Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.1.Introduction Les réacteurs sont des appareils permettant de réaliser une réaction chimique, c’est à dire la transformation de produits de caractéristiques données en d’autres produits de caractéristiques et propriétés différentes. II.2. Classification des réacteurs chimiques Le Tableau ci-dessous rassemble les types des réacteurs chimiques, et leurs critères de classification. Critères Caractéristiques Circulation du mélange réactionnel Evolution dans le temps Discontinu (ou fermé) Semi-continu (ou semi-fermé) Continu (ou ouvert) Régime transitoire (opération discontinue ou démarrage ou arrêt) Régime permanent (marche continue des réacteurs ouverts) Degré de mélange Réacteur parfaitement agité (Réacteur discontinu parfaitement agité (RDPA), Réacteur continu stationnaire parfaitement agité (RCPA), de concentrations et température uniformes) Réacteur continu tubulaire stationnaire à écoulement piston (RCP) ou réacteur piston (RP) (progression de la charge sans mélange) Nature des phases en présence Réacteur monophasique : gaz (G), liquide (L). Réacteur biphasique : G+L, L1+L2, G+S (solide), L+S,… Réacteur polyphasique : [G+L+S], [G+ L1+L2], [S+L1+L2],… Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.3. Réacteurs monophasiques On traitera ici de réacteurs homogènes : une seule phase (liquide ou gaz). Nous ne considérons ici que les modes de fonctionnement discontinu ou à écoulement stationnaire. II.3.1. Réacteur fermé (RF, batch reactor) Dans un réacteur fermé on peut introduire en une seule fois les réactifs et effectuer la vidange, également en une seule fois, en fin de réaction. Le système reste fermé pendant la réaction ; en ce sens qu’l n’y a pas gain de matière. Cette méthode est aussi connue sous le nom de méthode statique. C’est l’appareillage le plus simple que l’on puisse envisager pour réaliser une transformation chimique. Il consiste en un récipient dans lequel les réactifs sont introduits au début de l’opération ; après mise en conditions de température et de pression, la transformation se déroule jusqu’à l’obtention du taux de conversion désiré. Les réacteurs fermés discontinus sont très utilisés en industrie chimique, pétrochimique ou biochimique, pour la production de produits de diverses qualités. Les processus mis en jeu sont discontinus et polyvalents. Ils présentent un volume restreint de production et des systèmes réactionnels complexes et parfois imprévisibles. Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Les éléments essentiels constituent cet appareillage étant : Un récipient capable de contenir un volume de mélange réactionnel. Une surface utilisable l’échange thermique. Un système d’agitation pour mélanger les réactifs au début de l’opération et faciliter le transfert thermique à travers la surface d’échange. II.3.2. Réacteur semi-fermé (RSF, semi-batch reactor) Un réacteur semi fermé (semi batch) est un appareillage qui permet de réaliser une transformation chimique, dans lequel un réactif est ajouté ou un produit est extrait en cours d’opération. Le réacteur semi continu ne diffère de la marche en discontinu que par les appareils annexes, il est fréquemment employé dans divers industries (pharmacie, biotechnologie, Chimie de spécialité, formulations, chimie fine, agro-alimentaire etc.). Il est également recommandable dans le cas d’une réaction violente et dangereuse. Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.3.3. Réacteur ouvert parfaitement agité (RPA, Continuous Stirred Tank Reactor) : Le réacteur parfaitement agité continu se caractérise par une composition et un état instantanés du mélange réactionnel parfaitement uniformes dans tout le volume qui lui est offert. Les réactifs ajoutés sont mélangé dans un temps infiniment cours, on a la même composition instantané à la sortie que à l’intérieur du mélange réactionnel. Cet appareillage est doté d’une alimentation continue en réactif et d’un soutirage continu du mélange réactionnel contenant les produits de la réaction. II.3.4. Réacteur piston (RP, Plug Flow Reactor) Contrairement au ROPA, le RP est un réacteur non mélangé. La composition du fluide varie le long du réacteur. Le mélange progresse dans l’appareil par tranches qui n’échangent pas de la matière entre elles. Le modèle du réacteur piston est celui d’un réacteur tubulaire, à l’intérieur duquel le fluide s’écoule comme poussé par un piston. Ce réacteur est caractérisé par la non-uniformité des concentrations, lesquelles varient avec la composition longitudinale z le long de l’écoulement. Puisque la composition du fluide est uniforme sur une section de réacteur, mais varie axialement entre l'entrée et la sortie du réacteur, le bilan de matière doit être effectué sur un élément de volume différentiel. Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.4. Bilans de matières dans les réacteurs idéaux II.4.1. Formulation générale du bilan L’équation du bilan matière est l’outil de base pour l’ingénieur chimiste pour analyser la performance et le comportement du réacteur. Les bilans sont des expressions des lois de conservation dans les processus chimiques et physiques. Dans une réaction chimique, la masse totale reste constante (sauf dans les réactions nucléaires !) « Loi de LAVOISIER ». En Génie des Réacteurs, les bilans sont en général écrits à l’échelle macroscopique, sur les composés (réactifs et produits) - L’écriture en masse ou en moles est alors équivalente. - L’écriture en moles est la plus pratique, puisque la stœchiométrie de la réaction peut être prise en compte directement. Donc par une équation de bilan, on peut relier la composition du mélange réactionnel, les flux de matière entrant et sortant du réacteur et les débits de transformation chimique. Pour chaque constituant, l’équation de bilan de matière (molaire), s’écrit par la formulation suivante basée sur le principe de conservation de matière : [Flux entrant dans V] + [Débit de production] = [Flux sortant de V] + [Débit d’accumulation] Bilan sur un constituant chimique j 𝑭𝒋𝒆 + 𝑹𝒋 𝑽𝒓 = 𝑭𝒋𝒔 + 𝒅𝒏𝒋 𝒅𝒕 (II.1) 𝐹je : Flux de l’élément i à l’entrée du réacteur [mole/s] ; 𝐹js : Flux de l’élément i à la sortie du réacteur [mole/s] ; V : Volume du mélange réactionnel dans le réacteur [m3] ; 𝑅𝑗 : Vitesse de transformation du réactif 𝑗 par rapport au volume V [mole/s.m3] ; 𝑅𝑗 = ν𝑗 r, r est la vitesse globale de la réaction, 𝑑𝑛𝑗 𝑑𝑡 : Débit d’accumulation. Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Exemple 1 : Dans le cas d’une réaction simple (irréversible avec réactif unique) A→B : 𝑟=− 1 𝑑 [ 𝐴] 1 𝑑 [ 𝐴] 1 = ( ) = − 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴 = −𝑅𝐴 𝑎 𝑑𝑡 𝑣𝐴 𝑑𝑡 𝑣𝐴 rA : est la vitesse de disparition du réactif A. Le bilan par rapport au réactif A s’écrit donc : 𝐹𝐴𝑒 − 𝑣𝐴 1 𝑑𝑛𝐴 𝑟𝐴 𝑉𝑟 = 𝐹𝐴𝑠 + 𝑣𝐴 𝑑𝑡 Donc : 𝐹𝐴𝑒 − 𝑟𝐴 𝑉𝑟 = 𝐹𝐴𝑠 + 𝑑𝑛𝐴 𝑑𝑡 Par la suite, dans chaque équation bilan on essaie de faire apparaitre le terme (-RA) pour pouvoir le remplacer directement par rA dans le cas d’une réaction simple. II.4.2. Les termes du bilan de matière 1. Les termes d’entrée et de sortie représentent les flux de matière qui rentrent et sortent du système avec les courants (écoulement convectif) (kg.s-1, mol.s-1) : Un système est dit ouvert (continu), lorsque ces termes sont non nuls (au moins pour un courant) Un système est dit fermé (discontinu), lorsque ces termes sont nuls. 2. Le terme de variation de la masse représente l’accumulation ou l’épuisement de matière dans le système avec le temps (kg.s-1, mol.s-1). Dans les systèmes ouverts en régime stationnaire, ou permanent, ce terme est égal à zéro… II.5. Equations caractéristiques des réacteurs idéaux II.5.1. Equation caractéristique du réacteur fermée (RF) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Le réacteur est parfaitement mélangé, en général en phase liquide. La concentration est uniforme dans le réacteur. Bilan sur le constituant Aj sur le réacteur entier : E + P = S + Acc Dans ce réacteur, il n'y a ni flux d'entrée ni flux de sortie. Le bilan se réduit à : [Production] = [Accumulation] 𝑹𝒋 𝑽 = 𝒅𝒏𝒋 (II.2) 𝒅𝒕 Avec : 𝑹𝒋 = 𝝂𝒋 𝒓 dans le cas d’une réaction simple 𝑹𝒋 = ∑𝒊 𝝂𝒊𝒋 𝒓𝒊 dans le cas des réactions multiples II.5.1. 1. Cas de réaction unique Soit une réaction simple : A → produits Le bilan de matière sur le réactif-clé A s’écrit : 𝝂𝑨 𝒓𝑽 = −𝒅𝒏𝑨 𝒓𝑽 𝒅𝒏𝑨 𝒅𝒕 𝑨 → −𝒓𝑽 = 𝒅𝒏 𝒅𝒕 = 𝒅𝒕 (II.3) Par intégration, on peut calculer le temps de séjour t s permettant d’obtenir une quantité finale nAf : 𝒏 𝒕𝒔 = − ∫𝒏 𝑨𝒇 𝒅𝒏𝑨 𝑨𝟎 (II.4) 𝒓𝑽 II.5.1.1.1. Temps de séjour en fonction de l’avancement généralisé χ 𝑹𝒋 𝑽 = 𝒅𝒏𝒋 𝒅𝒕 𝐧𝐣 = 𝐧𝐣𝟎 + 𝛎𝐣 𝐧𝟎 𝛘 → (II.2) 𝒅𝒏𝒋 𝒅𝝌 = 𝛎𝐣 𝐧𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 −(−𝑹𝒋 )𝑽 = 𝛎𝐣 𝐧𝟎 𝒅𝝌 𝒅𝒕 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. 𝒕 𝝌 𝒅𝝌 ∫𝟎 𝒅𝒕 = − 𝛎𝐣𝐧𝟎 ∫𝟎 𝒔 (−𝑹 )𝑽 (II.5) 𝒋 Si V est constant 𝒕 𝝌𝒔 ∫ 𝒅𝒕 = − 𝛎𝐣𝐂𝟎 ∫ 𝟎 𝟎 𝒅𝝌 (−𝑹𝒋 ) Le temps de séjour : 𝝌 𝒅𝝌 𝒕𝒔 = −𝛎𝐣 𝐂𝟎 ∫𝟎 𝒔 (−𝑹 ) (II.6) 𝒋 Si V n’est pas constant, V= VT = V0 β (1 +αχ) 𝒕 𝝌𝒔 ∫ 𝒅𝒕 = − 𝛎𝐣𝐧𝟎 ∫ 𝟎 𝒅𝝌 (−𝑹𝒋 )𝑽𝟎 𝜷(𝟏 + 𝜶𝝌) 𝟎 Le temps de séjour : 𝝌 𝒕𝒔 = −𝛎𝐣 𝐧𝟎 ∫𝟎 𝒔 (−𝑹 )𝑽 𝒋 𝒅𝝌 𝟎 𝜷(𝟏+𝜶𝝌) (II.7) Exemple 2: Pour une réaction simple : A → produits ν𝐴 = −1 Si V est constant 𝒕 𝝌𝒔 𝝌𝒔 𝒅𝝌 𝒅𝝌 ∫ 𝒅𝒕 = 𝐂𝐀𝟎 ∫ → 𝒕𝒔 = 𝐂𝐀𝐎 ∫ 𝟎 𝟎 (−𝑹𝑨 ) 𝟎 (−𝑹𝑨 ) Si V n’est pas constant, V= VT = V0 β (1 +αχ) 𝒕 𝝌𝒔 𝝌𝒔 𝒅𝝌 𝒅𝝌 ∫ 𝒅𝒕 = 𝐧𝐀𝟎 ∫ → 𝒕𝒔 = 𝐧𝐀𝟎 ∫ 𝟎 𝟎 (−𝑹𝑨 )𝑽𝟎 𝜷(𝟏 + 𝜶𝝌) 𝟎 (−𝑹𝑨 )𝑽𝟎 𝜷(𝟏 + 𝜶𝝌) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.5.1.1.2. Temps de séjour en fonction de taux de conversion xc 𝑹𝒋 𝑽 = 𝐧𝐣 = 𝐧𝐣𝟎 − 𝒅𝒏𝒋 (II.2) 𝒅𝒕 𝒅𝒏𝒋 𝛎𝐣 𝛎𝐣 𝒅𝒙 𝐧𝐜𝟎 𝐱 𝐜 → = − 𝒏𝒄𝟎 𝒄 𝛎𝐜 𝛎𝐜 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Donc de (II.2) −(−𝑹𝒋 )𝑽 = − 𝒕 𝒙𝒄 ∫ 𝒅𝒕 = ∫ 𝟎 𝟎 𝒕 𝒙𝒄 ∫ 𝒅𝒕 = ∫ 𝟎 𝟎 𝝂𝒋 𝒕 𝒙 𝛎𝐣 𝛎𝐜 𝒏𝒄𝟎 𝒅𝒙𝒄 𝒅𝒕 𝝂𝒋 𝒅𝒙𝒄 𝒏𝒄𝟎 𝝂𝒄 (−𝑹𝒋 )𝑽 𝝂𝒋 𝒅𝒙𝒄 𝒏𝒄𝟎 𝝂𝒄 (−𝑹𝒋 )𝑽 𝒅𝒙 ∫𝟎 𝒅𝒕 = 𝝂 𝒏𝒄𝟎 ∫𝟎 𝒄 (−𝑹 𝒄)𝑽 𝒄 (II.8) 𝒋 Si V est constant 𝝂𝒋 𝒕 𝒙 𝝂𝒋 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒄 𝒄 𝒄 𝒄 ∫𝟎 𝒅𝒕 = 𝝂 𝑪𝒄𝟎 ∫𝟎 (−𝑹 ) → 𝒕𝒔 = 𝝂 𝑪𝒄𝟎 ∫𝟎 (−𝑹 ) 𝒄 𝒋 𝒄 𝒋 Si V n’est pas constant, V = VT = V0 β (1 +αχ) 𝒙𝒄 𝒕 𝝂𝒋 𝒅𝒙𝒄 ∫ 𝒅𝒕 = 𝒏𝒄𝟎 ∫ 𝝂𝒄 (−𝑹𝒋 )𝑽𝟎 𝛽(𝟏 + 𝜶𝝌) 𝟎 𝟎 𝟏 𝒏𝑪𝟎 D’où 𝝌 = − 𝝂 𝒄 𝒏𝟎 𝒙𝑪 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = 0 Donc 𝝂𝒋 𝜈𝑐 𝑥𝐶 𝑛𝐶0 ∫ 0 𝑑𝑥𝐶 (−𝑅𝑗 )𝑉0 𝛽(1 − 𝛼 1 𝑛𝐶0 𝑥 ) 𝜈𝐶 𝑛0 𝐶 (II.9) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. 𝒕𝒔 = 𝝂𝒋 𝝂𝒄 𝒙 𝒏𝑪𝟎 ∫𝟎 𝑪 𝒅𝒙𝑪 𝟏 𝒏𝑪𝟎 𝝂𝑪 𝒏𝟎 (−𝑹𝒋 )𝑽𝟎 𝜷(𝟏−𝜶 (II.10) 𝒙𝑪 ) Exemple 3 : A→B (réaction simple d’ordre égale à 1) V=cte 𝝂𝒋 𝒕 𝒙 𝝂𝒋 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒄 𝒄 ∫𝟎 𝒅𝒕 = 𝝂 𝑪𝒄𝟎 ∫𝟎 (−𝑹𝒄 ) → 𝒕𝒔 = 𝝂 𝑪𝒄𝟎 ∫𝟎 (−𝑹𝒄 ) 𝒄 𝒋 𝒄 𝒋 (II.9) Donc 𝒙𝑨 𝒕 𝝂𝑨 𝒅𝒙𝑨 ∫ 𝒅𝒕 = 𝑪𝑨𝟎 ∫ (−𝑹𝑨 ) 𝝂𝑨 𝟎 𝟎 On a : 𝑅𝐴 = 𝜈𝐴 𝑟 = 𝜈𝐴 (− 𝑟=− 1 𝑟 ) = −𝑟𝐴 → −𝑅𝐴 = 𝑟𝐴 𝜈𝐴 𝐴 1 1 𝑟𝐴 = − 𝑟 = 𝑟𝐴 = 𝑘[𝐴] 𝜈𝐴 −1 𝐴 D’où [𝐴] = [𝐴]0 (1 − 𝑥𝐴 ) Alors 𝑟 = 𝑘 [𝐴]0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝒙𝑨 𝒕 𝝂𝑨 𝒅𝒙𝑨 ∫ 𝒅𝒕 = [𝑨]𝟎 ∫ 𝝂𝑨 𝑘[𝐴]0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝟎 𝟎 Donc 𝒙𝑨 𝟏 𝒅𝒙𝑨 𝑡𝑠 = ∫ 𝒌 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝟎 𝒙𝑨 𝟏 𝒅𝒙𝑨 𝟏 𝟏 𝒙 𝑡𝑠 = ∫ = (−𝒍𝒏(𝟏 − 𝒙𝑨 ))𝐈𝟎𝑨 = − [𝒍𝒏(𝟏 − 𝒙𝑨 ) − 𝒍𝒏(𝟏)] 𝒌 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝒌 𝒌 𝟎 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. 𝟏 𝒕𝒔 = − 𝒌 𝒍𝒏(𝟏-𝒙𝑨 ) II.5.1.1.3. Temps de séjour en fonction du degré d’avancement ξ L’équation de bilan matière en fonction de ξ pour le constituant A : 𝒏𝑨 = 𝒏𝑨𝟎 + 𝝂𝑨 𝝃 peut s’écrire : 𝒓𝑽 = 𝒅𝝃 𝒅𝒕 D’où : 𝝃 𝒅𝝃 𝒕𝒔 = ∫𝟎 (II.11) 𝒓𝑽 II.5.1.1.4. Représentation graphique de ts en fonction de XA, χ et CA A partir des équations de ts en fonction du temps de conversion et de l’avancement : 𝒙𝑨 𝝌 𝒅𝒙𝑨 𝒅𝝌 𝒕𝒔 = 𝑪𝑨𝟎 ∫ = 𝑪𝟎 ∫ 𝟎 (−𝑹𝑨 ) 𝟎 𝒓 - ts peut être déterminé graphiquement en traçant CA0 /(-RA) ou C0/r en fonction de 𝒙𝑨 ou χ respectivement (comme indique la figure suivante) - ts peut être également déterminé graphiquement en traçant 1/(-RA) en fonction de CA A partir de l′équation : 𝒅𝒏𝑨 𝒅𝒕 𝒅𝑪𝑨 (𝑹𝑨 ) = 𝒅𝒕 (𝑹𝑨 )𝑽 = Avec : 𝑪𝑨 = 𝒏𝑨 𝑽 D’où : 𝑪𝑨𝒇 𝒕𝒔 = ∫ 𝑪𝑨𝟎 𝑪𝑨𝟎 𝒕𝒔 = ∫ 𝑪𝑨𝒇 𝒅𝑪𝑨 𝑹𝑨 𝒅𝑪𝑨 (−𝑹𝑨 ) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Figure II.1 : Représentation graphique de ts en fonction de χ, xA et CA pour un RF II.5.1.2.Cas de réaction multiples Dans le cas de réactions multiples, le bilan matière dans le réacteur parfaitement agité fermé (RF) s’écrit : 𝑽 ∑ 𝝂𝒊𝒋 𝒓𝒊 = 𝒊 𝒅𝒏𝒋 𝒅𝒕 (𝑰𝑰. 𝟏𝟐) II.5.1.2.1. Bilan de matière en fonction des avancements ξ et χ En introduisant les avancements ξ et χ : 𝒎 𝒎 𝒏𝒋 = 𝒏𝒋𝟎 + ∑ 𝝂𝒊𝒋 𝝃𝒊 = 𝒏𝒋𝟎 + 𝒏𝟎 ∑ 𝝂𝒊𝒋 𝝌𝒊 𝒊 𝒊 𝒎 𝒎 𝒊 𝒊 𝒅𝒏𝒋 𝒅𝝃𝒊 𝒅𝝌𝒊 𝑽 ∑ 𝝂𝒊𝒋 𝒓𝒊 = = ∑ 𝝂𝒊𝒋 = 𝒏𝟎 ∑ 𝝂𝒊𝒋 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒊 L’équation de bilan de matière s’écrit : 𝑽𝒓𝒊 = 𝒅𝝃𝒊 𝒅𝒕 = 𝒏𝟎 𝒅𝝌𝒊 𝒅𝒕 (II.13) On obtient un système d’équations permettant de calculer les avancements de chaque réaction. Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Exemple 4 : Déterminer la composition en fonction du temps, d’un mélange liquide isotherme et de volume constant où ont lieu les réactions consécutives suivantes : 𝑨→𝑹 𝒓𝟏 = 𝒌𝟏 𝑪𝑨 𝑹→𝑺 𝒓𝟐 = 𝒌𝟐 𝑪𝑹 Solution Les bilans de matières sur les constituants A, R et S s’écrivent : 𝒅𝑪𝑨 𝒅𝒕 𝒅𝑪𝑹 𝒌𝟏 𝑪𝑨 − 𝒌𝟐 𝑪𝑹 = 𝒅𝒕 𝒅𝑪𝑺 𝒌𝟐 𝑪𝒓 = 𝒅𝒕 −𝒌𝟏 𝑪𝑨 = Sachant que le réactif-clé A est pur (CA0 = C0) et V constant, on obtient après intégration : 𝑪𝑨 = 𝑪𝑨𝟎 𝒆−𝒌𝟏 𝒕 𝑪𝑹 = 𝒌𝟏 𝑪𝑨𝟎 (𝒆−𝒌𝟏 𝒕 − 𝒆−𝒌𝟐 𝒕 ) 𝒌𝟐 − 𝒌𝟏 𝑪𝑺 = 𝑪𝑨𝟎 (𝟏 − 𝒌𝟐 𝒆−𝒌𝟏 𝒕 − 𝒌𝟏 𝒆−𝒌𝟐 𝒕 ) 𝒌𝟐 − 𝒌𝟏 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.5.2. Equation caractéristique du réacteur semi-fermé (RSF, semibatch reactor) Dans ce réacteur, il n'y a pas de flux de sortie E + P = S + Acc Le bilan se réduit à : [Entrée] + [Production] = [Accumulation] II.5.2. 1. Cas de réaction unique 𝑭𝒋𝒆 + 𝑹𝒋 𝑽 = 𝒅𝒏𝒋 (II.14) 𝒅𝒕 On a : 𝑑𝑛𝑗 𝜈𝑗 𝑑𝑥𝐶 = − 𝑛𝐶0 𝑑𝑡 𝜈𝑐 𝑑𝑡 𝐹𝑗𝑒 = 𝐹𝑗0 − 𝜈𝑗 𝜈𝑐 𝐹𝐶0 𝑥𝐶 Donc : 𝑭𝒋𝟎 − 𝝂𝒋 𝝂𝒄 𝑭𝑪𝟎 𝒙𝑪 + 𝐑𝐣 𝐕 = − 𝝂𝒋 𝝂𝒄 𝒏𝑪𝟎 𝒅𝒙𝑪 (II.15) 𝒅𝒕 Exemple 5: Pour une réaction simple : A → produits 𝐹𝐴0 − 𝜈𝐴 𝜈𝐴 𝐹𝐴0 𝑥𝐴 + R j V = − 𝜈𝐴 𝜈𝐴 𝑛𝐴0 𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴0 𝑥𝐴 − (−R j )V = −𝑛𝐴0 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 Donc 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) − (−R j )V = −𝑛𝐴0 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.5.3. Equation caractéristique du réacteur ouvert parfaitement agité (RPA, Continuos Stirred Tank Reactor) Avant d’aborder le bilan de matière dans les réacteurs ouverts fonctionnant en régime permanent, il est important de définir les paramètres opératoires permettant de mesurer la capacité de traitement de ces réacteurs. Temps de passage τ Dans ces réacteurs, le volume du réacteur (V) est traversé par un débit volumique Q 0 (m3.s-1). Le temps de passage du réacteur « τ » est défini par : 𝝉= 𝑽 (𝑰𝑰. 𝟏𝟔) 𝑸𝟎 De manière similaire au t s, dans le cas du réacteur batch, τ représente une mesure des performances d’un réacteur en écoulement. Le bilan contient des termes d'entrée et sortie, mais pas d'accumulation, car on travaille en régime permanent. E + P = S + Acc Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Le bilan se réduit à : [Entrée] + [Production] = [Sortie] II.5.3. 1. Cas de réaction unique Le bilan de matière sur le constituant A dans tout le réacteur s’écrit : 𝑭𝒋𝒆 + 𝑹𝒋 𝑽 = 𝑭𝒋𝒔 (II.17) 𝑭𝒋𝒔 −𝑭𝒋𝒆 = 𝑹𝒋 𝑽 On a 𝛎𝐣 𝐅 𝐱 𝛎𝐂 𝐂𝟎 𝐂𝐞 𝛎𝐣 𝐅𝐣𝐬 = 𝐅𝐣𝟎 − 𝐅𝐂𝟎 𝐱 𝐂𝐬 𝛎𝐂 𝐅𝐣𝐞 = 𝐅𝐣𝟎 − Donc 𝑭𝒋𝒔 − 𝐅𝐣𝐞 = − 𝛎𝐣 𝛎𝐂 𝐅𝐂𝟎 𝐱𝐂𝐬 = −(−𝑹𝒋 )𝑽 𝐹𝐶0 = 𝑄𝐶0 𝐶𝐶0 Donc on peut écrire νj νC 𝑄𝐶0 𝐶𝐶0xCs = (−𝑅𝑗 )𝑉 → νj 𝐶 x νC 𝐶0 Cs (−𝑅𝑗 ) = 𝑉 𝑄𝐶0 Donc 𝜏= νj 𝐶 x νC 𝐶0 Cs (−𝑅𝑗 ) (II.18) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Exemple 6 : Pour une réaction simple : A → 2B νj 𝐶 x νC 𝐶0 Cs 𝜏= (−𝑅𝑗 ) (−𝑅𝑗 ) = 𝑟𝐴 = 𝑘[𝐴] [ 𝐴] = 𝐹𝐴 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) = 𝑄 𝑄0 𝛽(1 + 𝛼𝜒) A →2B produits donc 𝜒 = 𝑥 Donc [ 𝐴] = 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝑄0 𝛽(1 + 𝛼𝑥𝐴 ) T et P sont constantes donc β=1 et α=1 [ 𝐴] = 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝑄0 (1 + 𝑥𝐴 ) Temps de passage νj νA 𝐶𝐶0xCs [𝐴]0xA νC νA 𝜏= → 𝜏 = 𝐹 (1 − 𝑥 ) (−𝑅𝑗 ) 𝐴 𝐾 𝐴0 𝑄0 (1 + 𝑥𝐴 ) 𝜏= 𝑄0 [𝐴]0xA (1 + 𝑥𝐴 ) 𝐾𝐹𝐴0(1 − 𝑥𝐴 ) 𝜏= 𝑄0 xA (1 + 𝑥𝐴 ) 𝐾𝑄𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.5.3. 1.1. Temps de passage en fonction de taux de conversion xc Soit la réaction : A → produits Le flux de matière du constituant A en fonction de xA s’écrit : A l′entrée du réacteur ∶ 𝑭𝑨𝒆 = 𝑭𝑨𝟎 (𝟏 − 𝒙𝑨𝒆 ) A la sortie du réacteur ∶ 𝑭𝑨𝒔 = 𝑭𝑨𝟎 (𝟏 − 𝒙𝑨𝒔 ) En remplaçant les expressions de FAe et FAs dans l’équation de bilan de matière sur le constituant A, V et τ s’écrivent : 𝑽= 𝝉= 𝑭𝑨𝟎 (𝒙𝑨𝒔 −𝒙𝑨𝒆 ) (II.19) 𝒓 𝑪𝑨𝟎 (𝒙𝑨𝒔 −𝒙𝑨𝒆 ) (II.20) 𝒓 II.5.3.1.2. Temps de passage en fonction de CA Soit la réaction : A → produits En régime permanent, le bilan de matière sur le constituant A dans tout le réacteur s’écrit : 𝑭𝑨𝒆 − 𝒓 𝑽 = 𝑭𝑨𝒔 𝑸𝒆 𝑪𝑨𝒆 − 𝒓 𝑽 = 𝑸𝒔 𝑪𝑨𝒔 En présence des constituants inertes : 𝑭𝑰𝒆 = 𝑭𝑰𝒔 - Si la masse volume ρ ≠ Constante ⇒ QAe ≠ QAs ≠ Q0 (cas d’une phase gazeuse) D’où : 𝑽= 𝑸𝒆 𝑪𝑨𝒆 −𝑸𝒔 𝑪𝑨𝒔 𝒓 (II.21) - Si ρ = Constante ⇒ QAe = QAs = Q0 (cas d’une phase liquide) 𝑽= 𝑸𝟎 (𝑪𝑨𝒆 −𝑪𝑨𝒔 ) 𝒓 (II.22) D’où : 𝝉= (𝑪𝑨𝒆 −𝑪𝑨𝒔 ) 𝒓 (II.23) II.5.3.1.3. Temps de passage en fonction de l’avancement généralisé χ Soit la réaction : A → produits Le flux de matière du constituant A en fonction de χ s’écrit : A l′entrée du réacteur ∶ 𝑭𝑨𝒆 = 𝑭𝑨𝟎 + 𝝂𝑨 𝑭𝟎 𝝌𝒆 A la sortie du réacteur ∶ 𝑭𝑨𝒔 = 𝑭𝑨𝟎 + 𝝂𝑨 𝑭𝟎 𝝌𝒔 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Le flux molaire total des constituants actifs dans l’état de référence : F0 = ∑j Fj0 En remplaçant les expressions de FAe et FAs et rA par 𝝂𝑨 𝒓 dans l’équation de bilan de matière sur le constituant A, on obtient : 𝑭𝑨𝟎 + 𝝂𝑨 𝑭𝟎 𝝌𝒆 + 𝝂𝑨 𝒓𝑽𝑹 = 𝑭𝑨𝟎 + 𝝂𝑨 𝑭𝟎 𝝌𝒔 L’expression de VR s’écrit alors : 𝑽= 𝑭𝟎 (𝝌𝒔 −𝝌𝒆 ) 𝒓 (II.24) et celle de τ : 𝝉= 𝑪𝟎 (𝝌𝒔 −𝝌𝒆 ) 𝒓 (II.25) Tels que 𝝉 : 𝑽 𝑭 𝝉 = 𝑸𝑹 et 𝑪𝟎 = 𝑸𝟎 𝟎 𝟎 En résumé : 𝑽𝑹 = 𝝉= 𝑸𝟎 (𝑪𝑨𝒆 − 𝑪𝑨𝒔 ) 𝑭𝟎 (𝝌𝒔 − 𝝌𝒆 ) 𝑭𝑨𝟎 (𝒙𝑨𝒔 − 𝒙𝑨𝒆 ) = = 𝒓 𝒓 𝒓 𝑽𝑹 𝑪𝑨𝒆 − 𝑪𝑨𝒔 𝑪𝟎 (𝝌𝒔 − 𝝌𝒆 ) 𝑪𝑨𝟎 (𝒙𝑨𝒔 − 𝒙𝑨𝒆 ) = = = 𝑸𝟎 𝒓 𝒓 𝒓 Remarque : Si à l’entrée du réacteur : 𝝌𝑨𝒆 = 𝟎 et 𝒙𝑨𝒆 = 𝟎 ⇒ FAe = FA0 𝑸𝟎 (𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨𝒔 ) 𝑭𝟎 𝝌𝒔 𝑭𝑨𝟎 𝒙𝑨𝒔 = = 𝒓 𝒓 𝒓 𝑽𝑹 𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨𝒔 𝑪𝟎 𝝌𝒔 𝑪𝑨𝟎 𝒙𝑨𝒔 𝝉= = = = 𝑸𝟎 𝒓 𝒓 𝒓 𝑽𝑹 = II.5.3.1.4. Représentation graphique de τ en fonction de C A et xA Le temps de passage τ nécessaire pour atteindre une concentration C As (ou xAs ) donnée est représenté graphiquement sur la Figure suivante en tenant compte des conditions de sortie, qui sont celles qui règnent à l’intérieur de l’appareil : Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Figure II.2 : Représentation graphique de τ en fonction de χ, xA et CA pour un RPA II.5.3. 2.Cas de réaction multiples Le bilan de matière sur le constituant j dans tout le RPA en régime permanent s’écrit : 𝑭𝒋𝒆 + 𝑹𝒋 𝑽 = 𝑭𝒋𝒔 A l′entrée du réacteur ∶ 𝑭𝒋𝒆 = 𝑭𝒋𝟎 + 𝑭𝟎 ∑𝒊 𝝂𝒊𝒋 𝝌𝒊𝒆 A la sortie du réacteur ∶ 𝑭𝒋𝒔 = 𝑭𝒋𝟎 + 𝑭𝟎 ∑𝒊 𝝂𝒊𝒋 𝝌𝒊𝒔 En remplaçant les expressions de Fje et Fjs dans l’équation de bilan de matière, on obtient un système d’équations : 𝑭𝟎 ∑ 𝝂𝒊𝒋 (𝝌𝒊𝒔 − 𝝌𝒊𝒆 ) = ∑ 𝝂𝒊𝒋 𝒓𝒊 𝑽𝑹 𝒊 𝒊 Avec : 𝑹𝒋 = ∑𝒊 𝝂𝒊𝒋 𝒓𝒊 Pour une réaction donnée i : 𝑭𝟎 (𝝌𝒊𝒔 − 𝝌𝒊𝒆 ) = 𝒓𝒊 𝑽𝑹 Avec F0 = C0*Q0 Donc : 𝝉= 𝑽𝑹 𝑸𝟎 = 𝑪𝟎 (𝝌𝒊𝒔 −𝝌𝒊𝒆 ) 𝒓𝒊 (II.26) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. II.5.4. Equation caractéristique du Réacteur Piston (RP) Ce réacteur, travaille à régime permanent donc il n'y a pas de d'accumulation. E + P = S + Acc Le bilan se réduit à : [Entrée] + [Production] = [Sortie] II.5.4. 1. Cas de réaction unique En régime permanent, le bilan de matière sur le constituant A dans la tranche dV s’écrit : L'abscisse axiale z est utilisée : 𝐹𝑗 |𝑍 + 𝑅𝑗 𝑑𝑉 = 𝐹𝑗 |𝑍+𝑑𝑍 𝐹𝑗 |𝑍 + 𝑅𝑗 𝑑𝑉 = 𝐹𝑗 |𝑍 + 𝑅𝑗 𝑑𝑉 = 𝑅𝑗 𝑆𝑑𝑧 = 𝜕𝐹𝑗 𝜕𝑍 𝑑𝑧 Fj = Fj0 − νj νC 𝜕𝐹𝑗 𝑑𝑍 𝜕𝑍 𝜕𝐹𝑗 𝑑𝑍 𝜕𝑍 S est la surface d’une section 𝑅𝑗 𝑆 = On a (II.27) 𝜕𝐹𝑗 𝜕𝑍 FC0 xC −(−𝑅𝑗 )𝑆 = − νj 𝑑𝑥𝐶 𝐹𝐶0 νC 𝑑𝑧 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. −(−𝑅𝑗 )𝑆𝑑𝑧 = − (−𝑅𝑗 )𝑑𝑉 = νj 𝐹 𝑑𝑥 νC 𝐶0 𝐶 νj 𝐹 𝑑𝑥 νC 𝐶0 𝐶 𝑉 νj 𝑥 𝐶 1 𝑑𝑉 ∫ = ∫ 𝑑𝑥𝐶 𝐹 ν (−𝑅 ) 𝐶0 C 𝑗 0 0 νj 𝑥 𝐶 1 𝑉 = ∫ 𝑑𝑥 𝐹𝐶0 νC 0 (−𝑅𝑗 ) 𝐶 νj 𝑥 𝐶 1 𝑉 = ∫ 𝑑𝑥 𝑄𝐶0 𝐶𝐶0 νC 0 (−𝑅𝑗 ) 𝐶 𝜏= νj νC 𝑥 𝐶𝐶0 ∫0 𝐶 1 (−𝑅𝑗 ) 𝑑𝑥𝐶 (II.28) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Exemple 7 : Pour une réaction simple : A → 2B (T et P constantes) (β=1, α=1) (−𝑅𝑗 ) = 𝑟𝐴 = 𝑘[𝐴] [ 𝐴] = [ 𝐴] = 𝐹𝐴 𝑄 𝐹 (1−𝑥 ) 𝐴 = 𝑄 𝐴0𝛽(1+𝛼𝜒) 0 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝑄0 𝛽(1 + 𝛼𝑥𝐴 ) T et P constantes donc [ 𝐴] = 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝑄0 (1 + 𝑥𝐴 ) Temps de passage 𝑥𝐶 1 νA 𝜏 = [𝐴]0 ∫ 𝑑𝑥𝐶 νA 0 𝑘[𝐴] νA 𝐹𝐴0 𝑥𝐴 1 𝜏= ∫ 𝑑𝑥 νA 𝑄0 0 𝑘 𝐹𝐴0 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝐴 𝑄0 (1 + 𝑥𝐴 ) 𝜏=∫ 𝑥𝐴 (1 + 𝑥 ) 𝐴 0 𝑘 (1 − 𝑥𝐴 ) 𝑑𝑥𝐴 Volume du réacteur On a νj 𝑥 𝐶 1 𝑉 = ∫ 𝑑𝑥 𝐹𝐶0 νC 0 (−𝑅𝑗 ) 𝐶 Donc par rapport au réactif clé Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. 𝑉 νA 𝑥 𝐴 1 = ∫ 𝑑𝑥 𝐹𝐴0 νA 0 (−𝑅𝐴 ) 𝐴 νA 𝑥 𝐴 1 𝑉 = ∫ 𝐹𝐴0 𝑑𝑥 νA 0 (−𝑅𝐴 ) 𝐴 𝑥𝐴 𝑉=∫ 𝐹𝐴0 0 𝑥𝐴 1 𝑘[𝐴] 𝑑𝑥𝐴 1 𝐹𝐴0 𝐹 (1 − 𝑥 ) 𝑑𝑥𝐴 𝐴0 𝐴 𝑉=∫ 0 𝑘 𝑉=∫ 𝑄0 (1 + 𝑥𝐴 ) 𝑥𝐴 𝑄 (1 + 𝑥 ) 𝐴 0 𝑘(1 − 𝑥𝐴 ) 0 𝑑𝑥𝐴 II.5.4.1.1. Temps de passage en fonction du taux de conversion xC Soit la réaction : A → produits 𝑭𝑨 + 𝝂𝑨 𝒓𝒅𝑽 = 𝑭𝑨 + 𝒅𝑭𝑨 En remplaçant FA = FA0 (1 ̶ xA) dans l’équation de bilan on obtient : 𝒙 𝑽 = 𝑭𝑨𝟎 ∫𝒙 𝑨𝒔 𝑨𝒆 𝒅𝒙𝑨 (II.29) (−𝑹𝑨 ) Soit : 𝝉= 𝑽 𝑸𝟎 𝒙 = 𝑪𝑨𝟎 ∫𝒙 𝑨𝒔 𝑨𝒆 𝒅𝒙𝑨 (−𝑹𝑨 ) II.5.4.1.2. Temps de passage en fonction de CA Soit la réaction : A → produits 𝑭𝑨 + 𝝂𝑨 𝒓𝒅𝑽 = 𝑭𝑨 + 𝒅𝑭𝑨 En remplaçant FA par QCA, l’équation de bilan s’écrit : (II.30) Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. 𝑸𝒅𝑪𝑨 = (𝑹𝑨 ) 𝒅𝑽 𝑪 𝑽 = ∫𝑪 𝑨𝒔 𝑨𝒆 𝑽 𝝉= 𝑸𝟎 𝑸𝒅𝑪𝑨 (II.31) (𝑹𝑨 ) 𝑪 = ∫𝑪 𝑨𝒔 𝑨𝒆 𝒅𝑪𝑨 (II.32) (𝑹𝑨 ) Même expression qu’en réacteur fermé Remarque : Dans le cas d’un débit uniforme Q = Q0 II.5.4.1.3. Temps de passage en fonction de l’avancement généralisé χ Soit la réaction : A → produits 𝑭𝑨 + 𝝂𝑨 𝒓𝒅𝑽 = 𝑭𝑨 + 𝒅𝑭𝑨 A partir de l’expression du flux FA en fonction de χ : 𝑭𝑨 = 𝑭𝑨𝟎 + 𝝂𝑨 𝑭𝟎 𝝌 L’équation de bilan s’écrit : 𝑭𝟎 𝒅𝝌 =𝒓 𝒅𝑽 𝑽 𝝌 𝒅𝝌 𝑽 = ∫𝟎 𝒅𝑽 = 𝑭𝟎 ∫𝝌 𝒔 𝒆 𝒓 (II.33) D’où : 𝝉= 𝑽 𝑸𝟎 𝝌 𝒅𝝌 = 𝑪𝟎 ∫𝝌 𝒔 𝒆 (II.34) 𝒓 Avec : 𝑪𝟎 = 𝑭𝟎 𝑸𝟎 En résumé : 𝑪𝑨𝒔 𝑽𝑹 = ∫ 𝑪𝑨𝒆 𝝌𝒔 𝒙𝑨𝒔 𝑸𝒅𝑪𝑨 𝒅𝝌 𝒅𝒙𝑨 = 𝑭𝟎 ∫ = 𝑭𝑨𝟎 ∫ 𝑹𝑨 𝝌𝒆 𝒓 𝒙𝑨𝒆 −𝑹𝑨 𝑪𝑨𝒆 𝝌𝒔 𝒙𝑨𝒔 𝑽𝑹 𝒅𝑪𝑨 𝒅𝝌 𝒅𝒙𝑨 𝝉= =∫ = 𝑪𝟎 ∫ = 𝑪𝑨𝟎 ∫ 𝑸𝟎 𝑪𝑨𝒔 −𝑹𝑨 𝝌𝒆 𝒓 𝒙𝑨𝒆 −𝑹𝑨 Chapitre II Classification des réacteurs chimiques. Bilans de matière dans les réacteurs idéaux. Remarque : Si à l’entrée du réacteur : 𝝌𝑨𝒆 = 𝟎 , 𝒙𝑨𝒆 = 𝟎 ⇒ FAe = FA0 𝑪𝑨𝟎 𝑽𝑹 = ∫ 𝑪𝑨𝒔 𝝉= 𝝌𝒔 𝒙𝑨𝒔 𝑸𝒅𝑪𝑨 𝒅𝝌 𝒅𝒙𝑨 = 𝑭𝟎 ∫ = 𝑭𝑨𝟎 ∫ −𝑹𝑨 𝒓 −𝑹𝑨 𝟎 𝟎 𝑪𝑨𝟎 𝝌𝒔 𝒙𝑨𝒔 𝑽𝑹 𝒅𝑪𝑨 𝒅𝝌 𝒅𝒙𝑨 =∫ = 𝑪𝟎 ∫ = 𝑪𝑨𝟎 ∫ 𝑸𝟎 𝒓 −𝑹𝑨 𝑪𝑨𝒔 −𝑹𝑨 𝟎 𝟎 L’écriture du bilan matière du réacteur piston (en fonction C A, χ et xA) est similaire à celle du réacteur fermé parfaitement mélangé. II.5.4.1.4. Représentation graphique de τ en fonction de xA, χ et CA Le temps de passage τ pour un RP nécessaire pour atteindre une concentration xA (χ ou CA) donnée est représenté graphiquement sur la Figure suivante : Figure II.3 : Représentation graphique de τ en fonction de χ, xA et CA pour un RP
