Table des mati`eres

Table des mati`eres
4 Interpolation et Approxiamation 68
4.1 Formule d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Algorithme de Neville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 M´ethode des diff´erences divis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Interpolation de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Polynˆomes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Meilleure approximation au sens de Tchebychev . . . . . . . . . . 81
4.7 Approximation au sens des moindres carr´es . . . . . . . . . . . . 83
4.7.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.2 Approximation au sens des moindres carr´es d’une fonction
par un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8 Exercices : chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.9 Corrig´e des exercices : chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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Chapitre 4
M´ethodes d’interpolation et
d’approximation
4.1 Formule d’interpolation de Lagrange
Soient (xi, fi),i= 0,··· , n, avec xi6=xjpour i6=j, (n+ 1)-couples r´eels
ou complexes. Le probl`eme d’interpolation polynomiale consiste `a trouver un
polynˆome P(x) de degr´e inf´erieur ou ´egal `a ntel que :
P(xi) = fi, i = 0,··· , n (4.1)
TH´ EOR` EME 4.1.1 Formule d’interpolation de Lagrange
Soient (xi, fi),i= 0,··· , n, avec xi6=xjpour i6=j,(n+ 1)-couples r´eels ou
complexes alors, il existe un unique polynˆome P(x)de degr´e inf´erieur ou ´egal `a
nv´erifiant (4.1).
D´ EMONSTRATION: Unicit´e : Supposons l’existence de deux polynˆomes
P1(x) et P2(x) de degr´e inf´erieur ou ´egal `a net v´erifiant (4.1). Par cons´equent
P1(x)−P2(x) est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a net poss`ede (n+ 1)-
racines ce qui donne P1−P2≡0.
Existence : On pose
Li(x) = (x−x0)(x−x1)···(x−xi−1)(x−xi+1)···(x−xn)
(xi−x0)···(xi−xi−1)(xi−xi+1)···(xi−xn)
=v(x)
(x−xi)v0(xi)
avec
v(x) = (x−x0)(x−x1)···(x−xn)
Le polynˆome
P(x) =
n
X
i=0
fiLi(x)
est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a net v´erifie les conditions (4.1).
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EXEMPLE: On cherche un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 tel que :
P(0) = 1, P (1) = −1, P (4) = 5
D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, il y a un seul polynˆome donn´e par :
P(x) = 1 ×L0(x)+(−1) ×L1(x)+5×L2(x)
avec
L0(x) = (x−1)(x−4)
(0 −1)(0 −4)
L1(x) = (x−0)(x−4)
(1 −0)(1 −4)
L2(x) = (x−0)(x−1)
(4 −0)(4 −1)
d’o`u
P(x) = x2−3x+ 1
En g´en´eral les couples (xi, fi), i = 0,··· , n sont les r´esultats d’une exp´erience.
Par cons´equent les nombres fi,i= 0,··· , n sont les valeurs d’une fonction f
aux points xi,i= 0,··· , n et le polynˆome donn´e par la formule d’interpolation
de Lagrange coˆıncide avec cette fonction aux points xi,i= 0,··· , n. Donc la
formule d’interpolation de Lagrange est un moyen pour approcher une fonc-
tion florsque on connait les valeurs prises par faux points xi,i= 0,··· , n.
La question qui se pose maintenant est de savoir estimer l’erreur commise en
approchant f(x) par P(x).
TH´ EOR` EME 4.1.2 Si fest (n+ 1)−fois d´erivable, alors, pour tout ¯x∈R, il
existe c∈I(Iest le plus petit intervalle contenant x0, x1,··· , xn,¯x) tel que :
f(¯x)−P(¯x) = v(¯x)f(n+1)(c)
(n+ 1)! (4.2)
avec v(x) = (x−x0)(x−x1)···(x−xn).
D´ EMONSTRATION: Si ¯xest ´egal `a l’un des xi, il n’y a rien `a d´emontrer.
Supposons que ¯x6=xi,i= 0,··· , n. Soit K∈Rtel que :
F(x) = f(x)−P(x)−Kv(x)
v´erifie F(¯x) = 0. Donc, la fonction F(x) poss`ede (n+ 2)−z´eros dans l’intervalle
I. En appliquant le th´eor`eme de Rolle `a F(x) puis `a F0(x) puis `a F”(x)···, on
obtient que F(n+1)(x) poss`ede au moins un z´ero dans l’intervalle I, d’o`u :
∃c∈I/F (n+1)(c) = 0
or P(n+1)(x) = 0 et v(n+1)(x) = (n+ 1)!, ce qui donne :
f(n+1)(c)−K(n+ 1)! = 0
d’o`u
K=f(n+1)(c)
(n+ 1)!
En remplacant la valeur de Kdans l’expression de F(x) et en utilisant le fait
que F(¯x) = 0, on obtient le r´esultat donn´e par le th´eor`eme.
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4.2 Algorithme de Neville
L’algorithme de Neville est une m´ethode tr`es pratique pour le calcul sur
ordinateur de P(¯x), ¯x∈Rfix´e, o`u P(x) est le polynˆome d’interpolation de
Lagrange qui v´erifie (4.1).
Pour tout 0 ≤i≤j≤n, on note par Pi,j (x) le polynˆome d’interpolation de
Lagrange de degr´e inf´erieur ou ´egal `a j−itel que :
Pi,j (xk) = fk, i ≤k≤j(4.3)
En particulier le polynˆome Pi,i n’est autre que la constante fiet le polynˆome
P0,n(x) = P(x) .
PROPOSITION 4.2.1 Pour tout 0≤i < j ≤n, on a :
Pi,j (x) = (x−xi)Pi+1,j (x)−(x−xj)Pi,j−1(x)
xj−xi
D´ EMONSTRATION: Soit 0 ≤i < j ≤n, d’apr`es l’unicit´e du polynˆome
d’interpolation de Lagrange, il suffit de prouver que le polynˆome :
R(x) = (x−xi)Pi+1,j (x)−(x−xj)Pi,j−1(x)
xj−xi
est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a j−iet v´erifie (4.3). Le degr´e de
Pi+1,j (x) est inf´erieur ou ´egal `a j−i−1 et le degr´e de Pi,j−1(x) est inf´erieur ou
´egal `a j−i−1, ce qui donne que le degr´e de R(x) est inf´erieur ou ´egal `a j−i.
D’autre part, par d´efinition on a :
Pi+1,j (xk) = Pi,j−1(xk) = fk∀i+ 1 ≤k≤j−1
et
Pi+1,j (xj) = fj, Pi,j−1(xi) = fi
d’o`u R(xk) = fk∀i+ 1 ≤k≤j−1
R(xi) = −(xi−xj)Pi,j−1(xi)
xj−xi
=fi
R(xj) = (xj−xi)Pi+1,j (xj)
xj−xi
=fj
Soit ¯x∈Rfix´e. Pour calculer P(¯x) = Po,n(¯x), l’algorithme de Neville est
constitu´e de n´etapes :
Etape 1 : On calcule tous les Pi,i+1(¯x), i= 0,··· , n −1 par la formule
Pi,i+1(¯x) = (¯x−xi)fi+1 −(¯x−xi+1)fi
xi+1 −xi
Etape 2 : On calcule tous les Pi,i+2(¯x), i= 0,··· , n −2 par la formule
Pi,i+2(¯x) = (¯x−xi)Pi+1,i+2(¯x)−(¯x−xi+2)Pi,i+1(¯x)
xi+2 −xi
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.
.
.
Etape n −1 : On calcule tous les Pi,i+n−1(¯x), i= 0,1 (seulement deux
valeurs `a calculer) par la formule
Pi,i+n−1(¯x) = (¯x−xi)Pi+1,i+n−1(¯x)−(¯x−xi+n−1)Pi,i+n−2(¯x)
xi+n−1−xi
Etape n : Une seule valeur `a calculer Pi,i+n(¯x), i= 0 par la formule
P0,n(¯x) = (¯x−x0)P1,n(¯x)−(¯x−xn)P0,n−1(¯x)
xn−x0
On peut r´esumer ces ´etapes dans un tableau, par exemple dans le cas n= 3
0 1 2 3
x0f0
> P0,1(¯x)
x1f1> P0,2(¯x)
> P1,2(¯x)> P0,3(¯x) = P(¯x)
x2f2> P1,3(¯x)
> P2,3(¯x)
x3f3
EXEMPLE: Soit le polynˆome P(x) = x3−2x2+x+ 1. On veut calculer
P(−1) par l’algorithme de Neville en utilisant f0=P(0) = 1, f1=P(1) = 1,
f2=P(2) = 3, f3=P(3) = 13 :
0 1 2 3
0 1
>1
1 1 >3
>−3>−3 = P(−1)
2 3 >21
>−27
3 13
4.3 M´ethode des diff´erences divis´ees
L’algorithme de Neville permet de calculer P(x) pour une valeur donn´ee
x= ¯x. Si on veut calculer P(x) pour plusieurs valeurs de x, on doit appliquer
l’algorithme de Neville plusieurs fois. Dans ce cas, il vaut mieux calculer toute
la fonction polynˆome P(x).
Soient (n+ 1)-couples r´eels ou complexes (xi, fi),i= 0,··· , n, avec xi6=xj
pour i6=jet soit P(x) le polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nd’interpolation
de Lagrange tels que :
P(xi) = fi, i = 0,··· , n
REMARQUE 4.3.1 Il est facile de voir que la famille : 1,(x−x0),(x−
x0)(x−x1),···,(x−x0)(x−x1)···(x−xn−1)est une base de l’espace vectoriel
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