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2A : Réacteurs non-idéaux
ECOULEMENTS DANS LES REACTEURS
DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR
H. DELMAS
A.M. WILHELM
PLAN DU COURS :
I-DTS : définitions
II- DTS : détermination expérimentale
II-1- Traceur
II-2- Injection-impulsion
II-3- Injection-échelon
II-4- Méthode des deux mesures
III- MOMENTS
IV- REACTEURS IDEAUX
IV-1- Réacteur parfaitement mélangé
IV-2- Réacteur piston
V- EXPLOITATION D’UNE EXPERIENCE DE DTS
V-1- Forme adimensionnelle
V-2- Echantillonnage
V-3- Diagnostiques de mauvais fonctionnements
V-4- Réacteurs polyphasiques
VI- MODELES D’ECOULEMENT
VI-1- Bacs en cascade
VI-2- Modèle piston-dispersion
VI-3- Association de réacteurs idéaux
VII- CONSEQUENCES DES NON-IDEALITES EN REACTION
VII-1- Bacs en cascade-Associations de réacteurs idéaux
VII-2- Modèle piston-dispersion
VII-3- Modèle des filets en parallèle
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Introduction
Réacteur ouvert en régime d’écoulement permanent.
Temps de séjour d’une molécule : temps passé par une molécule dans
le réacteur.
Etat de mélange du réacteur relié à la distribution des temps de
séjours :
- RPiston : toutes les molécules ont le même temps de séjour
- RAC : temps de séjour très différents.
Objectifs du cours :
-
Caractériser l’état de mélange d’un réacteur
Identifier ses défauts d’écoulement
Représenter le réacteur par un modèle
Prévoir les performances en réaction
Démarche :
Distribution des temps de séjour
Exemples d’application :
Réacteurs monophasiques ouverts (gaz , liquide, ou solide).
Réacteurs polyphasiques : étude de chaque phase.
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I- DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR : définitions
Hypothèses :
- phénomènes déterministes
- écoulement en régime permanent
- fluide incompressible
Définitions de E(t) et F(t):
E(t), distribution des temps de séjour, est telle que E(t).dt est la
fraction du débit de sortie qui est restée dans le réacteur un temps
compris entre t et t+dt.
Propriétés de E(t) :
- E(t) est toujours positive
+∞
- E(t) est normée : ∫ E( t ).dt = 1
-1
0
- E(t) [T ]
t2
∫ E( t ).dt : fraction de débit restée entre t1 et t 2 dans le réacteur
t1
F(t), distribution cumulée des temps de séjour, est la fraction de
débit qui est restée moins de t dans le réacteur (plus jeune que t).
t
F( t ) = ∫ E( t ' ).dt '
0
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II- DISTRIBUTION DES TEMPS DE SEJOUR : détermination
II-1- Traceur
Il marque le fluide, sans le perturber.
- Mêmes propriétés que le fluide
- Inerte
- Mesurable en continu
- Injection et détection sur toute la section.
II-2- Injection impulsion (ou Dirac)
Introduction d’un nombre de moles n0 pendant un temps très court.
Mesure de la concentration cI(t) en sortie de réacteur.
Bilans en traceur :
- en sortie, pendant un temps dt :
Qc I ( t )dt
= E( t ).dt fraction du traceur ayant séjourné entre t et t + dt
n0
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- entrée-sortie du réacteur :
+∞
n 0 = ∫ Q.c I ( t ).dt
0
E( t ) =
cI ( t )
+∞
si le débit est uniforme.
∫ c I ( t )dt
0
La DTS E(t) est donc la réponse normée du réacteur à une injectionimpulsion.
II-3- Injection échelon
Echelon-positif : l’entrée passe brusquement de la concentration nulle
à la concentration c0. On mesure en sortie la concentration : cE(t)
cE (t ) t
= ∫ E( t ' ).dt ' = F( t )
c0
0
fraction de fluide entrée après t=0 (plus jeune que t).
La fonction F(t) apparaît comme la réponse adimensionnelle du
réacteur à un échelon-positif de traceur.
E( t ) =
dF
on peut donc calculer E(t) à partir de F(t).
dt
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Echelon-négatif (ou purge-échelon): l’entrée passe brusquement de la
concentration c0 à la concentration nulle. On mesure en sortie la
concentration : cPE(t).
c PE ( t ) +∞
= ∫ E( t ' ).dt ' = 1 − F( t ) fraction de fluide plus vieille que t
c0
t
II-4- Entrée quelconque, méthode des deux mesures.
Afin de s’affranchir des méthodes d’injection et de détection, on peut
faire deux mesures de concentration à deux niveaux dans le réacteur :
x(t) et y(t).
+∞
+∞
Si les deux fonctions sont normées : ∫ x( t )dt = ∫ y( t )dt = 1
0
0
t2
y( t 2 ) = ∫ x( t1 ).E( t 2 − t1 ).dt1
0
Si le système est linéaire, on peut appliquer la transformée de Laplace
L(f) à x(t) et y(t) pour obtenir X(s) et Y(s).
+∞
L(f ) = ∫ exp( −st ).f ( t ).dt
0
Y(s)= X(s).G(s)
G(s) fonction de transfert du système G=L(E)
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III- MOMENTS
Définition du moment µn et du moment centré µ’n d’ordre n de la
distribution E(t) :
+∞
+∞
n
µ n = ∫ t .E( t ).dt
0
µ' n = ∫ ( t − t ) n .E( t ).dt
0
Moment d’ordre 1 :
+∞
t = µ1 = ∫ t.E( t ).dt
temps de séjour moyen
0
t=τ=
V
Q
(s’il n’y a pas de dispersion en entrée-sortie du
réacteur).
Moment centré d’ordre 2 :
+∞
2
σ = µ' 2 = ∫ ( t − t ) 2 .E( t ).dt = µ 2 − t
2
0
2
σ : variance de la distribution ;
σ : écart-type.
Caractérise l’étalement de la distribution E(t), donc le mélange dans le
réacteur.
Systèmes linéaires :
 ∂ nG 
µ n = (− 1) . lim s→0  n 
théorème de Van der Laan.
∂
s


Les moments du système situé entre les 2 points de mesure x(t) et y(t)
s’écrivent :
ts = t y − t x
σs2 = σ 2y − σ 2x
n
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IV- REACTEURS IDEAUX
IV-1- Réacteur parfaitement mélangé.
Réponse impulsionnelle :
 t
c I ( t ) = c0 . exp − 
 t
1
 t
E( t ) = . exp − 
t
 t
Réponse à un échelon :

 t 
c E ( t ) = c0 .1 − exp −  
 t 

 t
F( t ) = 1 − exp − 
 t
Moments :
t=τ
2
σ2 = t .
IV-2- Réacteur piston
Distributions E et F :
E ( t ) = δ( t − t )
Moments :
t=τ
F( t ) = H( t − t )
σ2 = 0
V- EXPLOITATION D’UNE EXPERIENCE DE DTS.
V-1- Forme adimensionnelle.
Variable adimensionnelle θ et fonctions adimensionnelles Eθ et Fθ:
t
θ=
E θ = t .E ( t )
Fθ = F( t )
t
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V-2- Traitement d’un signal échantillonné
Cas 1
Cas 2
Cas 1 : échantillonnage d’un signal continu (ti ;cIi).
Cas 2 : prise d’échantillons discrets (ti-ti+1 ;cIi)
- On peut travailler sur les moments de E(t) ou ceux de cI(t) :
+∞
+∞
m
n
µ n = ∫ t .E( t ).dt
m n = ∫ t n .c I ( t ).dt
µn = n
m0
0
0
- Approximation des intégrales par des sommes (trapèzes par
exemple) :
N
Cas 1 :
µn =
∑ t in .E i .∆t i
i =1
Cas 2 : µ n =
N n
∑ t i .E i .∆t i
i =1
où t i est le milieu de l’intervalle [ti,ti+1].
On effectue les calculs suivants :
- moments : m0, m1, m2 puis µ1, µ’2 ou directement µ1, µ’2 .
- E(ti)=cIi/m0
m1
m0
m'
m
2
2
- Variance :
σ 2 = µ'2 = µ 2 − t = 2 = 2 − t
m0 m0
t
- Adimensionnalisation de la DTS : θi = i
E θi = t.E i
t
- Temps de séjour moyen :
t = µ1 =
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V-3- Diagnostiques de mauvais fonctionnements.
Volume mort
Si le temps de séjour mesuré est inférieur au temps de passage :
mauvaise estimation du volume offert au fluide.
Volumes stagnants
Traînée de courbe : diffusion vers les zones stagnantes.
Si le signal C(t) est enregistré entièrement t=τ.
Si le signal est coupé, t<τ.
Court-circuit
Premier pic fin : sortie du court-circuit.
Si le signal C(t) est enregistré entièrement t=τ.
Si le signal est tronqué (fréquence d’échantillonnage trop faible), t>τ.
V-4- Réacteurs polyphasiques
Si un réacteur comporte plusieurs phases, on réalise une DTS pour
chaque phase.
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VI- MODELES D’ECOULEMENT
VI-1- Bacs en cascade
N RAC en série
 − Nt 
exp

t 
 N  N −1

E ( t ) =   .t .
( N − 1)!
 t
N
DTS :
2
t
Moments :
t = N.t N = N.τ N
σ =
N
τN, tN : temps de passage ou temps de séjour moyen dans un RAC.
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VI-2- Modèle piston-dispersion
Modèle Piston + Dispersion axiale
Fj = Q.c j − D A .
∂c j
.S
(convection + dispersion)
∂z
DA : coefficient de dispersion axiale (m2.s-1)
S : section de la colonne
Flux de j :
Bilan en régime transitoire avec réaction ( ∑ ν j .A j = 0 ) :
j
ν jr = v.
∂c j
∂z
− DA .
∂ 2c j
∂z 2
+
∂c j
∂t
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Conditions limites :
DA=0
DA=0
DA=0
DA
Fermé-fermé
DA
Fermé-ouvert
DA=0
Entrée :
DA
Ouvert-fermé
DA
Ouvert-ouvert
∂c j 


Q.c0 =  Q.c j − D A .
∂
z

 z =0+
c0=cz=0+
fermé
Ouvert
Sortie :
 ∂c 
=0
 
 ∂z  z= L
cz=L=cs
fermé
Ouvert
Bilan en traceur :
∂c j
∂ 2 c j ∂c j
v.
− DA . 2 +
=0
∂z
∂t
∂z
avec :
Pe =
v.L
DA
x=
ou
z
L
2
1 ∂ c j ∂c j
− . 2 +
=0
∂x Pe ∂x
∂θ
∂c j
θ=
t
t
Solution en ouvert-ouvert :
1
2
 − Pe.(t − t )2 
1  Pe

E( t ) = .
 . exp

2  π.t.t 
4. t . t


Pour les autres conditions limites, pas de solution analytique.
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Moments :
Conditions limites
Ouvert-ouvert
Ouvert-fermé
ou
fermé-ouvert
Fermé-fermé
Moment 1 :
t
τ
Moment 2 :
σ2
τ2
1+
2
Pe
2
8
+
Pe Pe 2
1+
1
Pe
2
3
+
Pe Pe2
1
2
2
.(1 − exp( − Pe) )
−
Pe Pe2
Allure des courbes E(τ) :
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DA ou Pe sont donnés par des abaques ou corrélations dépendant du
contacteur :
- tube vide :
v2R 2
régime laminaire : D A = D m +
pour
48.D m
v.d t
régime turbulent :
=5
pour Re > 105
DA
L
vR
>
R 8. D m
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VI-3- Associations de réacteurs idéaux
Mise en série ou parallèle de réacteurs idéaux : RAC, RP, ou volume
morts.
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VII- CONSEQUENCES DES NON-IDEALITES EN REACTION
VII-1- Bacs en cascade- Association de réacteurs idéaux
On calcule la concentration en sortie avec le modèle d’association de
réacteurs idéaux :
- calcul de concentration en sortie de chaque réacteur
ex : cinétique d’ordre 1
c
1
RAC : s =
RP :
cs=c0.exp(-k.τ)
c0 1 + k.τ
- réacteurs en série : sortie du 1er =entrée du 2nd
- branches en parallèle : bilan aux nœuds (conservation du flux)
Bacs en cascade- Cinétique d’ordre 1 :
cs
1
=
c0 (1 + k.τ N )N
VII-2- Modèle piston-dispersion
dc j
d 2c j
dc j 1 d 2 c j
v.
− DA . 2 + r = 0
ou
− . 2 + r. t = 0
dz
dx
Pe dx
dz
Pour une cinétique d’ordre 1 (r=kc) et des conditions ferme-fermé,
cette équation a une solution analytique :
 Pe 
4.s. exp 
4. k. t
cs
 2
=
avec s = 1 +
Pe 
c0
Pe
 Pe 

(1 + s)2 exp s.  − (1 − s)2 exp − s. 
2
 2

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Les limites de cette équation sont :
c
lim s = exp( − k.t ) pour RP ( D A → 0)
c0
lim
cs
1
=
c0 1 + k t
pour RAC ( D A → ∞)
VII-3- Modèle des filets en parallèle ou de ségrégation totale
Calcul des performances du réacteur avec uniquement E(t).
Hypothèse : Les molécules de même temps de séjour voyagent
ensemble et ne se mélangent pas aux molécules de temps de séjour
différent.
cs + ∞ c( t )
= ∫
.E( t ).dt où c(t) est la concentration en fin de filet
c0 0 c0
de temps de séjour t, donc en sortie d’un RP de temps de passage t.
Pour une cinétique d’ordre 1, c(t)=c0.exp(-k.t) et :
cs + ∞
= ∫ exp( − k.t ).E( t ).dt
c0 0
OUVRAGES DE REFERENCE :
S. Fogler, Elements of chemical reaction engineering, Prentice Hall,
1999.
O. Levenspiel, Chemical reaction engineering, John Wiley, 1999.
P. Trambouze, J.P. Euzen, Les réacteurs chimiques, Technip, 2002.
J. Villermaux, Génie de la réaction chimique, Tec Doc, 1995.
(La majorité des figures sont issues de cet ouvrage.)
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