Mathematique-Cours-FC-pdf

Cours de mathématiques
Formation continue
Laurent Thomann

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Table des matières
1 Algèbre de Boole 7
1.1 Définitions........................................ 7
1.1.1 La somme logique (OR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Le produit logique (AND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 L’inversion logique (NOT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 La somme logique exclusive (XOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Propriétésdérivées ................................... 10
1.3 Expressionsbooléennes................................. 12
1.4 Application aux circuits logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Application à l’analyse d’argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Statistiques 15
2.1 Quelques éléments de statistique descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Étude et représentation d’une variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Diagrammeenbâton.............................. 16
2.2.2 Diagramme circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Étude et représentation d’une variable quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Étude d’une variable à valeurs discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Étude d’une variable à valeurs continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Représentations................................. 20
2.4 Régressionlinéaire ................................... 21
2.4.1 Introduction................................... 21
2.4.2 Covariance ................................... 23
2.4.3 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Ajustement non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Ajustement de la forme y=aln x+b.................... 27
2.5.2 Ajustement de la forme y=bax........................ 27
3 Probabilités 29
3.1 Dénombrement ..................................... 29
3.1.1 Arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Combinaisons.................................. 30
3.2 Probabilités....................................... 31
3.2.1 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Événements................................... 32
3.2.3 Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.5 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Loidesgrandsnombres ................................ 39
3

4TABLE DES MATIÈRES
3.4 Application aux intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 L’intervalle de confiance de la moyenne d’une loi normale quand l’écart-
typeestconnu ................................. 40
3.4.2 Intervalle de confiance pour un sondage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Application aux tests d’hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Principes généraux des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 Test de la moyenne d’une loi normale dont l’écart-type est connu . . . . . 44
3.5.3 Test d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Applications de l’arithmétique 47
4.1 Divisioneuclidienne .................................. 47
4.2 Cribled’Eratosthène .................................. 48
4.3 Systèmesdenumération ................................ 48
4.3.1 Écriture en base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Écritureenbinaire............................... 49
4.3.3 Écriture en base b............................... 51
4.3.4 Écriture en base hexadécimale (base 16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Congruences, calcul modulo n............................. 52
4.5 Règlesdedivisibilité .................................. 54
4.5.1 Divisibilitépar2 ................................ 54
4.5.2 Divisibilitépar5 ................................ 54
4.5.3 Divisibilitépar3 ................................ 55
4.5.4 Divisibilitépar9 ................................ 55
4.6 Application 1 : Génération de nombres pseudo-aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 55
4.7 Application 2 : Calcul de la clé d’un RIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.8 Application 3 : Vérification d’un numéro de billet en euros . . . . . . . . . . . . . 58
4.9 Application 4 : Chiffrement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.10 Application 5 : Cryptographie RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Systèmes linéaires 65
5.1 Introduction....................................... 65
5.1.1 Exempleintroductif .............................. 65
5.1.2 Équationsdedroites .............................. 65
5.1.3 Systèmes .................................... 65
5.2 Résolution par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.1 Systèmeséchelonnés .............................. 67
5.3.2 Opérations sur les équations d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Quelques rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1 Définition .................................... 69
5.4.2 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.3 Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.4 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.5 Piègesàéviter ................................. 71
5.4.6 Matriceidentité................................. 72
5.4.7 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.8 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Algorithmedusimplexe ................................ 73
5.5.1 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.2 Présentation de l’algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES MATIÈRES 5
5.5.3 Complexité de l’algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Graphes et arbres 79
6.1 Graphesorientés .................................... 79
6.1.1 Définitions ................................... 79
6.1.2 Matriced’adjacence .............................. 80
6.2 Graphesnonorientés.................................. 81
6.2.1 Vocabulaire................................... 81
6.3 Problèmes de coloration de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Coloration de sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.2 Coloration d’arêtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Arbre recouvrant de poids minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4.1 Introduction................................... 85
6.4.2 Algorithme de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.3 AlgorithmedePrim .............................. 88
6.4.4 Complexité des algorithmes précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.5 Algorithme de plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.1 Introduction et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.2 Algorithme de Bellman-Ford-Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.3 Exemple du voyageur de commerce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5.4 Modélisation des problèmes de plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6 Algorithme de recherche de flot maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6.2 Unexemple................................... 103
6.6.3 Algorithme de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Initiation aux chaînes de Markov et applications 109
7.1 Introduction....................................... 109
7.2 Théorème de Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Comportement asymptotique des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4 Application à l’algorithme PageRank de Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 Tests du khi-deux 117
8.1 Principes des tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Quelques résultats de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Test d’ajustement d’une loi empirique à une loi de probabilité théorique . . . . . 120
8.4 Testd’indépendance .................................. 121
A Fonctions logarithme, exponentielle et puissance 123
A.1 Fonctionlogarithme .................................. 123
A.2 Fonctionexponentielle ................................. 123
A.3 Fonctionpuissance ................................... 124
Références 125