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Chapitre 3 : Relations d’ordre
Dans tout ce qui suit, Edésigne un ensemble quelconque.
IGénéralités
A) Relations binaires
Dénition :
Une relation binaire dénie sur Eest une propriété que chaque couple (x, y)d’éléments de Eest
susceptible d’avoir ou non. Si Rdésigne une relation binaire dénie sur E, on note xRypour signier
que xet ysont en relation par R. Ainsi, se donner une relation binaire Rsur E, c’est se donner la
partie Gde EˆEconstituée des couples (x, y)tels que xRy.
Exemple :
‚Sur l’ensemble Rdes nombres réels, on connaît les relations usuelles ď,ă,ě,ą,=, . . . (on peut
aussi considérer les restrictions de ces relations à Q,Z,N…)
‚Sur l’ensemble Zdes entiers relatifs, on peut penser à la relation de divisibilité x|yðñ DkP
Z, y =kx. On peut aussi imaginer (sur Z) la relation ”dénie par x”yðñ x´yest pair.
‚Sur l’ensemble P(Ω) des parties d’un ensemble Ω, on connaît la relation d’inclusion, on peut aussi
imaginer la relation dénie par : AδB ðñ AXB=H.
B) Relations d’ordre
Dénition :
Soit Rune relation binaire dénie sur E.Rest une relation d’ordre lorsque :
‚Rest réexive, c’est-à-dire : @xPE, xRx.
‚Rest transitive, c’est-à-dire : @xPE, @yPE, @zPE, (xRyet yRzùñ xRz).
‚Rest antisymétrique, c’est-à-dire : @xPE, @yPE, (xRyet yRxùñ x=y).
Exemple :
En reprenant les relations binaires précédentes,
‚ ď,ě,=sont des relations d’ordre sur R(et sur Q,Z,N…).
‚ ă,ąn’en sont pas.
‚ |,”ne sont pas des relations d’ordre sur Z, mais |en est une sur N.
‚ Ă est une relation d’ordre sur P(Ω), mais pas δ.
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Notions de base
1 Ismaël Bouya

II. VOCABULAIRE DANS UN ENSEMBLE ORDONNÉ CHAPITRE 3. RELATIONS D’ORDRE
C) Ordre total, ordre partiel
Soit Rune relation d’ordre sur E. On dit que Rdénit un ordre total sur Elorsque deux éléments
de Esont toujours comparables pour R, c’est-à-dire : @xPE, @yPE, (xRyou yRx).
Dans le cas contraire, on parle d’ordre partiel.
Exemple :
‚ ď dénit un ordre total sur R(et sur Q,Z,N…).
‚ | dénit un ordre partiel sur N.
‚ Ă dénit un ordre partiel sur P(Ω).
II Vocabulaire dans un ensemble ordonné
Dans tout ce paragraphe, ĺdésigne une relation d’ordre quelconque sur E.
A) Maximum, minimum
Proposition, dénition :
Soit Aune partie de E. S’il existe un élément ade Atel que @xPA, x ĺa, alors il n’en existe qu’un
seul, et on l’appelle le maximum de A(ou le plus grand élément de A), noté max(A). La dénition est
analogue pour le minimum (ou plus petit élément)…
Attention, il n’y a pas nécessairement existence !
Exemple :
‚Pour la relation usuelle ďdans R,]0,1[ et Nn’ont pas de maximum.
‚Pour la relation de divisibilité dans N,t1,2, . . . , 10unon plus.
B) Majorants, minorants
Dénition :
Soit Aune partie de E, et soit zPE. On dit que zest un majorant de A(dans E) lorsque @xPA, x ĺz.
La dénition est analogue pour le minorant.
Attention, il n’y a pas toujours existence, ni unicité ! D’ailleurs, si zmajore A, alors tout élément z1de
Etel que zĺz1majore aussi A.
Remarque :
On a l’équivalence : a=max(A)ðñ aPAet amajore A.
Une partie Aest dite majorée (respectivement minorée) lorsqu’elle admet au moins un majorant (res-
pectivement minorant), et enn est dite bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
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CHAPITRE 3. RELATIONS D’ORDRE II. VOCABULAIRE DANS UN ENSEMBLE ORDONNÉ
C) Borne supérieure, borne inférieure
Dénition :
Soit Aune partie de E. Si Aest majorée, et si l’ensemble des majorants de Aadmet un plus petit
élément, celui-ci est appelé la borne supérieure de A, notée sup(A).
La dénition est analogue pour l’éventuelle borne inférieure : si Aest minorée, et si l’ensemble des
minorants de Aadmet un plus grand élément, celui-ci est appelé la borne inférieure de A, notée inf(A).
Attention, il n’y a pas toujours existence.
Remarque :
Si Aadmet un maximum, alors Aadmet une borne supérieure, et sup(A) = max(A), mais Apeut très
bien avoir une borne supérieure sans avoir de maximum.
Démonstration :
Supposons que Aadmette un maximum, disons a. On note Sl’ensemble des majorants de A(Sn’est
pas vide puisqu’il contient a). Soit bPS. Alors aĺbpuisque aPAet best un majorant de A. Ainsi,
@bPS, a ĺb. donc aest le minimum de S. Donc aest la borne supérieure de A.
D) Notations
Notation :
‚Soit f:DÑE, où Dest un ensemble quelconque. (Eest toujours ordonné par ĺ). Si l’ensemble
image f(D) = tf(x), x PDuadmet une borne supérieure, on l’appelle la borne supérieure de fet
on la note sup(f)ou supxPDf(x).
‚Soit (ai)iPIune famille d’éléments de Eindexée par un ensemble Iquelconque. Si l’ensemble
tai, i PIuadmet une borne supérieure, on la note supiPIai.
‚Les notations sont analogues pour les éventuels max, min, inf.
E) Applications croissantes, décroissantes etc.
Ici, on considère deux ensembles ordonnés (E, ĺ)et (F, ⊴).
Dénition :
Soit f:EÑF.
‚fest croissante lorsque @xPE, @x1PE, (xĺx1ùñ f(x)⊴f(x1)).
‚fest décroissante lorsque @xPE, @x1PE, (xĺx1ùñ f(x1)⊴f(x)).
Et, en notant xăx1pour « xĺx1et x‰x1», y◁y1pour « y⊴y1et y‰y1» :
‚fest strictement croissante lorsque @xPE, @x1PE, (xăx1ùñ f(x)◁f(x1)).
‚fest strictement décroissante lorsque @xPE, @x1PE, (xăx1ùñ f(x1)◁f(x)).
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