸 −𝑡 𝑚𝑅 − 𝜏 𝜏 𝑣 𝑡 = 1−𝑒 𝑒𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏 = 𝐵𝑙 𝑅 𝐵𝑙 2 7. Déterminer les expressions de la vitesse limite vL et de l’intensité I0 du courant à l’instant t=0. Faire l’application numérique. 𝐸 0 𝐸 𝐸 −𝑡 𝐸 𝑡 𝐸 −𝜏 ⟹ 𝑣𝐿 = lim 𝑣 𝑡 = ⟹ 𝐼 = 𝑖 0 = 𝑒 = 𝜏 𝑒𝑡 𝑖(𝑡) = 𝑒 0 𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑣 𝑡 = 1−𝑒 𝑡→+∞ 𝑅 𝑅 𝐵𝑙 𝑅 𝐵𝑙 𝐴. 𝑁 ∶ 𝑣𝐿 = 2 2 = 16𝑚. 𝑠 −1 𝑒𝑡 𝐼0 = = 5𝐴 0,5 × 0,25 0,4 8. Effectuer le bilan énergétique du système et vérifier que l’induction réalise une conversion de puissance électromécanique au sein du circuit. E − 𝑅𝑖 + 𝑒 = 0 soit 𝐸 = 𝑅𝑖 − 𝑒 ⟹ 𝐸𝑖 = 𝑅𝑖 2 − 𝑒𝑖 𝑅𝑖 2 est la puissance dissipée par effet Joule dans l'ensemble du circuit. 𝐸𝑖 est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par le générateur 𝑒𝑖 est la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par la f.é.m. induite ; e et i sont ici de signes opposés à tout instant et cette puissance est constamment négative ; cela signifie que la f.é.m. induite est en opposition sur le générateur réel et prélève de l’énergie électrique au circuit. Il y a conservation de l'énergie électrique en affirmant que la puissance fournie par le générateur réel se retrouve intégralement dans la puissance dissipée par effet Joule et dans la puissance prélevée par la f.é.m. induite. 8. Effectuer le bilan énergétique du système et vérifier que l’induction réalise une conversion de puissance électromécanique au sein du circuit. Ԧ 𝑣Ԧ = 𝐹𝑣 La puissance instantanée des actions de Laplace sur la tige: 𝑃𝑚 = 𝐹. 𝑒 = −𝐵𝑙𝑣 ⟹ −𝑒𝑖 = +𝑖𝑙𝐵𝑣 ቊ ⟹ 𝑃𝑚 = −𝑒𝑖 > 0 𝐹 = 𝑖𝑙𝐵 ⟹ 𝑃𝑚 = 𝐹𝑣 = 𝑖𝑙𝐵𝑣 Ainsi, la puissance motrice fournie à la tige par les actions de Laplace est exactement la puissance électrique prélevée au circuit par la f.é.m. induite. L'induction réalise une parfaite conversion de puissance électromécanique ; il s'agit ici d'une conversion de puissance électrique en puissance mécanique. Principe de la conversion de puissance électromagnétique Dans toutes les situations où un circuit mobile est plongé dans un champ magnétique stationnaire, le circuit est le siège d'une conversion de puissance électromécanique. En effet, le bilan énergétique conduit à tout instant à la loi : PL = −e(t) × i(t) Cette loi indique que la puissance mécanique algébriquement fournie au circuit par les actions de Laplace est l'exact opposé de la puissance électrique algébriquement fournie au circuit par la f.é.m. induite. Si PL = −ei < 0, les actions de Laplace sont motrices tandis que la f.é.m. induite prélève de l'énergie électrique au circuit : il y a conversion de puissance électrique en puissance mécanique. Si PL = −ei > 0, les actions de Laplace sont résistantes tandis que la f.é.m. induite fournit de l'énergie électrique au circuit : il y a conversion de puissance mécanique en puissance électrique.
