COURS MECA 2nde F3 PROF

MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
AVANT-PROPOS
Dans le souci d’apporter notre modeste contribution à l’éducation de jeunes
apprenants aspirant à maitriser ou à faire leur pas dans le domaine de la mécanique
appliquée, en particularité celui de la statique, et au vu de la rareté de document pédagogique
en conformité avec le programme d’étude en vigueur dans notre pays pouvant servir support
à leur apprentissage, nous avons jugé nécessaire de mettre à leur disposition, Mes Pas En
Mécanique Appliquée, qui est un ouvrage support de cours permettant aussi bien aux élèves
de se familiariser avec le domaine, qu’aux enseignants d’avoir une plus grande flexibilité de
transmission de connaissance. C’est notre plus grande espérance.
Bien que conçu à priori pour les classes de seconde F2 et F3 en conformité avec leur
programme officiel en vigueur, les élèves des classes de seconde industrielle toute spécialité,
de formation professionnelle, des classes industrielles immédiatement supérieure à la classe
de seconde et tout autre personne guidé par l’esprit de curiosité ou désirant se recycle,
trouveront en cet ouvrage, un document adapté à leur apprentissage où des notions et
problèmes fréquemment rencontrés en mécanique appliquée sont traités de façon abordable
et progressive dans le style d’une approche par compétence (APC) prescrit par les autorités
en charge de l’éducation national notamment celles de l’enseignement secondaire.
Cet ouvrage conçu comme un guide, rassemble l’essentiel des connaissances nécessaires
aux applications usuelles de la mécanique en conformité avec le programme officiel et
propose de nombreux exemples d’application et exercices, nous le souhaitons, qui favorisent
une compréhension et assimilation rapide des connaissances par les apprenants.
Nous nous soumettons volontiers à toutes vos suggestions, remarques critiques ou
questions pour aider à l’amélioration de cet ouvrage qui ne serait être imperfectible, cela pour
le bonheur de nos apprenants qui doivent être l’intérêt supérieur visé par tous. Nos contacts
[email protected] ou 6 50 75 42 22
L’auteur
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SOMMAIRE
AVANT-PROPOS……………………………2
SEQUENCE IV : MOMENT D’UNE
FORCE - COUPLE
SEQUENCE I : NOTION DE
TRIGONOMETRIE
IV.1- MOMENT D’UNE FORCE PAR
RAPPORT A UN POINT………………...…..51
I.1- NOTION D’ANGLE………………….….….5
I.2- VOCABULAIRE ET EGALITE DEUX
ANGLES………………………………………...5
I.3- TRIANGLE RECTANGLE ET
THEOREME DE PYTHAGORE……………...6
IV.2- VECTEUR MOMENT : METHODE
DU PRODUITVECTORIEL………..………...54
IV.3- RELATION FONDAMENTALE
ENTRE LES MOMENTS….…………………55
IV.4- MOMENT D’UNE FORCE PAR
I.4- CERCLE TRIGONOMETRIQUE …….…..8
RAPPORT A UN AXE FIXE…………………55
I.5- EXERCICES D’APPLICATION…………..9
IV.5- MOMENT RESULTANT DE
PLUSIEURS FORCES……………………....56
SEQUENCE II : NOTION DE VECTEUR
II.1- DEFINITION ET CARACTERISTIQUES
IV.6- NOTION DE COUPLE…………………56
IV.7- EXERCICES D’APPLICATION……….57
D’UN VECTEUR…………………………......19
II.2- COORDONNEES D’UN VECTEUR…..20
II.3- OPERATION SUR LES VECTEURS…22
II.4- EXERCICES D’APPLICATION………..28
SEQUENCE III : NOTION DE VECTEUR
FORCE ET RESULTANTE DE FORCES
SEQUENCE V : CORPS SOLIDE –
SYSTEME MATERIEL
V.1- DEFINITION DE QUELQUES
TERMES.......................................................67
V.2- CENTRE DE GRAVITE – CENTRE DE
MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL..…….67
V.3- NOTION D’ISOLEMENT D’UN
III.1- NOTION DE VECTEUR FORCE……..39
SYSTEME MATERIEL……………………….69
III.2- NOTION DE RESULTANTE DE
V.4- PRINCIPE DES ACTIONS MUTUELLES
FORCES………………………………………40
OU RECIPROQUES…………………………71
III.3- PROJECTION D’UNE FORCE DANS
V.5- EXERCICES D’APPLICATION………..72
UN PLAN………………………………………42
III.4- EXERCICES D’APPLICATION……….43
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SEQUENCE VI : MODELISATION DES
SEQUENCE IX : STATIQUE
ACTIONS MECANIQUES
GRAPHIQUE
VI.1- CLASSIFICATION DES ACTIONS
IX.1- SYSTEME MATERIEL SOUMIS A
ECANIQUES………………………….……....83
L’ACTION DE DEUX FORCES……………130
VI.2- MODELISATION DES ACTIONS
IX.2- SOLIDE SOUMIS A L’ACTION DE
MECANIQUES DE LIAISONS
TROIS FORCES PARALLELES….……….131
USUELLES……………………………….......87
VI.3- EXERCICES D’APPLICATION……….89
IX.3- SOLIDE SOUMIS A L’ACTION DE
TROIS FORCES CONCOURANTES…..…134
IX.4- SOLIDE SOUMIS A L’ACTION DE
SEQUENCE VII : NOTION DE TORSEUR
VII.1- DEFINITION ET NOTATION…………95
QUATRE FORCES NON PARALLELES…140
IX.5- EXERCICES D’APPLICATION…...…144
VII.2- OPERATION SUR LES
TORSEURS……………………………...……95
VII.3- RELATION DE TRANSFERT EN UN
SEQUENCE X : NOTION D’ADHERENCE
- FROTTEMENT
POINT….…………………………………..…..97
X.1- DEFINITION ET CARACTERISTIQUES
VII.4- TORSEUR DE QUELQUES
D’UN FROTTEMENT….……………………156
LIAISONS MECANIQUES USUELLES…….98
X.2- LOIS D’ADHERENCE OU LOIS DE
VII.5- EXEMPLES…………………………….99
FROTTEMENT OU LOIS DE
VII.5- EXERCICES D’APPLICATION.…….100
COULOMB.................................................157
X.3- PHENOMENE D’ARC-BOUTEMENT.159
SEQUENCE VIII : PRINCIPE
VII.5- EXEMPLES………………...…………160
FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
X.4- EXERCICES D’APPLICATION...........162
VIII.1- ENONCE DU PRINCIPE
FONDAMENTAL DE LA STATIQUE……...101
BIBLIOGRAPHIE.......................................179
VIII.2- EQUATIONS DE LA STATIQUE..…101
VIII.3- SYSTEME HYPERSTATIQUE –
SYSTEME ISOSTATIQUE…………………102
VIII.4- METHODE DE RESOLUTION
D’UN PROBLEME DE STATIQUE….….....103
VIII.5- RESOLUTION ANALYTIQUE D’UN
PROBLEME DE STATIQUE…………….…104
VIII.6- EXERCICES D’APPLICATION….…108
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SEQUENCE I : NOTION DE TRIGONOMETRIE
ELEMENTS DE COMPETENCES :
 Définir la notion d’angle
 Maitriser le vocabulaire sur les angles
 Appliquer les propriétés de trigonométrie relatives aux angles
 Exploiter le cercle trigonométrique
I.1- NOTION D`ANGLE
I.1.1- Définition
Un angle est formé par 2 droites ayant la même origine
(figure 1.1). Le sommet d’un angle est toujours au milieu. On
peut écrire le même angle de différentes manières :
𝜷 = 𝑨𝑶𝑩 = 𝑨𝑶𝒄 = 𝑩𝑶𝒅 = 𝒄𝑶𝒅. Lorsqu’il n’y a pas ambiguïté
par 𝑶 tout simplement.
I.1.2- MESURE D’UN ANGLE
L’instrument de mesure d’un angle est le rapport. Les unités de mesure d’un angle sont
le degré, le Radian (rad) et le Grade (grad). On utilisera fréquemment le degré ou le radian.
𝟏 𝒕𝒐𝒖𝒓 = 𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟒𝟎𝟎𝒈𝒓𝒂𝒅
I.2- VOCABULAIRE ET EGALITE DES ANGLES
I.2.1- Vocabulaire sur les angles
Considérons la figure 1.2 ci-contre tel que les
droites (D1) et (D2) sont parallèles, la droite (D3)
sécante aux deux autres.
 On dira que deux angles sont opposés par le
sommet s’ils possèdent le même sommet et
leurs côtés opposés par rapport à ce même
sommet.
Exemple :
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 On dira que deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 𝟏𝟖𝟎°.
Exemple :
 On dira que deux angles sont complémentaires si leur sommes est égale à 𝟗𝟎°.
Exemple :
 On dira que deux angles sont correspondants s'ils sont situés du même côté par
rapport à la droite sécante et regarde dans la même direction.
Exemple :
 On dira que deux angles sont alternes internes s’ils sont situés de part et d’autre
de la droite sécante dans la région comprise entre deux droites.
Exemple :
I.2.2- Egalité entre deux angles
L’on retiendra que :
 Deux angles opposés sont égaux. Exemple :
 Deux angles correspondants sont égaux. Exemple :
 Deux angles alternes internes sont égaux. Exemple :
I.3- TRIANGLE RECTANGLE ET THEOREME DE PYTHAGORE
Soit le triangle (ABC ) rectangle en B ci-contre et 𝛼
un angle de ce triangle ; on a :
sin 𝛼 =
cos 𝛼 =
tan 𝛼 =
𝑐ô𝑡é 𝑂𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝐴𝐵
=
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 𝐵𝐶
𝑐ô𝑡é 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐴𝐵
=
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒
𝐵𝐶
𝑐ô𝑡é 𝑂𝑝𝑝𝑜𝑠é
𝐴𝐵 sin 𝛼
=
=
𝑐ô𝑡é 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐵𝐶 cos 𝛼
Figure 1.3 Triangle rectangle
Remarque : la détermination d’un angle connaissant son sinus ou son cosinus ou sa
tangente
s’effectue
grâce
aux
fonctions
inverses
𝒔𝒊𝒏 𝟏 , 𝒄𝒐𝒔
𝟏
ou
𝒕𝒂𝒏
𝟏
respectivement.
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I.3.1- Théorème de Pythagore pour un triangle rectangle :
Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés
des deux autres côtés :
𝑨𝑪 ² = 𝑨𝑩 ² + 𝑩𝑪 ²
Application 1.1 :
Soit la figure 1.2 donnée précédemment. On donne 𝑆𝑃 = 2,5𝑐𝑚 et 𝑆𝐾 = 2,8𝑐𝑚
1- Citer un triangle rectangle de cette figure :
Le triangle 𝑺𝑲𝑷 rectangle en 𝑷.
2- Déterminer le cosinus de l’angle 𝛼 :
cos 𝛼 =
=
,
,
= 𝑂, 893.
⟹
𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝑶, 𝟖𝟗𝟑
3- Déterminer la valeur l’angle 𝛼 et en déduire celle de l’angle 𝜃
Valeur de 𝛼 :
cos 𝛼 = 𝑂, 893
⟹
𝜶 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝑶, 𝟖𝟗𝟑) = 𝟐𝟔, 𝟕𝟓°
Valeur de 𝜃 : 𝜃 et 𝑆 étant alternes internes alors 𝜃 = 𝑆
𝜃 = 𝑆 = 90° − 𝛼 = 90° − 26,75° = 63,25° .
𝜽 = 𝟔𝟑, 𝟐𝟓°
I.3.2- Théorème d’AL KASHI ou Pythagore généralisé pour un triangle quelconque
Dans un triangle quelconque, la relation entre les
sinus des angles aux sommets est :
𝐬𝐢𝐧 ∝
𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐬𝐢𝐧 𝜽
=
=
= 𝟐𝑹
𝑩𝑪⃗
𝑨𝑪⃗
𝑨𝑩⃗
R étant le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC
Le théorème de d’AL KASHI est :
𝑨𝑩 =
𝑨𝑪𝟐 + 𝑩𝑪𝟐 − 𝟐 𝑨𝑪⃗
𝑩𝑪⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝑨𝑪 =
𝑨𝑩𝟐 +𝑩𝑪𝟐 − 𝟐 𝑨𝑩⃗
𝑩𝑪⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜷
avec 𝜷 = (𝑩𝑨⃗ , 𝑩𝑪⃗)
𝑩𝑪 =
𝑨𝑩𝟐 +𝑨𝑪𝟐 − 𝟐 𝑨𝑩⃗
𝑨𝑪⃗ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
avec 𝜽 = (𝑨𝑩⃗ , 𝑨𝑪⃗)
avec 𝜶 = (𝑪𝑨⃗ , 𝑪𝑩⃗)
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I.4- CERCLE TRIGONOMETRIQUE
Le cercle trigonométrique est le cercle de
rayon 1 centré sur l’origine du repère. Son
sens de lecture positif des angles est contraire
à celui des aiguilles d’une montre. Le cercle
trigonométrique permet d’obtenir les valeurs
approchées des fonctions cosinus et sinus.
Figure 1.5 Cercle trigonométrique
I.4.1- Utilisation du cercle trigonométrique
Pour un angle quelconque
𝛼,
les valeurs
𝐜𝐨𝐬 𝜶 et 𝐬𝐢𝐧 𝜶 se lisent respectivement sur l’axe
des abscisses (axe des
𝑥)
et celle des
ordonnées (axe des 𝑦) après projection.
Figure 1.6 Lecture du cercle trigonométrique
I.4.2- Valeurs trigonométrique des angles remarquables
Angles 𝒙°
0°
(en rad)
0
30°
(𝝅 𝟔)
45°
(𝝅 𝟒)
60°
(𝝅 𝟑)
90°
(𝝅 𝟐)
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝒙
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I.5- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICES 1 : Connaissance du cours
Répondre par vrai (ou V) ou faux (ou F) aux affirmations suivantes :
1- Un angle est formé par deux droites ayant la même origine.
2- Un angle est formé par deux droites sécantes.
3- Un angle est formé par deux droites concourantes.
4- Le sommet d’un triangle est toujours à l’extrémité.
5- Le sommet d’un triangle est le point d’intersection des droites qui le forme.
6- 1 𝑡𝑜𝑢𝑟 = 360° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 400𝑔𝑟𝑎𝑑.
7- Deux angles sont opposés par le sommet si leurs sommets sont différents et leurs côtés
opposés par rapport à l’un des sommets.
8- Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 90°.
9- Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 180°.
10- Deux angles opposés sont égaux.
11- Deux angles correspondants sont inégaux.
12- Deux angles alternes internes sont inégaux.
EXERCICES 2
Soit la figure 1.7, citer :
1- Les alternes-internes
2- Les angles supplémentaires
3- Les angles complémentaires
4- Les angles correspondants
5- Les angles opposés par leur sommet
Figure 1.7
EXERCICES 3
On considère la figure 1.8 ci-contre où les droites
(d) et (d’) sont parallèles. Tout en vous justifiant,
comparer les angles suivants :
X° et C° , C° et V° , a° et V° , a° et X° ,Y° et O°
Figure 1.8
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICES 4 : Compléter le tableau suivant.
Angles 𝑥°
(en rad)
cos 𝑥
______°
_______°
______°
(______)
(______)
( 3𝜋 20 )
136°
(_______)
_______°
(_______)
√2
2
sin 𝑥
0,5
Indéfini
tan 𝑥
EXERCICES 5
Sur la figure 1.9, nommer chaque point d’intersection
et à l’aide d’un instrument de mesure approprié, donner
la mesure de chacun des angles figurant sur cette figure.
Figure 1.9
EXERCICES 6
Calculer la valeur de l’angle x° pour chacune des figure 1.10 et
figure 1.11 figures données.
Figure 1.11
Figure 1.10
EXERCICES 7
Déterminer la valeur des angles x° et y°
Figure 1.12
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EXERCICES 8
Pour chacune des figures 1.13 et 1.14 données ci-dessous, déterminer a, b et x°.
Figure 1.14
Figure 1.13
EXERCICES 9 Pour chacune des figures 1.15 et 1.16 ci-dessous, reprendre l’énoncé de
l’exercice 8
Figure 1.15
Figure 1.16
EXERCICES 10 Pour chacune des figures 1.17 et 1.18 ci-dessous, déterminer b, X° et Y°.
Figure 1.18
Figure 1.17
EXERCICES 11 Pour les figures 1.19 et 1.20 données ci-dessous, déterminer a, X° et Y°.
Figure 1.19
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Figure 1.20
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EXERCICES 12
Après constat d’une défaillance sur l’escalier menant à la classe de PF3 du lycée de
Technique de Bamelo, un enseignant de F4-BA dudit Lycée sous instruction du proviseur
envisage les reconstruire. Après analyse, il a abouti à la conclusion que cet escalier doit
avoir une hauteur de 2m et une pente de 45°.
1- Schématiser ces escaliers par un triangle en respectant l’angle évoqué.
2- Déterminer la longueur de la base de cet escalier.
3- Déterminer le nombre de marche nécessaire pour réaliser cet escalier si une marche doit
avoir 20cm de haut et 20cm de large.
EXERCICES 13
On donne la figure 1.21 ci-contre.
Déterminer les inconnues suivantes :
b, MN, X° et Y°.
Figure 1.21
EXERCICES 14
On donne IP = 44, tan(x°) =0,75, Sin(z°)=0,32 et Cos(y°)=0,28
1- Calculer les distances NP, IP et IE
2- En déduire les valeurs de Cos(x°) et tan(z°)
3- En déduire la valeur de chacun des angles x°, y° et z°
Figure 1.22
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SEQUENCE II : NOTION DE VECTEUR
ELEMENTS DE COMPETENCES :
 Définir la notion de scalaire
 Caractériser un vecteur
 Déterminer les coordonnées d’un vecteur
 Effectuer des opérations liées aux vecteurs
II.1- DEFINITION ET CARACTERISATION D’UN VECTEUR
Un scalaire est un nombre positif, négatif ou nul utilisé pour représenter des quantités
telles que distance, temps ; vitesse, force, vitesse, pression, etc.
Un vecteur est segment orienté. Il est caractérisé par :
 Son origine ou point d’application : C’est le point de départ du vecteur (𝑩, ici).
 Sa direction ou support : c’est la droite
passant par l’origine et l’extrémité du
vecteur. Ici c’est la droite (𝑫) ou (𝑪𝑩).
 Son sens : c’est l’orientation origineextrémité du vecteur symbolisé par une
flèche.
 Son module (norme ou intensité) :
c’est la longueur du segment origine-extrémité. Il est noté 𝑽 ou 𝑽⃗ ou encore 𝑩𝑪⃗
VECTEURS OPPOSES
Deux vecteurs sont opposés (fig. 1.4) si leurs
supports sont parallèles ou confondus, de même
module mais de sens contraires.
VECTEURS EQUIPOLLENTS OU EGAUX
Deux vecteurs sont équipollents (fig. 1.4) s’ils
ont même sens, même modules et leurs
supports sont parallèles ou confondus.
VECTEUR UNITAIRE : Soit 𝑽⃗ un vecteur. Si 𝑽⃗ = 𝟏 alors 𝑽⃗ est dit unitaire
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II.2- COORDONNEES D’UN VECTEUR
II.2.1- Coordonnées cartésiennes dans le plan
Le plan est identifiable par le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗).
Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur dans
le plan sont des scalaires obtenus par projection
orthogonale du vecteur sur les différents axes qui
constitue le repère donc l’origine est celle du vecteur.
Dans le plan, un vecteur possède toujours 2 coordonnées.
Soit le vecteur 𝑽⃗ représenté dans le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗), figure 2.2
 Ecriture : Le vecteur 𝑽⃗ s’écrit 𝑽⃗ = 𝑽𝒙 ⃗ + 𝑽𝒚 ⃗ ou 𝑽⃗
𝑽𝒙
𝑽𝒚
ou encore 𝑽⃗
𝑽𝒙
𝑽𝒚
𝑽𝒙 et 𝑽𝒚 sont appelées coordonnées cartésiennes du vecteur 𝑽⃗ respectivement sur l’axe
des abscisses (𝑶𝒙) et sur l’axe des ordonnées (𝑶𝒚).
 Détermination de 𝑽𝒙 et 𝑽𝒚 : ils sont obtenu à partir du triangle rectangle dont le
vecteur est l’hypoténuse en appliquant les relations :
𝑽𝒚
𝑽⃗
=
cos 𝛼 = −
𝑽𝒙
𝑽⃗
sin 𝛼 =
ô é
é
é
=
ô é
é
⟹
⟹
𝑽𝒙 =
𝑽⃗ sin 𝛼
𝑽𝒙 = − 𝑽⃗ cos 𝛼
 Module : 𝑽⃗ = 𝑽𝒙 𝟐 + 𝑽𝒚 𝟐
Remarque : coordonnées connaissant l’origine et l’extrémité
Dans le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗), considérons le vecteur 𝑨𝑩⃗ dont les coordonnées de l’origine
𝑨 et de l’extrémité 𝑩 sont respectivement
et
, figure 2.3
Alors le vecteur 𝑨𝑩⃗ a pour coordonnées 𝑨𝑩⃗
 Module :
𝑨𝑩⃗ =
(𝑥 − 𝑥 )𝟐 + (𝑦 − 𝑦 )𝟐
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Exemple : les coordonnées des vecteurs 𝑸⃗, 𝑭⃗, 𝑼⃗, 𝑽⃗ et 𝑾⃗
 Par projection, on a :
𝑼⃗ = 𝟐, 𝟓 ⃗
,
𝑽⃗ = 𝟒 ⃗
𝑼⃗
𝑾⃗
, 𝑸⃗ = 𝟒 ⃗ + 𝟐 ⃗
 Par calcul, on a :
𝑭⃗ = 𝑭⃗
𝑭𝒙 = 𝑭⃗ sin 45°
𝑭𝒚= 𝑭⃗ cos 45°
𝑾⃗ = 𝑾⃗
⟹
𝑭⃗ −3,75
−3,75
𝑭⃗
−1
⃗ 4
= 𝑾⃗ 5
2−5 = 𝑾 −3
𝑽⃗
𝑸⃗
II.2.2- Coordonnées cartésiennes dans l’espace
L’espace est identifiable par le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗, 𝒌⃗).
Soit 𝑶𝑴⃗ un vecteur dans le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗, 𝒌⃗).
 Ecriture : Le vecteur 𝑶𝑴⃗ s’écrit :
𝒙
𝒙
𝑶𝑴⃗ = 𝒙⃗ + 𝒚⃗ +𝒛𝒌⃗ ou 𝑬⃗ 𝒚 ou encore 𝑬⃗ 𝒚
𝒛
𝒛
𝒙 , y et 𝒛 sont appelées coordonnées cartésiennes du
vecteur 𝑶𝑴⃗ respectivement sur l’axe (𝑶𝒙), (𝑶𝒚) et sur
l’axe (𝑶𝒛).
Remarque :
 Module :
Figure 2.4 Coordonnées
cartésiennes dans
l’espace
𝒙⃗, 𝒚⃗ et 𝒛𝒌⃗ sont appelées composantes du vecteur 𝑶𝑴⃗
𝑽⃗ =
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
 Détermination de 𝒙, 𝒚 et 𝒛
Par calcul :
𝒙𝑸
𝒙𝑷
Soit le vecteur 𝑷𝑸⃗ représenté dans le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗, 𝒌⃗) tel que 𝑃 𝒚𝑷 et 𝑄 𝒚𝑸 .
𝒛𝑸
𝒛𝑷
Les coordonnées du vecteur 𝑷𝑸⃗ sont données par :
𝑥𝑄 − 𝑥𝑃
𝟎
−𝟏
Exemple : Soient 𝑃 𝟐 et 𝑄 𝟏 alors 𝑷𝑸⃗ 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃
𝑧𝑄 − 𝑧𝑃
−𝟒
−𝟐
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𝑥𝑄 − 𝑥𝑃
𝑷𝑸⃗ 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃
𝑧𝑄 − 𝑧𝑃
−1 − 0
−1
⃗
⃗
= 𝑷𝑸 1 − 2 = 𝑷𝑸 −1
−2 + 4
2
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II.3- OPERATIONS SUR LES VECTEURS
II.3.1- Somme de vecteurs
𝑻𝒙
𝑫𝒙
𝑸𝒙
Considérons le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗) et les vecteurs 𝑻⃗ 𝑻 , 𝑫⃗ 𝑫 et 𝑸⃗ 𝑸
𝒚
𝒚
𝒚
 Somme analytique de vecteur
La somme des vecteurs 𝑻⃗, 𝑫⃗ et 𝑸⃗ noté 𝑺⃗ est égale à :
𝑺𝒙
𝑻𝒙
𝑫𝒙
𝑸𝒙
𝑺⃗ 𝑺 = 𝑻⃗ 𝑻 + 𝑫⃗ 𝑫 + 𝑸⃗ 𝑸 ou encore
𝒚
𝒚
𝒚
𝒚
−3 ⃗
5
Exemple : soient les vecteurs 𝑇⃗
, 𝐷⃗
, 𝐹
6
−4
−3
3
0
𝑺⃗ = 𝑻⃗ + 𝑫⃗ + 𝑸⃗
𝑺𝒙 = 𝑻𝒙 + 𝑫𝒙 + 𝑸𝒙
𝑺𝒚 = 𝑻𝒚 + 𝑫𝒚 + 𝑸𝒚
−4
⃗
, 𝐾 −7
−3
et 𝐿⃗
−1
4 . Calculer les
1
sommes 𝑆⃗ = 𝑇⃗ + 𝐷⃗ et 𝑆 ⃗ = 𝐹⃗ + 𝐾⃗ + 𝐿⃗
𝑆⃗
𝑆
𝑆
𝑆
⃗
𝑆
𝑆
𝑆
−3
5−3
2
5
=
+
=
=
6
−4 + 6
2
−4
 Somme
−3
= 3
0
−4
−1
+ −7 + 4
−3
1
−8
= 0
−2
géométrique
de vecteur
Considérons
le
repère
𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗) et les vecteurs 𝑨⃗,
𝑪⃗ , 𝑯⃗ , 𝑱⃗ , 𝑴⃗ , 𝑵⃗.
Déterminons
les sommes
graphiquement
𝑺𝟏⃗ = 𝑨⃗ + 𝑪⃗
et
𝑺𝟐⃗ = 𝑯⃗ + 𝑱⃗ + 𝑴⃗ + 𝑵⃗
II.3.2- Produit scalaire de deux vecteurs
𝑼
𝑽
Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑼⃗ 𝑼𝒙 et 𝑽⃗ 𝑽𝒙 est le nombre 𝑼⃗ . 𝑽⃗ défini par :
𝒚
𝑼⃗ . 𝑽⃗ = 𝑼⃗
𝑽⃗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝒚
avec 𝜽 = (𝑼⃗ , 𝑽⃗)
𝑼⃗ . 𝑽⃗ = 𝑼𝒙 . 𝑽𝒙 + 𝑼𝒚 . 𝑽𝒚
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Propriétés du produit scalaire : soient 𝑼⃗, 𝑽⃗ et 𝑾⃗ deux vecteurs, et 𝝀 un scalaire. Alors :
 𝑼⃗ . 𝑽⃗ = 𝑽⃗. 𝑼⃗
(commutativité)
 𝑾⃗ 𝑼⃗ + 𝑽⃗ = 𝑾⃗. 𝑼⃗ + 𝑾⃗. 𝑽⃗
(distributivité)
 𝑼⃗. 𝝀𝑽⃗ = 𝑽⃗. 𝝀𝑼⃗ = 𝝀(𝑼⃗ . 𝑽⃗)
 Si deux vecteurs sont orthogonaux alors leur produit scalaire est nul :
⃗ . 𝒌⃗ = 𝒌⃗ . ⃗ = 𝟎
;
⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ = 𝟎
𝒌⃗ . ⃗ = ⃗ . 𝒌⃗ = 𝟎
;
 Si deux vecteurs sont colinéaires, leur produit scalaire est égal à leur norme au carré :
𝑼⃗ . 𝑼⃗ = 𝑼𝟐 = 𝑼⃗
;
⃗ . ⃗ = ‖⃗‖ = 𝟏
;
⃗ . ⃗ = ‖⃗‖ = 𝟏
;
𝒌⃗ . 𝒌⃗ = 𝒌⃗
=𝟏
Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs donne toujours un scalaire
−3 ⃗
5
Exemple : soient les vecteurs 𝑇⃗
, 𝐷⃗
,𝐹
6
−4
−4
−3
⃗
3 et 𝐾 −7 .
0
−3
1- Calculer les produits scalaires 𝑈 = 𝑇⃗. 𝐷⃗ et 𝑉 = 𝐹⃗ . 𝐾⃗
𝑈 = 𝑇⃗. 𝐷⃗ = 5(−3) + (−4)6 = −𝟑𝟗
𝑈 = 𝐹⃗ . 𝐾⃗ = (−4)(−3) + 3(−7) + 0(−3) = −𝟗
2- Calculer le module de chacun des vecteurs 𝑇⃗ , 𝐷⃗ , 𝐹⃗ et 𝐾⃗
𝑇⃗ =
𝑇 +𝑇
𝐹⃗ =
𝐹 +𝐹 +𝐹 =
𝐾⃗ =
𝐾 +𝐾
=
+𝐾
𝐷⃗ =
;
5 + (−4) = √𝟒𝟏
𝐷 +𝐷
=
(−3) + 6 = 𝟑√𝟓
(−3) + 3 + 0 = 𝟑√𝟐
=
(−4) + (−7) + (−3) = √𝟕𝟒
3- En déduire la valeur de chacun des angles 𝜃 = (𝑇⃗ , 𝐷⃗) et 𝛼 = (𝐹⃗ , 𝐾⃗ )
𝑈 = 𝑇⃗. 𝐷⃗ = 𝑇⃗
𝐷⃗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
⟹
⟹
𝑉 = 𝐹⃗ . 𝐾⃗ = 𝐹⃗
𝐾⃗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼
cos 𝜃 =
⃗
=
√ ×√
= −0,908
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(−𝟎, 𝟗𝟎𝟖) = 𝟏𝟓𝟓, 𝟐𝟑°
⟹ cos 𝛼 =
⟹
⃗
⃗
⃗
=
√ ×√
= −0,247
𝜶 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(−𝟎, 𝟐𝟒𝟕) = 𝟏𝟎𝟒, 𝟑°
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II.3.3- Produit vectoriel de deux vecteurs
𝑼𝒙
𝑽𝒙
Le produit vectoriel de deux vecteurs 𝑼⃗ 𝑼𝒚 et 𝑽⃗ 𝑽𝒚 est le vecteur 𝑾⃗ = 𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ défini par :
𝑼𝒛
𝑽𝒛
 Sa direction : elle est perpendiculaire (ou normale) au plan défini par (𝑼⃗ , 𝑽⃗)
 Son sens : il est tel que le trièdre (𝑼⃗ , 𝑽⃗ , 𝑾⃗) est direct
𝑾⃗ = 𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗
 Son module :
=
𝑼⃗
𝑽⃗ 𝒔𝒊𝒏(𝑼⃗ , 𝑽⃗)
II.3.3.1- Détermination des coordonnées de 𝑼⃗ ⋀ 𝑽⃗
𝑼𝒙
𝑽𝒙
𝑼𝒚
𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ = 𝑼⃗ 𝑼𝒚 ∧ 𝑽⃗ 𝑽𝒚 =
𝑼𝒛
𝑼𝒛
𝑽𝒛
𝑽𝒚
𝑼
⃗− 𝒙
𝑼𝒛
𝑽𝒛
𝑼𝒙
𝑽𝒙
⃗+ 𝑼
𝑽𝒛
𝒚
𝑽𝒙 ⃗
𝑽𝒚 𝒌
𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ = 𝑼𝒚 𝑽𝒛 − 𝑼𝒛 𝑽𝒚 ⃗ − (𝑼𝒛 𝑽𝒛 − 𝑼𝒛 𝑽𝒙 ) ⃗ + (𝑼𝒙 𝑽𝒚 − 𝑼𝒚 𝑽𝒙 ) 𝒌⃗
II.3.3.2- Propriétés du produit vectoriel : soient 𝑼⃗ et 𝑽⃗ deux vecteurs, et 𝝀 un scalaire.
Alors :
 𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ ≠ 𝑽⃗ ∧ 𝑼⃗
𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ = −(𝑽⃗ ∧ 𝑼⃗)
(non commutativité)
 𝑾⃗ ∧ 𝑼⃗ + 𝑽⃗ = 𝑾⃗ ∧ 𝑼⃗ + 𝑾⃗ ∧ 𝑽⃗
(distributivité)
 𝑾⃗ ∧ 𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ ≠ (𝑾⃗ ∧ 𝑼⃗) ∧ 𝑽⃗
(non associativité)
 (𝝀𝑼⃗) ∧ 𝑽⃗ = 𝑼⃗ ∧ (𝝀𝑽⃗) = 𝝀(𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗)
 Si deux vecteurs sont colinéaires alors leur produit vectoriel nul :
⃗ ∧ ⃗=𝟎
;
⃗ ∧ ⃗=𝟎
;
𝒌⃗ ∧ 𝒌⃗ = 𝟎
;
𝑼⃗ ∧ 𝑽⃗ = 𝟎
 Soit le repère 𝑹 ≡ (𝑶; ⃗, ⃗, 𝒌⃗) alors :
⃗ ∧ ⃗ = 𝒌⃗ ; ⃗ ∧ 𝒌⃗ = ⃗
; 𝒌⃗ ∧ ⃗ = ⃗
⟹
‖⃗ ∧ ⃗ ‖ = ⃗ ∧ 𝒌⃗
= ⃗ ∧ 𝒌⃗
=𝟏
Remarque :

Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un vecteur

Le produit vectoriel se fait entre deux vecteurs de même nature et dimension
supérieure ou égale à 3.
−4
−3
8
Exemple : soient les vecteurs 𝐹⃗ 3 , 𝑄⃗ 2 et 𝐾⃗ −1 .
0
6
−3
Effectuer chacune des opérations suivantes :
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−4
−3
3
⃗
⃗
⃗
⃗
𝐹 ∧ 𝐾 = 𝐹 3 ∧ 𝐾 −1 =
0
0
−3
−1
−3 −4
−3 −4 ⃗
𝚤⃗ −
𝚥⃗ +
𝑘 = −𝟗 ⃗ − 𝟗 ⃗ + 𝟏𝟓 𝒌⃗
−3
0 −3
3 −1
−4
8
2 −1
8 −4
8 −4 ⃗
𝑄⃗ ∧ 𝐾⃗ = 𝑄⃗ 2 ∧ 𝐾⃗ −1 =
𝚤⃗ −
𝚥⃗ +
𝑘 = 𝟎 ⃗ − 𝟎 ⃗ + 𝟎 𝒌⃗ = 𝟎
6 −3
6 −3
2 −1
6
−3
−3
8
3
⃗
⃗
⃗
⃗
𝐹 ∧ 𝑄 = 𝐹 3 ∧ 𝑄 2 =
0
0
6
2
−3 8
−3 8 ⃗
𝚤⃗ −
𝚥⃗ +
𝑘 = 𝟏𝟖 ⃗ + 𝟏𝟖 ⃗ − 𝟑𝟎 𝒌⃗
6
0 6
3 2
8
−3
2
𝑄⃗ ∧ 𝐹⃗ = 𝑄⃗ 2 ∧ 𝐹⃗ 3 =
6
6
0
3
8
𝚤⃗ −
0
6
−3
8 −3 ⃗
𝚥⃗ +
𝑘 = −𝟏𝟖 ⃗ − 𝟏𝟖 ⃗ + 𝟑𝟎 𝒌⃗
0
2 3
−4
8
−1 2
−4 8
−4 8 ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
𝐾 ∧ 𝑄 = 𝐾 −1 ∧ 𝑄 2 =
𝚤⃗ −
𝚥⃗ +
𝑘 = 𝟎 ⃗ − 𝟎 ⃗ + 𝟎 𝒌⃗ = 𝟎
−3 6
−3 6
−1 2
−3
6
I.4- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICES 1
Pour chacun des vecteurs donnés ci-dessous, donner
leurs caractéristiques.
EXERCICES 2
Donner le nom et les caractéristiques de chacun des
vecteurs donnés ci-dessous.
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EXERCICES 3
Pour chacun des vecteurs donnés
ci-contre, donner leurs caractéristiques.
EXERCICES 4
Donner le nom et les caractéristiques de
chacun des vecteurs donnés ci-dessous.
EXERCICES 5
Donner les coordonnées de chacun des vecteurs
donnés ci-contre.
EXERCICES 6 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝐴; 𝑋, 𝑌)
1- Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐻⃗ , 𝐴𝑃⃗ , 𝐻𝑃⃗, 𝐹⃗
et 𝐹⃗ sachant que 𝐹⃗ et 𝐹⃗ ont respectivement pour modules
47N et 71N. Les distances sont en cm
2- Déterminer les produits scalaires 𝐴𝐻⃗ . 𝐴𝑃⃗ , 𝐹⃗.𝐻𝑃⃗, 𝐹⃗.𝐹⃗
𝐹⃗
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𝐹⃗
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EXERCICES 7 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌, 𝑍)
1- Déterminer les composantes des vecteurs 0𝐽⃗ , 𝐴𝐽⃗, 𝐵𝑂⃗, 𝑂𝐴⃗ et 𝐹⃗
2- Déterminer les produits scalaires suivants 𝐵𝑂⃗. 𝑂𝐴⃗ et 𝐵𝑂⃗. 𝐹⃗ , conclure après chaque calcul.
3- Déterminer les produits vectoriels 𝐴𝐽⃗ ∧ 𝐹⃗
4- Déterminer le produit vectoriel 𝑂𝐴⃗ ∧ 𝐹⃗, puis conclure.
EXERCICES 8 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌)
1- Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗
sachant que 1mm vaut 25N.
2- En déduire le module de chacun de ces vecteurs
EXERCICES 9
Dans les repères 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑥, 𝑦) et 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑥′, 𝑦′),
Déterminer les coordonnées de 𝐹⃗
EXERCICES 10
Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌, 𝑍),
déterminer les coordonnées de 𝐴𝐵⃗
Classe de Seconde Industrielle
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EXERCICES 11 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌)
Pour chacune des figures données, déterminer les coordonnées de 𝐹⃗ en fonction de 𝐹⃗
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
−3
2
2
EXERCICES 12 On donne les vecteurs 𝑃⃗ 1 ; 𝑄⃗ −1 et 𝑉⃗ 0
−3
3
−1
1- Déterminer le produits scalaires 𝑃⃗ . 𝑄⃗ , 𝑃⃗ . 𝑉⃗ et 𝑉⃗ . 𝑄⃗
2- Déterminer les produits vectoriels 𝑃⃗ ∧ 𝑄⃗ , 𝑃⃗ ∧ 𝑉⃗ et 𝑉⃗ ∧ 𝑄⃗
3- Déterminer la norme de chacun des vecteurs 𝑃⃗ , 𝑉⃗ et 𝑄⃗
4- Déterminer les angles respectivement entre 𝑃⃗ et 𝑉⃗ , 𝑃⃗ et 𝑄⃗ , 𝑉⃗ et 𝑄⃗ .
EXERCICES 13 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌)
1- Déterminer les coordonnées du vecteur 𝑇⃗ de la barre 1.
2- Déterminer en fonction du module 𝑇⃗ ou 𝑇⃗ ,
l’expression des coordonnées des vecteurs 𝑇⃗ et 𝑇⃗
3- Déterminer 𝑇 et 𝑇
si 𝑇
= 150𝑁
4- Déterminer 𝑇 si 𝑇⃗ + 𝑇⃗ + 𝑇⃗ = 0⃗
−3
2
2
EXERCICES 14 On donne les vecteurs suivants 𝑃⃗ 1 ; 𝑀⃗ −1 ; 𝑇⃗ 0 et 𝑆⃗ = 𝑃⃗ + 𝑀⃗ + 𝑇⃗
−3
3
−1
⃗
1- Déterminer les coordonnées de 𝑆.
2- Déterminer la norme du vecteur 𝑆⃗.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICES 15
Pour chacune des figures données, déterminer par la méthode du
dynamique la somme géométrique des vecteurs y figurant. Echelle : 0,5cm pour 10daN
EXERCICES 16 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌)
1- Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝐹⃗, 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗
1- Déterminer analytiquement la somme 𝑆⃗ = 𝐹⃗ + 𝐹⃗ + 𝐹⃗ + 𝐹⃗
EXERCICES 17 Construire la somme géométrique des vecteurs donnés ci-dessous.
𝑅⃗
𝑅⃗
𝑅⃗
𝑅⃗
𝑅⃗
EXERCICES 18 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌)
Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝑇⃗
o
Classe de Seconde Industrielle
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EXERCICES 19 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌)
1- Placer les points 𝑇(−2 ; 1) et 𝑅(2 ; 5), puis tracer le vecteur
2- Déterminer les coordonnées de 𝑅𝑇⃗, 𝐿⃗ et 𝑃⃗
3- Construire et déterminer les coordonnées de 𝑆⃗ = 𝐿⃗ + 𝑃⃗ + 𝑅𝑇⃗, puis calculer son module
Classe de Seconde Industrielle
Page 24
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE III : NOTION DE VECTEUR FORCE
ET RESULANTE DE FORCE
ELEMENTS DE COMPETENCES :
 Appréhender la notion de force
 Déterminer la résultante de plusieurs forces
III.1- NOTION DE VECTEUR FORCE
III.1.1- Définition
La force est une grandeur vectorielle capable de provoquer le mouvement d’un corps, de
le modifier ou de le maintenir au repos. Ainsi la force apparaît comme toute cause permettant
de rendre compte de l’action mutuelle entre deux ou plusieurs corps.
III.1.2- Caractéristiques d’une force
𝑴𝟑/𝟐⃗
Une force est caractérisée par :




Son point d’application
Sa direction
Son sens
Son module ou intensité.
REMARQUE : Dans le système international, l’unité de la force est le newton (N). La force
est mesurer à l’aide d’un appareil appelé dynamomètre. La force étant définie comme un
vecteur, les opérations sur les forces sont les mêmes que celles sur les vecteurs.
III.1.3- Représentation d’une force
Un vecteur force est représenté par un segment orienté dont la longueur est définie par
l’échelle de représentation graphique indiquée mettant en relation l’unité de longueur
considéré et le Newton.
Exemple : soit à représenter le vecteur force 𝑴𝟑/𝟐⃗ valant 6 N, de l’action de la main 3 sur la
Soit x la longueur graphique rechercher, on a :
𝟏𝒄𝒎 ⟶ 𝟐𝑵
𝒙 ⟶ 𝟔𝑵
⟹
𝒙=
𝟏×𝟔
𝟐
= 𝟑 𝒄𝒎
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𝑴𝟑/𝟐⃗
𝟑 𝒄𝒎
clé 2 à l’échelle graphique 1cm pour 2N.
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III.2- NOTION DE RESULTANTE DE FORCES
On appelle résultante de forces, la somme vectorielle de toutes les forces considérées.
Autrement dit, c’est l’unique force permettant d’équilibrer ou d’annuler toutes les forces
considérées mises en ensemble.
Nous nous intéresserons à sa détermination graphique.
III.2.1- Cas de deux forces concourantes : Méthode du parallélogramme
III.2.1.1- Cas de deux vecteurs forces ayant le même point d’application (origine)

A l’aide d’un compact mesurer la longueur du premier vecteur force ;

Placer la pointe du compact sur l’extrémité du deuxième vecteur force et tracer un arc
de cercle dans le sens de la force ;

Reprendre le processus (les deux étapes ci-dessus) avec le deuxième vecteur force.
Les deux arcs de cercles ainsi obtenus se coupent en un point P. C’est l’extrémité de
la résultante 𝑹⃗ ;

Relier l’origine des deux vecteurs forces au point P obtenu. figure 3.2
P
Figure 3.2 Résultante par la méthode du parallélogramme
III.2.1.2- Cas de deux vecteurs forces n’ayant pas le même point d’application (origine)

Faire glisser les deux vecteurs forces suivant leur droite d’action jusqu’à obtenir le
point de concours (rencontre) I. C’est l’origine de la résultante 𝑹⃗.

Appliquer par la suite la méthode du parallélogramme donnée plus haut. Figure 3.3
Figure 3.3 Résultante de deux forces concourantes d’origine différente
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Remarque : Le module de la résultante de deux forces est toujours :
𝑹 = 𝑹⃗ =
𝑭𝟏 𝟐 + 𝑭𝟐 𝟐 + 𝟐𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽
III.2.2- Cas de plusieurs vecteurs forces concourantes au même point
Pour avoir la résultante 𝑹⃗ de plus de deux forces, on utilise généralement la méthode du
dynamique ou polygone de forces.
Méthode du dynamique ou polygone de forces
Elle consiste à représenter successivement toutes les forces mises en jeu, l’extrémité
de l’une des forces étant l’origine de la suivante. Une fois toutes les forces représentées, la
résultante le vecteur force ayant pour origine celle du premier vecteur force et pour extrémité
celle du dernier vecteur force (figure 3.4).
1cm
2N
𝑭𝟏⃗(𝟏𝟎𝑵)
𝑭𝟐⃗
𝑭𝟒⃗
𝑭𝟐⃗(𝟔𝑵)
𝑭𝟏⃗
𝑭𝟑⃗(𝟒𝑵)
𝑹⃗
𝑭𝟒⃗(𝟖𝑵)
Figure 3.4
𝑭𝟑⃗
Résultante de plusieurs forces concourantes de même origine
III.2.3- Cas de plusieurs vecteurs forces concourantes au même point
𝑼⃗
La méthode utilisée est celle du
𝑽⃗ +
𝑼⃗ = 𝑹⃗
polygone des forces ou dynamique
𝑽⃗
𝑹⃗
figure 3.5 Résultante de forces parallèles
Remarque : Pour déterminer graphiquement le module de la résultante, il n’est pas
nécessaire de déterminer son point d’application, sa direction, son sens mais tout autre point
pris comme origine suffisent (figure 3.4 et figure 3.5).
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Projection d’une force sur un plan :
Dans un repère orthonormé (Ox, Oy),
on peut projeter une force 𝑭⃗ :
Fx et Fy sont les composantes de F dans le repère (Ox, Oy).
III.4- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICES 1 : Connaissance du cours
Répondre par vrai (ou V) ou faux (ou F) aux affirmations suivantes :
1- La force est une grandeur scalaire ____________________________________________
2- Une force est définie par 4 caractéristiques _____________________________________
3- Une force est définie comme un vecteur _______________________________________
4- L’unité de mesure d’une force est le Newton, de symbole (N) _______________________
5- L’appareil permettant de mesurer la valeur d’une force est la balance ________________
6- L’unité de mesure d’une force est le kilogramme, de symbole (kg) ___________________
7- L’appareil permettant de mesurer la valeur d’une force est le dynamomètre ____________
EXERCICES 2
Prisca tire un objet par l’intermédiaire d’une corde (figure 3.6). On s’intéresse à la force
exercée par la corde sur le crochet. Elle a pour valeur 3N.
1- Compléter les caractéristiques de la force :
Point d’application : _________________
Direction : _________________________________
Sens : ____________________________________
Valeur : ___________________________________
Figure 3.6
2- Echelle 1cm pour 1N. Calculer la longueur de la flèche
3- Représenter la flèche sur la figure 3.6
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EXERCICE 3
1- Donner le nom de l’appareil permettant de mesurer la valeur d’une force.
2- Quelle est l’unité de mesure d’une force dans le système international ?
3- Donner le symbole de cette unité de mesure.
4- Par quoi est représentée une force ?
EXERCICE 4
Jovanie tire sur le tendeur avec sa main (figure 3.7). Représenter la force exercée par la
main (M) sur le tendeur (T) sachant qu’elle a pour valeur 7N. Echelle 1cm pour 2N
Figure 3.7
EXERCICE 5 Observer la photo ci-contre (figure 3.8).
1- Quel est le nom de l’appareil de mesure utilisé sur cette image ?
2- En quelle unité cet appareil est-il gradué ?
3- Quelle est la valeur de la force exercée par la pomme sur cet appareil ?
4- Représenter sur la photo, la force exercée par la pomme sur cet appareil.
Figure 3.8
EXERCICES 6 Soit le repère 𝑅 ≡ (𝐴; 𝑋, 𝑌) lié à une chape (figure 3.9).
1- Déterminer les coordonnées des forces 𝑇⃗ et 𝑇⃗ .
2- Déterminer analytiquement la résultante 𝑅⃗ des
forces 𝑇⃗ et 𝑇⃗ agissant sur le palier en A
3- Déduire le module de la résultante 𝑅⃗
4- Construire graphiquement 𝑅⃗ par la méthode du
parallélogramme sur la figure donnée.
Classe de Seconde Industrielle
Figure 3.9
Page 29
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICES 7
Soit trois barres encastré dans un gousset et soumis
à trois forces 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗ telles que schématisées sur la
figure 3.10 ci-contre.
1- Déterminer les coordonnées de chacune des forces 𝐹⃗,
puis celles de 𝐹⃗ et 𝐹⃗ en fonction
𝐹⃗
et
𝐹⃗
respectivement.
Figure 3.10
2- Déterminer la valeur de 𝐹⃗ et 𝐹⃗ qui annule la résultante 𝑅⃗ des forces 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗
2- Déterminer la valeur de la résultante 𝑅⃗ = 𝐹⃗ + 𝐹⃗
EXERCICES 8
Soit une vis encastrée dans un mur et dont la tête
subit l’action de quatre forces 𝐹⃗, 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗ exercées
par des câbles de manutention (figure 3.11).
1- Déterminer les coordonnées de chacune des forces
𝐹⃗, 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗.
2- Déterminer analytiquement la résultante 𝑅⃗ des
forces 𝐹⃗, 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗ agissant sur la vis
3- Déduire le module de la résultante 𝑅⃗
Figure 3.11
4- Construire graphiquement 𝑅⃗ par la méthode du parallélogramme, puis par la méthode du
dynamique. Prendre 1cm pour 10N pour la méthode du dynamique.
EXERCICES 9
Soit la figure 3.12 ci-dessous présentant trois remorqueurs exerçant sur la chaloupe trois
forces 𝑅 ⃗, 𝑅 ⃗ et 𝑅 ⃗.
1- Déterminer les coordonnées de chacune des forces 𝑅 ⃗, 𝑅 ⃗ et 𝑅 ⃗.
2- Déterminer analytiquement la résultante 𝑅⃗ des forces 𝑅 ⃗, 𝑅 ⃗ et 𝑅 ⃗.
3- Déduire le module de la résultante 𝑅⃗
4- En déduire l’angle formé entre la résultante 𝑅⃗ et l’horizontal.
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Page 30
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5- Construire graphiquement 𝑅⃗ par la méthode du parallélogramme : 1cm pour 200kN
Figure 3.12
EXERCICES 10 Dans le repère 𝑅 ≡ (𝐴; 𝑋, 𝑌, 𝑍) est lié à une fourche (figure 3.13).
1- Déterminer les coordonnées des 𝐹⃗ et 𝐹⃗ sachant que 𝐹⃗ et 𝐹⃗ ont respectivement pour
modules 60N et 80N.
2- Déterminer les produits vectoriels 𝐹⃗ ∧ 𝐹⃗ et 𝐹⃗ ∧ 𝐹⃗, puis comparer les résultats.
4- Construire graphiquement 𝑅⃗ par la méthode du parallélogramme, puis par la méthode du
dynamique. Prendre 1cm pour 20N pour la méthode du dynamique.
𝐹⃗
𝐹⃗
Figure 3.13
EXERCICES 11 Soit le repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑋, 𝑌) lié au palier (figure 3.14).
1- Déterminer les coordonnées des forces 𝐴⃗ et 𝐵⃗ .
2- Déterminer analytiquement la résultante 𝑅⃗ des
forces 𝐴⃗ et 𝐵⃗ agissant sur le palier en O
3- Déduire le module de la résultante 𝑅⃗
4- Construire graphiquement 𝑅⃗ par la méthode du
parallélogramme sur la figure donnée
Figure 3.14
Classe de Seconde Industrielle
Page 31
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICES 12
Soit trois barres encastrées dans un gousset et
soumis à l’action de trois forces 𝑇⃗, 𝑇⃗ et 𝑇⃗ telles que
schématisées sur la figure 3.15 ci-contre.
1- Déterminer les coordonnées du vecteur 𝑇⃗ de la
barre 1.
Figure 3.15
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2- Déterminer 𝑇 et 𝑇
si 𝑇
= 100𝑁
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4- Déterminer 𝑇 si 𝑇⃗ + 𝑇⃗ + 𝑇⃗ = 0⃗
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 32
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE IV : MOMENT D’UNE FORCE - COUPLE
ELEMENTS DE COMPETENCES :
 Calculer le moment d’une force par rapport à un point
 Calculer le moment d’une force par rapport à un axe fixe
 Enoncer et appliquer le théorème de VARIGNON
IV.1- MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT
IV.1.1-
DEFINITION : METHODE DU BRAS DE LEVIER
Le moment d’une force 𝑭⃗ par rapport à un point 𝑨,
noté 𝑴𝑨 (𝑭⃗), est égale en mesure algébrique au
produit du module 𝑭⃗ de 𝑭⃗ par le bras de levier 𝒅.
𝑴𝑨 𝑭⃗ = ± 𝑭⃗ . 𝒅
𝒅 : est la distance entre le point d’application du
Figure 4.1 Méthode du bras
de levier
moment et la direction de la force 𝑭⃗
Unité : 𝑭 : Force en 𝑵
IV.1.2-
;
𝒅 : Distance en 𝒎
;
𝑴𝑨 𝑭⃗ : Moment en 𝑵. 𝒎
CONVENTION DE SIGNE
 Si la force 𝑭⃗ fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique alors le
moment est dit positif (figure 4.1) ;
 Si 𝑭⃗ provoque un mouvement dans le sens inverse alors le moment devient négatif ;
 Si la direction de 𝑭⃗ rencontre le point d’application du moment alors le moment est
nul (𝒅 = 𝟎).
Remarque :

Le moment d’une force par rapport à un point obtenu par la méthode du bras
de levier est toujours un scalaire.

Si B est le point d’application de 𝑭⃗ et si la longueur AB est connue, alors 𝑴𝑨 (𝑭⃗)
peut être calculé par la relation:
𝑴𝑨 𝑭⃗ = 𝑭⃗ . 𝑨𝑩⃗ sin 𝛼
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où
𝒅 = 𝑨𝑩⃗ sin 𝛼
Page 33
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Exemple 4.1 :
Soit le schéma partiel ci-contre d’un arc dont la corde
est tendu par une force 𝐹⃗ .
Déterminer le moment en B de la force 𝐹⃗ qui permet
de tendre la corde de l’arc.
On a :
𝑑 = 650 + 170 = 820𝑚𝑚
Ainsi le moment en B de la force 𝐹⃗ est : 𝑀 𝐹⃗ = 𝑑. 𝐹⃗ = 0,82 × 180
𝑴𝑩 𝑭⃗ = 𝟏𝟒𝟕, 𝟔 𝑵𝒎
IV.1.3- Théorème de VARIGNON
Le moment d’une force 𝑭⃗ par rapport à un point A est égal à la somme algébrique des
moments de ses composantes 𝑼⃗ et 𝑽⃗ par rapport au même point (figure 4.2).
𝑴𝑨 𝑭⃗ = 𝑴𝑨 𝑼⃗ + 𝑴𝑨 𝑽⃗
𝑴𝑨 𝑭⃗ = (± 𝑼⃗ . 𝒅𝑼 ) + (± 𝑽⃗ . 𝒅𝑽 )
Figure 4.2 Moment d’une force par la méthode de VARIGNON
Exemple 4.2 :
Déterminons le bras de levier 𝒅 nécessaire pour faire pivoter la
poutre ci-contre.
𝐹⃗ = 𝐹⃗ . cos(60°) = 1000 × 0,5 = 500 𝑁
𝐹⃗ = 𝐹⃗ . sin(60°) = 1000 ×
√3
2
= 866 𝑁
𝑀 𝐹⃗ = 𝑀 𝐹⃗ + 𝑀 𝐹⃗ = −1 × 𝐹⃗ + 0,16 × 𝐹⃗
= −500 + 1,6 × 866 = 885,6 𝑁. 𝑚
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
𝑀 𝐹⃗ = 𝐹⃗ . 𝑑
Or
𝑑=
⟹
⃗
⃗
=
,
= 0,8856𝑚
IV.2- VECTEUR MOMENT : METHODE DU PRODUIT VECTORIEL
Soit
un
point
B,
quelconque,
appartenant à la direction de la force 𝑭⃗.
Le moment en A de 𝑭⃗ est défini par le
𝑴𝑨⃗ 𝑭⃗ = 𝑨𝑩⃗ ∧ 𝑭⃗
vecteur :
Rappel :

𝑨𝑩⃗ ∧ 𝑭⃗ ≠ 𝑭⃗ ∧ 𝑨𝑩⃗ ;

𝑨𝑩⃗ ∧ 𝑭⃗ = − 𝑭⃗ ∧ 𝑨𝑩⃗

Le moment ou vecteur moment
d’une force par rapport à un
point
obtenu
par
le
produit
vectoriel est toujours un vecteur.

Le sens positif ou négatif du
vecteur moment est donné par la
règle de trois doigts.
Exemple 4.3 :
Soit
la
poutre
encastrée
ci-contre.
Déterminer le moment de la force 𝑭⃗ par rapport
au point A tendant à faire pivoter cette poutre.
𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐴𝐵⃗ ∧ 𝐹⃗
𝐹 sin(30°)
0,5
= 𝐴𝐵⃗ −0,3 ∧ 𝐹⃗ −𝐹 cos(30°)
0
0
= [ −0,5𝐹 cos(30°) + 0,3 𝐹 sin(30°) ] 𝑘⃗
𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = −283 𝑘⃗
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IV.3- RELATION FONDAMENTAL ENTRE LES MOMENTS
Soit une force 𝐹⃗ appliquée au point M, et deux points quelconques A et B.
Par définition,
𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐴𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗ et 𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐵𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗
D’après la relation de Chasles 𝐵𝑀⃗ = 𝐵𝐴⃗ + 𝐴𝑀⃗
Ainsi
𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐵𝐴⃗ + 𝐴𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗
D’où
𝑴𝑩⃗ 𝑭⃗ = 𝑴𝑨⃗ 𝑭⃗ + 𝑩𝑨⃗ ∧ 𝑭⃗
IV.4- MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE FIXE
Le moment de la force 𝑭⃗ par rapport
à un axe fixe U est égal au produit
scalaire du vecteur 𝒖⃗
moment 𝑴𝑨⃗ 𝑭⃗
par le vecteur
dans lequel A est un
point quelconque appartenant au support
de 𝒖⃗.
𝑴𝑼 𝑭⃗ = 𝒖⃗. 𝑴𝑨⃗ 𝑭⃗
𝒖⃗ étant un vecteur unitaire porté par l’axe
𝑼, c’est-à-dire ‖𝒖⃗‖ = 𝟏.
Exemple 4.4 : Reprenons l’exemple 4.3 et calculons le moment de la force 𝑭⃗ par rapport aux
axes (A ; x), (A ; y) et (A ; z).
⃗ est le vecteur unitaire porté par l’axe (A ; x) , ⃗ celui porté par l’axe (A ; y) et 𝒌⃗ celui porté
par l’axe (A ; z). On a lors :
𝑀(
; )
𝐹⃗ = 𝚤⃗. 𝑀 𝐹⃗ ⃗ = −283 𝚤⃗ × 𝑘⃗ = −283 × 0 = 𝟎𝑵𝒎
𝑀(
; )
𝐹⃗ = 𝑗. 𝑀 𝐹⃗ ⃗ = −283 𝚥⃗ × 𝑘⃗ = −283 × 0 = 𝟎𝑵𝒎
𝑀(
; )
𝐹⃗ = 𝑘⃗ . 𝑀 𝐹⃗ ⃗ = −283 𝑘⃗ × 𝑘⃗ = −283 × 1 = −𝟐𝟖𝟑𝑵𝒎
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IV.5- MOMENT RESULTANT DE PLUSIEURS FORCES
Le moment résultant 𝑴 au point A est le moment de la force résultante de toutes les
forces considérées. Autrement dit, c’est la somme totale des moments en A de chacune des
forces considérées.
Soit n forces s’exerçant sur un solide quelconque. Alors le moment résultant en un point
quelconque A du solide est égal :
𝑴𝑨⃗ = 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝟏⃗ + 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝒏⃗ = 𝑴𝑨⃗ 𝑹⃗
Avec
𝑹⃗ = 𝑭𝟏⃗ + 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑭𝒏⃗
IV.6- NOTION DE COUPLE
Définition
On appelle couple (𝑪), le moment par rapport à un axe engendré par deux forces
d’égales intensités, de sens contraires et de directions (supports) parallèles.
Son intensité ne dépend que de l’intensité des forces et de la distance 𝒅 entre ces deux
forces. Il est donné par la relation :
𝑪 = 𝑴𝑶⃗ 𝑭⃗ = ± 𝑭⃗ . 𝒅
O est point quelconque du solide.
IV.7- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICES 1
Un panneau de signalisation est soumis à l’action
𝑅⃗ du vent au point G telle que présenté à la figure 4.8
1- Calculer le moment de la force 𝑅⃗ par rapport au
point A.
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Figure 4.8
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EXERCICES 2
1- Détermine respectivement le moment de la force 𝑆⃗
par rapport au point C.
2- Détermine respectivement le moment de la force 𝑇⃗
par rapport au point C.
3- Déduire le moment résultant des forces 𝑆⃗ et 𝑇⃗.
EXERCICES 3
Une vis encastrée dans une poutre en bois est
soumis à l’action d’un câble de manutention telle que
présenté à la figure 4.9
𝐹⃗ (20𝑑𝑎𝑁)
1- En utilisant la méthode de Varignon, calculer le
moment en A de la force 𝐹⃗ .
Figure 4.9
2- Déterminer le bras de levier 𝑑 (distance entre A et le support de 𝐹⃗ ).
3- En utilisant la méthode du bras de levier, calculer le moment en A de la force 𝐹⃗ .
4- Quelle conclusion peut-on tirer des résultats de ces deux méthodes ?
EXERCICES 4
L’on veut déterminer la force minimale 𝑭𝟐⃗
nécessaire pour équilibrer une masse exerçant une
force 𝑭𝟏⃗(8N) sur une balance. L’on propose deux
options de figures (a) et (b).
1- Sur la figure (a), déterminer l’intensité de 𝑭𝟐⃗ sachant qu’un carreau vaut 2cm de long.
2- Sur la figure (b), déterminer l’intensité de 𝐹⃗ sachant qu’un carreau vaut 2cm de long.
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EXERCICES 5
Soit la figure 4.10 donnée ci-contre.
1- Déterminer les coordonnées des vecteurs 𝑂𝐵⃗ et 𝐹⃗ .
2- moment en O de la force 𝐹⃗ par la méthode de
Varignon.
3- Déterminer le moment en O de la force 𝐹⃗ par la
méthode du produit vectoriel.
Figure 4.10
EXERCICES 6
L’effort 𝐹⃗ , exercé par la petite Lionelle sur une clé à mollet pour dévisser un écrou est
représenté sur la figure 4.11
1- Déterminer les coordonnées de 𝐵𝐴⃗ et 𝐹⃗ .
2- Donner deux méthodes permettant de
déterminer le moment en A de l’effort exercé par
Lionelle sur la clé à mollet.
2- Déterminer à travers les méthodes citées, le
moment A de la force 𝐹⃗ .
Figure 4.11
EXERCICES 7
On veut soulever le pont levis à l’aide du corps K qui exerce une force de traction 𝑇⃗ sur
le pont (figure 4.12). La longueur du pont 𝐴𝐷 = 6𝑚, son poids 𝑃⃗ (8000𝑁) exercé en G et
l’angle formé entre le pont de levis et la force de traction est 𝛼 = 40°.
1- Quelle est le centre de rotation du pont de levis ?
2- Déterminer le bras de levier 𝑑 et 𝑑 respectivement des forces 𝑃⃗ et 𝑇⃗.
3- Déterminer la force de traction 𝑇⃗.
4- Déduire la masse du corps K.
Figure 4.12
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EXERCICES 8
En utilisant la méthode de votre choix, déterminer le moment
en O de la force 𝐹⃗ .
Figure 4.13
EXERCICES 9
Exerce sur une clé à bougie les
efforts et permettant de desserrer un
écrou (figure 4.14). On suppose que
l’effort 𝐹⃗ à pour intensité 𝐹⃗ = 200𝑁
Figure 4.14
1- Pour les 4 positions indiquées sur la figure, déterminer le couple de desserrage C exercé
par la clé sur l’écrou en O.
2- Pour les 4 positions indiquées sur la figure, déterminer le couple de desserrage C exercé
par la clé sur l’écrou en E.
EXERCICES 10
𝑇⃗(130 daN)
Une poulie de rayon 𝑅 = 10𝑐𝑚 est montée sur un
arbre et soumis à l’action de deux tensions 𝑇⃗ et 𝑡⃗
pivote autour du point A (figure 4.15).
1- Calculer le moment résultant en A.
2- Quel est le couple disponible sur l’arbre de
transmission ?
Figure 4.15
EXERCICES 11
Perfore l’un des murs de sa salle de classe dans
le but de fixer des pommelles qui serviront à fixer une
réglette. La perceuse portative qu’il utilise a un couple
𝐶 = 35𝑁. 𝑚 qu’il transmet à un foret à trois lèvres
représenté à la figure 4.16
Déterminer les efforts de coupe 𝐹⃗ exercée sur les
trois lèvres du foret.
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Figure 4.16
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EXERCICES 12
Soit une poutre encastrée sur un mur à l’aide de
vis de fixation telle que représenté à la figure 4.17
1- Calculer le moment en A, B, O et C de la force 𝐹⃗ .
2- Déterminer le moment résultant en O exercé par
le couple de force (𝐹⃗ ; −𝐹⃗ ).
Figure 4.17
3- Quelle est l’expression en fonction de 𝑇⃗ , du couple engendré par les forces 𝑇⃗ ; −𝑇⃗ ?
EXERCICES 13 METHODE DU PRODUIT VECTORIEL
On donne la figure 4.18 ci-contre.
1- Donner les coordonnées des vecteurs 𝑂𝐽⃗, 𝐵𝐽⃗, 𝐼𝐽⃗, 𝐴𝐽⃗ et 𝐹⃗
2- Déterminer le moment en I de la force 𝐹⃗ .
3- En déduire le moment de la force 𝐹⃗ par rapport aux axes (𝐼; 𝑥⃗), (𝐼; 𝑦⃗) et (𝐼; 𝑧⃗).
4- Déterminer le moment de la force par rapport au point O.
5- En déduire le moment de la force 𝐹⃗ par rapport aux axes (𝑂; 𝑥⃗), (𝑂; 𝑦⃗) et (𝑂; 𝑧⃗).
6- Déterminer le moment de la force par rapport au point B.
7- En déduire le moment de la force 𝐹⃗ par rapport aux axes (𝐵; 𝑥⃗), (𝐵; 𝑦⃗) et (𝐵; 𝑧⃗).
4- Déterminer le moment de la force par rapport au point O.
5- En déduire le moment de la force 𝐹⃗ par rapport aux axes (𝐼; 𝑥⃗), (𝐼; 𝑦⃗) et (𝐼; 𝑧⃗).
Figure 4.18
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SEQUENCE V : CORPS SOLIDE – SYSTEME MATERIEL
ELEMENTS DE COMPETENCES :
 Déterminer le centre de gravité d’un système matériel
 Isoler un système matériel en indiquant ses frontières
 Inventorier les forces s’exerçant sur le système matériel
 Enoncer le principe des actions mutuelles
V.1- DEFINITION DE QUELQUES TERMES
Point matériel : C’est une portion de matière de très petites dimensions.
Système matériel : C’est un ensemble infini ou fini de points matériels dont la masse reste
constante durant son étude. Il peut être constitué de plusieurs solides ayant un mouvement
relatif (interrupteur, paire de ciseaux, douille...) ou non (charpente, pince…) entre eux.
Solide réel : Objet de masse constante dont l’aspect varie très peu suite à un effort dosé.
Solide déformable : C’est le solide qui, sous l’influence d’une force extérieure, se déforme
plus ou moins. Exemple : ressort, courroie, fil de courant, etc.
Solide indéformable ou parfait : C’est le solide théorique, qui, sous l’influence d’une force
extérieure, ne se déforme pas. Les distances de deux points quelconques de ce solide sont
invariables. Exemple : manche de tournevis, vis, marteau, pince, etc.
V.2- CENTRE DE GRAVITE OU DE MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL
V.2.1- Définition
Le centre de gravité ou de masse d’un système (𝑮) est le lieu de rencontre des lignes
de champ de pesanteur. Il est le point d’application du poids 𝑷⃗ d’un objet.
V.2.2- Détermination du centre de gravité ou de masse d’un système matériel
Considérons un système constitué de n points matériels 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 ,.. , 𝑨𝒏 et de masse
respective 𝒎𝟏 , 𝒎𝟐 ,.. , 𝒎𝒏 . Soit G le barycentre de ces points et 𝑂 l’origine d’étude du système
matériel, alors son centre de gravité est donné par la relation :
𝑶𝑮⃗ =
𝒎𝟏 𝑶𝑨𝟏⃗ + 𝒎𝟐 𝑶𝑨𝟐⃗ + ⋯ + 𝒎𝒏 𝑶𝑨𝒏⃗
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒏
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V.2.3- Centre de gravité de quelques formes géométrique
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V.3- NOTION D’ISOLEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL
L’isolement d’un système matériel d’un mécanisme consiste à :
 Le représenter seul dans sa position de travail à une échelle donnée ;
 Recenser toutes les forces extérieures qui s’appliquent à cette partie isolée.
V.3.1- Notion de frontière d’isolement
La frontière d’isolement est la limite matérielle des surfaces de solides constituant le
système isolé. Elle définit la représentation du système isolé.
Considérons
le
système
matériel 𝑺𝟎 (figure 5.1) constitué
du nageur 2, de la planche 1 et du
bâti 0 (bords, poteaux divers,
etc.).
Figure 5.1 Système matériel 𝑺𝟎 : nageur + planche + bâti
 Cas de sous-système constitué d’un seul corps
Considérons les sous-systèmes matériels nageur 2 (figure 5.2) et planche 1 (figure 5.3)
Isolons le sous-système nageur (2) :
Les forces extérieures agissant sur le nageur 2 sont :
 Son poids (poids du nageur) : 𝑷𝟐⃗

L’action en 𝑪 de la planche 1 sur le nageur 2 : 𝑪𝟏/𝟐⃗
Isolons le sous-système planche (1) :
Figure 5.2 Nageur 2
isolé
Figure 5.3 Planche 1 isolée
Les forces extérieures agissant sur la planche 1 sont :
 L’action en 𝑨 du bâti 0 sur la planche 1 : 𝑨𝟎/𝟏⃗

L’action en 𝑩 du bâti 0 sur la planche 1 : 𝑩𝟎/𝟏⃗

Son poids (poids de la planche) : 𝑷𝟏⃗

L’action en 𝑪 du nageur 2 sur la planche 1 : 𝑪𝟐/𝟏⃗
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 Cas de sous-système constitué de plusieurs corps
Isolons
le
sous-système
matériel 𝑺𝟏 constitué du nageur
2 et de la planche 1 (figure 5.4)
Figure 5.4 Système matériel 𝑺𝟏 : nageur + planche
Les forces extérieures agissant sur le sous-système matériel 𝑺𝟏 = {𝟏; 𝟐} sont :

L’action en 𝑨 du bâti 0 sur la planche 1 : 𝑨𝟎/𝟏⃗

L’action en 𝑩 du bâti 0 sur la planche 1 : 𝑩𝟎/𝟏⃗

Son poids (poids de la planche) : 𝑷𝟏⃗

Son poids (poids du nageur) : 𝑷𝟐⃗
Dans ce cas, les actions en 𝑪 du nageur 2 sur la planche 1 (𝑪𝟐/𝟏⃗) et de la planche 1 sur le
nageur 2 (𝑪𝟏/𝟐⃗) sont des actions intérieures au sous-système 𝑺𝟏 et ne sont pas considérées.
V.3.2- Tableau bilan de forces extérieures
C’est un tableau permettant de recenser et de caractériser toutes les forces extérieures
à un solide isolé tout précisant les caractéristiques inconnues. Il se présente comme suit :
Forces
Points d’application
Directions
sens
Modules
Exemple 5.1 : soit le sous-système 𝑺𝟏 précédemment isolé dont le poids du nageur 2 et
celui de la planche 1 est respectivement 700N et 250N. Dressons le tableau bilan des forces
extérieures appliquées à 𝑺𝟏 .
Forces
Points
d’application
Directions
sens
Modules
𝑷𝟐⃗
𝑷𝟏⃗
𝑮𝟐
𝑮𝟏
250N
𝑩𝟎/𝟏⃗
𝑩
?
𝑨𝟎/𝟏⃗
𝑨
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700N
ou (𝑪𝑮𝟐 )
?
?
?
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V.4- PRINCIPE DES ACTIONS MUTUELLES OU RECIPROQUES OU D’INTERACTIONS
Si deux systèmes matériels 𝑺𝟏 et 𝑺𝟐 sont en interaction alors 𝑺𝟏 exerce sur 𝑺𝟐 une
force 𝑭𝟏/𝟐⃗ réciproquement 𝑺𝟐 exerce sur 𝑺𝟏 une force 𝑭𝟐/𝟏⃗ telle les deux forces ont une
même direction, une même module mais de sens contraire.
𝑭𝟏/𝟐⃗ = − 𝑭𝟐/𝟏⃗
Exemple 5.2 : considérons les systèmes
bille 1 et sol 0 en interaction schématisé
ci-contre. La bille 1 exerce sur le sol 0 une
force 𝑨𝟏/𝟎⃗ et réciproquement, le sol 0
exerce sur la bille 1 une force 𝑨𝟎/𝟏⃗ telle
que :
𝑭𝟏/𝟐⃗ = − 𝑭𝟐/𝟏⃗
V.5- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICE 1 : DOUBLE SERRAGE A
AUTOBLOCAGE
Lors du serrage, le Levier 3 se déplace
de gauche à droite : lorsque les Grenouillères
(4 – 5 et 4’ – 5’) se trouvent en position
rectiligne (articulations B, C, D alignées) il y’a
un franchissement de « point dur », tel que les
pièces actives du blocage subissent une
déformation élastique maximale. Ce « point
dur » étant dépassé, il y a une légère
diminution de l’effort de serrage, jusqu’à ce
que le Piston 2 bute en fin de course dans le
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Cylindre du Vérin 1. A ce moment, le Vérin (1 – 2) n’étant plus alimenté, le système de
blocage est en position stable (Position de la figure 2).
Les Tiges 6 et 6’ sont guidées en translation dans le Bâti 0 et liées aux Brides 7 et 7’ ;
Les Bielles 8 et 8’ relient les Brides 7 et 7’ au Bâti 0.
A- Isoler l’Axe 9.
A.1- Faire l’inventaire des forces extérieures agissant sur 9 et désigner leur direction sur fig3
A.2- Compéter le tableau bilan des forces extérieures appliquées à l’Axe 9.
P.A
B- Isoler la Bielle 8.
B.1- Faire l’inventaire des forces extérieures qui agissent sur 8 et Tracer leur
support et sens
B.2- Compéter le tableau bilan des forces extérieures appliquées à la Bielle 8.
Modules
C- Isoler la Bride 7.
C.1- Faire l’inventaire des forces extérieures qui agissent sur lui et désigner la direction
C.2- Tracer et compéter le tableau bilan des forces extérieures appliquées à la Bride 7.
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EXERCICE 2 : BOUTEUR SUR CHENILLE
Un bouteur se compose d’un châssis 1, d’une
lame 2 articulée en B sur deux bras de poussée 3 euxmêmes articulés en A sur 1. La hauteur de la lame est
réglée par deux vérins (6 + 7) et son inclinaison par
deux vérins {4+5}. Les liaisons en A, B, C, D, E et F
sont des liaisons pivots dont les centres portent le
même nom. Les poids des pièces sont négligés ; 𝑯𝟐/𝟎⃗
(22 000 daN) schématise l’action du sol sur la lame (inclinée de 5° par rapport à l’horizontale).
1- L’on se propose d’isoler les systèmes matériels {4+5}, 2, {6+7} et 3. Ranger ces différents
systèmes matériels dans l’ordre d’isolement.
_________________________________________________________________________
2- Pour les chaque solide isolé donné, faire l’inventaire des forces extérieures qui s’y
appliquent, puis représenter les directions et sens connus.
Inventaires des extérieures appliquées à {4+5}
__________________________________________________
__________________________________________________
Inventaires des extérieures appliquées à {6+7}
__________________________________________________
__________________________________________________
Inventaires des extérieures appliquées à 3
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
Inventaires des extérieures appliquées à 2
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
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3- Compléter le tableau bilan des forces extérieures appliquées à chacun des solides isolés.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
EXERCICE 3 : POTENCE DE MANUTENTION
Une potence utilisée en manutention
se compose d’une flèche 3 articulée en A
sur une colonne pivotante 1 et d’un tirant
2 articulé en D sur 1 et en B sur 3.
L’ensemble est en liaison pivot (axe
vertical EF) sur des supports (4 et 5) en
cas très dans le mur 0. Les poids des
solides sont négligés, P (2 000 daN)
schématise le poids de la charge à lever.
L’on se propose d’isoler les systèmes matériels {4+5}, 2, {6+7} et 3.
1- Ranger ces différents systèmes matériels dans l’ordre d’isolement.
_________________________________________________________________________
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A- Isoler de 2
A.1- Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à 2, puis représenter la direction et
sens.
____________________________________________
____________________________________________
2- Compléter le tableau bilan suivant.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B- Isoler la Flèche 3.
B.1- Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à 3, puis tracer le support et le sens
de la force en B.
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
B.2- Compléter le tableau bilan suivant.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B.3- Déterminer les coordonnées des vecteurs forces 𝐵 / ⃗ et 𝑃⃗
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B.4- Déterminer le moment résultant 𝑀 ⃗ en A en fonction de 𝐵 / ⃗
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
B.5- Déterminer en fonction de
𝐵 / ⃗ , les coordonnées de la résultante 𝑹⃗ des forces
extérieures appliquées sur la Flèche 3.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
6- Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à 2, puis représenter les directions et
les sens connus.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
7- Compléter le tableau bilan suivant.
Forces
P.A
Directions
Classe de Seconde Industrielle
Sens
Modules
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 4 : DISPOSITIF DE SERRAGE
Le
vérin
de
serrage
{2+3}
assure,
par
l'intermédiaire de la bride 1, articulée en O sur le bâti
0, le maintien en position d'usinage de la pièce 4.
1- Ranger les systèmes matériels 1 et {2+3} dans
l’ordre d’isolement qui convient.
________________________________________
A- Isoler le vérin de serrage {2+3}.
A.1- Faire des forces extérieures appliquées à {2+3}, puis tracer leur support et leurs sens.
____________________________________________
____________________________________________
3- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées au vérin {2+3}.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B- Isoler la Bride 1.
B.1- Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à 1,
puis représenter chaque sens et direction connus.
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
B.2- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées à la Bride 1.
Forces
P.A
Directions
Classe de Seconde Industrielle
Sens
Modules
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 5 : BRIDE DE SERRAGE
La bride de serrage proposée fait partie d’un
montage d’usinage. La pièce 4 à usiner est bridée
en B par un renvoi 3 articulé en C sur le bâti 1 du
montage. Le serrage de la pièce est réalisé par
une vis de pression 2 agissant en A.
L’action du ressort de rappel sur le renvoi 3
est négligée et l’action de la vis de pression sur le renvoi est 𝑨𝟐/𝟑⃗ = 𝟑𝟎𝟎 ⃗ (en Newton)
1- Isoler le renvoi 3 et faire l’inventaire des forces extérieures qui s’y appliquent
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2- Remplir le tableau bilan
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
3- Représenter le support et le sens de l’action 𝑨𝟐/𝟑⃗ de la vis
de pression 2 sur le renvoi 3, puis le support de l’action 𝑩𝟒/𝟑⃗
de la pièce 4 sur le renvoi.
4- Déterminer en fonction de 𝑩𝟒/𝟑⃗ , le moment résultant 𝑴𝑪⃗ en C
__________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 53
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5- Déterminer en fonction de
𝑩𝟒/𝟑⃗ , les coordonnées de la résultante 𝑹⃗ des forces
extérieures appliquées sur le renvoi 3.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
EXERCICE 6 : MECANISME DE BRIDE A GENOUILLERE
Le mécanisme de serrage dit à genouillère
permet d’auto-bloquer une Pièce 6 sur un support.
Ce mécanisme est constitué d’un Bâti 1, d’un Levier
de Manœuvre 2 articulé en K avec le Bâti, d’un
Levier 4 articulé en E avec le bâti, d’une Bielle 3 et
de la Tige 5 en liaison pivot glissant avec le Bâti.
Le mécanisme est présenté sur la figure 1 en
position auto-bloquée, c'est-à-dire que le Levier 2
prend appui sur la butée liée à 1 en L. Dans cette
position, le serrage de la Pièce 6 sur la table est
assuré même sans action de l’opérateur sur le
Levier 2.
Pour notre étude, on souhait isoler les systèmes matériels 2, 5, 4 et 3.
1- Ranger ces différents systèmes matériels dans l’ordre d’isolement.
_________________________________________________________________________
A- Isoler la Bielle 3.
A.1- Faire l’inventaire des forces extérieures agissant sur 3, puis tracer les
sur la figure 2.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Figure 2
Page 54
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.2- Compléter le tableau bilan des forces extérieures agissant sur 3.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B- Isoler le Levier 2.
B.1- Faire l’inventaire des forces extérieures agissant sur 2, puis tracer sur la figure 3 les
forces en J et L.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
Figure 3
B.2- Compléter le tableau bilan des forces extérieures agissant sur 3.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
C- Isoler le Levier 4.
C.1- Faire l’inventaire des forces extérieures agissant sur 4, puis tracer sur la figure 4 les
forces en D et I.
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
C.2- Compléter le tableau bilan des forces extérieures agissant sur 3.
Forces
P.A
Directions
Classe de Seconde Industrielle
Sens
Figure 4
Modules
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.1- Faire l’inventaire des forces extérieures agissant sur 3, puis tracer sur la figure 5 les
actions en A, B, C et D.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
C.2- Compléter le tableau bilan des forces extérieures agissant sur 3.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
Figure 5
Classe de Seconde Industrielle
Page 56
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE VI : MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUE
ELEMENTS DE COMPETENCES :
 Classifier les actions mécaniques
 Schématiser les liaisons mécaniques usuelles,
 Identifier et représenter par leurs composantes, les actions mécaniques de liaison
usuelles
VI.1- CLASSIFICATION DES ACTIONS MECANIQUES
En général, une action mécanique représente soit une force, soit un couple, soit une force
et un couple simultanément. Toute action mécanique est représentée par un vecteur.
On distingue deux types d’actions mécaniques :
 Les actions mécaniques à distance
 Les actions mécaniques de contact
VI.1.1- Les actions mécaniques a distance
Ce sont des actions mécaniques qui s’exercent sur un corps n’émanant d’aucun contact
avec un autre corps. Parmi les actions mécaniques à distance nous avons les forces
électromagnétiques, forces électrostatiques, le poids.
Dans le cadre de notre programme, nous insisterons que sur le cas particulier du poids.
Cas particulier du poids
Le poids d’un corps est modélisable par un vecteur force noté 𝑷⃗ telle que :
 Point d’application : Centre de gravité du corps noté 𝑮
 Direction : Verticale
 Sens : Du haut vers le bas
 Module : 𝑷 = 𝑷⃗ = 𝒎𝒈
Unités :
𝑷 en 𝑵
;
𝒎 en 𝑲𝒈
et
𝒈 en 𝑵/𝑲𝒈
Figure 6.1 poids d’un homme
VI.1.2- Les actions mécaniques de contact
Ce sont des actions mécaniques issues d’un contact entre au moins deux solides. Elles
sont divisées en deux grands groupes :
Classe de Seconde Industrielle
Page 57
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
 Les actions intérieures aux systèmes
1
Ce sont les actions mécaniques qui s’exercent entre
𝑰
les éléments d’un même système isolé suite à leur contact
mutuel.
𝑰𝟎/𝟏⃗
2
𝑰𝟏/𝟎⃗
Soit une bille 1 posé sur un pavé en bois 0 (figure 6.2).
Figure 6.2 Action intérieure
La bille et le pavé étant les éléments du même système
alors les actions mécaniques 𝑰𝟎/𝟏⃗ et 𝑰𝟏/𝟎⃗ appliquées en 𝑰 et issues de leur interaction sont
des actions intérieures ou forces intérieures.
 Les actions extérieures aux systèmes
Ce sont les actions mécaniques qui s’exercent sur un ou plusieurs éléments du système
isolé suite à un contact avec un ou plusieurs éléments n’appartenant pas au système. Les
actions mécaniques peuvent être classées selon le type de contacts entre deux solides :
Ponctuel, linéique, ou surfacique.
VI.1.2.1- Les actions mécaniques à contact ponctuel
Ce sont des actions mécaniques issues de contact entre deux sphères, une sphère et un
plan, une sphère et un cylindre ou une sphère et un cône.
Reprenons la figure 6.2, le contact entre la bille 1 et le pavé 0 en 𝑰 est un contact ponctuel.
Isolons à présent la bille 1 (figure 6.3), l’action 𝑰𝟎/𝟏⃗ du pavé 0 sur la bille 1 devient une action
ponctuelle extérieure telle que :
 Point d’application : 𝑰
 Direction : Perpendiculaire au plan tangent commun
1
𝑰
de contact en 𝑰
 Sens : Du bas vers le haut
 Module : 𝑰𝟎/𝟏⃗
𝑰𝟎/𝟏⃗
Plan tangent
Figure 6.3 Action du pavé
sur la bille
ou 𝑰𝟎/𝟏
VI.1.2.2- Les actions mécaniques à contact linéique
Ce sont des actions mécaniques issues de contact
entre deux cylindres par leur génératrice, un cylindre sur
un plan par sa génératrice (figure 6.4).
1
2
Figure 6.4 contact linéique
Classe de Seconde Industrielle
Page 58
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Soit un tube 1 posé sur une plaque métallique 2
𝝆𝟏/𝟐⃗
(figure 6.4). L’action du tube 1 sur la plaque métallique 2
2
est repartie le long de la ligne de contact en des charges
Figure 6.5 Charge linéique
linéique 𝝆𝟏/𝟐⃗ (figure 6.5) et est modélisée par une force
unique 𝑳𝟏/𝟐⃗ (figure 6.6) telle que :
 Point d’application : 𝑳, milieu du segment [AB] de contact
𝑳𝟏/𝟐⃗
 Direction : Perpendiculaire au plan tangent
A
commun de contact en 𝑳
2
 Sens : Du haut vers le bas
 Module : 𝑳𝟏/𝟐⃗
Figure 6.6 Action du cylindre
ou 𝑳𝟏/𝟐 = 𝝆𝟏/𝟐⃗ × 𝑨𝑩
𝝆𝟏/𝟐⃗ : Charge linéique (N/m)
B
𝑳
sur la plaque
𝑨𝑩 : longueur de contact (m)
VI.1.2.3- Les actions mécaniques à contact surfacique
Ce sont des actions mécaniques issues de
contact entre deux surfaces ou entre un fluide et une
surface (figure 6.7).
Soit un vérin (figure 6.7) en position de sortie du
Figure 6.7 Vérin en sortie de piston
piston 2 sous l’effet de l’air. L’air exerce sur la
Piston 2
surface du piston 2 une pression 𝒑⃗ (figure 6.8) qui
entraine la sortie du piston. Cette action de l’air sur le
piston est modélisée par une force unique 𝑭𝑨 𝒓/𝟐⃗
(figure 6.9) telle que :
𝒑𝑨𝒊𝒓/𝟐⃗
𝑨
Figure 6.8 Charge surfacique :
pression
 Point d’application : 𝑭, centre de la surface de contact
 Direction : La droite (𝑭𝑨) perpendiculaire à la surface de contact
 Sens : De 𝑭 vers 𝑨
ou 𝑭𝑨𝒊𝒓/𝟐 = 𝑷𝑺 =
𝑷 : Pression en Pascal (Pa)
𝝅𝑷𝑫𝟐
𝟒
, S : surface (𝒎𝟐 )
Conversion d’unité :
𝟏𝑷𝒂 = 𝟏𝑵/𝒎𝟐
𝟏𝑴𝑷𝒂 = 𝟏𝟎𝟔 𝑷𝒂
𝟏𝒃𝒂𝒓 = 𝟏𝟎𝟓 𝑷𝒂
Classe de Seconde Industrielle
Piston 2
∅𝑫
 Module : 𝑭𝑨 𝒓/𝟐⃗
𝑭𝑨 𝒓/𝟐⃗
𝑨
𝑭
Figure 6.9 Action de l’air
sur le piston
Page 59
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VI.2- MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES DE LIAISONS USUELLES
VI.2.1- Les actions mécaniques sur liaison ponctuelle et appui plan : appui simple
Le solide repose ou s’appuie simplement sur une surface
𝒚
et la réaction qui en suit sur le solide est appliquée au point de
𝑩𝟏/𝟐⃗
contact et dirigée perpendiculairement à la surface d’appui.
𝒙
𝑩
𝒚
𝑩𝟏/𝟐⃗
𝒙
Figure 6.10 Appui simple
𝑩
Figure 6.11 Action sur appui simple
VI.2.2- Les actions mécaniques sur articulation
Une articulation peut être de plusieurs types :
 Articulation double (figure 6.12a)
 Articulation cylindrique, réalisé par une liaison pivot, pivot glissant, linéaire annulaire
(figure 6.12b)
 Articulation sphérique, réalisé par une liaison rotule (figure 6.12c)
𝒚
1
𝒛
𝒚
𝒙
𝑨
𝒚
𝒙
𝒙
(a)
(b)
(c)
Figure 6.12 Types d’articulation
Cas d’une action mécanique inconnue sur une articulation
𝒚
La direction et le sens de l’action mécanique
𝑨𝟎/𝟏⃗
étant inconnus. Leur représentation simplifiée sur le
système matériel isolé est donnée à la figure 6.13
Figure 6.13 Action sur une articulation
Cas d’une action mécanique connue
L’action mécanique est représentée
suivant son support et selon son sens s’il
est connu (figure 6.14).
𝒙
𝑨
y
𝑫⃗
D
C
X
𝑪𝟎/𝟏⃗
𝑫⃗
D
C
Figure 6.14 Action connue sur articulation
Classe de Seconde Industrielle
Page 60
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VI.2.3- Les actions mécaniques sur liaison encastrement
𝒚
La liaison encastrement (figure 6.15) ne permet
aucun mouvement relatif entre les solides en jeu. Les
𝒙
réactions qui s’y exercent sont le mélange d’un
moment qui empêche la rotation du solide et d’une
Figure 6.15 Liaison d’encastrement
force de direction oblique qui empêche toute
translation horizontale et verticale du solide (figure 6.16).
La direction exacte de la force s’exerçant dans un encastrement n’étant pas connue,
une représentation simplifiée sur système matériel isolé est donnée par la figure 1.17
𝒚
𝒚
𝑪𝟎/𝟏⃗
𝑹𝒚⃗
𝒙
𝑹𝒙⃗
Figure 6.16 Encastrement détaillé
𝑴𝑪⃗
𝒙
𝑪
Figure 6.17 Action sur encastrement
VI.3- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICE 1 : CONNAISSANCE DU COURS
Répondre par Vrai (V) ou Faux (F) aux différentes affirmations suivantes.
1- Les actions mécaniques sont classifiées en deux types. ___________________________
2- Le poids d’un corps est une action de contact. ___________________________________
3- Selon le type de contacts entre systèmes matériels, les actions mécaniques de contact
sont classées en 3 grands groupes. ____________________________________________
4- Le poids d’un corps est toujours vertical et dirigé de bas en haut. ____________________
5- Les actions mécaniques à contact surfacique sont des actions reparties. _____________
7- Les actions mécaniques à contact ponctuel sont toujours de direction inconnue. ________
8- Les actions de contact peuvent être ponctuelles ou réparties. ______________________
9- L’action du vent sur la voile du véliplanchiste est une action à distance. ______________
10- Les actions mécaniques sur les articulations sont de direction connue. _______________
11- Le poids d’un corps est toujours vertical et dirigé de haut en bas. ___________________
12- Le nombre d’inconnu dans la liaison d’encastrement est le même que dans une
articulation _______________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 2 : Cocher la (ou les) bonne (s) réponse (s)
1- Les types d’actions mécaniques sont :
a- Les actions de contacts
c- Le poids d’un corps
b- Les actions à distance
d- Aucune réponse
2- Les exemples d’actions mécaniques de contact sont
a- action du marteau sur le clou
c- Le poids d’un corps
b- action du pied sur le ballon
d- Aucune réponse
3- Sur une articulation, il existe toujours :
a- Un moment inconnu
c- Un moment et une force inconnus
b- Un moment connu
d- Aucune réponse
4- Une action à contact linéique est :
a- Une action ponctuelle
c- Une action de contact
b- Un action repartie
d- Aucune réponse
5- Une action à contact surfacique nait du contact entre :
a- Un fluide et un plan
c- Deux solides
b- Un cylindre et un plan
d- Aucune réponse
EXERCICE 3
En cochant la ou les cases qui vous semblent correctes, déterminer les types d’action
correspondant aux situations définies dans le tableau ci-dessous.
Situations
Reparties
Ponctuelles
De contact
A distance
Crayon à bille écrivant sur une
feuille de papier
Action de la terre sur les objets
Action du vent sur les voiles d’un
bateau
Action d’un aimant sur un clou en
fer
Stylo à billes posé sur une table
Classe de Seconde Industrielle
Page 62
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 4
Soit le mécanisme de machine à écrire donné à la figure 5.18
Figure 5.18
1- Dire s’il s’agit d’un appui simple, d’une articulation ou d’un encastrement.
a- Liaison en A entre les pièces 0 et 1 : _________________________________________
b- Liaison en E entre les pièces 3 et 4 : _________________________________________
c- liaison en M entre le doigt et la touche : _______________________________________
d- Liaison en C entre les pièces 2 et 3 : _________________________________________
d- Liaison en B entre les pièces 1 et 2 : _________________________________________
EXERCICE 5
Soit la bride hydraulique, figure 5.19
Chaque liaison mécanique est désignée
par une lettre.
1- Citer deux liaisons ponctuelles
___________________________
2- Citer trois contacts surfaciques
___________________________
Figure 5.19
3- Sur la figure, porter la lettre k sur la
liaison pivot ou articulation entre les pièces 1 et 4
Classe de Seconde Industrielle
Page 63
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 6
Soit le système de bride, figure 5.20 ci-contre
1- Citer trois contacts ponctuels
________________________________
2- Citer une articulation
_______________________________
Figure 5.20
On suppose tout le mécanisme
3- Citer quatre actions mécaniques intérieures ou forces intérieures à ce mécanisme.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Soit le système matériel isolé {1, 2, 3}, figure 5.21
4- Citer toutes les forces extérieures qui lui sont appliquée
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Figure 5.21
EXERCICE 7
Soit la fourche 1 en liaison pivot en A
avec le bâti 0 et en appui simple au point D
Chaque liaison porte le nom du point de
contact.
Figure 5.23
1- Donner le nom d’une articulation _______________________
2- Donner le nom de l’appui simple _______________________
3- Existe-t-il des actions reparties ? ________________________________
4- Citer les actions mécaniques à distance s’exerçant sur la fourche 1.
_________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5- Citer les actions mécaniques de contact s’exerçant sur la fourche 1.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
6- Citer les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur la fourche 1.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
7- Sur la figure 5.23, représenter l’action en D (support et sens) et l’action en A
Figure 5.23
8- Calculer par rapport au point A, le moment résultant de toutes les actions extérieures
s’appliquant sur la fourche 1.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
EXERCICE 8
On donne la figure 1 ci-contre.
Représenter
les
actions
mécaniques de liaison usuelle en A,
C et F sur les systèmes matériels
figure 2 et figure 3.
On remarquera que la Lame 2 à
tendance à pivoter suite à la force 𝑹⃗.
Prendre 𝑪𝟕/𝟐⃗ = 𝟒𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵 et comme échelle : 2mm pour 40
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 9 :
Soit le tableau donné ci-dessous. Représenter pour chacun des cas, les actions
mécaniques sur les points de liaisons usuelles identifiés.
Classe de Seconde Industrielle
Page 66
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE VII : NOTION DE TORSEUR
ELEMENTS DE COMPETENCES
 Définir un torseur
 Ecrire les actions mécaniques sous forme d torseur
 Réduire les torseurs en point
 Effectue des opérations sur les torseurs.
VII.1- DEFINITION ET NOTATION
VII.1.1- Définition
Défini en un point quelconque A, le torseur d’une action mécanique est un système force
moment constitué de deux grandeurs :
 Un vecteur force 𝑹⃗ indépendante du point choisi.
 Un moment 𝑴𝑨⃗ 𝑹⃗
VII.1.2- Notation :
de la force 𝑹⃗ par rapport au point A choisi.
⃗
{𝝉}(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = ⃗𝑹 ⃗
𝑴𝑨 (𝑹)
Avec 𝑹⃗ = 𝑹𝒙 ⃗ + 𝑹𝒚 ⃗ + 𝑹𝒛 𝒌⃗
et
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
𝑹𝒙
= 𝑹𝒚
𝑹𝒛
𝑳
𝑴
𝑵
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
𝑴𝑨⃗(𝑹⃗) = 𝑳 ⃗𝒊 + 𝑴 𝒋⃗ + 𝑵 𝒌⃗
Le point A est appelé point de réduction du torseur {𝝉} tant dis que 𝑹⃗ et 𝑴𝑨⃗ sont
appelés éléments de réductions du torseur {𝝉} au point A.
VII.2- OPERATIONS SUR LES TORSEURS
Les opérations sur les torseurs s’effectuent toujours en un même point de réduction.
VII.2.1- Addition de deux torseurs
Soit deux torseurs {𝝉𝟏 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) =
𝑹𝟏𝒙
𝑹𝟏𝒚
𝑹𝟏𝒛
𝑳𝟏
𝑴𝟏
𝑵𝟏
{𝝉}(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = {𝝉𝟏 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) + {𝝉𝟐 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) =
Classe de Seconde Industrielle
et {𝝉𝟐 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) =
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
𝑹𝟏𝒙 + 𝑹𝟐𝒙
𝑹𝟏𝒚 + 𝑹𝟐𝒚
𝑹𝟏𝒛 + 𝑹𝟐𝒛
𝑳𝟏 + 𝑳𝟐
𝑴𝟏 + 𝑴𝟐
𝑵𝟏 + 𝑵𝟐
𝑹𝟐𝒙
𝑹𝟐𝒚
𝑹𝟐𝒛
𝑳𝟐
𝑴𝟐
𝑵𝟐
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
Page 67
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VII.2.2- Soustraction de deux torseurs
𝑹𝟏𝒙
𝑳𝟏
𝑹𝟏𝒛
𝑵𝟏
Soit deux torseurs {𝝉𝟏 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = 𝑹𝟏𝒚 𝑴𝟏
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
𝑹𝟏𝒙 − 𝑹𝟐𝒙
𝑹𝟏𝒚 − 𝑹𝟐𝒚
𝑹𝟏𝒛 − 𝑹𝟐𝒛
{𝝉}(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = {𝝉𝟏 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) + {𝝉𝟐 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) =
𝑹𝟐𝒙
𝑳𝟐
𝑹𝟐𝒛
𝑵𝟐
et {𝝉𝟐 }(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = 𝑹𝟐𝒚 𝑴𝟐
𝑳𝟏 − 𝑳𝟐
𝑴𝟏 − 𝑴𝟐
𝑵𝟏 − 𝑵𝟐
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
VII.2.3- Multiplication d’un torseur par un scalaire
𝑹𝒙
𝑳
𝑹𝒛
𝑵
Soit le torseur {𝝉}(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = 𝑹𝒚 𝑴
𝑹𝒙
𝒂 × {𝝉}(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛) = 𝒂 × 𝑹𝒚
𝑹𝒛
𝑳
𝑴
𝑵
et 𝒂 un scalaire. On a :
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
𝒂. 𝑹𝒙
𝒂. 𝑳
= 𝒂. 𝑹𝒚 𝒂. 𝑴
𝒂. 𝑹𝒛
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
𝒂. 𝑵
(𝑨; 𝒙,𝒚,𝒛)
VII.3- RELATION DE TRANSFERT EN UN POINT
L’expression d’un torseur varie en fonction du point de réduction choisi à cause de son
moment qui change en fonction du point d’application.
Soit une force 𝑭⃗ appliquée au point D, et deux points quelconques A et B.
Par définition,
𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐴𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗ et 𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐵𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗
D’après la relation de Chasles 𝐵𝑀⃗ = 𝐵𝐴⃗ + 𝐴𝑀⃗
Ainsi
𝑀 ⃗ 𝐹⃗ = 𝐵𝐴⃗ + 𝐴𝑀⃗ ∧ 𝐹⃗
D’où
𝑴𝑩⃗ 𝑭⃗ = 𝑴𝑨⃗ 𝑭⃗ + 𝑩𝑨⃗ ∧ 𝑭⃗
Le torseur des actions mécanique en B est alors donné par :
{𝝉}(𝑩; 𝒙,𝒚,𝒛) =
𝑭⃗
𝑴𝑩⃗ 𝑭⃗
=
(𝑩; 𝒙,𝒚,𝒛)
Classe de Seconde Industrielle
𝑭⃗
𝑴𝑩⃗ 𝑭⃗ + 𝑩𝑨⃗ ∧ 𝑭⃗ (𝑩; 𝒙,𝒚,𝒛)
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VII.4- TORSEUR DE QUELQUES LIAISONS MECANIQUES USUELLES
Désignation de
Schématisation spatiale
la liaison
Pivot

d’axe (A, x )
Mobilités
0
Rx
Tr 0 Rot 0
0
0
Torseur d’action
mécanique
transmissible
X
Y
Z
12
12
A
12
0

M 12 
Torseur d’action
Schématisation
mécanique
plane
Simplifié
Symétrie par rapport
 
z
à (A, y , z )
1
N12 
12
A
Glissière

d’axe (A, x )
Tx
0
Tr 0 Rot 0
0
0
0
Y
Z
L12 
M 12 
12
12
A
Pivot glissant

d’axe (A, x )
0
Y
Z
N12 
A
0
12
M 12
12
N12



0
0
Z
0
Rx
Tr Ty Rot 0
Tz
0
X
0
0
12
A
0
M 12
N12



Rotule
de centre A
X
Y
Z
12
12
A
12
0
Tx
Rx
Tr 0 Rot Ry
0
Rz
0
Y
Z
12
A
12
0
Rx
Tr Ty Rot Ry
Tz
0
Classe de Seconde Industrielle
X12
12
A
0
0

0 
N 
X
Y
0
12
z
1
0
0
y
0
2
x

0 
N 
2
0
0
0
y
1
0
0
Z
12
12
2
x
1
z
2
0
0
x
0
Symétrie par rapport
 
à (A, x , z )
X
0
0
y
0
Symétrie par rapport
 
à (A, x , z )
A
x
12
12
12
2
1
Symétrie par rapport
 
à (A, x , y )
0
0
12
X
0
0
A
Linéaire
rectiligne
de normale (A,

x)
et de contact (A,

y)
0
z



Symétrie par rapport
 
à (A, x , y )
0
0
Y
Z
12
0
0
0
M 12
0
A
Linéaire
annulaire

d’axe (A, x )
y
2
Symétrie par rapport
 
à (A, y , z )
A
0
Rx
Tr 0 Rot Ry
0
Rz
0
0
12
A
Appui plan de

normale (A, x )
12
0
Symétrie par rapport
 
à (A, x , z )
A
Tx
Rx
Tr 0 Rot 0
0
0
0
Y
Z
1
x
0
2
0
1
0
z
Page 69
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VII.5- EXEMPLE
Soit la fourche donnée ci-contre auquel est lié
le repère 𝑅 ≡ (𝐴; 𝑥, 𝑦, 𝑧).
1- Déterminer le moment en A des forces 𝐹⃗ et 𝐹⃗
_______________________________________________
𝐹⃗
𝐹⃗
_______________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2- Déterminer au point A le torseur des actions mécaniques 𝐹⃗ et 𝐹⃗ s’exerçant sur la fourche
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3- Représenter l’action 𝐴⃗ sur l’articulation en A et donner l’expression son torseur au point A.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4- Déterminer en fonction des coordonnés de 𝐴⃗, le torseur résultant au point A, des actions
s’exerçant sur la fourche.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 70
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VII.6- EXERCICE DE CONSOLIDATION
Soit la pédale encastré dans le bâti donnée cicontre muni du repère 𝑅 ≡ (𝑂; 𝑥, 𝑦, 𝑧),
1- Tracer la réaction 𝑅⃗ du Bâti s’appliquant en O sur
la pédale ainsi que le moment O qui s’y créé.
2- Donner en fonction des composantes de 𝑅⃗ et du moment d’encastrement M , l’expression
du torseur de la réaction 𝑅⃗ en O.
2- Déterminer le torseur des actions mécaniques de sur le manche de la pédale au J, I et O
3- Déterminer en fonction des coordonnés de 𝑅⃗ , le torseur résultant au point O, des actions
s’exerçant sur la pédale. En déduire les coordonnées de 𝑅⃗ et le moment d’encastrement M
lorsque le torseur résultant est nul.
Classe de Seconde Industrielle
Page 71
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE VIII : PRINCIPE FONDAMENTAL
DE LA STATIQUE (PFS)
ELEMENTS DE COMPETENCES
 Enoncer le principe fondamental de la statique (PFS)
 Appliquer le principe fondamental de la statique
 Résoudre analytiquement un problème de statique
VIII.1- ENONCE DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
Soit un système matériel (S) isolé et soumis à l’action de n forces extérieures 𝑭𝟏⃗, 𝑭𝟐⃗,…, 𝑭𝒏⃗.
(S) reste en équilibre si :
 La résultante 𝑹⃗ de ses forces extérieures est égale au vecteur nul
 La résultante 𝑴𝑨⃗ de moments de ses forces extérieures par rapport à un point
quelconque 𝑨 est égale au vecteur nul.
𝑭𝒆𝒙𝒕⃗ = 𝑭𝟏⃗ + 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑭𝒏⃗ = 𝟎⃗
𝑹⃗ =
𝑴𝑨⃗ =
(𝑰)
𝑴𝑨⃗ 𝑭𝒆𝒙𝒕⃗ = 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝟏⃗ + 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝒏⃗ = 𝟎⃗
(𝑰𝑰)
VIII.2- EQUATIONS DE LA STATIQUE
VIII.2.1- Dans l’espace
𝑹𝒙
⃗
𝑹
Dans l’espace, la résultante des forces extérieures est 𝑹
𝒚
𝑹𝒛
et la résultante des
𝑳
moments de forces extérieures est 𝑴𝑨⃗ 𝑴 , alors appliquer le principe fondamental de la
𝑵
statique se résume à résoudre le système d’équation :
𝑹𝒙 = 𝑭𝟏𝒙 + 𝑭𝟐𝒙 + ⋯ + 𝑭𝒏𝒙 = 𝟎
⎧𝑹 = 𝑭 + 𝑭 + ⋯ + 𝑭 = 𝟎
𝟏𝒚
𝟐𝒚
𝒏𝒚
⎪ 𝒚
⎪ 𝑹𝒛 = 𝑭𝟏𝒛 + 𝑭𝟐𝒛 + ⋯ + 𝑭𝒏𝒛 = 𝟎
𝑳 = 𝑴𝑨𝒙 𝑭𝟏⃗ + 𝑴𝑨𝒙 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑴𝑨𝒙 𝑭𝒏⃗ = 𝟎
⎨
⎪ 𝑴 = 𝑴𝑨𝒚 𝑭𝟏⃗ + 𝑴𝑨𝒚 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑴𝑨𝒚 𝑭𝒏⃗ = 𝟎
⎪
⎩ 𝑵 = 𝑴𝑨𝒛 𝑭𝟏⃗ + 𝑴𝑨𝒛 𝑭𝟐⃗ + ⋯ + 𝑴𝑨𝒛 𝑭𝒏⃗ = 𝟎
Classe de Seconde Industrielle
(𝟏)
(𝟐)
(𝟑)
(𝟒)
(𝟓)
(𝟔)
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
En général, pour résoudre ce système, il est conseillé de résoudre d’abord les équations
(𝟒), (𝟓) et (𝟔) des moments avant de terminer par les équations (𝟏), (𝟐) et (𝟑) des forces.
VIII.2.2- Dans le plan
𝑹𝒙
Dans le plan, la résultante des forces extérieures est 𝑹⃗ 𝑹 et la résultante des moments
𝒚
de forces extérieures est 𝑴𝑨⃗ n’a qu’une seule composante, alors appliquer le principe de la
statique se résume à résoudre le système d’équation :
𝑹𝒙 = 𝑭𝟏𝒙 + 𝑭𝟐𝒙 + ⋯ + 𝑭𝒏𝒙 = 𝟎
⎧
.
⎪
𝑹𝒙 = 𝑭𝟏𝒙 + 𝑭𝟐𝒙 + ⋯ + 𝑭𝒏𝒙 = 𝟎
⎨
.
⎪ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⎩ 𝑴𝑨 = 𝑴𝑨 𝑭𝟏 + 𝑴𝑨 𝑭𝟐 + ⋯ + 𝑴𝑨⃗ 𝑭𝒏⃗ = 𝟎⃗
(𝟏)
(𝟐)
(𝟑)
En général, pour résoudre ce système, il est conseillé de résoudre d’abord l’équation (𝟑)
du moment avant de terminer par les équations (𝟏) et (𝟐) des forces. Toutefois, s’il est
possible de résoudre l’une des équations (𝟏) ou (𝟐) voir les deux alors l’on peut s’en passer
de l’équation (𝟑).
VIII.3- SYSTEME HYPERSTATIQUE – SYSTEME ISOSTATIQUE
VIII.3.1- Système hyperstatique
On dit qu’un système est hyperstatique lorsque le nombre d’inconnues est supérieure
au nombre d’équations fournies par le principe fondamental de la statique.
Lorsqu’un problème de statique est hyperstatique, il est impossible de le résoudre
uniquement avec le principe fondamental de la statique.
Le degré (ou ordre) d’hyper-statisme est la différence entre le nombre d’inconnus et le
nombre d’équations. Il caractérise le nombre d’inconnues que l’on ne peut déterminer. Pour
un problème hyperstatique, le degré d’hyper-statisme est supérieur à 0.
Exemple : Une caisse 1 de poids 𝑷⃗ connu est
suspendue en A, B et C par l’intermédiaire de
trois
câbles
2,
3
et
4
de
directions
concourantes en E. La résolution statique
nous donne deux équations avec trois
inconnues : 𝑻𝟐/𝟏⃗, 𝑻𝟑/𝟏⃗ et 𝑻𝟒/𝟏⃗, les tensions des
câbles. Le système est dit hyperstatique d’ordre 1 car l’on a 3 - 2 = 1.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VIII.3.2- Système isostatique
On dit qu’un système est iso statique lorsque le nombre d’inconnues est égale au
nombre d’équations fournies par le principe fondamental de la statique.
Lorsqu’un problème de statique est isostatique, le principe fondamental de la statique suffit
à sa résolution.
Dans le cadre de notre programme, seul les problèmes isostatiques feront l’objet
de nos études.
VIII.4- METHODE DE RESOLUTION D’UN PROBLEME DE STATIQUE
La résolution d’un problème de statique nécessite une certaine démarche :
 Lire et comprendre les données : il s’agit d’identifier les connues et les inconnues ;
 Identifier les actions mécaniques à déterminer ;
 Isoler les corps : toujours débuter par les solides soumis à l’action de deux forces,
ensuite trois forces, puis quatre forces et plus ;
 Repérer les points de contact avec d’autres solides et faire le bilan des actions
mécaniques extérieures (par un tableau bilan de forces). Les actions mécaniques
extérieures à distance telle le poids et autres ne doivent pas être oubliées ;
 Appliquer le principe fondamental de la statique et résoudre le système obtenu.
VIII.5- RESOLUTION ANALYTIQUE D’UN PROBLEME DE STATIQUE
VIII.5.1-
THEME : ECHELLE DE POMPIER
Une échelle de pompier 3, partiellement représentée, est articulée en A (pivot d’axe Az)
sur une tourelle 2. La tourelle peut pivoter (rotation d’axe Dy) par rapport au châssis du
camion 1. Le levage est réalisé par un vérin
hydraulique (4 + 5) articulé en B sur l’échelle et en
C sur la tourelle.
L’étude est réalisée dans le plan de symétrie du
dispositif, l’ensemble est en équilibre, la tourelle est
à l’arrêt et le vérin est bloqué en position de levage.
𝑷𝟑⃗ (5 000 daN) schématise le poids de l’échelle, le
poids du vérin est négligé.
BUT : Déterminer analytiquement les actions mécaniques exercées en A, B et C.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A- Compréhension du mécanisme et préliminaires
A-1- Citer toutes les pièces du mécanisme : 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5
A-2- Citer tous les points de contact entre les pièces du mécanisme : A, B, C et D.
A-3- Le poids 𝑷𝟑⃗ est-il une action de contact ou une action à distance au système ? Action
à distance.
A-4- Citer toutes les pièces soumises à l’action de deux forces extérieures. Le vérin (4+5)
A-5- Le vérin (4+5) est en situation de sortie ou d’entré ? Situation de sortie.
A-6- Citer toutes les forces extérieures s’appliquant au vérin (4+5) ainsi que leur point
d’application. -
L’action de l’échelle 3 sur le vérin (4+5) en B : 𝑩𝟑/𝟒⃗
l’action de la tourelle 2 sur le vérin (4+5) en C : 𝑪𝟐/𝟓⃗ .
A-7- Existe-t-il des forces à distance appliquées au vérin (4+5) ? Si oui, citer les. Non.
B- Système soumis à l’action de deux forces extérieures
B-1- Isoler le vérin (4+5) puis appliquer le principe fondamental de la statique au vérin (4+5).
∑ 𝑭𝒆𝒙𝒕⃗ = 𝟎⃗
⟹
𝑩𝟑/𝟒⃗ + 𝑪𝟐/𝟓⃗ = 𝟎⃗ ⟹
⟹
𝑩𝟑/𝟒⃗ = −𝑪𝟐/𝟓⃗
𝑩𝟑/𝟒⃗
𝑪𝟐/𝟓⃗
=
B-1- En déduire le support des actions mécaniques extérieures
appliquées en B et C. La droite (BC)
𝑪𝟐/𝟓⃗
B-7- Compléter le tableau bilan de forces donné.
Forces
P.A Directions
Sens
𝑩𝟑/𝟒⃗
Modules
𝑩𝟑/𝟒⃗
𝑩
(BC)
?
𝑪𝟐/𝟓⃗
𝑪
(BC)
?
C- Systèmes soumis à l’action de trois forces extérieures
C-1- Citer toutes les pièces soumises à l’action de trois forces extérieures.
L’échelle 3 et la tourelle 2.
C-2- Citer toutes les forces extérieures à l’échelle 3 ainsi que leur point d’application :
-
L’action du vérin sur l’échelle 3 : 𝑩𝟒/𝟑⃗ ;
L’action de la tourelle sur l’échelle 3 : 𝑨𝟐/𝟑⃗ ;
Le poids de l’échelle 3 : 𝑷𝟑⃗.
C-3- Existe-t-il des forces à distance appliquées à l’échelle 3 ? Si oui, citer les. Oui.
-
Le poids de l’échelle 3 (𝑷𝟑⃗)
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
C-4- Isoler l’échelle 3 puis compléter le tableau bilan de forces.
Forces P.A
𝑷𝟑⃗
𝑮𝟑
𝑩𝟒/𝟑⃗
𝑨𝟐/𝟑⃗
𝑩
Directions
Sens
Modules
𝟓𝟎𝟎𝟎𝒅𝒂𝑵
(BC) ou
?
?
𝑨
?
?
C-5- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’échelle 3 et déterminer
analytiquement les actions mécaniques en A et B.
On a :
− 𝐵4/3⃗ 𝑐𝑜𝑠(70°)
𝐴𝑥
𝐴 / ⃗ 𝐴𝑦 , 𝐵 / ⃗
0
et
𝐵4/3⃗ 𝑠𝑖𝑛(70°)
0
0
𝑃⃗ −5000
0
D’après le PFS
𝐹 ⃗ = 0⃗
𝑀 ⃗ 𝐹 ⃗ = 0⃗
𝐴2/3⃗ + 𝐵4/3⃗ + 𝑃3⃗ = 0⃗
⟹
(𝐼)
𝑀𝐴⃗ 𝐴2/3⃗ + 𝑀𝐴⃗ 𝐵4/3⃗ + 𝑀𝐴⃗ 𝑃3⃗ = 0⃗
2,85
De (𝑰𝑰) on a : 𝐴𝐵⃗ 1,65 ∧ 𝐵 / ⃗
− 𝐵4/3⃗ 𝑐𝑜𝑠(70°)
𝐵4/3⃗ 𝑠𝑖𝑛(70°)
0
0
+
0
0
(𝐼𝐼)
0
= 0⃗ 0
− 𝑑. 𝑃⃗3
0
2,85 × 𝐵 / ⃗ 𝑠𝑖𝑛(70°) + 1,65 × 𝐵 / ⃗ 𝑐𝑜𝑠(70°) − 5000 × 6 = 0
⟹
𝑩𝟒/𝟑⃗
De (𝑰) on a : 𝐴 / ⃗
𝐴 −
𝐴
=
,
𝐴𝑥
𝐴𝑦 +
0
+ 𝐵 / ⃗ 𝑠𝑖𝑛(70°) − 5000 = 0
=
°)
,
×
(
°)
= 𝟗𝟐𝟓𝟐, 𝟐𝟒𝒅𝒂𝑵
− 𝐵 / ⃗ 𝑐𝑜𝑠(70°)
0
0
⃗
⃗
𝐵/
𝐵 / ⃗ 𝑠𝑖𝑛(70°) + 𝑃 −5000 = 0
𝐵4/3⃗ 𝑐𝑜𝑠(70°) = 0
𝑨𝟐/𝟑⃗
(
×
𝐴𝑥 2 + 𝐴
0
0
⟹
2
0
= 𝐵 / ⃗ 𝑐𝑜𝑠(70°)
𝐴 = 5000 − 𝐵 / ⃗ 𝑠𝑖𝑛(70°)
=
𝐴
⟹
𝑨𝒙 = 𝟑𝟏𝟔𝟒, 𝟒𝟓𝒅𝒂𝑵
𝑨𝒚 = − 𝟑𝟔𝟗𝟒, 𝟐𝟔𝒅𝒂𝑵
(3164,45)2 + (− 3694,26)2 = 𝟒𝟖𝟔𝟒, 𝟐𝟗𝒅𝒂𝑵
C-6- Déduire le module de l’action de la tourelle 2 sur le vérin (4+5) en C.
D’après le principe des actions mutuelles en B, 𝐵 / ⃗ = 𝐵 / ⃗
De plus d’après la question B-6, 𝐵 / ⃗
Alors de (1) et (2)
𝐶 /⃗ =
𝐵 /⃗
=
d’où
Classe de Seconde Industrielle
𝐶 /⃗
(1)
(2)
𝑪𝟐/𝟓⃗ = 𝟗𝟐𝟓𝟐, 𝟐𝟒𝒅𝒂𝑵
Page 76
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VIII.5.2-
THEME : BRAS ARTICULE
Considérons un bras 3 articulé en A sur une
chape 1 et en appui simple en B sur un corps
0 supportant en C une charge de P  260daN.
En supposant que le poids propre de la poutre
est négligé. Les distances sont en centimètre.
1-
Isoler le bras 3, faire l’inventaire des forces extérieures qui lui sont appliquées et
schématiser les.
 La charge en C : 𝑷⃗
 La force de la chape 1 sur le bras 3 en A : 𝑨𝟏/𝟑⃗
 La force de la chape 1 sur le bras 3 en B : 𝑩𝟎/𝟑⃗
2-
Appliquer le principe fondamental de la statique et déterminer le module de chacun des
actions mécaniques 𝑨𝟏/𝟑⃗ et 𝑩𝟎/𝟑⃗.
D’après PFS :
𝐹 ⃗ = 𝐴 / ⃗ + 𝐵 / ⃗ + 𝑃⃗ = 0⃗
(𝐼)
𝑀 ⃗ 𝐹 ⃗ = 𝑀 ⃗ 𝐴 / ⃗ + 𝑀 ⃗ 𝐵 / ⃗ + 𝑀 ⃗ 𝑃⃗ = 0⃗
(𝐼𝐼)
10
De (𝑰𝑰) on a : 𝐴𝐵⃗ 𝑦 ∧ 𝐵0/3⃗
0
10 × 𝐵0/3⃗ − 2600 × 3,5 = 0
0
𝐵0/3⃗
0
3,5
0
0
+ 𝐴𝐶⃗ 0 ∧ 𝑃⃗ −2600 = 0⃗ 0
0
0
⟹
𝑩𝟎/𝟑⃗
=
𝐴𝑥
0
0
0
⃗
⃗
⃗
De (𝑰) on a : 𝐴 / 𝐴𝑦 + 𝐵 / 910 + 𝑃 −2600 = 0
0
0
0
0
Classe de Seconde Industrielle
0
= 𝟗𝟏𝟎𝑵
⟹
𝐴 =0
𝐴 = 1690𝑁
⟹
𝑨𝟏/𝟑⃗
= 𝟏𝟔𝟗𝟎𝑵
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
VIII.6- EXERCICES D’APPLICATION
THEME I : PINCE
I- MISE EN SITUATION
Soit la schématisation simplifiée d’une
pince donnée ci-contre servant à tenir des
objets de différentes natures soumises à une
température élevée. Les deux bras s’articulent
l’une sur l’autre en C.
1- Isoler le corps repéré 3, représenter les forces extérieures qui s’y appliquent et appliquer
le principe fondamental à son équilibre.
D
___________________________________________________________
___________________________________________________________
2- Isoler le corps repéré 2, puis appliquer le PFS à son équilibre.
B
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
3- Déterminer algébriquement les actions mécaniques en B et C.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
THEME II : LEVE MOTO HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
Cet appareil est utilisé pour soulever les motos dans les
garages.
II- FONCTIONNEMENT
Il
permet
simplement
le
de
véhicule,
lever
en
prenant appuis sous le cadre ou
le moteur du véhicule. Pour
éviter tout déplacement du cric
lors de la levée d’un véhicule,
celui-ci repose sur des vis d’appuis plutôt que sur ses roues directionnelles.
BUT : On cherche à déterminer l’effort que supporte la vis d’appuis en A et les roues fixes
en B.
Hypothèses et données :
 L’étude sera faite pour la position représentée, dans le plan de symétrie du mécanisme ;
 Le poids du cric 1 est noté 𝑷𝟏⃗ et son centre de gravité 𝑮𝟏 ;
 Le poids de la moto 2 est noté 𝑷𝟐⃗ et son centre de gravité 𝑮𝟐 ;
 Les pièces sont considérées rigides et les liaisons parfaites. (Le frottement est négligé)
 Le contact des roues fixes sur le sol 0 est ponctuel en B ;
 Le contact de vis d’appuis sur le sol 0 est ponctuel en A ;
 a = 186 mm, b = 465 mm, c = 742 mm ;
 La masse 𝒎𝟏 du cric 1 : 36,5 Kg ;
 La masse 𝒎𝟐 de la moto 2 : 193 Kg ;
 On prendra g = 9,81 m/s.
Classe de Seconde Industrielle
Page 79
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
III- TRAVAIL A FAIRE
1- Déterminer le module 𝑷𝟏⃗ et 𝑷𝟐⃗ respectivement des poids 𝑷𝟏⃗ et 𝑷𝟐⃗
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2- Isoler le système matériel {1, 2} et tracer les directions des forces extérieures qui lui sont
appliquées en A et B.
A
B
3- Faire l’inventaire de toutes les forces extérieures appliquées au système matériel {1, 2}.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre du système matériel {1, 2}.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 80
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
2- Dresser le tableau bilan des forces extérieures au système matériel {1, 2}.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
3- Déterminer les moments en B, des forces extérieures appliquées à {1, 2}.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4- Déterminer le module de l’action en A qui annule le moment résultant des forces
extérieures appliquées au système matériel {1, 2}.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________
𝑨𝟎/𝟏⃗ = _____________
5- Déterminer le module de l’action en B qui annule la résultante des forces extérieures
appliquées au système matériel {1, 2}.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
𝑩𝟎/𝟏⃗ = _____________
Page 81
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
THEME III : MECANISME DE MARCHEPIED
Le marchepied utilisé dans les camping-cars est
soumis à la réglementation de la sécurité et la santé
des personnes. Un marchepied et son système de
fixation, le cas échéant, doivent pouvoir supporter
une force de 2000 N quelle que soit la zone
d'application de cette charge sur la (les) marche(s).
L’étude portera sur une partie du mécanisme
donnée ci-dessous
BUT : Déterminer les caractéristiques de la force s’exerçant sur la bielle 5 en E.
Hypothèses :

Le problème sera assimilé à un problème plan pour des raisons de symétrie ;

Toutes les liaisons sont supposées parfaites ;

Le poids des pièces est négligé ;

La charge exercé par l’utilisateur sur le bras 7 au point F est telle que 𝑭⃗

Tout tracé s’effectuera sur les pièces données ci-contre
= 𝟐𝟎𝟎𝟎𝑵
A- Equilibre de la bielle 5
A.1- Isoler et énoncer et appliquer le principe fondamental de la statique à la bielle 5
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
A.2- En déduire et tracer la droite d’action des forces mises en jeu.
_______________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.3- Compléter le tableau bilan des forces extérieures appliquées sur 5.
Forces
Points Applications
Directions
Sens
Modules
B- Equilibre du bras 7
B.1a- Isoler et faites l’inventaire des forces extérieures qui s’appliquent au bras 7
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
B.1b- Sachant que 𝐸 / ⃗ = 𝐸 / ⃗ sin(30°) 𝚤⃗ + 𝐸 / ⃗ cos(30°) 𝚥⃗ , tracer sur le bras 7 isolé la
direction de la force 𝐸 / ⃗.
B.2- Compléter le tableau bilan des forces extérieures qui s’exercent au bras 7
Forces
Points Applications
Directions
Sens
Modules
B.3- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre de 7
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 83
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B.4a- Déterminer analytiquement les actions mécaniques 𝐸 / ⃗ et 𝐷 / ⃗
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
B.4b- En déduire le module de l’action mécanique 𝐸 / ⃗
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
THEME IV : CHARGEUR A CHENILLE
I- MISE EN SITUATION
Il s’agit d’un engin généralement utilisé dans les BTP pour débrailler des mottes de terre.
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Le godet de chargement 4 est articulé en A sur la flèche de levage 1, elle-même articulé
en I sur le chargeur à chenille 9. L’effort de levage est fourni par le vérin (7+8) articulé en F
sur la flèche 1 et en H sur le chargeur 9.
Classe de Seconde Industrielle
Page 84
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Le godet est animé par le vérin (5+6) articulé en G sur le chargeur 9 et en J sur le bras
de renvoi 2. Son mouvement est transmis au godet 4 par la biellette 3 articulée en B sur le
godet et en C sur le bras de renvoi 2.
BUT : Déterminer les actions mécaniques qui sollicitent 4.
Hypothèses :

Le mécanisme admet un plan de symétrie sur lequel s’exercent toutes les forces ;

Toutes les articulations sont parfaites ;

Le poids du godet + charge est appliqué en G et vaut 𝑃⃗ = 𝟓𝟕𝟎𝟎𝟎𝑵

La bielle 3 est verticale.
A- Equilibre de la bielle 3 et du vérin (5+6)
A.1- Isoler la bielle 3 et appliquer le principe fondamental de la statique
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
A.2- En déduire et tracer le support des actions mécaniques 𝐵 / ⃗ et 𝐶 / ⃗
_______________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.3- Isoler le vérin (5+6) et appliquer le principe fondamental de la statique
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
A.4- En déduire et tracer le support des actions mécaniques 𝐽 / ⃗ et 𝐺 / ⃗
______________________________________________________
B- Equilibre du godet 4
B.1a- Isoler le godet 4. Remplir le tableau bilan des forces extérieures qui lui sont appliquées
Forces
Points Applications
Directions
Sens
Modules
B.1b- Représenter la direction et le sens de la force 𝐵 / ⃗ sur le godet 4.
B.2- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre du godet 4.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 86
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B.3- Déterminer analytiquement les actions mécaniques 𝐴 / ⃗ et 𝐵 / ⃗
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
C- Equilibre du bras de renvoi 2
C.1- Isoler le godet 2. Remplir le tableau bilan des forces extérieures qui lui sont appliquées
Forces
Points Applications
Directions
Sens
Modules
C.2- Représenter en J et C, la direction et le sens de chacune des forces extérieures
appliquées en ces points sur 2.
Classe de Seconde Industrielle
Page 87
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
THEME V : PINCE DE PREHENSION DU ROBOT
I- MISE EN SITUATION
Le dispositif représenté en
perspective (figure 1) est la pince
de
préhension
d’un
robot
manipulateur, utilisé dans un
centre de montage automatique.
La
pince,
à
commande
pneumatique. Elle permet de
manipuler aussi bien des pièces
cylindriques
que
prismatiques
grâce à des mâchoires 3 et 3’.
II- FONCTIONNEMENT
Le piston 7 d’un vérin double effet
provoque la translation de la crémaillère
6.
Cette
crémaillère
actionne
les
secteurs dentés de 5 et 5’ qui, en
pivotant autour des axes B et B’ de
∅6𝑚𝑚, provoquent grâce aux biellettes
4 et 4’ le déplacement des mâchoires 3
et 3’. La fermeture des mâchoires
provoquée par l’action de l’air comprimé
sur le piston, assure le serrage de la
pièce 2.
BUT : Déterminer le diamètre
théorique D1 du piston 7.
Classe de Seconde Industrielle
Page 88
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèses et données :

La pince est dans la phase de préhension ;

On néglige les frottements dans les articulations B, C,D, E ;

Le poids des pièces est négligé devant les efforts en jeu ;

L’effort de serrage est fixé à : 𝐹 / ⃗ = 𝟏𝟓𝟎𝑵 ;

L’ensemble est ramené à un problème plan ;

Du fait de la symétrie qui subsiste, on n’étudiera que la moitié de cette pince ;

Le frottement entre la crémaillère 6 et le secteur denté 5 est f=0,2.
A- Equilibre de la pièce 2.
A.1- Isoler et appliquer le principe fondamental de la statique à 2
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
A.2- En déduire le support des actions mécaniques en jeu.
_________________________________________________________________________
B- Equilibre de la biellette 4.
B.1- Isoler et appliquer le principe fondamental de la statique à 4
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
B.2- En déduire le support des actions mécaniques en C et D.
_______________________________________________________________________________________
C- Equilibre de la mâchoire 3.
C.1- Isoler et remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées à la mâchoire 3
Forces
P.A Directions
Sens
Classe de Seconde Industrielle
Modules
Page 89
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
C.2- Appliquer le principe fondamental de la statique à 2
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
D- Equilibre du secteur denté 5.
D.1- Isoler et remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées à la mâchoire 5
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
D.2- Appliquer le principe fondamental de la statique à 2
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
D.3- Déterminer analytiquement les actions mécaniques 𝐴 / ⃗ et 𝐵 / ⃗
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
E- Equilibre du secteur denté 5.
On donne la force pressante sur la surface du piston est 𝐹⃗ = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝑵 et la pression
disponible dans le piston est de 6 bars.
Déterminer le diamètre théorique 𝑫𝟏 du piston
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
THEME VI : EQUERRE HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
L’étude porte sur un appareillage
utilisé sur une aire de réparation en
carrosserie.
Il
est
employé
généralement comme adaptation au
marbre dans le but de créer une force
de traction nécessaire à la remise en
forme d’un élément.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
L’équerre hydraulique en position de travail est constituée d’une part d’un bras fixe 7 en
appui sur l’embout du marbre en A par l’intermédiaire de la butée réglable 8 et d’autre part,
d’un bras mobile 1 en liaison pivot sur 7 en H, commande par un vérin hydraulique (3+4) lié
en G sur le bras mobile 1 et en K sur le bras fixe 7. Celui-ci permet de créer la force de
traction sur la chaine 2 liée au véhicule par la pince 5.
BUT : Déterminer analytiquement les actions aux liaisons en H, G, K, D.
Hypothèses et données :

L’équerre est étudiée dans la situation du dessin, en position de travail ;

Le poids des pièces est négligé. Les frottements sont négligés ;

Les liaisons en H, G, K, D, L sont des liaisons pivots parfaites dont les centres portent
le même nom ;

Le vérin (4+3) est alimenté par une pompe en air comprimé de pression p=20 bar, le
diamètre du piston du vérin =80mm.
III- TRAVAIL A FAIRE
A- Equilibre du vérin (3+4)
A.1- Isoler et déterminer la force exercée sur le vérin hydraulique le vérin (3+4) par l’air.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.2- Appliquer le principe fondamental de la statique sur le vérin (3+4)
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
A.3- En déduire et tracer le support ainsi que le sens des actions mécaniques en jeu.
_________________________________________________________________________
B- Equilibre du bras mobile 1.
B1- Isoler et faire l’inventaire des forces extérieures appliquées sur
bras mobile 1.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
B.2- Représenter la direction et le sens connus des forces
extérieures appliquées sur bras mobile 1.
B.3- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées au bras mobile 1.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B.4- Appliquer le principe fondamental de la statique à 1
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B.5- Déterminer analytiquement les actions mécaniques 𝐷 / ⃗ et 𝐻 / ⃗.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
THEME VII : PELLE HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
Le dessin donné ci-contre
(figure 1) représente une pelle
hydraulique utilisée pour le
terrassement.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Cette pelle hydraulique est constituée d’une flèche 9 articulée sur le châssis du tracteur
en R et commandée par le vérin {10+11}. La manœuvre de la contre flèche 12 est assurée
par le vérin {7+8}. La commande du godet 1 est assurée par le vérin {3+4}.
Les liaisons en R, L, M, S, K, J, L, N, F, C et G sont des liaisons pivots dont les centres
portent le même nom. En dehors de la flèche 9 et de la contre flèche 12, le poids de toutes
pièces est négligé.
Données et hypothèses :

Toutes les forces sont contenues dans le même plan ;

L’action du godet 1 sur la terre est horizontale de module 80000N ;

Le poids de la contre flèche 12 appliqué en G vaut 25000N ;

Toutes les liaisons sont supposées parfaites ;

Le diamètre du cylindre du vérin {3+4} est 100m.
A- Etude de l’équilibre des pièces {3+4}, 6 et {4+8}
A.1- Isoler successivement la biellette 6, les vérins {3+4} et {7+8} puis appliquer le PFS à
chacun d’eux.
Isolement de 6 : _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Isolement de {3+4} : ___________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Isolement de {7+8} : ___________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.2- En déduire et tracer le support, puis le sens de l’action en N,U, J, F, K et S.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
B- Etude de l’équilibre du godet 1.
B.1- Isoler le godet 1, puis faire l’inventaire des forces extérieures appliquées au godet 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
B.2- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées au godet 1.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
C.3- Appliquer le PFS puis déterminer analytiquement le module des actions mécaniques
en U et C.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
C.1- Isoler la bielle 5 et remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
THEME VIII : SUPPORT D'ABRI DE GARE RER
L'abri de gare de R.E.R. représenté ci-dessous se
compose d'une toiture 1 articulée en B sur le mur 0 de la
station et d'un tirant 2 assurant l'équilibre de l'ensemble.
Le tirant est articulé en A sur le toit et en C sur le mur.
BUT : Afin de déterminer les dimensions des solides 1, 2
et des liaisons A, B et C, on demande de déterminer les
actions en A, B et C.
Hypothèse et données :
 Les liaisons en A, B et C sont des liaisons pivots sans frottement ;
 La force 𝑷⃗ (1000daN) schématise le poids de la toiture sur une longueur de 2m ;
 Le poids du tirant est négligé ;
 𝑎 = 0,37𝑚 , 𝑏 = 0,4𝑚 , 𝑐 = 1,09𝑚 , 𝑑 = 2,67𝑚 et 𝛼 = 29°.
NB : Les résultats seront donnés avec une précision de 10
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
1- Isoler le tirant 2 et appliquer le principe fondamental de la statique à son équilibre.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
2- Isoler la toiture 1 et appliquer le PFS à son équilibre.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
A
___________________________________________________________
3- Compléter le tableau bilan des forces extérieures s’appliquant sur la toiture 1
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
4- Déterminer analytiquement les actions en A et B, puis en déduire celle en C.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______________________________________ 𝑨𝟐/𝟏⃗
= ____________
et 𝑩𝟎/𝟏⃗ = ____________
Déduction : ______________________________________________________ 𝑪𝟎/𝟏⃗ = ____________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE IX : STATIQUE GRAPHIQUE
ELEMENTS DE COMPETENCES
 Appliquer le principe fondamental de la statique à la résolution graphique d’un
problème de statique
 Utiliser les principales méthodes de résolution graphique d’un problème de statique
La résolution des problèmes de statique par les méthodes graphiques nécessite un
minimum de soins dans les tracés et une rigueur dans les différentes étapes de construction.
Les résultats sont obtenus avec une marge d’erreur d’environ ±𝟓%.
Nous allons distinguer plusieurs méthodes de résolutions graphiques utilisées selon les
cas suivant :
 Solide ou système matériel soumis à l’action de deux forces
 Solide ou système matériel soumis à l’action de trois forces concourante
 Solide ou système matériel soumis à l’action de plusieurs forces parallèles
 Solide soumis à l’action de quatre forces deux à deux concourantes
IX.1- SYSTEME MATERIEL SOUMIS A L’ACTION DE DEUX FORCES
Un problème de statique d’un solide soumis à l’action de deux forces est résolution en
appliquant le théorème suivant
Théorème
Un solide soumis à l’action de deux forces reste en équilibre si les deux forces ont
même module ou intensité, même support mais de sens opposé.
𝑁⃗
B
𝐴⃗
𝐼⃗
𝐵⃗
A
𝐽⃗
Figure 9.1 Solide en équilibre (a) et (b)
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𝑀⃗
Figure 9.2 Solide en déséquilibre
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.2- SOLIDE SOUMIS A L’ACTION DE TROIS FORCES PARALLELES
Pour un problème de statique d’un solide soumis à trois (ou plusieurs) forces parallèles,
la méthode graphique approprié est celle du dynamique funiculaire.
METHODE DU DYNAMIQUE ET FUNICULAIRE
Soit la voiture de collection stationnée
sur le sol d’un hôtel. On se place dans le plan
de symétrie du véhicule. Le sol de l’hôtel est
horizontal et le poids 𝑷⃗ du véhicule admet
pour module 𝑷⃗ = 𝟏𝟏𝟓𝟎𝒅𝒂𝑵. Soit 𝑨⃗ et 𝑩⃗ les
actions du sol sur les roues en A et B.
Déterminer le module des actions 𝑨⃗ et 𝑩⃗
D’après le principe fondamental de la statique, on a :
𝑨⃗ + 𝑷⃗ + 𝑩⃗ = 𝟎⃗
𝟎𝟏⃗ + 𝟏𝟐⃗ + 𝟐𝟎⃗ = 𝟎⃗
Force de
direction
et module
inconnus
Force
totalement
connu
Force de module
inconnu
𝑨⃗ + 𝑭⃗ + 𝑩⃗ = 𝟎⃗
𝟎𝟏⃗ + 𝟏𝟐⃗ + 𝟐𝟎⃗ = 𝟎⃗
Ordre de tracés :
1- Le pole P et le point 1 du dynamique étant donné, tracer à l’échelle le vecteur 𝟏𝟐⃗
parallèlement au poids 𝑷⃗ connu et représentant 𝑷⃗ ( 𝑷⃗ = 𝟏𝟐⃗) ;
2- Sur le dynamique, tracer les rayons polaires [P1] noté 1’ et [P2] noté 2’ ;
3- Sur le dynamique, tracer à partir du point 2 une droite parallèle à la direction de 𝑩⃗
(connue) ;
4- Sur le funiculaire, à partir du point d’application A de la force 𝑨⃗, tracer la droite 1’’
parallèlement à 1’. Elle coupe la direction ou support de 𝑷⃗ en 𝑰𝟏 ;
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5- Sur le funiculaire, à partir du point 𝑰𝟏 , tracer la droite 2’’ parallèlement à 2’. Elle coupe
la direction ou support de 𝑩⃗ en 𝑰𝟐 ;
6- Sur le funiculaire, tracer la ligne de fermeture du funiculaire 0’’ (LDF) d’extrémité 𝑰𝟐 et
A (point d’application de la force entièrement inconnue) ;
7- Sur le dynamique, tracer [P0] noté 0’, la parallèle à la ligne de fermeture passant P et
coupant le support de 𝑩⃗ en un point 0. C’est le point recherché pour déterminer les
efforts inconnus ;
8- Tracer le vecteur 𝟎𝟏⃗ puis mesurer les segments [20] et [01], et en déduire les modules
(en appliquant l’échelle), directions et sens des forces 𝑨⃗ et 𝑩⃗.
On obtient les résultats :
𝑨⃗ = 𝟑𝟕𝟎𝒅𝒂𝑵
et
𝑩⃗ = 𝟕𝟖𝟎𝒅𝒂𝑵
Application
Pour transporter un fût 2, ILVANA utilise un
chariot 1 monté sur deux roues. Pour tenir
l’ensemble, ILVANA exerce en B sur les manches
du chariot une force 𝑩𝑰𝑳/𝟏⃗.
Le poids du chariot est négligé.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
BUT : Déterminer l’effort que doit fournir ILVANA pour maintenir le chariot 1 dans la position
représentée.
Hypothèses et données :
 Le système est étudié dans son plan de symétrie matérielle ;
 Les liaisons sont supposées parfaites ;
 Le contact des roues du chariot 1 sur le sol est ponctuel en A ;
 La masse du fût est m = 175 Kg ;
 Prendre g = 10 N/Kg.
 Echelle graphique : 1cm pour 250 N
1- Déterminer le module poids du fût transporté.
𝑷⃗ = 𝒎𝒈
⟹
𝑷⃗ = 𝟏𝟕𝟓 × 𝟏𝟎 = 𝟏𝟕𝟓𝟎 𝑵
2- Quelle est la méthode graphique la plus approprié pour atteindre notre but ? Justifier votre
réponse.
Il s’agit de la méthode du dynamique et funiculaire car nous sommes en présence
d’un problème de statique à 3 forces parallèles
3- Déterminer graphiquement l’intensité de l’effort 𝑩𝑰𝑳/𝟏⃗ que doit fournir ILVANA
1
P
Conclusion :
_______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________ 𝑩𝑰𝑳/𝟏⃗
= _______________
_______________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________ 𝑨𝟎/𝟏⃗
Classe de Seconde Industrielle
= _______________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.3- SOLIDE SOUMIS A L’ACTION DE TROIS FORCES CONCOURANTES
Un solide soumis à l’action de trois forces reste en équilibre si les trois forces sont
concourantes au même point et si la somme vectorielle des trois forces est nulle.
IX.3.1- Cas du point de concours situé sur la feuille de travail
Pour la résolution graphique d’un tel problème de statique, l’utilisation de la méthode du
dynamique est la plus indiquée bien que la méthode du dynamique et funiculaire soit possible
METHODE DU DYNAMIQUE
Cette méthode est utilisée lorsqu’un solide est soumis à l’action de trois forces extérieures
concourantes en un même point I se trouvant sur la feuille de travail avec une force
entièrement connue et une autre de direction connue.
IX.3.1.1- Exécution de la méthode
Soit un solide soumis à l’action de trois forces 𝑭𝟏⃗, 𝑭𝟐⃗ et 𝑭𝟑⃗ concourantes en un seul point
dont seul 𝑭𝟏⃗ est entièrement connue, 𝑭𝟐⃗ de direction connue et 𝑭𝟑⃗ entièrement inconnue.
Déterminons les modules de 𝐹⃗ et 𝐹⃗ par la méthode du dynamique.
Ordre de tracés :
1- Prolonger les directions connues et obtenez le point de concoure I ; (figure b)
2- Tracer la direction de la force 𝑭𝟑⃗ entièrement inconnue : elle passe par I et le point
d’application de 𝑭𝟑⃗ ; (figure c)
3- Tracer à côté et à l’échelle le vecteur force 𝑭𝟏⃗ connu, parallèlement à celui donné ;
(figure d)
4- De l’origine de la force connue 𝑭𝟏⃗ tracer la direction de la force 𝑭𝟑⃗, parallèlement à la
droite (IC) ; (figure d)
5- De l’extrémité de la force connue 𝑭𝟏⃗ tracer la direction de la force 𝑭𝟐⃗, parallèlement à
la droite (IB) ; (figure d)
6- L’on obtient ainsi un triangle de forces tel que l’extrémité de l’une des forces
est l’origine d’une autre ; (figure d)
7- Mesurer les côtés du triangle obtenu et déduire les intensités des forces inconnues en
appliquant l’échelle des tracés. (figure d)
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.3.1.2- Application
BRIDE DE SERRAGE
La bride de serrage proposée fait partie d’un
montage d’usinage. La pièce 4 à usiner est bridée
en B par un renvoi 3 articulé en C sur le bâti 1 du
montage. Le serrage de la pièce est réalisé par une
vis de pression 2 agissant en A.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
L’action du ressort de rappel sur le renvoi 3 est négligée et l’action de la vis de pression
sur le renvoi 3 est 𝑨𝟐/𝟑⃗ = 𝟑𝟎𝟎 ⃗ (en Newton)
BUT : Déterminer graphiquement la force de bridage au point B.
1- Le renvoi 3 est soumis à combien de force ? L’action de trois forces.
2- Quelle est méthode graphique la plus adapté pour atteindre le but fixé ? Pourquoi ?
Il s’agit de la méthode du dynamique car l’on est en présence d’un problème de
statique à 3 forces concourantes.
3- En utilisant la méthode du dynamique, déterminer les actions en C et B
Echelle : 1,5cm pour 100N
Conclusion :
_______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________ 𝑩𝟒/𝟑⃗
= _______________
_______________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________ 𝑨𝟐/𝟑⃗
= _______________
IX.3.2- Cas du point de concoure siuté hors de la feuille de travail
Un tel problème de statique nécessite l’utilisation de la méthode du dynamique et
funiculaire pour la résoudre graphiquement.
METHODE DU DYNAMIQUE ET FUNICULAIRE
Les constructions graphiques sont effectuées en alternance sur le funiculaire (figure
définissant la position géométrique des forces) et sur le dynamique ou polygone des forces
(figure définissant les intensités des forces).
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.3.2.1- Exécution de la méthode
Une poutre, articulée en A et en
appui simple en B, supporte une
charge inclinée de 2600daN en C.
Déterminer les actions 𝑨⃗ et 𝑩⃗ exercées
par les appuis en A et B par la
méthode du dynamique et funiculaire.
D’après le principe fondamental de la statique, on a :
𝑨⃗ + 𝑭⃗ + 𝑩⃗ = 𝟎⃗
𝟎𝟏⃗ + 𝟏𝟐⃗ + 𝟐𝟎⃗ = 𝟎⃗
Ordre de tracés :
1- Le pole P et le point 𝟏 du dynamique étant donné, tracer à l’échelle le vecteur 𝟏𝟐⃗
parallèlement à la force connue 𝑭⃗ et représentant 𝑭⃗ (𝑭⃗ = 𝟏𝟐⃗) ;
2- Sur le dynamique, Tracer à partir du point 2 une droite parallèle à la direction de 𝑩⃗
(connue) ;
3- Sur le dynamique, tracer les rayons polaires [P1] noté 1’ et [P2] noté 2’ ;
4- Sur le funiculaire, à partir du point d’application A de la force entièrement inconnue 𝑨⃗,
tracer la droite 1’’ parallèlement à 1’. Elle coupe la direction ou support de 𝑭⃗ en 𝑰𝟏 ;
5- Sur le funiculaire, à partir du point 𝑰𝟏 , tracer la droite 2’’ parallèlement à 2’. Elle coupe
la direction ou support de 𝑩⃗ en 𝑰𝟐 ;
6- Sur le funiculaire, tracer la ligne de fermeture du funiculaire 0’’ (LDF) d’extrémité 𝑰𝟐 et
A (point d’application de la force entièrement inconnue) ;
7- Sur le dynamique, tracer [P0] noté 0’, la parallèle à la ligne de fermeture passant P et
coupant le support de 𝑩⃗ en un point 0. C’est le point recherché pour déterminer les
efforts inconnus ;
8- Tracer le vecteur 𝟎𝟏⃗ puis mesurer les segments [20] et [01] et en déduire les modules
(en appliquant l’échelle), les directions et sens des forces 𝑨⃗ et 𝑩⃗.
On obtient les résultats :
𝑨⃗ = 𝟏𝟖𝟓𝟎𝒅𝒂𝑵
et
𝑩⃗ = 𝟒𝟎𝟎𝒅𝒂𝑵
NB : Si le pôle P n’est pas donné alors prendre un pôle ni très près ni très loin du
point 1 de départ.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.3.2.2- Application
THEME I : ECHELLE DE POMPIER
Une échelle de pompier 3, partiellement représentée, est articulée en A sur une tourelle
2. La tourelle peut pivoter par rapport au châssis du
camion 1. Le levage est réalisé par un vérin
hydraulique (4 + 5) articulé en B sur l’échelle et en C
sur la tourelle.
L’étude est réalisée dans le plan de symétrie du
dispositif, l’ensemble est en équilibre, la tourelle est à
l’arrêt et le vérin est bloqué en position de levage. 𝑷𝟑⃗
(5 000 daN) schématise le poids de l’échelle, le poids
du vérin est négligé.
1- Où se situe le point de concoure des forces extérieures s’exerçant sur l’échelle 3 ?
Le point de concoure des forces extérieures s’exerçant sur l’échelle se situe à hors
de la feuille de travaille.
1
2- Déterminer graphiquement l’effort exercé par le vérin en B.
Echelle : 5mm pour 1000N
P
𝑨⃗ = _______________
Classe de Seconde Industrielle
et
𝑩⃗ = _______________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.4- SOLIDE SOUMIS A L’ACTION DE QUATRE FORCES NON PARALLELES
Si les forces ne sont pas parallèles, le nombre maximal d’inconnues déterminables, pour
chaque équilibre étudié, est de trois. Deux cas principaux se présentent, chacun amenant
des résolutions graphiques différents : une direction et deux modules inconnus ou trois
modules inconnus.
IX.4.1- Cas d’une direction et deux modules inconnus
Cette méthode est utilisée lorsque deux forces présentent des éléments inconnus (une
direction et deux modules) et les autres (deux ou plus) étant complètement connues.
IX.4.1.1- Exécution de la méthode
Soit un solide soumis à l’action de quatre forces 𝑭𝟏⃗, 𝑭𝟐⃗, 𝑭𝟑⃗ et 𝑭𝟒⃗ concourantes deux à
deux dont 𝑭𝟏⃗ et 𝑭𝟐⃗ sont entièrement connues, 𝑭𝟒⃗ connue en direction et 𝑭𝟑⃗ entièrement
inconnue (figure a). Déterminons les modules de 𝐹⃗ et 𝐹⃗.
Ordre de tracés :
1- Déterminer le point de concoure K entre 𝑭𝟏⃗ et 𝑭𝟐⃗ ; (figure b)
2- Tracer à l’échelle les forces 𝑭𝟏⃗ et 𝑭𝟐⃗ à partir de K ; (figure b)
3- Tracer la résultante 𝑹⃗ de 𝑭𝟏⃗ et 𝑭𝟐⃗ passant par K ; (figure b)
4- Prolonger la direction de la force 𝑭𝟒⃗ de manière à ce qu’il coupe la direction de la
résultante 𝑹⃗ en I ; (figure c)
5- Tracer à côté et à l’échelle la résultante 𝑹⃗ connue, parallèlement à celle
précédemment déterminé ;
6- De l’origine de la résultante 𝑹⃗, tracer la direction de la force 𝑭𝟒⃗, parallèlement à la
droite (IC) ;
7- De l’extrémité de la résultante 𝑹⃗, tracer la direction de la force 𝑭𝟑⃗, parallèlement à la
droite (ID) ;
8- L’on obtient ainsi un triangle de forces tel que l’extrémité de l’une des forces
est l’origine d’une autre ;
9- Mesurer les côtés du triangle obtenu et déduire les intensités des forces inconnues en
appliquant l’échelle des tracés.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
IX.4.2- Cas de trois modules inconnus : METHODE DE CULMAN
Cette méthode est utilisée lorsque tous les directions des forces sont connues et une
seule force sur les quatre est complètement connue. Les quatre forces doivent être
concourantes deux à deux.
IX.4.2.1- Exécution de la méthode
Soit un solide soumis à l’action de quatre forces 𝑭𝟏⃗, 𝑭𝟐⃗, 𝑭𝟑⃗ et 𝑭𝟒⃗ concourantes deux à
deux dont seul 𝑭𝟏⃗ est entièrement connue et les trois autres connues uniquement en direction
(figure a). Déterminons les modules de 𝐹⃗, 𝐹⃗ et 𝐹⃗ par la méthode de culman.
Ordre de tracés :
1- Déterminer les points de concoures I et J des groupements 𝑭𝟏⃗ avec 𝑭𝟐⃗ et 𝑭𝟑⃗ avec 𝑭𝟒⃗
respectivement ; (figure b)
2- Tracer la droite (IJ) : c’est la droite de CULMAN ; (figure b)
3- Tracer à l’échelle le vecteur force 𝑭𝟏⃗ entièrement connue ; (figure d)
4- De l’origine de la force 𝑭𝟏⃗ tracer la parallèle à IJ ; (figure d)
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5- De l’extrémité de la force 𝑭𝟏⃗ tracer la direction du vecteur force 𝑭𝟐⃗ (parallèle à IB) ;
6- De l’origine du vecteur force 𝑭𝟏⃗ tracer la direction du vecteur force 𝑭𝟑⃗ (parallèle à JC) ;
7- De l’extrémité de la force 𝑭𝟐⃗ tracer la direction du vecteur force 𝑭𝟒⃗ (parallèle à JD) ;
8- Mesurer les segments obtenus et appliquer l’échelle des tracés pour obtenir les
différents modules cherchés.
IX.4.2.2- Application
Un avion militaire est en phase
ascensionnelle
à
vitesse
constante suivant un angle de 15°
sous la poussée 𝑭⃗(12000 daN) des
réacteurs. 𝑹⃗ schématise l’action
de la résistance de l’air sur
l’ensemble de la structure, 𝑺⃗ est la résultante des actions de sustentation sur les ailes et 𝑨⃗
schématise la résultante des actions stabilisatrices de l’air sur l’aileron arrière. 𝑷⃗ (30 000 daN)
est le poids de l’appareil.
BUT : Déterminer graphiquement les actions mécaniques 𝑨⃗, 𝑹⃗ et 𝑺⃗.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèse et données :
 On suppose l’étude faite dans le plan de symétrie de l’avion ;
 Les directions des actions 𝑨⃗, 𝑹⃗ et 𝑺⃗ passent respectivement par les A, R et S ;
 La force de poussée 𝑭⃗ est tel que : 𝐹⃗ = 12000 daN
 Le poids de l’appareil est tel que : 𝑃⃗ = 30000 daN
Considérons la schématisation simplifiée et partielle de cet avion militaire, figure
1- Déterminer la résultante 𝑸⃗ des forces 𝑭⃗ et 𝑷⃗ sur la figure donnée ci-contre.
2- Déterminer par la méthode de Culman, les actions 𝑨⃗, 𝑹⃗ et 𝑺⃗.
IX.5- EXERCICES D’APPLICATION
THEME I : BRIDE HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
Soit
la
bride
hydraulique
représentée à la figure permettant de
brider des pièces de différentes formes
en vue de leur usinage.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèse et données :
 On supposera toutes les liaisons parfaites ;
 On négligera le poids de toutes les pièces ;
 L’effort 𝑪𝟐/𝟑⃗ exercé par le piston 2 sur la Bride 3 est tel que 𝑪𝟐/𝟑⃗ = 𝟐𝟎𝟎𝑵.
BUT : Déterminer l’effort 𝑨𝟓/𝑷⃗ de bridage en A de la vis 5 sur la pièce P.
II- TRAVAIL A FAIRE
1- Isoler la Bride 3 et représenter les actions
mécaniques extérieures qui s’y exercent.
2- Appliquer le principe fondamental à son équilibre.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3- Dresser le tableau bilan de forces extérieures appliquées à la Bride 3.
Forces
P.A.
Directions
Sens
Modules
4- Quelle est la méthode graphique la plus adéquate pour atteindre le but fixé ?
5- En utilisant la méthode de la question 4, déterminer le module de l’effort de bridage 𝑨𝟓/𝑷⃗
ainsi que celle au point B.
Echelle : 1mm pour 80N
𝑨𝟓/𝑷⃗ = _______________ 𝑩𝟔/𝟑⃗ = _________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
THEME II : BRIDE A VIS DE PRESSION
I- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Un dispositif de blocage est constitué par une
bride coudée 1, articulée sur un axe 3 fixé sur un bâti
fixe 5 et dans lequel se visse une vis de pression 2.
Quand le blocage de la pièce 4 est réalisé, l'action
𝑨𝟐/𝟒⃗, exercée par la vis sur la pièce est de module
800 N en A.
BUT : Déterminer graphiquement l’effort de bridage en B.
Hypothèses et données :
 Les poids propres de toutes les pièces sont négligés ;
 Les frottements sont négligés ;
 Toutes les liaisons sont supposées parfaites
II- TRAVAIL A FAIRE
1- Isoler la bride 1 et tracer chaque force.
2- Faire l’inventaire des actions mécaniques extérieures qui s’appliquent sur la bride 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3- Tracer et compléter le tableau bilan des forces extérieures s’appliquant à la bride 1.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
4- Appliquer le principe fondamental à l’équilibre de la bride 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
5- Déterminer graphiquement par la méthode du dynamique, l’effort en B
Echelle : 1mm pour 20N
𝑩𝟐/𝟒⃗ = _____________
5- Déterminer graphiquement par la méthode du dynamique, l’effort en B
Echelle : 1mm pour 20N
P
1
𝑩𝟐/𝟒⃗ = _______________
𝑪𝟓/𝟑⃗ = _______________
THEME III : SUPPORT D'ABRI DE GARE RER
L'abri de gare de R.E.R. représenté ci-dessous se
compose d'une toiture 1 articulée en B sur le mur 0 de la
station et d'un tirant 2 assurant l'équilibre de l'ensemble.
Le tirant est articulé en A sur le toit et en C sur le mur.
BUT : Afin de déterminer les dimensions des solides 1, 2
et des liaisons A, B et C, on demande de déterminer les
actions en A, B et C.
Classe de Seconde Industrielle
Page 114
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèse et données :
 Les liaisons en A, B et C sont des liaisons pivots sans frottement ;
 La force 𝑷⃗ (1000 daN) schématise le poids de la toiture sur une longueur de 2m ;
 Le poids du tirant est négligé ;
 𝛼 = 29°.
NB : Les résultats seront donnés avec une précision de 10
1- Isoler le tirant 2 et appliquer le principe fondamental de la statique à son équilibre.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
2- Isoler la toiture 1 et appliquer le PFS à son équilibre.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
A
___________________________________________________________
___________________________________________________________
3- Compléter le tableau bilan des forces extérieures s’appliquant sur la toiture 1
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
4- Déterminer graphiquement les actions en A et B, puis en déduire celle en C.
Echelle : 1mm pour 25daN
A
𝑨𝟐/𝟏⃗ = ____________
et 𝑩𝟎/𝟏⃗ = ____________
Déduction : ______________________________________________________ 𝑪𝟎/𝟏⃗ = ____________
Classe de Seconde Industrielle
Page 115
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
THEME IV : CRIC HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
Le cric hydraulique est un appareil
utilisé dans les garages automobiles
pour soulever de lourde charge comme
le véhicule à fin de faciliter certaines
interventions de maintenance.
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Le système étudié est un cric hydraulique utilisé pour soulever des véhicules. Il a
l’avantage de pouvoir être placé rapidement sous le véhicule à lever et de demander peu
d’effort à son utilisateur. Il est constitué d’un vérin (4) articulé en C sur le châssis roulant (1)
et dont le piston est lié en D avec l’équerre (2). L’équerre, articulée en E sur le châssis, est
lié en G avec la selle (3). Une bielle (5) lié en H au châssis et en F à la selle, empêche la
rotation de cette dernière.
En agissant sur le tube de manœuvre, en ayant un mouvement de pompage, la selle (3)
monte en soulevant la charge. Ce produit a été conçu afin de soulever une charge maximum
de 2000 kg.
BUT : Déterminer la pression d’alimentation du vérin nécessaire pour soulever une
charge maximal.
Hypothèse et données :
 Le cric admet un plan de symétrie dans lequel s’effectue l’étude ;
 L’étude se fait dans la position du cric représenté à le figure ;
 La masse de la charge à soulever est de 2000Kg ;
 Le poids propre des différents éléments est négligeable ;
 La gravité sera prise à une valeur de g = 10 N/kg ;
 Le diamètre du piston est d = 35mm ;
 L’intensité due à la charge à soulever s’effectue au point J.
Classe de Seconde Industrielle
Page 116
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
1- Déterminer l’intensité de la force due à la charge à soulever.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2- Isoler la bielle 5, appliquer le PFS, tracer la direction des forces extérieures agissant sur 5
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
3- Isoler la selle 3, remplir le T.B.F. et déterminer graphiquement les modules inconnus.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
Echelle : 1mm pour 500N
𝑮𝟐/𝟑⃗ = _____________
𝑭𝟓/𝟑⃗ = _____________
4- Isoler le vérin 4, appliquer le PFS, tracer la direction des forces extérieures agissant sur 4.
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5- Isoler l’équerre 2, remplir le tableau bilan des forces extérieures qui lui sont appliquées.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
6- Déterminer graphiquement la force développée par le vérin au point D pour cette position.
Echelle : 1mm pour 400N
𝑮𝟐/𝟑⃗ = _____________
𝑭𝟓/𝟑⃗ = _____________
7- Déterminer la pression maximum d'alimentation du vérin.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
THEME V : LEVE MOTO HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
Cet appareil est utilisé pour soulever les motos dans les
garages.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II- FONCTIONNEMENT
Il
permet
simplement
le
de
lever
véhicule,
en
prenant appuis sous le cadre ou
le moteur du véhicule. Pour
éviter tout déplacement du cric
lors de la levée d’un véhicule,
celui-ci repose sur des vis d’appuis plutôt que sur ses roues directionnelles.
BUT : On cherche à déterminer l’effort que supporte la vis d’appuis en A et les roues fixes
en B.
Hypothèses et données :
 L’étude sera faite pour la position représentée, dans le plan de symétrie du mécanisme ;
 Le poids du cric 1 est noté 𝑷𝟏⃗ et son centre de gravité 𝑮𝟏 ;
 Le poids de la moto 2 est noté 𝑷𝟐⃗ et son centre de gravité 𝑮𝟐 ;
 Les pièces sont considérées rigides et les liaisons parfaites. (Le frottement est négligé)
 Le contact des roues fixes sur le sol 0 est ponctuel en B ;
 Le contact de vis d’appuis sur le sol 0 est ponctuel en A ;
 La masse 𝒎𝟏 du cric 1 : 40 Kg ;
 La masse 𝒎𝟐 de la moto 2 : 180 Kg ;
 On prendra g = 10 m/s.
1- Déterminer le module 𝑷𝟏⃗ et 𝑷𝟐⃗ respectivement des poids 𝑷𝟏⃗ et 𝑷𝟐⃗
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2- Isoler le système matériel {1, 2} et compléter le tableau bilan des forces extérieures
Forces
P.A.
Directions
Classe de Seconde Industrielle
Sens
Modules
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre du système matériel {1, 2}
dans le cadre d’une résolution graphique.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3- Déterminer graphiquement les actions en A et B, appliquées au système matériel {1, 2}.
Echelle : 1cm pour 200N
𝑨𝟎/𝟏⃗ = _____________
et
𝑩𝟎/𝟏⃗ = _____________
THEME VI : RIPPER
I- MISE EN SITUATION
Le ripper proposé à l’échelle réduite sur la figure ci-dessous est monté à l’arrière des
bouteurs. Il est utilisé pour défoncer les sols trop durs.
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Le ripper se compose de six Lames 6 solidaires du Bâti 5. Cet ensemble est maintenu
en A par deux Biellettes 4 et en D
par
deux
Biellettes
3.
Les
Biellettes sont liées en B et C à
l’arrière du bouteur {1+2}.
Le réglage de la position des
lames est réalisé par le Vérin
hydraulique {7+8}. Celui-ci est
articulé en M sur le Châssis et en
N sur le Bâti porte lames. Les
liaisons en A, B, C, D, M et N sont
des liaisons pivots dont les centres
portent le même nom.
BUT : Déterminer graphiquement les efforts sur les articulations A, N et D lié au Bâti 5.
Hypothèses et données :
 L’ensemble st en équilibre dans la position de la figure ci-dessous ;
 L’étude est faite dans le plan de symétrie de l’appareil ;
 Les poids propres des pièces du mécanisme sont négligés ;
 Les frottements sont négligés ;
 La force 𝑭⃗ de 10000 daN schématise l’action du sol sur les lames ;
 L’échelle graphique sera 1cm pour 2000 daN.
L’on souhaite isoler progressivement la Biellette 4, {5 , 6}, la biellette 3 et le Vérin {7+8}.
1- En vous servant uniquement des chiffres de chaque système matériel, donner l’ordre
d’isoler à suivre ____________________________________________________________
2- On isole la Biellette 4.
2.1- Appliquer le PFS à son équilibre.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
2.2- Déduire et tracer le support des actions mécaniques en A et B.
__________________________________________________________
3- On isole la Biellette 3.
3.1- Appliquer le PFS à son équilibre.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3.2- Déduire et tracer le support des actions mécaniques en C et D.
__________________________________________________________
4- On isole le Vérin {7+8}.
4.1- Appliquer le PFS à son équilibre.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4.2- Déduire et tracer le support des actions mécaniques en C et D.
______________________________________________________________________________________
5- Isoler le système {5 , 6}.
5.1- Faire l’inventaire des forces extérieures s’appliquant au système matériel {5 , 6}.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
5.2- Dresser le tableau bilan des forces extérieures s’appliquant au système matériel {5 , 6}.
Forces
P.A.
Directions
Sens
Modules
7- Résolution graphique
7.1- Donner le nom de la méthode graphique à utiliser pour résoudre ce problème de statique
et justifier votre réponse.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
7.2- Appliquer le PFS et déterminer graphiquement les actions mécaniques en A, N et D.
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Page 123
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
SEQUENCE X : NOTION D’ADHERENCE ET FROTTEMENT
ELEMENTS DE COMPETENCES
 Appréhender les notions d’adhérence et de frottement
 Enoncer les lois d’adhérence
 Appréhender la notion d’arc-boutement
La prise en compte du frottement dans les études est parfois nécessaire, soit pour en
diminuer les effets (pertes d’énergie, amélioration du rendement, etc.), soit pour l’utiliser
avec bénéfice
(freins, embrayages, courroies, arc-boutement, équilibre ou stabilité de
certains mécanismes, etc.).
X.1- DEFINITION ET CARACTERISTIQUES D’UN FROTTEMENT
X.1.1- Définitions
On parle d’adhérence lorsque deux solides en contact tendent à glisser l’un par rapport
à l’autre mais ne se déplacent.
On parle de frottement lorsque deux solides en contact se déplacent ou glissent l’un
par rapport à l’autre.
X.1.2- Cône de frottement – cône d’adhérence
Ils sont utilisés dans la
résolution
problèmes
graphique
de
statique
des
pour
faciliter les études et donner
image des effets du frottement. Il
est caractérisé par :
 A, le point de contact entre
les solides 1 et 2
Figure 9.1 Cône de frottement – Cône d’adhérence
 t, le plan tangent au point
A au contact entre les solides 1 et 2
 𝒏⃗, la normale en A au plan tangent t
 𝝋, angle de frottement (cône de frottement)
 𝝋𝒔 , angle d’adhérence (cône d’adhérence)
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Page 124
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
X.1.3- Coefficient de frottement
C’est une grandeur sans unité permettant de caractériser le degré de frottement entre
deux solides 1 et 2. Il est noté 𝒇 ou 𝝁 et dépend essentiellement de :
 La nature des matériaux des surfaces en contact
 L’état des surfaces (la rugosité) des surfaces en contact
 La vitesse relative de déplacement des surfaces en contact
Il est déterminé par la relation : 𝒇 = 𝒕𝒂𝒏 𝝋
ou
𝝁 = 𝒕𝒂𝒏 𝝋
Tableau 9.1 Quelques coefficients de frottement
X.2- LES LOIS D’ADHERENCE OU LOIS DE FROTTEMENT OU LOIS DE COULOMB
Soit deux solides 0 et 1 en contact en un point A. 𝑨𝟎/𝟏⃗ l’action exercée par 0 sur 1. Un
cône de frottement est utilisé pour aider à la compréhension et simplifier les interprétations
des lois de frottement ou lois de Coulomb.
X.2.1- Cas d’adhérence
 Il n’y a pas mouvement
 La force d’adhérence 𝑻𝒂⃗ s’oppose
au mouvement éventuel de 1 par
Figure 10.2 Cas d’adhérence
rapport à 0.
 𝑨𝟎/𝟏⃗ est contenu dans le cône de frottement
Conséquence :
Remarque :
𝜶 ≤ 𝝋𝑺 ,
𝑻𝒂⃗ ≤ 𝝁𝑺 𝑵
et
𝑽𝑨𝟏/𝟎⃗ = 𝟎⃗
Si 𝑭⃗ augmente alors l’angle d’inclinaison 𝜶 de 𝑨𝟎/𝟏⃗ par rapport à la normale
du plan tangent de contact augmente aussi.
Classe de Seconde Industrielle
Page 125
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
X.2.2- Cas de l’équilibre strict ou équilibre limite
 Il n’y a pas mouvement
 La force d’adhérence 𝑻𝒂⃗ s’oppose au mouvement éventuel de 1 par rapport à 0.
 𝑨𝟎/𝟏⃗ est situé sur le cône de frottement
Conséquence :
𝜶 = 𝝋𝑺
,
𝑻𝒂⃗ = 𝝁𝑺 𝑵 = 𝒇𝑺 . 𝑵
𝑽𝑨𝟏/𝟎⃗ = 𝟎⃗
et
Figure 10.3 Cas d’équilibre strict
X.2.3- Cas de frottement
 Il y a pas mouvement de 1 par rapport à 0
 La force de frottement 𝑻⃗ s’oppose au mouvement de 1 par rapport à 0.
 𝑨𝟎/𝟏⃗ est situé sur le cône de frottement
Conséquence :
𝜶=𝝋
,
𝑻⃗ = 𝝁. 𝑵 = 𝒇. 𝑵
et
𝑽𝑨𝟏/𝟎⃗ ≠ 𝟎⃗
Figure 10.4 Cas de frottement
X.3- PHENOMENE D’ARC-BOUTEMENT
L’arc-boutement est l’impossibilité de mouvement (ou l’équilibre) du fait des
frottements, quelle que soit l’intensité des forces mises en jeu.
Régulièrement utilisé, l’arc-boutement est une conséquence du frottement et de
l’adhérence. De nombreux dispositifs fonctionnent sur ce principe : serre-joint, échelle, roue
libre, serrage par excentrique etc. L’arc-boutement engendre des blocages intempestifs et
est à proscrire dans de nombreux dispositifs.
Classe de Seconde Industrielle
Page 126
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
X.4- Application
La voiture proposée (Figure 10.5)
est
en
équilibre
dans
la
position
indiquée, les roues avant sont décollées
du sol (pas de contact en A) et sont en
contact en B avec un trottoir de hauteur
h. Le poids du véhicule est schématisé
par 𝑷⃗(1800daN). L’étude se fera dans le
Figure 10.5 Voiture de collection
plan de symétrie de la voiture.
But : déterminer la condition nécessaire pour que la voiture monte sur le trottoir sans élan.
A- Les roues arrière sont motrices et les roues avant porteuses.
Les frottements en D sont caractérisés par 𝒇𝑫 = 0,8.
A.1- Isoler la roue avant 3 et appliquer le principe fondamental de la statique à son équilibre
∑ 𝑭𝒆𝒙𝒕⃗ = 𝟎⃗
⟹
𝑨𝟏/𝟑⃗ + 𝑩𝟎/𝟑⃗ = 𝟎⃗
𝑨𝟏/𝟑⃗ = − 𝑩𝟎/𝟑⃗
𝑨𝟏/𝟑⃗
=
𝑩𝟎/𝟑⃗
A.2- Isoler l’ensemble du véhicule (1+2+3)
A.2.1- Compléter le tableau bilan ci-contre
Forces P.A. directions
𝑷⃗
G
𝑩𝟎/𝟑⃗
B
(BA)
𝑫𝟎/𝟐⃗
D
?
sens
modules
1800 daN
?
?
?
A.2.2- Représenter les directions et sens de chacune des forces
A.2.3- Tracer le cône de frottement, puis en appliquant les lois du frottement au point D, que
peut-on conclure quant à l’équilibre du véhicule ?
D’après le PFS, le point de concoure des forces se situe hors du cône de frottement
et donc la force motrice est hors du cône de frottement ce qui est contraire aux lois de
frottement donc il n’y a pas équilibre du véhicule.
Classe de Seconde Industrielle
Page 127
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B- Les roues avant sont motrices et les roues arrière porteuses.
Les frottements en B sont caractérisés par 𝒇𝑩 = 0,8.
B.1- Isoler l’ensemble du véhicule (1+2+3)
B.1.1- Compléter le tableau bilan ci-contre
Forces P.A. directions
𝑷⃗
G
𝑩𝟎/𝟑⃗
B
𝑫𝟎/𝟐⃗
D
sens
modules
1800 daN
?
?
?
?
B.1.2- Représenter les directions et sens de chacune des forces
B.1.3- Tracer le cône de frottement, puis en appliquant les lois du frottement au point B, que
peut-on conclure quant à l’équilibre du véhicule ?
D’après le PFS, la force motrice étant se situe hors du cône de frottement ce qui est
contraire aux lois de frottement donc il n’y a pas équilibre du véhicule.
C- Les roues avant et arrière sont motrices.
Les frottements en B sont caractérisés par 𝒇𝑩 = 𝒇𝑫 = 0,8.
C.1- Isoler l’ensemble du véhicule (1+2+3).
C.1.1- Tracer les cônes de frottements en B et D.
C.1.2- Compléter le tableau bilan ci-contre.
Forces P.A. directions
sens
modules
C.2- On suppose que l’action du sol sur les roues arrière 𝑫𝟎/𝟐⃗ est sur le cône de frottement.
C.2.1- Représenter la direction et le sens de l’action du trottoir sur les roues avant.
C.2.2- Que peut-on conclure quant à l’équilibre du véhicule ?
Le véhicule est en équilibre si le point de concoure existe et la force motrice
𝑩𝟎/𝟑⃗ dans le cône de frottement.
Classe de Seconde Industrielle
Page 128
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
C.3- On suppose que l’action du trottoir sur les roues avant 𝑩𝟎/𝟑⃗ est sur le cône de frottement.
C.3.1- Représenter la direction et le sens de l’action du sol sur les roues arrière.
C.3.2- Que peut-on conclure quant à l’équilibre du véhicule ?
Le véhicule est en équilibre si le point de concoure existe et la force motrice
𝑫𝟎/𝟐⃗ dans le cône de frottement.
C.3.2- En déduire la condition générale pour que ce véhicule soit en équilibre et qu’il puisse
monte sur le trottoir sans élan.
Le véhicule est en équilibre que si le point de concoure se trouve sur le segment
de droite [NM].
X.5- EXERCICES D’APPLICATION
EXERCICE 1
La voiture tout terrain ci-contre est à
l’arrêt sur une pente de 20%. Le frein à main
est actionné et seules les roues avant sont
freinées ; les roues arrières restant libres. Le
poids de la voiture est P =935 daN, supposé
être reparti équitablement sur les roues avant
A et sur les roues arrière B. Les frottements
en B sont négligés tandis que ceux e n A ne
sont pas négligés et le coefficient d’adhérence en est 0,5.
Hypothèses et données :
 L’étude se fait dans le plan de symétrie du véhicule
 Le poids 𝑷⃗, du véhicule valant 𝑷⃗ = 𝟗𝟑𝟓𝒅𝒂𝑵 est reparti équitablement en A et B
 La pente est de 20% c’est-à-dire 𝐬𝐢𝐧 𝜶 =
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟐
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟐
 Le coefficient d’adhérence en A vaut 𝒇 = 𝟎, 𝟓
BUT : Déterminer si le véhicule est en équilibre sur cette pente et sur cette position.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
1- Représenter sur la figure donnée, les actions de contact en A et B.
2- L’équilibre de la voiture est-il possible ?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3- A partir de quelle pente y a-t-il glissement en A ?
_______________________________________________________________________________________
4- Déterminer algébriquement les actions de contact en A et B.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 130
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 2 : DISPOSITIF DE SERRAGE
I- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Le Vérin de serrage {2+3} assure, par
l'intermédiaire de la Bride 1, articulée en O sur le
Bâti 0, le maintien en position d'usinage de la
Pièce 4.
Hypothèses :
 L’étude se fait dans le plan de symétrie du
mécanisme ;
 Les poids propres des différentes pièces sont négligés ;
 Les liaisons sont supposées parfaites.
Données :
 Le contact ponctuel en A entre 1 et 4 se fait avec frottement tel que : 𝒇 = 𝟎, 𝟒 ;
 La pression d’alimentation du Vérin vaut 𝑷𝒂 = 𝟑𝑴𝑷𝒂 ;
 Le diamètre de la tige du Vérin est 𝑷𝒂 = 𝟖𝒎𝒎 ;
 Le diamètre du piston est 𝑫 = 𝟐𝟓𝒎𝒎.
II- TRAVAIL A FAIRE
Déterminer l’intensité qu’exerce le Vérin {2+3} en tirant la Bride 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
A- Isoler le vérin de serrage {2+3}.
A.1- PFS à l’équilibre du vérin {2+3}, puis tracer leur support et leurs sens.
____________________________________________________
____________________________________________________
A.2- Déduire la droite d’action des actions en B et C.
_____________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
Page 131
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
3- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées au Vérin {2+3}.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B- Isoler la Bride 1.
On suppose que l’effort du Vérin {2+3} sur la Bride 1 vaut 𝑩𝟑/𝟏⃗ = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝑵.
B.1- Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à 1,
puis représenter chaque sens et direction connus.
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
B.2- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées à la Bride 1.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
B.3- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre de la Bride 1 dans le cadre
d’une étude graphique, puis déterminer graphiquement les actions en A et D.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Echelle : 1mm pour 25N
𝑨𝟑/𝟏⃗ = _______________
Classe de Seconde Industrielle
𝑩𝟑/𝟏⃗ = ______________
Page 132
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 3 : BRIDE HYDRAULIQUE
I- MISE EN SITUATION
La figure donnée sur la feuille représente une bride hydraulique pour le maintien en
position ou serrage de montage d’usinage.
II- DESCRIPTION ET
FONCTIONNEMENT
La pièce à usiner
est positionnée sur la
table
du
montage
d’usinage. La bride
{4+10}
assure
le
serrage et le maintien
de la pièce en N.
L’effort de serrage est
fourni par la pression
de
l’huile
sur
la
surface de base du
piston 3 en P. Le
déplacement
du
piston 3 assuré par
l’admission de l’huile
dans
la
chambre
commande la rotation
de l’ensemble {4+10} .
BUT : Déterminer l’effort de serrage nécessaire sur la pièce à brider connaissant la
pression d’huile sur le vérin.
Classe de Seconde Industrielle
Page 133
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèses et données :

Le poids propre des différentes pièces est négligé ;

Les actions de contact entre 3 et 2 sont localisées aux points G et H. Le coefficient
d’adhérence pour les contacts entre 3 et 2 puis 4 et 3 est : 𝑓 = 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 0,2 ;

Toutes les autres liaisons en dehors de la liaison pivot glissant 3-2 et la liaison 4-3 sont
des liaisons parfaites ;

La bride admet un plan de symétrie dans lequel l’étude sera faite ;

On étudie le système de bridage dans la position représentée sur le dessin d’ensemble

L’action 𝑃 / ⃗ de l’huile comprimée est concentrée en P ;

Le ressort 7 exerce sur le piston 3 une force verticale 𝑅 / ⃗ ;

Le diamètre du piston est D = 70 mm ;

A l’équilibre, le ressort 7 a un raccourcissement de Δl = 20 mm et a une constante de
raideur K= 25 N/m

La pression de l’huile sur le piston 3 est de 16 bars.
Échelle des forces : 10 mm → 729 N
A- ETUDE PRELIMINAIRE
A.1- Déterminer l’action 𝑃 / ⃗ de l’huile, réparti uniformément sur la surface S du piston.
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_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
A.2- Déterminer l’action 𝑅 / ⃗ du ressort 7 sur le piston.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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B- Etudier l’équilibre du ressort 11
B.1- Appliquer le principe fondamental de la statique
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
B.2- En déduire le support des actions en J et L.
_________________________________________________________________________
C- Etudier l’équilibre du piston 3.
C.1- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées au piston 3.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
D.2- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre du piston 3.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
C.2- Déterminer graphiquement les actions 𝑄 / ⃗, 𝐺 / ⃗ et 𝐻 / ⃗.
𝑄 / ⃗ =_______________
𝐺 / ⃗ =_________________
Classe de Seconde Industrielle
𝐻 / ⃗ = _________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
D- Etudier l’équilibre de l’ensemble {4+9+10}.
D.1- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées à l’ensemble {4+9+10}.
Forces
On donne
P.A
Directions
𝑄 / ⃗ = 𝟐𝟗𝟏𝟔𝑵 et
𝐽
/
Sens
Modules
⃗ = 𝟕𝟐𝟎𝑵
D.2- Appliquer le principe fondamental de la statique à l’équilibre de l’ensemble {4+9+10}.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
D.3- Déterminer graphiquement les actions 𝑁
/
⃗ et 𝐾 / ⃗.
EXERCICE 4 : SYSTEME DE BRIDAGE CLASSIQUE
I- PRESENTATION
Le système ci-dessous représente
un système de bridage classique. Une
action de l’opérateur sur la Vis 3,
permet une rotation de la Pièce 2.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèses et données :
 Le système admet le plan (𝑶 ; 𝒙, 𝒚) comme plan de symétrie ;
 Les liaisons sont considérées comme parfaites ;
 La masse des pièces est négligée ;
 L’effort de serrage exercé par la Vis 3 est supposé égal à 100 daN ;
 Les frottements sont négligés sauf au contact de 1 sur 2 où 𝒇 = 𝒕𝒂𝒏𝝋 = 𝟎, 𝟐
BUT : Déterminer l’action de serrage de la Pièce 2.
1- Isoler le système matériel {2, 3}, puis faire l’inventaire des forces qui lui sont appliquées.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2- Dresser le tableau bilan des forces extérieures s’appliquant au système matériel {2 , 3}.
3- Déterminer graphiquement les actions en B et C. Echelle : 1cm pour 25daN
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
EXERCICE 5 : FREIN A SABOT
I- MISE EN SITUATION
Le dispositif de la figure 1 ci - dessous est le schéma d’un frein classique à sabot utilisé
sur certaines machines outil rencontrées dans les ateliers de fabrication.
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Le tambour 4 de rayon 240 mm, est monté sur un arbre récepteur non représenté de la
machine à freiner, qui est mis en mouvement par un moteur tournant à 1500 trs/mn et
délivrant une puissance de 5 kW. Pour immobiliser le tambour 4, l’opérateur applique en F
une force 𝐹⃗ , sur la pédale 3. La pédale 3, agit sur le levier 1 par l’intermédiaire de la tringle
5. Le levier 1, lié complétement avec le sabot 2 garni de ferodo, s’appuie sur le tambour pour
le freiner. Le coefficient de frottement du sabot 2 sur le tambour 4 est f = 0,3 (φ =16,7°).
Le desserrage est obtenu par la suppression de l’effort 𝐹⃗ . Le ressort de rappel 6 assure
le retour en position de la pédale 3, lorsque l’action de l’opérateur cesse.
BUT : Déterminer analytiquement la force 𝑭⃗ exercée par l’opérateur au point F pour
immobiliser le tambour.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Données et hypothèses :

La puissance motrice est de 5 kW ;

L’arbre récepteur tourne à la vitesse de 1500 trs/mn ;

Le problème est plan ;

Le coefficient de frottement du sabot sur le tambour est f = 0,3.
A. Calcul de la force de freinage du sabot 2 sur le tambour 4.
A.1- Isoler et faire l’inventaire des actions qui s’exercent sur le tambour 4
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
A.2- En déduire le support et le sens de l’action en A.
_______________________________________________
_______________________________________________
A.3- Déterminer, en appliquant le moment, l’action en A du
sabot 2 sur le tambour 4.
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_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________
B- Equilibre de la tringle 5.
B.1- Isoler la tringle 5, appliquer le PFS à son équilibre
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B.2- En déduire et tracer le support des actions mécaniques extérieures en C et D.
_________________________________________________________________________
C- Equilibre du ressort 6.
C.1- Appliquer le PFS à son équilibre
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
C.2- En déduire et tracer le support des actions mécaniques extérieures en G et H.
_________________________________________________________________________
D- Isoler l’ensemble {1+2}
On suppose que l’action en A vaut
𝐴 / ⃗ = 470𝑁
D.1- Remplir le tableau bilan des forces extérieures appliquées à l’ensemble {1+2}.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
D.2- Sur la figure 5 donnée ci-contre, représenter l’action
mécanique 𝐴 / ⃗ du tambour 4 sur le Sabot 2.
Echelle : 1cm pour 157N
D.3- Appliquer le principe fondamental de la statique à 1
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
D.4- Déterminer analytiquement les modules des actions mécaniques en B et C.
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_________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________
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EXERCICE 6 : LE PIED DE BICHE OU ARRACHE CLOU
I- PRESENTATION
Le pied de biche encore connu sous le
nom
d’arrache
clou
est
un
matériel
fréquemment utilisé en maçonnerie dans les
chantiers pour extirper les clous fixés dans
divers matériels tels que bois, béton armé.
II- DESCRIPTION ET FONCTIONNEMENT
Le pied de biche 1 ci-contre sert à extirper le clou 2 d’une planche 0. Il est constitué de
deux parties OA et OB coudées en O. Le manœuvre doit exercer en B une force 𝑩𝑴/𝟏⃗
perpendiculairement à OB. Le pied de biche est supposé alors pivoter autour d’un axe fixe
(Δ) passant par O.
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
Hypothèse et Données :
 L’étude se fait dans le plan de symétrie de pied de biche ;
 L’intensité de l’effort qu’exerce le manœuvre sur le pied de biche est de 150N ;
 A l’équilibre,  = 40° avec la planche ;
 La masse du Pied de Biche est négligée ;
 OA= 5 cm et OB= 60 cm.
A- ETUDE DE L’EQUILIBRE DU PIED DE BICHE AVEC FROTTEMENT EN O.
On suppose L’action du Pied de Biche sur le clou est supposée perpendiculaire à OA.
A.1- Isoler le Pied de Biche, puis faire le bilan des forces extérieures qui le sollicitent et les
spécifier sur le Pied de Biche.
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
A.2- Presser le tableau bilan des forces extérieures s’appliquant au Pied de Biche.
Forces
P.A
Directions
Sens
Modules
0
Soit (∆) l’axe de rotation du Pied de Biche ayant pour vecteur unitaire 𝑘⃗ 0 .
1
A.3- Déterminer en fonction de 𝐴 / ⃗ , le vecteur moment 𝑀 ⃗(𝐴 / ⃗) de 𝐴 / ⃗ par rapport à O.
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.4- En déduire en fonction de 𝐴 / ⃗ , le moment 𝑀∆ (𝐴 / ⃗)
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
A.5- Déterminer les coordonnées du vecteur moment 𝑀 ⃗(𝐵
/
⃗).
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_______________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
A.6- En déduire le moment 𝑀∆ (𝐵
/
⃗).
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_______________________________________________________________________________________
A.7- Appliquer le principe fondamental de la statique à la rotation et déterminer le module
l’action du Clou sur le Pied Biche.
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
A.8- Comparer le module l’action du clou 2 sur le Pied de Biche 1 à celui du manœuvre sur
le Pied de Biche 1. Conclure.
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_______________________________________________________________________________________
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
A.9- Sachant que la résultante des forces extérieures s’appliquant sur le Pied de Biche nul à
l’équilibre, déterminer les coordonnées de la réaction de la planche 0 sur le Pied de Biche 1.
En déduire son module.
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A.10- Déterminer le coefficient de frottement entre le Pied de Biche 1 et la Planche 0.
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A.12- Représenter à l’échelle, les actions en A, O et B s’exerçant sur le Pied de Biche.
Echelle : 10mm pour 60N
B- ETUDE DE L’EQUILIBRE DE LA BICHE AVEC FROTTEMENT EN A.
B.1- Isoler le Pied de Biche 1, dresser le tableau bilan de forces et représenter les actions
extérieures en C, B
Classe de Seconde Industrielle
Page 144
MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
B.2- En utilisant la méthode graphique la plus adéquate, déterminer l’action du Clou 2 sur le
Pied de Biche 1 ainsi que la réaction de la planche 0 sur le Pied de Biche 2.
Echelle : 10mm pour 30N
B.3- Comparer 𝐴 / ⃗ à 𝐵
/
⃗, puis conclure.
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B.4 – Quelle Conclusion pouvons vous prendre par rapport au de situation étudier ?
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
BIBLIOGRAPHIE
[1] Jean Louis FANCHON, Guide de mécanique appliquée, Editions Nathan, Paris 1996.
[2] Jean Louis FANCHON, Mécanique générale 1er F, Editions Nathan technique, Paris
1984.
[3] P. AGATI – N. Mattera, Mécanique Appliquée, DUNOD, Paris 1996
[4] Pierre AGATI. R. Nicolet, Mécanique Appliqué 1er F, Editions Bordas, Paris 1984
[5] D. SPENLE – R. GOURHANT, Guide de calcul en mécanique, Hachette technique,
Paris 1998
[6] G. R. Nicolet, Statique graphique et Statique analytique, non publié
[7] NGNINKEU YOPA Duclaire, Mécanique appliquée secondes, Edition 2009
[8] NGNINKEU YOPA Duclaire – DASSI Jean Marie, Mécanique appliquée premières,
Edition 2009
[9] TSOPZON ETSIAZE Eric P. – DOUANLA Bertrand, Guide pratique de mécanique
appliquée Tome 1, Edition Meka
Classe de Seconde Industrielle
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MES PAS EN MECANIQUE APPLIQUEE
N’ayons pas peur de l’inconnu
N’ayons pas peur d’apprendre
N’ayons pas peur de l’échec qui, parfois, peut s’avérer n’être qu’une étape
vers l’objectif visé
Seul le travail et la persévérance mène aux délices de la réussite
Alors osez chers élèves,
Osez
Vous n’avez rien n’à perdre mais tout à gagner.
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