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MATHÉMATIQUE
3e secondaire
Cahier d’apprentissage
SAVOIRS ET ACTIVITÉS
Jean-François Bernier
Julie Cléroux
Yohann Dumas
Patricia Mercier
Eugen Pascu
Marie-France Vallée
Conforme à
la PROGRESSION des
apprentissages
MATHÉMATIQUE
3e secondaire
Cahier d’apprentissage
SAVOIRS ET ACTIVITÉS
Jean-François Bernier
Julie Cléroux
Yohann Dumas
Patricia Mercier
Eugen Pascu
Marie-France Vallée
Sommets
Mathématique, 3e secondaire
Remerciements
Cahier d’apprentissage
Jean-François Bernier, Julie Cléroux, Yohann Dumas, Patricia Mercier,
Eugen Pascu, Marie-France Vallée
© 2017 TC Média Livres Inc.
Édition : Christiane Odeh
Coordination et révision linguistique : Maude Lessard et
Julie Nadeau Lavigne
Correction d’épreuves : Anne-Marie Théorêt
Conception graphique : Micheline Roy
Infographie : Omnigraphe
Conception de la couverture : Karina Dupuis et Micheline Roy
Impression : Imprimeries Transcontinental
Pour le soin qu’ils ont porté à leur travail d’évaluation, l’Éditeur
tient à remercier les personnes suivantes : Sylvia Comsa (C.S.
de Montréal), Jean-Obed Fleurissaint (C.S. de la Pointe-de-l’Île),
Bruno Fontaine (C.S. des Premières-Seigneuries), Franck Perret
(Collège Saint-Jean-Vianney), Ligia Rusu (Académie MichèleProvost), Manon Simard (C.S. des Premières-Seigneuries).
Pour sa précieuse expertise, nous tenons également à remercier
Karine Desautels (C.S. des Patriotes).
Sources iconographiques
Sources de la couverture : iStockphoto, Shutterstock,
Photographer’s Choice RF/Getty Images (image de fond).
iStockphoto : p. 28 (personnes), 35 (cellule végétale), 85 (classe
avec tableau blanc), 88 (gâteau), 99 (plantes en pot), 197 (intérieur
d’une tente), 228 (tente ronde), 250 (feu de forêt), 284 (verres de
couleur), 294 (maïs soufflé), 372 (épis de maïs).
TOUS DROITS RÉSERVÉS.
Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie,
par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média
Livres Inc.
Toute utilisation non expressément autorisée constitue une
contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice
contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction
non autorisée.
ISBN 978-2-7650-5426-9
Dépôt légal : 1er trimestre 2017
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
Bibliothèque et Archives Canada
Imprimé au Canada
2
3 4
5 6
ITIB
22
21
20
19
18
Shutterstock : p. III (coffre à crayons), 1 (cartes à jouer), 2
(chandails), 5 (carte de hockey), 6 (tuiles en verre), 14 (verre rempli
d’étoiles), 15 (corde à linge), 16 (poupées russes), 17 (câble), 26
(chemin de fer), 27 (motif géométrique), 28 (valise), 34 (littoral),
36 (gouvernail), 39 (ruban à mesurer), 45 (verre d’eau et Terre),
46 (planète Mars), 49 (affiches enroulées), 52 (confettis), 54
(retailles de crayon), 56 (chandelle sur gâteau), 57 (médailles),
58 (bouleaux), 60 (origami), 62 (lettres de couleur), 69 (aiguisoirs),
71 (pièce de casse-tête), 74 (pomme), 75 (mosaïque), 76 (pots de
fleurs, joueuses de hockey), 82 (sushis), 83 (chien), 94 (planète
Terre), 95, 297 (foule en forme de diagramme), 96 (photo d’un
voilier, dessin d’un voilier), 98 (piscine, sandales), 104 (tour de
potier), 108 (ballons), 115 (musée), 118 (biscuits), 120 (cerfsvolants), 122 (bleuets), 126 (crayons), 128 (cubes de glace), 129
(foulard), 131 (randonneurs), 136 (pompe à essence), 138 (micro),
149 (engrenage), 150 (plantation), 153 (canots), 162 (voitures),
163 (tuyau de plomberie), 164 (tuyau d’arrosage, icône de vélo),
166 (règles), 167 (motif géométrique), 172 (chandelles), 174
(petits gâteaux), 177 (livres), 183 (ballon de soccer, bécher avec
éprouvette), 184 (microscope), 189 (verre d’eau), 191 (skis), 192
(avion), 194 (kayak de rivière), 196 (patinage de vitesse), 209
(blocs en bois), 239 (marathon), 245 (panneau de randonnée),
248 (chocolats), 249 (ville de Boston), 253 (bouteilles sur étagères),
261 (bonbon à l’érable), 262 (pichet avec orange), 267 (bobines de
fil), 268 (coupe), 273 (cartons ondulés), 277 (pile de boîtes), 281
(boules en verre soufflé, oiseaux), 282 (chandelles), 286 (silos),
286 (chapeau de fête), 300 (étoiles de mer), 301 (ballons), 302
(bibliothèque), 303 (ski alpin), 304 (crayons de couleur), 309
(famille à vélo, joueur de basketball), 310 (chaussure de course,
patins de hockey), 314 (chaussures), 314 (pièces de monnaie),
315 (souris d’ordinateur), 316 (crayons), 322 (fauteuils), 326
(équerres), 320 (joueuse de basketball), 322 (chaussures bleues),
328 (chaises pliantes), 329 (crayons), 330 (parapluie), 332 (lunettes
de natation), 334 (étudiants en classe), 336 (Parlement à Ottawa),
337 (fléchettes), 343 (timbre), 344 (piano), 345 (kiwi), 346 (boules
de bingo), 347 (bonbonnière), 348 (parapluie), 350 (lettres en bois),
351 (tasses), 352 (dés), 353 (raisins), 355 (feu de circulation),
358 (écouteurs), 364 (drapeaux), 368 (ballon de soccer), 370
(stéthoscope), 372 (fléchettes), 389 (billets), 390 (boîtes de
conserve), 392 (glissade d’eau), 400 (machine agricole).
Stephanie Colvey : p. 267 (piles de pièces de monnaie), 283 (bol).
Illustrations
Marc Tellier : p. 66 (plan d’une chambre), 88 (gâteau complet
et part de gâteau), 93 (échelle contre un mur), 197 (tente),
204 (perspective cavalière), 215 (chaudron, pyramide), 229
(réfrigérateur), 236 (croquis d’une sculpture d’Atlas), 248 (moule
à chocolats, silo à grains), 256 (immeuble avec arbre), 269
(récipient d’eau avec boule), 271 (bol en bois), 274 (module
décoratif et croquis d’une fusée), 291 (cube avec pyramides),
338 (pièce de monnaie, dé à 4 faces), 354 (école), 361 (terrain
de soccer), 382 (aquarium), 395 (boîte de gâteaux et deux tentes),
396 (boule de Noël), 397 (plan d’une habitation ronde).
1 Les nombres réels
 7
Rappel                                  8
• Les nombres entiers
• Les fractions et les nombres décimaux
• La racine carrée
1.1 Les ensembles de nombres          13
• Les nombres naturels et les nombres entiers
• Les nombres rationnels et les nombres
décimaux
• Les nombres irrationnels et les nombres réels
• La notation d’intervalle
1.2 La relation de Pythagore            18
• La relation de Pythagore
• La réciproque de la relation de Pythagore
1.3 La notation exponentielle            23
• Les cubes et la racine cubique
• Les exposants fractionnaires
• Les lois des exposants
1.4 La notation scientique
et le système international d’unités   31
• La notation scientique
• Le système international d’unités (SI)
et la notation scientique
Exercices
2 Le calcul algébrique
    49
Rappel                                 50
supplémentaires             37
Retour sur le chapitre 1                 39
Voyage dans l’espace CD1              46
Le trapèze rectangle CD2               48
• Les composantes d’une expression algébrique
• Les polynômes
2.1 L’addition et la soustraction
d’expressions algébriques           53
• L’addition et la soustraction de termes
semblables
• L’addition et la soustraction de polynômes
2.2 La multiplication de polynômes      59
• La multiplication d’un polynôme par
un monôme
• La multiplication de deux polynômes
• Le carré d’un binôme
2.3 La division d’expressions
algébriques                         68
• La division d’un polynôme par un monôme
• La mise en évidence simple
Exercices
supplémentaires             77
Retour sur le chapitre 2                 79
Les tableaux blancs CD1                86
Huit pavés CD2                        88
Consolidation : Chapitres 1 et 2        89
CHAPITRE
CHAPITRE
Mise au point                          1
CHAPITRE
Table des matières
relations et
3 Les
les fonctions
            99
Rappel                                100
• Les situations de variation proportionnelle
et leurs représentations
3.1 Les relations, les fonctions
et leurs réciproques                103
• Les variables dépendantes et indépendantes
d’une relation
• La réciproque d’une relation
• Les fonctions
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Table des matières
III
3.2 Les fonctions associées
aux situations de proportionnalité
(variation directe ou inverse)        110
• Le taux de variation
• Les fonctions linéaires (ou de variation directe)
• Les fonctions de variation inverse
4.3 Les inéquations                    173
• La traduction d’une situation par une inéquation
• La représentation de l’ensemble-solution
d’une inéquation
• La description en compréhension
4.4 La résolution d’une inéquation      179
3.3 Les propriétés des fonctions        116
• Décrire une fonction à l’aide de ses propriétés
3.4 Les fonctions polynomiales
de degré 0 ou 1 (fonctions afnes)   121
• La fonction afne
• Cas particuliers
• La règle d’une fonction afne
• Les règles de transformation des inéquations
• La résolution d’un problème qui se traduit
par une inéquation
Exercices
supplémentaires            185
Retour sur le chapitre 4                187
L’expédition CD1                      194
La course en patins CD2               196
3.5 La modélisation d’une situation     133
Exercices
CHAPITRE
• Le nuage de points et la courbe
la mieux ajustée
supplémentaires            141
      197
Rappel                                198
Retour sur le chapitre 3                143
• L’aire des gures planes et des solides
Sylviculture 101 CD1                   150
5.1 Les solides et leurs
représentations                    201
CHAPITRE
Suivre sa courbe CD2                  152
systèmes d’équations
4 Les
et les inéquations
     153
Rappel                                154
• La classication des solides
et leurs développements
• Les projections orthogonales
• Les projections centrales
• Les projections parallèles
• Les équations
• La résolution d’une équation du premier degré
à une inconnue
5.2 La recherche de mesures à l’aide
de la relation de Pythagore         211
4.1 Les systèmes d’équations du
premier degré à deux variables :
représentation et résolution        157
5.3 L’aire des solides                   219
• Les systèmes d’équations à deux variables
• Les mots clés des énoncés
• La résolution à l’aide d’une table de valeurs
ou d’un graphique
• Le nombre de solutions
4.2 La résolution algébrique
d’un système d’équations           167
• La résolution algébrique d’un système
d’équations
• Le nombre de solutions
IV
5 L’aire des solides
Table des matières
• Le repérage d’un triangle rectangle
dans une gure géométrique
• Les unités d’aire du système international (SI)
• L’aire des solides
• L’aire de la sphère
Exercices
supplémentaires            227
Retour sur le chapitre 5                229
Atlas illuminé CD1                     236
Lumière ! CD2
238
Consolidation : Chapitres 1 à 5        239
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
            253
Rappel                                254
• Les caractéristiques de gures semblables
6.1 Les mesures de volume
et de capacité                      257
• Le volume
• La capacité
• La relation entre les unités de volume
et de capacité
6.2 Le volume des solides              263
• Le calcul du volume
• La recherche de mesures manquantes
à partir du volume
6.3 Les solides décomposables        270
• Le volume et l’aire de solides décomposables
6.4 Les solides semblables             275
• Les caractéristiques de solides semblables
Exercices
supplémentaires            285
Retour sur le chapitre 6                287
Maïs essoufé CD1                   294
CHAPITRE
Les chandelles de Sophie CD2         296
7 La statistique
          297
Rappel                                298
7.3 Les mesures de tendance centrale   312
• La moyenne, le mode et la médiane
• La moyenne pondérée
7.4 Les quartiles et les mesures
de dispersion                      319
• Les quartiles
• Le diagramme de quartiles
• Les mesures de dispersion
Retour sur le chapitre 7                327
Les résultats des absents CD1         334
Une question d’âge CD2               336
CHAPITRE
CHAPITRE
volume et les solides
6 Le
semblables
8 Les probabilités
       337
Rappel                                338
• L’univers des résultats possibles et les événements
• La probabilité d’un événement
8.1 Les expériences aléatoires simples
et composées                      341
• La probabilité théorique et la probabilité
fréquentielle
• Les propriétés des probabilités
• Les événements compatibles
• Les événements complémentaires
• Le principe de multiplication
8.2 La probabilité géométrique         353
• La variable aléatoire
• La probabilité géométrique
• Le caractère statistique
• Les diagrammes : à bandes, à ligne brisée
et circulaire
Retour sur le chapitre 8                363
7.1 L’étude statistique et
les méthodes d’échantillonnage    301
À l’épluchette ! CD2                    372
• Le recensement et le sondage
• Les méthodes d’échantillonnage
7.2 L’organisation d’une distribution
de données                        306
• Le tableau de données condensées
• Le tableau de données groupées en classe
et l’histogramme
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Santé et bien-être CD1                370
Consolidation : Chapitres 1 à 8        373
Révision de l’année                   385
Outils                                  403
Index                                  415
Table des matières
V
Organisation
du cahier d’apprentissage
Le cahier d’apprentissage
permet de mobiliser l’ensemble des savoirs essentiels
du programme de mathématique de la 3e secondaire. Le cahier respecte de plus les indications
fournies dans le document Progression des apprentissages au secondaire.
Activités interactives
La collection comprend 50 activités
interactives qui sont associées à différentes
parties du cahier. On trouve une ou deux
activités par section dans chaque chapitre,
une ou deux activités par Consolidation et
trois activités pour la Révision de l’année.
Mise au point
Placée au début du cahier, cette section permet de faire
une révision des principales notions abordées au cours
de la 2e secondaire. On y propose des questions à choix
multiples, à réponses courtes et à développement.
Les chapitres
Le cahier comprend huit chapitres, regroupés
selon les champs mathématiques : arithmétique,
algèbre, géométrie, statistique et probabilité.
En première page des chapitres, une rubrique
Dé permet d'explorer de nouvelles stratégies
de résolution de problème.
Chaque chapitre est divisé en sections et
débute par une section Rappel.
VI
Organisation du cahier d’apprentissage
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Encadrés théoriques
Sous forme de résumé, les encadrés théoriques
présentent des explications sur les savoirs
essentiels du programme. Des exemples
appuient les explications.
Activités
De nombreuses activités permettent de mettre
en pratique les savoirs présentés.
Rubriques
et
Ces rubriques offrent plus d’exercices pour une
meilleure appropriation des savoirs présentés.
Rubrique
Au l des sections,
cette rubrique signale
une activité plus
difcile ou qui est de
l’enrichissement par
rapport au programme
à l’étude.
Retour sur le chapitre
Cette section donne
l’occasion de réinvestir les
savoirs abordés tout au long
du chapitre. On y retrouve
des questions à choix
multiples, à réponses courtes
et à développement.
Situations d’apprentissage
Une situation-problème (CD1) et une situation d’application (CD2)
viennent clore chaque chapitre. Elles mobilisent des savoirs
abordés au cours du chapitre et permettent d’en faire la synthèse.
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Organisation du cahier d’apprentissage
VII
Consolidation
Le cahier comprend trois sections Consolidation,
une par étape. La Consolidation permet de
réviser les savoirs vus dans tous les chapitres
précédents. Elle propose des questions
à choix multiples, à réponses courtes et à
développement. Elle comprend également une
ou deux situations d’application (CD2), ainsi
qu’une situation-problème (CD1).
Révision de l’année
La Révision de l’année permet de vérier la compréhension
des savoirs abordés tout au long de l’année scolaire. Elle
propose des questions à choix multiples, à réponses courtes et
à développement, ainsi que deux situations d’application (CD2)
et une situation-problème (CD1).
Outils
La section Outils présente des concepts utiles dans la pratique
des mathématiques : énoncés de géométrie, manipulations
algébriques, fonctions réelles, système international (SI),
formules d’aire et de volume, projections géométriques, tableaux
et diagrammes, graphisme, notation et symboles.
Les rubriques et les pictogrammes du cahier
Astuce
Rubrique
Cette rubrique présente des rappels et des stratégies
mathématiques.
Rubrique
Cette rubrique présente des faits amusants,
anecdotes ou renseignements complémentaires.
Ce pictogramme signale qu’une
activité interactive est associée
aux notions abordées.
VIII
Organisation du cahier d’apprentissage
du couple-solution
Souviens-toi que les valeurs
équations du système.
des
e
cun
cha
er
véri
doivent
Curi sité
L’étoile Polaire fait partie de la constellation de la Petite Ourse. Cette étoile
très brillante, visible à l’œil nu, se trouve tout près du pôle Nord. Elle aidait
autrefois les navigateurs à se repérer en mer.
Ce pictogramme signale que le
problème permet de travailler un ou
plusieurs critères de la compétence 2.
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Mise au point
Questions à choix multiples
1
Parmi les égalités suivantes, laquelle est fausse ?
a) −2×(−4)=8
2
c) 20÷(−10)=−2
d) 19−(−4)=23
À l’épicerie, les bananes coûtent 1,45 $/kg. Parmi les taux suivants, lequel est associé
à cette situation ?
a) 29 $/30 kg
3
b) −6+(−2)=8
b) 145 $/50 kg
c) 14 $/10 kg
d) 29 $/20 kg
Quelle est la solution de l’équation suivante ?
8x−8 =4x+12
a) x=0
4
6
7
8
c) x=5
d) x=16
Sachant que l’aire d’un rectangle est de 220 cm2 et que sa base mesure 11 cm, quelle est
la mesure de sa hauteur ?
a) 5 cm
5
b) x=1
b) 10 cm
c) 20 cm
d) 25 cm
Parmi les expressions algébriques suivantes, laquelle est équivalente à 3x 2y−5xy 2 ?
a) x 2y−3xy 2+2x 2y+2xy 2
b) −x 2y+3xy 2−2x 2y−2xy 2
c) 2xy 2−7xy 2−4x 2y+1x 2y
d) −2xy 2−6x 2y+9x 2y−3xy 2
Qui suis-je ? Je suis un solide dont deux faces sont des triangles et les trois autres sont des rectangles.
a) Un prisme droit à base triangulaire
b) Un cube
c) Une pyramide droite à base triangulaire
d) Une pyramide droite à base rectangulaire
L’école du Boisé effectue un sondage auprès de ses élèves an de connaître leur sport favori.
Quel est le type de caractère de ce sondage ?
a) Quantitatif continu
b) Qualitatif
c) Quantitatif discret
d) Quantique
Une expérience aléatoire consiste à tirer 2 cartes d’un jeu de 12 cartes
contenant seulement des gures. Le tirage est fait sans remise.
Quelle est la probabilité de tirer une dame rouge suivie d’une dame noire ?
a)
1
36
b)
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1
9
c)
1
11
d)
1
33
Mise au point
1
Questions à réponses courtes
9
Effectue les opérations suivantes.
a) 23−(4×(−2)−2×(−1))=
c)
b) (12÷(−4))2−(−8+4)=
(5×(−1)−4)÷(7−(−2))=
d) −15×2÷(−6)−4×(−12)=
10 Trouve le nombre qui correspond à 100 % du pourcentage donné.
a) 12 % de ce nombre
est 36.
b) 150 % de ce nombre
c) 60 % de ce nombre
est 48.
est 150.
11 Élliott a acheté un chandail à 54,40 $ avant les taxes.
Si le prix du chandail est réduit de 15 %, quel était
le prix régulier ?
Réponse :
12 Réduis les expressions algébriques suivantes.
a) 3(2x−3y)+(12x+8y)÷4−(10x−9y)
2
Mise au point
b) 2(4ab−6a)−(−8a−12ab)
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13 La somme de trois nombres entiers consécutifs est de 75.
Quels sont ces trois nombres ?
Réponse :
14 Les tables de valeurs suivantes sont associées à des situations de variation proportionnelle
ou inversement proportionnelle.
Précise de quel type de variation il s’agit. Complète ensuite les tables de valeurs.
a)
x
6
y
20,4
10
27
51
91,8
Variation :
b)
x
3
y
63
9
12
15,75
6,3
Variation :
15 Trouve la règle de chacune des suites. Utilise les variables t et n pour représenter la valeur
d’un terme et son rang.
b) {1, −3, −7, −11, −15, …}
a) {2, 8, 14, 20, 26, …}
16 Complète les égalités suivantes.
a) 256 dm2=
dam2
b) 245 000 mm2=
m2
c) 0,04 hm=
mm
d) 0,002 4 km2=
m2
e) 1,243 km=
dm
f) 2 dam2=
dm2
g) 8 000 cm2=
m2
h) 2 579,1 m2=
dam2
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Mise au point
3
17 Dans un cercle de 8 cm de rayon, quelle est l’aire
d’un secteur formé par un angle au centre de 230° ?
Arrondis ta réponse au centième près.
230°
8 cm
O
Réponse :
18 Le triangle vert est l’image du triangle bleu par une homothétie de centre O.
Quel est le rapport d’homothétie k associé à ces deux triangles ?
8 cm
6 cm
O
k=
19 Une expérience aléatoire consiste à tirer 2 jetons d’un sac contenant 8 jetons jaunes (J), 6 jetons
rouges (R), 5 jetons noirs (N) et 1 jeton bleu (B).
a) Si le tirage est fait avec remise, quelle
est la probabilité de tirer un jeton jaune
suivi d’un jeton rouge ?
b) Si le tirage est fait sans remise, quelle
est la probabilité de tirer 2 jetons noirs ?
4
Mise au point
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Questions à développement
20 Jacob, Mila et Nathan collectionnent les cartes de hockey. Mila possède 120 cartes
de plus que Jacob, et Nathan possède le double du nombre de cartes de Mila.
Ensemble, ils ont 1 600 cartes. Combien chacun en possède-t-il ?
Réponse :
21 Le carré et le trapèze suivants ont la même aire. À partir des mesures données, trouve la mesure
de la hauteur du trapèze.
16 cm
13,8 cm
h=?
18,2 cm
Réponse :
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Mise au point
5
22 Julien veut créer le vitrail ci-contre composé d’un rectangle et de
deux demi-disques. Pour savoir quelle quantité de verre acheter,
il doit connaître l’aire de son œuvre.
Quelle est l’aire du vitrail ?
8 dm
13 dm
Réponse :
23 Clara est en 3e secondaire. Il lui reste un dernier examen avant la n de l’année. Sachant que
les résultats de ses 6 examens précédents sont 92 %, 87 %, 89 %, 82 %, 80 % et 86 %,
quelle note doit-elle obtenir pour que sa moyenne soit de 85 % ?
Réponse :
6
Mise au point
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CHAPITR E
Les nombres réels
1
SOMMAIRE
Rappel.............................................................................................. 8
1.1
Les ensembles de nombres ............................................13
1.2
La relation de Pythagore ..................................................18
1.3
La notation exponentielle...................................................23
1.4
La notation scientique et
le système international d’unités......................................31
Exercices + supplémentaires...............................................37
Retour sur le chapitre 1 ......................................................... 39
Voyage dans l’espace (CD1)................................................ 46
Le trapèze rectangle (CD2).................................................. 48
Dans la mosaïque ci-dessous, les surfaces de même couleur ont la même aire.
À l’aide des informations indiquées, trouve l’aire du triangle rectangle jaune.
A=25 cm2
A=9 cm2
Réponse :
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Les nombres réels
Arithmétique
7
Rappel
Les nombres entiers
L’addition et la soustraction de nombres entiers
Les nombres entiers, z, sont formés des nombres naturels et de leurs opposés.
Z={…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait des nombres entiers, il faut observer leur signe.
12+3=15
1. L’addition de deux nombres entiers positifs donne un nombre positif.
2. L’addition de deux nombres entiers négatifs donne un nombre négatif.
−12+(−3)=−15
−25+40=15
RAPPEL
3. Lorsqu’on additionne deux nombres entiers de signes contraires,
il faut soustraire les deux nombres sans tenir compte du signe.
La somme prend le signe du nombre le plus éloigné de 0 (c’est le
terme le plus fort).
−30+15=−15
32+(−40)=−8
20−(−15)=35
4. La soustraction d’un nombre entier correspond à l’addition
de son opposé.
20+15=35
La multiplication et la division de nombres entiers
Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise des nombres entiers, on doit tenir compte de la règle des signes.
1. Le produit ou le quotient de deux nombres
de même signe est positif.
2. Le produit ou le quotient de deux nombres
de signes contraires est négatif.
4×11=44
15÷5=3
−4×(−11)=44
−15÷(−5)=3
4×(−11)=−44
−15÷5=−3
−4×11=−44
15÷(−5)=−3
Les chaînes d’opérations
Dans une chaîne d’opérations, il faut respecter la priorité des opérations suivante :
1. Les opérations entre parenthèses ;
48−8÷22×(25−18)+3
2. Les exponentiations ;
=48−8÷22×7+3
3. Les multiplications et les divisions, dans l’ordre
où elles apparaissent, de gauche à droite ;
=48−8÷4×7+3
4. Les additions et les soustractions, dans l’ordre
où elles apparaissent, de gauche à droite.
=48−14+3
=48−2×7+3
=34+3
=37
8
Arithmétique
Chapitre 1 — Rappel
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1
2
3
Effectue les additions et les soustractions suivantes sans utiliser ta calculatrice.
a) −18+6=
d) −9+27=
b) 10−(−9)=
e) −45+(−21)=
c) −8+(−9)=
f) −50−25=
g) 35+(−26)=
h) 2+(−3)−(−4)=
i) −52+11=
Effectue les multiplications et les divisions suivantes sans utiliser ta calculatrice.
a) 14∙(−2)=
d) −3∙12=
b) 21÷7=
e) 60÷(−5)=
c) −56÷(−8)=
f) −110÷10=
g) −6∙(−11)=
h) −50∙(−6)=
i) 75÷(−3)=
Complète les égalités suivantes sans utiliser ta calculatrice.
a) 15∙
d) −108÷
g) −14+
=−29
b) 80+
e)
h)
=71
∙(−4)=48
÷9=−9
c)
f)
−(−12)=83
+(−19)=−37
i) 92−
=104
Trouve le résultat des chaînes d’opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice.
a) 14∙(−2)+9∙7=
b) −28÷4−4∙3÷2=
c) 5∙3−(3−9)∙(−1)2=
d) 2∙4+(−2−4)2÷3−9=
RAPPEL
4
=−75
=−12
5
Parmi les chaînes d’opérations ci-dessous, entoure celles qui sont équivalentes à la chaîne suivante.
15−4×5÷10+(−2)3
a) (14+2)÷8+(2−5)
b) 14+16÷8+2∙5
c) 15÷3−1+200
d) 100÷4−80÷4
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Les nombres réels
Arithmétique
9
Les fractions et les nombres décimaux
Les fractions et les nombres décimaux peuvent être positifs ou négatifs.
Lorsqu’on effectue des opérations sur ces nombres, il faut tenir compte
de leur signe, comme on le fait avec des nombres entiers.
−3 + 1 =−3 + 2 = −1
4 2
4 4
4
−1 ∙ −2 = 2
5
( 3)
15
Pour indiquer qu’une
fraction est négative, on
met souvent le signe « –»
devant la fraction.
3
−3
3
.
Par exemple, = − =−4
−3 − 1 =−3 − 2 = −5
8 4
8 8
8
−0,75+0,5=−0,25
−1,5÷(−0,5)=3
Astuce
3
−3 ÷ 2 =−3 ∙ 15 =− 9
5
( 15 )
1 5
(2)
4
2
4
La racine carrée
RAPPEL
La racine carrée d’un nombre n, notée n , est le nombre positif dont le carré est égal à n.
Dans l’ensemble des nombres naturels, élever au carré et extraire la racine carrée sont des
opérations inverses.
1
112=121

121 =11
La racine carrée de 121 est égale à 11.
132=169

169 =13
La racine carrée de 169 est égale à 13.
Effectue les opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice.
1
1
a) − + − 8 =
8
d)
( )
3
4
+− =
4
9
( )
3
9
g) − ÷ − 5 =
25
( )
10
Arithmétique
Chapitre 1 — Rappel
b)
8
9
− =
10 5
c)
2
−(−0,3)=
11
e)
1 − 49
∙
=
2
7
f)
28
7
÷−
=
5
10
i)
1
÷(−0,1)=
4
(
)
18 1
h) − ÷ 2 =
4
(
)
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2
Effectue les chaînes d’opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice.
a) −0,5∙(−0,2)+4÷0,1
2
2
+ −
5 25
(−13÷335 )
4
+
3
(−18∙163)
4
1 5
e) − − − ÷
5
(
7
c) 0,4+(−0,94)÷
)
14
1
10
1 50
1
3
÷ − +
4 11
25 100
(
f)
)
RAPPEL
d)
b)
3
Énumère les 12 premiers nombres carrés.
Astuce
e
puissance
Un nombre carré est la 2
exemple,
d’un nombre naturel. Par
9 est le carré de 3.
4
Effectue les opérations suivantes sans utiliser ta calculatrice.
a)
25=
b)
225=
c)
16+20=
d)
16−7=
e)
36+64=
f)
36+ 64=
g)
25×4=
h)
25× 4=
i)
( 49 )2=
j)
169=
k)
25− 256=
l)
( 144 )2=
m) − 81÷ 9=
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n) − 4− 144=
2
o) −( 225 ) =
Les nombres réels
Arithmétique
11
5
Le pied de Laurent mesure 19 cm. Si on retranche
le produit de 5 et 41 du carré de la mesure de
son pied, on obtient la taille de Laurent.
Quelle est la taille de Laurent en centimètres ?
Trouve la réponse à l’aide d’une chaîne
d’opérations.
Réponse :
6
Pour un tournoi de soccer, Oscar achète
6 caisses de 54 oranges. Il les partage
équitablement entre les 9 équipes participantes.
Combien chaque équipe recevra-t-elle
d’oranges ? Trouve la réponse à l’aide
d’une chaîne d’opérations.
Réponse :
RAPPEL
7
L’écart entre deux nombres est de 9,8. Si le
plus petit nombre est −21,2, quelle est la valeur
du plus grand nombre ?
Réponse :
8
Amayel fabrique un cadre de forme
carrée pour y placer une photo.
5 cm
L’aire du cadre, photo incluse, est
de 300 cm2. Pour décorer le cadre,
elle dessine un petit triangle à chaque 5 cm.
Combien de triangles doit-elle dessiner ?
Réponse :
9
Alicia a emprunté 575 $ à son père pour acheter
un ordinateur portable. Elle lui rembourse 50 $
par semaine.
Après 4 semaines, elle lui emprunte à nouveau
de l’argent an d’acheter un sac à dos pour
son ordinateur. Le prix du sac est de 75 $ plus
les taxes de 15 %.
Quel montant Alicia doit-elle maintenant
à son père ?
Réponse :
12
Arithmétique
Chapitre 1 — Rappel
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1.1 Les ensembles de nombres
Les nombres naturels et les nombres entiers
Astuce
• L’ensemble des nombres naturels, n, comprend les nombres qu’on utilise
habituellement pour compter :
La présence d’un
astérisque (*) à
côté du symbole
n ou z indique
qu’on considère
tous les nombres de
l’ensemble, sauf le 0.
N={0, 1, 2, 3, 4, …}
• L’ensemble des nombres entiers, z, comprend les nombres naturels et leurs opposés :
Z={…,−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
• Pour indiquer qu’un nombre appartient ou non à un ensemble, on utilise les symboles é et É .
3 é N se lit « 3 appartient à l’ensemble n » ou « 3 est un élément de l’ensemble n ».
−3 É N se lit « −3 n’appartient pas à l’ensemble n » ou « −3 n’est pas un élément de l’ensemble n ».
a é Z se lit « a est un nombre qui appartient à l’ensemble z ».
Les nombres rationnels et les nombres décimaux
• L’ensemble des nombres rationnels, q, comprend tous les nombres qu’on obtient en divisant
deux entiers.
a
• Ainsi, ce sont les nombres qu’on peut écrire sous forme de fraction, , où a et b sont des entiers
b
(a e z et b e z*).
• On peut aussi écrire un nombre rationnel en utilisant la notation décimale. Les nombres rationnels
écrits en notation décimale comportent une partie décimale nie ou une période.
• Les nombres dont la partie décimale est nie
sont des nombres décimaux, d.
• Quand un nombre est écrit sous forme
de fraction réduite, on peut le repérer en
décomposant son dénominateur en facteurs
premiers. Si la décomposition ne comprend
que des 2 et des 5, il s’agit d’un nombre
décimal.
Par exemple,
Q
1
3
D
Z
3
2
−8,0
−11
2
N
8
1
5
6
13
20
13
13
=
=0,65.
20 2×2×5
On peut situer les nombres rationnels sur une droite numérique.
1
0
1
=0,5
2
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2
4
=1,3
3
Astuce
la èche
Sur une droite numérique,
issant.
indique toujours l’ordre cro
Les nombres réels
Arithmétique
13
1
Traduis les phrases suivantes à l’aide des symboles mathématiques appropriés.
Curi sité
b)
Le symbole z, qui
représente les nombres
entiers, provient du
mot allemand
, qui
signie « nombre ».
2
2,5 e ID
a) 2,5 appartient à l’ensemble des nombres décimaux.
1
3
appartient à l’ensemble des nombres rationnels.
c) −10 appartient à l’ensemble des nombres entiers.
d) 1,325 n’appartient pas à l’ensemble des nombres naturels.
e) 0,16 n’appartient pas à l’ensemble des nombres décimaux.
Coche tous les ensembles de nombres auxquels appartient chaque nombre.
N
Z
D
Q
a) −9
b) 4
c) 8,5
7
d) 3
11
e) 5
f) −9,3
g) 6,25
11
h) 250
i) −2
3
Place les nombres suivants au bon endroit dans le diagramme.
−9
6,3
1
10
5,3
4
9
11
−13,5
3
6
−125
15
7
Q
D
Z
N
14
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.1
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Les nombres irrationnels et les nombres réels
Astuce
• L’ensemble des nombres irrationnels, q’, comprend tous les nombres sur une droite
numérique qu’on ne peut pas écrire sous forme de fraction, a , où a e z et b e z*.
b
• Les nombres irrationnels écrits en notation décimale comportent une partie
décimale innie et non périodique.
Par exemple, les nombres p=3,141 592… et
2=1,414 213… sont irrationnels.
• L’ensemble des nombres réels, r, comprend tous les nombres rationnels et irrationnels.
On écrit
parfois R \ Q
pour désigner
l’ensemble
des nombres
irrationnels.
On peut le représenter à l’aide du diagramme suivant.
R
Q
Q’
− 2
−2
−3
D
Z
37
p
22
7
5
N
0
Astuce
13
20
2
−1,25
La racine d’un nombre
naturel qui n’est pas
un carré parfait est
toujours irrationnelle.
− 25
La notation d’intervalle
• Les nombres réels correspondent à tous les points sur une droite numérique. Il est impossible
de les compter.
• C’est pourquoi on utilise souvent la notation d’intervalle pour désigner un sous-ensemble de nombres
réels compris entre deux nombres donnés (appelés « bornes »).
• Lorsqu’une borne est comprise dans l’intervalle, le point qui la désigne est plein.
• Lorsque la borne n’est pas comprise dans l’intervalle, le point qui la désigne est vide.
On veut représenter tous les nombres réels entre 2 et 5.
[2, 5] : les bornes 2 et 5 sont comprises dans l’intervalle. L’intervalle est fermé.
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
]2, 5] : seule la borne 5 est comprise dans l’intervalle. L’intervalle est semi-ouvert.
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
[2, 5[ : seule la borne 2 est comprise dans l’intervalle. L’intervalle est semi-ouvert.
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
]2, 5[ : les bornes ne sont pas comprises dans l’intervalle. L’intervalle est ouvert.
−2
−1
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0
1
2
3
4
5
6
Les nombres réels
Arithmétique
15
1
Indique si les nombres suivants sont rationnels (q) ou irrationnels (q’).
a)
2
b)
pe
36 e
c)
11 e
d) 6,3 e
e)
125 e
f) − 80 e
g) −11,756 89 e
h)
i)
25
4
j)
k) 3,62 e
2
l) − e
e
1 000 e
1 296 e
3
Place les nombres suivants au bon endroit dans le diagramme.
− 121
256
R
3,5
7
9
− 15
50
−3
7,8
Q
4
121
− 19
Q’
D
Z
N
3
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) Un nombre qui appartient à l’ensemble des nombres rationnels (q)
appartient aussi à l’ensemble des nombres naturels (n).
b) Le nombre −2,532 7 est un nombre décimal.
c) Le résultat de l’opération 9×20 est un nombre irrationnel.
d) Le quotient de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel.
e) Le produit de deux nombres entiers est un nombre rationnel.
4
Complète les expressions suivantes à l’aide des symboles e et E.
a) −6,3
d
d) − 400
g)
5
16
( 54pp )
3
z
q’
b)
21
7
n
c)
2p
5
e)
48
25
d
f)
4
7
h)
214
q’
i)
q
q’
256
q’
Parmi les nombres ci-dessous, entoure ceux qui sont irrationnels. Indique à quel
ensemble de nombres le plus restreint appartiennent les autres nombres.
a)
0,25
b)
3 +1
c) 2p
d)
3+1
e)
2,5
f)
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.1
3p
2p
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6
Curi sité
Représente les sous-ensembles
des nombres réels sur des
droites numériques.
a)
[1, 8]
b) ]-2, 4]
c)
[3, 7[
d) ]0, 40[
e) [5, ∞[
f)
7
]−∞, 11]
L’inni, ∞ , signie « sans bornes » ou « sans n ». On trouve aussi +∞ et
−∞ . Le symbole a été inventé par le mathématicien John Wallis en 1655.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Avec sa règle et son compas, Axel veut construire un carré dont la
surface est rigoureusement équivalente à celle du disque ci-contre.
« C’est la quadrature du cercle », afrme Danika, « un problème classique
de mathématique qui est impossible à résoudre. »
1 dm
Démontre que la construction du carré d’Axel est irréalisable.
8
1
3
Sachant que =0,3, démontre que 0,9=1.
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Les nombres réels
Arithmétique
17
1.2 La relation de Pythagore
La relation de Pythagore
• Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.
Les deux autres côtés sont appelés des cathètes.
• La relation de Pythagore met en relation les côtés d’un triangle rectangle.
b
a 2+b 2=c 2
c =a +b
c 2=62+52
c 2=36+25
c 2=61
c= 61 ≈ 7,8 cm
c
6 cm
2
B
C
cathètes
On cherche la mesure de l’hypoténuse.
2
hypoténuse
c
A
Dans tout triangle rectangle, le carré de
l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des cathètes.
On cherche la mesure d’une cathète.
2
5 cm
a
a 2+b 2=c 2
42+b 2=72
b 2=72−42
b 2=49−16
b 2=33
b= 33 ≈ 5,7 cm
7 cm
b
4 cm
La réciproque de la relation de Pythagore
• La relation de Pythagore s’applique seulement aux triangles rectangles.
• C’est pourquoi on peut utiliser la réciproque de la relation de Pythagore pour vérier si un triangle
dont on connaît les dimensions est rectangle ou non.
Si ce triangle est
rectangle, le côté de
10 m est l’hypoténuse,
car c’est le côté le
plus long.
7m
8m
10 m
On doit donc vérier si 72+82 est égal à 102.
72+82=113
102=100
Puisque 113 ≠ 100, le triangle n’est pas
rectangle.
Si ce triangle est
rectangle, le côté de
13 m est l’hypoténuse,
car c’est le côté le
plus long.
5m
12 m
13 m
On doit donc vérier si 52+122 est égal à 132.
52+122=169
132=169
Puisque 169=169, le triangle est rectangle.
• Un triplet pythagoricien est un triplet de nombres naturels qui vérie la relation de Pythagore.
Par exemple, 3, 4 et 5 forment un triplet pythagoricien, car 3 2+42=52.
18
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.2
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1
Trouve la mesure de l’hypoténuse des triangles rectangles suivants.
a)
15 cm
b)
20 cm
65 cm
c)
20 cm
8 cm
21 cm
2
Trouve la mesure de la cathète inconnue des triangles rectangles suivants.
a)
33 mm
?
b)
40 mm
9m
?
6 cm
Complète le tableau ci-dessous, sachant que c est l’hypoténuse
d’un triangle rectangle. Les mesures données sont en mètres.
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a)
a
b
10
16
10
b)
c)
d)
?
Exercice
Exercice
3
4 cm
c)
1,5 m
3,2
26
7,68
23
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a
c
27
e)
176
f)
3,6
g)
22
h)
c
a
b
b
c
976
4,5
42,2
347,2
Les nombres réels
365,69
Arithmétique
19
4
Trouve les mesures manquantes. Arrondis tes réponses au dixième près.
?
a)
b)
10 cm
41 cm
11 dm
Astuce
?
c)
23 cm
55 cm
?
9 dm
Identie
d’abord
l’hypoténuse
dans le
triangle : c’est
toujours le
côté opposé à
l’angle droit.
d)
24 cm
?
18 cm
5
e)
f)
?
4,5 dm
45 cm
Indique si les triplets suivants sont pythagoriciens ou non.
?
9,6 dm
Oui
Non
a) (6, 7, 8)
b) (7, 12, 18)
c) (135, 352, 377)
d) (31, 35, 47)
e) (16, 30, 34)
20
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.2
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6
Karine a construit un rectangle en effectuant une rotation du
triangle bleu. La grande cathète du triangle mesure 7 cm et
l’hypoténuse, 7,9 cm.
Quelle est la mesure de la hauteur du rectangle ?
Curi sité
Pythagore est un philosophe et
mathématicien grec (580 – 490
avant notre ère). Il a énoncé de
nombreuses théories en lien avec
la géométrie, mais n’en a laissé
aucune trace écrite. Ce sont ses
étudiants, appelés « disciples de
Pythagore », qui ont permis la
diffusion de ses enseignements.
Réponse :
7
Nadia dessine un triangle dont les mesures des côtés sont de 96 mm, 40 mm et 104 mm.
Le triangle est-il rectangle ?
Réponse :
8
Trouve l’aire d’un triangle équilatéral de 9 cm de côté.
Réponse :
9
Ismaël part de chez lui pour se rendre à la bibliothèque. Il se dirige vers le nord
sur une distance de 1,5 km. Ensuite, il tourne à droite et marche vers l’est sur
une distance de 2 km.
N
E
O
Quelle distance aurait-il parcourue s’il avait effectué le trajet en ligne droite ?
S
Réponse :
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Les nombres réels
Arithmétique
21
10 Anne a planté un poteau dans le sol pour y installer une mangeoire à oiseaux. Pour vérier s’il est
perpendiculaire au sol, elle mesure les distances indiquées dans la gure ci-dessous.
Aide Anne à déterminer si le poteau est perpendiculaire au sol.
poteau
325 cm
1,25 m
290 cm
sol
Réponse :
11 Stéphane possède une cour rectangulaire de 9 m sur 12 m.
Il y a aménagé une platebande de eurs et un potager clôturé
selon le plan ci-contre.
Légumes
Clôture
Sachant que le segment bleu sur le plan mesure 36 %
de la diagonale, trouve la longueur de la clôture rouge.
Fleurs
9m
12 m
Réponse :
A
11 cm
12 Trouve l’aire et le périmètre du triangle ABC.
C
B
14 cm
18 cm
22
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.2
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1.3 La notation exponentielle
Les cubes et la racine cubique
• Le cube d’un nombre est la troisième puissance de ce nombre.
• La racine cubique d’un nombre n, notée
3
23=8  8=2
3
n , est le nombre dont le cube est égal à n.
Le cube de 2 est 8. Inversement, la racine cubique de 8 est 2.
3
(−3)3=−27  −27=−3
Le cube de −3 est −27. Inversement, la racine cubique de −27 est −3.
Les exposants fractionnaires
• Il est possible de représenter les racines carrées et cubiques à l’aide d’exposants fractionnaires.
1
a 2= a
1
1
36 2= 36=6
1
273= 3 27=3
1
a 3= 3 a
100=100 2=10
3
Astuce
1
16 2=4
Explique pourquoi a>01
lorsque l’exposant est 2 .
1
1
8 3=2
125=125 3=5
Les lois des exposants
• Il est possible de manipuler des expressions algébriques comprenant des puissances à l’aide
de certaines propriétés appelées les lois des exposants.
1) Pour trouver le produit de puissances ayant
la même base, on additionne les exposants.
a m×a n=a m+n
2) Pour trouver le quotient de puissances ayant
la même base, on soustrait les exposants.
am
an
=a m−n, a ≠ 0
3) Pour trouver la puissance d’une puissance,
on multiplie les exposants.
(a m)n=a mn
52×53=5×5×5×5×5=55
ou 52×53=52+3=55
45 4×4×4×4×4
=
=42
43
4×4×4
45
ou 3 =45−3=42
4
(72)3=72×72×72=76
ou
(72)3=72×3=76
• Voici d’autres lois des exposants :
4) La puissance d’un produit :
(a×b)m=a m×b m
5) La puissance d’un quotient, b ≠ 0 :
a
(b)
m
am
=
bm
6) La puissance d’un exposant négatif (m>0),
a ≠ 0:
1
a−m= m
a
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(3×5)2=32×52
( 45 ) = 45
3
10−6=
3
Astuce
0
Souviens-toi que a =1
1
et que a =a.
3
1
106
Les nombres réels
Arithmétique
23
1
2
3
Complète les égalités suivantes sans utiliser ta calculatrice. Vérie ensuite tes réponses à l’aide
de ta calculatrice.
a) (−2)3=
b) 43=
c) (−1)3=
d) 103=
e) 53=
f) 33=
g) 23=
h) 73=
i) 1003=
j)
k)
3
(−14 ) =
3
l)
3
−27=
b)
3
−216=
c)
3
8=
d)
3
−1 000=
e)
3
343=
f)
3
64=
g)
3
−125=
h)
3
−8=
i)
3
1=
j)
3
0,001 =
k)
3
125=
l)
3
8 000=
m)
3
0,125=
n)
3
1
=
8
o)
3−
1
=
64
p)
3
0,008=
Écris les puissances suivantes à l’aide d’une racine. Trouve ensuite le résultat.
1
1
1
1
c) (−2 197)3=
b) (196)2=
1
d) (400)2=
1
f) (−8 000)3=
e) (1 728)3=
1
h) (−36)2=
g) (3 375)3=
Écris les puissances suivantes sans exposant négatif. Trouve ensuite le résultat sans utiliser
ta calculatrice. Conserve la fraction dans ta réponse.
−
−
a) 10 1=
b) 8 2=
2 3
=
4
f)
−2
c)
( 101 )
g)
2
− =
7 2
−
−
e) 2∙5 1=
=
−1
d)
( 23 )
h)
4 2
− =
3 3
=
−
Place les lettres correspondant à chacun des nombres au bon endroit sur la droite numérique.
A) 4−1
B)
1
2
3
( )
1
C) 8 3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
24
( 23 ) =
a)
1
5
3
Complète les égalités suivantes sans utiliser ta calculatrice. Vérie ensuite tes réponses à l’aide
de ta calculatrice.
a) (256)2=
4
( 12 ) =
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.3
36
25
1
2
D)
( )
1
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
E) 1,5−2
F)
3
4,913
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6
Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle.
a) 33∙34=
b) 25∙2=
c) 72∙7∙76=
d) 10∙105∙10−4=
e) 64∙6−4=
f) 1110∙11−3∙117=
1
2
1
3
g) 3 ∙3−4=
7
8
1
5
i) 4−3∙4 3∙4 3=
h) 5 ∙5 =
Simplie les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle.
a)
65
=
62
b)
d)
315
÷37=
33
e) 107÷107=
212
=
24
c) 911÷93=
f) 513÷514=
Dans chaque cas, écris les puissances à l’aide de la même base. Réduis ensuite l’expression obtenue.
a) 32∙27=
9
3
2
32 . 33 = 35
b)
5−2
=
25
d)
125
=
5−4
e) 83÷64=
g)
618
=
36
h) 81∙ 5=
4
2
c) 23∙ 5=
f) 74÷49=
9
3
i) 32∙26∙2=
Réduis les expressions suivantes à l’aide des lois des exposants. Relie ensuite les expressions
équivalentes.
a)
89∙36
1
÷
35∙815
8
c) (36∙32÷8∙3−3)∙
(83 )
2
•
• b)
•
• d)
a)
b)
c)
d)
39∙37 32∙89
÷ 6
38
8
3−5
811
6
÷3 ∙ −5÷821
3−12
8
(
)(
)
Exercice
Exercice
10 Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle sans exposant
négatif. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
9
7
a) 2 ∙2 =
b) (1218∙124∙12)÷1216=
5
6
c) 73 ∙7−2 =
d) (36∙37)÷(34∙3−7∙35)=
2
7 ∙7
e)
g)
i)
4
9
÷ 9∙9
=
15
20
9 ∙9
9 ∙93
24∙4
=
2
9
f) 6 ∙6
∙ 65 =
2
210∙315
=
25∙330
2
7
j) 104 ÷ 105 =
12
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h)
6
6
81
∙35=
34
5
5
Astuce
Lorsqu’on divise par une
par
fraction, on doit multiplier
:
n
ctio
l’inverse de cette fra
3
1 3
2
1
÷ 3= 4∙ 2= 8
4
Les nombres réels
Arithmétique
25
3
11 Observe l’expression n .
3
a) Trouve les résultats obtenus si n=1 et n=2.
b) Lorsqu’on augmente la valeur de n, le résultat se rapproche-t-il de −∞, de 0 ou de ∞ ?
c) Est-il possible d’obtenir 0 ? Justie ta réponse.
12 Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Justie ta réponse à l’aide de calculs,
d’exemples ou de contre-exemples.
a) Le carré de la racine cubique de 216 est 36.
b) Une base comprise entre 0 et 1, affectée d’un exposant négatif, donne un nombre négatif.
c) La racine cubique du carré de 8 est 4.
d) Une base supérieure à 1, affectée d’un exposant négatif, donne toujours une puissance
supérieure à 0 mais inférieure à 1.
13 Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle à l’aide
d’un exposant positif.
1
a) (43)3=
d)
3 5
((−2) ) =
1
g) −(94)2=
b) (22)4=
1
c) (2−2)7=
e) −(35)2=
f) (10−3)
h) (2−8)11=
i)
−10
=
1
((12
)=
−3 2 2
)
14 Les expressions suivantes sont des puissances de produits et de quotients. Réduis-les.
Écris ta réponse en notation exponentielle à l’aide d’un exposant positif.
a) (2∙34)2=
d)
g)
26
1
2
( 97 ) =
(135 )=
3
Arithmétique
21
12
Chapitre 1 — Section 1.3
−
b) (52∙7) 1=
e)
( 1113 ) =
2
2
−
c) (7−3∙32) 5=
f)
( 56 )
i)
( 5 2∙3 ) =
1
h) (25∙54)2=
2
−4
−3
3
4
=
1
2
2
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15 Qui suis-je ? Écris ta réponse sous la forme d’une base affectée d’un seul exposant.
a) Je suis le carré de la racine cubique de 8.
b) Je suis la racine carrée de la 10e puissance de 2.
c) Je suis la racine cubique de la 3e puissance de 7.
d) Je suis le cube de la 4e puissance de 2.
e) Je suis le carré de la racine cubique de la 6e puissance de 3.
f) Je suis le cube du carré de 5.
g) Je suis le triple du produit de la 9e puissance de 3
et de la 6e puissance de 3.
16 Complète chacune des égalités suivantes à l’aide du symbole=ou ≠.
b)
( 5∙5
5 )
3∙34
d)
104
10−5
( 3 216 )2
f)
710
75
a) (25∙2−3)÷(29)−2
240
1
c) 3∙273÷3−2
e)
(6∙66 )
−4
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1
−1
(25∙15 625)2
6
3
3
105∙1022
79 +76∙7−4
Les nombres réels
Arithmétique
27
17 Parmi les expressions suivantes, laquelle n’est pas équivalente aux trois autres ? Justie ta réponse
en réduisant les expressions sans calculatrice.
(125)
−1
3
3
5
125
1
(5−2)
1
25 2
18 Réduis les expressions suivantes à l’aide des lois des exposants, sans utiliser ta calculatrice.
(1 )
7
a) 87∙ 4 =
7
1
27
1
482
=
122
b) 9 2∙4 2=
c)
e) 253÷2,53=
f) 20 2∙5 2=
( 84 ) = 2
1
7
1
d) 4 3∙16 3=
1
1
19 La base d’un triangle mesure 24 cm et la hauteur,
25 cm.
Trouve l’aire de ce triangle. Écris ta réponse sous
la forme d’une base affectée d’un seul exposant.
Réponse :
20 La population d’une ville est de 96 habitants.
Sa supercie est de 35 km2. Joanie calcule la
densité de population et obtient 3 habitants/km2.
A-t-elle raison ?
Justie ta réponse en calculant la densité de
population à l’aide des lois des exposants.
Réponse :
Astuce
est
La densité de population d’un territoire
nts
le rapport entre le nombre total d’habita
és.
carr
s
ètre
kilom
et la supercie totale en
28
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.3
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21 Nathanaël doit couper une feuille de métal de forme carrée dont l’aire mesure 64 cm2. Il utilise une
machine-outil an de réduire de moitié la supercie de cette feuille. La table de valeurs suivante
représente l’aire de la feuille selon le nombre de coupes effectuées.
Aire de la feuille de métal
Nombre de coupes
0
1
2
Aire (cm2)
64
32
16
a) Dans le tableau, écris les nombres de la deuxième ligne sous la forme d’une puissance de 2
à l’aide de la notation exponentielle.
b) Nathanaël croit qu’il doit effectuer 6 coupes an d’obtenir une aire de 2 cm2. A-t-il raison ?
Justie ta réponse.
c) Combien de coupes doit-il faire an d’obtenir une supercie de 0,25 cm2 ?
Réponse :
22 Michèle et Carlos épargnent de l’argent pour leurs vacances. Michèle a 9 $ dans son compteépargne. Elle effectue ensuite des dépôts de manière que le montant total triple chaque semaine.
Carlos a 16 $ dans son compte. Il effectue ensuite des dépôts de manière que le montant total
double chaque semaine.
Quatre semaines plus tard, les deux amis comparent leurs avoirs. Qui a le plus d’argent dans son
compte-épargne ? Effectue tes calculs à l’aide de la notation exponentielle.
Réponse :
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Les nombres réels
Arithmétique
29
23 En laboratoire, Jacob observe une culture
bactérienne contenant 25 bactéries. Il constate
que ce nombre double toutes les 30 minutes.
Curi sité
Sa collègue Mia examine un autre type de culture
qui contient 312 bactéries. Elle les expose à
un antibiotique. Elle constate que leur nombre
diminue du tiers chaque heure.
La bactérie la plus étudiée est l’
(communément appelée « E. coli »), car elle se
multiplie très rapidement. Cette bactérie est
souvent associée à la maladie du hamburger,
à la gastro-entérite et à la méningite.
a) Complète la table de valeurs suivante. Trouve le nombre de bactéries présentes dans la culture
bactérienne étudiée par Jacob au bout de 6 heures.
Culture bactérienne étudiée par Jacob
Temps (h)
0
0,5
Nombre de bactéries
25
26
1
1,5
2
2,5
3
…
6
…
×2
b) Après combien de temps, en heures, y aura-t-il 220 bactéries dans la culture de Jacob ?
Réponse :
c) Au moment où la culture bactérienne de Mia contiendra 9 bactéries, combien de bactéries
contiendra la culture de Jacob ?
Réponse :
24 Jérôme et Kinza ont effectué la chaîne d’opérations suivante:
−5
236 ∙28
÷ 2−6
2
2
Jérôme a obtenu 214 et Kinza, 224. Qui a raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.
Réponse :
30
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.3
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1.4 La notation scientique
et le système international d’unités
La notation scientique
• La notation scientique facilite la lecture, l’écriture et la comparaison de très grands
ou de très petits nombres. Elle est surtout utilisée dans des contextes de mesure.
Astuce
• Pour écrire un nombre en notation scientique, il faut le décomposer en deux facteurs.
1. Le premier facteur, appelé la mantisse, est un nombre décimal supérieur ou égal à 1,
mais inférieur à 10. Pour le trouver, on place la virgule après le premier chiffre non nul
du nombre. La mantisse est formée de chiffres signicatifs.
Dans une
mesure,
les chiffres
signicatifs
sont les
chiffres dont
on est certain.
2. Le deuxième facteur est une puissance de 10. Il indique l’ordre de grandeur du premier
chiffre de la mantisse.
2 650 000=2,65×106  La mantisse est 2,65 et son ordre de grandeur est 106
(le chiffre 2 occupe la position du million).
0,000 005 4=5,4×10−6  La mantisse est 5,4 et son ordre de grandeur est 10−6
(le chiffre 5 occupe la position du millionième).
• Si le nombre initial est supérieur à 1, l’exposant de la puissance de 10 est positif (ou égal à 0).
• Si le nombre initial est compris entre 0 et 1, l’exposant de la puissance de 10 est strictement négatif.
Le système international d’unités (SI) et la notation scientique
• Le système international d’unités (SI) dénit les unités de base utilisées pour mesurer
différentes grandeurs.
Quelques grandeurs et unités de base du SI
Longueur
Volume
Masse
Temps
mètre (m)
litre (L)
kilogramme* (kg)
seconde (s)
* Pour des raisons historiques, le kilogramme (kg) est l’unité de base de la masse. Cependant, on utilise
le gramme (g) pour former les multiples et les sous-multiples des unités de masse.
• Il est possible d’utiliser des multiples ou des sous-multiples des unités de base. On utilise alors
des préxes qui sont associés à des puissances de 10 distinctes.
Préxe
Téra (T)
Giga (G)
Multiple de l’unité de base
1012
109
Méga (M)
106
Kilo (k)
103
Milli (m)
10−3
Micro (μ*)
10−6
Nano (n)
10−9
Pico (p)
10−12
* La lettre grecque μ se lit « mu ».
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5,3 kg=5,3×103 grammes
1,8 ns=1,8×10−9 seconde
2,7 Gm=2,7×109 mètres
9,6 μl=9,6×10−6 litre
Curi sité
Pour mesurer le temps, on utilise les préxes du SI surtout
s’il s’agit de temps très courts (µs, ns, ps). Sinon, on utilise
les minutes, les heures, les jours, les années, etc.
Les nombres réels
Arithmétique
31
1
Qui suis-je ?
a) Unité de base servant à mesurer le volume.
b) Dans la notation scientique, facteur représenté par un nombre décimal
supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10.
c) Préxe utilisé an d’exprimer des nombres associés à la puissance 109.
d) Unité de base servant à mesurer la masse.
e) Préxe utilisé an d’exprimer des nombres associés à la puissance 10−6.
f) Préxe utilisé an d’exprimer des nombres associés à la puissance 103.
g) Symbole servant à représenter des nanosecondes.
2
3
4
Écris les nombres suivants en notation scientique.
a) 125 000=
b) 6 300 000=
c) 0,098=
d) 135=
e) 15 900 000=
f) 0, 000 031=
g) 0, 000 000 42=
h) 18 200=
i) 0, 52=
j) 0,000 001 8=
Écris les nombres suivants en notation décimale.
a) 2,5×103=
b) 4,15×10−9=
c) −3,34×10−8=
d) 5,56×1010=
e) 7,78×105=
f) −8,9×10−6=
g) −2,98×102=
h) 1,7×10−3=
Compare les nombres suivants à l’aide des symboles >, < ou =.
Astuce
age
Qu’est-ce qui t’aide davant
nd
à déterminer le plus gra
nombre : la mantisse ou la
puissance de 10 ?
5
a) 2,4×10−2
3,4×10−3
b)
10×107
c)
1,3×104
13 000
d)
4,8×10−5
5,4×10−6
e)
52×107
5,2×108
f)
1,24×104
3,24×10−3
g) 6,5×10−3
7,2×104
h) 1,13×10−5
1,13×102
Place les nombres suivants par ordre décroissant.
a)
127
2,34×103
b) 8,7×10−4
32
1×109
Arithmétique
−0,006
−4,5×10−2
Chapitre 1 — Section 1.4
−5,7×107
0,043
2 554
6,52×107
6,78×104
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6
7
Convertis les mesures suivantes en mètres. Écris-les ensuite en notation scientique.
a) 0,45 mm
b) 78 dam
c) 7,56 km
d) 0,8 cm
e) 235 hm
f) 6 570 dm
Complète les égalités suivantes. Écris ta réponse en notation scientique.
8,1×10 –3
a) 8,1 ml=
8
L
b) 9,55 kg=
g
c) 9,6 nm=
m
d) 8 Mg=
g
e) 9,57 cl=
L
f) 2,5 ps=
s
g) 12,3 Gm=
m
h) 2 450 km=
m
Place les nombres suivants au bon endroit sur la droite numérique. Écris chaque lettre
dans la case appropriée.
A
6,75×103
−16
9
B
4,5×10
000 −14 000 −12 000 −10 000
−8
C
−5,004×103
000
−6
000
−4
000
−2
D
6,79×102
000
0
2 000
E
8,44×103
4 000
6 000
8 000
F
−1,42×104
10 000
12 000
Trouve les produits et les quotients suivants. Écris ta réponse en notation scientique.
a) 2×106∙2,5×107=
5 × 1013
b) 5,7×109∙6,2×1015=
2 × 2,5 × 106 × 107
= 2 × 2,5 × 106+7 = 5 × 1013
c)
9,6×1012
=
2,4×109
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d)
15×1014∙5,2×1010
=
2,5×107
Les nombres réels
Arithmétique
33
10 Dans le cours de science, l’enseignante de Mathilde énonce le fait suivant : « Le corps d’un être
humain contient environ 37 000 milliards de cellules. » Mathilde afrme qu’en notation scientique,
on peut écrire ce nombre de la manière suivante : 37 000×109. A-t-elle raison ? Justie ta réponse.
11 Écris chacune des mesures suivantes en mètres à l’aide de la notation scientique.
a) Le littoral du Canada est le plus
long du monde : il mesure environ
243 042 km.
Curi sité
L’acarien est
un animal qui
appartient à la
même classe que
l’araignée. On
en trouve des
colonies dans les
matelas, entre
autres. L’acarien
se nourrit de
morceaux de peau
morte, 1 million
d’acariens pouvant
se contenter de
1,5 g de ce mets
délicieux !
b) On estime que le diamètre
de l’Univers est de
800 000 000 000 000 000 000 000 km.
c) La grand-mère d’Emma a une
assiette plaquée d’une couche
de 8 μm d’or.
d) Un acarien mesure environ 0,06 mm
de longueur.
12 Associe chacun des contextes à la mesure correspondante.
a) Le nombre de sièges dans un stade
•
• 7×109
b) La population mondiale
•
• 2,5×105
c) L’âge, en secondes, d’un élève de 3e secondaire
•
• 5×104
d) La distance, en mètres, entre Montréal et Québec
•
• 4,22×104
e) La longueur du parcours d’un marathon, en mètres
•
• 4,5×108
13 Trouve l’aire du rectangle ci-dessous. Écris ta réponse en notation scientique.
0,25×107 mm
1,38×109 mm
Réponse :
34
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.4
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14 La taille d’une cellule végétale est d’environ 100 micromètres
et celle d’une cellule animale, d’environ 12,5×10−7 mètres.
Combien de fois la cellule végétale est-elle plus grande que
la cellule animale ?
Curi sité
Contrairement à la cellule animale,
la cellule végétale a une paroi
cellulosique. Cette paroi est
constituée de cellulose, un type
de bre alimentaire de la famille
des glucides.
Réponse :
15 La cellule est l’unité de base de la vie, tandis que
l’atome est l’unité de base de la matière. La taille d’un
atome d’oxygène est d’environ 48 picomètres.
Combien de fois la cellule animale (12,5×10−7 mètres)
est-elle plus grande que cet atome ? Écris ta réponse
en notation scientique.
Réponse :
16 Pendant un incendie, la fumée recouvre une ville
dans un rayon de 1,75×102 km.
Trouve la supercie de la partie de la ville recouverte
de fumée. Écris ta réponse en notation scientique.
Réponse :
17 La distance entre la Terre et la Lune est environ 3,9×102 fois plus petite que la distance entre
la Terre et le Soleil.
La Lune se situe à environ 3,84×105 km de la Terre. Combien de kilomètres séparent la Terre
du Soleil ?
Réponse :
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Les nombres réels
Arithmétique
35
18 La Terre fait partie d’une galaxie, la Voie lactée, qui comprend environ 100×109 étoiles.
La galaxie la plus près, Andromède, contient environ 10 fois plus d’étoiles.
Combien d’étoiles environ la galaxie Andromède contient-elle ? Écris ta réponse en notation scientique.
Réponse :
19 Francine prépare deux solutions d’eau salée. La solution A contient 60 g de sel, ce qui correspond
à environ 6×1023 molécules de sel. La solution B contient 3×1023 molécules de sel de plus que
la solution A. Francine conclut que la solution B contient deux fois plus de sel que la solution A.
A-t-elle raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.
Réponse :
20 La lumière voyage à une vitesse d’environ 299 mégamètres par seconde. Le son voyage
à une vitesse environ 8,8×105 fois plus petite que la vitesse de la lumière.
Quelle est la vitesse du son en m/s ?
Réponse :
21 Les années-lumière sont des unités qui servent à mesurer de très
grandes distances. Une année-lumière correspond à la distance
parcourue par la lumière en une année, soit 9,461×1012 km.
L’étoile Polaire se trouve à une distance d’environ 435 années-lumière
de la Terre.
Trouve la distance en kilomètres entre la Terre et l’étoile Polaire.
Écris ta réponse en notation décimale.
Curi sité
L’étoile Polaire fait partie
de la constellation de la
Petite Ourse. Cette étoile très
brillante, visible à l’œil nu,
se trouve tout près du pôle
Nord céleste.
Elle aidait
autrefois les
navigateurs
à se repérer
en mer.
Réponse :
36
Arithmétique
Chapitre 1 — Section 1.4
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Exercices
supplémentaires
Questions à réponses courtes
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 1.1 et 1.2
1
Effectue les opérations suivantes. Indique ensuite l’ensemble de nombres le plus restreint auquel
appartient le résultat obtenu.
1
2
a) − + − 9 =
c)
(
1
7
b) − − − 15 =
( )
3
5
8×2 − 8×2 )=
d)
25 8
e) − ∙ =
4
2
f)
5
(
)
15−(−12)∙2 =
((
2
1
2 ) − ∙3 ∙(−3)=
)
9
Les lettres d, e et f représentent les côtés d’un triangle. Dans chaque cas, indique si le triangle
est rectangle.
Triangle rectangle
Triangle
d
e
f
1
38
23
59
2
36
45
27
3
32
130
126
4
42
16
50
Oui
Non
Sections 1.3 et 1.4
3
4
Écris chaque nombre en notation décimale ou en notation scientique, selon le cas.
a) 4,3×109=
b) 2,51×10−6=
c) −72 500 000=
d) 1,9×10−8=
e) 0,000 14=
f) 12 780 000 000 000=
Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle sans exposant
négatif.
109
a) 1012 =
d)
3
1136 =
g) 7 4∙34=
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b) (75∙7−4)3=
65
e) 35 =
h)
58∙7−1
=
53
c)
225∙214
=
(211)4
f)
( 3 3∙3 )
i)
( 44∙4 )
4
9
3
−3
8
5
−2
=
Les nombres réels
Arithmétique
37
Questions à développement
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Section 1.2
5
Sachant que l’aire d’un carré est de 100 cm2, trouve la mesure de sa diagonale.
6
Henri a tracé un triangle rectangle dans le cercle ci-contre.
Sachant que la petite cathète mesure la moitié de la grande
cathète, trouve la mesure du diamètre du cercle.
7
3 cm
Un bateau part de la marina et se dirige vers le nord. Après avoir parcouru 84 km, il change
de direction et se dirige vers l’est. Il parcourt alors 45 km avant d’atteindre une île.
Quelle distance sépare l’île de la marina ?
210 m
Sections 1.3 et 1.4
8
La famille Lavoie cultive des pommes de terre et du maïs.
maïs
Combien de fois la supercie du champ de maïs est-elle
plus grande que la supercie du champ de pommes de
terre ? Écris ta réponse en notation exponentielle.
26 m
pommes
de
terre
27 m
26 m
9
Le virus et la bactérie sont des organismes microscopiques. La taille moyenne d’une bactérie
est de 1 micromètre tandis que la taille moyenne d’un virus est de 160 nanomètres.
a) Quel micro-organisme a la plus grande taille ?
b) Combien de fois ce micro-organisme est-il plus grand que l’autre ?
10 Une entreprise de gazon synthétique doit recouvrir un terrain rectangulaire de 9 m sur 12 m.
Samuel, un employé, doit estimer le nombre de brins d’herbe nécessaire pour le recouvrement.
La largeur d’un brin à la base est de 1 mm et on ne considère pas l’espace entre les
brins d’herbe.
Aide Samuel à trouver le nombre de brins d’herbe qui couvrent le terrain. Écris ta réponse
en notation scientique.
11 La Russie est le plus grand pays du monde avec une supercie de 17,09×106 km2.
Trouve la supercie du Canada, sachant qu’elle représente environ 58 % de la supercie
de la Russie. Écris ta réponse en notation scientique.
38
Arithmétique
Chapitre 1 — Exercices+ supplémentaires
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Retour sur le chapitre 1
Questions à choix multiples
Quel nombre exprimé en notation scientique est égal à 150 μm ?
a) 1,5×10−8 m
2
b) 150×10−3 m
b) (20, 25, 36)
Quelle expression réduite est équivalente à
a) 3
4
6
c) (11, 60, 61)
35∙32
38
d) (17, 144, 145)
?
b) 32
c)
1
3
d)
1
32
d)
3
Parmi les expressions suivantes, laquelle est équivalente à 74 ?
a)
5
d) 1,5×10−1 m
Parmi les triplets suivants, lequel n’est pas un triplet pythagoricien ?
a) (3, 4, 5)
3
c) 1,5×10−4 m
710
7−6
b)
712∙716
77
c)
715 7−4
÷
78 7−1
(77 )
8
4
5
( 5)
4
6
Soit l’égalité − ÷ − ∙3=n . Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ?
5
a) n appartient à l’ensemble des nombres
rationnels.
b) n e [0, 1]
c) n appartient à l’ensemble des nombres
décimaux.
d) n e z
RETOUR
1
Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
a) 18 Mm équivalent à 1,8×108 m.
b) Il y a 6,5×103 L dans 6,5 ml.
c) Un million de kilogrammes équivalent à 1×109 grammes.
d) 952 nanosecondes valent 9,52×10−11 seconde.
7
L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 66,25 dm. Si l’une des cathètes mesure 57,5 cm,
quelle est l’aire du triangle ?
a) 189,75 dm2
8
c) 945,88 dm2
d) 1 904,69 dm2
Quelle est l’aire totale d’un cube dont l’arête mesure 6 m ?
a) 36 m2
9
b) 380,94 dm2
b) 63 m2
c) 122 m2
d) 66 m2
Quelle est la mesure de la diagonale d’un rectangle dont les dimensions sont de 3,6 dm
sur 7,7 dm ?
a) 6,8 dm
b) 8,5 dm
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c) 9,2 dm
d) 11,3 dm
Les nombres réels
Arithmétique
39
Questions à réponses courtes
10 Effectue les opérations suivantes sans calculatrice. Conserve la fraction dans ta réponse.
1
5
a) − + − =
15
1
b) − − =
c)
(−15 ) ∙ 103 =
36
4
d) − ÷
=
e)
7 2
+ ∙
9 3
f)
(−78 − 327 )÷ 74=
7
( 21 )
2
4
5
10
(−154 )=
2
11 Coche tous les ensembles de nombres auxquels appartient chaque nombre.
N
Z
D
Q
Q’
R
a) 0,35
9
b) 7
c) − 121
d)
p
RETOUR
11
e) 40
f)
225
3
g)
144
−3
h)
12 Représente les sous-ensembles des nombres réels à l’aide de la notation en intervalle.
a)
b)
c)
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
13 Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) 6,3 Mg équivalent à 6,3×106 kg.
b) Le nombre 3−2 appartient à l’ensemble des nombres entiers.
c) Le nombre 610 appartient à l’ensemble des nombres naturels.
d) 245 picomètres équivalent à 2,45×10−10 mètre.
e) Le nombre
103
53
équivaut à 23.
f) 25∙27=412
40
Arithmétique
Chapitre 1 — Retour
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Astuce
exposants
Pour t’aider, transforme les racines en
avant de réduire une expression.
14 Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse
en notation exponentielle sans exposant négatif.
a)
22∙23
=
26
d)
72
=
76
b) (35∙36)2=
c)
e) (12 589 0652)0=
f)
g)
104∙106∙10
∙10=
103
h)
2 53∙52
∙
=
5
2
j)
(44 ∙ 44 ) =
k)
3 ∙5
(5∙3∙5
)
3
7
9
3
2
4
6
(153 ) =
3
616÷ 615=
3611 229
∙ =
1811 119
l)
=
5∙54÷58=
3
i)
−2
3
10
10
15 Place les nombres suivants par ordre décroissant.
15 mg
b) 2,5 kl
c)
20 g
6 kg
26 000 ml
1 500 m
d) 6 000 mg
9,8 km
14 000 μg
1 980 nl
12 809 mm
2,5×10−6 Mg
9g
0,005 Mg
25 L
0,003 Ml
83×1015 pm
0,003 kg
0,000 75 Mm
RETOUR
a)
150 250 μg
16 Trouve les mesures manquantes des triangles rectangles suivants.
b)
a)
41 mm
25 mm
?
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4 cm
19 cm
c)
1,2 dm
?
?
1,4 dm
Les nombres réels
Arithmétique
41
Questions à développement
17 Dans le triangle rectangle ci-contre, on a tracé la hauteur relative
à l’hypoténuse en rouge.
a) Trouve les valeurs de a, c et n.
14,4 dm
c
n
a
19,2 dm
32 dm
Réponse :
RETOUR
b) Trouve l’aire de ce triangle à l’aide de l’hypoténuse
et de sa hauteur relative.
Réponse :
18 La grande diagonale d’un losange mesure 16 cm et la petite diagonale, 6 cm. Trouve le périmètre
du losange. Arrondis ta réponse au centième près.
Astuce
Les diagonales d’un
losange se coupent
perpendiculairement
et en leur milieu.
Réponse :
19 Trouve l’aire d’un carré dont la diagonale mesure 15 cm.
Réponse :
42
Arithmétique
Chapitre 1 — Retour
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20 Les dimensions du rectangle 2 sont 4,2 fois plus grandes que les dimensions du rectangle 1.
Trouve l’aire du rectangle 2. Écris ta réponse en notation scientique.
1
3,4×106 mm
9,2×106 mm
2
Réponse :
21 Guillaume a conçu la table ci-dessous.
Aide-le à déterminer si les deux pattes sont bien perpendiculaires à la surface de la table.
70 cm
68 cm
68 cm
RETOUR
11 cm
11 cm
70 cm
Réponse :
22 Un atome d’hydrogène pèse 1,61×10−21 kg. Une molécule de glucose (sucre) contient 12 atomes
d’hydrogène.
Quelle est la masse, en kilogrammes, de ces 12 atomes d’hydrogène ? Écris ta réponse
en notation scientique.
23 La masse d’une fourmi charpentière est en moyenne de 15 mg.
Combien de fourmis faudrait-il pour égaler la masse d’une personne de 60 kg ?
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Les nombres réels
Arithmétique
43
24 Combien de fois l’aire du triangle isocèle DEF est-elle plus grande que l’aire du triangle rectangle
ABC ? Écris ta réponse sous la forme d’une base affectée d’un seul exposant.
D
A
29 mm
RETOUR
B
210 mm
25 mm
C
E
27 mm
F
Réponse :
25 Julianne part de son chalet en vélo pour se rendre au
lac Malartic. Elle emprunte les routes représentées
par les èches bleues sur l’illustration ci-contre. Si elle
avait emprunté le sentier pédestre indiqué par la èche
rouge, la distance parcourue aurait été plus courte.
Quelle distance aurait-elle parcourue en moins ?
3 km
4 km
3,162 km
Lac Malartic
3 km
Julianne
Réponse :
44
Arithmétique
Chapitre 1 — Retour
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26 On estime que le volume d’eau total des océans est de 1 340×1012 kl.
Si on considère qu’une goutte d’eau a un volume de 0,05 ml, combien y a-t-il de gouttes d’eau
dans tous les océans de la Terre ? Écris ta réponse en notation scientique.
Réponse :
27 La Lune est située à environ 384 402 000 m de la Terre.
b) Si la Terre était reliée à la Lune par des câbles à bres optiques, on pourrait y envoyer des
courriels. Combien de secondes seraient nécessaires pour expédier un courriel sur la Lune
à la vitesse de la lumière, soit 3×105 km/s ?
RETOUR
a) Il y a sur Terre une longueur totale de 25 millions de kilomètres de câbles à bre optique.
Combien de fois pourrait-on relier la Terre à la Lune à l’aide de ces câbles ?
28 Louise et Mireille, deux microbiologistes, observent des cultures bactériennes. Dans la culture
observée par Louise, il y a 212 bactéries. Dans celle de Mireille, il y en a 215.
Après 5 heures, il y a quatre fois moins de bactéries dans la culture de Mireille, tandis que le
nombre de bactéries de la culture de Louise a doublé. Louise croit que le nombre de bactéries
dans sa culture dépasse maintenant le nombre de bactéries dans la culture de Mireille.
A-t-elle raison ? Justie ta réponse.
Réponse :
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Les nombres réels
Arithmétique
45
Situation-problème
Voyage dans l’espace
Tu participes au tournage d’un lm de
science-ction. Le lm raconte le voyage
de six astronautes à bord d’une navette
spatiale. Le voyage les emmène de la
Terre à la planète Mars, qu’ils explorent
durant deux semaines. Ensuite, ils se
dirigent vers Jupiter où ils passent une
année entière avant de revenir sur Terre.
La navette parcourt 38 000 km en
une heure.
Jupiter
Mars
76×106 km
750×106 km
Terre
En moyenne, 1 700 g de nourriture
permettent de combler les besoins
nutritionnels quotidiens d’une personne.
De plus, chaque astronaute doit boire 2 L
d’eau par jour. On peut prévoir la même
quantité d’eau pour l’hygiène.
Les producteurs du lm te demandent de déterminer les
données quantitatives associées au voyage. Tu dois trouver :
• la distance parcourue par la navette ;
• la durée du voyage ;
• la quantité de nourriture nécessaire ;
• la quantité d’eau nécessaire.
Utilise la représentation du système solaire ci-dessus pour effectuer
les calculs de distances. Le dessin n’est pas à l’échelle.
Note : On considère qu’il y a 365 jours dans une année.
Astuce
Pour saisir des nombres en
e
notation scientique sur un
rd
calculatrice, on note d’abo
la mantisse. On appuie
ou
ensuite sur la touche Exp
de
t
san
EE et on note l’expo
la puissance de 10.
46
Situation-problème
Voyage dans l’espace
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Réponse
Les données quantitatives du voyage dans l’espace
Distance spatiale
parcourue (km)
Durée (années)
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Quantité de
nourriture (Mg)
Quantité d’eau (kl)
Situation-problème
Voyage dans l’espace
47
Situation d’application
Le trapèze rectangle
Adam a tracé un trapèze rectangle. Son ami
Mathieu afrme qu’il est impossible de trouver
l’aire de ce trapèze, étant donné qu’on ne connaît
pas la mesure de la grande base. Adam prétend
le contraire.
15 cm
16 cm
18 cm
Qui a raison ? Justie ta réponse.
Réponse
48
Situation d’application
Le trapèze rectangle
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CHAPITR E
Le calcul
algébrique
2
SOMMAIRE
Rappel........................................................................................... 50
2.1
L’addition et la soustraction d’expressions
algébriques..........................................................................53
2.2
La multiplication de polynômes...................................... 59
2.3
La division d’expressions algébriques ........................... 68
Exercices + supplémentaires...............................................77
Retour sur le chapitre 2 ..........................................................79
Les tableaux blancs (CD1) ................................................... 86
Huit pavés (CD2) ...................................................................... 88
x+1
Une afche carrée de x cm de côté a une aire de x² cm².
Quelle est l’aire d’une afche carrée dont le côté mesure 1 cm de plus ?
Illustre ta réponse.
x
Réponse :
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Le calcul algébrique
Algèbre
49
Rappel
Les composantes d’une expression algébrique
• Les termes sont des quantités qu’on additionne ou qu’on soustrait.
• Dans une expression algébrique, un terme peut être formé d’une partie numérique, le coefcient,
et d’une partie littérale, les variables.
• Une variable est une quantité qui peut changer. Généralement, elle est représentée par une lettre.
• Le coefcient est le nombre qui multiplie la ou les variables. Le signe du coefcient est le signe qui
le précède dans l’expression algébrique.
• Par convention, le coefcient est placé devant les variables écrites dans l’ordre alphabétique.
• Un terme qui ne comprend pas de variables est un terme constant.
L’expression xy 2−3xy−8 comprend trois termes : xy², −3xy et −8.
• Le terme constant est −8.
RAPPEL
• Le coefcient du 1er terme est 1.
• Le coefcient du 2 e terme est −3.
Astuce
Lorsque le coefcient
d’un terme est 1, il
n’est pas nécessaire
de l’écrire.
• Des termes semblables sont des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes
exposants (quels que soient les coefcients). On dit qu’ils ont la même partie littérale.
Les termes 5ab et −23ab sont des termes semblables. Les termes 5ab et −23a2b ne le sont pas.
Les polynômes
• Un monôme est un terme dont tous les exposants sont des nombres naturels.
Par exemple, 4x 2 est un monôme, mais 7x−2 n’en est pas un.
• Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes.
2
Les termes −3xy 3 et x 3 sont des monômes.
3
3
L’expression −4x2y− x+3 est un polynôme.
4
Astuce
sé de deux
Un polynôme réduit compo
un binôme,
monômes est aussi appelé
uit composé
tandis qu’un polynôme réd
trinôme.
de trois monômes est un
• Le degré d’un monôme correspond à la somme des exposants de ses variables. Le degré d’un terme
constant non nul est 0.
• Le degré d’un polynôme correspond au degré le plus élevé des termes qui le composent.
• Par convention, on place les termes d’un polynôme par ordre décroissant de degré.
a
2
Observe le polynôme 5ab2+ −12. Il comprend trois termes de degrés différents :
5ab 2 : degré 3
a
2
: degré 1
−12 : degré 0
a
2
Donc, le degré de 5ab2+ −12 est 3.
50
Algèbre
Chapitre 2 — Rappel
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1
Complète le tableau suivant.
Nombre
de termes
Expression algébrique
Variable(s)
Terme
constant
Degré du
polynôme
a) 5x 2−3x+11
b) 6xy+3x−2y−1
c) 15a+9
d)
3b 2
4
e)
2y 2
1
+6y−
3
2
f) −2p2+pq−q+4
Trouve les deux paires de termes semblables dans chaque série.
a) 9y
−3x
b) 7a3
4a
13x
e) 12xyz
3
−5
−2x 2
c) 4x 2y
d) xy 2
11y 2
4xy
−3a2
5y
6
−3x 2yz
6x
−3
7x
10b3
5
4xy 2
14a2
−8x
−8
9b
7 2
xy
3
−5y 2x
12y 2
6x
5yz
15xz
7xy 2z
11
RAPPEL
2
−2xy
−9xy
3y
−6xz
5y −4xy 2z
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Si un énoncé est faux, corrige-le.
a) Dans le binôme 5x 2−8x, le coefcient du 2e terme est −8.
b) Le coefcient du terme 2x y est 2.
2
5
c) Dans le binôme 5x 2−3y, l’exposant de la variable y est −3.
d) Dans le trinôme 13a2b+7ab−21, le terme constant est 21.
e) Le degré du polynôme 4x 2+3x−15 est 2.
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Le calcul algébrique
Algèbre
51
4
Trouve le degré des polynômes suivants.
a) −16x
b) 5xy
c) −8
d) 15x 2
e) x 2+x
f) 5x+3y−2z+7
g) −8a2b2+ab
h) 7xy+2x−1
i)
5
3 a2
5
+ab+
4
7
j) 3x 2yz2+7x 2y2+2y 2z
Associe chaque polynôme à la description appropriée.
1) 15xy2−8y
2) 22ab+9a−17
5) 11a−7b+6
6) x 2+4x
3) −100a2b2
7) 62x 4y
4) xy3+2xy+x−y
8) 14x 3+5x 2−x+8
a) Trinôme de degré 1
b) Binôme de degré 2
c) Trinôme de degré 2
d) Polynôme à quatre termes de degré 4
e) Binôme de degré 3
RAPPEL
f) Polynôme à quatre termes de degré 3
g) Monôme de degré 4
h) Monôme de degré 5
6
Voici deux conventions d’écriture :
• Dans un monôme, le coefcient est placé devant les variables écrites dans l’ordre alphabétique.
• Les termes d’un polynôme sont placés par ordre décroissant de degré.
Écris les polynômes suivants en respectant ces deux conventions d’écriture.
7
52
a) c∙b2∙(−13)=
b) 6x+x 2−5=
c) 11yx+9x 3=
d) 7xy+4x 2y 2−3x=
e) 8mn+3nm2=
f) 8x−13x 2yz+3zxy=
Trouve la valeur des expressions b), c) et d) de l’exercice précédent, si x=3 et y=−2.
Algèbre
Chapitre 2 — Rappel
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2.1 L’addition et la soustraction
d’expressions algébriques
L’addition et la soustraction de termes semblables
Pour additionner ou soustraire des expressions algébriques, il faut repérer les termes semblables.
• Des termes semblables sont des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes
exposants (quels que soient les coefcients). On dit qu’ils ont la même partie littérale.
Les termes −5x 2y et 7x 2y sont semblables, alors que les termes 3y et −4y 2 ne le sont pas.
• Il est possible d’additionner ou de soustraire des termes uniquement s’ils sont semblables. Il suft
de trouver la somme ou la différence des coefcients.
• Par exemple :
12x+3x=15x
8ab+12ab=20ab
5x 2y+2x 2y=7x 2y
12x−3x=9x
8ab−12ab=−4ab
5x 2y−2x 2y=3x 2y
L’addition et la soustraction de polynômes
Astuce
• Additionner des polynômes, c’est additionner leurs termes.
• Soustraire des polynômes, c’est additionner à un premier polynôme
l’opposé de chacun des termes du second polynôme.
1
(2a+5)+(4a−2)
(5x 2y+3xy 2−4x)+(2x 2y−xy 2−5x)
=2a+5+4a−2
=5x 2y+3xy 2−4x+2x 2y−xy 2−5x
=2a+4a+5−2
=5x 2y+2x 2y+3xy 2−xy 2−4x−5x
=6a+3
=7x 2y+2xy 2−9x
Il faut toujours réduire
une expression algébrique.
(2a+5)−(4a−2)
=2a+5−4a+2
=2a−4a+5+2
=−2a+7
Parmi les termes algébriques suivants, encercle les termes semblables. Additionne-les ensuite.
a) 3x 2
b) 4x 2y
c) 8xy
d) 10a2b
e) 7abc
−4y
2x
15xy
−3y
−2y
6x
13a2
−8ac
−9
7x
−3x
−4xy
14
−8b
−11ab
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11xy
2xy 2
12xyz
13ba2
5y
−8
17ab2
ac
−abd
3
2
2ac
3
Le calcul algébrique
Algèbre
53
2
3
Réduis chacune des expressions suivantes en additionnant les termes semblables.
a) −10a+23a−3−11
b) 4y+5−2y+13
d) 14x 2+8−12x 2−5
e) 11a 2+6a+ a 2−9a
f) −13b+6+8b−4
g) 7xy−3x+9x+10xy
h) 8p 2+2q−7+15p 2
i) 21x−24y 2−6+16y 2
7
2
c) m+m 2−7m−m 2
Effectue les additions de polynômes.
a) (9x+7)+(5x−3)
b) (9x 2+3x−1)+(13x 2−8x+10)
c) (12ab−5)+(8ab+7)
d) (11ab+16a+12)+(14ab−6b+4)
e) (25x 2y+18x)+(14x 2y−3x+4)
f) (13m 2−6m+22n)+(7n 2+13m−10n)
Astuce
Après avoir
enlevé les
parenthèses,
regroupe
les termes
semblables.
54
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.1
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4
Effectue les soustractions de polynômes.
a) (16x+6)−(10x+3)
b) (18a 2+13)−(5a 2−7)
c) (9x 2+7x−3)−(5x 2−3x+2)
d) (12mn−7m+4)−(9mn+3n−8)
Astuce
Souviens-toi
que soustraire
un polynôme,
c’est soustraire
chacun de
ses termes.
5
Effectue les opérations suivantes.
a) (17x+8)−(9x−2)
b) (10x 2−x+2y)+(16x 2+4y−5)
c) (22a 2+15a−5)−(13a 2−8a+7)
d) (31x 2y−12xy)−(25x 2y+21xy−17x)
Exercice
6
Exercice
Effectue les opérations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a) (12x+9)+(19x−4)
b) (19a 2+12)−(8a 2−9)
c) (22x 2+15xy−3)+(9x 2−17xy+6)
d) (10ab+3a−5b)−(7ab−2a+11)
e) (24m 2−n 2)+(18m 2+17n 2−13)
f) (21x 3−16x 2+12x)−(20x 3+9x−25)
g) (32a2b−27b+29a)+(23a2b+31b−22a)
h) (41xy−26y−33)−(36xy+24y)
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Le calcul algébrique
Algèbre
55
7
Mélina a (3x) ans. Sa mère a 4 ans de plus que le double de son âge.
Quelle expression algébrique représente la somme de leurs âges ?
Réponse :
8
Astuce
Consulte les
pages 404 et 405
de la section
pour faire
un retour sur
les principaux
énoncés de
géométrie.
Un triangle a un angle de (4x)° et un angle de (5x+35)°.
Quelle expression algébrique représente la mesure du 3e angle du triangle ?
Réponse :
9
Quelle expression algébrique représente le périmètre des gures suivantes ? Les mesures données
sont en centimètres. Tous les angles qui paraissent droits le sont.
a)
4x−1
x+2
x+1
b)
x
x
5
3x
2x
x
P=
56
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.1
P=
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10 Berthier a (6x+2) $ pour faire ses commissions. Il achète un pain à (2x−3) $ et une boîte de jus
à (3x−7) $.
Quelle expression algébrique représente l’argent qu’il lui reste ?
Réponse :
11 Trois élèves vendent des savons pour nancer un voyage de n d’année. Éric vend (3x) savons.
Daniel en vend trois fois moins qu’Éric. Mariella vend 12 savons de moins que Daniel.
Quelle expression algébrique représente le nombre total de savons vendus par les trois élèves ?
Réponse :
12 Trois amis participent à une compétition de saut en longueur. Justin a gagné la
médaille d’or. Il a franchi une distance de (4x) m. Charles a gagné la médaille
d’argent. Il a franchi 6 m de plus que la moitié de la distance franchie par Justin.
Simon a gagné la médaille de bronze. Il a franchi 2 m de moins que Charles.
Quelle expression algébrique représente la différence entre les distances franchies
par Justin et Simon ?
Réponse :
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Le calcul algébrique
Algèbre
57
13 Liu joue à un jeu de société. Au 1er tour, elle amasse x points. Au 2e tour, elle amasse 12 points de
moins qu’au 1er tour. Au 3e tour, elle obtient le double des points du 1er tour. Enn, au dernier tour,
elle perd 25 points.
Quelle expression algébrique représente le nombre total de points amassés par Liu pendant la partie ?
Réponse :
14 Sur son terrain, Aïcha a planté x arbres. Le tiers des arbres sont des érables et le quart sont
des bouleaux. Le reste des arbres sont des sapins.
Quelle expression algébrique représente le nombre de sapins sur le terrain d’Aïcha ?
Réponse :
6x+5
15 Pendant un camp de ski de fond, François
parcourt six fois le trajet illustré ci-contre.
3x
4x
5x−7
2x+3
3x+2
Quelle expression algébrique représente la distance
totale parcourue par François ? Les mesures données sont en kilomètres.
Réponse :
58
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.1
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2.2 La multiplication de polynômes
La multiplication d’un polynôme par un monôme
• La multiplication est commutative. Ainsi, pour trouver le produit de deux monômes, il faut multiplier
les coefcients et additionner les exposants des variables identiques.
5x∙7x=5∙x∙7∙x
=5∙7∙x∙x
−5x 2∙7xy=−5∙x∙x∙7∙x∙y
=−5∙7∙x∙x∙x∙y
=−35x 3y
=35x 2
• La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction.
Ainsi, pour trouver le produit d’un polynôme par un monôme,
il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme.
3a(4a−2b+5)
2x 2(x 2−3xy+2)
=3a∙4a−3a∙2b+3a∙5
=2x 2∙x 2−2x 2∙3xy+2x 2∙2
=12a²−6ab+15a
=2x 4−6x 3y+4x 2
Astuce
lynôme par
Lorsqu’on multiplie un po
essaire
néc
un monôme, il n’est pas
ltiplication.
d’écrire le symbole de mu
( −1) par
Par exemple, le produit de
( −1).
(5 ) s’écrit simplement 5
La multiplication de deux polynômes
On obtient le produit de deux polynômes en deux étapes :
1. On multiplie chacun des termes du 1er polynôme par chacun des termes du 2e polynôme.
2. On réduit l’expression obtenue.
On cherche le produit des polynômes 2x+4 et x 2−3x+9.
(2x+4)(x 2−3x+9)=2x∙x 2−2x∙3x+2x∙9+4∙x 2−4∙3x+4∙9
=2x 3−6x 2+18x+4x 2−12x+36
=2x 3−2x 2+6x+36
Le carré d’un binôme
En réduisant le développement du carré d’un binôme,
on obtient toujours un trinôme dont :
– le premier terme est le carré du premier terme du binôme ;
– le deuxième terme est le double du produit des
deux termes du binôme ;
– le troisième terme est le carré du deuxième terme
du binôme.
(x+y)2=x 2+2xy+y 2
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(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)
=4x 2 +6x+6x
=4x 2
+12x
Carré
de 2x
Double
de 2x∙3
+9
+9
Carré
de 3
(x−y)2=x 2−2xy+y 2
Le calcul algébrique
Algèbre
59
1
2
60
Effectue les multiplications de monômes.
a) 7x∙4xy=
b) 3a 2∙9abc=
c) 11xy∙(−8xyz)=
d) 6p 2q∙12pq 2=
e) −11ab 2c∙(−12a 2c)=
f) 9xy 2∙8x 2yz=
g) −7xy∙6x 2y 3=
h) −x 2∙x 2∙x=
i) −3x∙(−3x)=
j) 5xy∙5xy=
k) (8a) 2=
l) (10ab) 2=
Effectue les multiplications suivantes.
Algèbre
a) 2(12x 2+15y)
b) 8(a+7b)
c) x(x+1)
d) 2x (x+1)
e) −4y(y+1)
f) −9y(y−1)
g) 6x (4x+5)
h) 6y(12xy+8y)
i) −8x (9y 2+6x)
j) 3x (8x 2−7xy)
k) −6x 2(9xy−7x 2)
l) 5a 2b(6b 2−8ab)
Chapitre 2 — Section 2.2
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3
Effectue les multiplications suivantes.
a) 2x (20x+30y−8)
b) −5x (−5x+y−5)
c) 4y (10xy+15x 2y−4x)
d) 7ab(4a+7b+2)
e) −8x 2(x 2+x+1)
f) −9bc (4b 2+7c 2−9)
g) 4ac (3a 2−5c 2+8ab−10)
h) 3xy (10x 2z)(x+y+z)
Exercice
Exercice
4
Effectue les multiplications suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a) 11(6ab+11b)
b) 8x 2(12xy+8y)
c) −6bc(6bc−5b+4)
d) 5bc∙5ab∙3a 2
e) 0,5b (4a+10b)
f) 7xyz (9x 2+8yz+1)
g) −5b 2c (−6bc−11)
h) −4x (5xy)(x 2+4)
i) 2x ∙ 3y
j)
5
7
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4x 3x
+ 2y −5
5 4
3
(
)
Le calcul algébrique
Algèbre
61
5
62
Effectue les multiplications de polynômes.
Algèbre
a) (x+6)(2x+7)
b) (a+3b)(4a−6)
c) (x+7)(2x+8)
d) (x+9)(3x+4)
e) (3x+6)(x+6)
f) (x 2+3)(3x+12)
g) (3x+5)(3x−5)
h) (3x+5)(3x+5)
i) (x 2−9)2
j) (a+b) 2
Chapitre 2 — Section 2.2
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6
Effectue les multiplications suivantes.
a) (x+1)(x 2+x+1)
b) (x−1)(x 2+x+1)
c) (x+8)(9x 2+3x−1)
d) (a 2+1)(3a 2−2a+12)
e) (a+b)(ab−2b+a)
f) (2x 2+x−4)(x 2+6x)
Exercice
Exercice
7
Trouve le produit des polynômes suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a) (x+8)(4x+9)
b) (8x−5)2
c) (3a+b)(a+6b)
d) (3y 2−4)(y 2+6y−1)
e) (x 2−10)(6x 2+7)
f) (7a−b)2
g) (b+5)(7b−11)
h) (4b−5)(8bc+b−3)
i) (x 2+y)(3x 2−2y)
j) (10x+2y)2
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Le calcul algébrique
Algèbre
63
8
Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des polygones suivants. Les mesures données
sont en centimètres.
3x−2
a)
b)
3x
3x−1
2x+4
A=
A=
5x+3
c)
x+2
d)
x−2
4x
A=
9
A=
Annabelle est architecte. Voici le prol de l’escalier qu’elle a dessiné pour le plan d’une maison.
Si toutes les marches et contremarches sont isométriques, à l’exception de la dernière, qui mesure
1 cm de plus que les autres, quelle est l’aire de la surface représentée dans son dessin ?
x+1
x
x
Contremarche
x
Réponse :
64
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.2
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10 Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire des polygones suivants.
Les mesures données sont en mètres.
3x
a)
x+3
b)
a+4
4x−4
Astuce
2a
3x+7
Pour faire un
retour sur
les formules
d’aire,
consulte la
page 409 de
la section
.
a
3a−3
a
A=
A=
c)
d=y+4
D=3y−2
d)
5b−3
3b+2
A=
6b−1
A=
11 Les deux rectangles ci-dessous ont la même aire. Bianca estime que la valeur de x est de 12 dm.
A-t-elle raison ? Si oui, justie ta réponse. Si non, trouve la valeur de x.
(x−6) dm
(3x−6) dm
(3x−12) dm
(x−5) dm
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Réponse :
Le calcul algébrique
Algèbre
65
12 Quelle expression algébrique représente la différence entre l’aire du carré ci-dessous
et l’aire du cercle qui y est inscrit ?
2r cm
Réponse :
13 Fabiola veut peindre un des murs de son salon. Le mur mesure (3x) m
de hauteur sur (x+4) m de largeur. Elle a recouvert la partie inférieure
du mur avec des lattes de bois verticales de 1 m de hauteur.
Sachant que Fabiola ne peindra pas les lattes de bois, quelle
expression algébrique représente la surface à peindre ?
Réponse :
14 Pour nancer un voyage scolaire, des élèves de 3e secondaire organisent un souper
et un spectacle. Ils ont vendu :
• x billets à y $ chacun pour le souper ;
• (6x+10) billets à (y+3) $ chacun pour le spectacle ;
• (4x) billets à (2y) $ chacun pour le souper et le spectacle.
Quelle expression algébrique représente le montant total amassé par les élèves ?
Réponse :
66
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.2
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15 Miguel veut fabriquer une boîte en carton d’après les dimensions
données ci-contre.
Quelle expression algébrique représente la surface minimale
de carton nécessaire ?
2x cm
(3x−1) cm
(5x−2) cm
Réponse :
Astuce
16 Démontre l’identité suivante.
a 2−b2=(a−b)(a+b)
ntité est une
En mathématique, une ide
ie, quelles que
égalité qui est toujours vra
aux variables.
soient les valeurs données
À l’aide de cette identité, trouve la différence entre 202 et 192 sans calculatrice.
Curi sité
Au l du temps, plusieurs mathématiciens ont travaillé sur les notions algébriques pour qu’elles permettent de résoudre
une panoplie de problèmes plus efcacement qu’en arithmétique.
• Diophante, mathématicien grec du iiie siècle, a représenté
des quantités à l’aide de lettres.
• Al-Khawarismi, mathématicien ayant vécu à Bagdad
au ixe siècle, a jeté les balises de ce qui deviendra les
manipulations algébriques.
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• François Viète, avocat français du xvie siècle, a effectué
des opérations mathématiques sur des quantités
inconnues et a systématisé l’utilisation de lettres pour
représenter des quantités.
• René Descartes, scientique français du xviie siècle, a créé
un langage algébrique abstrait qui comporte la plupart
des notations utilisées encore aujourd’hui.
Le calcul algébrique
Algèbre
67
2.3 La division d’expressions algébriques
La division d’un polynôme par un monôme
• On obtient le quotient de deux monômes en divisant leurs coefcients et en soustrayant
les exposants des variables identiques.
• Le résultat n’est pas toujours un monôme.
Lorsqu’on divise 20x 3 par −4x, où
x ≠ 0, on obtient le monôme −5x 2 :
Lorsqu’on divise 6x par 3x 2, où x ≠ 0,
on obtient l’expression 2x
(qui n’est pas un monôme) :
5
20x 3 20∙x∙x∙x − 2
−4x = −4∙x = 5x
1
2
6x
6∙x
=
= 2x ou 2x−1
3x 2 3∙x ∙x
1
Astuce
Souvienstoi qu’il est
impossible
de diviser un
nombre par 0.
• On obtient le quotient d’un polynôme par un monôme en divisant chacun
des termes du polynôme par le monôme.
• Le résultat n’est pas toujours un polynôme.
2
3
Lorsqu’on divise 4x2−6x par 2x, où
x ≠ 0, on obtient le polynôme 2x−3 :
4x 2−6x 4x 2 6x
= − =2x−3
2x
2x 12x
1
Lorsqu’on divise 8x2−3 par 2x, où x ≠ 0,
3
on obtient l’expression 4x− 2x
(qui n’est pas un polynôme) :
8x 2−3 8x 2
3
3
= − =4x−
2x
2x
2x
2x
1
4
La mise en évidence simple
• La mise en évidence simple consiste à exprimer un polynôme comme le produit de deux facteurs.
C’est un type de factorisation.
• On cherche à mettre en évidence le monôme qui est le plus grand facteur commun à chacun des
termes du polynôme.
On veut factoriser le polynôme 24x 2+15x.
1. Les termes 24x 2 et 15x sont tous les deux divisibles par 3x.
En effet : 24x 2=8x∙3x et 15x=5∙3x
2. On peut donc mettre en évidence le facteur 3x :
24x 2+15x=3x(8x+5)
On peut valider la réponse en développant l’expression obtenue,
c’est-à-dire en effectuant la multiplication :
3x(8x+5)=3x∙8x+3x∙5=24x 2+15x.
68
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.3
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1
Effectue les divisions suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles.
4
a) 30x
5
b) 56y3
3
d) 144y2
e)
36b 9c 4
g) −
6 2
8 2
h) 96b c5 d
6
7y
12y
4b c
2
−121k 7
−11k
12b c
c)
−108 a 7
9a 2
3 2
f) 27x y
3xy
i)
−63x 6yz 2
7x 4yz
Sachant que x ≠ 0, y ≠ 0, effectue les divisions suivantes.
2
a) 24x +16xy
2
b) 42x +21xy
2
c) 72x y+24xy
4
2y
d) 35x−−20x
2
5x
3
e) 56x −y−40xy
8xy
2
f) 90x y+20xy
4
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7x
8y
10xy
Le calcul algébrique
Algèbre
69
3
Effectue les divisions suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles.
2
a 3c
a) 120a +36
2
12a
d)
−45b 2c+25bc 3−15c 2
−5c
4 2
a 3b
g) 24a b −36
2
2a b
4
3q
b) 32p −−44p
4p 2
2
3
c) 75x −45xy+15x
2
2
e) 48a b−30ab
3 3
2 2
2
f) 12x y +6x y −18x y
2
3
4
h) 132xy z+48y z+12z
2 3
2+8z 3
i) 88y z −24yz
2
15x
6 ab
6xy
12yz
8yz
Exercice
Exercice
4
Sachant que les variables sont non nulles, réduis les expressions algébriques suivantes. Utilise
une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
3
2
a) 12x +30x −(x 2+1)
2
b) 6x y+14xy −5(3x−2y)
4 2
3 2
y
c) 63x y −27x
+(8xy−5)
2
3 2
2 2
y
d) 48x y +32x
+(3x−2)2
2
2
e) 36xy z−24xyz −(9y 2+4y−2)
2
2
f) 56xyz −40xz −6z(2y+3)
6x
9x y
6xz
70
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.3
2xy
4xy
8xz
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5
Sachant que a ≠ 0 et b ≠ 0, trouve le terme manquant.
a)
÷(−5b3)=−5b3
b) 14ab 2÷
=7b 2
=6ab 2
d) −42a 8÷
=6a 5
c) 36a 2b 4÷
e) a 6b 5÷
=−a 2b
g) 7a 3b 5÷
=a
6
7
3
h) −81b 4÷
7b
2
÷(24a 5b 4)= a b
i)
÷(−8a 2b)=3a 3
f)
4
=9b 2
÷(27a 4b 2)=− 2
j)
a
Trouve le plus grand facteur commun aux monômes suivants.
a) 8x et 12y
b) 4a 2 et 16 ab 2
c) 8xyz et 10yz
d) 7x 3y 2 et 8x 2y
e) 6xy 2, 9x 4y, 15xyz
f) 20a 3b 2, 25a 5b 3, 15a 2b 2
g) 30pqr, 6p 2r, 18q 2r
h) 18ab 2, 24b 3, 12ab
Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple.
a) 8xz−4x 2
=4
b) 36a3−24a2
2z – 4
= 4 (2z – )
c) 14x 2y−7x
d) −24a3−36a 2b
e) −28x 2y−12xy 2−20xy
f) 54xy 2z−36y 3z
g) 80y 2z 2−20x 5y3z−30y 2z
h) 45a 2b 2c 2+15a3+25abc
i) 21ab3c 2−9a 2b 2c
j) 8a 2b 2−20ab 3+36ab 2
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Le calcul algébrique
Algèbre
71
8
Complète la mise en évidence simple.
a) 12x+18y=
(2x+3y)
b) 3x 2−5x=
(3x−5)
c) 4ab+3ac=
(4b+3c)
d) 5x 2+10x=
(x+2)
f) 2mn−n=
(2m−1)
e) 8abc−12ab=
g) 42de+100e 2=2e
9
(2c−3)
h) −12ab 2+18a 2b=6ab
Trace deux rectangles différents en fonction de l’aire ou du périmètre donné.
a) A=8y
b) A=10y 2
c) P=8y
d) P=10y2
Exercice
Exercice
10 Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple. Utilise une feuille mobile
pour effectuer tes calculs.
72
Algèbre
a) 12x 3−6xy
b) 16a 2b+40ab 2
c) 18x 4y−27x 3y 2
d) 20a 3b 2+40a 2b−30b
e) 45m 5n 3−30m 3n 2
f) 9a 3c+15a 2−12ac
g) 33ab 5c 3−55a 2b 3c 2
h) 25p 5q 3+35p 3q 2−10p 4
i) 12x 6y 2+60x 4y 3−84x 2y 3
j) 28x 3y 4−21x 4y 2+14x 2y 3
k) −28c 5−8c 4+12c 3+20c 2
l) 14x 3y 2+10x 2y 2−16x 3−22x 2
Chapitre 2 — Section 2.3
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
11 Trouve l’expression algébrique associée à la base b de chacune des gures suivantes.
Les dimensions données sont en centimètres.
b
a)
b
b)
3x
3x
c)
5a
b
A=(6x 2+3x) cm2
A=(6x 2+15x) cm2
A=(15a 2+10a) cm2
b
b
d) 4y
e)
4y+1
b
A=(12y 2−8y) cm2
a)
6a
f)
A=(25x 2) cm2
2x
3x
A=(6x 2+4x) cm2
b)
b=
c)
b=
d)
b=
e)
b=
f)
b=
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b=
Le calcul algébrique
Algèbre
73
12 Amayel prépare de la compote de pommes. Elle remplit une casserole dont la capacité est de
(9a 3+15a 2) ml. Amayel transvide ensuite la compote dans de petits pots de (3a 2) ml.
Trouve l’expression algébrique qui représente la quantité de petits pots qu’Amayel peut remplir.
Réponse :
13 Trouve les nombres et les signes d’opération cachés sous les taches.
−16x y 4 8 y 3− x y 2
=8xy 2−4y+1
x2
Réponse :
14 Les gures de chacune des paires suivantes ont la même aire. Trouve l’expression algébrique qui
représente la mesure demandée. Les mesures sont en millimètres.
a)
2x
x
2x−12
d=?
d
b)
h
x
3
x
2
x+20
h=?
d=
74
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.3
h=
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15 L’aire d’un enclos pour animaux de forme rectangulaire est de (2x²+12x) m², où x représente
la moitié de la largeur de l’enclos.
Quelle expression algébrique représente la mesure de la longueur de l’enclos ?
Astuce
Pour t’aider,
fais un schéma
et indiques-y
les dimensions
de l’enclos.
Réponse :
16 Émile crée une mosaïque avec des carreaux de (0,4x) cm de côté. Il doit
couvrir un disque de x cm de rayon et un rectangle de (2x) cm sur (8x) cm.
Quel est le nombre minimal de carreaux nécessaires ?
Réponse :
17 Alba achète un gâteau dont le volume est de (12xy 2) cm3. Elle le coupe en tranches de 3 cm.
Les dimensions du gâteau sont indiquées ci-dessous, où xPn*.
Quelle expression algébrique représente le volume de chaque tranche ?
3 cm
(3x) cm
Réponse :
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Le calcul algébrique
Algèbre
75
18 Jasmine veut planter des eurs sur la moitié de l’espace disponible de son jardin. Au marché,
on vend des bacs de eurs qui couvrent chacun une surface de (50x) cm sur 50 cm.
Quelle expression algébrique représente le nombre de bacs qu’elle doit acheter ?
(5x+3) m
(2x) m
(4x) m
xm
Maison
Réponse :
19 Des timbres carrés sont émis pour rendre hommage aux grands
athlètes du pays. La mesure du côté du timbre (en mm) n’est pas
encore décidée ; elle est désignée par x. On disposera l’illustration
des athlètes sur le carré obtenu en reliant les points situés au tiers de
chaque côté du timbre, comme tu peux le voir sur l’illustration ci-contre.
x
Quelle surface du timbre ne sera pas occupée par l’illustration ?
Réponse :
76
Algèbre
Chapitre 2 — Section 2.3
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Exercices
supplémentaires
Questions à réponses courtes
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 2.1 et 2.2
1
2
Effectue les opérations suivantes.
a) (15x+8)+5(9x−3)
b) 4(12xy+3x)−8(4xy−9x)
c) (18a 3−8a 2−13a)−(22a 3+9a)
d) (9xyz+13xy−3)−4(11xy−4yz+15)
Soit A=−4x , B=2x−3 , C=4y+1 et D=6y .
Quelle expression algébrique réduite équivaut à :
a) B+A−C ?
b) A−(B−C) ?
c) (A−C)−(D+A) ?
d) D(A+B)−DB ?
e) CD−D(B−A) ?
f) A−B2 ?
Section 2.3
3
Effectue les divisions suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles.
4
2
a) 63x +42x
2
b) 64x y−48x
2 3
3
z+36y 2 z
c) 32x y −28y
− 2
2
abc+24bc
d) 54b c−18
−
7x
4y
4
8x
6bc
Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple.
a) 36x 3−18x 2+12x
b) 18x 4−27x 2y
c) 56xyz−40xz
d) 24ab 2+60ab
e) 24a 5b 3+30a 3b−18a 2b 2
f) 36y 2z 4−16y 3z 2+12x 2y 2
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Le calcul algébrique
Algèbre
77
Questions à développement
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 2.1 à 2.3
5
Un quadrilatère a deux angles de 90° et un angle de (6x−10)°.
Quelle expression algébrique représente la mesure du 4e angle du quadrilatère ?
6
Trois amis participent à une course à relais. Philippe parcourt (6x) m. Isabelle parcourt la moitié
de cette distance. Sébastien parcourt 50 m de moins que Philippe.
Quelle expression algébrique représente la distance totale parcourue par les trois amis ?
7
Charlotte veut peindre un mur en forme de trapèze rectangle. La petite
base mesure le tiers de la hauteur. La grande base mesure 3 m de plus
que la hauteur.
3x
Si h=3x, quelle expression algébrique représente la surface à peindre ?
8
Quelle expression représente l’aire de la partie colorée des gures suivantes ?
a)
b)
5
5
x
5
5
5
5
A=
9
x
2x+1
5
5
A=
Combien de rectangles de 2 cm sur x cm faut-il minimalement pour couvrir une surface carrée
de (8x) cm de côté ? La réponse est une expression algébrique.
10 Combien de bols de (3a 2) ml peut-on remplir avec un contenant de (90a 3+36a 2) ml
de yogourt ? La réponse est une expression algébrique.
11 Le bloc d’argile illustré ci-contre a un volume
de (4xy 2+12xy) m3, où yPn.
Trouve l’expression qui représente :
(2y) m
2m
a) le nombre de tranches de 2 m d’épaisseur qu’on peut obtenir.
b) le volume de chaque tranche.
78
Algèbre
Chapitre 2 — Exercices+ supplémentaires
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Retour sur le chapitre 2
Questions à choix multiples
1
Quelle est la somme des termes 9xy 2 et −xy 2 ?
a) −9x 2y 4
2
b) 8x 2y 4
c) 8xy 2
d) 9y 2
Quel est le résultat de l’opération suivante ?
(17a 2−8b 2)−(12a 2−6b 2)
a) 3
3
b) 5a 2−2b 2
c) 3a 2b 2
d) 5a 2−14b 2
Quelle est la forme réduite de l’expression suivante ?
16x 2y−4xy
2xy
(x−5)2+
4
5
6
a) (2x+8y) m
b) (x+y) m
c) (x+8) m
d) (2x+16) m
d) 6xy+x 2+25
2y
Longueur
Quelle est l’aire de la gure ci-contre ?
a) 10,14x 2+7x
b) 10,14x 2+10x
c) 9,57x 2+10x
d) 8,57x 2+7x
x
x+3
2x
3x+2
Un prisme à base carrée de (2x) dm de côté a un volume de (20x 3+16x 2) dm2.
Quel est le rapport du volume au côté ?
10x 3+8x 2
1
b)
10
1
c)
10x 2
1
d)
10x 2+8x
1
Quelle est la forme factorisée du trinôme (20x 2y+12x 2−8x) par la mise en évidence simple ?
a) 4x(5xy+3x−2)
8
c) x 2+25+10xy
L’aire du rectangle ci-contre est de (2xy+16y) m2.
Quelle est la mesure de sa longueur ?
a)
7
b) x 2+18x+27
RETOUR
a) x 2−2x+23
b) 2(10xy+12x−4)
c) x(20y+12)
d) 4x
Marcel a un album photos de x pages. Gérard a un album qui compte le double du nombre
de pages, mais deux d’entre elles sont inutilisables.
Chaque page utilisable de ces albums peut contenir y photos. Si les albums sont remplis, combien
de photos les deux garçons ont-ils en tout ?
a) 3xy
b) 3xy−2y
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c) xy−2
d) 2xy−2y
Le calcul algébrique
Algèbre
79
Questions à réponses courtes
9
Effectue les opérations suivantes. Dans chaque cas, les variables sont non nulles.
a) (3a+9b)(8a−16b)
b) (7x+y)2
3 2
c) 63m n o
d) −2(15xy−10y)−(7xy+5y)
e) (8a 2−5b)(8a 2+5b)
3
2 2
2
f) 42x y−35x2 y +21x y
9mn
7x y
RETOUR
10 Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple.
a) 16x 3y 2−8xy 3
b) 54a 2bc+63ab 2
c) 33a 3b−55ab 2−22a 2b
d) 36x 3y 2z+12x 2z 2
e) 40x 2y 3z 2−60xy 2z 4+80xyz 2
f) 84xy 2z−63xz 2+49y 2z
11 Trouve les polynômes manquants.
a)
+8a 2+6b=15a 2+11b
c) 8a(
80
Algèbre
Chapitre 2 — Retour
)=64a 3−56a 2b
b) 17x+14y−(
d)
4x 2y
)=6x+18y
=7x 2y+5xy+3
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12 Quelle expression algébrique représente le périmètre de la gure suivante ? Les mesures données
sont en centimètres.
x
x
x+2
x
x+3
x
P=
13 Quelle expression algébrique représente l’aire des gures suivantes ? Les mesures données sont
en millimètres.
a)
4x−3
Carré
RETOUR
A=
b)
4x
4x−1
5x+2
Parallélogramme
A=
c)
4x
3x+12
Losange
A=
d)
4x+1
5x+4
Triangle
A=
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Le calcul algébrique
Algèbre
81
Questions à développement
14 Xavier a 4 ans de plus que son frère Étienne. Leur père a 5 ans de moins que le quadruple
de l’âge de Xavier.
Si Étienne a x ans, quelle expression algébrique représente la somme de leurs âges ?
Réponse :
RETOUR
15 Dans la cuisine de Chiang, (4x) personnes
préparent chacune le même nombre
de sushis.
S’il y a (12xy+8x) sushis en tout, quelle
expression algébrique représente le nombre
de sushis préparés par chaque personne ?
Réponse :
16 Catherine a 4 boîtes de jus contenant
(15x 3+6x 2) ml en tout. Elle les transvide
dans des bouteilles individuelles de (3x 2) ml.
Quelle expression algébrique représente
le nombre de bouteilles que Catherine
peut remplir ?
Réponse :
17 Lors d’une braderie, Nima achète y romans
et deux fois plus de bandes dessinées.
Si chaque roman coûte (6x−15) $ et
chaque bande dessinée, (x+10) $, quelle
expression algébrique représente le montant
total de la facture de Nima avant les taxes ?
Réponse :
82
Algèbre
Chapitre 2 — Retour
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18 Zach veut couvrir la boîte ci-dessous avec du papier d’emballage.
Quel polynôme représente la surface minimale de papier nécessaire ? Les mesures données sont
en centimètres.
2x
3x
3x+2
Réponse :
19 Une photo rectangulaire mesure (3x+6) mm sur (6x−15) mm.
Gilbert veut imprimer une photo plus petite.
RETOUR
Sachant qu’il réduit les dimensions de la photo du tiers, quelle
expression algébrique représente l’aire de la nouvelle photo ?
Réponse :
20 Un rectangle et un triangle ont la même aire. Les dimensions du rectangle sont de (3x) m
sur (6x−2) m. La base du triangle mesure (4x) m.
Quelle expression algébrique représente la hauteur du triangle ?
Réponse :
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Le calcul algébrique
Algèbre
83
21 Trois amis vendent du chocolat et du café pour nancer un voyage scolaire. Un sac de café est 4 fois
plus cher qu’une tablette de chocolat.
Élisa vend le même nombre de tablettes de chocolat et de sacs de café. Raphaël vend 3 fois plus
de tablettes de chocolat qu’Élisa, mais autant de sacs de café. Sami vend 5 tablettes de chocolat
de moins que Raphaël et 3 fois plus de sacs de café qu’Élisa.
RETOUR
Sachant que x désigne le nombre de tablettes de chocolat vendues par Élisa et y, le prix d’une
tablette, trouve l’expression algébrique qui représente le montant total d’argent amassé par les
trois amis.
Réponse :
22 Charles et Léa sont membres du club d’athlétisme de leur
école. Ils s’entraînent sur une piste de course circulaire.
Charles court sur la grande piste circulaire, alors que Léa
fait des huit sur les petites pistes circulaires. Lorsque Léa
a effectué 3 fois son parcours, Charles a effectué 3 1 tours
4
du sien.
Lequel des deux coureurs a parcouru le plus de kilomètres ?
Réponse :
84
Algèbre
Chapitre 2 — Retour
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23 Max veut installer un plancher de bois franc dans le corridor de son appartement. Dans l’illustration
ci‑dessous, la surface à couvrir est orangée. Tous les angles qui paraissent droits le sont.
Les mesures données sont en mètres.
Trouve l’expression algébrique réduite qui représente la surface à couvrir.
x
x
z
y
y
x
24 Le périmètre d’une fenêtre rectangulaire est de 3,8 m.
Les propriétaires aimeraient l’agrandir en augmentant
sa longueur et sa largeur de 0,5 m chacune.
Si x représente la largeur initiale de la fenêtre, donne ses
nouvelles dimensions. Trouve ensuite de combien de
mètres carrés la surface de la fenêtre augmentera.
x
P=3,8 m
RETOUR
Réponse :
Réponse :
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Le calcul algébrique
Algèbre
85
Situation-problème
Les tableaux blancs
La compagnie Ô-Tableau fabrique des tableaux blancs effaçables à sec
faits de polycarbonate. Deux modèles sont offerts : le modèle Carré et
le modèle Rectangulaire. Ils sont illustrés ci-dessous. Les illustrations
ne sont pas à l’échelle.
Modèle Rectangulaire
Modèle Carré
Le modèle Rectangulaire a été conçu à partir du plan du modèle Carré.
Sa base mesure 6 cm de plus que le double de la mesure d’un côté du
modèle carré. Sa hauteur mesure 1,5 cm de moins que les 3 de la mesure
4
d’un côté du modèle carré.
De plus, les tableaux rectangulaires sont entourés d’une bordure métallique de 5 cm de largeur.
La compagnie Ô-Tableau prévoit fabriquer 125 tableaux carrés et 180 tableaux rectangulaires.
Elle veut connaître la quantité de polycarbonate et de bordure de métal dont elle aura besoin.
Trouve l’expression algébrique qui représente la surface totale des tableaux à produire, ainsi
que l’expression algébrique qui représente la longueur totale de bordure de métal nécessaire
à la fabrication des tableaux rectangulaires.
86
Situation-problème
Les tableaux blancs
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Réponse
La surface totale des tableaux à produire est de
cm2.
La longueur totale de la bordure métallique des tableaux rectangulaires est de
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Situation-problème
cm.
Les tableaux blancs
87
Situation d’application
Huit pavés
Maryse confectionne un gâteau en forme de pavé (prisme à base carrée)
dont les dimensions, en centimètres, sont indiquées ci-dessous.
Elle coupe ensuite le gâteau
sur la moitié de la longueur,
la moitié de la largeur et la
moitié de la hauteur. Elle
obtient ainsi huit petits
pavés isométriques. Enn,
elle emballe chacun des
pavés dans du papier.
Trouve l’expression
algébrique qui représente la
surface minimale de papier
nécessaire pour emballer
les huit petits pavés.
12x+8
4y
12x+8
Réponse
88
Situation d’application
Huit pavés
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Consolidation : Chapitres 1 et 2
Questions à choix multiples
1
Parmi les triangles suivants, lequel n’est pas un triangle rectangle ?
a)
2
4 cm
3 cm
4
9
c)
8 cm
7 cm
b) 2
8 cm
d)
15 cm
c) − 169
41
b)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
c)
d)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d)
3
121
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Khaled et sa petite sœur ont des tables de chevet faites sur mesure. La hauteur de la table
de Khaled mesure 10 cm de plus que la moitié de celle de sa sœur. Parmi les expressions
algébriques suivantes, laquelle représente la somme des hauteurs des deux tables ?
a) 3 x+10
b) x +10
2
5
b)
17 cm
10 cm
6 cm
Parmi les représentations suivantes, laquelle correspond à l’intervalle [2, 9[ ?
a)
4
8 cm
6 cm
Parmi les nombres suivants, lequel est un nombre irrationnel ?
a)
3
5 cm
c) 10x+ 1
2
2
d) x +5
2
Simplie l’expression algébrique suivante.
(x−4)(2x+5)−4(x2−3x−5)
2x
a) −x+ 9 − 20
2
6
x
b) 3x− 15
c) −x+ 9
2
2
d) −x 3+ 9 x 2
2
Le rectangle ci-dessous a une aire de 10x2−15x. Parmi les paires d’expressions algébriques
suivantes, laquelle peut représenter la base et la hauteur du rectangle ?
A=10x 2−15x
a) 2x et (−5x−3)
b) 2x et (5x+3)
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c) 5x et (2x+3)
d) 5x et (2x−3)
Consolidation : Chapitres 1 et 2
89
Questions à réponses courtes
7
Réduis les expressions suivantes. Trouve ensuite le résultat. Conserve les fractions dans
tes réponses.
a) 33∙3−2=
5
b) 42 =
3
4
d) 22 ∙ 35 =
e)
3
g)
8
9
1
c) (112) 2 =
4
2
(2 ∙3) =
1
2
2
2 3
f) 7 ∙7
=
6
7
h) 2−2∙(25)−3∙27=
5∙ 125=
i)
4 1
2
(57 ) =
8
Écris les nombres suivants en notation scientique ou en notation décimale, selon le cas.
a) 12 300 000 000=
b) 0,000 000 054=
c) 978 060 000 000 000 000=
d) 0,000 000 000 2=
e) 345,52=
f) 0,006 2=
g) 7,654×108=
h) 4,31×10−4=
i) 3,21×10−12=
j) 8,999×1015=
Dans le tableau ci-dessous, coche tous les ensembles auxquels appartiennent les nombres suivants.
N
Z
ID
Q
Qæ
R
a) −2p
b)
−5
9
3
c) − 125
d) 36
9
e)
8
f) 0,6
g) 1,25×107
h) 5,4×10−9
i)
3
−52
10 Place les nombres suivants par ordre croissant.
2,5×10−2
3
−125
3−2
1,8×105
(49)
1
2
Réponse :
90
Consolidation : Chapitres 1 et 2
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11 Réduis chacune des expressions algébriques suivantes.
a) 2(2xy−4x 2y 2)+6xy+9y−3(3xy−6y)
b) 2a 4+6b 5+2a 3−(4−a 4+b 5+12)
c) 4x 2∙2x 2−3x 2(2x 2+4xy)−(5x 3y+2x 4)
d) (4x−3)(2x+1)−(2x−5)2
e)
2(x2+2x)−4x(x 2+x−2)
x
f) (x−3)2+(5x+2)∙(4x−2)−
6x 3
2x 2
12 Trouve le terme manquant dans chaque multiplication.
a)
∙(x−3)=−4x 2+12x
b) 2a∙
=2a2+10a
c) −9x 2−9x=−9x∙
d) 2a2b+6ab+4b=
e) 6a3b−18a2b+12ab=6ab∙
f) 8x 3−4x 2+6x=2x∙
∙(a2+3a+2)
13 Factorise les polynômes suivants.
a) 12x 2y+6xy2+3xy
b) 48a3b5−36a2b3−12ab2+8b2
c) 9x 2y−6xy2−6xy+3x
d) a4b6c5−a3b6c4+a2b4c2
e) x(a+3)−6(a+3)
f) 4x(x+2)2−4x(x+2)
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Consolidation : Chapitres 1 et 2
91
14 Trouve les expressions algébriques qui représentent le périmètre et l’aire des gures suivantes.
Les mesures indiquées sont en centimètres.
a)
(x−1)
b)
(4x−2)
(2x+5)
P=
P=
A=
A=
c)
d)
(3x−2)
(2x+2)
(2x−1)
(5x−3)
92
P=
C≈
A=
A≈
Consolidation : Chapitres 1 et 2
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15 Pour chacune des gures suivantes, détermine l’expression algébrique qui représente la base, b.
a)
b
b)
3x
(9x−7)
P=(22x−8) cm
b
A=(6x 2−4,5x) cm2
b=
b=
16 Simon veut laver les fenêtres extérieures du 2e étage de sa maison. Les fenêtres sont situées
à une hauteur de 8,5 m.
Si le pied de l’échelle est à 3 m du mur, quelle est la longueur minimale
de l’échelle ?
Réponse :
17 L’hélium est l’atome qui a le plus petit diamètre, soit 6,2×10−11 m. Le césium est l’atome qui a
le plus grand diamètre, soit 5,96×10−10 m.
Combien de fois l’atome de césium est-il plus grand que l’atome d’hélium ?
Réponse :
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Consolidation : Chapitres 1 et 2
93
Questions à développement
18 La distance entre la Terre et le Soleil est d’environ 1,5×108 km. La distance minimale entre la Terre
et la planète Mars est de 7,53×107 km.
Combien de fois la planète Mars est-elle plus loin du Soleil que la Terre lorsque les planètes
sont alignées ?
Réponse :
19 La grande diagonale d’un rectangle mesure 20 cm. La mesure de la hauteur est le double de
la mesure de sa base.
Quelle est l’aire du rectangle ?
20 cm
2x cm
x cm
Réponse :
20 Quelles expressions algébriques représentent les dimensions d’un rectangle dont l’aire est
de (24xy) m² et dont le périmètre est de (16x+6y) m ?
Réponse :
94
Consolidation : Chapitres 1 et 2
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(10x−4) cm
21 Francisco veut couvrir le dessus du meuble-lavabo
illustré ci-contre avec des tuiles de céramique carrées
de 2 cm de côté. Quelle expression algébrique
(6x) cm
représente le nombre de tuiles nécessaires ?
(10x−8) cm
lavabo
(6x−4) cm
Réponse :
22 Des scientiques effectuent des recherches sur deux nouveaux types de bactéries. Le nombre de
bactéries de type A double toutes les 2 minutes, alors que le nombre de bactéries de type B triple
toutes les 5 minutes. Les scientiques observent une bactérie de chaque type.
Après une heure, quel type de bactéries sera en plus grand nombre ?
Réponse :
23 La population de la Terre s’élevait à 7,125×109 habitants en 2013. La même année, on dénombrait
3,165×108 habitants aux États-Unis.
Quel pourcentage de la population mondiale habitait aux États-Unis en 2013 ?
Réponse :
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Consolidation : Chapitres 1 et 2
95
Situation-problème
Le voilier
Un voilier moderne comprend
deux voiles : la grand-voile et
le foc. Leurs dimensions sont
représentées par les lettres E, P,
I et J dans l’illustration ci-contre.
Thomas a un voilier dont la base
de la grand-voile mesure 1 m de
moins que le double de la base
du foc. La hauteur de la grand-voile
mesure le quadruple de la base du
foc. Enn, la hauteur du foc mesure
7 m, c’est-à-dire 1 m de plus que le
double de la base de la grand-voile.
P
Foc
Grand-voile
E
J
Thomas désire installer un cordon
lumineux autour des deux voiles.
Quelle sera la longueur minimale
du cordon ?
96
Situation-problème
Le voilier
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I
Réponse
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Situation-problème
Le voilier
97
Situation d’application
Une question de sécurité
Au Québec, les piscines résidentielles
doivent être entourées d’une enceinte
d’au moins 1,2 m de hauteur, an
d'assurer la sécurité des citoyens. Julie a
utilisé 42 m de clôture pour entourer sa
piscine rectangulaire. L’aire de la surface
clôturée est représentée par l’expression
algébrique (2x 2+6x) m, où x correspond
à la largeur du rectangle.
Quelles sont les dimensions de
la surface clôturée ?
Réponse
98
Situation d’application
Une question de sécurité
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CHAPITR E
Les relations
et les fonctions
3
SOMMAIRE
Rappel.........................................................................................100
3.1 Les relations, les fonctions et leurs réciproques ..... 103
3.2 Les fonctions associées aux situations
de proportionnalité (variation directe ou inverse) .... 110
3.3 Les propriétés des fonctions......................................... 116
3.4 Les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
(fonctions afnes) ............................................................ 121
3.5 La modélisation d’une situation..................................... 133
Exercices + supplémentaires............................................ 141
Retour sur le chapitre 3 ....................................................... 143
Sylviculture 101 (CD1) ..........................................................150
Suivre sa courbe (CD2)........................................................ 152
Luc étudie la relation entre la hauteur de la tige d’une plante et l’ombre au sol faite par son feuillage.
Il a compilé des données observées sur plusieurs plantes de différentes hauteurs dans le tableau
ci-dessous.
Quelle est la hauteur de la tige dont la surface ombrée est de 81 cm2 ?
Ombre au sol produite par différentes plantes à 15 h
Hauteur, h (cm)
8
10
12
14
16
Surface ombrée, s (cm2)
24
30
36
42
48
Réponse :
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
99
Rappel
Les situations de variation proportionnelle et leurs représentations
• Une situation de variation proportionnelle (ou de variation directe) est une situation qui se traduit par
une suite de rapports équivalents.
Christiane part en voyage. Sa voiture roule à une vitesse moyenne de 100 km/h. On s’intéresse
à la distance parcourue par le véhicule selon le temps écoulé depuis le départ.
• On peut traduire la situation par la suite de rapports suivants :
100 km 200 km 300 km 400 km
=
=
=
=…
1h
2h
3h
4h
• La règle de cette situation est d=100t.
Distance parcourue selon le temps écoulé
Temps, t (h)
0
1
2
3
…
Distance, d (km)
0
100
200
300
…
Taux unitaire :
100 km/h
Distance parcourue selon le temps écoulé
RAPPEL
Distance (km)
300
En 2 heures,
la voiture parcourt
200 km.
200
100
0
1
1
2
Dans un plan cartésien,
une situation de variation
proportionnelle est toujours
représentée par les points
d’une droite oblique qui
passe par l’origine, (0, 0).
3
Temps (h)
Pour chacune des situations suivantes, complète la table de valeurs et trouve la règle.
a) Marjorie a payé 21 $/h pour faire installer une clôture.
Temps, t (h)
Coût, c ($)
Règle :
b) Peter doit compter 12,5 ml de produit par fenêtre à nettoyer.
Nombre de fenêtres, f
Quantité, q (ml)
Règle :
100
Arithmétique
Chapitre 3 — Rappel
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2
Marc-Olivier est toiletteur pour animaux. Il peut nettoyer un maximum de trois chiens par heure.
Complète la table de valeurs et le graphique. Réponds ensuite aux questions.
Temps, t
(h)
Nombre de
chiens, c
0
0
2
6
Nombre de chiens
Toilettage de chiens
a) Combien de chiens pourrat-il toiletter en une semaine
de 35 h ?
b) Combien de temps prendrat-il pour toiletter 42 chiens ?
3
2
c) Quelle est la règle de cette
situation ?
Temps (h)
Trace les graphiques à l’aide des tables de valeurs suivantes. Coche la case si la variation
est proportionnelle.
a)
1
0
x
y
2
5
5
11
8
16
b)
0
0
x
y
y
4
5
8
10
y
x
x
Variation proportionnelle
c)
0
0
x
y
10
12,5
RAPPEL
3
3
−1,5
4
−2
Variation proportionnelle
5
−2,5
y
d)
0
15
x
y
5
25
8
31
10
35
y
x
x
Variation proportionnelle
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Variation proportionnelle
Les relations et les fonctions
Arithmétique
101
Les tables de valeurs et les graphiques suivants représentent des situations de variation
proportionnelle. Trouve le taux unitaire et la règle dans chaque cas.
a)
Distance parcourue à pied
Curi sité
Le pas a servi d’unité de
longueur dans plusieurs
civilisations anciennes.
Ainsi, 1 pas mesurait
environ 74,3 cm chez les
Babyloniens, 74 cm chez
les Grecs et 73,6 cm chez
les Romains.
b)
Pommes de terre ramassées
à l’aide d’un tracteur
Nombre
de pas, p
Distance, d
(m)
Temps, t (h)
Nombre, n
10
8
4
4 744
25
20
5,5
6 523
32
25,6
6
7 116
Taux unitaire :
Taux unitaire :
Règle :
Règle :
c)
RAPPEL
Température, T (°C)
Évolution de la température
d’un mélange
d)
Quantité, q (g)
4
(5 ; 10,5)
(7, 3 150)
(5, 2 250)
(3 ; 6,3)
Nombre de portions, p
Temps, t (s)
5
Quantité de légumes
par portion de soupe
Taux unitaire :
Taux unitaire :
Règle :
Règle :
Philippe télécharge des photographies de famille. La vitesse de sa connexion Internet est
constante et il peut télécharger en moyenne 9 photographies en 4 secondes.
Combien de temps, en minutes, prendra-t-il pour télécharger 252 photographies ?
Réponse :
102
Arithmétique
Chapitre 3 — Rappel
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3.1 Les relations, les fonctions
et leurs réciproques
Les variables dépendantes et indépendantes d’une relation
• Une relation entre deux variables peut être représentée par des couples, par une table de valeurs,
par un graphique ou par une règle.
• Dans une relation, la variable dépendante est déterminée à partir de la variable indépendante.
• Dans un plan, par convention, on place les valeurs de la variable indépendante sur l’axe des abscisses
(axe x) et celles de la variable dépendante sur l’axe des ordonnées (axe y).
Situation 1
Situation 2
Romain enseigne le ski. Son tarif est de 20 $ la
leçon. D’une semaine à l’autre, ses revenus varient
selon le nombre de leçons qu’il offre.
Sarah lance un ballon de football à son amie.
La distance entre le ballon et le sol est déterminée
par le temps écoulé depuis le lancer.
Variable dépendante : Revenus ($)
Variable dépendante : Distance entre le ballon
et le sol (m)
Variable indépendante : Temps écoulé (s)
Variable indépendante : Nombre de leçons offertes
Nombre de leçons
offertes
Revenus ($)
2
3
40
60
5
7
100 140
Temps écoulé (s)
Distance ballon-sol
(m)
140
120
100
80
60
40
20
1
2
3
1,6
2
2,2
2
Distance entre le ballon et le sol
Distance ballon-sol (m)
Revenus ($)
Revenus de Romain
0
2,0
1,5
1,0
0,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de leçons offertes
0
Dans ce cas-ci, seules les coordonnées des
points dont l’abscisse est un nombre naturel
appartiennent à la relation.
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Temps écoulé (s)
Dans ce cas-ci, les coordonnées de tous les points
qui se trouvent sur la courbe appartiennent à
la relation.
• On dit d’une variable qu’elle est discrète si on peut énumérer toutes ses valeurs (situation 1).
Si ses valeurs appartiennent à un intervalle, la variable est continue (situation 2).
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
103
1
Les tables de valeurs ci-dessous représentent des relations entre deux variables lors de
réactions chimiques.
Dans chaque cas, indique la variable qui correspond à la variable indépendante et celle
qui correspond à la variable dépendante.
a) Temps de réaction selon la quantité de solvant
2
Quantité de
solvant (ml)
12
40
50
70
80
Temps de
réaction (s)
2
1,8
1,4
1,3
1,1
b)
Évaporation de l’eau
Temps (h)
1
11
21
42
55
Quantité d’eau
224 223 222 221 220
(ml)
Variable indépendante :
Variable indépendante :
Variable dépendante :
Variable dépendante :
Pour chacune des relations suivantes, indique la variable qui correspond logiquement à la variable
indépendante et celle qui correspond à la variable dépendante.
a) Maude s’entraîne au lancer du javelot. Elle mesure la distance parcourue par le javelot,
en mètres, selon la vitesse de sa course, en mètres par seconde.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
b) Étienne fait une expérience avec du potassium et de l’eau. Il mesure la chaleur, en joules,
que dégagent des morceaux de potassium de différentes masses, en milligrammes.
Variable indépendante :
3
Variable dépendante :
Dans chaque cas, représente les données recueillies à l’aide d’un graphique.
a)
b)
Hauteur d’une balle qui rebondit
Temps (s)
0
3
6
9
12
Hauteur (m)
6
0
4
0
2
Diamètre d’un vase en terre cuite
Vitesse
(tour/min)
0
50
Diamètre
(cm)
0
2
100 150 200
6
5
8
Curi sité
Un tour de potier est composé d’un plateau rotatif et d’une roue
d’entraînement. Cet outil permet de fabriquer des objets ronds en
argile. Les premiers tours sont apparus il y a plus de 5 000 ans.
104
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.1
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La réciproque d’une relation
• La réciproque d’une relation permet de décrire la variable indépendante à partir
de la variable dépendante.
• La réciproque inverse tous les couples d’une relation : (x, y)  (y, x).
• Le graphique d’une relation et celui de sa réciproque sont symétriques par rapport à la bissectrice
du premier quadrant.
Relation
Relation réciproque
Mesure du côté (cm)
Aire (cm2)
L’aire d’un carré dépend de la mesure de son côté. La mesure du côté d’un carré dépend de son aire.
(4, 16)
(3, 9)
2
0
(9, 3)
(2, 4)
2
2
0
Mesure du côté (cm)
Le point (4, 16) indique que, si le côté mesure
4 cm, alors l’aire du carré est de 16 cm2.
(16, 4)
(4, 2)
Aire (cm2)
2
Le point (16, 4) indique que, si l’aire du carré est
16 cm2, alors son côté mesure 4 cm.
Les fonctions
• Une fonction est une relation qui associe à toutes les valeurs que peut prendre la variable
indépendante, x, une et une seule valeur de la variable dépendante, y.
• On utilise souvent la notation fonctionnelle, f(x), pour désigner la variable dépendante (au lieu de y).
La notation f(x) se lit « f de x ».
Relations
Fonctions
f(x)
f(x)
f(x)
Astuce
x
test
Une relation doit passer le
être
de la ligne verticale pour
ite
une fonction : si toute dro
e en
iqu
ph
verticale coupe le gra
te
au plus un point, alors cet
relation est une fonction.
x
x
f(x)
f(x)
f(x)
x
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x
x
Les relations et les fonctions
Arithmétique
105
1
Encercle les graphiques qui représentent des fonctions.
a)
b)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
2
c)
y
x
f)
y
y
x
x
Clément vérie l’étanchéité d’un sac imperméable à l’aide de capteurs placés à l’intérieur.
Les capteurs mesurent la quantité d’eau, en ml, qui s’inltre dans le sac à partir du moment
où il est submergé dans l’eau.
Au début de l’expérience, le sac est complètement vide. Clément observe que 0,2 ml d’eau
s’inltre dans le sac toutes les 60 secondes.
a) Complète la table de valeurs et le graphique associés à cette expérience.
Quantité d’eau dans le sac
Temps
(min)
Astuce
Cette situation peut
être modélisée par une
fonction dont les couples
sont ( , ( )). Trouver (2)
signie trouver la valeur
de lorsque =2.
Quantité
d’eau (ml)
0
2
3
5
8
b) À l’aide du graphique, trouve
les valeurs suivantes.
f(1)=
f(4)=
f(5)=
f(7)=
f(7,5)=
f(0,5)=
0
c) Si f(x)=1,2, quelle est la valeur de x? Trouve la réponse à l’aide du graphique.
x=
106
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.1
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3
Dans chaque cas, utilise les données du graphique pour tracer le graphique de la réciproque.
Coche la case s’il s’agit d’une fonction.
Réciproque
a) Relation initiale
y
(6, 36)
(−5, 25)
(−4, 16)
(3, 9)
(−1, 1)
(2, 4)
x
Fonction
Fonction
Réciproque
b) Relation initiale
(15, 23)
y
(11, 15)
(10, 13)
(5, 3)
(3, −1)
x
(0, −7)
Fonction
Fonction
Réciproque
c) Relation initiale
y
(1, 30)
(2, 15)
(3, 10)
(5, 6)
(15, 2)
(10, 3)
x
Fonction
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Fonction
Les relations et les fonctions
Arithmétique
107
4
On observe le diamètre d’un ballon de latex goné qu’on a mis dans un réfrigérateur.
Curi sité
À pression constante,
les molécules d’air
froid se déplacent
moins vite et occupent
moins d’espace que les
molécules d’air chaud.
Diamètre du ballon (cm)
a) À l’aide du graphique, complète la table de valeurs associée à cette situation.
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Diamètre d’un ballon
dans un réfrigérateur
Diamètre d’un ballon
dans un réfrigérateur
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temps (h)
b) Complète les énoncés qui décrivent cette relation.
• Le
varie en fonction
.
• Lorsque le ballon est placé dans le réfrigérateur, son diamètre mesure
• Après
5
.
h, le ballon est complètement vide.
Ludmilla observe la relation entre la circonférence, C, d’un cercle et son diamètre, d, en
centimètres. La circonférence est le produit du diamètre et de la constante p : C=pd.
a) Identie la variable indépendante et la variable dépendante.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
b) Représente cette relation à l’aide d’une table de valeurs. Complète ensuite le graphique associé.
Relation entre le diamètre d’un cercle
et sa circonférence
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
c) Cette relation est-elle une fonction ?
108
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.1
Oui
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Non
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6
Jacob vide sa baignoire après avoir pris son bain. La baignoire contient 150 L d’eau au départ et
elle se vide à un rythme constant. Elle est complètement vide après 2 minutes. On s’intéresse à la
quantité d’eau dans la baignoire, en litres, selon le temps, en secondes.
Complète la table de valeurs de cette fonction et celle de sa réciproque. Indique ensuite si
la réciproque est une fonction.
Quantité d’eau dans la baignoire
Réciproque
0
12
75
90
120
La réciproque est-elle une fonction ?
7
Oui
Non
Dans le cadre d’une expérience en science et technologie, Françoise mesure l’ombre d’un poteau
à différentes heures de la journée. Elle a consigné ses données dans le plan cartésien ci-dessous.
Longueur (m)
a) Trace le graphique de la réciproque de cette fonction.
Ombre d’un poteau à différentes
heures de la journée
4
3
2
1
0
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Heure
b) La réciproque est-elle une fonction ?
Curi sité
Il y a plusieurs milliers d’années, on mesurait
l’écoulement du temps grâce à l’ombre d’un
bâton planté dans le sol. La longueur de
l’ombre du bâton permettait de connaître
l’heure. Cette méthode était cependant
inefcace par temps couvert !
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
109
3.2 Les fonctions associées aux situations
de proportionnalité (variation directe
ou inverse)
Le taux de variation
• Le taux de variation, a, entre deux points d’une fonction est le rapport entre la variation des ordonnées
et la variation des abscisses de ces deux points.
• Ainsi, pour deux points (x1 , y1) et (x2 , y2), le taux de variation est le rapport a=
y2−y1
.
x2−x1
Distance (km)
Les déplacements d’Eugen à vélo
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
On cherche le taux de
variation de la fonction
représentée ci-contre.
a=
(5, 50)
(3, 30)
=
Astuce
)
La lettre grecque ∆ (
est souvent utilisée en
la
mathématique pour décrire
s.
eur
val
x
deu
différence entre
∆
Ainsi, on peut écrire a=
∆y
∆x
50−30
5−3
plutôt que a=
=10 km/h
.
∆
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Temps (h)
• Dans l’exemple ci-dessus, le taux de variation indique qu’Eugen se déplace à 10 km/h.
Les fonctions linéaires (ou de variation directe)
• Une fonction linéaire est une fonction qui modélise une situation de variation proportionnelle.
• Ainsi, le taux de variation des points d’une fonction linéaire est toujours constant.
• La règle d’une fonction linéaire est f (x)=ax, où a est le taux de variation.
• Son graphique est une droite oblique passant par (0, 0).
On identie les variables : x : temps (h)
y : salaire ($)
x
y
1
5
2
10
5
1
a= =
3
15
4
20
×3
5
25
×3
10
30
=…= =5
2
6
6
30
Salaire ($)
Laurie gagne 5 $/h lorsqu’elle garde des enfants.
On peut modéliser cette situation par une table de valeurs, un graphique et une règle.
Salaire de Laurie
20
+5
15
+1
+5
10
5
+1
+5
+1
0
1
2
3
La règle de cette fonction est y=5x ou f (x)=5x.
On peut trouver f (6)=5∙6=30  Si Laurie travaille 6 heures, elle gagne 30 $.
110
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.2
4
5
Temps (h)
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Les fonctions de variation inverse
• Une fonction de variation inverse est une fonction dont le produit des variables indépendante
et dépendante est une constante, k.
• Ainsi, pour tous les points (x, y) d’une fonction de variation inverse, on obtient xy=k.
k
• La règle d’une fonction de variation inverse* est f (x)= x , où x>0 et k>0.
• Le graphique d’une fonction de variation inverse est une courbe qui s’approche des deux axes
sans les toucher.
* Il s’agit d’un cas particulier des fonctions rationnelles qui sont étudiées en 4e et 5e secondaire.
Maxime exige 60 $ pour peindre les murs d’une cuisine. Son salaire par heure, y,
varie en fonction du temps, x, qu’il prend pour accomplir la tâche.
x
y
1
60
2
30
3
20
4
15
×3
5
12
÷3
Salaire horaire ($/h)
On peut modéliser cette situation par une table de valeurs, un graphique
et une règle.
Salaire horaire de Maxime
On identie les variables : x : temps (h)
30
(2, 30)
y : salaire horaire ($/h)
6
10
(4, 15)
(6, 10)
(12, 5)
10
k=1×60=2×30=…=6×10=60
La règle de cette fonction est xy=60 ou f (x)=
20
60
.
x
0
10
(20, 3)
20
30
Temps (h)
On peut trouver f (6)=
60
=10.  Si Maxime travaille 6 heures, son salaire est de 10 $/h.
6
• L’image d’une valeur x est la valeur correspondante f(x). Dans l’exemple ci-dessus, l’image de 6
est 10, car f(6)=10.
1
Trouve le taux de variation des fonctions linéaires suivantes.
a)
y
b)
(10, 24)
c)
y
y
x
x
(−14, −6)
(8, −12)
x
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
111
2
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) Le taux de variation entre deux points est le rapport
x2−x1
.
y2−y1
b) La règle d’une fonction linéaire a la forme f (x)=ax.
c) La représentation graphique d’une fonction de variation inverse est
une courbe qui passe par l’origine.
d) Le taux de variation des points d’une fonction linéaire est toujours constant.
e) Pour tous les points d’une fonction de variation inverse, xy=k, où k est non nul.
3
Les fonctions ci-dessous ne sont pas linéaires. Trouve les taux de variation entre les points A et B,
puis entre les points B et C. Réponds ensuite à la question.
a) y
b)
C (3, 27)
y
c)
A (2, 18)
y
B (3, 12)
B (2, 12)
B (5, 4)
C (6, 6)
A (0, 0)
A (1, 3)
C (10, 0) x
x
x
aAB=
aAB=
aAB=
aBC=
aBC=
aBC=
Le taux de variation des points d’une fonction est-il nécessairement constant ?
4
Trouve la règle associée à chaque fonction linéaire. Donne ensuite l’image de −4.
a)
b)
(−3, 9) f(x)
c)
g(x)
x
x
h(x)
(5, 8)
x
(−4, −8)
112
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.2
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5
Trace le graphique associé à chaque règle de fonction linéaire suivante.
4
3
c) t (x)=−2x
a) f (x)= x
b) g (x)=3x
f(x)
g(x)
t(x)
1
1
4
3
1
x
1
x
x
2
e) i (x)= x
7
2
f) j (x)= x
h(x)
i(x)
j(x)
d) h (x)=−
2
5
x
x
x
Exercice
Exercice
6
x
Complète les tables de valeurs des fonctions linéaires suivantes. Utilise une feuille mobile pour
effectuer tes calculs.
x
a) f (x)=−
b) g(x)=6x
4
6
x
f (x)
0
−0,25
10
−1
x
−5
4x
3
c) h (x)=
x
12
−8
3
4
3
15,3
t (x)
0
−1
−0,2
7,2
30
12
0
−2
0,2
0,36
f) n (x)=50x
1
5
0
−6
x
k (x)
e) t (x)=−35x
x
g (x)
0,1
d) k(x)=0,2x
−6
h (x)
−4
1
2
−14
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9
10
−35
9
10
0
x
n (x) −50
20
25
Les relations et les fonctions
50
Arithmétique
113
7
À partir de chacune des règles suivantes, complète la table de valeurs et trace le graphique.
Trouve ensuite f (50).
a) f (x)=
45
x
f (x)
x
Astuce
Souviens-toi
que = pour
tous les points
d’une fonction
de variation
inverse.
b) f (x)=
f (x)
1
3
2
5
3
6
5
15
f (50)=
d) f (x)=
f (x)
f (x)
0,1
4
0,3
6
0,4
f (x)
f (x)
0,6
4
12
1,2
x
x
3
8
0 4
2
1
x
f (50)=
f (50)=
Exercice
Trouve la règle des fonctions de variation inverse associées aux tables de valeurs suivantes.
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a)
x
2
3
5
8
f (x)
60
40
24
15
b)
Règle :
c)
x
h (x)
Arithmétique
x
2
5
6
12
g (x)
0,18
0,072
0,06
0,03
x
0,1
0,5
1,2
2,4
i (x)
24
4,8
2
1
Règle :
2
3
6
20
0,5
1
3
1
6
0,05
Règle :
114
x
0 0,1
Exercice
8
x
0 3
f (50)=
72
x
x
3
8
x
0 5
c) f (x)=
f (x)
f (x)
x
1
9
24
x
Chapitre 3 — Section 3.2
d)
Règle :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
9
Associe chaque représentation à l’une des règles suivantes.
f (x)=4x
a)
b)
y
x
x
y
0
4
c)
x
4
t (x)=−4x
g (x)=4x+4
p (x)= x
x
y
0
0
0
1
1
4
10
2,5
2,5
10
15
3,75
3,75
15
q (x)= 4
d) y
x
10 Les situations suivantes peuvent-elles être modélisées par une fonction linéaire
ou une fonction de variation inverse ? Si oui, trouve la règle.
a) Marguerite part de sa maison pour se rendre à la bibliothèque. Elle marche
à une vitesse constante. Après 20 minutes, elle a parcouru 1,8 km. On
s’intéresse à la distance parcourue par Marguerite, en mètres, selon le
temps écoulé depuis son départ, en minutes.
Fonction linéaire
Fonction de variation inverse
Astuce
Modéliser une situation,
c’est la représenter par un
modèle mathématique.
Autre
Règle :
b) Les organisateurs d’un spectacle étudiant xent le prix des billets à 5,50 $. Pour calculer leur
prot, ils doivent déduire le prix de la location de la salle, soit 500 $, du montant des billets
vendus. On s’intéresse au prot gagné selon le nombre de billets vendus.
Fonction linéaire
Fonction de variation inverse
Autre
Règle :
c) Édouard possède 48 voitures télécommandées. Il veut les ranger dans des bacs en plaçant
le même nombre de voitures par bac. On s’intéresse au nombre de voitures par bac selon
le nombre de bacs disponibles.
Fonction linéaire
Fonction de variation inverse
Autre
Règle :
d) Un musée prépare une exposition. La collection comprend 150 œuvres
d’art de toutes sortes. Le musée souhaite placer le même nombre
d’œuvres dans chaque salle. On s’intéresse au nombre d’œuvres par
salle selon le nombre de salles de l’exposition.
Fonction linéaire
Fonction de variation inverse
Autre
Règle :
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
115
3.3 Les propriétés des fonctions
Décrire une fonction à l’aide de ses propriétés
Une fonction possède des propriétés qui servent à la décrire.
Domaine : l’ensemble des
coordonnées x de tous
les points du graphique.
 [0, 19] h
Image : l’ensemble des
coordonnées y de tous
les points du graphique.
 [−4, 2] °C
Température
extérieure (°C)
On veut décrire la fonction représentée par le graphique ci-dessous.
Température extérieure
selon l’heure de la journée
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
2
4
6
8
10
12
14 16
18
20
Heure
de la
journée
Ordonnée à l’origine : valeur de l’ordonnée lorsque l’abscisse vaut 0.  −2 °C
Abscisse à l’origine : valeur de l’abscisse lorsque l’ordonnée vaut 0.  8 h et 16 h
Maximum : plus grande valeur de la variable dépendante, y.  2 °C
Minimum : plus petite valeur de la variable dépendante, y. −4 °C
Variation : croissance (augmentation), décroissance (diminution) et constance de la variable
dépendante.
 La température est constante à −2 °C de 0 à 6 h. Elle augmente de 6 h à 10 h.
Elle diminue de 10 h à 19 h.
Signe : intervalles du domaine où la variable dépendante, y, est positive et négative.
 La température est négative de 0 à 8 h et de 16 h à 19 h. Elle est positive de 8 h à 16 h.
• Le graphique ci-contre modélise cette situation.
• La règle de la fonction est f(x)=
50
.
x
• Voici les propriétés de la fonction :
Domaine : [2, 5] m. La largeur varie de 2 m à 5 m.
Image : [10, 25] m. La longueur varie de 10 m à 25 m.
Maximum et minimum : la longueur peut être de 25 m
au maximum et de 10 m au minimum.
Variation : la fonction est décroissante. Quand la largeur
augmente, la longueur diminue.
Dimensions de l’entrepôt
Longueur (m)
Un entrepreneur souhaite construire un entrepôt de
50 m2. La largeur du bâtiment doit être de 2 m à 5 m. On
s’intéresse aux dimensions possibles de l’entrepôt.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
(2, 25)
(5, 10)
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Largeur (m)
Signe : la fonction est positive. La longueur a toujours une valeur positive.
Dans l’exemple ci-dessus, l’image de 2 est 25, car f (2)=25 m : lorsque la largeur est de 2 m,
la longueur est de 25 m.
116
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.3
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1
Indique le domaine et l’image des fonctions suivantes.
a)
y
b)
(4, 8)
c)
y
x
x
x
(12, −2)
(−6, −5)
(−3, −6)
Domaine :
Domaine :
Domaine :
Image :
Image :
Image :
d) y
e) y
(1, 54)
f) y
(2 ; 12,5)
(4, 13)
(2, 27)
(3, 18)
(5, 5)
x
Domaine :
Image :
(10 ; 2,5)
(13, 4)
x
Domaine :
(26, 2)
x
Domaine :
Image :
Image :
Observe le graphique. Entoure les énoncés qui sont vrais.
Altitude (m)
2
y
Altitude d’un oiseau par rapport au niveau de la mer
(10, 40)
(100, 35)
(30, 15)
(20, 10)
(36, 0)
(40, −1)
(120, 0)
(82,5 ; 0)
(80 ; −0,5)
Temps (min)
a) Le domaine de cette fonction est [0, 120] min et son image est [−1, 40] m.
b) Les abscisses à l’origine indiquent les moments où l’oiseau se trouve au niveau de la mer.
c) L’altitude maximale de l’oiseau est de 100 m.
d) L’altitude de l’oiseau est toujours décroissante.
3
On s’intéresse à la relation entre le périmètre d’un carré, P (x), et la mesure d’un de ses côtés, x.
a) Quelle est la règle de cette fonction ?
b) Quel est le domaine de cette fonction ?
c) Est-ce que cette fonction peut être négative ? Explique ta réponse.
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
117
y
4
Trace le graphique de la fonction décrite ci-dessous.
• Le domaine de la fonction est [−3, 7].
• L’image de la fonction est [0, 5].
• La fonction est décroissante sur tout son domaine.
• L’ordonnée à l’origine est 3,5.
x
• Le graphique de cette fonction est un segment
de droite.
5
Maryse cuisine de petits biscuits pour une fête d’anniversaire. Elle utilise une plaque de cuisson
pouvant contenir 12 petits biscuits. Sa recette permet de remplir 15 fois la plaque. Elle veut
distribuer la totalité des biscuits aux invités et s’attend à recevoir de 12 à 36 personnes.
a) Complète la table de valeurs et trace le graphique de cette fonction.
Fête d’anniversaire
12
15
Nombre de biscuits
Nombre
Nombre de
d’invités biscuits par invité
Fête d’anniversaire
18
20
2
30
0
36
3
Nombre d’invités
b) Quelle est la règle de cette fonction ?
c) Indique le domaine et l’image de cette fonction. Que peut-on déduire de ces propriétés ?
Domaine :
Image :
Explication :
d) Indique le maximum et le minimum de cette fonction. Que peut-on déduire de ces propriétés ?
Maximum :
Minimum :
Explication :
e) Quel est le signe de la fonction ? Explique ta réponse.
118
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.3
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
6
Trace la fonction à l’aide des propriétés suivantes.
• Domaine : [0, 20] h
• Image : [−8, 1] °C
• Le graphique est une
ligne brisée.
• Les points (4, −1) et
(9, −8) font partie du
graphique.
• La fonction est
croissante de 0 h à 4 h
et de 12 h à 18 h.
• La fonction est
décroissante de 4 h à
9 h et de 18 h à 19 h.
Variation de la température
d’une pièce de métal
1
2
• La fonction est
constante de 9 h à
• Maximum atteint à : 18 h 12 h et de 19 h à 20 h.
• Ordonnée à l’origine :
−5 °C
7
• La fonction se termine
à (20, 0).
Indique l’abscisse à l’origine et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes.
a)
b)
c)
1
1
1
1
1
1
8
Abscisse à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Ordonnée à l’origine :
Ordonnée à l’origine :
Ordonnée à l’origine :
Pour se remettre en forme, Théo fait de la marche d’intensité moyenne. Il dépense en
moyenne 120 calories par 30 minutes de marche. On s’intéresse à la relation entre
le temps de marche quotidien, en minutes, et la dépense calorique, en calories.
Sachant que Théo marche de 40 à 60 minutes par jour, trouve la règle, le domaine
et l’image de cette fonction.
Astuce
Pour t’aider à visualiser
cette fonction, trace
son graphique.
Réponse :
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
119
9
En prévision d’une fête de quartier, Léonie achète 45 contenants de 4 L de jus. On attend
de 20 à 60 familles.
Trouve la règle qui permet de calculer la quantité de jus disponible par famille présente à la fête.
Décris ensuite le domaine, l’image, le maximum, le minimum et la variation de la fonction.
10 Marc fabrique des coussins décoratifs. Il lui reste une
certaine quantité de tissu. Le graphique ci-contre présente
la relation entre la surface des coussins et le nombre de
coussins que Marc peut fabriquer.
a) Cette fonction est-elle linéaire ou de variation inverse ?
Nombre de coussins
Réponse :
b) Quel est le domaine et que représente-t-il dans
le contexte ?
Nombre de coussins possibles
selon leur surface
(10, 81)
(18, 45)
10
0
3
Surface du coussin (dm2)
c) Quelle est l’image et que représente-t-elle dans le contexte ?
d) Quelle est la règle de cette fonction ?
120
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.3
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3.4 Les fonctions polynomiales
de degré 0 ou 1 (fonctions afnes)
La fonction afne
• Une fonction afne est une fonction dont le taux de variation, a, est constant. Elle peut être
représentée par une droite.
• La règle d’une fonction afne est f (x)=ax+b, où a est le taux de variation et b est l’ordonnée
à l’origine (la valeur de y quand x=0). Les paramètres a et b sont des nombres réels.
Frank se rend en voiture chez son ami Daniel. Il lui reste 60 km à parcourir et il roule à une
vitesse de 90 km/h. On s’intéresse à la relation entre le temps écoulé en minutes, x, et la
distance à parcourir en km, f (x).
Distance à parcourir
+10
+10
+10
+10
f (x)
70
x
0
10
20
30
40
Ordonnée à l’origine
f (x)
60
45
30
15
0
60
−15
−15
−15
−15
50
(10, 45)
−15
3
40
−
a=
=
km/min
10
2
30 −
30
b=60
3
3
Règle : y=− x+60 ou f (x)=− x+60
2
2
Frank doit encore parcourir 60 km et cette distance
3
diminue de km par minute.
2
20
10
0
+20
(30, 15)
Astuce
Pour faire
un retour
sur le taux
de variation,
consulte
la page 110.
10 20 30 40 50 60 x
3
2
f (16)=− ∙16+60=36  Après 16 minutes, il lui restera 36 km à parcourir.
Cas particuliers
• Une fonction linéaire est une fonction afne dont l’ordonnée à l’origine est zéro (b=0).
Son graphique est une droite oblique (si a ≠ 0).
• Une fonction constante est une fonction afne dont le taux de variation est nul (a=0).
Son graphique est une droite horizontale.
• Le graphique d’une fonction afne f (x)=ax+b, où a ≠ 0 et b ≠ 0, est une droite oblique qui passe
par le point (0, b).
Fonctions linéaires (b=0)
y
x
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Fonctions constantes (a=0)
y
Fonctions afnes où a ≠ 0 et b ≠ 0
y
x
x
Les relations et les fonctions
Arithmétique
121
La règle d’une fonction afne
• Pour énoncer la règle d’une fonction afne, il faut connaître le taux de variation, a, et l’ordonnée
à l’origine, b.
On cherche la règle de la droite qui passe par les points (3, 1) et (5, 7).
1) On cherche le taux de variation* à l’aide des
deux points.
Ainsi, on connaît le début de la règle f (x)=ax+b.
2) On cherche l’ordonnée à l’origine à l’aide d’un
des points qu’on connaît.
On peut choisir un point au hasard.
a=
∆y
7−1
6
=
= =3
∆x 5−3 2
Donc, f (x)=3x+b
En remplaçant x par 3 et f (x) par 1, on
obtient :
f (x)=3x+b  1=3∙3+b
1=9+b
−8=b
3) On écrit la règle de la forme f (x)=ax+b.
f (x)=3x−8.
* Lorsqu’on connaît le taux de variation, on passe à l’étape 2).
Jordi, Raphaëlle et Rosalie vont cueillir des bleuets. À la n de la
cueillette, on pèse leurs paniers pour établir le montant que chacun doit
payer. Le tableau ci-dessous présente cette situation.
Trouve la règle qui permet de calculer le montant à payer, f (x), en fonction
de la masse du panier, x.
Taux de variation :
Cueillette de bleuets
Jordi
Raphaëlle
Rosalie
Masse du
panier (kg)
2
2,8
2,3
Montant à
payer ($)
8,50
12,50
10,00
À partir du tableau, on obtient les points
(2 ; 8,50), (2,8 ; 12,50) et (2,3 ; 10,00).
1
a=
∆y
12,5−8,5
4
=
= =5 $/kg
∆x
2,8−2
0,8
Ordonnée à l’origine :
f (x)=5x+b  8,5=5∙2+b
8,5=10+b
−1,5=b
La règle de cette fonction est f (x)=5x−1,5.
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) Une fonction linéaire est une fonction afne où a=0.
b) Une fonction afne passe toujours par l’origine.
c) La fonction f (x)=0 est une fonction constante.
d) Une fonction afne peut avoir une ordonnée à l’origine négative.
e) Une fonction linéaire n’a aucune ordonnée à l’origine.
122
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.4
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2
Indique le taux de variation, a, et l’ordonnée à l’origine, b, de chacune des fonctions suivantes.
Représente-les ensuite dans le même plan cartésien.
a)
i (x)=−3x+1 a :
b:
b:
j (x)=−2x+1 a :
b:
b:
k (x)=−x+1
b:
f (x)=3x+1
a:
b:
g(x)=2x+1
a:
h(x)=x+1
a:
b)
a:
y
y
1
1
0
0
x
1
x
1
c) Lorsqu’on ne tient pas compte du signe de a, quel est le lien entre la valeur de a et l’inclinaison
de la droite ?
d) Quel est le lien entre le signe de a et la croissance ou la décroissance d’une fonction ?
3
Les fonctions f (x)=3x et g(x)=x+3 peuvent être représentées graphiquement par une droite.
Que représente le nombre 3 dans chacune des fonctions ?
4
Indique si a>0, a<0 ou a=0.
a)
b)
y
x
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c)
y
x
d)
y
x
Les relations et les fonctions
y
x
Arithmétique
123
5
Trace le graphique de chaque fonction afne à l’aide de sa table de valeurs.
Trouve ensuite la règle de la fonction.
a)
x
f (x)
−4
−2
−3
−1
−2
−1
0
0
1
2
f (x)
Astuce
1
Vérie la règle
trouvée avec un
couple donné.
1
x
1
x
2
x
Réponse :
b)
x
−5
−3
−1
g (x)
4,5
3,5
2,5 1,5
1
3
g (x)
0,5
1
Réponse :
c)
−3 −1
h (x) −10 −6
x
1
−2
3
5
2
6
h (x)
2
Réponse :
Exercice
6
Exercice
Utilise une feuille mobile pour effectuer l’exercice suivant. Trouve la règle d’une fonction afne :
a) qui a un taux de variation de 5 et qui passe par (0, 1).
b) qui passe par (2, 5) et (4, 6).
c) qui passe par (0, 8) et (4, 0).
d) qui a le même taux de variation que y=3x+5, mais qui passe par (1, 4).
124
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.4
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7
Complète la table de valeurs associée à chaque fonction afne représentée ci-dessous.
Trouve ensuite sa règle.
a)
x
i (x)
i (x)
12
x
5
Réponse :
b)
x
j (x)
j (x)
1
x
4
Réponse :
c)
x
k (x)
k (x)
0,5
x
0,2
Réponse :
Exercice
Exercice
8
Trouve la règle des fonctions suivantes.
a)
x
f (x)
2
4,5
5
4,5
8
4,5
12
4,5
b)
50
40
30
Droite passant par
les points (−125, −8)
et (375,5 ; −8).
20
10
0
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
c)
f (x)
20
40
60
80 100 120 x
Les relations et les fonctions
Arithmétique
125
9
La règle d’une fonction est y=2x+b. Trouve la valeur de b si la droite passe par le point indiqué.
a) (4, 2)
b) (−3, 5)
c) (2, −6)
b=
b=
b=
d) (−1, −3)
b=
10 La règle d’une fonction est y=ax+3. Trouve la valeur de a si la droite passe par le point indiqué.
a) (2, 1)
1
c) (− , 4)
b) (5, 0)
a=
d) (2, 100)
3
a=
a=
a=
11 Dans chaque cas, détermine la règle de la fonction afne associée à la table de valeurs.
a)
b)
1
y −1
x
3
10
15
20
x
2
4
7
35
55
75
y
5
0
Règle :
126
Arithmétique
c)
Chapitre 3 — Section 3.4
Règle :
6
8 10
−5 −10 −15
x
0
100 200 300 400
y 200 220 240 260 280
Règle :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
12 Lysanne adhère au forfait « transactions illimitées » de son
institution nancière. Elle paie 7,75 $ par mois pour l’ensemble
des transactions effectuées durant cette période.
On s’intéresse au montant des frais payés selon le nombre de
transactions effectuées. Dénis les variables, écris la règle et
trouve le domaine et l’image de la fonction associée à cette
situation. Trace ensuite le graphique.
x:
f (x) :
Règle :
Domaine :
Image :
13 Pour chacune des fonctions suivantes, dénis les variables, écris la règle
associée et trouve le domaine et l’image de la fonction.
a) Lorsque Paul vide sa piscine, la quantité d’eau dans la piscine varie
en fonction du temps selon le tableau suivant. La vidange dure 2 h.
Temps (min)
Quantité d’eau (L)
0
10
20
40
60
60 000 55 000 50 000 40 000 30 000
x:
Règle :
Astuce
phique
Trace une esquisse du gra
le
pour t’aider à déterminer
domaine et l’image.
f (x) :
Domaine :
Accumulation de pluie
dans un pluviomètre
Quantité de
pluie (ml)
b) De nouvelles précipitations s’accumulent dans
un pluviomètre qu’on a oublié de vider après
la dernière pluie. Les précipitations durent 2 h.
Image :
(60, 12)
4
0 10
Temps (min)
x:
Règle :
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f (x) :
Domaine :
Image :
Les relations et les fonctions
Arithmétique
127
14 Une expérience consiste à laisser tomber
une feuille et à noter après combien de
temps elle atteint le sol. La feuille est
placée à une hauteur de 85 cm et elle
touche le sol après 4 secondes. On
s’intéresse à la relation entre la hauteur de
la feuille (cm) et le temps de la chute (s).
Curi sité
La vitesse d’un objet en chute libre ne dépend pas de sa
masse, mais bien de l’accélération de l’objet due à la force
gravitationnelle de la Terre. Ainsi, en l’absence du frottement
de l’air, deux objets de masses différentes qui se trouvaient à
la même hauteur devraient atteindre le sol en même temps.
a) Trouve le taux de variation de cette fonction. Que représente-t-il ?
b) Quelle règle représente cette fonction ?
c) Que représentent l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine dans ce contexte ?
Ordonnée à l’origine :
Abscisse à l’origine :
15 Gloria observe la température de l’eau dans laquelle elle ajoute des glaçons à toutes les
30 secondes. Elle a noté les données dans le tableau ci-dessous. Malheureusement, un glaçon
a fondu sur son papier et certaines données ne sont plus lisibles.
Cette situation peut être représentée par une fonction afne. Trouve la règle, complète la table
de valeurs et trace le graphique de cette fonction.
Nombre
de glaçons
Température
(°C)
0
15
3
6
9
12
15
18
Température de l’eau
Température (°C)
Température de l’eau
15,0
14,7
14,4
14,1
13,8
13,5
13,2
12,9
12,6
12,3
0
12,3
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Nombre de glaçons
Réponse :
128
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.4
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16 La hauteur d’une bougie de 24 cm qui brûle diminue de 3 cm par heure.
a) Quelle règle représente la relation entre la hauteur de la bougie et le temps écoulé ?
b) Quel est le taux de variation de cette règle et que représente-t-il ?
c) Quelle sera la hauteur de la bougie si elle brûle durant 6 heures ?
17 Pour aider les plus démunis, les élèves de la classe de madame Cloutier tricotent des écharpes.
Un élève tricote en moyenne 20 cm de longueur en 30 min.
Hier, Annie, Zuri et Guillaume ont complété 1 m, 1,50 m et 50 cm de leur écharpe respective.
On s’intéresse à la relation entre le temps que chacun prendra aujourd’hui pour terminer le
tricot (h) et la longueur nale de l’écharpe (m).
a) Trouve les règles des trois fonctions qui représentent la longueur des écharpes d’Annie, de Zuri
et de Guillaume. Trace ensuite le graphique des trois fonctions dans le plan cartésien.
Astuce
Identie
chacune des
droites de ton
graphique.
b) Que représente le taux de variation a trouvé en a) pour chacune des règles ci-dessus ?
c) Il existe un lien entre le taux de variation des droites et leurs positions relatives (droites
parallèles, perpendiculaires ou sécantes). Quel est ce lien ?
d) Quelle sera la longueur de l’écharpe de Guillaume s’il tricote aujourd’hui durant 1 heure et demie ?
e) La longueur nale de l’écharpe de Zuri est de 2 m. Durant combien d’heures a-t-il
tricoté aujourd’hui ?
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
129
18 Noémie partira en voyage dans 12 semaines. Le voyage coûtera 1 250 $ et elle a déjà épargné
175 $. Noémie veut mettre de côté un montant d’argent xe chaque semaine pour accumuler
la somme manquante.
a) Combien d’argent Noémie doit-elle mettre de
côté chaque semaine durant les 12 semaines
restantes pour couvrir les frais du voyage ?
Arrondis ta réponse à l’unité près.
Réponse :
b) Quelle règle représente la relation entre le montant d’argent
économisé en dollars, f (x), et le temps en semaines, x ?
c) Après combien de semaines Noémie aurat-elle économisé la moitié du montant
nécessaire pour faire ce voyage ? Trouve
la réponse à l’aide de la règle trouvée en b).
Réponse :
19 Erica repeint le salon et la salle à manger de sa maison. La surface totale à peindre est de 48 m 2.
Erica a déjà peint le douzième de la surface totale. Elle travaille à un rythme de 8 m2 par demi-heure.
Trace le graphique de la relation entre la surface peinte et le temps nécessaire pour terminer le travail.
À l’aide de la règle, trouve ensuite combien de temps il faudra à Erica pour terminer son travail.
Réponse :
130
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.4
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20 William est biologiste. Il a placé des émetteurs sur trois cerfs de Virginie et il note la distance totale
parcourue par chacun durant les mois d’hiver. Les graphiques suivants présentent les données
recueillies par William.
2
0
(5 ; 15,5)
2
1
Temps (j)
0
Déplacement du cerf 3
Distance (km)
(3 ; 7,2)
Déplacement du cerf 2
Distance (km)
Distance (km)
Déplacement du cerf 1
(6, 15)
2
1
Temps (j)
0
1
Temps (j)
William doit comparer les données recueillies aux jours 20 et 45 de l’étude. Quelle sera la distance
parcourue par chaque cerf durant chacune des journées ?
Réponse : Cerf 1 :
Cerf 2 :
Cerf 3 :
21 Cinq amis partent en randonnée. Ils ont
rempli un sac de 4 L de fruits séchés et
de noix à partager durant la journée.
S’ils mangent chacun en moyenne 125 ml
du mélange par heure, combien de temps
faudra-t-il pour que le sac soit vide ?
Trouve la réponse à l’aide d’une équation.
Réponse :
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
131
22 Véronique observe deux actions dont la valeur varie en fonction du temps tout au long d’une
journée de travail de 8 heures. L’action ABC a débuté la journée à 3,33 $. Deux heures après
l’ouverture des marchés, elle vaut 4,41 $.
L’action DEF valait les deux tiers de l’action ABC au début de la journée. Trois heures après
l’ouverture des marchés, elle vaut 4,05 $.
Si les valeurs des actions augmentent de façon constante, quel sera l’écart entre les valeurs
des actions ABC et DEF à la n de la journée ?
Réponse :
23 Les bénévoles d’un organisme communautaire préparent des paniers de Noël. En moyenne, une
personne peut compléter 4 paniers par heure. Le graphique ci-dessous représente la relation entre
le nombre de paniers préparés et le temps écoulé (h).
Trouve la règle qui représente cette fonction. Détermine ensuite combien de bénévoles ont préparé
les paniers.
Nombre de paniers
Paniers de Noël
(3, 319)
(1, 143)
100
0
1
Temps de travail (h)
Réponse :
132
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.4
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3.5 La modélisation d’une situation
Le nuage de points et la courbe la mieux ajustée
• Les données associées aux variables d’une situation forment un nuage de
points dans le plan cartésien.
Astuce
• Dans certains cas, les points obtenus révèlent une régularité ou une tendance
certaine. On peut alors décrire cette tendance par une fonction.
La ligne droite
est également
considérée comme
une courbe.
• La courbe la mieux ajustée au nuage de points permet de déterminer
la fonction qui modélise la situation.
• La courbe et la fonction permettent d’estimer des valeurs pour lesquelles
on ne dispose pas de données.
Le nuage de points ci-contre présente les
données recueillies.
1. Les points ainsi placés semblent être alignés.
Refroidissement de l’eau
dans une tasse
Température (°C)
On observe le refroidissement de l’eau dans une tasse. La
température initiale de l’eau est de 45 °C. On mesure ensuite
sa température toutes les 10 minutes, pendant 50 minutes.
Pour tracer la droite la mieux ajustée au nuage de points :
– on suit l’inclinaison suggérée par les points ;
y −y
20−40 −20 −2
a= 2 1 =
=
=
x2−x1
60−10
50
5
2
−
y=ax+b  40= ∙10+b
5
40=−4+b
b=44
2
−
Règle : y= x+44
5
30
20
10
20 40 60 80 100 120
Temps écoulé (min)
Refroidissement de l’eau
dans une tasse
Température (°C)
La droite passe par les points (10, 40) et (60, 20).
40
0
– si possible, on place la droite au centre du nuage, de
manière qu’il y ait autant de points de chaque côté.
2. On peut trouver la règle de cette fonction à l’aide de deux
points de la droite tracée.
50
50
40
Interpolation
30
20
Extrapolation
10
0
20 40 60 80 100 120
Temps écoulé (min)
3. À l’aide du graphique ou de la règle, on peut estimer d’autres valeurs :
– Après 15 minutes, la température de l’eau est de 38 °C.
– Après 90 minutes, la température est de 8 °C.
• Estimer par interpolation, c’est trouver une valeur à l’intérieur du nuage de points.
• Estimer par extrapolation, c’est trouver une valeur à l’extérieur du nuage de points.
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
133
Le nuage de points ci-contre présente les données recueillies.
Temps de nettoyage
par équipe
Temps (min)
Des élèves forment des équipes pour nettoyer le terrain de leur
école. Ils divisent le terrain en zones de 600 m2. Le nombre
d’élèves par équipe peut varier. On s’intéresse au temps pris par
chaque équipe pour effectuer le nettoyage.
1. Les points ainsi placés semblent décrire la courbe d’une
fonction de variation inverse, y= kx ou xy=k.
Pour s’en assurer, on trouve les produits xy de chaque couple
donné.
2×30=60
4×12=48
4×15=60 4×16=64
5×12=60
6×11=66
6×9=54
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre d’élèves dans l’équipe
7×9=63
2. On peut trouver la règle de cette fonction à l’aide des produits
xy trouvés :
Temps de nettoyage
par équipe
Temps (min)
Si les produits se ressemblent, on peut modéliser la situation
par la fonction y= kx ou xy=k.
– La moyenne des produits trouvés est de 59,375.
– Puisqu’il s’agit d’une estimation, on arrondit cette moyenne
pour faciliter les calculs : k=60.
Règle : y= 60
x
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre d’élèves dans l’équipe
3. À l’aide du graphique ou de la règle, on peut estimer d’autres valeurs :
– Par interpolation : une équipe de 3 élèves prendra 20 minutes pour nettoyer sa zone.
– Par extrapolation : une équipe de 10 élèves prendra 6 minutes pour nettoyer sa zone.
• La validité du modèle mathématique associé à un nuage de points est plus able lorsque la tendance
est claire.
• Les valeurs obtenues par extrapolation sont toujours moins certaines que celles obtenues par interpolation.
Observe le graphique ci-contre. Indique si chacune des conclusions
suivantes est valide. Justie ta réponse.
80
a) La fonction d’équation f (x)= est appropriée pour ce nuage
x
de points.
b) On peut estimer que f (2 000)=0,04.
Durée des travaux
Temps (h)
1
64
48
32
16
0
4 8 12 16
Nombre d’ouvriers
c) Il est impossible que 8 ouvriers prennent 7 heures pour ce travail.
134
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.5
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
2
Pour chaque nuage de points, trace la courbe la mieux ajustée au nuage de points. Identie ensuite
le type de fonction : fonction afne (non linéaire), linéaire ou de variation inverse.
a)
b)
f (x)
f (x)
2
0
c)
4
1
0
x
d)
f (x)
3
x
1
x
f (x)
1
0
1
1
1
0
x
Dans chaque cas, détermine quelle courbe est la mieux ajustée au nuage de points.
a)
b)
f (x)
f (x)
y1
y3
y3
1
0
1
y2
1
Réponse :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
x
y1
0
y2
1
x
Réponse :
Les relations et les fonctions
Arithmétique
135
4
Dans la table de valeurs ci-dessous, on a noté la distance parcourue à différents moments
d’un trajet en voiture.
Distance parcourue
en voiture
Temps (min)
Distance (km)
5
8
10
15
15
24
20
31
25
37
30
44
35
52
Distance parcourue (km)
a) Représente les données par un nuage de points. Trace ensuite la courbe la mieux ajustée
au nuage de points.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Distance parcourue
en voiture
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Temps (min)
b) Estime la distance parcourue après une heure de voyage.
Réponse :
c) Estime la durée totale du trajet si la distance à parcourir est de 350 km.
Réponse :
136
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.5
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
5
On compare la quantité de chaleur dégagée par des ampoules incandescentes et des ampoules
uocompactes (LFC). Pour ce faire, on place un nombre variable d’ampoules allumées dans une
boîte hermétique et on note la variation de température de l’air après une heure. Les tables de
valeurs suivantes présentent les résultats de cette expérience.
Variation de la température de l’air selon le nombre d’ampoules*
Nombre d’ampoules incandescentes
0
1
2
3
4
6
8
10
Variation de température (°C)
0
1
1,9
2,7
3,5
6,1
7,7
10,2
Nombre d’ampoules LFC
0
1
2
3
4
5
6
9
Variation de température (°C)
0
0,3
0,5
0,8
0,8
1,2
1,6
2,3
* Les ampoules sont de luminosité équivalente.
a) Représente les données pour chaque type d’ampoules par un nuage de points.
Utilise une couleur différente pour chaque type d’ampoule.
b) Trace la courbe la mieux ajustée à chacun des nuages de points. Trouve ensuite la règle
associée aux courbes tracées.
Variation de température (°C)
Variation de la température de l’air
1
0
1
Nombre d’ampoules
c) Estime la variation de température
pour 20 ampoules incandescentes.
d) Estime la variation de température
pour 20 ampoules LFC.
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Curi sité
L’ampoule uocompacte possède de nombreux avantages, dont
une durée de vie maximale de 10 000 à 20 000 heures et une
économie d’énergie par rapport aux ampoules traditionnelles.
Elle contient cependant du mercure, une substance nocive qui
peut s’échapper de l’ampoule en cas de bris.
Les relations et les fonctions
Arithmétique
137
6
Félix organise la 9e édition d’un grand spectacle pour nancer un voyage scolaire. Le nuage de
points ci-dessous présente les prots générés par l’événement lors des huit dernières éditions.
a) Trace la courbe la mieux ajustée au nuage de points.
b) À l’aide de la règle associée à la courbe tracée, estime les prots de la 9e édition de l’événement.
Prots ($)
Prots de l’événement
1 000
Réponse :
0
1
Édition
c) Si la tendance se maintient, lors de quelle
édition les prots dépasseront-ils 20 000 $ ?
Réponse :
7
Le graphique ci-dessous présente la
progression des records mondiaux de
natation pour le 100 mètres style libre chez
les hommes jusqu’à l’année 2000.
Temps (s)
Peux-tu prévoir l’année où le record franchira
les 45 secondes ? Justie ta réponse.
Records mondiaux en natation
70
65
60
55
50
1990
2000
1980
1970
1960
1950
1940
1930
1920
0
1910
45
Année
138
Arithmétique
Chapitre 3 — Section 3.5
Réponse :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
8
Patricia est gardienne de but dans une équipe de hockey. Elle a compilé différentes statistiques
dans les graphiques ci-dessous.
a) Trace la courbe la mieux ajustée à chaque nuage de points.
Nombre de victoires
Victoires par saison
b) Estime le nombre de victoires de la prochaine
saison à l’aide de la règle de ton modèle.
2
0
1
Saison
Nombre de blanchissages
Blanchissages par saison
Réponse :
c) Estime le nombre de blanchissages de la prochaine
saison à l’aide de la règle de ton modèle.
1
0
1
Saison
Nombre de tirs par partie
Moyenne de tirs par partie
Réponse :
d) Estime le nombre de tirs reçus par partie dans
la prochaine saison à l’aide de la règle de
ton modèle.
Réponse :
Curi sité
29
28
0
1
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Saison
Il y a blanchissage lorsqu’une équipe n’accorde aucun but en temps
réglementaire. La moyenne de tirs par partie correspond au nombre
moyen de tirs au but, qu’ils soient arrêtés ou non.
Les relations et les fonctions
Arithmétique
139
Une association de consommateurs étudie la relation entre le temps nécessaire pour changer les
quatre pneus d’une voiture et le nombre d’années d’expérience du garagiste. Le graphique suivant
présente les données recueillies dans quatre garages durant une semaine.
a) Quelle est la règle de la fonction qui modélise
cette situation?
Temps requis pour un
changement de pneus
Temps moyen (h)
9
b) Peux-tu estimer combien de temps prendra un
garagiste qui n’a aucune année d’expérience pour faire
le changement de pneus ? Explique ta réponse.
0,2
0
2
Années d’expérience du garagiste
10 Les concepteurs de jeux vidéo consacrent un grand nombre d’heures à créer de nouveaux
personnages. Ils peuvent travailler seuls ou en équipe sur un même projet. La table de valeurs
suivante présente les données recueillies au cours des cinq dernières années pour la conception
des personnages des 18 jeux produits par une entreprise.
Nombre de concepteurs
1
1
2
2
3
3
3
4
4
Temps par concepteur (h)
144
138
68
71
46
43
50
33
33
Nombre de concepteurs
4
5
5
5
5
5
5
5
6
Temps par concepteur (h)
35
29
30
26
28
26
28
27
23
a) Représente les données à l’aide d’un nuage
de points et trace la courbe la mieux ajustée
à ce nuage.
Temps par concepteur (h)
Temps de travail pour
un jeu vidéo par concepteur
b) Selon la courbe tracée, combien de temps
faut-il pour créer tous les personnages d’un
jeu vidéo ?
c) Combien de concepteurs devront travailler
ensemble an de créer les personnages d’un
jeu s’ils disposent de 3 journées de 8 heures
de travail ?
10
0
140
Arithmétique
1
Nombre de concepteurs
Chapitre 3 — Section 3.5
Réponse :
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Exercices
supplémentaires
Questions à réponses courtes
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Section 3.1
1
Dans chaque cas, indique la variable qui correspond logiquement à la variable indépendante, x,
et celle qui correspond à la variable dépendante, f (x).
a) On étudie la relation entre le temps d’étude en heures et le nombre d’examens à venir.
x:
f (x) :
b) On étudie la relation entre le nombre de randonneurs et la quantité d’eau disponible en litres
pour chacun.
x:
2
f (x) :
Encercle les graphiques qui sont des fonctions.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Sections 3.2 et 3.4
3
Indique si chacune des tables de valeurs suivantes est associée à une fonction linéaire ou
de variation inverse. S’il s’agit d’une fonction linéaire, trouve le taux de variation, a. S’il s’agit
d’une fonction de variation inverse, trouve le produit constant, xy.
a)
x
y
4
2,5
7,75
19,2
20
49
b)
−31 −96,1 −238,08 −248 −607,6
x
1
2
5
10
20
y
25
12,5
5
2,5
1,25
Écris la règle d’une fonction afne :
a) dont le taux de variation est −2 et qui a une ordonnée à l’origine de −3.
b) qui passe par les points A (−3, 6) et B (7, 12).
7
c) dont le taux de variation est nul et qui passe par le point C −6, .
(
3
)
d) qui passe par l’origine et le point D (−4, 6).
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
141
Questions à développement
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 3.1 à 3.5
5
Pour une fête à l’école, Maude achète 32 boîtes de 1 L de jus pour partager entre les élèves de
ses quatre groupes. Elle prévoit que de 28 à 32 élèves de chaque groupe seront présents. On
s’intéresse à la relation entre le nombre d’élèves présents et la quantité de jus (ml) pour chacun.
Complète les tables de valeurs et décris la fonction et sa réciproque.
Fonction
Réciproque
Nombre d’élèves
Quantité de jus (ml)
6
Règle :
Règle :
Domaine :
Domaine :
Image :
Image :
Un fou de Bassan est un oiseau pêcheur. D’une hauteur de 40 m au-dessus du niveau
de la mer, il peut plonger en piqué pour atteindre un banc de poissons 15 m sous le niveau
de la mer en 3,3 secondes.
a) Quelle règle représente la relation entre l’altitude de l’oiseau durant la plongée et le temps ?
b) Quel est le taux de variation et que représente-t-il ?
142
Arithmétique
2016
2014
0
Réponse :
2012
7,6
7,4
7,2
7
6,8
6,6
6,4
6,2
6
5,8
2010
Trace la courbe la mieux ajustée au nuage de points.
Ensuite, à l’aide de la règle, trouve quel sera le prix
moyen du miel en 2020.
Prix moyen du miel
québécois
2008
Fritz est apiculteur. Il a compilé les données du prix
moyen du kilogramme de miel depuis 2008 et les a
représentées par un nuage de points.
Prix ($/kg)
7
Année
Chapitre 3 — Exercices+ supplémentaires
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Retour sur le chapitre 3
Questions à choix multiples
1
2
Parmi les fonctions suivantes, laquelle n’a pas le même taux de variation que les trois autres ?
a) Une fonction afne qui passe par (2, 6) et (6, 4).
b) f (x)=0,5x+7
c) Une fonction linéaire qui passe par (4, −2).
d) g(x)=−
x
2
Parmi les quatre droites tracées dans le plan cartésien,
laquelle est la mieux ajustée au nuage de points ?
a) d1
b) d2
c) d3
d) d4
f (x)
d3
d1
d2
d4
x
Observe les graphiques suivants. Quelle fonction a une ordonnée à l’origine de 3,5 ?
a)
b)
y
(8, 23)
(9 ; 21,5)
(5 ; 15,5)
5
d)
y
(6 ; 16,5)
(4 ; 11,5)
x
4
c)
y
y
(7 ; 26,5)
(4, 16)
(3 ; 10,5)
x
x
x
RETOUR
3
Parmi les tables de valeurs suivantes, laquelle correspond à une fonction de variation inverse ?
a)
x
y
1
1
2
5
3
9
4
13
b)
x
y
0
0
4
6
8
12
12
18
c)
x
y
3
17
5
15
9
11
10
10
d)
x
y
1
6,3
3
2,1
7
0,9
10
0,63
Parmi les graphiques suivants, lesquels représentent des fonctions ?
1
2
f(x)
3
f(x)
4
f(x)
f(x)
x
x
a) 1 et 4
6
b) 1, 2 et 3
x
x
c) 1, 2 et 4
Observe la fonction ci-contre. Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ?
a) Le domaine est [2, 9].
b) f (6)=8,4
c) L’image est [6,6 ; 10,8].
d) L’ordonnée à l’origine est 2.
d) 3 et 4
f(x)
(2 ; 10,8)
(9 ; 6,6)
x
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Les relations et les fonctions
Arithmétique
143
Questions à réponses courtes
7
Trouve la règle d’une fonction afne :
a) qui passe par les points (2, 6)
et (−4, −12).
b) dont l’ordonnée à l’origine est −4 et qui
passe par le point (−5, −9).
Règle :
Règle :
c) dont le taux de variation est −2,3 et qui
d) qui passe par les points
( 25 , −2) et (1, 15 ).
RETOUR
traverse l’axe des abscisses en x=4.
Règle :
8
Règle :
Trace le graphique associé à chacune des tables de valeurs suivantes. Relie les points dans l’ordre.
Indique ensuite s’il s’agit d’une fonction ou non.
a)
x
y
1
4
2
7
3
7
4
7
5
6
6
7
y
1
2
3
4
Fonction :
144
Arithmétique
x
y
2
−3
2
1
1
2
4
−4
5
5
6
2
7
3
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
b)
Chapitre 3 — Retour
5
6
7 x
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
3
4
5
6
7 x
Fonction :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
9
Dans chaque cas, indique la variable qui correspond logiquement à la variable indépendante et
celle qui correspond à la variable dépendante.
a) Distance parcourue lors d’une randonnée
b) Masse d’un sac qui comprend un certain
pédestre durant une période de temps donnée.
nombre de billes identiques.
Variable indépendante :
Variable indépendante :
Variable dépendante :
Variable dépendante :
10 Indique si chacune des tables de valeurs ci-dessous peut être associée à une fonction linéaire ou
à une fonction de variation inverse. Trouve ensuite la règle de la fonction.
x
1
1,2
3
4,5
5
y
86,4
72
28,8
19,2
17,28
Fonction :
linéaire
b)
variation inverse
x
y
0
2
5
6
10
y
0
3,75
9,375
11,25
18,75
Fonction :
Règle :
c)
x
linéaire
variation inverse
Règle :
−7
−0,7
Fonction :
−1
−0,1
4
8
22
0,4
0,8
2,2
linéaire
variation inverse
Règle :
d)
x
−4
−1
y
14
3,5
Fonction :
linéaire
2
−7
6
−21
7
−24,5
variation inverse
Règle :
11 La table de valeurs ci-dessous est associée à une fonction afne.
a) Trace le graphique de cette fonction.
b) Complète la table de valeurs de la
réciproque de cette fonction et trace
son graphique.
Fonction
Réciproque
x
3
5
9
15
19
x
f (x)
−3
−2
0
3
5
g (x)
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RETOUR
a)
Les relations et les fonctions
Arithmétique
145
Questions à développement
12 Durant une expérience, on place un bloc de glace sèche dans un contenant hermétique et on
mesure la température de l’air toutes les 10 secondes durant 2 minutes. La température initiale
de l’air est de 0 °C. On remarque qu’elle a diminué de façon constante jusqu’à atteindre −33 °C
à la n de l’expérience.
On s’intéresse à la température de l’air, en °C, en fonction du temps, en secondes.
a) Quelles sont les variables dépendante et indépendante de cette situation ?
x:
f(x) :
b) Détermine s’il s’agit d’une fonction linéaire ou de variation inverse. Trouve ensuite sa règle.
RETOUR
Réponse :
c) Que nous indique le taux de variation ?
d) La fonction est-elle positive ou négative ? Explique ta réponse.
e) À quel moment la température de l’air était-elle de −10 °C ?
Réponse :
f) Les scientiques mesurent la température en kelvins. Le zéro absolu, 0 kelvin, est égal à
−273,15 °C. Théoriquement, après combien de minutes atteindra-t-on le zéro absolu ?
Curi sité
La chaleur provient de l’énergie dégagée par des
particules en mouvement. Pour atteindre le zéro absolu,
ces particules devraient s’immobiliser complètement.
Le zéro absolu est donc une notion théorique.
146
Arithmétique
Chapitre 3 — Retour
Réponse :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
13 À son chalet, Gabrielle s’approvisionne en eau grâce à un récupérateur d’eau de pluie. Le réservoir
est rempli à pleine capacité, c’est-à-dire 95 L. On n’annonce pas de pluie dans les prochaines
semaines. Gabrielle consomme en moyenne 6 L d’eau par jour et elle prévoit rester 12 jours
au chalet.
On observe la quantité d’eau dans le réservoir en fonction de la durée du séjour de Gabrielle.
a) Dénis les variables et donne la règle de cette fonction.
b) Quels sont le domaine et l’image de la fonction ?
c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
RETOUR
d) À quel moment le réservoir sera-t-il rempli à la moitié de sa capacité ?
Réponse :
14 Au cours d’une compétition de course à pied de 400 m, la vitesse d’un coureur (en m/s) est
évaluée tous les 50 m. La table de valeurs ci-dessous montre qu’après avoir accéléré durant
les 100 premiers mètres, le coureur perd graduellement de la vitesse tout au long de sa course.
Estime ensuite la vitesse du coureur à la n de
sa course à l’aide de ton graphique.
Compétition de course à pied
Distance parcourue (m)
Vitesse du coureur (m/s)
50
8,2
100
10,4
150
10,1
200
9,7
250
9,4
300
9,1
350
8,5
Réponse :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Vitesse du coureur (m/s)
Représente ces observations par un nuage de points. Trace la courbe qui représente le mieux
la vitesse du coureur entre 100 m et 350 m.
Compétition
de course à pied
10
9
8
50 100 150 200 250 300 350 400 450
Distance parcourue (m)
Les relations et les fonctions
Arithmétique
147
15 Olivier planie un élevage de poules. Il compte aménager un terrain de 72 m2 et y mettre
de 8 à 12 poules. Selon ses recherches, une poule a besoin de 7 m2 à 9 m2 de terrain.
S’il doit respecter cette contrainte, Olivier peut-il avoir le nombre de poules souhaité ? Justie ta
réponse en trouvant la règle qui permet de calculer la supercie disponible pour chaque poule.
Réponse :
Temps d’utilisation d’appareils
électroniques par semaine
Temps alloué aux sports
par semaine
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Filles
Garçons
(17, 8)
(12 ; 5,25)
(17, 7)
(12 ; 2,5)
12
13
14
15
16
17
18
19
Âge (années)
Temps (h)
RETOUR
Temps (h)
16 La direction d’une école effectue une recherche sur les habitudes de vie des élèves. Voici les résultats
concernant le temps alloué par semaine aux sports et à l’utilisation d’appareils électroniques.
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
(5 ; 25,5)
(5, 20)
(1, 20)
(1 ; 19,5)
Filles
Garçons
1
2
3
4
5
Année du secondaire
a) Si l’on considère le temps alloué aux sports, quels sont les taux de variation associés
aux droites du graphique ? Que nous indiquent ces taux ?
b) Quels sont les taux de variation associés aux droites du deuxième graphique ?
Que nous indiquent ces taux ?
148
Arithmétique
Chapitre 3 — Retour
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
17 Dans un système d’engrenage, la roue qui contient le moins de dents est
celle qui tourne le plus vite. Par ailleurs, si l’on double le nombre de dents
d’une roue, la vitesse de rotation de celle-ci est diminuée de moitié.
Une roue d’un système d’engrenage compte 40 dents et tourne
à une vitesse de 60 tours à la minute.
Trace le graphique qui représente la relation entre le nombre de dents de cette roue et la vitesse à
laquelle elle tourne. Trouve ensuite le nombre de dents d’une roue qui tourne à 100 tours à la minute.
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre de dents
Réponse :
18 Les pneus d’une voiture sont un peu dégonés, car leur pression est
trop faible. À l’aide d’un compresseur, Bernard gone le premier pneu
durant 2 min 20 s an d’augmenter la pression de 0,35 bar. Dans les
trois autres pneus, il faut augmenter la pression de 0,42 bar, de 0,5 bar
et de 0,25 bar respectivement.
S’il faut environ 1 minute pour installer le compresseur sur chacun des
trois pneus et si le compresseur garde le même rythme de gonage
des pneus, combien de temps au minimum Bernard prendra-t-il pour
goner les trois autres pneus de la voiture ?
Curi sité
RETOUR
Vitesse (tours/min)
Système d’engrenage
Le bar est une unité de
mesure de la pression.
Son nom provient du
mot grec
qui
signie « pesanteur ».
En météorologie,
on utilise plutôt le
pascal (Pa).
Réponse :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Les relations et les fonctions
Arithmétique
149
Situation-problème
Sylviculture 101
Marion est une biologiste spécialisée en gestion forestière.
Elle prépare une plantation d’arbres feuillus sur un territoire donné.
Elle utilise des modèles de croissance an d’évaluer quelle quantité
de bois pourra être coupée dans quelques années. Son travail porte
sur un terrain rectangulaire de 1,8 hm par 1 hm qui sera divisé
en deux zones de même supercie. Chaque zone contiendra
une seule espèce d’arbres feuillus.
Marion a récolté des statistiques à propos des deux espèces
d’arbres retenues. Voici un résumé des données recueillies.
Érable à sucre
Il faut prévoir une supercie de
10,89 m2 par arbre. Les tiges
plantées ont une hauteur de 26 cm
en moyenne.
Un érable à sucre a une croissance
qualiée de moyenne à rapide, soit
d’environ 0,65 m/an.
Chêne rouge
Il faut prévoir une supercie de
12,25 m2 par arbre. Les tiges
plantées ont une hauteur de 23 cm
en moyenne.
Croissance moyenne du chêne rouge
après la plantation
Temps (années)
Hauteur (m)
1
3
6
1,07 2,75 5,27
Dans 10 ans, on prévoit couper 40 % de chacune des espèces
d’arbres plantés cette année.
Quelle longueur de bois, en mètres, devrait être coupée dans 10 ans ?
Pour justier tes calculs, trouve la règle qui permet de calculer
la hauteur de chaque tige en fonction du temps.
150
Situation-problème
Sylviculture 101
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Réponse
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Situation-problème
Sylviculture 101
151
Situation d’application
Suivre sa courbe
Il existe des ensembles de courbes qui permettent de vérier si un enfant grandit normalement sur
une longue période de temps. Habituellement, un enfant suit un rythme de croissance associé à
l’une des cinq courbes de référence. Les ensembles de courbes diffèrent s’il s’agit d’un garçon
ou d’une lle.
Pour un enfant âgé de 4 ans à 12 ans, on peut modéliser les courbes de référence par des droites.
Le tableau ci-dessous présente les deux ensembles de courbes. Dans ces équations, la taille, f(x)
et g(x), est calculée en fonction de l’âge, x.
Courbe de référence
Taille des lles (cm)
Taille des garçons (cm)
A
fA(x)=6x+67
gA(x)=5,5x+76
B
fB(x)=6x+69
gB(x)=5,5x+79
C
fC(x)=6x+71
gC(x)=5,5x+82
D
fD(x)=6x+73
gD(x)=5,5x+85
E
fE(x)=6x+75
gE(x)=5,5x+88
Janelle et Thierry, des jumeaux, viennent d’avoir 8 ans. Janelle mesure 1,19 m et Thierry, 1,20 m.
Janelle pense que, d’ici un an, elle dépassera son frère.
Si chacun des enfants garde son rythme de croissance durant la prochaine année, Janelle a-t-elle
raison de penser qu’à 9 ans elle sera plus grande que son frère ?
Réponse
152
Situation d’application
Suivre sa courbe
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CHAPITR E
Les systèmes
d’équations et
les inéquations
4
SOMMAIRE
Rappel.........................................................................................154
4.1
Les systèmes d’équations du premier degré
à deux variables : représentation et résolution ......... 157
4.2
La résolution algébrique d’un système d’équations ... 167
4.3
Les inéquations................................................................ 173
4.4
La résolution d’une inéquation ...................................... 179
Exercices + supplémentaires............................................ 185
Retour sur le chapitre 4 ....................................................... 187
L’expédition (CD1)..................................................................194
La course en patins (CD2)..................................................196
Éléonore roule à vélo à une vitesse de 18 km/h. Sa voisine Brenda part après elle et veut rejoindre
Éléonore qui, à ce moment, se trouve à 6 km de leur point de départ.
Si Brenda roule à une vitesse moyenne de 26 km/h, dans combien de minutes rejoindra-t-elle Éléonore ?
Réponse :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
153
Rappel
Les équations
• Une équation est un énoncé mathématique qui comporte une relation d’égalité et une ou plusieurs variables.
• L’équation est du premier degré si le degré le plus élevé des monômes qu’elle comporte est 1.
• La solution d’une équation du premier degré à une inconnue est la valeur que doit prendre la variable
pour vérier l’égalité, c’est-à-dire pour que l’égalité soit vraie.
L’égalité 2x+3=13 est une équation à une inconnue (x).
2x+3=13
2∙5+3=13
10+3=13
13=13
La solution de cette équation est 5.
En effet, lorsque x=5, l’égalité est vériée.
La résolution d’une équation du premier degré à une inconnue
RAPPEL
• Pour trouver la solution d’une équation, on peut isoler la variable inconnue en appliquant les règles
de transformation suivantes.
1. Lorsqu’on additionne ou qu’on soustrait une même valeur aux deux membres d’une équation,
on obtient une équation équivalente, c’est-à-dire une équation qui a la même solution.
2. Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise par une même valeur (différente de zéro) les deux membres
d’une équation, on obtient une équation équivalente.
x
−11=−7
4 +11 +11
3x+5=x+17
−x
−x
2x+5=17
(x)
4∙ =4∙4
4
−5 −5
2x 12
=
2
2
3
x=15
4
4 3
4
x=15∙
3∙4
3
x=20
x=16
x=6
1
Résous les équations suivantes.
a) −4x+6=12
b) 6y−2=14y+14
x=
154
Algèbre
Chapitre 4 — Rappel
y=
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d) −1 (2a+14)+6(a+5)=47
c) 2(12−3c)=42
2
Astuce
a=
c=
e) −(b+5)+5(2b−3)=4b−11
f) (4x+6−3x)−(2x+4)=3(x−6)
b=
x=
h) 2x = 4
g) y−3 = 2y+5
2
3
3
7
y=
x=
j) 9x + 7 =4
i) 3x +5=35
5
5
x=
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RAPPEL
Pour valider la
solution, remplace
la variable dans
l’équation de
départ par la
valeur trouvée.
10
x=
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
155
2
Traduis chacun des énoncés suivants par une équation. Résous-la ensuite.
a) La somme du double de x et de 14
donne 30.
b) Le triple de la différence de n et de 11
est égal à 12.
x=
3
n=
Lyne a décrit trois nombres à l’aide des expressions algébriques suivantes :
1er nombre : 3b−7
2e nombre : 2(b+1)
3e nombre : 5b
RAPPEL
La moyenne de ces trois nombres est de 15. Trouve les trois nombres.
Réponse :
4
Le périmètre d’un rectangle est de 44 cm.
Sa base mesure 6 cm de plus que le triple de sa hauteur.
x cm
Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
Réponse :
156
Algèbre
Chapitre 4 — Rappel
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4.1 Les systèmes d’équations du premier
degré à deux variables : représentation
et résolution
Les systèmes d’équations à deux variables
• Un système d’équations est un ensemble d’au moins deux équations.
• Lorsqu’un problème comprend deux inconnues, un système d’équations à deux variables peut
permettre de le résoudre.
• Pour trouver la solution de ce système, il faut trouver les valeurs des deux variables qui vérient
simultanément les équations.
• Il peut y avoir une solution unique (un couple-solution), une innité de solutions ou il peut n’y avoir
aucune solution.
Un cartable coûte quatre fois plus cher qu’un paquet de feuilles quadrillées. Son prix est de 2 $
plus élevé que le prix de 2 paquets de feuilles quadrillées.
Combien coûte un paquet de feuilles quadrillées et combien coûte un cartable ?
1) On identie les deux variables.
x : coût d’un paquet de feuilles quadrillées ($)
y : coût d’un cartable ($)
2) À l’aide des mots clés de l’énoncé,
on construit deux équations.
H
y=4x
y=2x+2
La solution de ce système
3) On cherche la solution à l’aide d’une table
de valeurs, d’un graphique ou d’une méthode est x=1 et y=4.
algébrique.
Astuce
ique
Le symbole d’accolade ind
x
qu’on considère les deu
équations simultanément.
Ces méthodes seront expliquées plus loin.
4) On valide la solution dans les deux
équations.
y=4x  4=4∙1
4=4
y=2x+2  4=2∙1+2
4=4
5) On répond à la question.
Un paquet de feuilles quadrillées coûte 1 $.
Un cartable coûte 4 $.
Les mots clés des énoncés
Voici quelques exemples de mots clés qui indiquent des opérations à effectuer :
• Addition (+) : somme, ajouter, additionné à, plus, de plus que, au total, en tout, ensemble, etc.
• Soustraction (−) : différence, enlever, déduire, moins, de moins que, diminué de, etc.
• Multiplication (×) : produit, multiplié par, fois, fois plus que, double, triple, quadruple, etc.
• Division (÷) : quotient, rapport, divisé par, fois moins, fois moins que, moitié, tiers, quart, etc.
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
157
La résolution à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique
• On peut représenter un système d’équations par une table de valeurs. La solution unique, si elle existe,
est le couple (x, y) qui vérie les deux équations.
• On peut représenter le système graphiquement, en traçant les droites correspondant à chacune
des équations. La solution unique, si elle existe, est le point d’intersection des droites.
On cherche la solution du système d’équations :
x
y=x+1
y=−x+5
0
1
5
1
2
4
2
3
3
3
4
2
4
5
1
H
y=x+1
y=−x+5
y
y=x+1
y=−x+5
1
0
1
x
La solution est (2, 3).
Le nombre de solutions
• Un système d’équations du premier degré à deux variables peut avoir une solution unique, une innité
de solutions ou il peut n’avoir aucune solution.
Solution unique
Droites sécantes
Aucune solution
Droites parallèles distinctes
– Leurs taux de variation
diffèrent.
– Leurs taux de variation sont
égaux, mais leurs ordonnées
à l’origine diffèrent.
H y=x+8
y=8+x
y
y
y
2
2
2
0
1
x
Solution : (4, 14)
(Le point d’intersection)
Algèbre
– Leurs taux de variation sont
égaux et leurs ordonnées à
l’origine sont égales.
−3x+10
H y=
y=−3x+15
H y=x+10
y=2x+6
158
Une innité de solutions
Droites parallèles confondues
Chapitre 4 — Section 4.1
0
1
Solution : Ø
(L’ensemble vide)
x
0
1
x
Solution : Tous les points
de la droite
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1
Associe chacun des systèmes d’équations suivants à sa solution.
a)
H
y=10x+50
•
y=15x+40
• (2, 70)
• (6, 13)
b)
c)
2
y=2x+1
•
y=4x−15
H
y=−45x+1 250
•
y=−50x+1 600
s du
Souviens-toi que les valeur
ier
couple-solution doivent vér
système.
chacune des équations du
• (70, −1 900)
• (65, −1 675)
• (8, 17)
Parmi les systèmes d’équations suivants, encercle ceux qui sont formés de deux droites parallèles
distinctes.
a)
d)
3
H
Astuce
H
y=4x−5
y=−5x+4
H
y=0,3x+15
3x
y= −2
10
x
2
b)
H
y= +3
e)
H
y=−5x+30
y=400−5x
y=0,5x−10
c)
f)
H
H
y=2x+3
1
2
y= x+3
y=0,25x+100
x
4
y= +100
Pour chacun des systèmes d’équations suivants, indique le nombre de solutions possibles.
a)
H
y=2x+3
y=−2x+3
d)
H
y= x+27
H
1
y=− x+4
g)
1
3
y=3x−10
2
y=3x−3
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b)
e)
h)
H
y=0,5x+14
H
y=0,25x+4
H
H
y=−4x−1
y=−4+3x
H
y=4−0,8x
f)
i)
H
c)
x+28
2
y=
x+12
y=
4
y=0,8x+160
y=−x−20
4
5
y=− x+4
y=−1 x+4
5
y=−1 x+2
5
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
159
4
Astuce
Complète les représentations graphiques des systèmes d’équations
suivants. Trouve ensuite leur solution.
y=−4x+6
y=−2x+8
a)
b)
1
y= x−3
y=x−1
H
à l’origine
Place d’abord l’ordonnée
ensuite
(ou à un autre point). Trouve
taux
un second point à l’aide du
de variation.
H
2
y
y
7
6
8
∆x=1
7
5
6
∆y=−4
4
5
3
4
2
3
1
2
−4 −3 −2 −1 0
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10 x
−4 −3 −2 −1 0
−1
−2
−3
1
2
3
Solution :
5
5
6
7
8
9
10 x
Solution :
Associe les systèmes d’équations suivants à la bonne représentation graphique.
1)
a)
H
y=4x−10
2)
2
3
y=− x+4
H
2
3
y= x−4
y=−4x+10
3)
H
b)
y
8
8
6
6
4
4
2
4
8
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0
−2
−4
10 12 x
2
4
−6
−6
−8
Système :
Système :
d)
y
12
8
10
6
8
4
6
2
4
2
4
−6
−8
Système :
Chapitre 4 — Section 4.1
6
8
10 12 x
y=4x−4
6
8
10 12 x
6
8
10 12 x
y
10
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0
−2
−4
Algèbre
6
3
2
y=− x+10
y
10
2
H
4)
1
4
y=− x+10
10
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0
−2
−4
c)
3
2
y= x+4
12
2
160
4
2
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0
−2
−4
2
4
−6
Système :
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
6
Astuce
Représente graphiquement les systèmes d’équations suivants.
Trouve ensuite la solution.
a)
H
y=x+6
b)
1
3
y=− x+2
y
7
6
5
4
3
2
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1− 0
1
−2
−3
H
1
2
y=− x+4
y=3x−3
y
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
−4 −3 −2 −1− 0
1
−2
−3
−4
5 x
Solution :
c)
H
d)
H
2
3
4
5
6
7
8 x
y=0,8x+160
y=−x−20
y
30
25
20
15
10
5
y
160
140
120
100
80
60
40
20
5 10 15 20 25 30 35 40 x
−140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0
−20
−40
Solution :
20 40 60 80 100 x
Solution :
Exercice
Exercice
7
1
Solution :
y=−2x+30
y=x−15
−20 −15 −10 −5−0
5
−10
−15
−20
Si le taux de variation est
écrit en notation décimale,
transforme-le en fraction.
Trouve la solution des systèmes d’équations suivants. Utilise une feuille mobile
quadrillée pour effectuer tes représentations.
a)
H
y=50x+10
y=40x+1 000
b)
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H
y=0,1x+11
y=0,2x+45
c)
H
y=20
y=5−x
d)
H
y=10−2x
3
2
y=− x
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
161
8
Détermine la solution de chacun des systèmes d’équations suivants à l’aide d’une table de valeurs.
a)
H
y1=3x−12
y2=x+8
b)
x
y1
y2
9
H
y1=−x+14
y2=2x−7
x
y1
y2
Alexandre désire louer une voiture pour deux jours. Il hésite entre deux compagnies de location.
Voici les tarifs de chacune de ces entreprises :
1. Entreprise Rousseau-Auto
2. Entreprise Doyon-Sévigny
Tarif de base : 50 $
Frais d’assurances : 10 $
Frais au kilométrage : 0,15 $/km
Tarif de base : 40 $
Frais d’assurances : 15 $
Frais au kilométrage : 0,20 $/km
a) Complète la table de valeurs ci-dessous et trace le graphique représentant la situation.
Prix de location d’une voiture
Nombre
de km
Astuce
Lorsqu’il y a
plus d’une
droite dans le
plan cartésien,
pour faciliter
le repérage, on
peut identier
chacune des
droites par
une couleur,
un libellé ou un
type de trait.
Prix 1
($)
Prix 2
($)
0
Coût ($)
Prix de location d’une voiture
90
85
80
25
75
50
70
75
65
100
60
125
55
50
150
0
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
Distance parcourue (km)
b) Complète les énoncés suivants.
• Le tarif des deux entreprises est identique pour une distance de
• Si Alexandre prévoit parcourir moins de
.
, il devrait choisir l’entreprise
.
• S’il prévoit parcourir plus de
, il devrait choisir l’entreprise
.
162
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.1
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10 Pour rénover sa salle de
bain, Louis doit faire appel
aux services d’un plombier.
Voici les tarifs de deux
entreprises :
• L’entreprise Bo-Tuyau
exige 80 $ de frais de
déplacement et ensuite,
30 $/h.
• L’entreprise LP-plomberie
demande 40 $/h et 50 $
de frais de déplacement.
Louis se demande quelle
entreprise lui offre le
meilleur tarif. Trace le
graphique qui représente la
situation. Aide ensuite Louis
à prendre sa décision.
Réponse :
11 Au début de l’année, Léa a 500 $
dans son compte bancaire.
Elle y dépose 40 $ par semaine.
Sa sœur Zoé a 200 $ dans son
compte et y dépose 80 $ par
semaine. Léa afrme qu’elle aura
toujours plus d’argent que sa
sœur, puisqu’elle dispose d’un
montant plus élevé au départ.
Zoé est convaincue que le
montant de ses économies sera
supérieur à celui de sa sœur
dans 8 semaines.
Qui a raison ? Justie ta réponse
à l’aide d’un graphique qui
représente la situation.
Réponse :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
163
12 Camille remplit sa piscine à l’aide d’un tuyau
dont le débit est de 1 250 L/h. Au départ, sa
piscine contient 20 000 L d’eau. Au même
moment, sa voisine Frédérique commence
à vider sa piscine an d’en changer la toile.
La piscine de Frédérique contient 45 000 L
d’eau et se vide à un rythme de 7 500 L/h.
Est-il possible que les deux piscines
contiennent la même quantité d’eau au même
moment ? Explique ta réponse à l’aide d’un
graphique qui représente la situation.
Réponse :
13
Une voiture qui roule à 42 km/h ralentit de façon constante et s’immobilise après
10,5 secondes. Au moment où le véhicule commence à diminuer sa vitesse, un cycliste
roulant à une vitesse de 5 m/s ralentit également de façon constante. Au bout de
13,5 secondes, il est complètement arrêté.
Après combien de secondes la voiture et le vélo ont-ils eu la même vitesse?
Réponse :
164
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.1
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14 Trace une droite parallèle distincte à la droite ci-dessous et détermine les équations du système
formé par ces deux droites.
y
7
6
5
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 0
−1
−2
1
2
3
4
5
6 x
−3
Astuce
ires
Deux droites perpendicula
º.
forment un angle de 90
15 Grégoire a tracé trois paires de droites perpendiculaires.
1)
2)
y
5
3)
y
4
y
5
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
−3 −2 −1 0
−1
1
2
−4 −3 −2 −1 0
−1
−2
3 x
1
2 x
1
−1 0
−1
1
2
3
4
5 x
a) Dans chaque cas, calcule le taux de variation de chacune des droites. Trouve ensuite le produit
de ces deux taux de variation.
b) Complète la conjecture suivante.
Lorsque deux droites sont
est toujours égal à
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, le produit de leurs taux de variation
.
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
165
16 Dans le plan cartésien ci-contre, quatre droites
ont été tracées.
d3
a) Trouve les équations de chacune des droites.
y
7
d1
6
5
d2
4
d1 :
3
2
d4
d2:
1
d3 :
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
−2
d4 :
−3
−4
1
2
3
4
5x
b) Utilise ces droites pour former deux systèmes d’équations ayant une solution unique et
un troisième système n’ayant aucune solution.
Systèmes à solution unique :
Système n’ayant
aucune solution :
17 Combien de solutions possède le système d’équations suivant ?
H
2x+4y+12=0
x
y
+ =1
4 12
Réponse :
166
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.1
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4.2 La résolution algébrique
d’un système d’équations
La résolution algébrique d’un système d’équations
• La relation d’égalité est transitive. Cela signie que, si une expression est équivalente à deux autres
expressions, ces deux autres expressions sont équivalentes.
Si 12=5+7 et 12=2∙6, alors 5+7=2∙6.
• La propriété de transitivité peut être utilisée pour résoudre un système d’équations. On appelle cette
méthode algébrique « la résolution par comparaison ».
On cherche la solution du système suivant :
H
y=x+10
y=2x+6
1) On pose l’égalité entre les deux équations
du système.
2) On résout cette équation (voir la page 154).
Puisque y=y :
x+10=2x+6
x+10=2x+6
−x
−6
−x −6
4=x
3) On remplace la valeur trouvée dans une
des équations du système an de trouver
la valeur de l’autre variable.
y=x+10
=4+10
y=14
4) On valide la solution avec la deuxième
équation.
14=2∙4+6
14=14
Solution : (4,14)
5) On donne la solution.
Le nombre de solutions
• Lors de la résolution algébrique d’un système d’équations, l’observation de l’équation réduite permet
de déterminer le nombre de solutions du système d’équations.
H
Solution unique
y=6x−5
y=2x+27
H
Aucune solution
y=4x+8
y=4x+2
H
Innité de solutions
y=6x+10
y=2(3x+5)
6x−5=2x+27
4x=32
x=8
4x+8=4x+2
0x=−6
6x+10=2(3x+5)
6x+10=6x+10
0x=0
Seule la valeur 8 rend l’égalité
vraie.
Aucun nombre réel ne rend
l’égalité vraie.
Tous les nombres réels rendent
l’égalité vraie.
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
167
1
Résous les systèmes d’équations suivants.
a)
H
y=4x−1
y=5x+2
b)
Réponse :
c)
H
y=−0,5x−2
y=1,5x+8
d)
y=50x+150
y=28x+172
Exercice
Résous les systèmes d’équations suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
y=x+4
y=6x+30
y=−3x−15
a)
b)
c)
y=2x
y=16x−15
y=16−3x
H
Algèbre
H
Réponse :
Exercice
168
y=−2x+10
y=3x−15
Réponse :
Réponse :
2
H
H
d)
H
y=0,8x−11
y=0,2x+19
g)
H
y=8− x
x
6
2
3
y= −7
Chapitre 4 — Section 4.2
H
e)
H
y=
h)
H
y= −4
x+4
2
x+15
y=
3
x
2
y=2x−12
f)
i)
H
H
y=4x+16
64+16x
4
y=
y=10−x
y=
16
x
−
3
3
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3
Dans chaque cas, trouve le point d’intersection des deux droites.
a)
b)
y
y
A (0, 7)
A (−1, 6)
Astuce
Trouve d’abord
l’équation de
chacune des
droites.
D (4, 3)
D (2, 3)
C (−5, 0)
B (2, 0)
x
B (2, −1)
C (−4, −1)
a)
Solution :
b)
Solution :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
169
4
Soa fabrique des sacs à main en tissu recyclé.
Elle vend deux modèles dont les prots, y1 et y2 ,
sont différents :
y2=50x−150
y1=40x−100
où x représente le nombre de sacs vendus.
Combien de sacs de chacun des modèles Soa
doit-elle vendre pour réaliser le même prot ?
Réponse :
5
Jocelyne a reçu deux offres d’emploi en lien avec la vente d’appareils électroniques. Son salaire
hebdomadaire, y, est déterminé par les deux équations suivantes :
Offre 1 : y=0,10x+450
Offre 2 : y=0,15x+340
où x représente le montant des ventes par semaine.
Aide Jocelyne à choisir l’offre la plus avantageuse.
Astuce
Pour t’aider,
trace le
graphique à
main levée.
Réponse :
6
Une droite croise la courbe associée à une fonction de variation inverse. Trouve les coordonnées
du point d’intersection A.
A
(1, 5)
(4, 5)
(5, 4)
Réponse :
170
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.2
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7
Rafaël lit en moyenne 30 pages par jour. Il a commencé à lire
un roman il y a deux jours. Son ami Simon, qui lit en moyenne
40 pages par jour, commence aujourd’hui le même roman.
Dans combien de jours auront-ils lu le même nombre de pages ?
Astuce
ation par un
Lorsqu’on traduit une situ
t toujours
système d’équations, il fau
variables.
commencer par dénir les
Réponse :
8
Philippe veut mettre du pavé à emboîtement dans son stationnement. Il a contacté les deux
entreprises suivantes pour connaître leurs prix :
• L’entreprise Pavé Royal demande un montant de base de 2 800 $, et 18 $ par mètre carré de
surface à couvrir.
• L’entreprise PVU demande aussi un montant de base et un prix par mètre carré. Par exemple,
pour couvrir 60 m2, le coût sera de 3 875 $. Si la surface est de 70 m2, le coût sera de 4 075 $.
Philippe croit que l’entreprise Pavé Royal offre de meilleurs prix, peu importe la surface de son
stationnement. A-t-il raison ? Justie ta réponse.
Réponse :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
171
9
Faolan a trois chandelles de différents formats.
Hauteur initiale : 10,9 cm
Hauteur initiale : 6 cm
Hauteur initiale : 8 cm
Elle brûle à un rythme
de 1,5 cm/h.
Elle brûle à un rythme
de 0,8 cm/h.
Elle brûle à un rythme
de 1,8 cm/h.
Faolan allume les trois chandelles en même temps. Quand les deux premières chandelles auront
la même hauteur, la troisième chandelle sera-t-elle encore allumée ?
Réponse :
10 Sur une balance, on a déposé un contenant de 15 billes. La balance indique une masse
de 255 g. Si on place 20 billes dans le même contenant, la masse est alors de 330 g.
Toutes les billes ont exactement la même masse.
Quelle sera la masse indiquée par la balance si on met 40 billes dans le contenant ?
172
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.2
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4.3 Les inéquations
La traduction d’une situation par une inéquation
• Une inéquation est un énoncé mathématique qui comporte une relation d’inégalité
et une ou plusieurs variables.
x ≤ 12
x+5 ≥−7
y<x−8
• Le tableau ci-dessous précise la signication des symboles de la relation d’inégalité.
1
Inéquation
Signication
Exemple
x<b
x est inférieur à b
x est plus petit que b
Il y a moins de 30 tables dans ce café.
x<30, x : nombre de tables
x>b
x est supérieur à b
x est plus grand que b
Il y a plus de 50 personnes à la fête.
x>50, x : nombre de personnes
x≤b
x est inférieur ou égal à b
x est au maximum b
La masse d’une fourmi est d’au plus 1 mg.
x ≤ 1, x : masse d’une fourmi (mg)
x≥b
x est supérieur ou égal à b
x est au minimum b
Il reste au moins 150 km à parcourir.
x ≥ 150, x : distance à parcourir (km)
Traduis les énoncés suivants à l’aide du symbole d’inégalité approprié.
a) x est supérieur à 4.
b) n est inférieur à −12.
c) t vaut 250 au maximum.
d) p n’est pas plus grand que 3.
e) w vaut 15 au minimum mais ne dépasse pas 50.
f) r est au moins le double de 30.
g) a dépasse −25.
h) x est au plus 100.
i) y ne vaut pas moins de 83.
j) z varie de −5 à 10.
2
Astuce
On ne doit pas lire un
énoncé composé de
la forme a ≤ ≤
de gauche à droite,
mais plutôt du
centre vers les deux
extrémités. Ainsi,
12 °C ≤ ≤ 25 °C,
où représente
la température
extérieure, se lira :
« La température
est comprise
inclusivement entre
12 °C et 25 °C. »
Traduis les énoncés suivants à l’aide du symbole d’inégalité approprié.
a) La vitesse maximale, v, d’un véhicule est de 40 km/h.
b) Le salaire hebdomadaire de Suzanne, s, se situe entre 650 $
et 850 $ inclusivement.
c) La température extérieure, t, est de 12 °C au minimum.
d) La surface peinte par Sophie, p, est d’au plus 50 m2.
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
173
3
Traduis les situations suivantes par une inéquation à une inconnue.
Astuce
Dans certains
contextes, il
faut ajouter
la contrainte
de positivité,
≥ 0. Par
exemple, le
coût d’un
article ou
le temps
ne peuvent
pas prendre
une valeur
négative.
a) André a acheté une salade et un jus.
Le prix de la salade est le double de celui
du jus. André a payé un montant maximal
de 4 $.
Coût d’un jus ($) :
b) La somme de deux nombres dépasse 64.
Le 1er nombre vaut 4 de plus que le triple
du 2e nombre.
1er nombre :
2e nombre :
Coût de la salade ($) :
2
+2 ≤4
Inéquation :
Inéquation :
Autre contrainte :
≥0
Autre contrainte :
c) Karine a fabriqué plus de 12 bracelets.
Nombre de bracelets :
d) Le périmètre d’un octogone régulier
est d’au moins 54 cm.
Mesure du côté (cm) :
Inéquation :
Inéquation :
Autre contrainte :
Autre contrainte :
e) Zack a 18 ans de moins que le triple de
l’âge de son petit frère, Alex. La différence
de leurs âges ne dépasse pas 6 ans.
f) Rose a étudié 20 minutes de plus que
Zoé. Ensemble, elles ont étudié moins
de 120 minutes.
Âge d’Alex (ans) :
Temps d’étude de Zoé (min) :
Âge de Zack (ans) :
Temps d’étude de Rose (min) :
Inéquation :
Inéquation :
Autre contrainte :
Autre contrainte :
g) Riman collectionne les timbres. Elle
estime qu’elle a au moins une centaine
de timbres, mais pas plus de 150.
Nombre de timbres :
Inéquation :
h) Yvo cuisine des petits gâteaux pour une
campagne de nancement. Il a deux
fois plus de gâteaux à la vanille que de
gâteaux au chocolat. Il a cuisiné au plus
80 gâteaux.
Nombre de gâteaux au chocolat :
Autre contrainte :
Nombre de gâteaux à la vanille :
Inéquation :
Curi sité
Autre contrainte :
Les symboles<et>apparaissent
dans un livre de Thomas Harriot
(1560–1621), publié de façon
posthume en 1631.
174
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.3
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La représentation de l’ensemble-solution d’une inéquation
• Il existe différentes façons de représenter l’ensemble-solution d’une inéquation,
c’est-à-dire l’ensemble de valeurs qui vérie une inéquation.
– Selon que la variable est discrète ou continue, on peut décrire
l’ensemble-solution en extension ou à l’aide d’un intervalle.
Astuce
– Dans les deux cas, on peut aussi utiliser une droite numérique.
Description
Inéquation
Extension /
Intervalle
Droite numérique
1. Pierre possède plus d’un ordinateur.
n > 1, n : nombre d’ordinateurs
(n est une variable discrète.)
0 1 2 3 4 5
2. Le temps de vol est d’au moins 4 heures.
t ≥ 4, t : temps (h)
(t est une variable continue.)
nP{2, 3, 4, …}
Une variable
discrète est une
variable dont on peut
énumérer toutes les
valeurs. Une variable
continue est une
variable qui peut
prendre toutes les
valeurs possibles
entre deux bornes.
tP[4, ∞[
4
La description en compréhension
• Il est possible de représenter un sous-ensemble de nombres réels à l’aide d’une description
en compréhension.
• Pour ce faire, il faut d’abord dénir l’ensemble de référence (n, z, q, q’, r) et ensuite décrire
les valeurs à l’aide de symboles mathématiques.
x est un élément de z
x est supérieur à 9
tel que
{xPz | x>9}
{xPr | −3 ≤ x<9}
1
On lit : « x est élément de z tel que x est supérieur à 9 ».
On lit : « x est élément de r tel que x est supérieur
ou égal à −3 et x est inférieur à 9 ».
Complète les énoncés décrivant les sous-ensembles de nombres réels suivants.
a) {xPr | x<−1}
x est
de l’ensemble des nombres
tel que x est
.
b) {xPn |0<x<8}
est
tel que x est
c) {xPz | x ≥ 15}
x est
x est
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de l’ensemble des nombres
à 0 et inférieur à
.
de l’ensemble des nombres
tel que
.
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
175
2
Associe chacune des inéquations à la droite numérique appropriée.
x<5
•
•
b) x ≥ 5
•
•
•
•
d) x ≥ −5
•
•
e) x ≤ −5
•
•
a)
c)
3
−5<x<5
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
−3
2
3
−2
−1
0
1
1
2
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
0
1
2
3
4
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
1
2 3
4
5
6
5
6
5
7
7
7
8
9
8
6
9 10 r
8
10 r
9
7
8
10 r
8
9 10 r
9
10 r
Complète le tableau suivant.
Modes de représentation
Inéquation
Astuce
Pour faire un
retour sur la
représentation
d’un intervalle
sur une droite
numérique,
consulte
la page 20.
Compréhension
a) x ≥ 15
{xPr | x ≥ 15}
b)
{xPr | x ≤ 4}
c)
{xPn | 0 ≤ x ≤ 4}
d)
{xPz | x ≥−2}
e) −4<x<3
f)
Intervalle ou
extension
−2 −1
xP{0, 1, 2, 3, 4}
0
1
2
1
3
2
4
3
0
1
3
4
5
4
2
6
5
3
4
{xPr | −4<x<3}
{xPn | x>3}
−1
0
1
2
5
6
7
8
xP]−∞, 14[
h)
Algèbre
−1
0
−3 −2 −1
g)
176
Droite numérique
Chapitre 4 — Section 4.3
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4
Dans chaque cas, nomme l’inconnue. Décris ensuite l’ensemble-solution en compréhension.
a) De 15 à 20 élèves ont réussi l’examen portant sur les inéquations.
b) Le côté de l’hexagone mesure au plus 30 cm.
c) La vitesse de course de Madeleine varie de 7 km/h à 12 km/h.
d) Hier soir, Sébastien a lu moins de 60 pages de son roman.
e) Aujourd’hui, la température extérieure a varié de −5 °C à 2 °C.
5
Dans chaque cas, nomme l’inconnue. Décris ensuite l’ensemble-solution à l’aide d’un intervalle
ou en extension.
a) Anaïs fabrique des colliers. Elle doit utiliser de 35 à 48 cm de l.
b) Le nombre de pièces de monnaie dans la tirelire d’Alex ne dépasse pas 23.
c) Maël a pêché de 4 à 10 poissons.
d) Georges a étudié au moins 45 minutes pour l’examen d’histoire.
e) Au cours du dernier mois, Diane a tricoté moins de 5 foulards.
6
Anthony a décrit les pointages de deux
équipes de basketball lors du tournoi qui a eu
lieu la semaine dernière.
Équipe 1
L’équipe a obtenu un pointage plus grand
que 75 mais inférieur à 80.
Équipe 2
L’équipe a obtenu 4 points de plus que
le pointage minimal obtenu par l’équipe 1.
Laquelle des deux équipes a le mieux joué ?
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Réponse :
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
177
7
Martin travaille dans un dépanneur. Voici différentes représentations du nombre d’heures
travaillées, t, au cours des trois dernières semaines :
Semaine 1
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Semaine 2
Semaine 3
tP[ 29, 45 ]
{tPr |21 ≤ t ≤ 36}
Le salaire horaire de Martin est de 18 $. Décris le salaire qu’il a gagné en tout pour ces trois
semaines à l’aide de la notation en intervalle.
Réponse :
8
Le triangle suivant est isocèle et x est d’au plus 5 cm.
a) Quel est le périmètre maximal de ce triangle ?
(x−1) cm
(x−1) cm
h
(x+2) cm
Réponse :
b) Est-il possible que l’aire de ce triangle soit de 8 cm2 ? Explique ta réponse.
Réponse :
178
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.3
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4.4 La résolution d’une inéquation
Les règles de transformation des inéquations
• Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on peut isoler la variable en appliquant
les règles de transformation suivantes.
1. Si on additionne ou soustrait le même nombre aux deux membres d’une inéquation, on obtient
une inéquation équivalente, c’est-à-dire une inéquation qui a le même ensemble-solution.
2. Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par le même nombre
strictement positif, on obtient une inéquation équivalente.
Astuce
Le mot « strictement »
indique que le nombre
doit être différent de zéro.
3. Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par le même nombre
strictement négatif, il faut inverser le sens du symbole d’inégalité pour obtenir
une inéquation équivalente.
x+5<12
x+5 < 12
−5
−5
x<7
3x ≥ 15
3x 15
≥
3
3
x≥5
−3x ≥ 24
−3x
24
−3 ≤ −3
x ≤ −8
−x +12<20
5
−x
+12 < 20
5 −
12 −12
−x < 8
5
−5∙ −x > 8∙(−5)
5
( )
x > −40
La résolution d’un problème qui se traduit par une inéquation
• Voici une démarche qui permet de résoudre un problème qui se traduit par une inéquation.
Mika aimerait connaître le prix de la nouvelle souris optique que Louisa vient d’acheter. Louisa lui
répond par une énigme mathématique : le quadruple du prix dépasse d’au moins 12 $ le double
du prix. Combien peut coûter cette souris ?
1) On identie la variable.
x : coût de la souris ($)
2) À l’aide des mots clés, on construit
l’inéquation.
4x ≥ 2x+12
3) On isole la variable à l’aide des règles de
transformation.
4x ≥ 2x+12
2x ≥ 12
x≥6
4) On répond à la question sous la forme
demandée.
{xPr|x ≥ 6} ou xP[ 6, ∞[
ou
6
et donc :
La souris de Louisa coûte au moins 6 $.
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
179
1
Résous les inéquations ci-dessous. Donne la réponse sous forme d’intervalle et représente
l’ensemble-solution sur une droite numérique.
a) x+9>15
Intervalle :
b) 4x>12
Intervalle :
c) −20x ≥ 100
Intervalle :
d) x−4 ≥ 9
Intervalle :
e) x ≤ −1
Intervalle :
f) 8x+13<−11
Intervalle :
Intervalle :
h) 12−x>5
Intervalle :
Astuce
Souviens-toi qu’il
faut inverser
le sens de
l’inéquation si
on effectue une
multiplication
ou une division
par un nombre
négatif.
4
g) −1 x<13
2
2
180
2
Encercle les inéquations équivalentes à x>2.
Algèbre
a) 3x+9<4x+7
b) 5(x+3)<25
c) 1,5x>3
d) 2x>4
e) −7x+16>2
f) x+6>4
Chapitre 4 — Section 4.4
2
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3
Résous les inéquations suivantes.
a) 3x−4 ≥ 8
b) 2x+5 ≤ −11x+31
c) −2(x+6)<−18
d) −3(x+1) ≤ −4(x+5)
e) 2x+8 >−12
f) 3 x−1 ≥ 5 x+3
g) 2(x+3) ≤ 4(x−1)
3
h)
−4x−1
3
4
6
i) 1,25x+2(x−0,25)>−0,75x
≥5
Exercice
Exercice
4
2
Résous les inéquations suivantes. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a) 2x+3>4
b) 400b>180(2b+3)
c) 1,3a−6(a+2) ≤ −18,11
d)
1
1
e) − x+3 ≥ 10+ x
12
f) −14r ≥
r+3
2
2
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3
9
(2y+4)<
2
4
7
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
181
5
L’âge de Benjamin correspond au triple de l’âge de Yasmina diminué de 7. La somme de leurs âges
est d’au moins 21 ans.
a) Nomme les inconnues à l’aide d’une variable. Traduis ensuite la situation
par une inéquation à une variable et résous-la.
Astuce
En présence de deux
inconnues, il est plus
simple de représenter
l’inconnue possédant
la plus petite valeur
par , et l’autre
inconnue en fonction
de celle-ci.
Réponse :
b) Quel est l’âge minimal que peuvent avoir Benjamin et Yasmina ?
Réponse :
6
Clara a obtenu 6 points de plus qu’Ahmed à son dernier examen de mathématique.
Le triple de la somme de leurs résultats donne moins de 375 points.
a) Nomme les inconnues à l’aide d’une variable. Traduis ensuite la situation
par une inéquation à une variable et résous-la.
Réponse :
b) Est-ce possible qu’Ahmed et Clara aient tous les deux réussi leur examen, sachant que la note
de passage est de 60 points?
182
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.4
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7
Un rectangle a une base qui mesure x cm et une hauteur de 8 cm.
Quelles sont les valeurs possibles de x pour que le rectangle ait un
périmètre inférieur à 30 cm ? Donne ta réponse sous forme d’intervalle.
Astuce
lière
Porte une attention particu
nir
au contexte an de bien dé
le.
val
ter
les bornes de l’in
Réponse :
8
Les dimensions possibles d’un terrain de soccer à 11 joueurs sont variables. Le périmètre du
terrain est au maximum de 420 m. La longueur du terrain doit avoir 30 m de plus que la largeur.
Quelles sont les dimensions maximales d’un terrain de soccer à 11 joueurs ?
Réponse :
9
Lors d’une expérience, Mathias doit mélanger deux solutions d’eau salée dont la concentration est
différente. La solution bleue est trois fois plus salée que la solution rouge. La moyenne des deux
concentrations de sel est d’au moins 15 g/L.
Quelles peuvent être les concentrations initiales de chaque solution ? Donne deux exemples possibles.
Exemples de concentrations initiales :
1. solution rouge :
solution bleue :
2. solution rouge :
solution bleue :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
183
10 Les leucocytes polynucléaires sont des cellules du système immunitaire. Une personne en santé
en compte au plus 7 600 par mm³ de sang. Leur nombre augmente en cas d’infection ou de
réaction inammatoire.
Il existe trois sortes de leucocytes : les basophiles, les neutrophiles et les éosinophiles.
Normalement, on peut compter jusqu’à 70 fois plus de neutrophiles que de basophiles et 5 fois
plus d’éosinophiles que de basophiles.
Quel est le nombre maximal de chaque type de leucocyte par millimètre cube de sang ?
Réponse :
11 Josiane est chiropraticienne. Elle peut traiter de 55 à 110 patients par
semaine. Elle reçoit en consultation dix fois plus d’adultes que d’enfants.
Le coût d’une consultation est de 39 $ pour un enfant et de 49 $ pour
un adulte.
Josiane croit que son revenu hebdomadaire devrait varier de 2 420 $
à 4 840 $. A-t-elle raison ? Si oui, justie ta réponse. Si non, indique
dans quel intervalle se trouve son revenu.
Curi sité
Un chiropraticien ou une
chiropraticienne est un
spécialiste de la santé
qui prévient et traite les
problèmes du système
musculo-squelettique et
de différents organes au
moyen de manipulations
de la colonne vertébrale.
Réponse :
184
Algèbre
Chapitre 4 — Section 4.4
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Exercices
supplémentaires
Questions à réponses courtes
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 4.1 et 4.2
1
2
Encercle les droites parallèles à la droite dont l’équation est y= 5 x+7.
4
a) y=7x+ 5
b) y=15− 5 x
d)
e) y=1,25x+25
4
5x+8
y=
4
c) y=3x+7
4
f) y= 10x+83
8
Résous les systèmes d’équations suivants.
a)
d)
H
y=6x−15
y=9x+21
H
y=−6x
y=8x+42
b)
H
y=−5x+20
y=x−4
e)
H
y=3 x+11
4
y= 5 x+26
12
c)
H
y=8x−14
y=−5x+12
f)
H
y=0,8x+1 205
y=0,6x+1 350
Sections 4.3 et 4.4
3
Complète le tableau suivant.
Modes de représentation
Inéquation
Compréhension
a)
−6 −5 −4 −3 −2 −1
b)
{xPn|x>10}
Intervalle ou
extension
Droite numérique
0
10 11 12 13 14 15 16 17
]−8, 1]
c)
4
Résous les inéquations suivantes.
a) x−5 ≥ 12
b) −15x ≥ 225
c) 2x−11<25
d) 8(3x+1) ≤ 48
e) −4(x−2)>3(x+13)
f) 3,5x+6 ≥ 0,5(x+1,8)
g) 1 (x+6)< 1 x
h) x+6 < 3x−1
2
3
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5
10
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
185
Questions à développement
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 4.1 et 4.2
5
Détermine les équations des systèmes représentés par chacune des tables
de valeurs suivantes. Trouve ensuite les couples-solutions.
a)
x
y1
y2
0
2
4
6
20
18
16
14
25
21
17
13
b)
Solution :
6
x
y1
y2
0
5
10
15
175
225
275
325
132
202
272
342
Solution :
Traduis chacune des situations par un système d’équations à deux variables. Réponds ensuite
à la question.
a) Marie recopie un texte à l’ordinateur. Elle tape en moyenne 50 mots/min. Quand Marie a
écrit 250 mots, William commence à recopier son texte.
Sachant que William tape en moyenne 70 mots/min, dans combien de minutes auront-ils
tapé exactement le même nombre de mots ?
b) David fait le plein du réservoir d’essence de sa camionnette dont la capacité maximale est
de 55 L. Il parcourt 250 km et il reste 15 L d’essence dans le réservoir. Il croise alors Annick
en moto. Il y a 8 L d’essence dans le réservoir de la moto.
Sachant que la moto d’Annick consomme 5 L/100 km, après combien de kilomètres y
aura-t-il la même quantité d’essence dans les deux réservoirs ?
Sections 4.3 et 4.4
7
La base d’un triangle mesure 14 cm. Sa hauteur mesure x cm. L’aire du triangle est supérieure
à (3x+40) cm2.
Dans quel intervalle se trouve la mesure de la hauteur ?
8
La vitesse de Gabriel pendant une course de natation était 1,5 fois plus élevée que celle
de Zorane.
Sachant que la différence entre les deux vitesses est d’au plus 0,65 m/s, trouve la vitesse
maximale de Gabriel.
186
Algèbre
Chapitre 4 — Exercices + supplémentaires
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Retour sur le chapitre 4
Questions à choix multiples
Parmi les couples suivants, lequel est la solution du système d’équations ci-dessous?
H
a) (−2, 67)
2
H
y=15−x
y=x+15
b)
H
y=15−x
y=x+16
c)
H
y=16−x
y=−x+15
d)
H
y=−x+15
y=15−x
Gabriel a parcouru 5 km en kayak. Il pagaie à une vitesse de 12 km/h. Philippe pagaie deux fois
moins vite que Gabriel, mais il a déjà parcouru 8 km. Sachant que x représente le temps (h) et y,
la distance parcourue (km), quel système d’équations représente cette situation ?
a)
4
d) (32, −307)
c) (9,6 ; 61,3)
Parmi les systèmes d’équations suivants, lequel ne possède aucune solution ?
a)
3
b) (2, 23)
y=−11x+45
y=5x+13
H
y=5x+12
y=8x+6
b)
H
y=12x+5
y=6x+8
c)
H
y=12x+5
y=24x+8
d)
H
y=5x+12
y=8x+24
RETOUR
1
Parmi les droites suivantes, laquelle représente l’ensemble-solution décrit ci-dessous ?
{xPz|−3<x ≤ 1}
5
a) − − − −
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
b) − − −
3 2 1
c)
d) − − −
3 2 1
−3 −2 −1
0
1
2
3
4
0
1
0
2
1
3
2
4
5
3
4
Quel est l’ensemble-solution de l’inéquation suivante ?
−2x+18<22
a) x<−2
6
b) x>−2
c) x<−10
d) x>−10
Jérémy télécharge des chiers sur son téléphone. Le mois dernier, il a téléchargé plus de
12 chiers. Par contre, le nombre de téléchargements n’a pas dépassé 25.
Parmi les expressions suivantes, laquelle traduit cette situation ?
a) 12<x<25
b) 12 ≤ x>25
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c) 12<x>25
d) 12<x ≤ 25
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
187
Questions à réponses courtes
7
Résous graphiquement les systèmes d’équations suivants.
a)
H
2
y=− x+14
y=x
b)
5
y=−2x+150
y=0,6x+280
H
y
y
14
400
12
350
300
10
250
8
200
6
100
2
50
0
RETOUR
8
188
150
4
2
4
6
8
10
12
14
−250 −200 −150 −100 −50 0
x
50
100 150 200 250
x
Résous les systèmes d’équations suivants à l’aide de la méthode par comparaison.
b)
H
2
5
3
3
1
13
y= x−
6
12
d)
H
y=8x+1 500
y=6x−1 000
a)
H
c)
H
y= x+
Algèbre
−x+5
2
y=
y=−4x+11
y=5x+20
Chapitre 4 — Retour
y=12−0,5x
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9
Traduis chaque situation par une inéquation. Nomme d’abord l’inconnue.
a) Clothilde a reçu au moins 12 amies pour son anniversaire.
b) Aujourd’hui, Maeva a bu de 4 à 6 L d’eau.
c) Alex gagne un salaire horaire. Cette semaine, il a travaillé 32 heures et il a gagné un minimum
de 540 $. On s’intéresse au salaire reçu cette semaine.
d) Julia a un certain nombre d’employés dans son équipe. Chaque employé travaille 40 heures par
semaine. La semaine dernière, les employés ont travaillé une somme maximale de 240 heures.
e) Guillermo veut peindre les murs de sa chambre. Il a 6 L de peinture. Avec 1 L de peinture,
il couvre au plus 10 m2. Guillermo se demande quelle surface maximale il pourra peindre.
a) 2x+11 ≥ 19
b) −3x<−8x
c) −2x+5>5x+26
d) 800x+1 500<900x+2 300
e) −3(x+5) ≤−6(2x−3)
f) (3x−7)
≥ 4(−x+9)
−
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RETOUR
10 Résous les inéquations suivantes. Écris l’ensemble-solution sous la forme d’un intervalle.
2
Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
189
Questions à développement
11 Trouve les coordonnées précises du point d’intersection des deux droites suivantes.
y
140
120
100
80
60
40
(72, 20)
20
−40 −20 0
−20
(0, −12)
RETOUR
−40
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 x
12 Le périmètre de l’hexagone suivant est inférieur à 83 cm. Complète le tableau qui présente
les dimensions possibles de ses côtés.
Côté
2x+7
4x
x
Dimensions (cm)
(Intervalle)
x
3x+1
x+1
x+2
x+2
x+1
3x+1
2x+7
4x
190
Algèbre
Chapitre 4 — Retour
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13 Le rayon des roues de la bicyclette de Zachary mesure 20 cm. Sachant que
Zachary a parcouru moins de 6 km, trouve le nombre maximal de tours complets
effectués par les roues de sa bicyclette. Souviens-toi que la circonférence d’un
cercle équivaut à la distance parcourue en un tour complet de roue (C=2pr).
Astuce
Assure-toi que,
dans les deux
membres de
l’inéquation,
les valeurs sont
exprimées avec
les mêmes unités
de mesure.
Réponse :
14 Lorick paie 25 $ par mois pour son forfait cellulaire. Daria paie un montant xe pour les messages
textes et un montant par minute pour les appels. Le mois dernier, Daria a parlé 150 minutes et sa
facture s’élevait à 30,50 $. Ce mois-ci, elle a parlé 182 minutes et sa facture est de 35,30 $.
RETOUR
Après combien de minutes d’appels Daria paie-t-elle plus cher que Lorick ?
Réponse :
15 Yalda fait du ski alpin avec son ami Kristof. Yalda a parcouru 150 m lorsque son ami Kristof
commence sa descente. Yalda évalue sa vitesse à 540 m/min et celle de Kristof à 675 m/min.
Sachant que la piste mesure 810 m, Kristof réussira-t-il à rattraper Yalda avant la n de la
descente ? Si oui, indique après combien de minutes. Si non, explique pourquoi.
Réponse :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
191
16 Pour ses prochaines vacances, Aliza veut louer un chalet. Elle hésite entre
les deux offres suivantes.
Chalet Zen
Chalet Le Boisé
Montant de base : 250 $
Montant de base : 150 $
Tarif quotidien : 40 $
Tarif quotidien : 65 $
Astuce
« Quotidien » signie
chaque jour.
Quelle offre est la plus avantageuse ? Aide Aliza à faire le bon choix.
RETOUR
Réponse :
17 Un avion A, qui vole à 850 m d’altitude, amorce
son atterrissage au moment où un avion B décolle.
Le graphique ci-contre illustre cette situation.
Après combien de secondes les deux avions
voleront-ils à la même altitude ?
Altitude (m)
1 000
Altitude des avions en fonction du temps
900
800
Avion A
700
Avion B
600
500
(40, 500)
400
300
200
100
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Temps (s)
Réponse :
192
Algèbre
Chapitre 4 — Retour
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18 Chloé a 150 $. Elle achète deux pantalons identiques et une jupe. Le pantalon coûte 10 $ de plus
que la jupe.
Sachant qu’il lui reste moins de 20 $ après ses achats, trouve un prix possible pour la jupe et
le pantalon.
Réponse :
19 À 9 h, Émilie part pour une longue randonnée en patins à roues alignées. Elle avance à une vitesse
de 12 km/h. À 11 h 15, sa mère remarque qu’Émilie a oublié son lunch. Elle décide de la rejoindre
en voiture. Elle conduit à une vitesse de 50 km/h.
RETOUR
La mère d’Émilie réussira-t-elle à lui apporter son lunch avant midi ? Justie ta réponse en indiquant
l’heure à laquelle elle rejoindra sa lle.
Réponse :
20 Léonard a tracé un triangle rectangle. Il dit à Grégoire que la
somme des deux cathètes ne dépasse pas 14 cm. Grégoire
afrme qu’il est possible que l’hypoténuse mesure 11 cm.
A-t-il raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs mathématiques.
(x+3) cm
(x+5) cm
Réponse :
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Les systèmes d’équations et les inéquations
Algèbre
193
Situation-problème
L’expédition
Charles-Olivier veut faire une expédition sur la rivière Noire.
Le centre d’aventure lui propose deux types d’embarcations.
Tarifs pour la location d’embarcation
Montant de base
Prix par jour
Canot
Kayak
40 $
65 $
32,50 $
27,50 $
Après avoir déterminé la durée de son expédition, CharlesOlivier a calculé que le coût de l’embarcation sera le même,
peu importe l’embarcation choisie.
L’hébergement peut se faire en éco-tente ou en éco-chalet. Charles-Olivier veut essayer les deux.
Le prix par jour dépend du type d’hébergement choisi :
• Le coût par jour en éco-chalet est de 30 $ de moins que le double du coût par jour en éco-tente.
• La différence entre les deux tarifs est de 60 $ par jour.
En plus du coût pour la location de l’embarcation et pour l’hébergement, Charles-Olivier prévoit 16 $
par jour pour la nourriture.
Charles-Olivier a un budget maximal de 900 $.
Combien de jours dans chaque type d’hébergement peut-il réserver an de respecter son budget ?
194
Situation-problème
L’expédition
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Réponse
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Situation-problème
L’expédition
195
Situation d’application
La course en patins
Justine, Naya et Yuri font une course en patins de 200 m. Au signal de
départ, Yuri et Justine partent en même temps. Malheureusement, Naya
s’élance 1,5 seconde après eux. Le tableau ci-dessous présente la vitesse
moyenne de chacun des patineurs.
Lorsque Naya rattrapera le deuxième patineur, quelle distance la séparera
de celui qui est en tête ?
Vitesse moyenne des patineurs (m/s)
Naya
Justine
Yuri
12,5
11
10
Réponse
196
Situation d’application
La course en patins
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CHAPITR E
L’aire
des solides
5
SOMMAIRE
Rappel.........................................................................................198
5.1
Les solides et leurs représentations........................... 201
5.2
La recherche de mesures à l’aide
de la relation de Pythagore........................................... 211
5.3
L’aire des solides.............................................................. 219
Exercices + supplémentaires............................................ 227
Retour sur le chapitre 5 ....................................................... 229
Atlas illuminé (CD1) ..............................................................236
Lumière ! (CD2)........................................................................238
Observe la tente de forme pyramidale ci-contre.
2,9 m
h
Quelle est la mesure de la hauteur de cette tente ?
4m
4,2 m
Réponse :
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L’aire des solides
Géométrie
197
Rappel
L’aire des gures planes et des solides
• Un polygone est une gure plane formée d’une ligne brisée fermée.
• Voici les formules de périmètre et d’aire de gures planes.
Carré
P=4c
A=c2
Triangle
P=a+b+c
A=
c
c
Parallélogramme
P=2∙(a+b)
=2a+2b
A=b∙h
a
h
b∙h
2
b
Losange
P=4c
RAPPEL
Rectangle
P=2∙(b+h)
=2b+2h
A=b∙h
d
D
D∙d
A=
2
Trapèze
P=a+b+c+B
b
a
h
b
b
c
a
h
(B+b)∙h
A=
2
c
Polygone régulier
à n côtés
P=n∙c
P∙a
A=
h
c
B
Cercle ou disque
C=2pr=pd
A=pr 2
a
2
d
O
r
• Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Un cylindre circulaire droit est
un solide dont la face latérale est courbe et les deux bases sont des disques parallèles.
• Voici les formules d’aire de polyèdres et du cylindre.
Prisme droit
Aire latérale :
AL=Pbase∙h
Cube
Aire latérale :
AL=4c 2
h
Aire totale :
AT=AL+2∙Abase
Pyramide régulière
Aire latérale :
P ∙a p
AL= base
2
ap
ab
Aire totale :
AT=AL+Abase
c
198
Géométrie
Chapitre 5 — Rappel
c
Aire totale :
AT=6c 2
Cylindre circulaire droit
Aire latérale :
AL=Cbase∙h
=2prh
h
Aire totale :
AT=AL+2∙Abase
=2prh+2pr 2
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À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a) d=3,4 cm
A=?
b) A=?
c) A=0,72 cm2
3,2 mm
1,2 cm
2,6 mm
0,8 cm
1 mm
A≈
h
1,2 cm
A=
d) A=22,96 cm2 d=?
h=?
h=
e) A=?
f) A=314,16 cm2
d=?
8,2 cm
d
d
d=
2
RAPPEL
5 dm
13 dm
12 dm
A=
d≈
Trouve l’aire latérale, l’aire d’une base et l’aire totale du prisme suivant.
8,66 cm
10 cm
12 cm
AL=
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Ab=
AT=
L’aire des solides
Géométrie
199
3
Trouve l’aire latérale, l’aire d’une base et l’aire totale du cylindre suivant. Conserve le symbole p
dans ta réponse.
5 cm
3 cm
AL=
4
Ab=
AT=
Trouve la mesure demandée de chacun des solides suivants.
a) AT=294 cm2 c=?
b) AT=1 400 m2
a=?
a
d=?
10 cm
d
RAPPEL
20 m
c) AL=(80p) cm2
c=
5
a=
d=
Ariane veut couvrir le comptoir de sa cuisine d’un matériau qui imite le granit. Le comptoir
a la forme d’un rectangle prolongé par un demi-cercle.
Quelle surface de matériau est nécessaire, sachant que pour la partie circulaire on aura 10 %
de pertes sur la quantité achetée ? Arrondis ta réponse au centième près.
3m
4m
Réponse :
200
Géométrie
Chapitre 5 — Rappel
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5.1 Les solides et leurs représentations
La classication des solides et leurs développements
• Un solide est une gure à trois dimensions qui occupe une portion de l’espace limitée par des faces
planes ou des faces courbes.
– Un polyèdre est un solide délimité par des faces planes qui sont des polygones.
– Un corps rond est un solide délimité par une ou plusieurs faces courbes.
• Le développement d’un solide est la gure plane obtenue par la mise à plat du solide.
Le développement permet de voir toutes les faces du solide.
Les polyèdres
Prisme droit à base hexagonale
et son développement
Pyramide régulière à base carrée
et son développement
c
Apex
Base
c
h
h
Centre
Apothème
Faces latérales
c
c
c
Base
c
Les corps ronds
Cylindre circulaire droit et son développement
r
r
h
Cône circulaire droit et son développement
Apothème
Centre
h
r
r
Boule
Centre
r
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• Une boule est un solide délimité par une sphère.
Il n’existe aucun développement possible pour la boule.
L’aire des solides
Géométrie
201
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Trace le développement de chacun des solides suivants.
a)
b)
Cube
2
c)
Tétraèdre
Pavé
Complète les développements du dé à 6 faces ci-contre
en ajoutant les points aux bons endroits.
Attention ! La somme des faces opposées d’un dé donne toujours 7.
202
a)
b)
c)
d)
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.1
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Les projections
• Les projections dans le plan sont des dessins qui permettent de représenter en deux dimensions
un objet à trois dimensions. Il existe plusieurs types de projections.
Les projections orthogonales
• Une projection orthogonale est la projection d’un seul côté de l’objet sur une surface plane
(ou une feuille de papier). On obtient ainsi différentes vues de l’objet.
Voici les trois vues généralement utilisées pour représenter un objet.
Dessus
Vue de dessus
Vue de face
Face
Vue de droite
Astuce
Droite
Les projections centrales
• Les projections centrales permettent de révéler la troisième dimension
d’un objet sur une surface plane (ou une feuille de papier).
• Il s’agit de la représentation qui ressemble le plus à ce que les yeux perçoivent.
le,
Dans une projection centra
les arêtes parallèles ou
isométriques dans la réalité
le
ne le sont pas toujours sur
te
cet
i
uo
urq
dessin. C’est po
en
projection est peu utilisée
mathématique.
Les principales projections centrales
La perspective à un point de fuite
La perspective à deux points de fuite
1) Une face du solide est d’abord tracée.
1) Une arête du solide est d’abord tracée et
reliée à deux points de fuite par des fuyantes.
2) On xe ensuite un point de fuite à l’horizon
et on relie chacun des sommets à ce point à
2) Les fuyantes sont réduites pour former
l’aide de segments (appelés les fuyantes).
les arêtes verticales du solide.
3) Les fuyantes sont réduites pour former
3) Les autres arêtes sont tracées à l’aide
les autres arêtes du solide.
des points de fuite.
horizon
horizon
horizon
horizon
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L’aire des solides
Géométrie
203
Les projections parallèles
• Les projections parallèles, comme les projections centrales, permettent de révéler la troisième
dimension d’un objet sur une surface plane.
• Cependant, dans une projection parallèle, toutes les arêtes du solide qui sont parallèles dans la réalité
sont représentées par des segments parallèles.
• De même, toutes les arêtes isométriques du solide sont représentées par des segments isométriques.
Les principales projections parallèles
La perspective cavalière
La perspective axonométrique
1) Une face du solide
est d’abord tracée.
1) Une arête verticale
du solide est
d’abord tracée.
2) À partir de chacun
des sommets, on
trace des fuyantes,
du même côté
de cette face et
parallèles entre
elles. L’angle de fuite
est entre 30° et 45°.
2) Les fuyantes de part
et d’autre de cette
arête sont parallèles
entre elles. L’angle de
fuite est d’environ 30°.
3) La mesure des
fuyantes est réduite
environ de moitié
pour former les
autres arêtes
du solide.
45°
30°
30°
30°
30°
3) La mesure des
fuyantes n’est pas
réduite par rapport
à l’arête située au
premier plan.
45°
Remarque :
Remarque :
Le papier quadrillé est tout indiqué pour
représenter des objets en perspective cavalière.
Le papier pointé est tout indiqué pour représenter
des objets en perspective axonométrique.
Curi sité
La perspective cavalière, aussi appelée
« perspective militaire », représente le
point de vue d’un observateur à cheval.
204
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.1
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
1
Dessine les vues de dessus, de face et de droite des arrangements suivants.
a)
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
Face
b)
Face
c)
Face
d)
Face
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L’aire des solides
Géométrie
205
2
Voici la vue de dessus d’un arrangement de cubes. Chaque nombre indique la quantité de cubes
isométriques empilés.
Dessine les vues de face et de droite de ce solide.
Vue de dessus
3
2
Vue de face
Vue de droite
2
1
1
2
Face
3
Stella a commencé à tracer différentes vues de cette maison. Complète-les.
Vue de dessus
Vue de face
4
Dessine à l’échelle les vues de face, de droite et de dessus d’une pyramide droite à base carrée
de 3 cm de côté, dont la hauteur est de 3 cm. Écris le plus de mesures possible.
Vue de dessus
206
Vue de droite
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.1
Vue de face
Vue de droite
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5
Complète chacune des représentations de prismes droits suivantes, selon la projection demandée.
a) Perspective à un point de fuite
b) Perspective à deux points de fuite
c) Perspective cavalière
d) Perspective cavalière
e) Perspective axonométrique
f) Perspective axonométrique
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L’aire des solides
Géométrie
207
6
Associe chaque type de perspective au dessin correspondant.
La perspective
cavalière
7
La perspective
axonométrique
La perspective
à un point de fuite
La perspective
à deux points de fuite
Voici des arrangements de dés.
1.
2.
3.
a) Quel arrangement est représenté en perspective cavalière ?
b) Quel arrangement est représenté en perspective à un point de fuite ?
c) Quel arrangement est représenté en perspective à deux points de fuite ?
208
8
Simon a dessiné un cube en perspective à
deux points de fuite. Comment peut-il modier
sa technique an que le cube ait une apparence
plus réaliste ?
9
On souhaite qu’une perspective à un point de fuite ressemble à une perspective cavalière.
Où doit-on placer le point de fuite ?
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.1
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
10 Nomme le solide représenté par chacune des projections orthogonales suivantes.
Dessine-le ensuite en perspective cavalière.
a)
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
b)
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
11 Voici les projections orthogonales d’un arrangement de cubes.
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
a) Combien de cubes y a-t-il dans cet arrangement ?
b) Dessine cet arrangement en perspective cavalière.
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L’aire des solides
Géométrie
209
12 Dessine l’arrangement ci-dessous en perspective cavalière, sans les cubes gris.
Face
13 Dessine l’arrangement ci-dessous en perspective axonométrique en ajoutant un cube adjacent
à chacune des faces bleues.
14 Observe les projections orthogonales d’un arrangement de cubes ci-dessous.
Dessine-le en perspective cavalière.
Vue de dessus
210
Géométrie
Vue de face
Chapitre 5 — Section 5.1
Vue de droite
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5.2 La recherche de mesures à l’aide
de la relation de Pythagore
Le repérage d’un triangle rectangle dans une gure géométrique
• La relation de Pythagore permet de trouver certaines mesures manquantes dans
des gures planes et des solides.
• En effet, il est possible de repérer des triangles rectangles sur les faces des
solides ou à l’intérieur de ceux-ci. Ces triangles sont déterminés par des segments
qui impliquent un angle droit, comme la hauteur, la médiatrice ou l’apothème.
h
h
O
apyramide
O
R
abase
On cherche la hauteur d’un cône dont le rayon, r, et l’apothème, a,
mesurent 5 cm et 13 cm respectivement.
h2+r 2=a 2
a
h
r
13 cm
R
c
2
c
h
Dans un polygone
régulier, est la
mesure du rayon
du cercle circonscrit
à ce polygone.
R
a
a
Astuce
h2+52=132
h2=169−25
h= 144
Curi sité
On obtient un cône circulaire
droit lorsqu’on fait tourner
un triangle rectangle autour
d’un côté de l’angle droit.
=12 cm
5 cm
La hauteur du cône est de 12 cm.
B
On cherche la longueur de la diagonale AG
du pavé ci-contre.
En appliquant la relation de Pythagore aux triangles
EHG et AEG, on trouve la longueur demandée :
1. Le triangle EHG est rectangle en H. Ainsi :
C
D
A
2 cm
E
G
F
3 cm
4 cm
H
2. Le triangle AEG est rectangle en E. Ainsi :
(m EG)2=(m EH)2+(m GH)2
(m AG)2=(m AE)2+(m EG)2
(m EG)2=(4)2+(3)2
(m AG)2=(2)2+(5)2
(m EG)2=16+9
m EG= 25=5 cm
(m AG)2=4+25
m AG= 29 ≈ 5,39 cm
La diagonale AG mesure 5,39 cm.
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L’aire des solides
Géométrie
211
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a)
Astuce
b)
10 m
R
6 dm
h
7,24 dm
R=?
h=?
h≈
R≈
26 cm
c)
d)
E
A
10 cm
h=?
4 km
B
h
D
a
17 cm
a=?
C
h=
a≈
Exercice
Exercice
2
Pour faire un retour
sur la relation de
Pythagore, consulte
la page 18.
Trouve l’aire des polygones réguliers ci-dessous. Utilise une feuille mobile pour effectuer
tes calculs.
6m
a)
b)
c)
5 2 cm
4,85 m
A≈
212
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.2
7 dm
A=
A≈
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3
Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a)
b)
h
13 cm
34 dm
h
5 cm
32 dm
h=?
h=?
h=
c)
h=
d)
29 m
h
16 dm
21 m
c
12 dm
c=?
h=?
c=
h≈
Exercice
Exercice
4
Dans chaque cas, trouve la mesure demandée. Utilise une feuille mobile pour effectuer
tes calculs.
a) 24 m
74 m
b)
15 cm
a
r
e)
37 dm
a=
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h=35 dm
f)
48 mm
R=
4,13 cm
73 mm
d
R
d=48 m
h
h≈
a≈
a
7m
12 cm
6 cm
4 cm
r=
d)
c)
d=
L’aire des solides
Géométrie
213
5
Trouve l’aire de chacun des polygones suivants.
P
a)
A
b)
G
T
B
Q
O
F
S
R
Q
c)
C
J
B
P
K
O
L
C
E
M
D
N
M
C=7 cm
P=21 cm
m JN=3,9 cm
Ppentagone ≈ 6,5 cm
m AM ≈ 6,6 cm
m BC ≈ 3,6 cm
m OC ≈ 3,5 cm
A≈
6
A≈
A=
L’intérieur d’une boîte de rangement a une largeur de 75 cm, une profondeur de 80 cm et une
hauteur de 30 cm.
Quelle est la longueur au cm près du plus grand bâton de randonnée qu’on peut y mettre ?
Astuce
À l’aide de ce
problème, peux-tu
démontrer que, pour
un pavé de dimensions
e
a× × , la diagonal
2
2
2
?
+
= a+
Réponse :
214
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.2
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7
Une entreprise qui vend du café souhaite insérer une cuillère en plastique
dans chacun de ses contenants cylindriques.
Quelle longueur maximale la cuillère peut-elle avoir ?
14 cm
Cbase=31,4 cm
Réponse :
8
Madeleine prépare une soupe dans un chaudron cylindrique dont la base a une circonférence
d’environ 58 cm. Elle lâche la cuillère dont elle se sert pour brasser la soupe an de répondre au
téléphone. La cuillère glisse, puis s’immobilise sur la paroi intérieure du chaudron.
Si la cuillère a une longueur de 20 cm, à quelle hauteur s’immobilise-t-elle ?
Réponse :
9
La ville de Gizeh, en Égypte, est célèbre pour ses pyramides. La plus haute d’entre elles est la
pyramide de Khéops. Son apothème mesure 180 m et le périmètre de sa base carrée mesure 912 m.
Quelle est la hauteur de cette pyramide ?
Curi sité
À première vue, la pyramide de Khéops
possède quatre faces planes. Cependant,
chacune de ces faces est plutôt
légèrement concave. La pyramide possède
donc huit demi-faces visibles. Du haut des
airs, on peut distinguer son apothème.
Réponse :
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L’aire des solides
Géométrie
215
10 Cet ordinateur portable est-il ouvert à 90° ? Explique ta réponse.
32,5 cm
35,8 cm
38,1 cm
20 cm
Réponse :
11 Les marches de cet escalier mesurent 32 cm et les contremarches mesurent 25 cm. La rampe
commence vis-à-vis du centre de la première marche et se termine vis-à-vis du centre de la
dernière marche.
Quelle est la longueur de la rampe ?
32 cm
25 cm
Réponse :
12 Dans une pièce de 244 cm de hauteur, Blanche a construit une étagère qui mesure 240 cm
de hauteur, 80 cm de largeur et 30 cm de profondeur.
Cette étagère peut-elle basculer vers l’avant ?
Réponse :
216
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.2
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
13 Toutes les arêtes du prisme à base triangulaire ci-dessous mesurent 3 cm.
Trouve le périmètre et l’aire du triangle ABC, si B et C sont les points milieux des arêtes,
et A est un sommet du prisme.
A
B
C
Réponse :
14 Détermine la trajectoire que doit suivre une fourmi qui marche sur le dé suivant pour se rendre le plus
rapidement possible au grain de sucre (S) situé au milieu d’une arête, si elle part du point milieu d’une
autre arête (F). Trouve ensuite la longueur de cette trajectoire si l’arête du cube mesure 4 cm.
F
S
Réponse :
15 Quelle est la hauteur de la pyramide à base octogonale ci-dessous ?
• Le périmètre de la base est d’environ 12,2 cm.
• La grande diagonale de la base (AE) mesure 4 cm.
Astuce
Trace le développement du
r
cube pour t’aider à trouve
le chemin le plus court.
• L’arête PE mesure 5 cm.
P
F
G
H
E
A
B
D
C
Réponse :
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L’aire des solides
Géométrie
217
H
16 Akram possède une boîte cubique dont l’arête mesure 1 dm.
Il afrme que la diagonale de la base, AC, mesure 2 dm, et
que celle du cube, AG, mesure 3 dm. A-t-il raison ?
E
G
F
D
Justie ta réponse à l’aide de la relation de Pythagore.
A
C
B
1 dm
Réponse :
17 Quelle est la distance entre les sommets A et B dans le cube suivant ?
A
6 cm
B
Réponse :
4 cm
18 Les sommets du triangle ABC sont situés sur les points milieux
de certaines arêtes du prisme à base rectangulaire ci-contre.
Ce triangle est-il rectangle en A ? Justie ta réponse à l’aide
de la relation de Pythagore.
B
A
8 cm
2 cm
C
Réponse :
218
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.2
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5.3 L’aire des solides
Les unités d’aire du système international (SI)
• Le système international d’unités (SI) est un système qui permet de noter des grandeurs comme
la longueur, l’aire, le volume, la masse, le temps, etc.
• Dans ce système, le mètre (m) est l’unité de longueur de base et le mètre carré (m²) est l’unité d’aire
de base.
• À partir d’un carré de 1 mètre de côté, on peut calculer que 1 m2=100 dm2.
Astuce
100 dm2 10 dm
1m
1 m2
A=1×1
=1 m2
pour
section
Consulte la page 408 de la
SI.
du
e
sur
s de me
revoir les principales unité
A=10×10
=100 dm2
Les principales unités d’aire du SI
×100
km
÷100
×100
hm
÷100
2
2
×100
dam
÷100
m
2
×100
2
×100
dm
÷100
÷100
×100
cm
÷100
2
2
mm2
• Pour convertir une mesure d’aire, il faut multiplier ou diviser la grandeur par une puissance de 100.
4 m2=40 000 cm2
1
2
23 mm2=0,000 023 m2
Complète les égalités suivantes.
a) 247 m2=
hm2
b) 0,003 2 km2=
m2
c) 29,5 cm2=
mm2
d) 12 000 dm2=
dam2
e) 2 dam2=
km2
f) 765 000 mm2=
m2
g) 0,000 7 hm2=
dm2
h) 0,000 098 hm2=
cm2
i) 1,42 dm2=
mm2
j) 2 145 dam2=
km2
k) 790 000 cm2=
hm2
l) 4,27 m2=
cm2
Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles <, >ou=.
a)
87 cm2
870 mm2
b) 0,45 km2
450 dam2
c)
0,005 6 m2
560 cm2
d)
700 hm2
7 km2
e) 12 000 dm2
1,2 dam2
f)
248 cm2
0,002 48 dam2
g)
40 000 cm2
h)
4,8 mm2
0,000 000 5 m2
4 m2
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L’aire des solides
Géométrie
219
L’aire des solides
• L’aire totale d’un solide (AT ) est la somme des aires de toutes les faces qui le délimitent.
• L’aire latérale d’un solide (AL ) est la somme des aires de toutes ses faces latérales.
• On peut s’appuyer sur les formules d’aires de polyèdres pour trouver l’aire des principaux corps ronds.
L’aire des principaux polyèdres
L’aire des principaux corps ronds
Prisme droit
Cylindre circulaire
droit
Aire latérale :
Aire latérale :
AL=Pbase∙h
AL=Cbase∙h
h
Aire totale :
h
=2prh
AT=AL+2∙Abase
Aire totale :
AT=AL+2∙Abase
=2prh+2pr 2
Pyramide régulière
Cône
Aire latérale :
Aire latérale :
C ∙a 2 pr∙a
AL= base =
AL=
Pbase∙ap
2
2
ap
ab
Aire totale :
2
=pra
Aire totale :
AT=AL+Abase
a
r
AT=AL+Abase
=pra+pr 2
c
L’aire de la sphère
Curi sité
• Une sphère est un ensemble de points situés
à égale distance d’un autre point, le centre.
Savais-tu qu’une
sphère est un solide
que l’on obtient en
faisant tourner un
disque autour d’un de
ses diamètres ?
• On peut recouvrir une sphère avec quatre
disques de même rayon.
r
Ainsi : AT=4πr 2
On cherche l’aire des solides suivants.
AT=Abase+Alatérale
6 cm
=pr +pra
=pra+2pr 2
=p(3)2+p∙3∙6
=p∙5∙13+2p∙52
=27p
220
Géométrie
AT=ALCône+Ademi-sphère
2
=(p∙9)+(p∙18)
3 cm
5 cm
≈ 84,82 cm
Chapitre 5 — Section 5.3
2
13 cm
=65p+50p
=115p
≈ 361,28 cm2
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À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Complète le tableau associé au cône ci-contre.
Nom du segment
Rayon
Diamètre
Apothème
36 cm
Hauteur
45 cm
Mesure du
segment (cm)
27 cm
2
Pour chacun des cônes suivants, trouve l’aire latérale, l’aire de la base et l’aire totale.
Arrondis tes réponses au centième près.
a)
17 cm
15 cm
8 cm
AL ≈
Ab ≈
AT ≈
AL ≈
Ab ≈
AT ≈
b)
48 cm
50 cm
14 cm
Exercice
Exercice
3
Trouve l’aire totale des cônes suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Arrondis tes réponses au centième près.
a)
b)
h
20 cm
c)
17 dm
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7m
a
4m
r
12 cm
AT ≈
20 dm
AT ≈
Astuce
Au besoin, utilise
la relation de
Pythagore pour
trouver certaines
mesures.
AT ≈
L’aire des solides
Géométrie
221
4
Trouve l’aire des sphères suivantes.
a)
b)
12 dm
d=4,4 dm
A≈
5
A≈
Trouve l’aire latérale, l’aire de la base et l’aire totale de la demi-sphère suivante.
9m
AL ≈
6
Ab ≈
AT ≈
Explique pourquoi l’aire totale d’une demi-sphère est de 3pr 2.
Exercice
Exercice
7
Trouve l’aire totale de la sphère et des deux demi-sphères suivantes. Utilise une feuille mobile pour
effectuer tes calculs.
a)
11 cm
b)
c)
20 cm
5,4 cm
AT ≈
222
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.3
AT ≈
AT ≈
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8
Trouve l’aire totale de chacun des solides suivants. Conserve le symbole p dans ta réponse.
a)
h
8 dm
5 dm
AT=
b)
13 dm
a
9 dm
AT ≈
c)
19 dm
AT=
d)
e)
6,4 dm
d=7 dm
AT=
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AT=
L’aire des solides
Géométrie
223
9
Pour chacun des solides suivants, trouve la mesure demandée. Arrondis tes réponses au dixième près.
a)
b)
a
r
5 mm
AT=144 mm2
r=?
AL=1,5 cm2
a=?
a≈
r≈
c)
r
AT=0,8 cm2
r=?
r≈
d)
a
7 mm
AT=425 mm2
h=?
h≈
e)
d
AT=4 cm2
d=?
224
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.3
d≈
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10 Trouve l’aire totale des solides suivants. Considère chacun des solides plus simples
dont il est composé.
a)
9 cm
7 cm
4 cm
AT ≈
b)
hcylindre=13 cm
rcylindre=15 cm
acône=18,7 cm
rcône=12 cm
AT ≈
11 On veut peindre un contenant qui a la forme d’un cylindre surmonté d’une demi-sphère.
Quelle est la surface à peindre en cm2 ?
3 dm
2,1 dm
Réponse :
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L’aire des solides
Géométrie
225
12 Les parents de Micha veulent fabriquer un récupérateur d’eau de pluie ayant la forme ci-dessous.
Il sera conçu en feuilles d’aluminium. L’aire d’une feuille est de 1,8 m 2 et chaque feuille se vend 25 $.
Combien coûtera le récupérateur ? Ne tiens pas compte des pertes ni des taxes.
85 cm
2m
30 cm
Réponse :
13 Archimède, grand savant de l’Antiquité (287–212 avant notre ère),
a trouvé différentes relations entre les aires et les volumes des cônes,
des sphères et des cylindres. Dans la gure ci-contre, la sphère est
inscrite dans un cylindre.
r
2r
À l’aide des formules d’aire appropriées, montre que l’aire latérale du
cylindre et l’aire de la sphère sont égales, pour toutes les valeurs de r.
Vérie ensuite cette équivalence avec r=2 cm.
226
Géométrie
Chapitre 5 — Section 5.3
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Exercices
supplémentaires
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
Questions à réponses courtes
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Section 5.1
1
Observe le développement ci-dessous. Nomme le polyèdre et dessine-le selon la perspective
cavalière. Dessine un autre développement de ce polyèdre.
Sections 5.2 et 5.3
2
Trouve l’aire des polygones suivants.
b)
a)
c)
A
A
O
B
O
F
B
C
m OB=3,4 cm
Ppentagone=20 cm
A≈
A≈
Complète le tableau ci-dessous, pour le cône ci-contre.
Les dimensions sont en cm. Conserve le symbole p dans
tes réponses.
a
a)
r
73
c)
106
d)
130
r
Aire de la base (cm2)
Aire totale (cm2)
15
56
1 024p
2 145p
e)
70
f)
g)
Aire latérale (cm2)
a
h
48
112
b)
h
D
m OA=2,4 cm
m AB=2,8 cm
A≈
3
E
B
C
13
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1 089p
576p
1 105p
L’aire des solides
Géométrie
227
Questions à développement
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 5.2 et 5.3
4
a)
Un ébéniste fabrique les pièces en bois d’un jeu.
b)
Quelle est la hauteur des pièces suivantes ?
h
a) h=
b) h ≈
Atotale=(24p) cm2
5
h
3 cm
A=(12p) cm2
5,4 m
Dans leur chalet, les Gagnon disposent d’un réservoir
d’eau dont les dimensions sont indiquées ci-contre.
Il doit être enduit d’un produit antirouille.
2,2 m
Quelle est l’aire de la surface à enduire ?
6
Michel veut recouvrir de peinture dorée
ses modèles pour l’expo-sciences.
2m
A
B
10 m
Sachant qu’un litre de peinture couvre
25 m2, trouve la quantité nécessaire en litres
pour chacun des modèles. Arrondis tes
réponses au dixième près.
2m
5m
a
7
An de préparer ses élèves pour un concours de
mathématique, John leur demande de trouver la mesure
de l’apothème du solide ci-contre.
5 cm
Quelle est la réponse ?
8
Rachel possède une tente en forme de pyramide à base
carrée. Elle doit remplacer la toile du plancher de sa tente.
AT=85p cm2
1,52 m
2,07 m
Quelle surface minimale de toile doit-elle acheter ?
9
Marvin veut confectionner une tente en forme d’igloo
dont le rayon est de 2 m.
Quelle surface de tissu imperméabilisé devra-t-il se
procurer, sachant qu’il l’utilise aussi pour le plancher et
qu’il y a des pertes de 10 % sur le tissu acheté ?
228
Géométrie
Chapitre 5 — Exercices+ supplémentaires
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Retour sur le chapitre 5
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
Questions à choix multiples
2
Observe le réfrigérateur ci-contre. Dans quelle perspective est-il dessiné ?
a) La perspective à un point de fuite
b) La perspective cavalière
c) La perspective à deux points de fuite
d) La perspective axonométrique
Parmi les vues ci-dessous, laquelle correspond à la vue
de gauche du solide ci-contre ?
a)
3
b)
c)
Face
d)
On expédie par la poste une boîte contenant une tige en aluminium. Le service postal n’accepte
que des colis dont les dimensions sont d’au plus 20 cm sur 25 cm sur 70 cm.
RETOUR
1
Quelle peut être la longueur maximale de la tige ?
4
a) 72 cm
b) 74 cm
c) 77 cm
d) 78 cm
Quelle est l’aire totale d’une demi-sphère de 10 cm de rayon ?
a) (200p) cm2
5
b) (300p) cm2
c) (400p) cm2
d) (450p) cm2
Un silo à grains de forme cylindrique mesure 20 m de hauteur
et 2 m de rayon.
De combien de m2 de tôle a-t-on eu besoin pour le construire
s’il n’y a pas de tôle au sol ? Ne tiens pas compte des pertes.
6
a) 251 m2
b) 252 m2
c) 263 m2
d) 264 m2
20 m
2m
On dispose 27 petits cubes de manière à former un grand cube.
On peint ensuite toutes les faces du grand cube obtenu.
Combien de petits cubes n’ont aucune face peinte?
a) 0
b) 1
c) 4
d) 9
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L’aire des solides
Géométrie
229
Questions à réponses courtes
7
Observe les trois perspectives axonométriques du cube ci-dessous. Dessine un développement
de ce cube. Respecte l’orientation des lettres sur chaque face.
X
I
8
II III
V
II
X
III A
Complète le dessin en perspective axonométrique de chacun des solides suivants.
b)
RETOUR
a)
9
Une entreprise d’asphaltage utilise un rouleau compresseur pour étendre l’asphalte sur
la chaussée. Ce rouleau mesure 3 m de longueur sur 1,4 m de diamètre.
Si on le fait rouler en ligne droite, quelle est l’aire de la surface (en km2) couverte par ce rouleau
après 15 000 tours complets ?
3m
1,4 m
Surface couverte
Réponse :
230
Géométrie
Chapitre 5 — Retour
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10 Trouve l’aire latérale des solides suivants.
a)
b)
12 cm
8,6 mm
4 cm
AL ≈
AL ≈
11 Trouve l’aire totale des cônes suivants. Conserve le symbole p dans ta réponse.
a)
b)
14 cm
RETOUR
12 cm
16 cm
10 cm
AT=
AT=
12 Trouve l’aire des sphères suivantes.
a)
b)
C=8p cm
10 m
A≈
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A≈
L’aire des solides
Géométrie
231
Questions à développement
13 Voici la vue de dessus d’un arrangement de cubes.
Chaque nombre indique la quantité de cubes isométriques empilés.
Dessine cet arrangement en perspective cavalière. Dessine ensuite
sa vue de droite.
2
2
3
1
2
1
Face
RETOUR
Perspective cavalière
Vue de droite
14 Propose des mesures pour le rayon et l’apothème de trois cônes droits différents qui ont chacun
une aire latérale de 24p cm2.
Réponse :
15 Le contenant cylindrique ci-contre contient exactement trois balles
de tennis. Trouve l’aire d’une balle de tennis.
19,2 cm
Réponse :
232
Géométrie
Chapitre 5 — Retour
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16 L’aire d’une balle de golf est d’environ 5 701,24 mm2. Un contenant cylindrique contient
exactement cinq balles de golf.
GOLF
Combien de matériau (en cm2) est nécessaire pour fabriquer un contenant ?
Ne tiens pas compte des pertes.
Réponse :
2,2 m
2m
Sachant qu’un litre de peinture couvre 20 m2, combien de contenants
de 2 L doit-on acheter pour repeindre 17 bouées ?
RETOUR
17 Une compagnie maritime doit repeindre des bouées abîmées par la rouille.
Les dimensions d’une bouée sont indiquées sur la gure ci-contre.
2,5 m
Réponse :
18 Un artiste crée deux installations lumineuses pour le jardin botanique de sa ville.
Les bases et les faces latérales de ces installations sont faites de toile.
Laquelle des installations nécessite la plus grande quantité de toile ?
2m
1,3 m
1,2 m
Réponse :
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L’aire des solides
Géométrie
233
19 Problèmes de cône ! Résous les problèmes suivants.
a) Une conserie vend des cor nets remplis de sucre d’érable. Chaque cornet est emballé
individuellement.
Quelle surface de pellicule d’emballage, incluant des pertes de 15 % sur la pellicule achetée,
est nécessaire pour emballer 15 000 cornets ? Arrondis ta réponse au m 2.
r
4 cm
h
12 cm
Cornet type
RETOUR
Réponse :
3 cm
b) La conserie sert aussi des cornets de crème glacée dont le cône est
enrobé de chocolat. Pour couvrir 1 dm2 de cornet, il faut 1 ml de chocolat.
2,8 cm
Combien de litres de chocolat faut-il pour couvrir 10 000 cornets ?
13 cm
12 cm
Réponse :
234
Géométrie
Chapitre 5 — Retour
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20 Un cube est sectionné en deux prismes droits isométriques à base
triangulaire. L’aire totale du cube initial est de 486 cm2.
Trouve l’aire totale d’un des prismes droits à base triangulaire.
Réponse :
21 Une ébéniste découpe un cube de bois de 24 cm d’arête.
Le trait de coupe passe par chacun des trois points A,
B et C qui sont situés à 16 cm du sommet S du cube.
L’ébéniste peint ensuite toutes les faces du solide obtenu.
C
A
S
RETOUR
Quelle est l’aire totale de ce solide ?
B
Réponse :
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L’aire des solides
Géométrie
235
Situation-problème
Atlas illuminé
Claudio veut créer une sculpture du géant Atlas portant la
Terre sur ses épaules. Il souhaite que les symboles du feu et
de l’eau soient intégrés à son œuvre. Au-dessus de sa tête,
Atlas tiendra une sphère illuminée qui représente la Terre.
À ses pieds seront posés une pyramide régulière à base
carrée et un cône droit, représentant le feu et l’eau.
Les dimensions de la sphère, de la pyramide et du cône
doivent respecter les contraintes suivantes :
• le cône a une hauteur de 3 m ;
• la pyramide et le cône ont la même aire latérale ;
• la pyramide et le cône sont placés sur des socles carrés de 1,8 m de côté ;
• la base du cône et celle de la pyramide couvrent un maximum de la surface du socle ;
• l’aire totale de la sphère est équivalente à l’aire latérale de chacun des deux autres solides ;
• la surface de la sphère sera illuminée à l’aide d’ampoules disposées de façon que chacune
d’elles éclaire une surface de 2,5 cm2.
Aide Claudio en complétant le tableau des mesures à la page suivante. Trouve les dimensions
des trois solides et le nombre minimal d’ampoules nécessaires pour éclairer la sphère. Arrondis
tes calculs au mm et au mm2 près.
236
Situation-problème
Atlas illuminé
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Réponse
Tableau des mesures
Côté de la base
Rayon de la base
Hauteur
Hauteur
Apothème
Apothème
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3m
Rayon
Nombre d’ampoules
Situation-problème
Atlas illuminé
237
Situation d’application
Lumière !
Adrien veut fabriquer deux abat-jour différents pour les lampes de sa chambre. L’un des modèles
a la forme d’un tronc de pyramide régulière à base carrée et l’autre a la forme d’un tronc de cône.
20 cm
10 cm
26 cm
26 cm
40 cm
20 cm
Curi sité
On obtient un tronc de
pyramide ou un tronc
de cône en coupant une
pyramide ou un cône par
un plan parallèle à la base.
Adrien cherche la quantité de matériau nécessaire pour fabriquer les abat-jour. Il sait que la formule
de l’aire latérale d’un tronc de pyramide est AL= (PGB+PPB )∙a , où PGB et PPB sont les périmètres de
2
la grande et de la petite base, et où a est la hauteur d’une face latérale.
À partir de cette formule, déduis une formule pour l’aire latérale du tronc de cône. Trouve ensuite la
quantité minimale de matériau nécessaire pour fabriquer les abat-jour d’Adrien.
Réponse
238
Situation d’application
Formule d’aire d’un tronc de cône :
Quantité minimale de matériau nécessaire :
Lumière !
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Consolidation : Chapitres 1 à 5
Questions à choix multiples
1
Réduis l’expression
a) 5
2
(2x−3)(2−3x)−2(−3x 2−x−3)
3x
4
x
c) −4x+5
b) 4x+5
d) 5−
Parmi les expressions algébriques suivantes, laquelle est équivalente à
3
a)
3
.
26
32
b)
34 212
∙
29 3 6
c) 26÷
32
23
23
32
d)
?
(22) 3
3∙3
Une fonction passe par les points (2, −5) et (6, 15).
Quel est le taux de variation entre ces points ?
a) 0,4
4
5
b) 2
c) 2,5
d) 5
Parmi les mesures suivantes, laquelle correspond
à l’apothème de l’hexagone ci-contre ?
a) 4,33 cm
b) 5,59 cm
c) 7,07 cm
d) 18,75 cm
a
5 cm
y
Observe le graphique ci-contre.
De quel type de fonction s’agit-il ?
a) Fonction linéaire
b) Fonction de variation inverse
x
c) Fonction afne
d) Fonction constante
6
Deux amis s’entraînent pour le marathon. Mathieu a déjà parcouru 5 km et il continue à courir
à une vitesse de 12 km/h. Hélène a parcouru 8 km et elle poursuit sa course à une vitesse
inférieure à celle de Mathieu.
Si x représente le temps (h) et y, la distance parcourue (km),
quel système d’équations représente cette situation ?
a)
H
y=5x+12
y=2,5x+8
b)
H
y=12x+5
y=6x+8
c)
H
y=5x+12
y=2,5x+4
d)
H
y=12x+6
y=5x+8
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Consolidation : Chapitres 1 à 5
239
7
Parmi les inéquations ci-dessous, laquelle est équivalente à l’inéquation suivante ?
−3x−4 ≥ 5
a) x ≤ 3
8
c) x ≥ −3
b) x ≥ 3
d) x ≤ −3
Parmi les représentations suivantes, laquelle correspond à l’ensemble-solution décrit ci-dessous ?
{xPr|0<x ≤ 5}
a)
c)
9
b)
−1
0
1
2
3
4
5
−1
0
1
2
3
4
5
d)
−1
0
1
2
3
4
5
−1
0
1
2
3
4
5
Parmi les systèmes d’équations suivants, lequel ne possède aucune solution ?
a)
H
y=3x−2
y=15x−2
b)
H
y=3x+2
1
3
y= x+2
c)
H
y=−1+2x
y=2x−1
d)
H
4
5
y= x−
1
2
y=0,8x+0,5
10 Quelle est l’aire latérale du cône ci-contre ?
a) 56,55 cm2
b) 63,22 cm2
c) 91,50 cm2
d) 189,67 cm2
6 cm
3 cm
11 Une sphère a une aire de 530,93 cm2. Quelle est l’aire totale d’une demi-sphère ayant
le même rayon ?
a) 132,73 cm2
b) 265,47 cm2
c) 306,31 cm2
d) 398,20 cm2
12 Quelle est l’aire totale du plus grand cône qu’on peut sculpter
dans un cube en styromousse de 25 dm de côté ?
a) 1 588,50 dm2
b) 2 079,34 dm2
c) 3 061,09 dm2
d) 3 926,99 dm2
13 Parmi les vues suivantes, laquelle correspond à la vue de droite
du solide ci-contre ?
a)
240
Consolidation : Chapitres 1 à 5
b)
c)
25 dm
Face
d)
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Questions à réponses courtes
14 Réduis les expressions suivantes à l’aide des lois des exposants. Trouve ensuite la réponse.
a) 53∙5−1=
b) (32)4 =
c)
3
4
d) 52 ∙ 55 =
e) (11−3)−3∙11−8=
f)
6 1
g) 54 2 =
h)
5
5
(7 )
25
=
2−2
2∙ 8 =
2
2 3
i) 7 ∙(7 6) =
24
=
38
7 7
15 Place les nombres suivants par ordre croissant.
3,2×10 5
2,5×10
−4
29 000 000
0,000 000 3
1,5×10
−7
16 Réduis les expressions algébriques suivantes.
a) −3(x−3y+4)−4(2x+6y)
b) (2ab−3)(4ab+5)
c) (2x 2−3xy)(2x 2+3xy)
d) 3xy 2(x+y)2
e)
1 2x2
3x
x
−
2
3
4
g)
72a3b4
8 a2 b
(
)
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f)
2x+3
x−4
−
3
2
h)
45a4b 5−60a 3b4+125a 2b
5 a 2b
Consolidation : Chapitres 1 à 5
241
17 Pour chacune des relations suivantes, indique la variable qui correspond logiquement à la variable
indépendante et celle qui correspond à la variable dépendante.
a) Le temps de cuisson d’un rôti varie selon son poids.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
b) Le temps nécessaire pour se rendre à Québec en voiture dépend de la vitesse à laquelle on roule.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
c) On divise le prix de location d’un autobus par le nombre de passagers pour déterminer le coût
par passager.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
d) Le poids d’un enfant varie beaucoup selon son âge.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
18 Trouve la règle des fonctions représentées.
a)
b)
y
y
(−4, 5)
1
−1 0
−1
1
x
(5, 6)
(0, −3)
(10, 3)
(15, 2)
1
0
y
1
x
y
c)
d)
(3, 8 )
(12, 8)
(12, 3)
(4, 1)
1
0
242
1
Consolidation : Chapitres 1 à 5
1
x
0
1
x
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19 Trouve la règle des droites associées aux tables de valeurs suivantes.
a)
x
y
4
7
6
8
8
9
10
10
b)
−5
17,5
x
y
y=
−4
14
−3
10,5
−2
7
y=
20 Résous graphiquement les systèmes d’équations suivants.
a)
H
y=−2x+3
y=4x
b)
H
y=−x+4
1
2
y= x−2
y
y
0
0
x
x
21 Résous algébriquement les systèmes d’équations suivants.
a)
H
y=2x+3
y=−3x+18
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b)
H
3
4
x
y= −2
5
y= x+4
Consolidation : Chapitres 1 à 5
243
22 Trouve l’aire totale des solides suivants. Conserve le symbole p dans ta réponse.
a)
b)
5 cm
12 cm
6m
Sphère
Cône
AT=
c)
AT=
d)
8 cm
3 cm
12 cm
Pyramide à
base carrée
2 cm
Cylindre
AT=
AT=
23 Sachant que l’aire totale de chaque solide est de (45p) mm2, trouve la mesure demandée.
a)
b)
a=?
r=?
3 mm
a=
244
Consolidation : Chapitres 1 à 5
r≈
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Questions à développement
24 Pour son projet d’arts plastiques, Mathilde fabrique une boîte en forme de prisme à base triangulaire.
Les mesures du prisme varient selon ce qui est indiqué sur l’illustration ci‑dessous (x ≥ 2 cm).
Trouve l’expression algébrique qui correspond à l’aire totale de la boîte.
(3x) cm
(2x−3) cm
5x cm
Réponse :
25 Mathieu a effectué l’ascension du
mont Monroe. Le graphique ci‑contre
représente son altitude durant
la randonnée.
a) Quelle est l’ordonnée à l’origine
et que représente‑t‑elle dans
le contexte ?
Altitude
(m)
1 700
Ascension du mont Monroe
1 600
1 500
1 400
1 300
1 200
1 100
b) Combien de temps Mathieu
a‑t‑il pris pour atteindre
le sommet ?
c) Quelle est l’altitude
maximale qu’il
a atteinte ?
d) Combien de temps
la randonnée
a‑t‑elle duré ?
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1 000
900
800
700
600
(0, 621)
500
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Temps (h)
Consolidation : Chapitres 1 à 5
245
26 Pendant ses vacances aux États-Unis, Joanie a noté dans un tableau la température extérieure
en degrés Fahrenheit (°F) et en degrés Celsius (°C). Cependant, certaines graduations des
thermomètres étaient effacées. Les mesures sont donc approximatives.
a) Construis le nuage de points associé à cette table de valeurs. Trace ensuite la droite la mieux
ajustée au nuage de points.
Température (°F)
78
84
88
90
92
Température (°C)
25
28
31
32
33
Depuis les années 1960, on note généralement
la température en degrés Celsius dans la plupart
des pays du monde. Aux États-Unis, on a conservé
l’ancienne mesure, les degrés Fahrenheit.
Température notée par Joanie
Température (°C)
b) S’il fait −25 °C, quelle température sera afchée
sur le thermomètre en degrés Fahrenheit ?
Curi sité
Réponse :
0
Température (°F)
27 Julianne s’occupe du jardin de sa grand-mère. Elle y consacre de 7 à 14 heures de travail par
semaine. Sa grand-mère lui offre un salaire calculé selon l’une des deux options suivantes :
• Option 1 : salaire hebdomadaire de 120 $
• Option 2 : salaire de 10 $/h, plus 5 $ par semaine pour son déplacement
À l’aide d’une table de valeurs, détermine l’option la plus avantageuse pour Julianne.
Réponse :
246
Consolidation : Chapitres 1 à 5
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28 Bao est traiteur. À l’occasion d’un événement, il doit préparer 1 500 tapas. On s’intéresse
au nombre de tapas par invité.
a) Si Bao veut servir au moins 15 tapas par
invité, combien de personnes peuvent
participer à cet événement ? Trouve la
réponse à l’aide d’une équation.
Réponse :
b) Si chaque invité a mangé en moyenne
12 tapas, combien de personnes étaient
présentes ?
Réponse :
29 La longueur d’un rectangle mesure 2 cm de plus que le triple de sa largeur. Si le périmètre de ce
rectangle est supérieur à 12 cm, mais d’au plus 48 cm, dans quel intervalle se situe la largeur de
ce rectangle ?
Réponse :
30 Hélène veut faire de la voile sur le lac. Elle a le choix entre deux entreprises de location.
Les navigateurs
Coût xe de 50 $+7,50 $/h
Les aventuriers de l’eau
10 $ pour 30 minutes
Pour quelle durée de location le coût est-il le même chez les deux entreprises ? Quel est ce coût ?
Réponse :
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Consolidation : Chapitres 1 à 5
247
31 Un conseur offre un nouveau chocolat à sa clientèle.
Il utilise le moule ci-contre pour le produire.
Quelle est l’aire de la surface supérieure du moule ?
3,3 cm
17,5 cm
27,5 cm
Réponse :
8m
32 Un silo à grains a la forme ci-contre.
Si la hauteur totale du silo est de 25 m, et qu’on dispose de 575 m2 de
tôle, est-ce sufsant pour changer le recouvrement de l’ensemble du silo ?
Ne tiens pas compte des pertes.
17 m
25 m
Réponse :
248
Consolidation : Chapitres 1 à 5
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Situation d’application
Campagne de nancement
À l’école de Sergiu, les enseignants organisent un voyage de n d’année
à Boston. Ils proposent deux campagnes de nancement aux élèves.
• En septembre, c’est la vente d’oranges. On calcule les prots en
fonction du nombre de caisses vendues. La vente de 20 caisses
d’oranges rapporte 60 $. La vente de 55 caisses d’oranges rapporte
252,50 $. Ces montants tiennent compte des frais de livraison payés
par l’élève. Sergiu a vendu 25 caisses d’oranges.
• En décembre, c’est la vente de tablettes de chocolat. Chaque tablette vendue rapporte 4 $. L’élève
doit d’abord acheter le chocolat en boîtes de 25 tablettes chacune. Sergiu aimerait en vendre le
plus possible. Avec ses économies, s’il achète 3 boîtes de tablettes, il lui restera 70,50 $. Il ne peut
pas acheter 5 boîtes de tablettes, car il lui manque 4,50 $.
Le coût du voyage est de 450 $. Sergiu réussira-t-il à amasser cette somme grâce aux deux
campagnes de nancement ?
Réponse
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Situation d’application
Campagne de nancement
249
Situation-problème
Le feu de forêt
Un important feu de forêt ravage le nord de l’Ontario depuis
quelques jours. La vitesse de propagation du feu ainsi que le
volume d’eau nécessaire pour l’éteindre sont indiqués dans
les tableaux suivants.
Vitesse de propagation du feu de forêt
Temps (min)
3
6
9
12
Distance (m)
31,5
63
94,5
126
Volume d’eau nécessaire pour éteindre le feu
Supercie (m2)
25
50
70
80
Volume (L)
38
78
110
126
An d’aider la province voisine, le gouvernement du Québec envoie cinq camions-citernes contenant
chacun 35 000 L d’eau. À l’arrivée des pompiers québécois, le feu de forêt se trouve à 12,6 km de
la ville la plus proche et se déploie sur une supercie de moins de 100 000 m2. Les pompiers peuvent
utiliser un seul camion-citerne à la fois. Le réservoir d’un camion-citerne se vide à une vitesse de
150 L/min.
Si les conditions météorologiques ne changent pas, pourra-t-on éteindre le feu de forêt avant
qu’il n’atteigne la ville la plus proche ?
250
Situation-problème
Le feu de forêt
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Réponse
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Situation-problème
Le feu de forêt
251
Situation d’application
Histoire de pêche !
2,5 cm
Pierre est un grand amateur de pêche. Lorsqu’il
pêche à la ligne morte, il utilise un otteur pour
stabiliser sa ligne et permettre à l’hameçon de
6 cm
descendre plus profondément dans l’eau.
Il hésite entre deux modèles de otteurs qui
mesurent chacun 6 cm de hauteur. Il cherche
le modèle le moins dispendieux. Le coût d’un
otteur varie en fonction de son aire totale.
Quel modèle Pierre devrait-il choisir ?
4 cm
6 cm
3,5 cm
3,5 cm
Modèle 1
Modèle 2
Réponse
252
Situation d’application
Histoire de pêche !
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CHAPITR E
Le volume et
les solides semblables
6
SOMMAIRE
Rappel.........................................................................................254
6.1
Les mesures de volume et de capacité ..................... 257
6.2
Le volume des solides ................................................... 263
6.3
Les solides décomposables.......................................... 270
6.4
Les solides semblables .................................................. 275
Exercices + supplémentaires............................................ 285
Retour sur le chapitre 6 ....................................................... 287
Maïs essoufé (CD1)............................................................294
Les chandelles de Sophie (CD2) .....................................296
Ce petit dé de 1 cm de côté occupe un volume
de 1 cm3.
3 dm
Combien de dés de 1 cm faut-il pour remplir
3
une boîte de 24 dm3 ?
2 dm
4 dm
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
253
Rappel
Les caractéristiques de gures semblables
• Des gures semblables sont des gures qui ont la même forme.
• Ainsi, deux gures sont semblables lorsque :
1) les angles homologues sont isométriques ;
2) les longueurs homologues (côtés, diagonales, etc.) sont proportionnelles, c’est‑à‑dire
que les rapports des mesures de longueurs homologues sont égaux.
Astuce
• Le rapport de similitude, k, est le rapport des mesures de longueurs
homologues des gures semblables.
Deux gures associées
par une homothétie
sont nécessairement
semblables. Les rapports
d’homothétie et de
similitude sont alors égaux.
Le triangle ABC est semblable au triangle DEF. On écrit : ∆ABC ∼ ∆DEF.
C
98°
4,24 dm
5 dm
F
2,12 dm
45°
RAPPEL
A
37°
7 dm
B
D
98°
45°
2,5 dm
37°
3,5 dm
E
1) Les angles homologues sont isométriques :
∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F.
2) Les longueurs homologues sont proportionnelles :
k=
m AB m BC m AC
=
=
m DE
m EF
m DF
Donc, k=
ou
7
5
4,24
= =
=2
3,5 2,5
2,12
k=
m DE
m EF
m DF
=
=
m AB m BC m AC
k=
3,5 2,5
2,12
1
= =
=
7
5
4,24 2
Ainsi, on peut dire que les côtés du triangle ABC mesurent 2 fois ceux du triangle DEF ou que les
côtés du triangle DEF mesurent
1
1
fois ceux du triangle ABC.
2
Ces deux triangles isocèles sont‑ils semblables ?
D
70°
15,3 cm
A
50°
5,7 cm
B
3 cm
C
E
7,5 cm
F
Réponse :
254
Géométrie
Chapitre 6 — Rappel
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2
Pour chaque paire de gures semblables, trouve le rapport de similitude.
a)
A′
A
E
D
B′
B
3 cm
A
b)
E′
B′
12 cm
C
D′
5,1 cm
C′
C
A′
9 cm
k=
A′
c)
d)
27 cm
B′
5,76 cm
7,68 cm C′
B
k=
A
21,6 cm
D′
9,6 cm
15 cm
A′
2,4 cm
B′
0,28 cm
B
D
0,48 cm
1,4 cm
B
A
D′
C′
C
D
C′
k=
3
RAPPEL
C
k=
Les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables.
C
Côtés
homologues
(dm)
12 dm
10,4 dm
6 dm
A
a) Complète le tableau ci-contre.
b) Dans quel cas le triangle est-il agrandi ?
k<1
m A′C′
3
5
k=2,6
k>1
c) Dans quel cas le triangle est-il réduit ?
k<1
m B′C′
Rapport
de similitude k
k=
B
m A′B′
k=
5
2
k>1
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
255
4
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) Tous les carrés sont semblables.
b) Deux pentagones réguliers ne sont pas nécessairement semblables.
c) Les angles homologues de deux gures semblables sont isométriques.
d) Si le rapport des hauteurs de deux rectangles semblables est de 3,
le rapport des bases de ces deux rectangles est aussi de 3.
e) Tous les losanges sont semblables.
5
Sachant que les deux triangles suivants sont semblables, trouve le périmètre du triangle mauve.
4,4 dm
5,94 dm
5,5 dm
RAPPEL
3,3 dm
Réponse :
6
Un arbre de 5 m de hauteur se trouve près d’un immeuble de 12 m de hauteur. Les triangles ABC
et ADE ainsi formés sont semblables.
À l’aide des mesures données, trouve la distance entre la cime de l’arbre et le sommet
de l’immeuble.
E
C
8,6 m
D
B
A
Réponse :
256
Géométrie
Chapitre 6 — Rappel
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6.1 Les mesures de volume et de capacité
Le volume
• Le volume d’un solide est la mesure de l’espace qu’il occupe.
• Dans le système international (SI), l’unité
de volume de base est le mètre cube (m3).
1m
• À partir d’un cube dont l’arête est de 1 m,
on peut calculer que 1 m 3=1 000 dm3.
V=1×1×1
=1 m3
10 dm
V=10×10×10
=1 000 dm3
Principales unités de volume du SI
×1 000
×1 000
×1 000
×1 000
×1 000
×1 000
3
3
3
3
3
km
hm
dam
m
dm
cm
mm3
÷1 000
÷1 000
÷1 000
÷1 000
÷1 000
÷1 000
3
• Pour convertir une mesure de volume, il faut la multiplier ou la diviser par une puissance de 1 000.
• 5 m3=5 000 000 cm3, car :
5×1 0002=5 000 000
• 56,3 mm3=0,000 000 056 3 m3, car :
56,3÷1 0003=0,000 000 056 3
La capacité
• La capacité est la mesure du volume qu’un récipient peut contenir.
• La capacité sert à mesurer l’espace qu’occupent des substances liquides ou granuleuses.
• L’unité de mesure de la capacité est le litre (L). C’est la capacité d’un cube de 1 dm d’arête.
1 L=1 dm3
• Comme pour le mètre ou le gramme, les multiples et les sous-multiples du litre sont déterminés
selon une base décimale.
Principales unités de capacité
×10
×10
×10
×10
×10
×10
kilolitre
hectolitre
décalitre
litre
décilitre
centilitre
millilitre
(kl)
(hl)
(dal)
(L)
(dl)
(cl)
(ml)
÷10
÷10
÷10
÷10
÷10
÷10
• 2,5 kl=2 500 L, car :
2,5×103=2 500
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• 54 ml=0,54 dl, car :
54÷102=0,54
Le volume et les solides semblables
Géométrie
257
La relation entre les unités de volume et de capacité
• À partir de la dénition du litre, 1 L=1 dm3, on peut convertir des mesures de capacité en mesures
de volume.
Principales équivalences entre unités de volume et de capacité
÷10
Capacité
kl
Volume
m
÷10
hl
÷10
dal
×10
dl
L
3
×10
cl
cm3
dm
×1 000
1 kl=1 m3
1
2
258
1 L=1 dm3
• 2,5 kl=2 500 dm3
En effet :
2,5 kl=2 500 L et 2 500 L=2 500 dm3
Multiplier ou diviser par
1 000 revient à déplacer
la virgule d’un nombre
de trois positions.
ml
3
÷1 000
Astuce
×10
1 ml=1 cm3
• 54 cl=0,54 dm3
En effet :
54 cl=0,54 L et 0,54 L=0,54 dm3
Complète les égalités suivantes.
a) 27 km3=
hm3
b) 0,000 2 dam3=
dm3
c) 7,55 m3=
dm3
d) 4 200 mm3=
cm3
e) 0,9 hm3=
km3
f) 333 cm3=
m3
g) 4 m3=
cm3
h) 2,5 dm3=
dam3
Convertis les mesures suivantes en mètres cubes. Écris ta réponse en notation scientique.
a) 23 hm3
b) 5 800 mm3
c) 0,000 45 dam3
d) 1 200 000 dm3
e) 436 dam3
f) 500 cm3
g) 0,66 km3
h) 9 230 cm3
i) 2,456 hm3
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.1
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3
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) 1 décalitre équivaut à 100 décilitres.
b) 1 litre équivaut à 1 000 millimètres cubes.
c) L’unité de capacité équivalente au mètre cube est le kilolitre.
d) L’unité de volume qui correspond au millilitre est le centimètre cube.
e) L’unité de capacité qui correspond au mètre cube est le litre.
4
Complète les égalités suivantes.
5
a) 4 L=
cl
b) 0,056 hl=
L
d) 78 hl=
dl
e) 5 560 000 ml=
dal f) 5,1 L=
kl
g) 0,9 dl=
ml h) 45 cl=
dal i) 980 cl=
L
j) 0,000 045 kl=
dl
dl
kl
k) 1,34 hl=
Classe les mesures suivantes par ordre décroissant.
42 cl
6
0,23 L
120 ml
0,000 8 kl
0,67 dal
L
l) 0,9 L=
Curi sité
De façon générale, on utilise des
lettres minuscules pour représenter
les unités du SI. Toutefois, pour le litre,
puisqu’il y a risque de confusion avec
le chiffre 1, on utilise la majuscule.
Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles <, >et=.
a)
54 m3
0,54 dam3
b)
0,005 km3
5 hm3
c)
5 540 dm3
55,4 dam3
d)
980 cm3
e)
0,3 m3
30 dm3
f)
0,01 dam3
g) 45 000 mm3
0,004 5 dm3
h)
7 km3
i)
0,000 8 dm3
800 mm3
j) 100 000 dm3
0,01 dam3
k)
23,5 hm3
2 350 dam3
l)
12 000 mm3
0,98 dm3
100 m3
700 000 dam3
12 cm3
Exercice
Exercice
7
c) 6 700 ml=
Compare les mesures suivantes à l’aide des symboles <, >et=. Utilise une feuille mobile,
au besoin.
a)
3,4 L
34 cl
b)
d) 0,56 dal
560 dl
g)
6 000 cl
60 L
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5 ml
c) 2 000 000 cl
20 kl
e) 2 500 ml
2,5 L
f)
1 890 dl
0,189 hl
h)
0,9 dl
i)
350 cl
0,05 cl
9 ml
Le volume et les solides semblables
3,5 dal
Géométrie
259
8
Complète le tableau d’équivalences suivant.
L
a)
ml
m3
dm3
cm3
2,34
35
b)
7
c)
d)
750
3 400
e)
0,12
f)
g)
46 300
h)
9
23,7
Effectue les chaînes d’opérations suivantes. Écris ta réponse en respectant l’unité
de mesure indiquée.
a) 87 cm3+0,098 L+2,4 dl−42 ml
b) 8 kl−980 dm3+75 000 cm3
cm3
hl
10 Dans chaque cas, trouve l’unité de mesure appropriée. Conserve les unités de volume ou
de capacité, selon le cas.
a) 5,34 dm3=5 340
b) 0,008 m3=8 000
c) 2 500 dal=25
d) 0,04 hl=4 000
e) 0,54 kl=540 000
f) 988 dam3=0,988
Exercice
Exercice
11 Complète les égalités suivantes. Utilise une feuille mobile, au besoin.
260
a)
1 m 3=
L
b)
d)
1 L=
m3
g) 98 000 cl=
j)
Géométrie
457 mm3=
cm3
c)
e) 450 000 cm3=
L
f) 0,003 dal=
cm3
m3
h)
4 m 3=
dal
i)
1 L=
cm3
ml
k)
0, 008 dm3=
cl
l)
2 hl=
m3
Chapitre 6 — Section 6.1
0,03 hl=
1 cm3=
L
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12 Cette année, les propriétaires d’une
érablière ont produit 8 m3 de sirop
d’érable. Ils doivent transférer ce sirop
dans des contenants de 500 ml.
De combien de contenants ont‑ils besoin ?
Réponse :
13 Les parents de Thomas désirent construire un
mur de pierres sur leur terrain. Ils ont besoin de
50 pierres ayant chacune un volume de 380 dm3.
Si ces pierres se vendent 150 $/m3, combien
le mur coûtera‑t‑il ?
Réponse :
14 Lucie vend du yogourt glacé. Elle aimerait
amasser 75 $.
Si chaque contenant de 125 ml vendu lui
rapporte 1,25 $, quelle quantité de yogourt
doit‑elle vendre ? Écris ta réponse en litres.
Réponse :
Astuce
15 Pour faire des biscuits, un pâtissier remplit de farine les
deux tiers d’un bol. Celui‑ci a une capacité de 15 L.
Si 1 g de farine a un volume de 2,5 cm3, quelle est la
masse de la farine utilisée par le pâtissier, en kilogrammes ?
et le volume d’une
Le rapport entre la masse
volumique.
substance s’appelle masse
3
u est de 1 g/cm .
La masse volumique de l’ea
ne substance
Plus la masse volumique d’u
nce est lourde.
est grande, plus la substa
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
261
16 Un bassin d’eau qui peut contenir 24 m3 d’eau est rempli à 25 % de sa capacité. On utilise
un tuyau ayant un débit constant de 100 L d’eau/min pour remplir le bassin.
Combien de temps, en heures, faudra-t-il pour que le bassin soit plein ?
Réponse :
17 Une boule dont le volume est d’environ 524 cm3 est placée dans une boîte cubique. La boule
occupe un peu plus de la moitié de l’espace, c’est-à-dire 52,4 % du volume de la boîte.
Quelle est la capacité de la boîte, en litres ?
Réponse :
18 Johanne a deux pichets. Ensemble, ils ont une capacité totale de 800 ml.
Le premier pichet peut contenir 50 ml de plus que le double du second.
Quel est le volume de chaque pichet en dm3 ?
Réponse :
262
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.1
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6.2 Le volume des solides
Le calcul du volume
• Voici les formules de volume des principaux solides.
Prismes et
cylindres
V=Abase∙h
V=Abase∙h
=25∙6
6 cm
=p∙42∙5
=150 cm3
V=Abase∙h
4 cm
Abase=25 cm2
Abase∙h
3
V=
=12 cm
6 cm
3
Abase∙h
3
pr 2∙h
V=
3
=
3
Abase=12 cm2
2 cm
=80p ≈ 251,3 cm3
V=
A ∙h
3 cm V= base
3
12∙3
=
3
Pyramides
et cônes
Boules
4π r 3
V=
V=pr 2∙h
5 cm
3 cm
p∙32∙6
3
=18p ≈ 56,5 cm3
4p r 3
3
4p∙23
=
3
32p
=
≈ 33,5 cm3
3
V=
La recherche de mesures manquantes à partir du volume
• Pour trouver une mesure manquante à partir du volume d’un solide :
1) on note la formule de volume du solide en question ;
2) on remplace les variables par les mesures que l’on connaît ;
3) on résout l’équation en isolant l’inconnue.
4p r 3
3
4p r 3
905=
3
3∙905
3
=r
4p
V=
On cherche le rayon d’une boule
dont le volume est de 905 cm3.
r=?
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r≈
3
216=6 cm
Le volume et les solides semblables
Géométrie
263
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Pour chacun des solides suivants, trouve l’aire de la base et le volume.
a)
b)
6,9 cm
15 cm
12 cm
8 cm
10 cm
Ab=
V=
c)
Ab ≈
V≈
d)
15 cm
7 cm
2,9 cm
20 cm
3,4 cm
Ab ≈
V≈
Ab=
V=
Exercice
Exercice
2
Trouve le volume des solides suivants. Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
4 cm
a)
b)
3,2 cm
c)
8 cm
9 cm
d=6 cm
V≈
6 cm
V≈
d)
d=5 cm
e)
18 cm
10 cm
V=
15 cm
f)
15,1 cm
30 cm
13 cm
V=
264
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.2
V≈
22 cm
V=
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3
Trouve le volume des solides suivants.
a)
b)
2,6 cm
d=8,8 cm
V≈
c)
V≈
d)
8,2 cm
7 cm
C=14 cm
V≈
e)
V≈
f)
10 cm
12 cm
d=25,2 cm
8 cm
V=
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V≈
Le volume et les solides semblables
Géométrie
265
4
Trouve le volume des solides suivants.
a)
b)
6 cm
Astuce
ap=9 cm
4,4 cm
Consulte
la page 18
pour faire
un retour
sur la relation
de Pythagore.
c=2 cm
abase=3 cm
V≈
5
V≈
Pour chacun des solides suivants, trouve la mesure demandée.
a)
b)
12 cm
h
h
3 dm
V=8 200 cm3
h=?
V=56 dm
h=?
3
h≈
c)
h≈
d)
a
r
7 cm
V=466 mm3
r=?
4 cm
V=291 cm3
a=?
r≈
266
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.2
a=
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6
Quelle est l’aire latérale d’un prisme à base
carrée dont le volume est de 300 dm3 et la
hauteur, 12 dm ?
Astuce
e,
Pour faire un retour sur les formules d’air
.
ion
consulte la page 410 de la sect
AL=
7
Quelle est l’aire d’une boule dont le volume est de 245 mm3 ?
AT ≈
8
Quelle est l’aire latérale d’un cylindre dont la hauteur
est de 25 cm et le volume, 150 cm3 ?
Curi sité
Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647)
Élève de Galilée, ce mathématicien et
géomètre italien a prouvé scientiquement
que deux solides ont le même volume s’ils
sont constitués de « tranches » isométriques.
Cette règle, qui s’appelle « le principe de
Cavalieri », permet d’afrmer que la relation
=
× s’applique aussi bien aux
prismes obliques qu’aux prismes droits.
Par exemple, les trois piles de monnaie
ci‑dessous occupent le même espace.
AL ≈
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
267
9
Un prisme droit à base octogonale a un volume de 480 cm3 et une hauteur de 6 cm.
Quel est le volume d’une pyramide ayant la même base
et une hauteur de 10 cm ?
10 cm
6 cm
V≈
10 Étienne désire transférer le liquide d’un contenant cylindrique de 8 cm de rayon et de 18 cm
de hauteur dans un contenant en forme de prisme à base carrée de 22 cm de côté.
Quelle sera la hauteur du liquide dans le contenant
en forme de prisme ?
18 cm
8 cm
22 cm
22 cm
Réponse :
11 Le haut d’une coupe a la forme d’un cône de 3,5 cm de rayon. Avec 750 ml de liquide, on peut
remplir 8 coupes aux quatre cinquièmes de leur capacité.
Quelle est la hauteur de cette partie de la coupe en centimètres ?
Réponse :
268
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.2
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
12 Fabrice possède huit boules identiques en bronze de 4 cm de diamètre.
Il désire les faire fondre an de leur donner la forme d’une pyramide à
base hexagonale de 8 cm de côté et de 6,9 cm d’apothème.
Quelle sera la mesure de l’apothème de la pyramide ?
6,9 cm
8 cm
Réponse :
13 On dépose une boule de verre de 20 mm de diamètre dans un récipient
cylindrique contenant de l’eau. Le niveau de l’eau augmente alors.
Si le diamètre du cylindre est de 24 mm, de combien de millimètres
le niveau de l’eau a-t-il augmenté ?
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
269
6.3 Les solides décomposables
Le volume et l’aire de solides décomposables
• Certains solides sont composés de plusieurs polyèdres ou corps ronds.
• Lorsqu’on calcule le volume et l’aire d’un de ces solides, il faut considérer chacun
des solides qui le composent.
Astuce
Le crayon suivant peut être décomposé en trois solides :
une demi-sphère, un cylindre et un cône.
5 mm
50 mm
12 mm
10 mm
13 mm
Volume du crayon
+Vcylindre
+Vcône
V=V 1 sphère
2
1 4p r 3
=
2 3
(
2 p∙53
=
3
)
+pr h1
2
+p∙5 ∙50
+
+1 250p
+
2
=
250 p
3
=
4 300 p
≈ 4 502,95 mm2
3
Un cône est creusé dans un
cylindre de cire. On cherche
le volume et l’aire du solide
obtenu.
r1=5 cm
p∙52∙12
3
300p
3
5 cm
10 cm
2
=2pr 2
+2prh1
=2p∙5
2
=50p
+pra
+2p∙5∙50 +p∙5∙13
+500p
+65p
=615p ≈ 1 932,08 mm2
3 cm
Astuce
Un « trou » diminue
le volume d’un solide,
mais augmente son aire.
4 cm
10 cm
=2pr12+2pr1h1−pr22+pr2a
=2p∙52+p∙10∙10−p∙32+p∙3∙5
=156p ≈ 490,09 cm2
3
=238p ≈ 747,70 cm
Géométrie
3
Aire totale du crayon
A=AL ( 1 sphère) +AL (cylindre) +AL (cône)
AT=Acylindre−Abase du cône+Alatérale du cône
VT=Vcylindre−Vcône
pr 2 h
=pr12h1+ 2 2
3
p∙32∙4
2
=p∙5 ∙10−
270
+
pr 2 h 2
s qui forment un
Certaines faces des solide
ivent pas être
solide décomposable ne do
de l’aire totale.
considérées dans le calcul
bases de la
C’est notamment le cas des
du cône dans
demi-sphère, du cylindre et
l’exemple ci-contre.
3
Chapitre 6 — Section 6.3
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Indique si chacune des situations suivantes se rapporte à l’aire d’une gure ou à son volume.
Coche la case appropriée.
Aire
Volume
a) Mesurer la quantité d’air que contient une salle de classe.
b) Recouvrir un cadeau de papier d’emballage.
c) Calculer la quantité de jus dans un contenant.
d) Remplir une boîte de livres.
e) Peindre trois des quatre murs d’une chambre.
f) Recouvrir un manuel scolaire de plastique transparent.
g) Faire le plein d’essence d’une voiture.
h) Coller une étiquette sur une boîte de conserve.
i) Calculer la quantité de sirop dans une bouteille.
j) Couvrir de céramique le plancher d’une salle de bain.
2
Observe le bol en bois ci-contre.
r=7 cm
a) On désire appliquer une couche de vernis sur tout le bol.
Quelle est la surface à couvrir ?
R=8 cm
Réponse :
b) Quelle est la capacité maximale du bol en litres ?
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
271
3
Trouve le volume des solides suivants.
a)
3 cm
1,8 cm
11 cm
r=2 cm
5 cm
8,8 cm
VT ≈
b)
10 cm
3 cm
3 cm
7 cm
8,6 cm
Le cône et le cylindre
ont la même hauteur.
VT ≈
272
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.3
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
4
Trouve le volume et l’aire du solide suivant.
Volume :
28 cm
40 cm
24 cm
VT ≈
Aire :
AT ≈
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
273
5
Charles fabrique des modules décoratifs
en plastique à l’aide de polymère
synthétique. Son dernier modèle est
formé d’un cube de 6 cm d’arête sur
lequel il colle quatre cônes isométriques.
Le diamètre de chaque cône correspond
à la mesure de l’arête du cube et
son apothème mesure 5,2 cm.
Curi sité
Les polymères
synthétiques, aussi appelés
« thermoplastiques », sont
des matières de base qui
permettent de fabriquer
des objets en plastique.
Si Charles achète des contenants de
1 L de polymère liquide au coût de 12 $
chacun, combien dépensera-t-il pour
fabriquer 20 modules ?
Réponse :
6
Loïc et Camille dessinent le plan d’une fusée qui a la forme d’un
cylindre surmonté d’un cône de même diamètre. La fusée occupe
un volume de 90 m3.
Loïc afrme que leur fusée a un diamètre d’environ 32 dm, tandis
que Camille croit qu’il est d’environ 35 dm.
Quelle estimation est la meilleure ?
Réponse :
274
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.3
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6.4 Les solides semblables
Les caractéristiques de solides semblables
• Des solides semblables sont des solides dont l’un est un agrandissement, une réduction ou
une reproduction de l’autre.
• Ainsi, deux solides sont semblables lorsque :
1) les longueurs homologues sont proportionnelles, c’est-à-dire que les rapports des longueurs
homologues sont égaux ;
2) les angles homologues sont isométriques.
• Le rapport de similitude, k, est le rapport de proportionnalité entre les longueurs homologues.
• Dans des solides semblables :
1) le rapport des longueurs homologues est k ;
2) le rapport des aires homologues est k 2 ;
3) le rapport des volumes homologues est k 3.
Les prismes ci-contre sont semblables.
Le rapport de similitude* est k=
Le rapport des aires est k 2=
10 8 4
= = =2.
5
4 2
8 cm
4 cm
Aprisme 1 2(10+4)∙8 224
=
=
=4.
Aprisme 2
2(5+2)∙4
56
Le rapport des volumes est k 3=
10 cm
Prisme 1
Vprisme 1 10∙8∙4 320
=
=
=8.
Vprisme 2
5∙4∙2
40
* On peut inverser les rapports trouvés. En effet, on peut dire que
4 cm
les arêtes du prisme 2 mesurent la moitié de celles du prisme 1,
que l’aire du prisme 2 est le quart de celle du prisme 1 et que le
volume du prisme 2 est le huitième de celui du prisme 1.
5 cm
Prisme 2
2 cm
Les pyramides ci-dessous sont semblables. Le volume de la grande pyramide est 8 fois plus grand
que celui de la petite pyramide. On cherche la hauteur de la grande pyramide.
Dans cette situation, le rapport des volumes k 3=8.
4 cm
3
Donc, k= 8 =2
La hauteur de la grande pyramide est donc 2 fois celle
de la petite pyramide : h=2∙4=8 cm.
V=512 cm3
k3
k2
En résumé :
k 2=
k
k2
3
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A1
A2
k 3=
V1
V2
k3
Le volume et les solides semblables
Géométrie
275
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
1
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
a) Toutes les boules sont semblables.
b) Deux cylindres ayant le même rayon sont nécessairement semblables.
c) Si le rapport des aires de deux solides est de 8, alors le rapport
de similitude de ces deux solides est de 2.
d) Le rapport des hauteurs de deux cônes semblables est équivalent
au rapport de leurs rayons.
e) Les angles homologues de deux solides semblables ne sont pas
nécessairement isométriques.
f) Si le rapport des volumes de deux sphères est de 27, alors le rayon de
la plus grande mesure le triple de la plus petite.
2
Les paires de solides ci-dessous sont semblables. Dans chaque cas, trouve le rapport de
similitude, le rapport des aires et le rapport des volumes.
a)
b)
32 cm
24 cm
c=3 cm
k=
k 2=
k 3=
c)
k=
Géométrie
k 2=
k 3=
d)
9 cm
276
k=
c=5 cm
r=4,5 cm
1,5 cm
k 2=
Chapitre 6 — Section 6.4
k 3=
k=
k 2=
r=2,25 cm
k 3=
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3
Dans chaque cas, détermine si les deux solides sont semblables. Si oui, donne le rapport
de similitude k.
a)
b)
15 cm
9 cm
2 cm
10 cm
9 cm
5,4 cm
1,8 cm
6 cm
Réponse :
Réponse :
c)
d)
29,12 cm
9,1 cm
7,5 cm
18 cm
12 cm
14 cm
6 cm
5 cm
c1=20,48 cm
c2=6,4 cm
Réponse :
Réponse :
e)
f)
10 cm
4 cm
2,88 cm
Réponse :
4
2,6 cm
3,6 cm
2,4 cm
3 cm
2 cm
Réponse :
Complète les énoncés suivants.
8
9
a) Le rapport des rayons de deux cônes semblables est de .
Le rapport de leurs aires est donc de
.
b) Le rapport des volumes de deux prismes semblables est de 205,379.
Le rapport de leurs aires est donc de
c) Le rapport des aires de deux boules est de
Le rapport de leurs volumes est donc de
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.
144
.
25
.
Le volume et les solides semblables
Géométrie
277
5
Les paires de solides ci-dessous sont semblables. Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a)
3,2 m
4,8 m
b)
7 cm
A1=?
1,4 cm
A2=44 m2
V1=2 450 cm3
A1 ≈
c)
V2=?
V2=
d)
a1=?
6,4 mm
A1=1 000 dm2
V1=?
A2=250 dm2
V2=371,69 dm3
V1=
278
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.4
V1=6 501,6 mm3
V2=240,8 mm3
a1=
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6
Dans chaque cas, on donne les mesures d’une paire de solides semblables. Trouve les mesures
demandées à l’aide du rapport approprié.
a)
Cône 1 : a1=13,1 cm, Ab1=?, V1=876 cm3
Cône 2 : a2=?, Ab2=240 cm2, V2=598 cm3
Ab1 ≈
a2 ≈
b) Cylindre 1 : Pb1=8 m, AT1=130,83 m2, V1=?
Cylindre 2 : Pb2=20 m, AT2=?, V2=1 200 m3
AT2=
V1=
Exercice
Exercice
7
Pour chaque paire de solides semblables, trouve les rapports et les mesures demandés.
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
a) A1=603,19 cm2
V1=1 072,33 cm
A2=24,13 cm2
b) Pb1=42 dm
Pb2=73,7 dm
AL2=271,14 dm2
3
1,6 cm
r1
h2
2,1 dm
k 2=
r1 =
k=
h2=
k=
V2 ≈
k 2=
AL1=
c) Ab1=1 225 m2
Ab2=100 m2
V2=348 m
3
d) h1=22 cm
h2=132 cm
AT1=600 cm
2
V2=171 072 cm3
11,28 m
d1
k=
d1 =
k=
AT2=
k 2=
V1=
k 3=
V1=
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
279
8
Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a)
L’aire d’une boule est de 260 dm2.
Si l’on triple son rayon, quelle sera l’aire
de la boule obtenue ?
b) Le volume d’un prisme droit est de
238 mm3. Si l’on réduit de moitié ses
dimensions, quel sera le volume du
prisme obtenu ?
Astuce
Souviens-toi que
toutes les boules
sont semblables.
Ag=
c)
La hauteur d’une pyramide est de
12 cm. Quelle est la hauteur d’une
pyramide semblable dont le volume est
le quintuple de la pyramide originale ?
Vp=
d) Deux cônes sont semblables. L’aire du
9
premier correspond aux 16
du second.
Si le volume du second cône est de
1 230 dm3, quel est le volume du premier ?
hg=
e)
L’aire totale d’une demi-boule est de
90 mm2. Si le volume d’une seconde
demi-boule correspond aux 64
27 de
la première, quelle est l’aire de la
seconde demi-boule ?
Ag=
280
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.4
V1 ≈
f)
Deux prismes sont semblables. Les
arêtes du premier sont cinq fois plus
petites que celles du second. Si l’aire
du premier prisme est de 44 cm2,
quelle est l’aire du second?
A2=
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9
Sabine offre à chacune de ses deux meilleures amies une boule de l’amitié. Les deux boules sont
de dimensions différentes. Le rapport de leurs volumes est de 2,744.
a) Si le diamètre de la plus petite des deux
boules est de 5 cm, quelle est la mesure
du diamètre de la plus grande ?
Réponse :
b) Quelle est l’aire de la plus petite des deux
boules si l’aire de la plus grande est de
153,938 cm2 ?
Réponse :
10 Boris dispose de planches de bois dont la somme des
surfaces est de 1 137,5 cm2. Il fabrique deux mangeoires
à oiseaux ayant la forme d’un prisme droit à base
triangulaire. La première mangeoire a un volume de
1 124 cm3 et une surface de 350 cm2. Il prend le bois
qui reste pour fabriquer la seconde mangeoire.
25 cm
a) Si les deux mangeoires à oiseaux sont semblables, quel est le volume de la seconde ?
Réponse :
b) Si la hauteur de la seconde mangeoire est de 25 cm, quelle est la hauteur de la première ?
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
281
11 On coupe un cône circulaire droit parallèlement à
sa base pour obtenir un petit cône semblable au
premier. Le rayon de la base du cône original est
de 9,46 cm et son apothème est de 22,22 cm.
Si le rayon de la base du petit cône est de
4,3 cm, quelle est sa hauteur ?
4,3 cm
Astuce
9,46 cm
Lorsqu’on coupe une
pyramide (ou un cône)
de façon parallèle à
sa base, on obtient
toujours une petite
pyramide semblable à
la pyramide originale.
Réponse :
12 Katrina doit concevoir deux bougies ayant la forme de
pyramides à base carrée. L’aire de la base de la première
bougie est de 81 cm2 et sa fabrication nécessite 400 ml
de cire. La seconde bougie est semblable et elle contient
3,375 fois plus de cire.
Quelles sont les mesures du côté de la base et de la hauteur
de chacune des bougies ?
Réponse : Petite bougie :
Grande bougie :
282
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.4
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
13 Le rapport des volumes de deux cubes est de 8 : 27.
Si l’aire totale du plus petit cube est de 48 cm2, quelle est l’aire d’une face du plus grand cube ?
Réponse :
14 Paula doit résoudre le problème suivant :
L’aire latérale d’un cône correspond au seizième de celle d’un second cône semblable.
Si le volume du second cône est de 1 280 dm3, quel est le volume du premier cône ?
Paula trouve V1=80 dm3, mais elle a tort. Explique son erreur et trouve la bonne réponse.
Réponse :
15 Le bol ci-contre a une hauteur de 7 cm et une capacité de 750 ml.
Il a la forme d’un tronc de pyramide à base carrée.
Quelle est la capacité d’un bol semblable à celui-ci dont la hauteur
est de 10 cm ?
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
283
16 Henri est propriétaire d’une érablière. Sur place, il vend deux formats semblables de boîtes
de sirop d’érable.
Si la première boîte a une hauteur de 15 cm et se vend 5,99 $, combien Henri devrait-il vendre
la seconde si sa hauteur est de 20 cm ? Justie ta réponse.
Réponse :
17 Léa est soufeuse de verre. Elle a reçu une commande pour fabriquer trois vases semblables
de forme cylindrique. La capacité du premier vase correspond au double du second, alors
que la capacité du second correspond au quart du troisième. La capacité totale des trois
vases est de 5,6 L.
Trouve la capacité de chacun des trois vases. Trouve ensuite leur hauteur,
sachant que la hauteur du plus petit vase est de 12 cm.
Astuce
Identie par
l’inconnue qui
représente
la plus petite
quantité.
Réponse : Vase 1 :
Vase 2 :
Vase 3 :
284
Géométrie
Chapitre 6 — Section 6.4
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Exercices
supplémentaires
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
Questions à réponses courtes
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Section 6.1
1
Effectue les opérations suivantes. Écris ta réponse en dm3.
a) 0,057 m3+0,003 4 dam3+9 000 cm3=
b) 420 cm3+0,025 m3=
2
dm3
dm3
Convertis les unités de capacité suivantes en l’unité de volume demandée.
a) 12,5 cl=
cm3
b) 0,45 kl=
dm3
c) 88 dl=
mm3
d) 12 350 ml=
m3
e) 0,000 26 hl=
cm3
f) 3 400 000 dl=
dam3
Sections 6.2 et 6.3
3
Trouve le volume des solides suivants.
a)
b)
3 cm
12 cm
8 cm
5m
c)
5 cm
8m
4 cm
6m
V≈
4
V≈
6m
V=
Pour chaque solide, trouve la mesure demandée.
a)
b)
V=236 mm3
d=?
d≈
8,8 dm
V=76,4 dm3
AL=?
c)
AL ≈
V=479 mm3
AT=?
AT=
Section 6.4
5
Trouve le volume des solides suivants. Les paires de solides sont semblables.
a)
b)
5,61 dm
5 cm
5 cm
1,5 cm
3,1 dm
2,31 dm
V1 ≈
V2 ≈
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V1=
2,1 dm
V 2=
Le volume et les solides semblables
Géométrie
285
Questions à développement
Utilise une feuille mobile pour effectuer tes calculs.
Sections 6.1 et 6.2
6
Un vase de forme cylindrique a un diamètre de 16 cm et une hauteur de 28 cm.
Quelle est la capacité du vase en litres ?
7
Dans un cylindre, on peut insérer exactement quatre balles
de tennis de 6,6 cm de diamètre.
Si le diamètre des balles et du cylindre est le même, quel
pourcentage du cylindre représente l’espace inoccupé ?
Section 6.3
8
Un silo à grains a la forme d’un cône surmonté d’un
cylindre. Les deux parties du silo ont le même rayon
et la même hauteur.
Si le diamètre du silo est de 8,4 m et que son volume est
de 738,36 m3, quelle est sa hauteur totale ?
9
12 cm
Une cabane à oiseaux est formée d’un cube et de
deux pyramides isométriques. Les pyramides de 12 cm
d’apothème sont xées aux bases du cube de 15 cm
d’arête. L’ouverture est un disque de 2,5 cm de rayon.
15 cm
Trouve le volume et l’aire de la cabane, sans compter l’ouverture.
Section 6.4
10 Pour la fête de son ls, Étienne fabrique deux formats
de chapeau ayant la forme d’un cône circulaire droit.
Le premier chapeau a un rayon de 7 cm et une aire latérale
de 78 cm2. L’aire latérale du second est de 164 cm2.
Si les deux chapeaux sont semblables, quel est le diamètre
du second chapeau ?
11 Pour fabriquer deux pots semblables de forme cylindrique, Sarah dispose de 1 310,4 cl de terre
cuite. Elle en utilise 350 cl pour fabriquer le premier, dont l’aire totale est de 1 240 dm2.
Quelle est l’aire totale du deuxième pot ?
286
Géométrie
Chapitre 6 — Exercices+ supplémentaires
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Retour sur le chapitre 6
À moins d’indication contraire, les solides présentés dans cette section sont tous réguliers.
Questions à choix multiples
1
Quel est le volume d’un cylindre circulaire de 12,4 dm de hauteur et de 8,2 dm de diamètre ?
a) 267,43 dm3
2
b) 327,43 dm3
c) 654,85 dm3
Le rayon d’un quart de boule mesure 12,4 cm.
Quelle est sa capacité en litres ?
3
d) 2 619,38 dm3
a) 2 L
b) 4 L
c) 6 L
d) 8 L
12,4 cm
Les volumes de deux cylindres semblables sont respectivement de 3 m3 et de 648 dm3.
Quel est le rapport des aires de ces deux cylindres ?
a) 171 : 100
d) 36 : 1
Le volume d’une demi-boule est de (150p) cm3. Quelle est son aire totale ?
a) (46,61p) cm2
5
c) 10 : 3
b) (69,91p) cm2
c) (73,99p) cm2
d) (110,98p) cm2
Deux solides semblables ont des aires latérales respectives de 125 dm2 et 5 m2.
Si le volume du plus petit solide est de 480 dm3, quel est le volume du plus grand ?
a) 60 dm3
6
b) 960 dm3
c) 1 920 dm3
d) 3 840 dm3
Un cône a un diamètre de 9 mm et un apothème de 10 mm.
10 mm
Quel est son volume ?
7
RETOUR
4
b) 25 : 9
a) 189,37 mm3
b) 212,06 mm3
c) 568,11 mm3
d) 636,17 mm3
9 mm
Un prisme à base pentagonale a une hauteur de 45 cm. Le périmètre et l’apothème de sa base
mesurent respectivement 25 cm et 3,44 cm.
Quel est le volume de ce prisme ?
a) 387 cm3
8
b) 774 cm3
c) 1 935 cm3
Le volume d’une pyramide à base hexagonale est de
956,16 dm3. Le périmètre et l’apothème de sa base
mesurent respectivement 57,6 dm et 8,3 dm.
8,3 dm
Quelle est la mesure de la hauteur de cette pyramide ?
a) 18 dm
b) 12 dm
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d) 3 870 cm3
c) 6 dm
d) 24 dm
Le volume et les solides semblables
Géométrie
287
Questions à réponses courtes
9
Trouve le volume des solides suivants.
a)
3,7 cm
b)
24,1 dm
17,5 dm
V≈
c)
V≈
d)
21 m
27 m
6,6 mm
RETOUR
31 m
11 mm
V≈
V=
10 Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a)
b)
7,5 cm
d=?
r=?
V=276 mm3
V=29 cm3
d≈
288
Géométrie
Chapitre 6 — Retour
r≈
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11 Le rayon d’un huitième de boule est de 30 cm. Quelle est sa capacité en litres ?
V≈
12 Le volume d’un cylindre est de 702 mm3 et son
diamètre mesure 24 mm. Le volume d’un cylindre
semblable étant de 26 mm3, quelle est la mesure
de son rayon ?
24 mm
V=702 mm3
r=?
V=26 mm3
13 Le côté de la base d’une pyramide droite à base carrée est représenté par l’expression 4x. Si la
hauteur de cette pyramide mesure 12 cm, quelle expression algébrique représente son volume ?
RETOUR
r=
12 cm
4x
4x
V=
14 Deux prismes semblables ont des hauteurs respectives de 90 cm et 12 cm. L’aire latérale
du premier prisme étant de 1 244 cm2, quelle est l’aire latérale du second ?
90 cm
12 cm
AL1=1 244 cm2
AL2=?
AL2 ≈
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
289
Questions à développement
15 Marie fabrique un récupérateur d’eau de pluie ayant la
forme d’un prisme droit de 11 dm de hauteur. La base
du récupérateur est un hexagone régulier de 6 dm de
côté.
6 dm
11 dm
Astuce
Souviens-toi qu’un
hexagone est composé de
six triangles équilatéraux.
Quelle est la capacité en litres de ce récupérateur ?
RETOUR
Réponse :
14 dm
16 Une entreprise qui conçoit des pièces en métal vient
de recevoir une commande. Elle doit fabriquer une
pièce ayant la forme d’un cylindre surmonté d’un cube,
le tout percé de part en part par un cône vide.
Quel est le volume total de cette pièce ?
24 dm
32 dm
Réponse :
290
Géométrie
Chapitre 6 — Retour
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
17 Dans un cylindre aussi haut que large, on a introduit la
plus grande boule possible. L’aire de cette boule est
de 2 300 cm2.
RETOUR
Combien de litres de liquide peut-il y avoir dans
ce cylindre en plus de la boule ?
Réponse :
18 Un artiste expose sa plus récente œuvre dans une
galerie d’art. Elle est composée d’un prisme à base
rectangulaire vide dans lequel il a inséré deux pyramides
à base carrée isométriques. La hauteur du prisme est
égale à la somme des hauteurs des pyramides.
2,2 m
2,6 m
Quel pourcentage du prisme représente l’espace inoccupé ?
2,8 m
3,5 m
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
291
20 cm
19 Paula fabrique un abat-jour pour sa lampe de chevet.
Il a la forme d’un tronc de cône obtenu en sectionnant
un cône circulaire dont le rayon mesure 32 cm. Le cône
qu’elle a retiré est semblable au cône initial. Son rayon
est de 20 cm.
32 cm
RETOUR
Si la hauteur du cône initial est de 24 cm, quelle est l’aire latérale de l’abat-jour ?
Réponse :
20 Trouve l’aire totale, en cm2, de la plus petite boîte
cubique dans laquelle on peut insérer une boule dont
la capacité est de 8,46 L.
Réponse :
292
Géométrie
Chapitre 6 — Retour
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21 Laurence doit reproduire le prisme droit à base carrée
ci-contre à l’aide d’une homothétie de rapport 4.
2b
Quelle expression algébrique représente le volume
du prisme obtenu ?
a
22 Sacha a construit une remise. Elle est constituée d’un prisme
à base trapézoïdale surmonté d’un prisme à base triangulaire.
Le toit, formé de deux rectangles isométriques, doit être
recouvert de bardeaux dont le coût est de 38 $/m2. Le volume
total de la remise est de 43 m3.
Combien Sacha paiera-t-il pour sa toiture ?
2,5 m
2,7 m
3,2 m
3,8 m
RETOUR
Réponse :
Réponse :
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Le volume et les solides semblables
Géométrie
293
Situation-problème
Maïs essoufé
Il y a quelques années, aux États-Unis, on a établi un nouveau record
en faisant éclater 10 000 L de grains de maïs pour produire 222 m3
de maïs soufé.
À une autre échelle, les
formats de maïs soufé offerts
au cinéma sont eux aussi
gigantesques. Par exemple,
voici le développement d’un
contenant de maïs soufé
« petit format ».
9 cm
Quelles seraient les dimensions
d’un contenant semblable à
ce « petit format » qui pourrait
tout juste contenir la quantité
de maïs soufé qui constitue
le record des États-Unis ?
27 cm
18 cm
294
Situation-problème
Maïs essoufé
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Réponse
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Situation-problème
Maïs essoufé
295
Situation d’application
Les chandelles de Sophie
Sophie fabrique et vend des chandelles faites de cire d’abeille. Ses deux
derniers modèles sont des prismes étoilés semblables. Le rapport des côtés
3
des étoiles est de . La grande chandelle a une hauteur de 20 cm et le côté
2
de sa base mesure 5 cm. La petite chandelle nécessite 18 cm3 de cire.
La cire d’abeille se vend en bâton de 12 cm3 à 0,80 $ et la surface latérale des
chandelles est emballée dans une pellicule plastique coûtant 0,02 $/100 cm2.
Sophie aimerait vendre 100 unités du grand modèle et 125 unités du petit
modèle au coût de 18 $ et 12 $ respectivement.
Sophie peut-elle espérer faire un prot de 2 500 $ si elle réussit à vendre
le nombre de chandelles souhaité ?
Astuce
Pour trouver
le prot,
il faut
soustraire
le coût de
fabrication
des ventes.
Réponse
296
Situation d’application
Les chandelles de Sophie
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CHAPITR E
La statistique
7
SOMMAIRE
Rappel.........................................................................................298
7.1
L’étude statistique et les méthodes
d’échantillonnage ............................................................301
7.2
L’organisation d’une distribution de données.............306
7.3
Les mesures de tendance centrale.............................. 312
7.4
Les quartiles et les mesures de dispersion ................ 319
Retour sur le chapitre 7 ....................................................... 327
Les résultats des absents (CD1)......................................334
Une question d’âge (CD2) ..................................................336
Lors d’une compétition de plongeon, un problème informatique bloque la transmission de deux
notes attribuées à une athlète.
7
8
8,5
9
8,5
7
9
10
?
?
Si la moyenne des notes est de 8,5 et que l’étendue est de 3, quelles pourraient être les notes
manquantes ? Les notes varient de 0 à 10 et seuls les 0,5 sont acceptés à la position des décimales.
Réponse :
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La statistique
Statistique
297
Rappel
Le caractère statistique
• Le caractère d’une étude statistique est le sujet sur lequel elle porte.
• Il existe deux types de caractères statistiques.
– Le caractère statistique qualitatif peut être associé à des données non numériques
ou à des codes.
La couleur des yeux et le sexe sont des caractères qualitatifs.
– Le caractère statistique quantitatif peut être associé à des données numériques. Il existe deux
types de caractères quantitatifs.
· Lorsque les données recueillies sont des nombres entiers, le caractère quantitatif est discret.
Le nombre d’enfants par famille est un exemple de caractère quantitatif discret.
· Lorsque les données recueillies peuvent prendre toutes les valeurs comprises dans un intervalle
donné, le caractère quantitatif est continu.
RAPPEL
La taille des bébés à la naissance est un exemple de caractère quantitatif continu.
Les diagrammes
Le diagramme à bandes
Titre
Nombre de voitures par foyer
20
18 foyers possèdent
1 seule voiture.
180
160
13
140
12
10
8
120
8
Après 7 mois,
la carte vaut
120 $.
100
7
80
6
4
60
3
2
1
40
20
0
0
1
2
Catégorie
Statistique
Titre
Valeur ($)
16
14
Valeur d’une carte de hockey
sur une période de 7 mois
Effectif
18
18
nt un titre
Ces diagrammes comporte
ntiés.
et deux axes clairement ide
Le diagramme à ligne brisée
Effectif
Nombre
de foyers
298
Astuce
• On utilise souvent des diagrammes pour représenter des données
recueillies au cours d’une étude statistique.
Chapitre 7 — Rappel
3
4
5
Nombre de voitures
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mois
Unité
de temps
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Le diagramme circulaire
Couleur d’automobile
la plus populaire
Couleur d’automobile la plus populaire
Couleur
10 %
15 %
Rouge
16,7 %
33,3 %
25 %
Astuce
rt :
La fréquence est le rappo
effectif de la catégorie ×100.
(
effectif tot al
)
9
Fréquence (%)
Mesure de l’angle
au centre*
9
∙100=15
60
9
∙360=54°
60
Gris
10
10
∙100 ≈ 16,7
60
10
∙360=60°
60
Blanc
15
15
∙100=25
60
15
∙360=90°
60
Noir
20
20
∙100 ≈ 33,3
60
20
∙360=120°
60
Bleu
6
6
∙100=10
60
6
∙360=36°
60
Total
60
100
360°
* On peut aussi calculer la mesure de l’angle au centre du secteur à l’aide
de la fréquence. Pour la couleur rouge, par exemple :
15
∙360°=54°
100
Pour chacune des situations ci-dessous, détermine le caractère statistique étudié et son type.
RAPPEL
1
Effectif
a) La technicienne en loisirs de l’école effectue un sondage pour connaître les activités
préférées des élèves.
• Caractère statistique : Les activités préférées
• Type de caractère : qualitatif
quantitatif discret
quantitatif continu
b) Le camp de jour du quartier désire connaître l’âge des enfants inscrits.
• Caractère statistique :
• Type de caractère : qualitatif
quantitatif discret
quantitatif continu
c) On fait une étude sur le nombre d’heures passées sur Internet chaque semaine par les élèves
de l’école.
• Caractère statistique :
• Type de caractère : qualitatif
quantitatif discret
quantitatif continu
d) Les organisateurs de la fête nationale effectuent un sondage sur les goûts musicaux
des participants.
• Caractère statistique :
• Type de caractère : qualitatif
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quantitatif discret
quantitatif continu
La statistique
Statistique
299
2
On demande aux 300 élèves d’une école de choisir une activité artistique.
Représente les données recueillies à l’aide d’un diagramme à bandes. Réponds ensuite aux questions.
Activité artistique choisie
Activité
Effectif
Art dramatique
80
Arts plastiques
85
Danse
75
60
Musique
60
40
300
20
Total
100
80
0
Arts
Art
dramatique plastiques
Danse
Musique
a) Quel est le type de caractère de cette étude ?
b) Quelle est l’activité la plus populaire ?
RAPPEL
c) Quelle fraction simpliée représente le nombre
d’élèves inscrits aux deux activités les moins populaires ?
3
Représente les données du tableau suivant à l’aide d’un diagramme à ligne brisée.
Réponds ensuite aux questions.
Variation du niveau de
la mer depuis 1880
Année
Variation
(cm)
1880
0
1900
1
1920
3
1940
7
1960
11
1980
14
2000
17
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
a) Quel est le type de caractère de cette étude ?
b) Quel est l’écart entre les variations du niveau de 1900 et de 2000 ?
c) Que peux-tu conclure en observant ce diagramme ?
300
Statistique
Chapitre 7 — Rappel
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7.1 L’étude statistique et
les méthodes d’échantillonnage
Le recensement et le sondage
• Un recensement est une étude statistique qui porte sur l’ensemble des individus d’une population donnée.
• Un sondage est une étude statistique qui porte sur un échantillon d’une population donnée.
– Un échantillon est un sous-ensemble de la population. L’échantillon est représentatif de la
population s’il reète ses caractéristiques.
• Lors du renouvellement de leur permis de conduire, on note si les conducteurs
du Québec portent des verres de contact.
– Type d’étude : Recensement
– Population à l’étude : Les conducteurs du Québec
– Caractère étudié : Le port de verres de contact (caractère qualitatif)
• Dans une usine de ballons, toutes les heures, on gone un ballon prêt pour
l’emballage pour en mesurer l’élasticité, selon une échelle numérique.
– Type d’étude : Sondage
– Population à l’étude : Les ballons de l’usine
– Caractère étudié : L’élasticité des ballons (caractère quantitatif)
Les méthodes d’échantillonnage
Voici quatre méthodes pour constituer un échantillon représentatif.
• Échantillonnage aléatoire simple : Sélection aléatoire des individus qui
forment l’échantillon.
On tire au hasard le nom de 10 élèves d’une classe de 32 élèves
pour constituer un échantillon.
Astuce
si
En statistique, on étudie aus
.
ses
cho
bien les êtres que les
ent
On parle alors indistinctem
d’« individus ».
• Échantillonnage systématique : Sélection des individus qui forment l’échantillon selon une liste,
un rang et un intervalle. Pour déterminer l’intervalle, on divise la taille de la population par la taille
de l’échantillon souhaité.
On veut constituer un échantillon de 10 élèves d’une classe de 32 élèves.
• On détermine l’intervalle :
32
≈3
10
• On choisit un nombre au hasard, par exemple, 2.
• À partir de la liste de classe, on choisit un individu à tous les 3 noms à partir de la 2e personne :
la 2e, la 5e, la 8e, la 11e, etc.
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La statistique
Statistique
301
• Échantillonnage par grappes : Pour effectuer cette méthode, il faut d’abord diviser la population
étudiée en sous-ensembles appelés grappes. Pour former l’échantillon, on sélectionne un certain
nombre de grappes de façon aléatoire.
On veut constituer un échantillon d’environ 60 élèves du 2 e cycle d’une école secondaire.
• On choisit au hasard 2 groupes parmi les 12 groupes de la 3e, 4e et 5e secondaire.
• On interroge tous les élèves de l’échantillon.
Dans cet exemple, on considère que chacun des 12 groupes forme une grappe.
• Échantillonnage stratié : Pour effectuer cette méthode, il faut d’abord diviser la population étudiée
en strates, selon une caractéristique donnée. Pour former l’échantillon, on sélectionne un nombre
proportionnel d’individus de chaque strate de façon aléatoire :
Taille de la strate
Nombre d’individus choisis dans cette strate
=
Taille de la population
Taille de l’échantillon
On veut constituer un échantillon de 20 % des élèves du 2e cycle d’une école secondaire.
• On choisit au hasard 20 % des élèves de chacun des trois niveaux.
• On interroge tous les élèves de l’échantillon.
Dans cet exemple, on considère que chaque année du secondaire forme une strate.
1
Dans chaque cas, indique s’il s’agit d’un sondage ou d’un recensement.
Précise ensuite le type de caractère statistique.
a) On interroge tous les élèves de l’école pour connaître le nombre
de livres qu’ils lisent par mois.
• Recensement
Astuce
Consulte la page 298
pour faire un retour sur
les types de caractères
statistiques.
Sondage
• Type de caractère statistique :
b) On questionne 10 élèves par classe pour connaître le temps qu’ils consacrent à l’étude
en vue des examens de n d’année.
• Recensement
Sondage
• Type de caractère statistique :
c) Une agence de marketing appelle 1 000 personnes au hasard an de connaître leurs
intentions de vote en vue des élections municipales.
• Recensement
Sondage
• Type de caractère statistique :
302
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.1
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2
Dans chaque cas, nomme la population à l’étude. Détermine ensuite la méthode d’échantillonnage
utilisée pour former l’échantillon.
a) On veut connaître les fruits préférés des enfants d’une garderie.
On interroge 15 enfants au hasard.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
b) On veut connaître les goûts sportifs des élèves de 3e secondaire. On interroge les 6e, 12e,
18e, 24e et 30e élèves sur la liste d’inscription à l’école.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
c) Une chaîne de restaurants veut connaître le degré de satisfaction de ses clients. On interroge
tous les clients de trois restaurants choisis au hasard.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
d) On veut connaître le passe-temps préféré des élèves de l’école. On interroge 12 % des
élèves de chaque année.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
e) On veut connaître le lieu de résidence des clients d’un nouveau centre de massothérapie.
On tire au hasard les noms de 400 clients.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
f) On veut connaître l’opinion des Montréalais sur la qualité de l’air de la ville lors
des chaudes journées d’été. On questionne tous les résidents de trois quartiers.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
g) On veut vérier la résilience des bâtons de ski fabriqués dans une usine.
Toutes les heures, on teste une paire de bâtons prête pour l’emballage.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
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La statistique
Statistique
303
3
Le tableau ci-dessous représente le classement des élèves de l’école Eugénie-Métivier selon
leur niveau scolaire. En vue d’un sondage, le conseil des élèves désire former un échantillon
de 300 élèves avec la méthode d’échantillonnage stratié.
Combien d’élèves de chacun des niveaux doivent-ils choisir ?
Échantillon d’élèves de l’école Eugénie-Métivier
Classement des élèves
de l’école Eugénie-Métivier
Niveau
scolaire
Effectif
Accueil
208
Adaptation
scolaire
228
1re secondaire
188
2 secondaire
168
3 secondaire
204
4 secondaire
104
5e secondaire
100
e
e
e
Total
Niveau scolaire
Effectif
208
∙300=52
1 200
Accueil
1 200
Total
4
Le diagramme à bandes ci-contre
représente les principales espèces
de poissons du lac à la Tortue.
Le ministère de la Faune veut
analyser l’état de santé des
populations de poissons.
Décris la composition d’un
échantillon de 500 poissons obtenu
par échantillonnage stratié.
300
Effectif
Lac à la Tortue —
Nombre de poissons par espèce
4 000
3 000
3 500
3 000
2 500
2 000
2 000
1 000
0
350
Achigan Crapetsoleil
Doré
jaune
Omble Perchaude
chevalier
Espèce
Astuce
Il faut parfois
arrondir à
la hausse
pour obtenir
l’échantillon
souhaité.
Réponse :
304
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.1
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
5
Le tableau ci-contre représente la répartition
des passagers du vol VR803 selon leur groupe
d’âge.
Passagers du vol VR803
Groupe d’âge (ans)
Homme
Femme
[0, 18[
8
7
[18, 36[
24
30
[36, 57[
42
40
[57, 75[
20
15
75 ans et plus
19
10
La compagnie aérienne désire connaître
l’opinion des passagers sur le lm présenté
durant le vol.
a) Comment pourrait-on former un échantillon
représentatif à l’aide de la méthode d’échantillonage :
– systématique ?
– par grappes ?
– stratié ?
b) Quelle méthode est la plus représentative des passagers de l’avion ? Pourquoi ?
6
Moyens de transport pour se rendre
au travail dans une grande ville
Le diagramme circulaire ci-contre représente
les moyens de transport utilisés pour se
rendre au travail dans une grande ville.
3%
7%
37 %
Construis un diagramme à bandes
représentatif d’un échantillon stratié
de 160 personnes.
31 %
Voiture
Autobus
Métro
Marche
Vélo
22 %
Effectif
60
50
40
30
20
10
0
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Moyens de transport pour se rendre
au travail dans une grande ville
Voiture Autobus Métro Marche Vélo
Moyen de transport
La statistique
Statistique
305
7.2 L’organisation d’une distribution
de données
Le tableau de données condensées
Le tableau de données condensées est utilisé lorsque :
– les données se répètent ;
– le caractère étudié est de type qualitatif ou quantitatif discret.
Voici les groupes sanguins de 32 donneurs de sang :
B
O
A
A
A
O
A
AB
A
O
O
A
O
O
O
O
O
O
B
O
O
B
AB
A
O
A
O
A
B
O
A
O
Groupes sanguins
de 32 donneurs de sang
Groupe
sanguin
Effectif
Fréquence
(%)
A
10
31,25
B
4
12,50
O
16
50,00
AB
2
6,25
Total
32
Groupes sanguins
de 32 donneurs de sang
Effectif
16
14
12
10
8
6
4
2
0
O
AB
Groupe sanguin
B
A
100
Construis un tableau de données condensées pour chacune des distributions suivantes.
a) Âge des enfants à une fête
b) Points obtenus à un test d’aptitude
1
1
1
2
2
3
3
101
110
102
105
101
103
110
3
4
4
4
5
5
5
101
102
110
104
103
102
108
5
5
5
6
9
10
105
Âge des enfants à une fête
Données
306
Statistique
Effectif
Données
Chapitre 7 — Section 7.2
Effectif
102
110
101
109
105
Points obtenus à un test d’aptitude
Données
Effectif
Données
Effectif
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Le tableau de données groupées en classe et l’histogramme
• Le tableau de données groupées en classe est utilisé lorsque :
– les données n’ont pas tendance à se répéter ;
– le caractère étudié est de type quantitatif.
• Les classes sont mutuellement exclusives, de même amplitude et dénies de façon à inclure toutes
les données.
• En général, on compte de 5 à 12 classes. On peut estimer l’amplitude à l’aide du rapport suivant :
Amplitude ≈
Donnée maximale−Donnée minimale
Nombre de classes souhaitées
• L’histogramme est la représentation graphique d’une distribution de données groupées en classe.
Voici les résultats de 25 personnes à un tournoi de golf :
La première classe
comprend la plus petite
donnée (81).
132 125 98 123 149
115 103 119 88 121
136 107 94 128 126
Cette classe comprend
toutes les valeurs
supérieures ou égales
à 130 et inférieures
à 140.
115 131 111 136 138
141 81 129 109 112
Amplitude :
149−81
≈ 10
7
Les effectifs ou
la fréquence des
classes
La dernière classe
comprend la plus
grande donnée (149).
Résultats de 25 personnes
à un tournoi de golf
Effectif
[80, 90[
2
8
[90, 100[
2
8
[100, 110[
3
12
[110, 120[
5
20
[120, 130[
6
24
[130, 140[
5
20
[140, 150[
2
8
Total
25
100
Résultats de 25 personnes
à un tournoi de golf
Nombre de
personnes
Fréquence
(%)
Résultats
10
9
8
7
Comme dans tout
graphique, le titre
est un élément
essentiel à la
compréhension.
6
5
Dans l’histogramme,
les rectangles sont
juxtaposés.
4
3
La graduation de
l’axe horizontal doit
tenir compte des
classes choisies.
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2
1
0
80
90 100 110 120 130 140 150
Résultats au tournoi de golf
Le caractère
représenté
La statistique
Statistique
307
1
Construis un tableau de données groupées en cinq classes pour chacune des distributions suivantes.
a) Temps d’entraînement de natation par jour pour des élèves en sport-études
106 108 108 110 111 112 112 115 116 118
Classe
Effectif
Classe
Effectif
119 120 120 121 125 126 128 129 129 129
b) Nombre de fautes d’orthographe dans un texte de 150 mots
2
2
2
3
4
7
8
8
9
9
15
16
16
18
19
23
24
26
26
28
28
Observe le tableau de données ci-dessous.
Nombre de buts marqués
par joueur en séries éliminatoires
dans la LNH
Nombre de buts
Effectif
[1, 4[
1
40
[4, 7[
38
35
[7, 10[
8
[10, 13[
2
30
[13, 16[
1
a) Construis l’histogramme qui
représente cette distribution.
b) À partir du diagramme, que
peux-tu dire à propos du nombre
de buts marqués ?
308
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.2
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
3
Construis l’histogramme qui représente la distribution suivante. Réponds ensuite aux questions.
Répartition des familles
selon le revenu
Revenu
($)
Fréquence
(%)
[0, 25 000[
43,5
[25 000, 50 000[
29,6
[50 000, 75 000[
13,9
[75 000, 100 000[
7,4
[100 000 et plus[
5,6
0
a) Quel pourcentage de familles ont un revenu inférieur à 50 000 $ ?
b) Quel pourcentage de familles ont un revenu supérieur à 50 000 $ ?
4
Construis un tableau de données groupées à partir de l’histogramme ci-dessous.
Réponds ensuite aux questions.
Grandeur des joueurs
d’une équipe de basketball
Nombre
de joueurs
Grandeur des joueurs
d’une équipe de basketball
Classe
6
Effectif
5
4
3
2
1
0
1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4
Taille (m)
a) Combien de joueurs y a-t-il dans cette équipe de basketball ?
b) Combien de joueurs mesurent de 1,90 m à 2,10 m ?
c) Quel est le pourcentage de joueurs qui mesurent au moins 2 m ?
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La statistique
Statistique
309
5
Un groupe d’amis participe au marathon de Montréal.
Complète le tableau de données et construis un histogramme illustrant leurs résultats.
Temps nécessaire pour effectuer le marathon (min)
Bruce : 142
David : 149
Oukid : 152
Anna : 175
Éric : 176
Walid : 176
Olivier : 177
Marion : 181
Rachel : 181
Joanne : 182
Carla : 183
Amy : 185
Michel : 185
Saul : 186
Zoé : 211
Marilou : 213
Temps nécessaire pour
effectuer le marathon
Temps (min)
Effectif
[135, 150[
[150, 165[
[165, 180[
[180, 195[
[195, 210[
[210, 225[
0
6
L’histogramme suivant représente la masse des joueurs des Canadiens de Montréal.
Effectif
Masse des joueurs
des Canadiens de Montréal
a) Combien de joueurs y a-t-il dans l’équipe ?
b) Dans quel intervalle se situe la masse
maximale d’un joueur ?
14
12
10
c) Quelle classe compte le plus de joueurs ?
8
6
4
2
0
310
Statistique
70
75
80
85
90
Chapitre 7 — Section 7.2
95 100 105 110
Masse (kg)
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7
Le diagramme ci-dessous est un type d’histogramme. La longueur des bandes indique
le nombre d’hommes (à gauche) et de femmes (à droite) par catégorie de revenu.
Revenu des travailleurs québécois
Hommes
Revenu ($)
Femmes
100 000
342 857
197 854
75 000
472 906
350 526
50 000
965 728
933 868
25 000
1 072 818
1 551 900
0
2 000 000 1 500 000 1 000 000
500 000
500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000
Effectif
Effectif
a) À partir du diagramme, complète le tableau de distribution.
Revenu ($)
Effectif — Hommes
Effectif — Femmes
Total
b) Combien de personnes gagnent de 25 000 $ à 50 000 $ ?
c) Dans quelle classe retrouve-t-on le plus grand nombre de personnes ?
d) En général, les femmes gagnent-elles plus ou moins d’argent que les hommes ?
Justie ta réponse en comparant les données du diagramme.
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La statistique
Statistique
311
7.3 Les mesures de tendance centrale
La moyenne, le mode et la médiane
• Lors d’une étude statistique, après avoir organisé et représenté les données recueillies, on procède
à l’analyse. Celle-ci s’effectue à l’aide de différentes mesures statistiques.
• Les mesures de tendance centrale décrivent le centre d’une distribution. En voici les principales :
– La moyenne, x, est la valeur qui pourrait remplacer chacune des données si elles étaient toutes
égales. C’est le centre d’équilibre de la distribution.
– Le mode est la valeur ou la modalité qui a le plus grand effectif. C’est le centre de concentration
de la distribution.
– La médiane est la valeur centrale d’une distribution ordonnée de données. C’est le centre de
position de la distribution.
• La méthode de calcul des mesures de tendance centrale dépend de l’organisation des données.
Mesure
Moyenne
Astuce
Seul le mode peut
être donné pour
une distribution à
caractère qualitatif.
Données condensées
Données groupées en classe
Somme des produits
des données par leur effectif
Nombre total de données
Somme des produits des milieux
des classes par leur effectif
Nombre total de données
Mode
Valeur ou modalité qui a le plus grand effectif. Classe qui a le plus grand effectif.
Médiane
– Donnée du centre, si le nombre de
données est impair.
– Moyenne des deux données du centre, si
le nombre de données est pair.
Nombre d’animaux
des élèves d’une classe
Classe qui contient la médiane.
Revenu hebdomadaire
d’un groupe de 29 étudiants
Nombre
d’animaux
Effectif
Revenu
hebdomadaire ($)
Effectif
0
10
[0, 50[
6
1
9
[50, 100[
8
2
4
[100, 150[
7
3
1
[150, 200[
6
4
1
[200, 250[
2
Total
25
Total
29
0∙10+1∙9+2∙4+3∙1+4∙1
25
24
= =0,96
25
25∙6+75∙8+125∙7+175∙6+225∙2
29
3 125
=
≈ 107,76
29
Moyenne=
Moyenne=
Mode=0 (la valeur qui a le plus grand effectif)
Classe modale=[50, 100[ (la classe qui a
le plus grand effectif)
Médiane=1 (la 13e donnée)
Classe médiane=[100, 150[ (la classe qui
contient la 15e donnée)
312
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.3
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La moyenne pondérée
• La moyenne pondérée attribue à chaque valeur une importance relative (une pondération). Elle est
calculée à l’aide des coefcients de pondération.
• Pour trouver la moyenne pondérée, on multiplie chaque valeur par son coefcient de pondération.
Le bulletin de Stéphanie contient
ses notes en mathématique pour
les trois étapes de l’année.
Pour calculer sa moyenne annuelle,
Stéphanie effectue le calcul suivant :
85∙0,2+78∙0,2+89∙0,6=86
Étape
Note
(%)
Pondération
(%)
1
85
20
2
78
20
3
89
60
Stéphanie obtient donc une moyenne de 86 %.
1
Pour chacune des distributions de données suivantes, détermine la moyenne, le mode et la médiane.
a) 12, 15, 8, 20, 9, 12, 16, 25, 14, 15, 16, 12, 20, 18, 19, 14, 10, 9, 12, 20
Moyenne (x ) :
Mode :
Médiane :
b) 50, 82, 40, 75, 42, 98, 20, 51, 58, 82, 70, 42, 76, 80, 60, 82, 35, 90, 93, 46
Moyenne (x ) :
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Mode :
Médiane :
La statistique
Statistique
313
2
Pour chacune des situations suivantes, détermine la moyenne, le mode et la médiane.
a)
b)
3
Pointures des
souliers vendus
Pointure
Effectif
5
12
6
18
7
15
8
20
9
14
10
0
11
2
Moyenne :
Mode :
Médiane :
Moyenne :
Mode :
Médiane :
Nombre d’enfants
par famille
Nombre
d’enfants
Effectif
0
4
1
8
2
16
3
5
4
1
5
2
Pour chacune des situations suivantes, détermine la moyenne, la classe modale et la classe médiane.
a)
Argent de poche
des élèves
Somme
($)
Effectif
[0, 5[
26
[5, 10[
15
[10, 15[
30
[15, 20[
13
[20, 25[
16
Moyenne :
314
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.3
Classe
modale :
Classe
médiane :
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b)
c)
Temps d’utilisation
d’Internet
par semaine
Temps (h)
Effectif
[0, 5[
2
[5, 10[
10
[10, 15[
15
[15, 20[
20
[20, 25[
8
Moyenne :
Classe
modale :
Classe
médiane :
Moyenne :
Classe
modale :
Classe
médiane :
Résultats à un
examen de science
Résultat
(%)
Effectif
[50, 60[
2
[60, 70[
12
[70, 80[
7
[80, 90[
7
[90, 100[
4
Exercice
Exercice
4
Pour chacune des situations, détermine la moyenne, le mode ou la classe modale et la médiane
ou la classe médiane.
a)
b)
Dons
amassés
Allocation
hebdomadaire
c)
Pièces de monnaie
dans une tirelire
Montant ($)
Effectif
Montant ($)
Effectif
Pièces ($)
Effectif
5
62
[0, 5[
10
0,05
25
10
55
[5, 10[
15
0,10
18
15
43
[10, 15[
12
0,25
9
20
37
[15, 20[
4
1,00
5
25
25
[20, 25[
1
2,00
6
Moyenne :
Moyenne :
Moyenne :
Mode :
Classe modale :
Mode :
Médiane :
Classe médiane :
Médiane :
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La statistique
Statistique
315
5
Voici les résultats de Mathis aux examens d’histoire de la 2e étape.
À l’aide des coefcients de pondération indiqués, trouve la moyenne de Mathis.
Résultats de Mathis
Histoire
Examen 1 (10 %)
73
Examen 2 (10 %)
80
Examen 3 (20 %)
80
Examen 4 (25 %)
87
Examen 5 (35 %)
92
Résultat nal
6
?
Réponse :
En mathématique, Juanita a obtenu une note de 75 % pour la compétence « Résoudre une
situation-problème » et une note de 61 % pour la compétence « Déployer un raisonnement
mathématique ».
Sachant que la première compétence vaut 30 % de la note nale et la seconde, 70 % de la note
nale, quelle est la note de Juanita ?
Réponse :
7
Le tableau ci-contre présente les résultats de
Jade pour les trois compétences en français,
ainsi que sa note nale.
Quel est son résultat pour la compétence
« Écrire » ?
Compétence
Pondération
Résultat
Lire
40 %
71 %
Écrire
40 %
?
Communiquer
20 %
78 %
Résultat nal
100 %
74 %
Réponse :
316
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.3
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8
Est-il possible de trouver la moyenne, le mode et la médiane à partir de ces diagrammes ?
Si oui, détermine-les. Si non, explique pourquoi.
a)
Âge des joueurs
inscrits au football
Effectif
35
30
30
24
25
20
15
20
18
14
10
5
0
b)
12
13
14
15
16
Âge (ans)
Couleur préférée des enfants
de 6 à 10 ans
8%
15 %
5%
12 %
25 %
35 %
c)
Temps passé
sur les réseaux sociaux
Nombre
d’élèves 36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
33
26
18
20
17
5
10
15
20
25
Temps (h)
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La statistique
Statistique
317
9
Le diagramme suivant représente le nombre d’heures de travail par semaine des élèves
de 4e secondaire.
Trouve la moyenne, la classe modale et la classe médiane de cette distribution.
Nombre d’heures de travail hebdomadaire
Élèves de 4e secondaire
Nombre 32
d’élèves
28
24
22
20
15
16
12
12
7
8
4
4
0
1
4
8
1
12 16 20 24 28 32
Temps (h)
Astuce
Certaines distributions peuvent avoir plusieurs modes.
10 Le diagramme ci-dessous présente
les températures maximales pour la ville
de Rome au mois de juin.
Température (° C)
Trouve la moyenne, le mode et la médiane
de cette distribution.
Température enregistrée à Rome
au mois de juin
36
34
32
30
28
26
24
22
Moyenne :
20
Mode :
1
318
Statistique
6
11
16
Chapitre 7 — Section 7.3
21
26
31
Date
Médiane :
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7.4 Les quartiles et les mesures
de dispersion
Les quartiles
• Les quartiles, Q1, Q2 et Q3, sont des mesures de position. Ces trois valeurs séparent une distribution
ordonnée en quatre parties (les quarts) qui comportent le même nombre de données.
– Le deuxième quartile, Q2, est la médiane.
– Le premier quartile, Q1, est la médiane des données qui précèdent Q2.
– Le troisième quartile, Q3, est la médiane des données qui suivent Q2.
Voici la distribution du nombre de petits-enfants des membres d’un club d’aînés :
2
3
4
6
6
8
Q1
9
9
10
10
Q2
4+6
=5
2
Q1=
12
15
22
Q3
Q2=médiane=9
10+12
=11
2
Q3=
Le diagramme de quartiles
• Le diagramme de quartiles est une représentation qui permet d’analyser la concentration des données.
• Chacun des quarts du diagramme contient environ 25 % des données.
Boîte
Moustache
Q1
1er quart
Q2
2e quart
Médiane
Minimum
Moustache
3e quart
Q3
4e quart
Maximum
Voici le diagramme de quartiles associé aux données de l’exemple précédent.
Petits-enfants des membres d’un club d’aînés
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Nombre de petits-enfants
Environ 50 % des membres ont de 5 à 11 petits-enfants.
* Dans cette distribution, 22 est une donnée aberrante, c’est-à-dire une donnée qui est très
éloignée des autres. Si on ignore cette donnée, qu’arrive-t-il à la moustache de droite ?
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La statistique
Statistique
319
Les mesures de dispersion
• Lors de l’analyse des données, en plus des mesures de tendance centrale (moyenne, mode et médiane)
et des valeurs de position (quartiles), on observe les mesures de dispersion.
• Une mesure de dispersion sert à décrire l’étalement des données.
• L’étendue, l’étendue des quarts et l’étendue interquartile sont des mesures de dispersion.
– Étendue (É)=maximum−minimum
– Étendue d’un quart=limite supérieure du quart−limite inférieure du quart
– Étendue interquartile (ÉI)=Q3−Q1
Reprenons la distribution de l’exemple précédent.
2
3
4
6
6
8
Q1=5
9
9
10
10
Q2=9
12
15
22
Q3=11
L’étendue de la distribution (É) : 22−2=20
L’étendue du premier quart : Q 1−minimum=5−2=3
L’étendue interquartile (ÉI) : Q3−Q1=11−5=6
1
Pour chacune des distributions suivantes, calcule l’étendue. Détermine ensuite les quartiles.
a) Nombre de points marqués dans
une partie de basketball
b) Âge des enfants inscrits à un camp
de jour
42 46 56 68 72 85 90
92 94 98 102 104 116
c) Nombre de minutes d’entraînement
par jour
45 48 50 52 52 55
60 65 65 90 95
320
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.4
55
4
5
5 5 5 6 6 6
6 7 7 7 8
6
d) Durée du dîner au travail
30
30 40 40 45 50
60 60 60 75 75
50
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2
Pour chacune des distributions suivantes, détermine l’étendue (É), les quartiles (Q1, Q2, Q3) et
l’étendue interquartile (ÉI).
a) Résultats obtenus au dernier examen de mathématique
55 71
É:
68
79 85
Q1 :
83
40
73
Q2 :
57
66
72
54
Q3 :
ÉI :
b) Résultats obtenus aux dernières parties de golf
−5
É:
2
0
Q1 :
−1
6
−4 −3
Q2 :
0
2
1
2
Q3 :
ÉI :
Exercice
Exercice
3
5 4
Complète le tableau suivant.
Distribution
Q1
Q2
Q3
Étendue
Étendue
interquartile
a) 25, 16, 15, 18, 10, 14, 19
b) 5, 0, 4, 1, 0, 6, 2, 3
c) 125, 130, 114, 140, 126, 160
d) 32, 12, 14, 24, 38, 26, 12, 21, 40
e) 450, 325, 521, 335, 410, 650, 502
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La statistique
Statistique
321
4
Trace le diagramme de quartiles associé à chacune des distributions suivantes.
a) Durée des lms présentés au cinéma du quartier (min)
90
92
125
100
100
125
115
145
113
162
135
175
Durée des lms présentés au cinéma du quartier
70 80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Durée (min)
b) Âge des élèves de la classe
14 15 16 15 15 15 16 16 16 17 14
15 15 15 15 16 14 16 16 15 15 16 14
Âge des élèves de la classe
13
14
15
16
17
18
Âge (ans)
c) Pointure des souliers pour hommes vendus de 14 h à 15 h
10 8
7
9
10
11
7
8
9
10
11
13
10
9
11
6
15
9 10
Pointure des souliers pour hommes
vendus de 14 h à 15 h
2
322
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.4
4
6
8
10
12
14
16
Pointure
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5
Le tableau suivant indique le nombre de buts marqués au cours d’une saison par chacun
des 33 joueurs d’une équipe de hockey.
Nombre de buts marqués durant la saison
Nombre de buts marqués
0
1
2
3
4
5
6
11
13
14
15
Effectif
11
6
2
1
1
2
3
2
1
1
3
a) Complète le diagramme de quartiles.
Nombre de buts marqués durant la saison
Astuce
Souviens-toi que
chaque quart
compte environ
25 % des données.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Nombre de buts
b) Quelles données se trouvent dans le premier quart ?
c) Dans quel quart les données sont-elles le plus dispersées ?
d) Que nous indique l’étendue interquartile ?
6
Observe le diagramme de quartiles suivant. Il représente les résultats au saut en hauteur
de 25 athlètes. Réponds ensuite aux questions.
Résultats au saut en hauteur
2,2
2,3
Hauteur (m)
a) Quels sont le minimum et le maximum ?
b) Quelle est la valeur de la médiane ?
c) Que nous indique l’étendue ?
d) Dans quel quart les données sont-elles le plus concentrées ?
e) Que nous indique l’étendue interquartile ?
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La statistique
Statistique
323
7
On a noté dans le tableau suivant la durée des 11 derniers mandats de premiers ministres québécois.
Premier ministre
Durée du mandat
(jours)
Premier ministre
Durée du mandat
(jours)
Daniel Johnson
830
Jacques Parizeau
487
Jean-Jacques Bertrand
588
Lucien Bouchard
1 863
Robert Bourassa
3 299
Bernard Landry
René Lévesque
3 232
Jean Charest
Robert Bourassa (2e mandat)
2 952
Pauline Marois
Daniel Johnson (ls)
781
3 430
582
258
a) Trace le diagramme de quartiles associé à cette distribution.
Durée des 11 derniers mandats
de premiers ministres québécois
0
1 000
2 000
3 000
Durée (jours)
b) Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. S’il est faux, corrige-le.
1) L’étendue est de 2 650 jours.
2) Selon le minimum et le maximum, les mandats ont varié de 258 à 3 430 jours.
3) On peut afrmer que 50 % des mandats ont duré de 3 232 à 3 430 jours.
4) La médiane appartient à la distribution.
5) Il y a eu plus de mandats qui ont duré de 258 à 582 jours que de 582 à 830 jours.
6) Les données sont plus dispersées dans le 3e quart.
324
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.4
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8
Les deux diagrammes de quartiles suivants représentent le nombre de verges gagnées
par la passe au football en saison régulière pour Peyton Manning et Tom Brady.
Nombre de verges gagnées par la passe en saison régulière
Peyton Manning
4 020 4 267
3 312
4 608
5 477
Tom Brady
3 692
2 843
2 000
3 000
2 500
3 500
4 109,5
4 770
4 000
4 500
5 235
5 000
5 500
Verges par la passe
Curi sité
Au football américain,
le quart arrière peut
effectuer des jeux
au sol ou par la passe
an d’avancer sur le
terrain jusqu’à la zone
de touché. Les gains
sur le terrain sont
calculés en verges.
Une verge équivaut
à 0,914 4 m.
a) Pour chaque joueur, donne l’étendue et l’étendue interquartile.
b) Dans quel diagramme les données sont-elles le plus concentrées ? Réponds à l’aide
d’une mesure de dispersion.
c) Comment peut-on interpréter ces données plus concentrées ?
9
Pascal et Julie planient un voyage en décembre. Ils hésitent entre Cuba et la Floride.
Observe le diagramme ci-dessous.
Températures observées en décembre
Cuba
Floride
24
25
26
27
28
29
30
32
31
Température (° C)
Quelle destination devraient-ils choisir s’ils souhaitent avoir le plus de chaleur possible ?
Explique ta réponse à l’aide d’arguments mathématiques.
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La statistique
Statistique
325
10 Voici les résultats à un examen de mathématique de deux groupes d’élèves.
Groupe 301
Groupe 302
55, 71, 68, 79, 85, 83, 40,
73, 57, 66, 72, 54, 71, 91
62, 67, 66, 87, 39, 53, 53, 73,
68, 67, 77, 79, 51, 68, 62
a) Trace le diagramme de quartiles associé à chaque groupe. Pense à identier chacun des groupes.
Résultats à un examen de mathématique
40
50
60
70
80
90
Résultats (%)
b) Quel groupe a le mieux réussi l’examen ? Justie ta réponse.
11 Dans chaque cas, indique si le premier quartile, la médiane et le troisième quartile font partie
de la distribution de données. On considère que toutes les données sont distinctes.
Nombre de données
326
a)
12
b)
25
c)
30
d)
42
e)
75
Statistique
Chapitre 7 — Section 7.4
Q1
Q2
Q3
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Retour sur le chapitre 7
Questions à choix multiples
1
Parmi les distributions de données suivantes, laquelle a un mode de 5, une étendue de 10
et une médiane de 4 ?
a) 0, 1, 1, 4, 5, 10
2
b) 2, 4, 5, 5, 12
c) 0, 4, 4, 5, 5, 10
d) 0, 1, 3, 4, 5, 5, 10
Un concessionnaire automobile effectue un sondage pour connaître le degré de satisfaction
de ses clients. Pour ce faire, il interroge deux clients par heure durant une semaine.
Quelle est la méthode d’échantillonnage utilisée ?
b) Un échantillonnage systématique
c) Un échantillonnage par grappes
d) Un échantillonnage stratié
Observe l’histogramme ci-contre.
Effectif
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Quelle est la classe médiane ?
a) [0, 8[ retards
b) [8, 16[ retards
c) [16, 24[ retards
d) [24, 32[ retards
Retards inscrits à l’agenda
pour le groupe 353
21
5
3
2
0
4
RETOUR
3
a) Un échantillonnage aléatoire simple
8
1
16
24
32
40
Nombre de retards
Observe le diagramme de quartiles ci-dessous. Dans quel quart les données sont-elles
le plus concentrées?
a) 1er quart
Temps de course au 5 km
b) 2e quart
c) 3e quart
12
5
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
Temps (min)
On veut constituer un échantillon stratié de 50 élèves
d’une école secondaire. Combien de garçons de
3e secondaire doit-on choisir ?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 24
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d) 4e quart
Année
Garçons
Filles
1 secondaire
65
55
2 secondaire
58
52
3 secondaire
45
70
4 secondaire
55
50
5 secondaire
38
52
re
e
e
e
e
La statistique
Statistique
327
Questions à réponses courtes
6
Dans chaque cas, identie la population à l’étude et la méthode d’échantillonnage utilisée.
a) On veut connaître les activités parascolaires souhaitées par les élèves de 3e secondaire.
On interroge 50 élèves au hasard.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
b) Dans une usine, on fabrique deux lots de fauteuils pliants par jour. Lors des contrôles
de qualité, on teste 15 % des fauteuils de chaque lot.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
c) On veut connaître l’opinion des membres d’un centre de conditionnement physique à propos
des heures d’ouverture. Durant une semaine, on interroge les 15e, 30e, 45e, 60e, etc., membres
qui entrent au centre.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
RETOUR
d) On veut connaître l’état de santé des animaux d’élevage au Québec. On observe les animaux
dans trois fermes de la Montérégie choisies au hasard.
• Population :
• Méthode d’échantillonnage :
7
Pour chacune des distributions de données, détermine les mesures statistiques demandées.
a)
60, 65, 65, 65, 70, 75, 80, 80,
80, 85, 85, 90, 90, 95, 100
Q1 :
Q2 :
É:
ÉI :
Moyenne :
Q3 :
Modes :
b) 32, 35, 44, 48, 51, 52, 55, 58, 63, 65,
67, 70, 71, 71, 76, 76, 84, 87, 88, 91
Q1 :
Q2 :
É:
ÉI :
Moyenne :
328
Statistique
Chapitre 7 — Retour
Q3 :
Modes :
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c)
125, 127, 128, 128, 138, 140, 142, 142,
142, 149, 150, 152, 157, 160, 165
Q1 :
Q2 :
É:
ÉI :
Moyenne :
Q3 :
Mode :
d) 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4,
4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9
Q1 :
Q2 :
É:
ÉI :
Moyenne :
Mode :
Dans chaque cas, indique s’il s’agit d’un sondage ou d’un recensement. Précise ensuite le type
de caractère statistique.
a) L’animateur d’une émission de variétés invite les téléspectateurs à répondre à la question
suivante : « Combien d’heures dormez-vous en moyenne par nuit ? »
• Recensement
Sondage
• Type de caractère statistique :
RETOUR
8
Q3 :
b) Le gouvernement fédéral envoie un questionnaire à tous les résidents canadiens an
de connaître leur état civil.
• Recensement
Sondage
• Type de caractère statistique :
9
À la dernière étape, l’enseignante de français accorde 25 % au premier examen, 35 % au
deuxième et le reste au dernier examen. Alexane a obtenu 16 au premier, 45 au deuxième
20
50
et 84 au dernier.
100
Quelle est la note d’Alexane pour cette étape ?
Réponse :
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La statistique
Statistique
329
10 Voici les précipitations annuelles, en millimètres, enregistrées dans les régions du Québec.
Québec : 1 311
Outaouais : 1 200,6
Mauricie : 1 146,6
Estrie : 1 233,4
Côte-Nord : 1 092,6
Lanaudière : 1 110,3
Laval : 990,9
Montérégie : 1 316,8
Abitibi-Témiscamingue : 988,7
Chaudière-Appalaches : 1 314,6
Saguenay–Lac-Saint-Jean : 1 040,6
Montréal : 1 026,4
Laurentides : 1 194,7
Bas-Saint-Laurent : 1 175,8
Nord-du-Québec : 1 004,4
Centre-du-Québec : 1 194,9
Gaspésie–Îles-de-la-Madeleine : 1 294,4
a) Complète le tableau et construis un histogramme qui représente cette distribution.
Précipitations annuelles
Précipitations annuelles
Précipitations
(mm)
Effectif
Effectifs
RETOUR
[900, 1 000[
[1 000, 1 100[
[1 100, 1 200[
[1 200, 1 300[
[1 300, 1 400[
0
Précipitations (mm)
b) À l’aide du tableau, trouve la moyenne, ainsi que les classes modale et médiane
de cette distribution.
Classe
modale :
x:
330
Statistique
Chapitre 7 — Retour
Classe
médiane :
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Questions à développement
11 Voici le nombre de victoires pour chaque équipe de la Ligue nationale de hockey selon
son association en 2016.
Association de l’Est
Washington : 56
Pittsburgh : 48
Floride : 47
New York (Rangers) : 46
Tampa Bay : 46
New York (Islanders) : 45
Philadelphie : 41
Boston : 42
Ottawa : 38
New Jersey : 38
Montréal : 38
Caroline : 35
Buffalo : 35
Columbus : 34
Toronto : 29
Association de l’Ouest
Dallas : 50
Saint Louis : 49
Chicago : 47
Anaheim : 46
Los Angeles : 48
San Jose : 46
Nashville : 41
Minnesota : 38
Colorado : 39
Arizona : 35
Winnipeg : 35
Calgary : 35
Vancouver : 31
Edmonton : 31
RETOUR
a) Trace les deux diagrammes de quartiles associés à ces distributions.
Nombre de victoires par association
dans la LNH
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58
Nombre de victoires
b) Dans quelle association les nombres de victoires se ressemblent-ils davantage d’une équipe
à l’autre ?
c) Était-il possible de prévoir de quelle association ferait partie l’équipe qui remporterait la coupe
Stanley ? Justie ta réponse à l’aide des diagrammes.
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La statistique
Statistique
331
12 Julianne a noté le temps de chaque nageur à la dernière compétition du 50 m libre chez
les hommes. De son côté, Pierre-Luc a compilé dans un tableau ces mêmes résultats.
Trouve les moyennes obtenues par Julianne et Pierre-Luc. Explique la différence.
Résultats compilés par Pierre-Luc
Résultats compilés par Julianne (s)
Résultats (s)
Effectif
[24, 26[
2
29,17
[26, 28[
6
27,05
[28, 30[
6
[30, 32[
1
[32, 34[
3
29,50
29,74 31,62
32,62
32,84
33,90
27,17
27,87 28,12
28,55
28,60
24,11
25,63
26,00 26,11
26,27
RETOUR
Réponse :
13 Observe les histogrammes ci-dessous. Existe-t-il des inégalités salariales entre les hommes et
les femmes qui travaillent dans cette entreprise ? Justie ta réponse à l’aide des mesures de
tendance centrale (moyenne, mode et médiane).
Nombre
d’employés
40
30
20
10
0
Salaire horaire
des employés masculins
32
15
12
2
12
24
36
48
Salaire horaire ($/h)
Nombre
d’employés
40
30
20
10
0
Salaire horaire
des employés féminins
28
17
13
1
12
24
36
48
Salaire horaire ($/h)
Réponse :
332
Statistique
Chapitre 7 — Retour
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14 Les diagrammes de quartiles ci-dessous représentent le degré de satisfaction des clients de deux
hôtels selon trois critères : la propreté, la courtoisie des employés et la qualité de la nourriture du
restaurant. Le maximum possible est de cinq étoiles.
Compare les trois critères d’évaluation à l’aide d’arguments mathématiques. Quel hôtel Jocelyne
et Pierre devraient-ils choisir pour leurs prochaines vacances ?
Propreté de l’hôtel
a) Propreté de l’hôtel :
Hôtel B
Hôtel A
0
2
1
3
4
5
Nombre d’étoiles
Courtoisie des employés
Choix préférable : Hôtel A
Hôtel B
b) Courtoisie des employés :
RETOUR
Hôtel B
Hôtel A
0
2
1
3
4
5
Nombre d’étoiles
Qualité de la nourriture
Choix préférable : Hôtel A
Hôtel B
c) Qualité de la nourriture :
Hôtel B
Hôtel A
0
1
2
3
4
5
Nombre d’étoiles
Choix préférable : Hôtel A
Hôtel B
d) Conclusion :
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La statistique
Statistique
333
Situation-problème
Les résultats des absents
Les résultats au dernier examen de mathématique
sont représentés par le diagramme de quartiles suivant.
Résultats des 28 élèves de la classe
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
Résultat (%)
Pendant le retour sur l’examen, cinq élèves étaient absents. Voici les résultats des élèves présents.
76
60
76
47
70
45
85
80
78
48
68
71
57
66
73
67
60
54
74
80
52
81
48
Sachant que la moyenne du groupe est de 66 % et que le mode est de 76 %, quels sont
les cinq résultats manquants ?
334
Situation-problème
Les résultats des absents
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Réponse
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Situation-problème
Les résultats des absents
335
Situation d’application
Une question d’âge
Observe les tableaux ci-dessous. Carmen prétend que l’âge des présidents
américains au moment de leur assermentation est généralement plus élevé
que celui des premiers ministres canadiens.
A-t-elle raison ? Justie ta réponse à l’aide de mesures statistiques.
Âge des présidents américains
Président
Âge (ans)
Âge des premiers ministres canadiens
Premier ministre
Âge (ans)
John F. Kennedy
43
Lester B. Pearson
65
Lyndon B. Johnson
55
Charles Joseph Clark
Richard Nixon
56
Pierre Elliott Trudeau (2 mandat)
60
Gerald Ford
61
John Turner
55
Jimmy Carter
52
Brian Mulroney
45
Ronald Reagan
69
Kim Campbell
46
George H. W. Bush
64
Jean Chrétien
59
Bill Clinton
46
Paul Martin
65
George W. Bush
54
Stephen Harper
46
Barack Obama
47
Justin Trudeau
43
39
e
Réponse
336
Situation d’application
Une question d’âge
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CHAPITR E
Les probabilités
8
SOMMAIRE
Rappel.........................................................................................338
8.1
Les expériences aléatoires simples
et composées ..................................................................341
8.2
La probabilité géométrique............................................353
Retour sur le chapitre 8 .......................................................363
Santé et bien-être (CD1) ..................................................... 370
À l’épluchette ! (CD2)............................................................ 372
Dans une fête foraine, un jeu de hasard consiste à
faire tourner deux roulettes. Si on obtient la couleur
rouge sur la première roulette et une autre couleur
que le rouge sur la deuxième roulette, on gagne
un chèque cadeau.
Quelle est la probabilité de ne pas gagner
de chèque cadeau ?
Roulette 1
Roulette 2
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
337
Rappel
L’univers des résultats possibles et les événements
• Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats dépendent entièrement du hasard.
• Elle peut comprendre une seule étape (on dit alors qu’elle est simple) ou plusieurs étapes
(on dit alors qu’elle est composée).
• L’univers des résultats possibles est l’ensemble qui décrit tous les résultats possibles
d’une expérience aléatoire. Il est représenté par la lettre grecque Ω (oméga).
• Un événement est un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles. Il est élémentaire
s’il compte un seul résultat possible.
La probabilité d’un événement
• En probabilité, on étudie la chance qu’un événement se produise dans l’avenir.
• La probabilité qu’un événement (A) se produise peut s’exprimer à l’aide
d’une fraction.
RAPPEL
P(A)=
Nombre de résultats favorables
Nombre de résultats possibles
• Le nombre de résultats possibles d’une expérience aléatoire composée est
le produit des nombres de résultats distincts à chaque étape.
Astuce
Des événements
qui ont la même
probabilité de se
réaliser sont des
événements
équiprobables.
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 4 faces et une pièce de monnaie. On s’intéresse
à la probabilité d’obtenir un nombre premier sur le dé et d’obtenir le côté face de la pièce.
• L’expérience compte 4 x 2 = 8 résultats équiprobables. On peut les dénombrer à l’aide
d’un diagramme en arbre ou d’une grille.
Le diagramme en arbre
Départ
Lancer
du dé
La grille
Lancer
de la pièce
F
P
(1, F)
(1, P)
2
F
P
(2, F)
(2, P)
3
F
P
(3, F)
(3, P)
4
F
P
(4, F)
(4, P)
1
Résultats
F
P
1
(1, F)
(1, P)
2
(2, F)
(2, P)
3
(3, F)
(4, F)
(3, P)
4
(4, P)
• Le diagramme en arbre et la grille illustrent qu’il y a 2 résultats favorables, (2, F) et (3, F),
sur les 8 résultats possibles.
• Donc, la probabilité d’obtenir un nombre premier et d’obtenir le côté face est de
338
Probabilité
Chapitre 8 — Rappel
2 1
= .
8 4
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Dans une boîte, on place 10 boules numérotées de 1 à 10. On s’intéresse à la probabilité
de tirer un nombre impair et premier.
Tirage d’un nombre de 1 à 10
Ω
Le diagramme de Venn
Nombres premiers
Nombres impairs
Le diagramme illustre qu’il y a 3 résultats
favorables, 3, 5 et 7, sur les 10 résultats
9
10
3
2
1
5 7
possibles.
6
8
Donc, la probabilité de tirer un nombre
4
3
impair et premier est de .
10
1
On lance un dé équilibré à deux reprises. On s’intéresse au produit des nombres obtenus.
a) Trouve tous les résultats possibles à l’aide de la grille suivante.
Produit des nombres obtenus avec deux lancers
Lancer 1
Lancer 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
RAPPEL
4
5
6
b) Quel produit est le plus probable ?
c) Quelle est la probabilité d’obtenir un produit impair ?
2
On lance une pièce de monnaie à trois reprises et on note le résultat obtenu.
Quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat aux trois lancers ? Trouve la réponse à l’aide
d’un diagramme en arbre.
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
339
3
Pour un tirage au sort, on place des boules numérotées de 1 à 24 dans une boîte.
On considère les événements suivants :
A : « Tirer un diviseur de 24. »
B : « Tirer un multiple de 5. »
C : « Tirer un nombre impair. »
a) Décris en extension chacun des événements.
A=
B=
C=
b) Représente ces événements à
l’aide d’un diagramme de Venn.
RAPPEL
Détermine ensuite la probabilité
de l’événement A ∩ C=« Tirer un
nombre impair qui est un diviseur
de 24 ».
Ω
A
B
C
P(A ∩ C)=
4
Le conseil des élèves d’une école compte trois élèves du 2e cycle, Olivier, Simon et Jeanne.
Pour choisir qui représentera les élèves à la réunion du conseil d’établissement, on tire deux des
trois noms au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer le nom des deux garçons ?
Réponse :
340
Probabilité
Chapitre 8 — Rappel
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8.1 Les expériences aléatoires simples
et composées
La probabilité théorique et la probabilité fréquentielle
• La probabilité théorique d’un événement (A) peut être exprimée à l’aide du rapport suivant.
P(A)=
Nombre de résultats favorables à l’événement
Nombre de résultats possibles de l’expérience
On tire au hasard une carte parmi les 12 gures d’un jeu de cartes standard.
En théorie, la probabilité de tirer une reine est de
4
1
= .
12 3
• La probabilité fréquentielle ou expérimentale d’un événement se calcule
par la répétition de l’expérience, à l’aide de méthodes statistiques.
Astuce
• Elle peut être exprimée à l’aide du rapport suivant.
P(A)=
Nombre de fois que l’événement s’est réalisé
Nombre de fois que l’expérience a été réalisée
Une probabilité théorique
ou fréquentielle ne
garantit pas le résultat
d’une expérience.
• La probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique lorsqu’on a un très grand nombre
de données.
On s’intéresse au groupe sanguin des individus d’une population.
À partir d’un échantillon de cette population, on construit le tableau suivant.
Répartition des groupes sanguins dans un échantillon de 300 personnes
Groupe sanguin
A
B
AB
O
Nombre de personnes
123
27
9
141
À partir du tableau ci-dessus, on peut déterminer que la probabilité fréquentielle de choisir une
personne de groupe sanguin AB dans cette population est de
9
3
=
.
300 100
Les propriétés des probabilités
Voici quelques règles de base du calcul de probabilités :
• La probabilité qu’un événement se produise est toujours comprise entre 0 et 1.
• La probabilité d’un événement certain est égale à 1.
• La probabilité d’un événement impossible est égale à 0.
• La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des résultats qu’il comprend.
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Les probabilités
Probabilité
341
Les événements compatibles
Astuce
• Deux événements sont compatibles s’ils ont au moins un résultat en commun.
Dans le cas contraire, ils sont incompatibles.
L’intersection de
deux événements A
et B est notée A ∩ B.
• Les événements compatibles peuvent se réaliser en même temps. À l’inverse,
les événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps.
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé équilibré et à observer le résultat. On s’intéresse
aux événements suivants.
Ω
A
B
A : « Tirer un nombre pair. »
4
2
6
B : « Tirer un nombre premier. »
35
C : « Tirer un nombre impair. »
C
1
• Les événements A et B sont compatibles, car A ∩ B={2}.
• Les événements A et C sont incompatibles, car A ∩ C=Ø.
• Les événements B et C sont compatibles, car B ∩ C={3, 5}.
Les événements complémentaires
• Deux événements sont complémentaires s’ils sont incompatibles
et que leur union forme l’ensemble des résultats possibles, Ω.
Astuce
• L’événement complémentaire de l’événement A est noté A’.
• La somme des probabilités de deux événements complémentaires est 1 :
P(A)+P(A’)=1
L’union de deux
événements A et B
est notée A ∪ B.
On lance un dé à 4 faces et on s’intéresse aux événements suivants.
A : « Obtenir un diviseur de 4. »
B : « Obtenir un multiple de 3. »
• A={1, 2, 4}, B={3}, A ∩ B=Ø et A ∪ B={1, 2, 3, 4}.
• Les événements A et B sont donc complémentaires.
3
4
1
4
• Ainsi, P(A)+P(B)= + =1.
1
Au hockey, l’une des statistiques permettant d’évaluer la performance d’un gardien de but est
le pourcentage d’arrêts. Il s’agit du rapport du nombre d’arrêts effectués au nombre total de tirs
au but.
a) De quel type de probabilité s’agit-il, théorique ou fréquentielle ? Explique ta réponse.
b) Si un gardien de but a une moyenne d’arrêts de 0,85
85
( 100
), peut-on afrmer avec certitude
qu’il accordera 15 buts au cours des 100 prochains tirs ? Explique ta réponse.
342
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.1
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2
Sam et Charlotte trouvent un sac rempli de timbres de divers pays. Ils tirent chacun 20 timbres
et notent le pays dont chaque timbre provient dans le tableau ci-dessous.
a) Quelle est la probabilité fréquentielle qu’un
timbre provienne d’Amérique du Nord ?
b) Quelle est la probabilité fréquentielle
qu’un timbre provienne de l’Australie ?
c) Quelle est la probabilité fréquentielle
qu’un timbre provienne de Chine ?
d) Quelle est la probabilité fréquentielle
qu’un timbre ne provienne pas du Canada ?
3
Pays de provenance
des timbres
Pays
Effectif
Canada
19
États-Unis
11
France
3
Royaume-Uni
2
Australie
5
Un enseignant de mathématique propose un jeu à ses élèves. Chaque élève lance
deux dés à 4 faces. Un garçon gagne si la somme obtenue est un multiple de 3.
Une lle gagne si la somme obtenue est un diviseur de 24. Le prix à gagner est
une paire de billets de cinéma.
Les deux propositions offrent-elles la même chance de gagner ?
Réponse :
4
Un jeu de hasard consiste à tirer une lettre du mot PROBABLE.
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Explique ensuite ta réponse.
a) Les événements A : « tirer une voyelle » et B : « tirer une consonne » sont compatibles.
b) Les événements B : « tirer une consonne » et C : « tirer une des trois premières lettres de
l’alphabet » sont compatibles.
c) Les événements A : « tirer une voyelle » et B : « tirer une consonne » sont des événements
complémentaires.
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Les probabilités
Probabilité
343
5
On tire au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes.
On s’intéresse aux événements suivants.
A : « Obtenir une gure »
Astuce
Un jeu de cartes standard
comprend 13 cartes de
),
chaque enseigne : cœur (
carreau ( ), pique ( ) et
trèe ( ).
B : « Obtenir une carte de cœur »
C : « Obtenir une carte noire »
a) Décris l’événement complémentaire à l’événement C.
b) Les événements A et B sont-ils compatibles ? Justie ta réponse.
c) Les événements B et C sont-ils complémentaires ? Justie ta réponse.
d) Décris en mots et indique le nombre de cartes dans chaque partie du diagramme de Venn
qui représente ces événements. Trouve ensuite les probabilités demandées.
10
A
Cartes de carreau de 1 à 10
B
Valet, dame et roi de pique
6
et de trèfle
C
6
P(A)=
P(C)=
P(Bæ)=
P(A ∩ C)=
P(B ∩ C)=
P(A ∪ C)=
Le tableau suivant présente les préférences
musicales d’un groupe d’élèves.
Préférences musicales
Genre musical
Garçons
Filles
Total
On tire au hasard le nom d’un élève.
Pop
12
18
30
a) Quelle est la probabilité que ce soit
un garçon qui aime le rock ?
Rock
22
15
37
Folk
3
1
4
Hip-hop
11
8
19
Total
48
42
90
b) Quelle est la probabilité que l’élève n’ait
pas choisi la pop ?
c) Quelle est la probabilité que l’élève aime le hip-hop ?
344
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.1
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Le principe de multiplication
• Pour trouver la probabilité d’événements d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes, on peut
appliquer le principe de multiplication :
– Le nombre de résultats possibles est égal au produit des nombres de résultats distincts
à chaque étape.
– La probabilité d’un résultat est égale au produit des probabilités de chacun des résultats partiels
qui forment ce résultat.
• Avant d’effectuer ces calculs, il est important de déterminer :
– si on tient compte ou non de l’ordre des résultats ;
– si les étapes sont indépendantes, c’est-à-dire si le résultat de la première étape n’a pas d’inuence
sur celui de la deuxième étape.
On tire 2 billes avec remise d’un sac qui contient 3 billes rouges (R) et 2 billes vertes (V).
On s’intéresse à la probabilité de l’événement A : « obtenir deux billes de même couleur ».
Premier
tirage
Départ
3
5
R
2
5
V
Deuxième Résultats Probabilité
tirage
3
5
R
(R, R)
3 3
9
∙ =
5 5 25
2
5
V
(R, V)
3 2
6
∙ =
5 5 25
3
5
R
(V, R)
2 3
6
∙ =
5 5 25
2
5
V
(V, V)
2 2
4
∙ =
5 5 25
25
=100 %
25
Total=
P(A)=P({(R, R)})+P({(V, V)})
=
9
4
13
+ =
ou 52 %
25 25 25
Astuce
ement est égale
Souviens-toi que la probabilité d’un évén
qu’il comprend.
à la somme des probabilités des résultats
Un panier de fruits contient 3 bananes, 8 pommes, 2 poires et 3 kiwis.
Jean choisit au hasard 2 fruits pour sa boîte à lunch.
Quelle est la probabilité qu’il ait pris une poire et une pomme ?
• Cette expérience compte 2 étapes, sans remise.
• On s’intéresse à l’événement A={(poire, pomme), (pomme, poire)}.
2
8
1
∙ =
16 15 15
8
2
1
P({(pomme, poire)})= ∙ =
16 15 15
1
1
2
Ainsi, P(A)= + =
15 15 15
P({(poire, pomme)})=
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Les probabilités
Probabilité
345
1
Pour chaque expérience aléatoire, indique le nombre d’étapes. Détermine ensuite si les étapes
sont indépendantes et si l’on doit tenir compte de l’ordre.
a) Une plaque d’immatriculation québécoise est composée de 3 chiffres suivis de 3 lettres.
On tire au hasard les chiffres et les lettres.
Nombre d’étapes :
Étapes indépendantes
Tenir compte de l’ordre
b) On lance deux dés équilibrés. On s’intéresse à la somme des nombres obtenus.
Nombre d’étapes :
Étapes indépendantes
Tenir compte de l’ordre
c) On tire sans remise 2 billes d’un sac contenant des billes jaunes et des billes noires.
On s’intéresse à la probabilité de tirer une bille noire suivie d’une bille jaune.
Nombre d’étapes :
Étapes indépendantes
Tenir compte de l’ordre
d) On tire sans remise 3 billes d’un sac contenant des billes bleues, jaunes, rouges et vertes.
On s’intéresse à la probabilité que l’une des billes tirées soit rouge ou bleue.
Nombre d’étapes :
Étapes indépendantes
Tenir compte de l’ordre
e) On tire au hasard 7 chiffres pour former un mot de passe. Les chiffres peuvent se répéter.
Nombre d’étapes :
Étapes indépendantes
Tenir compte de l’ordre
f) Dans un groupe de 30 élèves, on tire le nom de 2 personnes qui seront élues président
et trésorier de la classe.
Nombre d’étapes :
2
Étapes indépendantes
Tenir compte de l’ordre
Mathieu a placé des boules numérotées de 0 à 9 dans une boîte. Quelle est la probabilité
des événements suivants ?
a) A : « Tirer deux nombres premiers. » Les tirages sont sans remise.
b) B : « Tirer un multiple de 3 autre que 0 suivi de 0. » Les tirages sont sans remise.
c) C : « Tirer deux nombres pairs incluant le 0. » Les tirages sont avec remise.
d) D : « Tirer dans l’ordre les chiffres du nombre 132. » Les tirages sont sans remise.
e) E : « Tirer dans l’ordre les chiffres du nombre 213. » Les tirages sont avec remise.
346
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.1
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3
Une bonbonnière contient 15 bonbons de même forme : 5 bonbons aux bleuets, 4 à la banane,
3 aux fraises, 2 à la menthe et 1 à la réglisse. On tire 2 bonbons sans remise.
a) Quelle est la probabilité de tirer un bonbon aux bleuets suivi d’un bonbon aux fraises ?
b) Quelle est la probabilité de tirer les deux bonbons à la menthe ?
c) Quelle est la probabilité de tirer un bonbon aux bleuets et un bonbon aux fraises
si on ne tient pas compte de l’ordre ?
Réponse :
4
On tire 2 billes sans remise d’un sac qui contient 6 billes bleues, 6 billes vertes et 3 billes rouges.
Quelle est la probabilité de tirer deux billes de la même couleur ?
Réponse :
5
Code de couleurs de Xavier
Xavier et Alexa jouent à un jeu de société. À partir de
8 couleurs différentes, chaque joueur détermine un
code de 5 couleurs sans le dévoiler. À tour de rôle,
chacun pose une question à son adversaire pour
deviner son code de couleurs. Le gagnant est celui qui trouve en premier le code de son adversaire.
Alexa a trouvé les couleurs du code de Xavier.
Quelle est la probabilité qu’elle les place dans le bon ordre au prochain tour ?
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Les probabilités
Probabilité
347
6
Voici les prévisions météorologiques de la semaine.
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
10 % de
possibilités
d’averses
10 % de
possibilités
d’averses
20 % de
possibilités
d’averses
70 % de
possibilités
d’averses
20 % de
possibilités
d’averses
a) Quelle est la probabilité qu’il pleuve tous les jours ?
b) Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas d’averses jeudi et vendredi ?
c) Quelle est la probabilité qu’il y ait des averses seulement jeudi ?
d) Quelle est la probabilité qu’il y ait des averses mardi et vendredi seulement ?
7
Maélie et Sally jouent à un jeu de hasard. À tour de rôle, chacune tire une bille d’un sac contenant
6 billes rouges et 6 billes noires, puis une carte parmi les 12 gures d’un jeu de cartes standard.
Les tirages se font sans remise. Si la couleur de la bille correspond à la couleur de la carte,
on obtient un point.
Voici les résultats obtenus après le troisième tour de Sally :
Sally
Maélie
Bille rouge, valet de pique
Bille noire, dame de cœur
Bille rouge, dame de carreau
Bille rouge, roi de pique
Bille noire, roi de cœur
C’est au tour de Maélie. A-t-elle plus de chances de marquer un point en tirant une bille rouge
suivie d’une carte rouge ou en tirant une bille noire suivie d’une carte noire ?
Réponse :
348
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.1
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8
Un magasin de sport offre à ses clients la chance
d’obtenir une réduction de 25 % à 80 %. Le client fait
tourner chacune des roulettes ci-contre. La réduction
obtenue correspond à la somme des pourcentages
indiqués sur chaque roulette.
10 % 15 %
5%
50 % 20 %
20 %
30 % 25 %
40 % 30 %
a) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 50 % de rabais ?
Réponse :
b) Quelle est la probabilité d’obtenir une réduction de 70 % et plus ?
Réponse :
9
On tire 2 cartes sans remise d’un jeu standard de 52 cartes. On s’intéresse aux événements
A : « tirer l’une des 12 gures suivie d’un as » et B : « tirer un as suivi de l’une des 12 gures ».
Les événements A et B sont-ils équiprobables ?
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
349
10 Le diagramme de Venn ci-dessous présente la ou les langues maternelles des habitants du Québec.
Langues maternelles des habitants du Québec
Anglais
Français
599 230
64 800
6 102 210
12 950
23 435
51 640
961 700
Autres
a) Selon le diagramme, quelle est la population totale au Québec ?
On tire le nom d’un Québécois au hasard. Réponds aux questions suivantes par un pourcentage.
b) Quelle est la probabilité que sa langue maternelle soit l’anglais ?
c) Quelle est la probabilité que sa langue maternelle soit le français ?
d) Quelle est la probabilité que sa langue maternelle soit l’anglais ou le français ?
e) Quelle est la probabilité que sa langue maternelle ne soit ni l’anglais ni le français ?
11 Quelle est la probabilité que la date d’une journée choisie au hasard soit un nombre pair ?
Réponse :
350
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.1
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12 Au restaurant du coin, le chef crée des tables d’hôte à partir des plats ci-dessous. Chaque table
d’hôte comprend une entrée, un potage, un plat principal et une boisson.
Juliette est allergique aux fruits de mer. Si on lui offre une table d’hôte au hasard, quelle est la
probabilité qu’elle ne contienne aucun fruit de mer ?
•
•
•
•
•
•
Entrée
Potage
Salade mixte
Crevettes gratinées
Dumpling aux arachides
Rouleaux végétariens
Pétoncles grillés
Fromages et craquelins
• Crème de légumes
• Velouté de fruits de mer
Plats
principaux
• Escalope de porc
• Poêlée de crevettes
au miel
• Magret de canard
• Suprême de poulet
• Filet mignon de bœuf
Boisson
•
•
•
•
Thé
Café
Tisane
Jus
Réponse :
13 Maïté travaille dans un camp de jour. Au moment de l’inscription, les enfants
ont choisi leurs activités préférées.
Dans le groupe de Maïté, 10 enfants ont choisi le soccer et la natation ;
8 enfants ont choisi le vélo et la natation ; 4 enfants ont choisi le vélo et le
soccer. Parmi eux, 2 enfants ont choisi les 3 activités. De plus, 5 enfants ont
seulement choisi le soccer et 5 enfants ont seulement choisi la natation.
Astuce
Trace un diagramme
de Venn pour t’aider.
2
La probabilité qu’un enfant ait choisi le vélo est de . Si chaque enfant devait choisir au moins
5
une activité, combien d’enfants y a-t-il dans le groupe de Maïté ?
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
351
14 Au Yum, on doit lancer 5 dés équilibrés. Un joueur peut lancer chacun des dés un maximum de
3 fois an d’obtenir une des combinaisons ci-dessous. Le joueur choisit les dés qu’il veut relancer.
Yum
Combinaison
Exemple
Points accumulés
3 faces identiques
4–4–4
Total des dés
4 faces identiques
2–2–2–2
Total des dés
Courte séquence
(4 nombres consécutifs)
1–2–3–4
15 points
Longue séquence
(5 nombres consécutifs)
2–3–4–5–6
20 points
Yum (5 faces identiques)
3–3–3–3–3
30 points
Main pleine
5–3–3–3–5
(1 paire + 3 faces identiques)
25 points
Yasmine a obtenu les résultats suivants après ses deux premiers lancers.
Quelle est la probabilité que Yasmine obtienne au moins 25 points en relançant seulement
le 5 et le 3 ?
Réponse :
15 Jules a noté que, dans son groupe de mathématique, 5 élèves sur 30 sont gauchers. Dans
le groupe de Béatrice, 4 élèves sur 31 sont gauchers, tandis que 24 des 27 élèves du groupe
de Jasmine sont droitiers.
Selon ces données, quelle est la probabilité que Jules, Béatrice et Jasmine soient tous
les trois gauchers ?
Réponse :
352
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.1
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8.2 La probabilité géométrique
La variable aléatoire
• Une variable aléatoire est une fonction associée à une expérience aléatoire. Elle associe chaque
élément de l’ensemble des résultats possibles (Ω) à sa probabilité.
• Une variable aléatoire est discrète lorsqu’on peut dénombrer les résultats possibles de l’expérience.
• Une variable aléatoire est continue lorsqu’on ne peut pas dénombrer les résultats possibles
de l’expérience.
Situation 1 — La variable aléatoire associée à cette expérience est continue.
Un commerçant vend des sacs de raisins dont la masse varie de 300 g à 750 g.
On s’intéresse à la probabilité de choisir un sac au hasard dont la masse varie
de 450 g à 550 g.
 Dans cette expérience aléatoire, l’ensemble des résultats possibles, Ω, est
constitué de toutes les masses possibles entre 300 g et 750 g. C’est un ensemble inni
et non dénombrable.
Situation 2 — La variable aléatoire associée à cette expérience est discrète.
Avec tout achat de 60 $, le commerçant offre une boîte de jus dont le format peut être de 750 ml
ou de 1 L. On s’intéresse à la probabilité de choisir au hasard le format de 750 ml.
 Dans cette expérience aléatoire, l’ensemble des résultats possibles, Ω={750 ml, 1 L},
est un ensemble ni.
La probabilité géométrique
• Les gures géométriques servent parfois à illustrer une variable aléatoire continue.
• Dans un contexte de géométrie, on trouve la probabilité d’un événement, A, par un rapport
de mesures. P(A) peut être un rapport de longueurs (ou d’intervalles), un rapport d’aires,
un rapport de volumes, un rapport d’angles, etc.
On peut illustrer la situation 1 ci-dessus à l’aide d’intervalles sur une
droite numérique :
200
300
400
500
600
700
800
Masse (g)
La probabilité de l’événement A : « Choisir un sac dont la masse varie
de 450 g à 550 g » se trouve par le rapport d’intervalles suivant :
P(A)=
Astuce
Pense à exprimer
les mesures au
numérateur et au
dénominateur avec
la même unité.
550−450
100
2
=
= (≈ 22 %)
750−300 450 9
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Les probabilités
Probabilité
353
La cible suivante possède un rayon de 20 cm. Le disque rouge au
centre de la cible a un rayon de 5 cm.
20 cm
Quelle est la probabilité qu’une échette tirée sur cette cible
atteigne le disque rouge ?
5 cm
Soit l’événement A : « Atteindre le disque rouge. »
A
p∙52
25
1
P(A)= disque =
=
= (≈ 6,25 %)
Acible
p∙202 400 16
L’école Descartes a un volume de
30 000 m3. Quelle est la probabilité
qu’une mouche qui vole au hasard
dans l’école se trouve dans
la classe de monsieur Pascal, dont
le volume est de 140 m3 ?
Soit l’événement M : « La mouche est
dans la classe de M. Pascal. »
P(M)=
1
Vclasse
140
7
=
=
(≈ 0,47 %)
Vécole
30 000 1 500
Classe de M. Pascal
Dans chaque cas, indique si la variable en lien avec l’expérience aléatoire est discrète ou continue.
a) On s’intéresse à la masse d’un élève choisi au hasard dans la classe.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
b) On s’intéresse au résultat obtenu au lancer d’un dé équilibré.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
c) On s’intéresse à la longueur d’un poisson pêché au hasard dans un lac.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
d) On s’intéresse à la taille d’un arbre choisi au hasard dans une forêt.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
e) On s’intéresse au nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard dans une école.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
f) On s’intéresse à la couleur d’une carte tirée au hasard d’un jeu standard.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
g) On s’intéresse au nombre de livres en anglais de la bibliothèque de l’école.
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
h) On s’intéresse au temps nécessaire pour tondre la pelouse.
Variable aléatoire discrète
354
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.2
Variable aléatoire continue
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2
Les élèves de la classe de Bertrand prennent de 17 à 31 minutes pour effectuer une course de
5 km. Quelle est la probabilité que le temps de course d’un élève choisi au hasard dans cette
classe varie de 18 à 23 minutes ?
Réponse :
3
À l’épicerie, on peut acheter deux poulets entiers pour 12 $. Chaque poulet pèse de 2,5 kg à 4 kg.
Julie choisit deux poulets au hasard.
Quelle est la probabilité que la masse totale des poulets choisis par Julie varie de 5 kg à 7,5 kg ?
Réponse :
4
Un feu de circulation demeure rouge durant une minute. Quelle est la probabilité
qu’un automobiliste qui arrive à ce feu rouge attende :
a) plus de 30 secondes ?
b) moins de 15 secondes ?
Réponse :
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
355
5
Un jeu comprend 10 pailles dont la longueur varie de 10 cm à 25 cm. Chaque participant tire
une paille au hasard. Le gagnant est celui qui tire la paille la plus longue.
a) Quelle est la probabilité que la première paille tirée ait une longueur variant de 16 cm à 21 cm ?
Réponse :
b) On mesure la longueur des 10 pailles et on obtient les résultats suivants :
10 cm
12 cm
14,5 cm
15 cm
16,5 cm
18 cm
19 cm
21 cm
23,5 cm
25 cm
La probabilité trouvée en a) demeure-t-elle la même ? Explique ta réponse.
Réponse :
6
Un ordinateur est programmé pour choisir un point n’importe
où à l’intérieur du cadre noir de la gure ci-contre. Quelle
est la probabilité que le point choisi soit orange ?
Réponse :
356
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.2
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7
Soit l’expérience aléatoire « faire tourner la èche et noter la couleur
où la pointe de la èche s’arrête ».
Quelle est la probabilité d’obtenir une couleur primaire (rouge, bleu
ou jaune) ?
30°
90°
120°
30°
45° 45°
Réponse :
8
Marianne et Alexandre jouent aux échettes. Les secteurs de la
cible sont isométriques. Le rayon du petit cercle est de 3 dm et
celui du grand cercle, de 6 dm.
Les zones rouges font perdre des points alors que les zones
noires permettent d’en accumuler.
Marianne prétend que la probabilité de perdre des points est plus
grande que celle d’en gagner. Alexandre croit, au contraire, qu’ils
ont plus de chances de gagner des points que d’en perdre.
Qui a raison ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
357
9
Juliette est abonnée à un site de musique en ligne qui propose différentes listes de chansons.
Les listes ont une durée totale de 55 min à 2 h 30. Chaque liste comporte des pièces musicales
dont la durée varie de 3,5 min à 6,25 min.
a) Si Juliette choisit une liste au hasard, quelle est la probabilité que
la première chanson qu’elle écoute dure de 4 à 5,5 minutes ?
Réponse :
b) Juliette choisit une liste au hasard. Quelle est la probabilité que la liste dure au moins 90 min
et que la première chanson qu’elle écoute dure moins de 5 min ? Complète l’arbre des
probabilités ci-dessous. Trouve ensuite la réponse.
Durée de la liste
Durée de la chanson
Probabilité
Moins de 5 min
Moins de 90 min
5 min et plus
Moins de 5 min
90 min et plus
5 min et plus
Astuce
L’arbre des probabilités
illustre la probabilité des
résultats à chaque étape.
Réponse :
358
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.2
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10 Pour chaque gure, calcule P(B), soit la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans
la région bleue. Les angles qui paraissent droits le sont.
a)
b)
6 cm
10 cm
9 cm
9 cm
3 cm
P(B)=
c)
P(B)=
d)
4 cm
2 cm
6,47 cm
r
12 cm
a
3,8 cm
8 cm
a=2,75 cm
P(B) ≈
P(B) ≈
11 Observe la cible ci-dessous. Quelle est la probabilité qu’une échette lancée au hasard atteigne
la région noire, si on sait qu’elle atteint la cible ?
2 cm
1 cm
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
359
12 On a représenté différentes gures sur un plan. Les gures sont à l’échelle. On laisse tomber une
bille au hasard sur le plan. Quelles gures ont la même probabilité d’être touchées par la bille que
le losange rouge ?
Réponse :
8 dm
13 Un jeu d’adresse consiste à lancer une balle sur
une cible. Si la balle touche à la couleur jaune,
le participant gagne. On propose deux cibles
rectangulaires de mêmes dimensions.
Les mesures données sont en décimètres.
Les trapèzes sont isométriques.
3 dm
10 dm
4 dm
Quelle cible offre la plus grande chance de gagner ?
Cible 1
Cible 2
Réponse :
360
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.2
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90 m
14 Dans une ville de banlieue, on organise
une foire sur le terrain de soccer. Du haut
d’une montgolère, on laisse tomber un prix
de présence.
20 m
45 m
Quelle est la probabilité que le prix tombe
dans la zone blanche ?
70 m
Réponse :
15 Ian joue au baseball aves ses amis. Malheureusement, l’une des balles est frappée en direction
d’un mur de l’école. Sachant que la probabilité que la balle brise une fenêtre est de 25,6 %, quelle
est l’aire d’une fenêtre ? Les fenêtres sont isométriques.
25 m
15 m
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
361
16 La gure ci-dessous est composée de trois carrés. Trouve l’expression algébrique qui
représente la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans la région bleue.
x
4 cm
x
Réponse :
17 Une gure est composée de trois disques bleus isométriques. Le centre de chaque disque
correspond à un des sommets d’un triangle équilatéral de 4 cm de côté.
Quelle est la probabilité qu’un point choisi au hasard sur la gure se trouve dans
la région rouge ?
Réponse :
362
Probabilité
Chapitre 8 — Section 8.2
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Retour sur le chapitre 8
Questions à choix multiples
1
On lance un dé équilibré à 20 faces. On s’intéresse aux événements suivants :
A : « Obtenir un multiple de 2. »
B : « Obtenir un nombre impair. »
Les événements A et B sont :
2
a) élémentaires
b) compatibles
c) complémentaires
d) géométriques
On place dans un sac 4 billes bleues, 4 billes jaunes, 2 billes rouges, 2 billes vertes et 3 billes
blanches. On tire 3 billes sans remise.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 billes blanches ?
3
1
455
b)
1
5
c)
191
455
d)
2
1 125
Parmi les expériences aléatoires suivantes, dans laquelle doit-on tenir compte de l’ordre
des résultats ?
a) Tirer le nom de 5 élèves qui gagnent chacun une paire de billets pour une partie de soccer.
b) Choisir au hasard 3 couleurs de peinture pour un projet en arts plastiques.
c) Tirer 7 lettres au jeu de Scrabble.
RETOUR
a)
d) Choisir 9 chiffres pour former un numéro d’assurance sociale.
4
On tire une boule parmi 20 boules numérotées de 1 à 20. Le diagramme de Venn ci-dessous
représente les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de 3 ».
Quelle est la probabilité de tirer un Ω
nombre qui ne soit ni un multiple
de 3 ni un nombre impair ?
5
a)
3
20
b)
7
20
c)
1
2
d)
3
10
Obtenir un
nombre pair
11
19
2
4
14
16
20
10
7
6
12
18
Obtenir un
multiple de 3
3
9
1
13
15
8
17
5
Observe les cibles ci-dessous. Dans quel cas la probabilité d’atteindre la zone grise à l’aide
d’une échette est-elle la plus élevée ?
a)
b)
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c)
d)
Les probabilités
Probabilité
363
Questions à réponses courtes
6
Dans le grenier, Cynthia a trouvé une boîte qui contient de vieilles
cartes de hockey. Voici le nombre de cartes, classées par équipe,
qu’elle a tirées de la boîte.
Canadiens de Montréal
9
Kings de Los Angeles
5
Bruins de Boston
4
a) Si Cynthia tire une autre carte de la boîte,
quelle est la probabilité fréquentielle que
ce soit une carte des Kings de Los Angeles ?
Blackhawks de Chicago
2
Rangers de New York
1
b) Que peut-on dire de la probabilité de tirer une carte des Sénateurs d’Ottawa ?
c) Si la boîte contient environ 500 cartes, à combien estimes-tu le nombre de cartes
des Canadiens de Montréal ?
7
Ahmed choisit une pomme au comptoir de la cafétéria. Les pommes ont une masse variant
de 100 g à 180 g. On s’intéresse à la masse de la pomme choisie par Ahmed.
RETOUR
a) Quel est le type de variable associée à cette situation ?
b) Quelle est la probabilité que la pomme choisie ait une masse variant de 135 g à 150 g ?
8
Estime, puis calcule la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans une région rouge
des drapeaux suivants. Les angles qui paraissent droits le sont.
a)
b)
32 mm
20 mm
50 mm
364
Probabilité
Chapitre 8 — Retour
32 mm
10 mm
13 mm
37 mm
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9
Pour chaque gure, calcule P(B), soit la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans
la région bleue. Les angles qui paraissent droits le sont.
a)
b)
4 cm
10 cm
3 cm
8 cm
9 cm
3 cm
RETOUR
3 cm
c)
d)
3 cm
6 cm
5 cm
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Les probabilités
Probabilité
365
Questions à développement
10 Carlos accepte que son nouveau réfrigérateur lui soit livré entre 12 h et 18 h, même s’il sait
qu’il sera à la maison seulement à partir de 12 h 20.
Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas à la maison quand le camion arrivera ?
Réponse :
RETOUR
11 Michel gagne 73 % des parties de tennis qu’il dispute contre Alain. S’ils jouent deux parties,
quelle est la probabilité que Michel gagne une des deux parties seulement ?
Réponse :
12 Dans une classe de 30 élèves, 12 portent un appareil orthodontique, 13 portent des lunettes
et 12 ne portent ni appareil orthodontique ni lunettes.
Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard dans cette classe porte des lunettes
et un appareil orthodontique ?
Réponse :
366
Probabilité
Chapitre 8 — Retour
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13 Une station de ski alpin met trois chalets à la disposition des
skieurs. L’illustration ci-contre représente les différentes pistes
qui mènent aux chalets A, B et C. Une skieuse part du haut de
la montagne et choisit au hasard le chemin à prendre à chaque
intersection.
B
À l’aide d’un arbre de probabilités, détermine la probabilité que
cette personne arrive dans chacun des chalets.
C
P(B)=
14 Voici une carte de bingo après le tirage de 15 numéros.
a) S’il y a 75 numéros au total, quelle est la probabilité
que cette carte soit gagnante au prochain tirage ?
RETOUR
P(A)=
A
P(C)=
Astuce
Au bingo, on gagne en colorant
en vert une rangée horizontale,
verticale ou diagonale.
Réponse :
B
I
N
G
O
4
17
42
46
71
11
22
39
47
62
7
21 Gratuit 58
61
1
30
37
60
68
8
16
44
51
74
b) Si personne ne gagne au prochain tirage, est-ce que la probabilité
de gagner avec cette carte augmente ? Justie ta réponse.
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Les probabilités
Probabilité
367
15 Fanny fait tourner cette cible avant d’y lancer une échette.
Quelle est la probabilité que la échette arrive sur l’un
des disques bleus ? Les disques sont isométriques.
RETOUR
Réponse :
16 Un ballon de soccer est composé d’hexagones isométriques blancs et de 12 pentagones
isométriques noirs.
Le côté du pentagone est de 5 cm et son apothème est de 3,44 cm.
Le diamètre du ballon est de 22 cm.
Olivier reçoit le ballon sur le bout du nez.
Quelle est la probabilité que ce soit une
partie noire qui ait touché son nez ?
Curi sité
Réponse :
368
Probabilité
Chapitre 8 — Retour
En 1947, Eigil Nielsen, un ancien gardien de
but du Danemark, invente le ballon à 32 faces :
20 hexagones et 12 pentagones.
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17 Chaque année, au camping Diabolo, les campeurs organisent un tournoi de jeu de poches.
Chaque joueur doit lancer trois poches an d’obtenir le plus de points possible. Les trous sont
isométriques.
a) Quelle est la probabilité théorique d’obtenir 500 points avec un seul lancer au hasard ?
70 cm
r=9 cm
50
150
75
200
500
300
25
100
25
1m
Réponse :
RETOUR
b) Quelle est la probabilité théorique d’obtenir 25 points aux trois lancers (25–25–25) ?
Réponse :
18 Soa a caché une pépite de chocolat dans un cornet de crème
glacée. Quelle est la probabilité que la pépite se trouve dans le
cône du cornet illustré ci‑dessous ?
Astuce
é
Pour calculer la probabilit
, tu
ide
géométrique dans un sol
volume.
dois d’abord calculer son
r=3 cm
12,37 cm
Réponse :
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Les probabilités
Probabilité
369
Situation-problème
Santé et bien-être
Voici quelques résultats d’une étude menée
auprès de 420 personnes âgées de 25 ans
et plus au Québec. Elle porte sur le diabète,
l’obésité et les maladies cardiovasculaires.
• 5 % des personnes souffrent à la fois
de diabète et d’obésité.
• 78 personnes sont touchées par au moins
un des trois problèmes de santé.
• 20 personnes souffrent d’une maladie
cardiovasculaire. De ce nombre, 12 sont
obèses et 6 sont atteintes de diabète.
• La moitié des 60 personnes obèses
souffrent de diabète ou d’une maladie
cardiovasculaire.
À partir des résultats de cette étude et en
supposant que l’échantillon est représentatif
de la population québécoise, estime la
probabilité qu’une personne choisie au hasard
au Québec souffre d’une seule de ces trois
maladies.
370
Situation-problème
Santé et bien-être
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Réponse
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Situation-problème
Santé et bien-être
371
Situation d’application
À l’épluchette !
À l’occasion de l’épluchette de blé d’Inde annuelle, la famille Tremblay
organise un tournoi de échettes. La cible est composée de trois
cercles concentriques. Le rayon du grand cercle est de 25 cm et
le rayon du petit cercle est de 10 cm.
Quel doit être le rayon du cercle du milieu pour que les chances
d’atteindre la zone de 5 points soient de 35,84 % ?
1 point
5 points
10 points
Réponse
372
Situation d’application
À l’épluchette !
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Consolidation : Chapitres 1 à 8
Questions à choix multiples
1
Quelle expression réduite est équivalente à
a) 70
2
3
b) 7
710∙7−2
75
c)
?
1
1
75
d) 7 3
L’aire d’un rectangle est de (8xy+2x) cm2.
Si sa hauteur mesure (2x) cm, quelle expression algébrique représente la mesure de sa base ?
a) (4y) cm
3
4
b) (4xy) cm
x
5
7
10
14
20
a) f (x)=−8x+96
f (x)
56
40
28
20
14
c) f (x)=
b) f (x)=−6x+88
200
x
d) f (x)=
280
x
Parmi les graphiques suivants, lequel n’est pas associé à une fonction ?
a)
y
y
x
b)
y
c)
x
d)
x
x
Parmi les couples suivants, lequel est la solution du système d’équations ci-dessous ?
H
a) (10,2 ; −11,4)
6
d) (4xy+1) cm
Quelle est la règle de la fonction associée à la table de valeurs suivante ?
y
5
c) (4y+1) cm
b) (−10,2 ; 29,4)
y=−2x+9
1
3
y= x−26
c) (−15, 39)
d) (15, −21)
Quel intervalle représente l’ensemble-solution de l’inéquation suivante ?
−10(x+7)>−6(x−2)
a) ]−20,5 ; ∞[
7
b) ]−∞ ; −20,5[
d) ]−∞ ; 5,125[
c) ]5,125 ; ∞[
B
Les dimensions du prisme à base rectangulaire ci-contre
sont de 15 dm sur 7 dm sur 8 dm.
Quelle est la longueur du segment CG ?
a) 10,63 dm
c) 17 dm
b) 16,55 dm
d) 18,38 dm
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A
8 dm
G
H
C
D
E
7 dm
15 dm
F
Consolidation : Chapitres 1 à 8
373
8
9
Laquelle des listes suivantes présente les mesures par ordre décroissant ?
a) 5 L, 5 000 dl, 43 dm3, 4 kl, 3 m3
b) 5 000 dl, 43 dm3, 5 L, 4 kl, 3 m3
c) 4 kl, 3 m3, 5 000 dl, 43 dm3, 5 L
d) 3 m3, 4 kl, 5 L, 43 dm3, 5 000 dl
Quel est le volume d’une boule dont l’aire est de (36p) cm2 ?
a) (6p) cm3
b) (12p) cm3
c) (27p) cm3
d) (36p) cm3
10 Observe le diagramme de quartiles ci-dessous. Parmi les énoncés suivants, lequel est
nécessairement vrai ?
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
a) Il y a beaucoup plus de données dans le 3e quart que dans le 2e quart.
b) L’étendue interquartile est égale à la moitié de l’étendue de cette distribution.
c) Les données sont plus concentrées dans le 2e quart.
d) La moyenne de cette distribution est de 20.
11 Si P(A)= 4 , quelle est la probabilité de A′ ?
5
a) 0
b)
1
5
c)
4
5
d)
5
4
12 Deux cônes sont semblables. L’aire de la base du grand cône est 1,69 fois plus grande que celle
du petit cône.
Si l’apothème du petit cône mesure 10 cm, quelle est la mesure de l’apothème du grand cône ?
a) 5,9 cm
b) 7,7 cm
13 Une enseignante demande à ses élèves
combien de temps, en minutes, ils ont
consacré à l’étude pour l’examen d’histoire.
Les réponses sont représentées dans
l’histogramme ci-contre.
Parmi les afrmations suivantes, laquelle
est vraie ?
c) 13 cm
Effectif
16
d) 16,9 cm
Temps d’étude des élèves
14
12
10
8
6
a) La majorité des élèves ont étudié
pendant 15 minutes.
4
b) La durée moyenne d’étude est
d’environ 43 minutes.
0
2
15
30
45
60
75
90
Temps d’étude (min)
c) L’étendue est de 15 élèves.
d) La classe médiane est [45, 60[ minutes.
374
Consolidation : Chapitres 1 à 8
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Questions à réponses courtes
14 Effectue les opérations suivantes.
a) 2x(3xy+5)
c)
b) 4x 2y+6x−4y−5x 2y+3x
50a3b2+5a2b
25ab
d) (x−4)2
e) (3x−1)(2x+5)
f) 2x(4x 2−1)−3x 2(x+6)
15 Trouve l’aire et le volume des solides suivants. Arrondis tes réponses au dixième près.
a)
b)
3,5 m
7 dm
d=2,4 m
AT ≈
V≈
AT ≈
V≈
16 Dans chaque cas, trouve l’expression algébrique qui représente la mesure manquante.
a) V=(96x 2−24x) cm3
b) V=(8x 3) mm3
?
?
8 cm
h=
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(3x) cm
c=
Consolidation : Chapitres 1 à 8
375
17 Pour chaque situation, détermine la moyenne, le mode et la médiane.
a)
b)
Nombre d’appareils
technologiques
par famille
Nombre
d’appareils
Effectif
0
4
1
15
2
20
3
35
4
21
5
7
Moyenne :
Mode :
Médiane :
Moyenne :
Mode :
Médiane :
Temps d’étude par
semaine des élèves
de 3e secondaire
Temps
(min)
Effectif
[0, 30[
55
[30, 60[
60
[60, 90[
41
[90, 120[
39
[120, 150[
8
18 La cible suivante est formée d’un disque inscrit dans un carré.
Si l’aire du carré est de 100 cm2, quelle est la probabilité d’atteindre
la section blanche ? Écris ta réponse sous forme de pourcentage.
Réponse :
376
Consolidation : Chapitres 1 à 8
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Questions à développement
19 Dans un coffre, on peut placer exactement trois étages de deux rangées de cinq cubes
de 3 mm d’arête.
Quel est le volume de ce coffre ? Écris ta réponse en notation exponentielle à l’aide de puissances
de nombres premiers.
Réponse :
20 La masse de la planète Terre est d’environ 6×1024 kg. La masse du Soleil est d’environ
2×1030 kg.
Combien de fois la masse du Soleil est-elle plus grande que celle de la Terre ? Écris ta réponse
en notation scientique.
Réponse :
21 Charles et Henri travaillent dans un magasin d’articles de sport. Le mois dernier, Charles a vendu
quatre articles de plus que le triple du nombre d’articles vendus par Henri. Ensemble, ils ont vendu
au moins 84 articles.
Combien d’articles Henri et Charles peuvent-ils avoir vendus ? Trouve trois combinaisons possibles.
Réponse :
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Consolidation : Chapitres 1 à 8
377
22 Une droite oblique passe par les points A (0, 12) et B (2, 6). Une seconde droite oblique passe
par les points C (−2, 7) et D (1, 10).
Quelles sont les coordonnées du point de rencontre de ces deux droites ?
Réponse :
Distance restante (km)
23 Le chalet de Rose est situé à 450 km de sa maison. Selon le graphique ci-dessous, si elle quitte
son chalet à 12 h 15, à quelle heure sera-t-elle de retour à la maison ?
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Distance à parcourir
selon le temps écoulé
(2, 290)
1
2
3
4
5
6
Temps (h)
Réponse :
378
Consolidation : Chapitres 1 à 8
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24 Le cylindre et le cône ci-contre ont exactement le même volume.
Le rayon du cylindre mesure 3 cm et celui du cône, 6 cm. La hauteur
du cylindre mesure 9 cm de moins que le double de la hauteur du cône.
Quel est leur volume ?
6 cm
3 cm
Réponse :
25 Observe les trois solides suivants. Les deux
cônes sont semblables. Le grand cône a la
même capacité que la boule.
26,4 cm
11 cm
Quelle est l’aire de la boule ?
Solide 1
Solide 2
Solide 3
r=5 cm
Réponse :
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Consolidation : Chapitres 1 à 8
379
26 À la dernière compétition de gymnastique, Guillaume a obtenu les résultats suivants.
Épreuve
Note (/10)
Facteur de pondération (/35)
1
7,1
10
2
9,5
8
3
8,4
5
4
8,8
12
On a attribué un facteur de pondération à chacune des épreuves selon leur degré de difculté.
La moyenne des athlètes est calculée à l’aide du facteur de pondération. Il faut obtenir
8,5
une moyenne supérieure à
pour accéder au championnat provincial.
10
Guillaume participera-t-il à ce championnat?
Réponse :
27 À une fête foraine, Thomas s’apprête à tenter sa chance
à un jeu d’adresse. S’il atteint la zone bleue, il gagne
un animal en peluche. Il croit avoir au moins 50 % de
chances de gagner.
50 cm
44,5 cm
Thomas a-t-il raison ? Justie ta réponse.
69,5 cm
Réponse :
380
Consolidation : Chapitres 1 à 8
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Situation d’application
La cible tricolore
Aurélia a peint une cible. Il s’agit d’un triangle isocèle inscrit
dans un disque. Elle attribue un nombre de points à chaque
section. Le nombre de points attribués à une section est
inversement proportionnel à la probabilité d’atteindre cette
section, tel que le démontre le tableau suivant.
Nombre de points selon la probabilité
d’atteindre la section
P(section)
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
Nombre de points
600
500
400
300
200
L’aire du disque est de (225p) cm2.
Sachant que la section grise vaut 260 points, trouve l’aire de cette section.
Réponse
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Situation d’application
La cible tricolore
381
Situation-problème
Un aquarium pour Némo
Léa a acheté un aquarium pour son poisson
Némo. L’aquarium est composé d’un prisme
à base rectangulaire et d’un demi-cylindre.
Voici des informations concernant l’aquarium :
• Sa capacité est de 62,14 L.
• L’aquarium est rempli aux
7
8
35 cm
de sa capacité.
• La probabilité que le poisson se trouve dans
le demi-cylindre est d’environ 45,5 %.
55 cm
• Les dimensions de l’aquarium sont indiquées
sur l’illustration ci-contre.
Léa veut recouvrir les faces latérales du prisme et du demi-cylindre d’une pellicule de plastique bleu.
Le coût de la pellicule de plastique, c, varie en fonction de la longueur de pellicule achetée, x, selon
l’équation c(x)=0,45x. Au magasin, le rouleau de pellicule de plastique a une hauteur de 0,9 m.
On peut en acheter la longueur désirée au centimètre près.
Combien Léa devra-t-elle débourser pour la pellicule de plastique, si elle prévoit en acheter 15 %
de plus en prévision des pertes ?
382
Situation-problème
Un aquarium pour Némo
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Réponse
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Situation-problème
Un aquarium pour Némo
383
Situation d’application
Un peu de géométrie
Le prisme régulier à base hexagonale ci-contre contient une pyramide
à base hexagonale de même hauteur. La base de la pyramide est
semblable à celle du prisme. Le rapport de leurs aires est de 1,21.
15 cm
Jordan afrme que la probabilité qu’un point choisi au hasard dans
1
ce solide soit à l’intérieur de la pyramide est de .
3
A-t-il raison ? Justie ta réponse à l’aide des probabilités appropriées.
9 cm
Réponse
384
Situation d’application
Un peu de géométrie
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Révision de l’année
Questions à choix multiples
1
Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ?
a)
3
8
est un nombre rationnel.
c) 4,6×10−5=0,000 046
2
b) 3 210 000=3,21×104
d) 64 est un nombre carré.
Quelle est la forme réduite de l’expression suivante ?
6x 3y−4xy
+(2x+1)(x−4)
2xy
a) 3x 2−5x−6
3
b) 5x 2−6
c) 5x 2−7x−6
d) 6x 2−7x−6
Observe le graphique ci-contre. De quel type de fonction s’agit-il ?
f(x)
a) Fonction linéaire
b) Fonction de variation inverse
x
c) Fonction polynomiale de degré 2
d) Fonction constante
4
5
a) −2
b) 2
c) 3
d) 6
H
y=4x−6
y=2(2x−3)
(0, −2)
x
b)
H
y=4x+5
y=−4x+5
c)
H
y=4x+5
y=2(2x−1)
H
d)
y=3x−4
x
3
y= +7
Parmi les inéquations ci-dessous, laquelle correspond à la représentation suivante ?
−5
7
(3, 4)
Parmi les systèmes d’équations suivants, lequel possède une innité de solutions ?
a)
6
f(x)
Quel est le taux de variation de la fonction
représentée dans le graphique ci-contre ?
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
a) {xPr | −3<x<2}
b) {xPr | −4<x<3}
c) {xPz | −4 ≤ x ≤ 3}
d) {xPr | −3 ≤ x ≤ 2}
5
Parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie ?
a) 534 m2=534 000 mm2
b) 7,2 dm3=0,000 072 dam3
c) 12 cm3=0,012 L
d) 0,000 001 507 hm2=15,07 cm2
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Révision de l’année
385
8
Les cônes ci-contre sont semblables.
Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ?
7,5 cm
a) Le rapport de similitude est de 3.
2 cm
b) Le rapport des aires est de 9.
c) Le volume du grand cône est d’environ 127 cm3.
1,5 cm
d) Le rayon du grand cône est de 5,6 cm.
9
Observe la distribution de données suivante.
80, 65, 72, 94, 63, 81, 75, 90
Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
a) Le 1er quartile est 72.
b) La médiane est 75.
c) Le 3e quartile est 81.
d) La moyenne est de 77,5.
10 Le tableau suivant contient les résultats de Nadia en anglais pour les trois compétences.
Compétence
Pondération
Résultat
Interagir oralement en anglais
40 %
71 %
Réinvestir sa compréhension des textes
30 %
75 %
Écrire et produire des textes
30 %
85 %
Quelle est la moyenne pondérée de Nadia en anglais ?
a) 75 %
b) 76 %
c) 77 %
d) 78 %
11 La cible ci-contre est formée d’un cercle de 20 cm de rayon,
d’un carré de 20 cm de côté et d’un triangle équilatéral de
10 cm de côté.
Quelle est la probabilité qu’une échette lancée au hasard
atteigne la région blanche dans la cible ?
a) 0,3
b) 0,5
c) 0,72
d) 0,75
12 On place des boules numérotées de 1 à 10 dans une boîte pour un tirage au sort.
On s’intéresse aux événements suivants :
A : « Tirer un nombre pair. »
B : « Tirer un nombre impair. »
Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
386
a) A et B sont compatibles.
b) A et B sont complémentaires.
c) P(A)+P(B)=0
d) P(A)+P(B)=
Révision de l’année
1
2
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Questions à réponses courtes
13 Réduis les expressions suivantes. Trouve ensuite la réponse. Conserve les fractions dans
tes réponses.
b) 6−2∙66=
a) (42)3=
c)
e)
57
5−1=
54 ∙
34∙3−3
=
3−2
1
d)
3∙12 2=
f)
( 37 ) ∙ 73 =
2
4
−1
14 Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple.
a) 44x 3y−121x 2
b) 64a2b3−40a2b
c) 42a2b2c2−14a3c+56abc
d) 72xy 3z 2−27y 3z−54xy 2z
Solde ($)
15 Complète la description de la fonction représentée ci-contre.
Variable indépendante :
Variable dépendante :
Domaine :
Image :
Ordonnée à l’origine :
Maximum :
Minimum :
Solde du compte bancaire
de Catherine
1 800
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
Variation :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Temps (semaines)
Signe :
16 Voici deux systèmes d’équations.
a) Résous graphiquement
le système suivant.
H
y
y=x+4
1
2
y=− x+10
b) Résous algébriquement
le système suivant.
H
y=7x−15
y=−3x+25
1
0
1
x
Solution :
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Solution :
Révision de l’année
387
17 Résous les inéquations suivantes.
a) 3x−5 ≥ −14x+46
b) −7(x−8) ≤ −5(x+6)
c)
5x+2 −
> 11
3
18 Complète la description des études statistiques suivantes.
a) Alice veut connaître la chanteuse préférée des élèves de 3e secondaire. À l’aide de la liste
des élèves, elle interroge un élève à tous les cinq noms de la liste.
• Recensement
Sondage
• Caractère étudié :
• Type de caractère statistique :
• Méthode d’échantillonnage :
b) Étienne veut connaître le nombre de lms vus par les élèves de l’école durant le mois
de décembre. Il interroge les élèves de trois classes choisies au hasard.
• Recensement
Sondage
• Caractère étudié :
• Type de caractère statistique :
• Méthode d’échantillonnage :
19 Trouve le volume des solides réguliers suivants.
a)
b)
9m
6m
13 dm
3 dm
V=
388
Révision de l’année
V≈
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Questions à développement
20 La supercie du Luxembourg est d’environ 2 586 km2. Combien de fois le Canada est-il plus
grand que le Luxembourg, si sa supercie est d’environ 9,985×106 km2 ? Écris ta réponse
en notation scientique.
21 Un programmateur de salle de spectacle veut
connaître l’âge des spectateurs d’un concert de
musique. Il demande leur âge à 48 spectateurs
choisis au hasard à l’aide des numéros de billets.
Voici les données obtenues.
Représente cette distribution à l’aide d’un tableau
de données et d’un histogramme.
Âge des spectateurs
22
64
38
20
44
33
60
20
17
70
58
56
36
65
42
28
33
15
8
24
63
11
44
34
41
72
48
47
50
69
38
20
6
18
70
39
53
27
26
53
29
45
39
30
34
35
9
16
Âge des spectateurs
Âge (ans)
Effectif
[0, 15[
0
22 Un camionneur est payé en fonction de la distance parcourue. Il gagne 260 $ pour un voyage
de 600 km et 211 $ pour un voyage de 460 km.
Trouve la règle qui permet de calculer son salaire, f (x), en fonction du nombre de kilomètres
parcourus, x.
Réponse :
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Révision de l’année
389
23 Les côtés du jardin triangulaire d’Hermine mesurent 3,5 m, 2,25 m et 4 m. Hermine afrme qu’elle
a un jardin en forme de triangle rectangle. A-t-elle raison ? Justie ta réponse.
Réponse :
24 L’expression algébrique (4x 2+12x)p cm2 représente l’aire totale d’une boîte de conserve.
Si son rayon mesure x cm, quelle expression algébrique représente la hauteur de cette boîte
de conserve ?
Réponse :
25 Arielle, Joseph et Claude collectionnent les modèles réduits de voitures. Claude a deux fois plus
de voitures que Joseph, et Arielle a 10 voitures de plus que Claude. Ensemble, ils ont au moins
200 voitures.
Combien de voitures Arielle peut-elle avoir ?
Réponse :
390
Révision de l’année
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Garderie Aux mille-pattes
26 Voici le plan de la garderie Aux mille-pattes.
Les mesures sont en mètres.
15x−4
On installe trois carrés de sable de (x+1) m
de côté sur l’aire de jeu.
Aire de jeu
6x−2
Quelle expression algébrique représente
l’aire de jeu qui n’est pas occupée par
les carrés de sable ?
4x
3x
12x+1
Bâtiment
Stationnement
Réponse :
27 Charles et son frère Antoine possèdent chacun une mobylette. Ils se rendent tous les deux chez
le même ami. Charles roule en moyenne à 50 km/h et Antoine, à 40 km/h.
Distance parcourue (km)
Si Antoine part à 10 h, et Charles à 10 h 10, à quelle heure se rencontreront-ils sur la route ?
Trajet en
mobylette
Antoine
10
0
Charles
10
Temps (min)
Réponse :
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Révision de l’année
391
28 Le comité des loisirs d’une école
organise une sortie aux glissades d’eau.
Le coût du transport par élève varie selon
le nombre d’inscriptions. Voici la table de
valeurs qui représente cette situation.
Sortie aux glissades d’eau
Nombre
d’inscriptions
Coût du
transport par
élève ($)
10
48
20
24
32
15
40
12
48
10
Représente graphiquement cette
situation et trouve la règle de la fonction.
0
Règle :
29 Sophie et Béatrice préparent chacune la même recette de biscuits. Pour former ses biscuits,
Sophie façonne la pâte en un cylindre de 8 cm de diamètre et d’une longueur de 25 cm.
Elle coupe ensuite le cylindre en tranches.
Béatrice façonne la pâte en 20 petites boules isométriques. Quel est le rayon de chaque biscuit
de Béatrice avant la cuisson ? Arrondis ta réponse au dixième près.
Réponse :
392
Révision de l’année
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30 Un pâtissier prépare du glaçage à gâteau dans
un bol en forme de demi-sphère. Une fois le
glaçage prêt, son bol est rempli aux trois quarts.
S’il faut 15 ml de glaçage pour recouvrir 10 cm2
de gâteau, combien de gâteaux au maximum
peut-il recouvrir avec cette préparation ?
20 cm
25 cm
10 cm
Réponse :
31 Un coffre à jouets a la forme d’un prisme rectangulaire. Les dimensions intérieures de ce coffre
sont 85 cm de largeur, 45 cm de hauteur et 40 cm de profondeur.
Quelle est la plus longue épée en plastique qui peut être placée dans ce coffre ?
Réponse :
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Révision de l’année
393
À l’aide du nuage de points ci-contre, estime combien de temps
prendront neuf ouvriers pour refaire la toiture.
Temps (h)
32 Pour refaire la toiture de plusieurs maisons identiques dans un
même quartier, on forme des équipes d’ouvriers. On s’intéresse
au temps pris par chaque équipe pour refaire la toiture.
Temps pris pour refaire
une toiture
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre d’ouvriers
dans l’équipe
Réponse :
33 Pour réparer une laveuse, Paul a travaillé durant 90 minutes et il a gagné 115 $. Pour une autre
réparation, il a travaillé durant 135 minutes et il a gagné 137,50 $.
André fait également la réparation d’électroménagers. Il demande 80 $ pour le déplacement
et 25 $/h.
Pour combien d’heures de travail les deux réparateurs reçoivent-ils le même salaire ?
Réponse :
394
Révision de l’année
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34 Quelle est la hauteur minimale d’une
boîte qui contient six petits gâteaux
comme celui-ci ?
1
3
11 cm
de la
hauteur
du cône
Vdemi-boule=110,45 cm3
Réponse :
35 Une tente de jeu pour enfants est semblable
à une tente de camping. Observe la
représentation des tentes ci-contre.
Quelle est la surface minimale de tissu
nécessaire pour fabriquer la tente de jeu ?
2m
1,5 m
2,25 m
Réponse :
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Révision de l’année
395
36 La demi-boule décorative ci-dessous contient une maison et deux sapins en forme de cône.
La maison a un volume de 260 cm3. Le petit cône a un rayon de 1 cm et une hauteur de 4 cm.
Le grand cône a un rayon de 2 cm et une hauteur de 6 cm.
Combien de litres d’eau scintillante cette demi-boule contient-elle ?
r=8 cm
Réponse :
37 Sandra et Jérémie ont chacun acheté une motoneige. Celle de Sandra vaut 14 000 $,
1
mais perd de sa valeur par année. La motoneige de Jérémie vaut 12 500 $, mais perd
5
1
de sa valeur par année.
6
Six ans plus tard, les deux amis comparent la valeur de leur motoneige. Quelle est la différence
de valeur entre les deux motoneiges ? Effectue tes calculs à l’aide de la notation exponentielle.
Astuce
Utilise des tables
de valeurs pour
t’aider.
Réponse :
396
Révision de l’année
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38 On compare les résultats de deux équipes de basketball d’une commission scolaire.
Voici le pointage nal obtenu pour les 12 parties jouées durant la saison.
Équipe 1
Équipe 2
55, 32, 40, 65, 57, 32,
62, 44, 63, 45, 47, 58
52, 36, 42, 61, 33, 38,
60, 30, 62, 58, 60, 56
a) Trace le diagramme de quartiles associé à chaque équipe. Pense à identier chacune des équipes.
Pointage au basketball
20
30
40
50
60
70
Points
b) Quelle équipe est la meilleure ? Justie ta réponse.
39 Une habitation en bois inspirée de l’igloo a la forme d’une
demi‑boule de 4 m de rayon.
S’il y a de l’espace sous tous les meubles, quelle est
la probabilité que des pantoues se trouvent sous le lit ?
Réponse :
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Lit : 1,5 m sur 1,7 m
Tables de chevet : 0,6 m sur 0,6 m
Commode : 1,3 m sur 0,7 m
Sofa : 2 m sur 0,75 m Table : 1 m sur 1 m
Révision de l’année
397
40 Les diagrammes de quartiles suivants présentent les données indiquées sur l’odomètre
des véhicules d’occasion entreposés dans la cour de deux garages.
Odomètres des véhicules d’occasion
Curi sité
Un odomètre est
un instrument de
mesure permettant de
connaître la distance
parcourue. Il se trouve
sur le tableau de bord
d’un véhicule.
Garage 1
73
15
117
174
208
Garage 2
18
0
40
88
130
204
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220
Milliers de kilomètres
Kim est à la recherche d’un véhicule en bon état possédant le plus bas kilométrage possible.
Quel garage conseillerais-tu à Kim ? Explique ton choix.
41 Pascal tire trois cartes sans remise d’un jeu standard de 52 cartes. Quelle est la probabilité
qu’il obtienne trois as ?
42 On demande à 50 élèves combien de fois par semaine ils se lavent les cheveux. Les résultats sont
notés dans le tableau ci-dessous.
Détermine les trois mesures de tendance centrale, c’est-à-dire la moyenne, le mode et la médiane.
Lavage des cheveux
par semaine
Fréquence
Effectif
2
3
3
6
4
12
5
10
6
8
7
11
Moyenne :
398
Révision de l’année
Mode :
Médiane :
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Situation d’application
Le clown
Pour décorer leur école à l’Halloween, des élèves en arts plastiques
fabriquent une tête de clown.
Les élèves souhaitent recouvrir la demi-sphère complète et l’extérieur
du cône à l’aide de tissu.
Les élèves hésitent entre deux tissus qui sont vendus au mètre. Le tissu
à pois a une largeur de 91 cm. Son prix varie en fonction de la longueur
achetée. Par exemple, il en coûte 16 $ pour 2 m ou 40 $ pour 5 m.
70 cm
30 cm
60 cm
Le tissu rayé a une largeur de 127 cm. Son prix est de 12 $ le mètre.
Les élèves croient que le tissu à pois est moins dispendieux. Ont-ils raison ? Quelle est la différence
de coût au total ?
Réponse
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Situation d’application
Le clown
399
Situation-problème
La récolte
La famille Poirier cultive du blé et de
l’avoine biologiques sur deux terrains
x
de même supercie. Les terrains sont
représentés par le plan ci-contre où les
dimensions sont en mètres. Un mètre
carré de blé permet de récolter 0,4 kg de
grains. Un mètre carré d’avoine permet
de récolter 0,3 kg de grains.
Pour l’entreposage des céréales, la famille
dispose de deux petits silos semblables.
Le silo de blé contient déjà 900 kg de
grains et le silo d’avoine, 1 200 kg.
On sait que 100 kg de blé occupe un
espace de 0,130 m3 et que 100 kg
d’avoine occupe un espace de 0,200 m3.
La famille Poirier a terminé la récolte
du blé et de l’avoine. Elle veut savoir à
quel pourcentage de sa capacité est
rempli chacun des silos. Trouve ces deux
pourcentages au centième près.
400
Situation-problème
La récolte
Avoine
x+24
Blé
8
x+12
Blé
Avoine
1,2 m
2,6 m
2,4 m
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Réponse
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Situation-problème
La récolte
401
Situation d’application
Les triplets de Pythagore
Il existe des triangles rectangles dont les mesures des trois
côtés sont des nombres naturels. Ces nombres forment ce
qu’on appelle un triplet de Pythagore : par exemple, un triangle
dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 ou encore 8, 15 et 17.
s2+t 2
2st
Dans le triangle ci-contre, s et t représentent des nombres
naturels (s>t).
Prouve que ce triangle est rectangle. Trouve ensuite trois
autres triplets pythagoriciens.
s2−t 2
Réponse
402
Situation d’application
Les triplets de Pythagore
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Outils
SOMMAIRE
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Outil 1
Les principaux énoncés de géométrie ... 404
Outil 2
La notation exponentielle........................... 406
Outil 3
Les expressions algébriques .................... 406
Outil 4
Les fonctions................................................ 407
Outil 5
Le système international d’unités (SI) .... 408
Outil 6
Les formules de périmètre,
de circonférence et d’aire ......................... 409
Outil 7
Les solides.................................................... 410
Outil 8
Les constructions géométriques ............. 411
Outil 9
Les tableaux et les diagrammes .............. 412
Outil 10
Graphisme, notation et
symboles mathématiques ......................... 414
403
Outil 1
Les principaux énoncés de géométrie
Énoncé
1. La somme des mesures des angles
intérieurs d’un triangle est de 180°.
Exemple
A
m ∠ A+m ∠ B+m ∠ C=180°
B
2. La mesure d’un angle extérieur d’un
triangle est égale à la somme des
mesures des deux angles intérieurs
qui ne lui sont pas adjacents.
m ∠ 4=m ∠ 1+m ∠ 2
3. Dans un triangle isocèle, les angles
opposés aux côtés isométriques sont
isométriques.
Dans le triangle isocèle ABC, m AB=m AC.
Donc, m ∠ B=m ∠ C.
C
1
2
4
3
A
B
4. L’angle opposé au côté le plus long
d’un triangle est l’angle le plus grand.
5. Les côtés opposés d’un
parallélogramme sont isométriques.
Dans le triangle ABC,
m BC>m AC>m AB.
Donc, m ∠ A>m ∠ B>m ∠ C.
C
A
Si ABCD est un parallélogramme,
alors m AB=m DC et m AD=m BC.
B
C
A
D
B
6. Les diagonales d’un parallélogramme
se coupent en leur milieu.
Si ABCD est un parallélogramme,
alors AO ≅ CO et BO ≅ DO.
C
A
B
7. Les angles opposés d’un
parallélogramme sont isométriques.
Si ABCD est un parallélogramme,
alors m ∠ A=m ∠ C
et m ∠ B=m ∠ D.
C
A
D
B
8. Les angles consécutifs
d’un parallélogramme sont
supplémentaires.
9. Les diagonales d’un rectangle
sont isométriques.
10. Les diagonales d’un losange
sont perpendiculaires.
D
O
Si ABCD est un parallélogramme, alors
m ∠ A+m ∠ B=180°,
m ∠ B+m ∠ C=180°,
m ∠ C+m ∠ D=180°,
B
m ∠ A+m ∠ D=180°.
Si ABCD est un rectangle,
alors AC ≅ BD.
C
A
D
C
A
D
B
C
A
Si ABCD est un losange, alors AC ⊥ BD.
B
D
C
404
Outil 1
Les principaux énoncés de géométrie
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Énoncé
11. Dans tout triangle rectangle, le carré
de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des cathètes.
Exemple
a2+b2=c2
hypoténuse
c
A
b
B
C
cathètes
12. Dans un triangle rectangle, le côté
opposé à un angle de 30º mesure
la moitié de l’hypoténuse.
m AB=
A
m AC
2
ou m AC=2∙m AB
30°
B
13. Tous les diamètres d’un cercle
sont isométriques.
a
A
D
AB ≅ CD ≅ EF
C
O
F
E
C
B
14. Dans un cercle, la mesure du rayon
est égale à la moitié de la mesure
du diamètre.
m AO=
m AB
2
O
B
A
15. Dans un cercle, le rapport de la
circonférence au diamètre est une
constante que l’on note π.
C
=π
d
C
16. Dans un cercle, l’angle au centre a
la même mesure en degrés que celle
de l’arc compris entre ses côtés.
m ∠ AOB=m 
AB (en degrés)
O
p=3,141 592…
d
A
O
B
17. Dans un cercle, le rapport des
m  AOB
m
AB
mesures de deux angles au centre est m  COD = m 
CD
égal au rapport des mesures des arcs
interceptés entre leurs côtés.
18. Dans un disque, le rapport des aires
de deux secteurs est égal au rapport
des mesures des angles au centre.
A
B
Aire du secteur AOB
m  AOB
=
Aire du secteur COD m  COD
A
B
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O
Outil 1
C
D
O
C
D
Les principaux énoncés de géométrie
405
Outil 2
La notation exponentielle
Les lois des exposants
• Le produit de puissances ayant la même base
• Le quotient de puissances ayant la même base,
où a ≠ 0
• La puissance d’une puissance
am∙an=a m+n
Astuce
am
=a m−n
an
Souviens-toi que :
• a1=a
(am)n=a m∙n
• a0=1
1
• a 2= a
• La puissance d’un produit
m
• La puissance d’un quotient, où b ≠ 0
( ba ) = ba
• La puissance d’un exposant négatif, où a ≠ 0
a
Outil 3
1
(a∙b)m=a m∙bm
−m
=
3
• a 3= a
m
m
1
am
Les expressions algébriques
Le carré d’un binôme
(x+y) =x +2xy+y
2
2
Exemple
2
(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)
=4x 2 +6x+6x
=4x 2
+12x
+9
+9
(x−y)2=x 2−2xy+y 2
Carré
de 2x
La mise en évidence simple
• Type de factorisation
• On cherche à mettre en évidence le monôme qui
est le plus grand facteur commun des termes
d’un polynôme.
Double
de 2x∙3
Carré
de 3
Exemple
Factoriser
4ab+2b=2b(4a+1)
Développer
406
Outil 2
La notation exponentielle
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Outil 4
Les fonctions
La fonction afne
y
f(x)=ax+b
f (x)=−3x+60
• a : taux de variation
x
y
• b : ordonnée à l’origine
0
60
10
30
18
6
−15
• Le taux de variation est constant.
25
10
0 10
x
La fonction constante
y
f(x)=b
• Fonction afne où a=0.
f (x)=50
x
y
10
50
25
50
60
50
100
50
10
0 10
x
La fonction linéaire
f(x)=ax
• Fonction afne où b=0.
y
f (x)=2x
x
y
10
20
25
50
60
120
100
200
10
0 10
x
La fonction de variation inverse
k
x
f(x)= , x>0, k>0
• Le taux de variation n’est pas constant.
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y
f (x)= 400
x
x
y
10
40
25
16
60
20
3
100
4
10
0 10
x
Outil 4
Les fonctions
407
Outil 5
Le système international d’unités (SI)
Les principales unités de longueur du SI
×10
kilomètre
(km)
×10
hectomètre
(hm)
÷10
×10
mètre
(m)
décamètre
(dam)
÷10
×10
÷10
×10
décimètre
(dm)
÷10
×10
centimètre
(cm)
÷10
millimètre
(mm)
÷10
Les principales unités d’aire du SI
×100
km
×100
hm
2
÷100
×100
dam
2
÷100
×100
m
2
÷100
×100
dm
2
÷100
×100
cm
2
÷100
mm2
2
÷100
Les principales unités de volume du SI
×1 000
km
×1 000
hm
3
÷1 000
×1 000
dam
3
m
3
÷1 000
÷1 000
×1 000
×1 000
dm
3
cm
3
÷1 000
÷1 000
×1 000
mm3
3
÷1 000
Les principales unités de capacité du SI
×10
kilolitre
(kl)
×10
hectolitre
(hl)
÷10
×10
décalitre
(dal)
÷10
÷10
1 kl=1 m3
×10
litre
(L)
×10
décilitre
(dl)
÷10
×10
centilitre
(cl)
÷10
millilitre
(ml)
÷10
1 L=1 dm3
1 ml=1 cm3
Des exemples de conversion
408
• 2,5 km=2 500 m, car :
2,5×103=2 500
• 4 m2=40 000 cm2, car :
4×1002=40 000
• 64 mm=0,64 dm, car :
6,4÷102=0,64
• 23 mm2=0,000 023 m2, car :
23÷1003=0,000 023
• 35 dm3=35 000 000 mm3, car :
35×1 0002=35 000 000
• 2,5 kl=2 500 L, car :
2,5×103=2 500
• 5 000 cm3=0,005 m3, car :
5 000÷1 0002=0,005 m3
• 54 ml=0,54 dl, car :
54÷102=0,54
Outil 5
Le système international d’unités (SI)
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Les multiples et les sous-multiples des unités de base
Exemples
Préxe
Multiple de
l’unité de base
5,3 kg=5,3×103 grammes
Téra (T)
1012
1,8 ns=1,8×10−9 seconde
Giga (G)
109
2,7 Gm=2,7×109 mètres
Méga (M)
106
9,6 μl=9,6×10−6 litre
Kilo (k)
103
Milli (m)
10−3
Micro (μ*)
10−6
Nano (n)
10−9
Pico (p)
10−12
Curi sité
Pour mesurer le temps, on utilise les préxes du SI surtout
s’il s’agit de temps très courts (µs, ns, ps). Sinon, on utilise
les minutes, les heures, les jours, les années, etc.
* La lettre grecque μ se lit « mu ».
Outil 6
Les formules de périmètre, de circonférence et d’aire
Rectangle
Carré
P=4c
P=2∙(b+h)
=2b+2h
c
A=c2
A=b∙h
A=
c
P=2∙(a+b)
=2a+2b
a
h
b∙h
2
Losange
P=a+b+c+B
D∙d
2
P∙a
2
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b
Trapèze
c
c
A=
C=2pr=pd
a
A=pr 2
Outil 6
c
a
h
(B+b)∙h
2
Cercle ou disque
P=n∙c
A=
h
b
d
D
Polygone régulier
à n côtés
a
A=b∙h
b
P=4c
A=
b
Parallélogramme
Triangle
P=a+b+c
h
B
d
O
r
Les formules de périmètre, de circonférence et d’aire
409
Outil 7
Les solides
L’aire et le volume des solides
Prisme droit
Aire latérale :
AL=Pbase∙h
Cube
Aire latérale :
AL=4c 2
h
Aire totale :
AT=AL+2∙Abase
Aire totale :
AT=6c 2
Volume :
V=Ab∙h
Volume :
V=c 3
Pyramide régulière
Aire latérale :
AL=
Cylindre circulaire droit
Aire latérale :
AL=Cbase∙h
=2prh
Pbase∙ap
2
Aire totale :
AT=AL+Abase
ap
ab
Volume :
V=
c
Abase∙h
3
Aire totale :
AT=AL+2∙Abase
=2prh+2pr 2
h
Volume :
c
V=pr 2∙h
Cône droit
Aire latérale :
AL=pra
Sphère ou boule
Aire :
A=4pr 2
Aire totale :
AT=AL+Abase
Volume :
V=
Volume :
V=
a
h
4p r 3
3
r
r
pr 2∙h
3
Les solides semblables
Pour deux solides semblables
Exemple
k3
8 cm
k2
k 2=
k
k2
3
A1
A2
k3
k 3=
V1
V2
4 cm
4 cm
10 cm
5 cm
8
4
k= =
2 cm
10 4
= =2
5
2
k 2=22=4
k 3=23=8
410
Outil 7
Les solides
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Outil 8
Les constructions géométriques
Les projections orthogonales
Voici les trois vues généralement utilisées pour représenter un objet.
Vue de dessus
Dessus
Astuce
Vue de face
Face
Par convention,
la vue de face est
celle qui montre
le maximum de
détails de l’objet.
Vue de droite
Droite
Les principales projections centrales
La perspective à un point de fuite
La perspective à deux points de fuite
horizon
horizon
horizon
horizon
Les principales projections parallèles
La perspective cavalière
45°
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La perspective axonométrique
45°
30°
30°
Outil 8
30°
30°
Les constructions géométriques
411
Outil 9
Les tableaux et les diagrammes
Les tableaux et les diagrammes en statistique
Le tableau de données condensées et le diagramme à bandes
Effectif
Nombre de voitures
par foyer
Nombre de
voitures
Effectif
0
8
1
18
2
13
3
7
4
3
5
1
Nombre
de foyers
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Nombre de voitures par foyer
Titre
18
13
8
18 foyers possèdent
1 seule voiture.
7
3
1
0
1
2
Catégorie
3
4
5
Nombre de voitures
Le tableau de données groupées en classes et l’histogramme
Résultats de 25 personnes
à un tournoi de golf
Fréquence
(%)
Résultats
Effectif
[80, 90[
2
8
[90, 100[
2
8
[100, 110[
3
12
[110, 120[
5
20
[120, 130[
6
24
[130, 140[
5
20
[140, 150[
2
8
Total
25
100
Nombre de
personnes
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Résultats de 25 personnes
à un tournoi de golf
80 90 100 110 120 130 140 150
Résultats au tournoi de golf
Le diagramme de quartiles
• Le diagramme de quartiles est une représentation qui permet d’analyser la concentration des données.
• Chacun des quarts du diagramme contient environ 25 % des données.
Boîte
Moustache
1er quart
Minimum
412
Outil 9
Moustache
Q1
Q2
2e quart
Médiane
Les tableaux et les diagrammes
3e quart
Q3
4e quart
Maximum
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Les tableaux et les diagrammes en probabilité
L’arbre des probabilités et le principe de multiplication
Lors d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes, la probabilité d’un résultat est égale au produit
des probabilités de chacun des résultats partiels qui forment ce résultat.
Exemple
Tirage avec remise où l’on considère l’ordre.
Premier
tirage
Départ
3
5
R
2
5
V
Deuxième Résultats Probabilité
tirage
3
5
R
(R, R)
3 3
9
∙ =
5 5 25
2
5
V
(R, V)
3 2
6
∙ =
5 5 25
3
5
R
(V, R)
2 3
6
∙ =
5 5 25
2
5
V
(V, V)
2 2
4
∙ =
5 5 25
25
=100 %
25
Total=
Le diagramme de Venn
Le diagramme de Venn permet de visualiser la relation entre les événements d’une expérience aléatoire.
Exemple
Résultats du lancer d’un dé à 12 faces
Ω
A : nombres pairs
B : nombres inférieurs à 7
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A={2, 4, 6, 8, 10, 12}
4
12
7
10
2
8 6
3
1
5
A ∩ B={2, 4, 6}
9
11
Résultats communs aux
événements A et B
B={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∪ B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}
6
1
=
12 2
3
1
P(A ∩ B)= =
12 4
6
1
=
12 2
9
3
P(A ∪ B)= =
12 4
P(A)=
P(B)=
La probabilité géométrique
Dans un contexte de géométrie, on trouve la probabilité
d’un événement, A, par un rapport de mesures.
20 cm
Exemple
La cible suivante possède un rayon de 20 cm. Le disque rouge au centre
de la cible a un rayon de 5 cm.
5 cm
Soit l’événement A : « Atteindre le disque rouge. »
P(A)=
Adisque
p 52
25
1
= ∙ 2=
= (≈ 6,25 %)
Acible
p∙20 400 16
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Outil 9
Les tableaux et les diagrammes
413
Outil 10
Notation
et symbole
Graphisme, notation et symboles mathématiques
Signication
Notation
et symbole
Arithmétique
n
z
d
q
°
Degré
Ensemble des nombres entiers
{... -2, -1, 0, 1, 2, … }
Ensemble des nombres décimaux :
nombres rationnels dont le développement
décimal est ni.
Ensemble des nombres rationnels :
nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
a
, où a et b sont des entiers, où b ≠ 0.
b
∠A
Angle A
m∠A
Mesure de l’angle A
q'
r
Ensemble des nombres réels :
nombres rationnels ou irrationnels
{} ou Ø
Ensemble vide
E
… appartient à…
… est élément de…
… n’appartient pas à…
… n’est pas élément de…
Angle droit
//
… est parallèle à…
⊥
… est perpendiculaire à…
AB
Segment AB
m AB
Mesure du segment AB

AB
Arc du cercle AB
m
AB
Mesure de l’arc de cercle AB
∆ABC
Triangle ABC
P
Périmètre d’un polygone
A
Aire d’un polygone, d’un disque
a2
Nombre au carré
C
Circonférence d’un cercle
a3
Nombre au cube
B, b
Grande base, petite base d’un trapèze
a
Racine carrée d’un nombre positif
c
Côté d’un polygone régulier
a
Racine cubique d’un nombre
h
Hauteur d’un polygone
D, d
Diagonales d’un losange
a
Apothème
d
Diamètre d’un cercle
r
Rayon d’un cercle
3
Statistique et probabilité
x
Moyenne arithmétique
É
Étendue d’une distribution
ÉI
Étendue interquartile
Q1 et Q3
Q2
Ω
414
Géométrie
Ensemble des nombres naturels
{0, 1, 2, 3, ...}
Ensemble des nombres irrationnels :
nombres qui ne peuvent pas s’écrire
a
sous la forme b , où a et b sont des entiers,
où b ≠ 0.
e
Signication
Premier et troisième quartiles
d’une distribution
Deuxième quartile et médiane
d’une distribution
Univers des résultats possibles d’une
expérience aléatoire. Se lit « oméga ».
Lettre grecque qui représente
C
le rapport . Se lit « pi ».
d
≅
… est isométrique à…
∼
… est semblable à…
P(A)
Probabilité de l’événement A
k
Rapport de similitude,
rapport des périmètres
P(A′)
Probabilité de l’événement
complémentaire de A
k2
Rapport des aires de gures semblables
k3
Rapport des volumes de gures
semblables
Outil 10
Graphisme, notation et symboles mathématiques
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Index
A
E
G
addition et soustraction de nombres
entiers, 8
additionner des termes semblables,
53
aire
des figures planes et des solides,
198
des principaux corps ronds, 220
des principaux polyèdres, 220
des solides, 220
formule d’_, 220
latérale, 220
totale, 220
arbre des probabilités, 358
échantillon, 301
représentatif, 301
échantillonnage, 301
aléatoire simple, 301
par grappes, 302
stratifié, 302
systématique, 301
ensemble-solution d’une inéquation,
175
équation, 154
de premier degré, 154
solution d’une _, 154
équivalences entre unités de volume
et de capacité, 258
étapes indépendantes, 345
étendue, 320
des quarts, 320
interquartile, 320
événement(s), 338
compatibles, 342
complémentaires, 342
élémentaire, 338
équiprobables, 338
incompatibles, 342
probabilité d’un _, 338
expérience, 338
aléatoire, 338
composée, 338
simple, 338
exposant(s)
fractionnaire, 23
lois des _, 23
expression algébrique, 50
composantes d’une _, 50
extrapolation, 133, 134
grille, 338
B
binôme, 50
boule, 201
C
calcul du volume, 263
capacité, 257
caractère statistique, 298
qualitatif, 298
quantitatif, 298
quantitatif continu, 298
quantitatif discret, 298
carré d’un binôme, 59
cathète, 18
classification des solides, 201
coefficient, 50
corps rond, 201
courbe la mieux ajustée, 133
cube d’un nombre, 23
cylindre, 198
circulaire droit, 198
D
degré
d’un monôme, 50
d’un polynôme, 50
description en compréhension, 175
développement d’un solide, 201
diagramme, 298
à bandes, 298
à ligne brisée, 298
circulaire, 299
de Venn, 339
en arbre, 338
division d’un polynôme par
un monôme, 68
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F
factorisation, 68
figures semblables,
caractéristiques de _, 254
fonction, 106
affine, 121
constante, 121
de variation inverse, 111
linéaire (de variation directe),
110, 121
polynomiale de degré 0 ou 1,
121
fraction, 10
fuyantes, 203
H
histogramme, 307
hypoténuse, 18
I
identité algébrique, 67
inéquation, 173
résolution d’une_, 179
interpolation, 133, 134
isoler une inconnue, 154, 179
L
litre, 257
M
mantisse, 31
mesures de dispersion, 320
mesures de tendance centrale, 312
médiane, 312
mode, 312
moyenne, 312
moyenne pondérée, 313
méthode d’échantillonnage, 301
mètre, 219
carré, 219
cube, 257
mise en évidence simple, 68
modélisation d’une situation, 133
monôme, 50
multiplication
de deux polynômes, 59
d’un polynôme par un monôme,
59
multiplication et division de nombres
entiers, 8
N
nombre de solutions d’un système
d’équations, 167
aucune solution, 158, 167
infinité de solutions, 158, 167
solution unique, 158, 167
nombres
décimaux, 10, 13
ensembles de _, 13
entiers, 8, 13
irrationnels, 15
naturels, 13
rationnels, 13
réels, 15
Index
415
notation
décimale, 13
d’intervalle, 15
exponentielle, 23
scientifique, 31
notation fonctionnelle, 105
nuage de points, 133
Q
O
R
opérations
chaînes d’_, 8
priorité des _, 8
ordre des résultats, 345
organisation d’une distribution
de données, 306
P
paramètres d’une fonction affine,
121
perspective
à deux points de fuite, 203
à un point de fuite, 203
axonométrique, 204
cavalière, 204
point d’intersection (de deux
droites), 158
polyèdre, 198, 201
polygone, 198
polynôme, 50
pondération, 131
coefficients de _, 313
population, 301
principe de multiplication, 345
probabilité, 338
fréquentielle ou expérimentale,
341
géométrique, 353
théorique, 341
produit
de deux monômes, 59
d’un polynôme par un monôme,
59
projection, 203
centrale, 203
octogonale, 203
parallèle, 204
propriétés des fonctions, 116
abscisse à l’origine, 116
domaine, 116
image, 116
maximum, 116
minimum, 116
ordonnée à l’origine, 116
signe, 116
variation, 116
propriétés des probabilités, 341
416
Index
quartiles, 319
diagramme de _, 319
quotient
de deux monômes, 68
d’un polynôme par un monôme,
68
racine carrée, 10
racine cubique, 23
rapport de similitude (k), 254, 257
recensement, 301
recherche de mesures à l’aide
de la relation de Pythagore, 211
règle des signes, 8
règle d’une fonction affine, 122
règles de transformation des
inéquations, 179
relation, 103, 106
réciproque d’une _, 106
relation de Pythagore, 18
réciproque de la _, 18
relation entre les unités de volume
et de capacité, 258
représentation de l’ensemblesolution d’une inéquation, 175
droite numérique, 175
en extension, 175
intervalle, 175
résolution d’un système d’équations,
167
à l’aide d’une table de valeurs ou
d’un graphique, 158
algébrique, 167
par comparaison, 167
résolution d’une équation du
premier degré à une inconnue,
154
résolution d’une inéquation, 179
système international d’unités (SI),
31, 219, 257
T
table de valeurs, 158
tableau de données, 306
condensées, 306
groupées en classe, 307
taux de variation, 110
terme, 50
constant, 50
semblable, 50, 53
traduction d’une situation par une
inéquation, 173
trinôme, 50
triplet pythagoricien, 18
U
unités
d’aire, 219
de capacité, 257
de longueur, 219
de volume du SI, 257
univers des résultats possibles, 338
V
variable, 50
continue, 175
dépendante, 103
discrète, 175
indépendante, 103
variable aléatoire, 353
continue, 353
discrète, 353
volume, 257
volume et aire de solides
décomposables, 270
vue d’un objet, 203
S
situations de variation
proportionnelle et leurs
représentations, 100
solide(s), 201
décomposables, 270
semblables, 275
sondage, 301
soustraire des termes semblables,
53
sphère, 201
système d’équations, 157, 167
à deux variables, 157
couple-solution,157
représentation graphique, 158
solution, 158, 167
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
MATHÉMATIQUE
3e secondaire
• Documents pour les enseignants
• Documents pour les élèves
• Corrigé des documents pour les élèves
• Offre numérique
Gu id e
Sommets
Mathématique, 3e secondaire
Remerciements
Guide
Jean-François Bernier, Julie Cléroux, Yohann Dumas, Patricia Mercier,
Marie-France Vallée
© 2018 TC Média Livres Inc.
Édition : Christiane Odeh
Coordination et révision linguistique : Julie Nadeau Lavigne
Correction d’épreuves : Anne-Marie Théorêt
Conception graphique : Pige communication
Infographie : Pige communication
Pour son précieux travail de révision scientifique
et pédagogique, l’Éditeur tient à remercier
Eugen Pascu (C.S. Marguerite-Bourgeoys).
Sources iconographiques
Illustrations
Marc Tellier : p. G-186 (boîte avec solides),
p. G-198 (bouteille), p. G-203 (anneaux en bois
et tente)
Contenus interactifs
Jean-François Bernier, Julie Cléroux, Yohann Dumas, Patricia Mercier,
Marie-France Vallée
iStock : p. G-93 (maison)
Édition : Johanne L. Massé
Coordination : Gabriel Petit
Révision linguistique : Julie Nadeau Lavigne
Correction d’épreuves : Renée Bédard
Recherche d’hyperliens : Romain Ebran
Les hyperliens proposés dans ce guide-corrigé
mènent à des sites Internet qui présentent du
contenu de qualité pertinent sur le plan pédagogique et en lien avec les notions abordées dans
cet ouvrage.
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comme ils mènent à des sites externes variés,
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contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction
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ISBN 978-2-7650-5429-0
Dépôt légal : 1er trimestre 2018
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
Bibliothèque et Archives Canada
Imprimé au Canada
1
2 3
4 5
IP
21
20
19
18 17
Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de
livres – Gestion SODEC.
Planication
SOMMAIRE
Présentation du guide-corrigé                                                                              P-2
Outils                                                                                                             P-3
Plans cartésiens vierges                                                                                 P-3
Droites numériques vierges                                                                            P-6
Sommets et la Progression des apprentissages                                                       P-7
Planication de l’enseignement                                                                            P-21
Situations-problèmes et situations d’application
dans la collection Sommets                                                                                P-23
Les documents reproductibles du guide-corrigé sont séparés par des intercalaires qui facilitent
le repérage.
Planication
Sous cet intercalaire, on trouve des plans cartésiens et des droites numériques vierges qui peuvent être
utilisés sur le TNI ou en documents reproductibles.
On présente aussi trois tableaux :
• Un tableau d’adéquation avec la Progression des apprentissages
• Un tableau de planication qui dresse la liste de toutes les activités disponibles dans la collection pour
chaque chapitre du cahier d’apprentissage
• Un tableau qui dresse la liste des concepts sollicités dans chaque situation-problème (CD1) et chaque
situation d’application (CD2) de la collection
Chapitres
Chacun de ces intercalaires comprend trois types de documents reproductibles :
• Des activités supplémentaires pour chaque section d’un chapitre
• Des activités d’enrichissement pour chaque chapitre
• Une évaluation de n de chapitre
Situations-problèmes
Cet intercalaire présente quatre situations-problèmes qui peuvent être utilisées en guise d’activités
supplémentaires ou à des ns d’évaluation. Chaque situation-problème est accompagnée d’une grille
d’évaluation spécique.
Évaluation
Cet intercalaire contient trois évaluations de n d’étape et une évaluation de n d’année, conçues selon la
structure des évaluations du MEES. On y présente aussi une grille d’évaluation générale pour les
situations-problèmes (CD1) et une autre pour les situations d’application (CD2).
Offre numérique
Sous cet intercalaire, on décrit la plateforme i+ Interactif de Chenelière Éducation, ainsi que l’offre
numérique de la collection Sommets. Une médiagraphie est aussi offerte, dans laquelle on suggère de
nombreux sites Internet d’intérêt et des sites exerciseurs.
P-2
Sommets • 3e secondaire
Planication
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Plans cartésiens vierges
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Planication
P-3
P-4
Sommets • 3e secondaire
Planication
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Planication
P-5
Droites numériques vierges
P-6
Sommets • 3e secondaire
Planication
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Sommets • 3e secondaire
Planication
P-7
L’élève le fait par lui-même à la n de l’année scolaire.
✶
14. Estimer l’ordre de grandeur d’un nombre réel à l’aide de la notation scientique
15. Comparer et ordonner
✶
13. Estimer l’ordre de grandeur d’un nombre réel dans différents contextes
Note : Il en va de même pour une expression logarithmique en TS et SN.
✶
✶
f. des nombres en notation exponentielle (exposant fractionnaire)
→
✶
e. des cubes et des racines cubiques
12. Apprécier la valeur de la puissance d’une expression exponentielle au regard de ses différentes composantes : base (entre 0 et 1, supérieure à 1), exposant (positif
ou négatif, entier ou fractionnaire)
31
✶
d. des nombres en notation scientique
✶
23
SN
TS
CST
23
23
10
***
15, 175
c. des nombres en notation exponentielle (exposant entier)
→
✶
b. des carrés et des racines carrées
11. Représenter et écrire
Note : Au 1er cycle et en 3e secondaire, le concept de valeur absolue est introduit sans formalisme à l’aide d’exemples.
10. Dénir le concept de valeur absolue en contexte (ex. : écart entre deux nombres, distance entre deux points)
Note : En TS et SN, la notation en compréhension peut être introduite au besoin.
9. Représenter, à l’aide de différentes notations, divers sous-ensembles (discrets ou continus) de nombres réels : en intervalle, en extension, sur la droite numérique
Note : L’étude systématique des ensembles de nombres n’est pas retenue pour le 1er cycle du secondaire, mais l’utilisation des termes justes qui ont été employés
au primaire est toujours à privilégier (nombres naturels, nombres entiers, nombres décimaux).
13, 15
***
7. Faire une approximation dans différents contextes selon les nombres à l’étude (ex. : estimation, arrondissement, troncature)
8. Distinguer, dans l’ensemble des nombres réels, les nombres rationnels des nombres irrationnels
***
✶
5e
***
✶
4e
***
***
***
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
6. Représenter, lire et écrire des nombres en notation fractionnaire ou en notation décimale
✶
3e
2e cycle
Secondaire
L’élève réutilise cette connaissance.
*** Ce concept ou ce processus est réinvesti à divers endroits dans le cahier.
5. Exprimer des nombres sous différentes formes (fractionnaire, décimale, pourcentage)
Sens du nombre réel
Arithmétique
✶
→ L’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant.
et la
P-8
Sommets • 3e secondaire
Planication
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***
8. Interpréter le résultat d’opérations selon le contexte
***
***
6. Effectuer mentalement les quatre opérations, particulièrement avec les nombres écrits en notation décimale, en recourant à des écritures équivalentes et en
s’appuyant sur les propriétés des opérations
a. des exposants entiers (base rationnelle) et des exposants fractionnaires
Note : Dans la manipulation d’expressions numériques, l’élève est amené à déduire les propriétés des puissances.
23
13
13. Décomposer un nombre naturel en facteurs premiers
✶
23
12. Calculer la puissance d’un nombre naturel
14. Manipuler des expressions numériques comportant
13
Note : Au 1er cycle du secondaire, ces passages se font à l’aide de nombres positifs. Au 2e cycle du secondaire, de nouvelles formes d’écriture seront ajoutées : notation
exponentielle, notation scientique, etc.
11. Passer, au besoin, d’une forme d’écriture à une autre
***
9. Effectuer, à l’aide d’une calculatrice, des opérations et des chaînes d’opérations en respectant leur priorité
10
8
✶
10
8, 10
8. Effectuer par écrit des chaînes d’opérations (nombres écrits en notation décimale) en respectant leur priorité, en recourant à des écritures équivalentes et en
s’appuyant sur les propriétés des opérations (utilisation d’au plus deux niveaux de parenthèses)
c. nombres écrits en notation fractionnaire
b. nombres positifs écrits en notation fractionnaire avec ou sans l’aide de matériel concret ou de schémas
a. nombres écrits en notation décimale en appliquant les règles des signes
7. Effectuer par écrit les quatre opérations avec des nombres facilement manipulables (y compris de grands nombres) en recourant à des écritures équivalentes et en s’appuyant sur les propriétés des opérations
***
b. Utiliser dans différents contextes des caractères de divisibilité : 2, 3, 4, 5 et 10
5. Faire une approximation du résultat d’une opération ou d’une chaîne d’opérations
4. Caractères de divisibilité
Opérations sur des nombres réels
***
7. Anticiper le résultat d’opérations
***
***
***
5e
6. Traduire (mathématiser) une situation à l’aide d’une chaîne d’opérations (utilisation d’au plus deux niveaux de parenthèses)
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
13, 23, 31
3e
2e cycle
5. Rechercher des expressions équivalentes : décomposition (additive, multiplicative, etc.), fractions équivalentes, simplication et réduction, mise en évidence
simple, etc.
Note : Au l des années, de nouvelles écritures telles que la notation scientique s’ajoutent au répertoire de l’élève.
4. Choisir une forme d’écriture des nombres appropriée au contexte
b. des nombres exprimés sous différentes formes (fractionnaire, décimale, exponentielle [exposant entier], pourcentage, racine carrée, notation scientique)
Note : La notation scientique s’ajoute en 3e secondaire.
Sens des opérations sur des nombres réels
Arithmétique
Secondaire
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Sommets • 3e secondaire
Planication
P-9
100, 110, 254, 275
***
3. Interpréter des rapports et des taux
4. Décrire l’effet de la modication d’un terme d’un rapport ou d’un taux
***
b. quantitativement des rapports et des taux (équivalence de taux et de rapports, taux unitaire)
100, 111
10. Établir des liens entre les fonctions du premier degré ou rationnelle et les situations de proportionnalité (variation directe ou inverse)
***
***
***
2. Décrire, dans ses mots et à l’aide du langage mathématique, des suites de nombres et familles d’opérations
3. Ajouter de nouveaux termes à une suite dont au moins les trois premiers termes sont donnés
4e
1. Décrire, dans ses mots et à l’aide du langage mathématique, des régularités numériques
A. Expressions algébriques
Sens et manipulation des expressions algébriques
3e
100, 110, 111
9. Résoudre des situations de proportionnalité (variation directe ou inverse) à l’aide de différentes stratégies (ex. : retour à l’unité, facteur de changement, coefcient
de proportionnalité, procédé additif, produit constant [variation inverse])
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
100, 110
8. Représenter ou interpréter une situation de proportionnalité à l’aide d’un graphique, d’une table de valeurs ou d’une proportion
2e cycle
100, 110
7. Reconnaître une situation de proportionnalité à l’aide notamment du contexte, d’une table de valeurs ou d’un graphique
Algèbre
100, 110, 219, 254, 254, 257,
258, 275, 302, 341, 353
Note : Les situations faisant appel à des rapports et des taux s’enrichissent au 2e cycle du secondaire (rapport de similitude, relations métriques, etc.).
6. Traduire une situation à l’aide d’un rapport ou d’un taux
***
a. qualitativement des rapports et des taux (équivalence de taux et de rapports, taux unitaire)
5. Comparer
100, 110, 254, 275
2. Reconnaître des rapports et des taux
***
5e
5e
***
Secondaire
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
b. le cent pour cent
✶
3e
2e cycle
a. le tant pour cent
1. Calculer
Sens et analyse de situations de proportionnalité
Arithmétique
Secondaire
P-10
Sommets • 3e secondaire
Planication
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***
***
173
173
157
68
b. des relations d’inégalité et des inéquations du premier degré à une variable
✶
✶
✶
68
a. des relations ou des formules
2. Reconnaître ou construire
b. une inéquation
a. une équation
1. Reconnaître si une situation peut se traduire par
C. Analyse de situations à l’aide d’équations ou d’inéquations
a. de mises en évidence simples
6. Factoriser des polynômes à l’aide
a. des expressions algébriques par un monôme
5. Diviser
a. des expressions algébriques de degré inférieur à 3
✶
***
3. Effectuer des mises en évidence simples d’expressions numériques (distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction)
59
53, 59
2. Effectuer les opérations suivantes sur des expressions algébriques avec ou sans l’aide de matériel concret ou imagé : addition et soustraction, multiplication
et division par une constante, multiplication de monômes du premier degré
4. Multiplier
***
1. Calculer la valeur numérique d’expressions algébriques
✶
173, 179
b. des inégalités et des inéquations
B. Manipulation d’expressions algébriques
57
a. des égalités et des équations
8. Reconnaître ou construire
7. Reconnaître ou construire des expressions algébriques équivalentes
50, 53
SN
TS
CST
50
50
***
✶
5e
***
✶
→
4e
110, 111, 121, 122
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
6. Interpréter une expression algébrique selon le contexte
✶
→
3e
2e cycle
5. Construire une expression algébrique à partir d’un registre (mode) de représentation
d. coefcient, degré, terme, terme constant, termes semblables
c. paramètre
Note : Le concept de paramètre est abordé, de façon intuitive, sans qu’il soit nommé comme tel, aux trois premières années du secondaire.
b. variable, constante
a. inconnue
Note : Ce concept a été abordé, sans qu’il soit nommé comme tel, au primaire, dans le contexte de la recherche d’un terme manquant.
4. Décrire le rôle des composantes des expressions algébriques
Algèbre
Secondaire
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Sommets • 3e secondaire
Planication
P-11
***
,a÷
,a−
= c,
= c,
÷b=c
− b = c,
✶
***
→
→
6. Interpréter la solution ou prendre des décisions au besoin, selon le contexte
✶
✶
5. Valider la solution avec ou sans outils technologiques
a. du premier degré à deux variables de la forme y = ax + b à l’aide de tables de valeurs, graphiquement ou algébriquement (par comparaison), et ce,
avec ou sans outils technologiques
3. Résoudre un système d’équations
a. d’équations
2. Traduire algébriquement ou graphiquement une situation à l’aide d’un système
a. d’équations
1. Déterminer si une situation peut se traduire par un système
✶
✶
***
***
158, 167
157, 158
157
***
15. Interpréter des solutions ou prendre des décisions au besoin, selon le contexte
D. Analyse de situations à l’aide de systèmes d’équations ou d’inéquations
***
13. Valider une solution, avec ou sans outils technologiques, notamment par substitution
179
10. Résoudre des inéquations du premier degré à une variable
✶
154
9. Utiliser différentes méthodes pour résoudre des équations du premier degré à une inconnue se ramenant à la forme ax + b = cx + d : essais systématiques,
dessins, méthodes arithmétiques (opérations inverses ou équivalentes), méthodes algébriques (méthodes de l’équilibre ou du terme caché)
179
× b = c, a ÷ b =
+ b = c, a − b =
8. Transformer des inégalités arithmétiques et des inéquations pour en conserver l’équivalence (propriétés et règles de transformation) et justier les étapes suivies,
au besoin
= c,
= c,
154
,a×
a×b=
7. Transformer des égalités arithmétiques et des équations pour en conserver l’équivalence (propriétés et règles de transformation) et justier les étapes suivies,
au besoin
,a+
a+b=
6. Déterminer le terme manquant dans une équation (relations entre les opérations) :
175
b. une inéquation à l’aide d’un autre registre (mode) de représentation, au besoin
✶
158
a. une équation à l’aide d’un autre registre (mode) de représentation, au besoin
5. Représenter
175
5e
b. d’une inéquation du premier degré à une variable
✶
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
157
✶
3e
2e cycle
a. d’une équation du premier degré à une inconnue
4. Représenter une situation à l’aide
3. Manipuler des relations ou des formules (ex. : isoler un élément)
Algèbre
Secondaire
P-12
Sommets • 3e secondaire
Planication
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g. fonctions dénies par parties
Note : En 3e secondaire, l’élève est initié de façon non formelle à ce type de fonction.
i. f(x) = k / x ou xy = k, k ∈ Q+
d. fonctions rationnelles
a. fonctions polynomiales de degré 0 ou du premier degré
9. Prendre des décisions, au besoin, selon le contexte
8. Comparer des situations ou des représentations graphiques
7. Interpoler et extrapoler des données, s’il y a lieu
6. Déterminer des valeurs ou des données à l’aide de la résolution d’équations et d’inéquations
Note : En 3e secondaire, l’élève est initié de façon non formelle à l’étude des propriétés, et ce, toujours en relation avec le contexte. En CST, l’élève se sert d’une
représentation graphique pour cette description, et ce, toujours en relation avec le contexte.
5. Décrire les propriétés des fonctions réelles : domaine, image, variation (croissance, décroissance), signe, extremums, coordonnées à l’origine
4. Interpréter des paramètres (multiplicatifs ou additifs) et décrire l’effet de leur modication, au besoin
3. Représenter et interpréter la réciproque
2. Rechercher la règle d’une fonction ou de sa réciproque, selon le contexte
1. Modéliser une situation verbalement, algébriquement, graphiquement, à l’aide d’une table de valeurs ou d’un nuage de points
Remarque : Les énoncés 1 à 9 s’appliquent aux fonctions énumérées.
→
✶
✶
✶
✶
5. Reconnaître des relations, des fonctions et des réciproques
B. Analyse de situations à l’aide de fonctions réelles
103
4. Choisir la variable dépendante et la variable indépendante
SN
TS
CST
116
111, 116, 134
110, 116, 121, 122, 133
100, 103, 105
100, 103
✶
3. Représenter globalement une situation par un graphique
100, 103
✶
5e
***
✶
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
2. Analyser des situations à l’aide de différents registres (modes) de représentation
3e
2e cycle
1. Dégager des régularités dans des situations diverses et représentées de différentes façons
A. Relations, fonctions et réciproques
Sens des liens de dépendance
Algèbre
Secondaire
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Sommets • 3e secondaire
Planication
P-13
***
7. Réaliser ou simuler des expériences aléatoires à une ou plusieurs étapes (avec ou sans remise, avec ou sans ordre)
10. Dénir l’univers des possibles d’une expérience aléatoire
c. gures géométriques
b. réseaux, grilles, schémas, diagrammes de Venn
a. tableaux, diagrammes en arbre
9. Dénombrer les résultats possibles d’une expérience aléatoire à l’aide de
SN
✶
SN
TS
CST
TS
CST
SN
TS
CST
SN
TS
CST
SN
TS
✶
✶
✶
***
6. Distinguer la prédiction du résultat obtenu
CST
***
8. Reconnaître le type de variable aléatoire : discret ou continu
***
345
c. prendre conscience, s’il y a lieu, de l’indépendance entre les tours (ex. : lancers, piges)
5. Comparer les résultats d’une expérience aléatoire aux résultats théoriques connus
338
b. reconnaître l’équiprobabilité lorsqu’elle s’applique (ex. : quantité d’objets, symétrie d’un objet tel un cube)
4. Utiliser des tableaux ou des diagrammes pour colliger et mettre en évidence les résultats d’une expérimentation
***
a. reconnaître, s’il y a lieu, la variabilité des résultats possibles (incertitude)
3. Dans des activités liées au hasard,
***
5e
***
4e
338
353, 354
339, 342
338, 345
353
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
2. Expérimenter des activités liées au hasard en utilisant du matériel varié (ex. : roulettes, prismes à base rectangulaire, verres, billes, punaises, dés à 6, 8 ou 12 faces)
✶
3e
2e cycle
1. Simuler des expériences aléatoires avec ou sans outils technologiques
A. Traitement de données tirées d’expériences aléatoires
Sens des données issues d’expériences aléatoires
Probabilités
Secondaire
P-14
Sommets • 3e secondaire
Planication
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SN
TS
CST
SN
TS
CST
SN
TS
CST
9. Interpréter les probabilités obtenues et prendre les décisions appropriées
7. Calculer des probabilités, dont les probabilités géométriques, dans des contextes de mesure
Note : Les calculs se font par raisonnement et non à l’aide de formules de dénombrement. L’utilisation du vocabulaire (permutation, arrangement, combinaison)
est facultative pour la première année du 2e cycle du secondaire.
5. Calculer la probabilité de résultats d’expériences aléatoires associées à des situations pouvant faire appel à des arrangements, des permutations ou
des combinaisons
✶
✶
SN
TS
CST
SN
TS
CST
SN
TS
CST
SN
TS
CST
341
4. Calculer la probabilité d’un événement
***
3. Distinguer la probabilité théorique de la probabilité fréquentielle
SN
TS
CST
2. Comparer qualitativement la probabilité théorique ou la probabilité fréquentielle qu’un événement se produise
1. Représenter un événement à l’aide de différents registres (modes)
B. Analyse de situations à caractère probabiliste
***
5e
***
4e
***
353, 354
338, 345
338, 339, 341, 342,
345, 353, 354
338, 339, 341, 342,
345, 353, 354
341
338, 339, 341, 342,
345, 353, 354
338, 342, 345
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
b. événement plus probable, événement également probable, événement moins probable
✶
3e
2e cycle
a. résultat certain, résultat possible, résultat impossible
15. Prédire qualitativement un résultat ou plusieurs événements en utilisant, entre autres, une droite des probabilités
14. Reconnaître qu’une probabilité se situe entre 0 et 1
13. Quantier une probabilité en recourant à la notation fractionnaire, à la notation décimale ou au pourcentage
11. Reconnaître des événements certains, probables, impossibles, élémentaires, complémentaires, compatibles, incompatibles, dépendants, indépendants
Probabilités
Secondaire
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Sommets • 3e secondaire
Planication
P-15
✶
Note : Au 1er cycle du secondaire, le calcul se fait avec les nombres en notation décimale ou fractionnaire, positifs ou négatifs.
312
312
9. Décrire le concept de moyenne arithmétique (répartition équitable ou centre d’équilibre)
10. Calculer et interpréter une moyenne arithmétique
312
8. Comprendre et calculer la moyenne arithmétique
SN
✶
***
TS
✶
7. Comparer des distributions à un caractère
c. à l’aide d’un tableau à données condensées ou groupées en classes, d’un histogramme, d’un diagramme de quartiles
299
b. à l’aide d’un tableau présentant les caractères, les effectifs ou les fréquences, ou à l’aide d’un diagramme circulaire
CST
298, 306
a. à l’aide d’un tableau, d’un diagramme à bandes, d’un diagramme à pictogrammes et d’un diagramme à ligne brisée
306, 307, 319
***
5. Choisir le ou les registres (modes) de représentation appropriés pour organiser, interpréter et présenter des données
6. Organiser et représenter des données
298
4. Distinguer différents types de caractères statistiques : qualitatif, quantitatif discret ou continu
306, 307
301, 302
302
301
***
298, 299, 306
***
SN
TS
CST
SN
CST
SN
TS
CST
✶
5e
TS
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
✶
✶
3e
2e cycle
3. Interpréter des données présentées dans un tableau ou dans un diagramme : à bandes, à pictogrammes, à ligne brisée ou circulaire
Note : En CST de 4e secondaire, l’élève est amené à corriger la source de biais, s’il y a lieu.
2. Reconnaître des sources de biais possibles
d. collecter, décrire et organiser des données (classier ou catégoriser) à l’aide de tableaux
c. choisir un échantillon représentatif
• stratié, par grappes
• aléatoire simple, systématique
b. choisir une méthode d’échantillonnage
a. formuler des questions d’enquête
Note : Les questions se rafnent au l des années.
1. Réalisation d’un sondage ou d’un recensement
A. Distributions à un caractère
Analyse et prise de décisions impliquant des distributions à un ou deux caractères à l’aide d’outils statistiques
Statistique
Secondaire
P-16
Sommets • 3e secondaire
Planication
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312, 313
18, 211
***
7. Décrire des disques et des secteurs
10. Justier des afrmations à partir de dénitions ou de propriétés de gures planes
Note : Se référer au programme de mathématique du 1er cycle du secondaire, page 261.
***
***
18, 211
b. cathète, hypoténuse
9. Dégager des propriétés des gures planes à partir de transformations et de constructions géométriques
***
a. diagonale, hauteur, médiane, médiatrice, bissectrice, apothème, rayon, diamètre, corde
8. Reconnaître et construire des segments et des droites remarquables
***
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
198
4e
2e cycle
***
6. Décomposer des gures planes en disques (secteurs), en triangles ou en quadrilatères
✶
3e
✶
SN
TS
CST
307, 319, 320
5. Reconnaître et nommer des polygones réguliers convexes
A. Figures planes
Sens spatial et analyse de situations faisant appel à des gures géométriques
Géométrie
Note : En 3e secondaire, l’étude des fonctions afnes et rationnelles est amorcée à l’aide des nuages de points.
1. Comparer des données expérimentales et théoriques
B. Distributions à deux caractères
12. Choisir la ou les mesures statistiques appropriées à une situation donnée
• minimum, maximum
c. des mesures de position
320
5e
5e
• étendue des quarts, étendue interquartile
Secondaire
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
320
✶
✶
3e
2e cycle
• étendue
b. des mesures de dispersion
a. des mesures de tendance centrale : mode, médiane, moyenne pondérée
11. Déterminer et interpréter
Statistique
Secondaire
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Sommets • 3e secondaire
Planication
P-17
201
3. Nommer le solide correspondant à un développement
***
***
254
***
4. Construire l’image d’une gure par une translation, une rotation et une réexion
5. Reconnaître des homothéties de rapport positif
6. Construire l’image d’une gure par une homothétie de rapport positif
***
254, 275
***
3. Reconnaître la ou les transformations géométriques associant une gure à son image
4. Déterminer les propriétés et les invariants de gures isométriques ou semblables
8. Justier des afrmations à partir de dénitions ou de propriétés de gures isométriques, semblables ou équivalentes, selon le cycle et l’année en cours
31
31
1. Choisir l’unité de mesure de masse appropriée au contexte
3. Établir des relations entre les unités de mesure de masse
A. Masses
Analyse de situations faisant appel à des mesures
254
2. Reconnaître des gures isométriques ou semblables
D. Figures isométriques, semblables ou équivalentes
***
3. Reconnaître l’isométrie (translation, rotation et réexion) associant deux gures
203, 204
2. Dégager des propriétés et des invariants issus de constructions et de transformations géométriques
C. Constructions et transformations géométriques dans le plan euclidien
✶
220, 270
7. Représenter, dans le plan, des gures à trois dimensions à l’aide de différents procédés : développement, projections et perspectives (ex. : projections orthogonales
[différentes vues], projections parallèles [perspectives cavalière et axonométrique] ou projections centrales [à un ou deux points de fuite])
220, 270
b. en cônes droits et en boules
SN
***
a. en prismes droits, cylindres droits, pyramides droites
6. Reconnaître des solides décomposables
Note : En CST de 5e secondaire, cette relation peut être exploitée (graphe planaire). Se référer au programme de mathématique du 2e cycle du secondaire, page 128.
TS
201, 203, 220
b. hauteur, apothème, face latérale
5. Expérimenter la relation d’Euler sur des polyèdres convexes
201, 203, 220
a. sommet, arête, base, face
4. Décrire des solides
201
5e
2. Déterminer les développements possibles d’un solide
CST
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
201
✶
3e
2e cycle
1. Associer le développement de la surface d’un polyèdre convexe à ce dernier
B. Solides
Géométrie
Secondaire
P-18
Sommets • 3e secondaire
Planication
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
b. entre les mesures de longueur du système international (SI)
275
c. mesure de segments d’un solide provenant d’une isométrie ou d’une similitude
Note : À partir des relations établies pour l’aire des gures planes et du développement des solides, l’élève dégage des relations pour calculer l’aire latérale ou totale
de prismes droits, de cylindres droits et de pyramides droites.
198
219
3. Établir des relations entre les unités d’aire du système international (SI)
4. Construire les relations permettant de calculer l’aire de gures planes : quadrilatère, triangle, disque (secteurs)
219
1. Choisir l’unité de mesure d’aire appropriée au contexte
E. Aires
***
***
6. Justier des afrmations relatives à des mesures de longueur
198
b. mesure d’un segment d’une gure plane, circonférence, rayon, diamètre, longueur d’un arc, mesure d’un segment provenant d’une isométrie ou
d’une similitude
198
a. périmètre de gures planes
5. Rechercher, à partir des propriétés des gures et des relations, des mesures manquantes
4. Construire les relations permettant de calculer le périmètre ou la circonférence de gures
31
***
2. Estimer et mesurer les dimensions d’un objet à l’aide d’unités conventionnelles : millimètre, centimètre, décimètre, mètre et kilomètre
3. Établir des relations
31
1. Choisir l’unité de mesure de longueur appropriée au contexte
D. Longueurs
***
***
b. mesures d’angles au centre et d’arcs en degrés
8. Justier des afrmations à partir de dénitions ou de propriétés associées aux angles et à leurs mesures
***
a. mesures d’angles d’un triangle
5. Rechercher des mesures manquantes à partir des propriétés de gures et des relations
***
***
4. Rechercher des mesures d’angle en utilisant les propriétés des angles suivants : complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet, alternes internes,
alternes-externes et correspondants
***
3. Caractériser différents types d’angles : complémentaires, supplémentaires, adjacents, opposés par le sommet, alternes-internes, alternes-externes
et correspondants
***
2. Estimer et mesurer des angles en degrés
C. Angles
Note : Cela inclut le concept de temps négatif, déni à partir d’un temps 0 choisi arbitrairement.
4. Distinguer durée et position dans le temps
31
5e
31
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
3. Établir des relations entre les unités de mesure de temps : seconde, minute, heure, jour, cycle quotidien, cycle hebdomadaire, cycle annuel
✶
3e
2e cycle
1. Choisir l’unité de mesure de temps appropriée au contexte
B. Temps
Géométrie
Secondaire
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Planication
P-19
***
e. aire de gures issues d’une isométrie
a. à la relation de Pythagore
5. Justier des afrmations relatives
• de la relation de Pythagore
a. dans un triangle rectangle à l’aide
2. Rechercher des mesures manquantes dans diverses situations
1. Déterminer, par l’exploration ou la démonstration, différentes relations métriques associées à des gures planes
G. Relations métriques ou trigonométriques
7. Justier des afrmations relatives à des mesures de volume ou de capacité
Note : Dans les solides semblables, le rapport entre les volumes est égal au cube du rapport de similitude.
✶
✶
→
✶
✶
✶
b. volume de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits, en pyramides droites, en cônes droits, en boules
c. volume de solides issus d’une isométrie ou d’une similitude
✶
a. volume de prismes droits, de cylindres droits, de pyramides droites, de cônes droits et de boules
6. Rechercher des mesures manquantes à partir des propriétés de gures et des relations
✶
✶
c. entre les mesures de volume et de capacité
5. Construire les relations permettant de calculer des volumes : cylindres droits, pyramides droites, cônes droits et boules
✶
b. entre les mesures de capacité
18, 211
18, 211
***
***
275
270
263
263
257, 258
257, 258
257
✶
3. Établir des relations entre les unités de volume du système international (SI)
4. Établir des relations
257
***
220, 270
1. Choisir l’unité de mesure de volume appropriée au contexte
F. Volumes
7. Justier des afrmations relatives à des mesures d’aire
g. aire de la sphère, aire latérale ou totale de cônes droits et de solides décomposables
Note : Dans les gures planes semblables, le rapport entre les aires est égal au carré du rapport de similitude.
✶
220, 270
d. aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits ou en pyramides droites
275
198, 220
f. aire de gures issues d’une similitude
***
220
c. aire latérale ou totale de prismes droits, de cylindres droits ou de pyramides droites
→
5e
b. aire de gures décomposables en disques (secteurs), en triangles ou en quadrilatères
→
4e
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
198
✶
✶
3e
2e cycle
a. aire de disques et de secteurs
6. Rechercher des mesures manquantes à partir des propriétés des gures et des relations
5. Utiliser les relations permettant de calculer l’aire d’un cône droit et d’une sphère
Géométrie
Secondaire
P-20
Sommets • 3e secondaire
Planication
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
a. des droites : graphiquement et algébriquement
Note : En 3e secondaire, le concept de droite est abordé de façon non formelle dans le cadre de l’étude des fonctions de degré 0 et 1. Les différentes formes d’écriture
de la droite doivent être exploitées dans les séquences (canonique, générale et symétrique). Cependant la forme symétrique de la droite n’est pas au programme
en CST. Elle est facultative en TS et prescrite en SN. La forme générale de la droite est facultative en CST.
3. Modéliser, avec ou sans outils technologiques, une situation en recourant à
Note : En 3e secondaire, le concept de position relative entre deux droites est introduit dans la comparaison de taux de variation et de graphiques de fonctions
de degré 0 et 1. Il en est de même pour la résolution de systèmes d’équations linéaires à deux variables.
→
→
→
c. calculer et interpréter une pente
Note : En 3e secondaire, le concept de pente est abordé de façon non formelle dans le cadre du travail sur le taux de variation des fonctions de degré 0 et 1.
2. Déterminer la position relative de deux droites à partir de leur pente respective (sécantes, perpendiculaires, parallèles distinctes ou confondues)
→
3e
a. calculer la distance entre deux points
Note : En 3e secondaire, le concept de distance entre deux points est abordé dans le cadre du travail sur la relation de Pythagore. Par ailleurs, en 4e secondaire, la
distance entre deux parallèles ou d’un point à une droite ou à un segment se réalise à partir des concepts et des processus associés à la distance et aux systèmes
d’équations.
1. Utilisation du concept d’accroissement pour
B. Droite et demi-plan
2. Repérer un point dans le plan cartésien, selon les nombres à l’étude (abscisse et ordonnée d’un point)
Note : Au 1er cycle du secondaire, le repérage se fait avec les nombres en notation décimale ou fractionnaire, positifs ou négatifs.
1. Effectuer des activités de repérage sur un axe, selon les nombres à l’étude
A. Repérage
Analyse de situations à l’aide de la géométrie analytique
Géométrie analytique
✶
✶
✶
✶
4e
2e cycle
Secondaire
5e
100, 110, 121, 122, 133, 158,
167
158
110, 121, 122
18, 211
***
***
Pages du cahier
(encadrés théoriques)
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Planication
P-21
Dé : p. 49, 58, 67, 76
2.2 La multiplication de polynômes
4.4 La résolution d’une inéquation
4.3 Les inéquations
4.2 La résolution algébrique
d’un système d’équations
4.1 Les systèmes d’équations
du premier degré à deux variables :
représentation et résolution
Chapitre 4 Les systèmes
d’équations et les inéquations
3.5 La modélisation d’une situation
3.4 Les fonctions polynomiales
de degré 0 ou 1 (fonctions afnes)
3.3 Les propriétés des fonctions
3.2 Les fonctions associées aux
situations de proportionnalité
(variation directe ou inverse)
3.1 Les relations, les fonctions et
leurs réciproques
Chapitre 3 Les relations
et les fonctions
Dé : p. 153, 164,
166, 170, 172, 178,
184
Exercices + : p. 161,
168, 181, 185-186
p. 154 à 184
Dé : p. 99
Exercices + : p. 113,
114, 124-125, 141-142
p. 100 à 140
Exercices + : p. 55, 61,
70, 72, 77-78
2.1 L’addition et la soustraction
d’expressions algébriques
2.3 La division d’expressions
algébriques
p. 50 à 76
Chapitre 2 Le calcul algébrique
1.4 La notation scientique et le
système international d’unités
1.3 La notation exponentielle
Dé : p. 7, 17, 22
Exercices + : p. 19, 25,
37-38
1.1 Les ensembles de nombres
1.2 La relation de Pythagore
p. 8 à 36
Activités
Chapitre 1 Les nombres réels
Chapitre
p. 187 à 193
p. 143 à 149
p. 79 à 85
p. 39 à 45
Retour sur
le chapitre
p. 373 à 380, nos 5-6,
21-22, 24
p. 239 à 248, nos 6
à 9, 20-21, 27, 29-30
p. 373 à 380, nos 3-4,
23
p. 239 à 248, nos 3, 5,
17 à 19, 25-26, 28
p. 373 à 380, nos 2,
14, 16
p. 239 à 248, nos 16,
24
p. 89 à 95, nos 4 à 6,
11 à 15, 20-21
p. 373 à 380, nos 1,
19-20
p. 239 à 248, nos 1-2,
14-15
p. 89 à 95, nos 1 à 3,
7 à 10, 16 à 19,
22-23
Consolidation
Cahier
Planication de l’enseignement
p. 385 à 398, nos 5-6,
16-17, 25, 27, 33
p. 385 à 398, nos 3-4,
15, 22, 28, 32
p. 385 à 398, nos 2,
14, 24, 26
p. 385 à 398, nos 1,
13, 20, 23, 37
Révision
de l’année
Fiches AS-4.1 à
AS-4.4
Fiches AS-3.1
à AS-3.5
Fiches AS-2.1
à AS-2.3
Fiches AS-1.1
à AS-1.4
Fiche AE-4
Fiche AE-3
Fiche AE-2
Fiche AE-1
Activités
d’enrichissement
Fiche EC-4
Fiche EC-3
Fiche EC-2
Fiche EC-1
Évaluations
Activités
interactives
4.01 à 4.06
3.01 à 3.06
2.01 à 2.05
1.01 à 1.06
Guide-corrigé imprimé et numérique
Activités
supplémentaires
P-22
Sommets • 3e secondaire
Planication
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Dé : p. 297, 305, 311,
316, 318
7.2 L’organisation d’une distribution
de données
8.2 La probabilité géométrique
8.1 Les expériences aléatoires simples
et composées
Chapitre 8 Les probabilités
7.4 Les quartiles et les mesures
de dispersion
Dé : p. 337, 351, 362
p. 338 à 362
Exercices + : p. 315,
321
7.1 L’étude statique et les méthodes
d’échantillonnage
7.3 Les mesures de tendance centrale
p. 298 à 326
Dé : p. 253, 261-262,
284
Exercices +: p. 259-260,
264, 279, 285-286
Chapitre 7 La statistique
6.4 Les solides semblables
6.3 Les solides décomposables
6.2 Le volume des solides
6.1 Les mesures de volume et
de capacité
Chapitre 6 Le volume
et les solides semblables
p. 254 à 284
Dé : p. 197, 210, 218
5.2 La recherche de mesures à l’aide
de la relation de Pythagore
5.3 L’aire des solides
Exercices + : p. 212-213,
221-222, 227-228
p. 198 à 226
Activités
5.1 Les solides et leurs
représentations
Chapitre 5 L’aire des solides
Chapitre
p. 363 à 369
p. 327 à 333
p. 287 à 293
p. 229 à 235
Retour sur
le chapitre
p. 373 à 380, nos 11,
18, 27
p. 373 à 380, nos 10,
13, 17, 26
p. 373 à 380, nos 8-9,
12, 15-16, 24-25
p. 373 à 380, nos 7,
15
p. 239 à 248, nos 4,
10 à 13, 22 à 24,
31-32
Consolidation
Cahier
p. 385 à 398,
nos 11-12, 39, 41
p. 385 à 398,
nos 9-10, 18, 21, 38,
40, 42
p. 385 à 398, nos 7-8,
19, 29-30, 34 à 36
p. 385 à 398, nos 7,
24, 30-31, 35
Révision
de l’année
Fiches AS-8.1
à AS-8.2
Fiches AS-7.1
à AS-7.4
Fiches AS-6.1
à AS-6.4
Fiches AS-5.1
à AS-5.3
Fiche AE-8
Fiche AE-7
Fiche AE-6
Fiche AE-5
Activités
d’enrichissement
Fiche EC-8
Fiche EC-7
Fiche EC-6
Fiche EC-5
Évaluations
Activités
interactives
8.01 à 8.04
7.01 à 7.05
6.01 à 6.06
5.01 à 5.05
Guide-corrigé imprimé et numérique
Activités
supplémentaires
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Planication
P-23
46
86
96
150
194
236
250
294
334
370
382
400
1. Voyage dans l’espace
2. Les tableaux blancs
3. Le voilier
4. Sylviculture 101
5. L’expédition
6. Atlas illuminé
7. Le feu de forêt
8. Maïs essoufé
9. Les résultats des absents
10. Santé et bien-être
11. Un aquarium pour Némo
12. La récolte
8 Les probabilités
Calcul de probabilités géométriques dans des contextes de mesure
Page
G-174
G-178
Titre
1. Aventure en plein air
2. Les noces de porcelaine
4 Les systèmes d’équations et les inéquations
Résolution algébrique d’un système d’équations
5 L’aire des solides
3 Les relations et les fonctions
Aire de solides décomposables
1 Les nombres réels
Fonctions polynomiales de degré 0 ou 1, fonction rationnelle xy = k
1 Les nombres réels
Relation de Pythagore, intervalle
Relation de Pythagore, nombres irrationnels, manipulation d’expressions numériques comportant des exposants,
notation scientique
Concepts sollicités
Chapitre
6 Le volume et les solides semblables
6 Le volume et les solides semblables
Volume de solides décomposables, mesure de volume et de capacité
2 Le calcul algébrique
5 L’aire des solides
Aire de solides décomposables
Solides semblables, volume de solides décomposables
3 Les relations et les fonctions
Fonction de variation proportionnelle
Addition et multiplication de polynômes
1 Les nombres réels
8 Les probabilités
7 La statistique
Nombres irrationnels
Analyse de situations à caractère probabiliste, calcul de la probabilité d’un événement à partir d’un dénombrement
Mesures de tendance centrale, mesures de dispersion, diagramme de quartiles
6 Le volume et les solides semblables
5 L’aire des solides
Solides semblables, relation de Pythagore, volume d’une pyramide, unités de volumes du SI
3 Les relations et les fonctions
Unités d’aires du SI
5 L’aire des solides
Taux de variation (vitesse), fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
1 Les nombres réels
Aire de solides (pyramide, cône et sphère)
4 Les systèmes d’équations et les inéquations
Relation de Pythagore, nombres irrationnels
Résolution algébrique d’un système d’équations, résolution d’inéquations
3 Les relations et les fonctions
2 Le calcul algébrique
Lien de dépendance entre variable, fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
1 Les nombres réels
Expressions algébriques
2 Le calcul algébrique
1 Les nombres réels
Chapitre
Relation de Pythagore, nombres irrationnels
Addition et multiplication de polynômes
Opération sur les nombres réels, relation de Pythagore, nombres irrationnels, notation scientique
Concepts sollicités (3 e secondaire)
Situations-problèmes (CD1) du guide-corrigé imprimé
Page
Titre
Situations-problèmes (CD1) du cahier d’apprentissage
Situations-problèmes et situations d’application
dans la collection
P-24
Sommets • 3e secondaire
Planication
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
6 Le volume et les solides semblables
Volume de solides, racine cubique, unités de volume du SI
Page
48
88
98
152
196
238
249
252
296
336
372
381
384
399
402
Titre
1. Le trapèze rectangle
2. Huit pavés
3. Une question de sécurité
4. Suivre sa courbe
5. La course en patins
6. Lumière !
7. Campagne de nancement
8. Histoire de pêche !
9. Les chandelles de Sophie
10. Une question d’âge
11. À l’épluchette !
12. La cible tricolore
13. Un peu de géométrie
14. Le clown
15. Les triplets de Pythagore
8 Les probabilités
Calcul de probabilités géométriques dans des contextes de mesure
1 Les nombres réels
2 Le calcul algébrique
Relation de Pythagore, distinction des nombres rationnels et irrationnels
Addition et multiplication de polynômes
5 L’aire des solides
6 Le volume et les solides semblables
Volume de solides
Aire de solides décomposables, relation de Pythagore
5 L’aire des solides
8 Les probabilités
Aire de solides, relation de Pythagore
3 Les relations et les fonctions
Analyse de situations à caractère probabiliste, calcul de probabilités géométriques dans des contextes de mesure
8 Les probabilités
Fonction rationnelle xy = k
Calcul de probabilités géométriques dans des contextes de mesure
7 La statistique
6 Le volume et les solides semblables
Volume de solides, solides semblables
Mesures de tendance centrale, mesures de dispersion, diagramme de quartiles
5 L’aire des solides
Aire de solides
5 L’aire des solides
4 Les systèmes d’équations et les inéquations
Résolution algébrique d’un système d’équations
Aire de solides décomposables
3 Les relations et les fonctions
Fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
5 L’aire des solides
4 Les systèmes d’équations et les inéquations
Résolution algébrique d’un système d’équations
Aire de solides décomposables (tronc de pyramide et de cône)
3 Les relations et les fonctions
3 Les relations et les fonctions
2 Le calcul algébrique
2 Le calcul algébrique
1 Les nombres réels
Taux de variation (vitesse), fonction polynomiale de degré 0 ou 1
Fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
Factorisation, addition de polynômes
Addition et multiplication de polynômes
Relation de Pythagore, nombres irrationnels
Concepts sollicités
Chapitre
5 L’aire des solides
Unités d’aire du SI
5 L’aire des solides
1 Les nombres réels
3 Les relations et les fonctions
Relation de Pythagore
Nombres irrationnels, relation de Pythagore
1 Les nombres réels
Fonction polynomiale de degré 0 ou 1
Chapitre
Nombres irrationnels, relation de Pythagore
Concepts sollicités
Situations d’application (CD2) du cahier d’apprentissage
G-186
G-182
3. La boîte magique
4. Solides en boîte
Page
Titre
Situations-problèmes (CD1) du guide-corrigé imprimé (suite)
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Planication
P-25
Page
G-197
G-204
G-211
G-219
Titre
1. Une sortie au cinéma
2. Livraison express
3. La mouche prisonnière
4. L’embarras du choix
5 L’aire des solides
6 Le volume et les solides semblables
8 Les probabilités
Calcul de probabilités géométriques dans des contextes de mesure
Volume de solides décomposables
6 Le volume et les solides semblables
Aire de solides décomposables
1 Les nombres réels
Volume des solides, racine cubique
5 L’aire des solides
Nombres irrationnels
3 Les relations et les fonctions
Aire d’un cône
2 Le calcul algébrique
Chapitre
Fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
Opérations sur des polynômes
Concepts sollicités
Situations-problèmes (CD2) du guide-corrigé imprimé
Le guide se poursuit
à la page suivante.
SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-1.1
Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-2
Fiche AS-1.2
La relation de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-4
Fiche AS-1.3
La notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-7
Fiche AS-1.4
La notation scientique et le système
international d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-10
Activités d’enrichissement
Fiche AE-1
Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-13
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-1
Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-16
CHAPITRE
Les nombres réels
1
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.1
Activités supplémentaires
1.1 Les ensembles de nombres
1
2
Complète les énoncés suivants à l’aide du symbole approprié (∈ ou ∉).
1
2
a)
q
b)
qæ
c) −0,5
2
7
π
d)
qæ
e) 3π
q
f)
8
g) 0
q
h)
qæ
i) 17,35
45
j)
qæ
k)
qæ
l)
5
q
qæ
q
q
Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Si la réponse est fausse, indique l’ensemble
le plus restreint auquel le nombre appartient.
a) 1 ∈ qæ
b) 0,2
c)
d)
0,3 ∈ z
−
e) −3 ∈ n
f)
∈q
∈q
π ∈ qæ
3
Place les nombres suivants du plus petit au plus grand.
4
Sur la droite numérique ci-dessous, situe le plus précisément possible les nombres suivants.
0
G-2
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
1
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.1
(
5
Indique par un X l’ensemble auquel appartiennent les nombres suivants.
n
6
)
z
q
qæ
r
Les nombres ci-dessous n’ont pas été placés correctement dans le diagramme. Replace-les
dans l’ensemble auquel ils appartiennent.
r
q
qæ
r
q
qæ
z
n
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
z
n
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-3
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.2
Activités supplémentaires
1.2 La relation de Pythagore
1
2
Trouve la mesure de l’hypoténuse des triangles rectangles suivants.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Parmi les triplets de nombres suivants, lesquels sont des triplets pythagoriciens ?
a) (9, 12, 15)
G-4
b) (8, 10, 12)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
c) (10, 24, 26)
d) (7, 8, 9)
e) (7, 24, 35)
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.2
(
3
4
)
Trouve la mesure manquante dans les triangles rectangles suivants. Arrondis tes réponses
au dixième près.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Quel est le périmètre du triangle rectangle RST inscrit dans un cercle
de 5 cm de rayon ? Au besoin, arrondis au dixième près.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-5
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.2
(
5
)
À la suite d’un accident, un lampadaire a été brisé.
Quelle était sa longueur totale avant qu’il soit cassé ?
Réponse :
6
Trouve la longueur des diagonales d’un rectangle dont les dimensions sont de 18 cm sur 22 cm.
Arrondis ta réponse à l’unité près.
Réponse :
7
En sachant qu’ABC est un triangle rectangle en A, que m
calcule m
.
= 12 cm et que m
= 20 cm,
Réponse :
G-6
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.3
Activités supplémentaires
1.3 La notation exponentielle
1
Exprime chaque résultat par une base affectée d’un seul exposant.
a) 5−2 × 57 :
b) 39 ÷ 33 :
c) 2−2 ÷ 2−12 :
d) 75 × 711 :
e) (113)7 :
f) (4−5)2 :
g)
2
134
:
13−4
(2)
h) 1
−5
( 2)
× 1 8:
Vrai ou faux ? Si l’énoncé est faux, corrige-le.
a) (−2)2 = −22 :
b)
( )
32 = 1 :
23
c) (55)2 = 525 :
d) 73 + 75 = 78 :
3
e) 83 = 43 :
2
f) 127 × 122 = 1214 :
g) (−110)14 = (−1)24 :
()
h) 7
8
−3
()
3
= 8
7 :
i) (72)5 = 77 :
j) 95 − 92 = 93 :
3
Trouve la valeur des expressions suivantes. Conserve les fractions dans tes réponses.
b) (−4)3 =
a) 23 =
c)
e)
=
=
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d)
=
f)
=
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.3
(
4
)
Détermine si les expressions suivantes sont équivalentes. Justie chacune de tes réponses.
a) (2 + 3)2 et 22 + 32
b) (5 − 9)3 et 53 − 93
1
1
c) 32 • 3 2 et 32 • 2
3
d)
e)
f)
1
1
g) (16 2 )3 et (163) 2
h)
i) 105 ÷ 53 et 22
5
Réduis les expressions suivantes à l’aide des lois des exposants. Trouve ensuite le résultat.
1
3
b) 52 • 72 =
a) 2 2 • 2 2 =
5
6
G-8
1
c) 3 3 ÷ 3 3 =
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Place les expressions suivantes de la plus petite à la plus grande.
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.3
(
7
)
Parmi les expressions suivantes, laquelle n’est pas équivalente aux autres ? Justie chacune
de tes réponses.
a)
b)
8
Noémie veut peindre un cube décoratif d’un volume de 64 cm3. Un tube de peinture couvre
20 cm2. De combien de tubes aura-t-elle besoin pour peindre toutes les faces du cube ?
Réponse :
9
Le sac à dos d’un joueur de hockey célèbre est mis à prix sur un site Internet de vente aux
enchères. Son prix de vente est maintenant égal au cube de sa valeur de la semaine dernière.
a) Si le sac à dos coûtait 8 $ la semaine dernière, quel est son prix aujourd’hui ?
Réponse :
b) Si le sac à dos coûte aujourd’hui 3 375 $, quel était son prix la semaine dernière ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-9
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.4
Activités supplémentaires
1.4 La notation scientique et le système international d’unités
1
Exprime les nombres suivants à l’aide de la notation décimale.
a) 1,3 × 106 :
b) 9,125 × 1012 :
c) 6,9 × 10−3 :
d) 2 × 102 :
e) 5,775 7 × 10−10 :
2
Exprime les nombres suivants à l’aide de la notation scientique. Conserve, dans la mantisse,
le nombre de chiffres signicatifs exprimé entre parenthèses.
a) 43 155 029 (2) :
b) 9 milliards (1) :
c) 399 millionièmes (1) :
d) 0,000 000 000 019 (2) :
e) 27 (1) :
3
Place les nombres suivants en ordre croissant.
2,9 × 10−3
4
−1,3 × 102
9,07 × 105
6,75 × 105
−4,5 × 10−3
9,99 × 10−21
Exprime les nombres suivants en notation scientique.
a) 123,567 89 :
b) 0,000 000 000 345 :
c) 34 627 319,214 5 :
d) 0,13 % :
e) 1 350 % :
f) 27 % :
5
Écris chacune des mesures suivantes en centimètres à l’aide de la notation scientique.
a) 3 245 m :
b) 45 000 000 µm :
c) 0,000 018 km :
d) 1 200 hm :
e) 1,56 × 10−8 m :
G-10
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.4
(
6
)
Explique pourquoi chacune des expressions suivantes n’est pas exprimée en notation scientique.
Écris-les ensuite correctement en notation scientique.
a) 0,1 × 10−5 :
b) 12,42 × 1012 :
c) 9,75 × 1002 :
d) 0,000 023 × 106 :
e) 4,9 × 10 × 103 :
f) 8 594 × 10−9 :
7
À l’aide d’une puissance de 10, exprime l’ordre de grandeur des quantités suivantes.
a) Le nombre de mètres dans un millimètre :
b) La population du Canada :
c) Le nombre d’élèves dans ton école :
d) Le nombre de cheveux sur ta tête :
8
Effectue les opérations suivantes et exprime le résultat à l’aide de la notation scientique.
a) 3,2 × 106 × 2 × 104 :
b) 5,7 × 10−7 × 1,1 × 102 :
c) 9,6 × 103 × 3,1 × 10−5 :
12
d) 1,8 × 104 × 10−4 :
e) 4 × 105 × 8,2 × 103 • 1,75 × 107 :
f) 2,43 × 10−9 × (102)7 :
g) (1,84 × 105) ÷ 2 :
h) 2,5 × 1012 + 3 × 1011 :
i) 7 × 10−2 − 3 × 10−4 :
j) 9,85 × 105 + 5 × 104 + 4 × 101 :
9
Utilise la notation scientique pour estimer les résultats suivants.
a) 6 397 217 × 62 943 602 :
b) 0,000 823 × 2,000 001 :
c) 8 434 684 926 ÷ 24 000 456 :
d) 0,046 7 ÷ 946 732 916 :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-11
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-1.4
(
)
10 Une enseignante organise un jeu de mémoire en classe. Les élèves doivent observer 4 nombres
pendant 10 secondes. Ensuite, ils doivent écrire de mémoire les 4 nombres en notation scientique
avec 2 chiffres signicatifs. Décris la démarche que tu utiliserais pour mémoriser les nombres suivants.
1 249 837 583
3 430 982 972
5 610 982 988
7 810 928 310
11 Selon le système international d’unités, les préxes giga, micro et nano correspondent
respectivement à 109, 10−6 et 10−9.
a) Combien de fois un gigamètre est-il plus grand qu’un micromètre ?
b) Combien de fois un gigamètre est-il plus grand qu’un nanomètre ?
c) Combien de fois un nanomètre est-il plus petit qu’un micromètre ?
12 Andromède est l’une des rares galaxies visibles à l’œil nu. Elle se trouve à 2,2 × 1016 km de la
Terre. La lumière voyage dans l’espace à environ 3 × 105 km/s. Combien d’années non bissextiles
faut-il à la lumière de cette galaxie pour atteindre la Terre ?
Réponse :
13 Une molécule d’eau a une masse d’environ 3 × 10-26 kg. Le lac Supérieur contient environ
1,2 × 1016 kg d’eau. Combien de molécules d’eau y a-t-il dans ce lac ?
Réponse :
G-12
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-1
Activités d’enrichissement
Chapitre 1
1
Trouve un nombre irrationnel dont la valeur se situe entre :
a) 2 et 3
b) −2 et −1
c) 8 et 15
d)
et
e) π et
2
Marco afrme que le périmètre d’un carré dont l’aire est de 2 cm2 est de 4
cm. Vicky dit que
ce périmètre est de 5,64 cm. Qui donne la valeur exacte du périmètre ? Explique ta réponse.
3
Un terrain de baseball est de forme carrée. La distance
entre le premier but et le deuxième but est de 25 m.
Quelle est la distance qui sépare le deuxième but du marbre ?
Arrondis ta réponse au dixième près.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-13
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-1
(
4
)
Voici une tuile de céramique de la salle de bain de Paula. En sachant que
le triangle est isocèle et que la mesure des côtés de la tuile est de 20 cm,
détermine le périmètre de la région grise. Arrondis ta réponse au centième près.
Réponse :
5
Trouve la valeur de x.
Réponse :
6
G-14
À l’aide des lois des exposants, prouve que
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-1
(
7
Détermine la mesure de l’arête d’un cube dont le volume est de :
7
a) 42 mm3
8
8
)
b)
1
dm3
8
c) 64 m3
d) 1 000 cm3
Une feuille de papier mesure 8 12 pouces sur 11 pouces et a une épaisseur de 1 × 10 4 m.
−
Si un proton mesure 1 × 10 15 m et qu’un pouce équivaut à 2,54 × 10 2 m, calcule les dimensions
(longueur, largeur et épaisseur) de la feuille de papier en protons.
−
−
Réponse :
9
On estime qu’un clin d’œil dure environ 10 5 jour.
−
a) À combien de secondes cela correspond-il ?
b) Quelle est la durée d’une journée d’école de 6 heures en clins d’œil ?
c) Quel est ton âge en clins d’œil ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-15
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-1
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 1 : Les nombres réels
Questions à choix multiples
1
2
Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ?
a)
b)
c)
d) (71 ÷ 72)
Voici trois afrmations.
x est inférieur à la mesure de
l’hypoténuse d’un triangle rectangle
ayant des cathètes de 3 cm et 4 cm.
Quel est le nombre x qui vérie chacune de ces afrmations ?
3
4
G-16
a)
b) x = 3,5
c) x = 2π
d)
Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
a) 2,4 × 10-7 = 0,000 000 024
b) 345 × 10-2 = 3,45 × 102
c) 100 × 3,44 × 10-5 = 0,000 344
d) 3,88 × 106 ÷ 1 000 = 3,88 × 103
Quelle est la mesure de la grande diagonale d’un losange de 35,6 m de périmètre dont la petite
diagonale mesure 4,4 m ?
a) 8,63 m
b) 17,25 m
c) 9,17 m
d) 18,34 m
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-1
(
)
Questions à réponses courtes
5
Situe les nombres suivants dans le diagramme ci-dessous.
2
7,99
π
−98
−203 891
539
−0,333…
0,5
−5
45
1 245
0,000 2
1 000 000
−199
r
q
qæ
z
n
6
Nomme tous les ensembles de nombres auxquels appartient le résultat de chacune des opérations
ci-dessous. Choisis parmi les ensembles n, z, q, q’ et r.
a) 5 × 10
c)
−3
256
e) 2π
7
b) − 56
7
d) 2,35 × 0,3
f)
2× 3
Exprime les mesures suivantes en notation scientique.
a) 5 400 m =
b) 0,000 027 s =
c) 1 260 090 000 kg =
d) 0,035 m =
e) 0,000 000 000 5 g =
f) 2,35 $ =
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-17
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-1
(
8
Trouve la mesure manquante dans les triangles rectangles suivants. Arrondis tes réponses
au centième près.
a)
b)
x≈
9
)
c)
y≈
z≈
Exprime chacune des expressions ci-dessous sous la forme d’une base affectée d’un exposant positif.
a) 27 × 93 × 3
−10
=
b) 125
−2 =
25
10100
c) 10 000 ×
=
−4
10
−
−
d) (82)6 × (16 3 × 2 5)2 =
G-18
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-1
(
)
Questions à développement
10 La vitesse moyenne d’un avion est d’environ 1,2 × 106 m/h. Combien de kilomètres cet avion
pourrait-il parcourir en 7 heures 45 minutes ?
Réponse :
11 Le tableau suivant présente les mesures des 10 plus longs euves du monde. Place ces données
par ordre décroissant et exprime les longueurs de façon à pouvoir les comparer.
Fleuves
Longueur
15
Amazone
7 × 10 nm
Amour
(24 × 3 × 7 × 13) km
Congo
4,371 × 10−3 Gm
Huang He
14
Mm
3
Ienisseï - Angara - Selenga
5,55 × 103 km
Léna
18 147 6002 km
Mississippi
6 270 000 m
Nil
(3 × 1011)3 km
Ob’-Irtych
(2 × 33 × 102) km
Yangtsé
63 800 hm
1
1
Fleuves
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Longueur
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
G-19
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-1
(
)
12 Tous les matins, Érica se rend à l’école à pied.
À la n de la journée, elle s’arrête habituellement
chez sa grand-mère pour prendre une collation.
Les trajets qu’elle parcourt sont illustrés sur la
gure ci-contre.
Quelle est la différence entre les distances
parcourues à l’aller et au retour ?
Réponse :
13 Yves souhaite installer une échelle de 12 m pour accéder au toit de son hangar. Pour qu’une échelle
soit installée de façon sécuritaire, le pied de l’échelle doit être placé à une certaine distance du mur.
Cette distance doit être comprise entre le quart et le cinquième de la mesure de l’échelle.
Est-il possible de respecter cette norme de sécurité si le hangar fait 11,8 m de hauteur ?
Réponse :
G-20
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 1
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SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-2.1
L’addition et la soustraction d’expressions
algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-22
Fiche AS-2.2 La multiplication de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-24
Fiche AS-2.3 La division d’expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-29
Activités d’enrichissement
Fiche AE-2
Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-33
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-2
Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-36
CHAPITRE
Le calcul algébrique
2
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.1
Activités supplémentaires
2.1 L’addition et la soustraction d’expressions algébriques
1
Réduis les expressions algébriques suivantes.
a) 2a + 3b − 6a − 6 + 9b
b) 5x − 6x2 − 9 + 7x2 − 5x
c)
−
4cd + 3d − 8c + 5cd − 2c + 4
d) 7,1x − 4,3xy + 7x − 0,3xy − 1
2
3
Effectue les opérations suivantes.
a) x + 2 − 2x − 6
b) (vw − 7) − 4v + 3 − (5vw + 5v)
c)
d) 4ab − 5b + 7 − ab − 7
e) m − np + 5np − 3 − (6m + 2)
f)
Retranche (3xy − 2x − 5) de chacun des polynômes suivants.
a) 5xy + 6x2 + 9
b) x2 + 7x − 1
c) − 8xy − 9x −
G-22
3
4
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.1
(
4
5
)
Effectue les opérations suivantes.
a) 5a2 + 6a2 − 7a2 − 3 − a2
b) f 2 − 5p3 − 3f 2 + 7p3
c) (13a − 8b + 11c) + (7b − 4c) − (8a − 5c)
d) x + y + z − 2x + 3y + z
e) (4xy − 2mr) − (−7xy + 9mr)
f) (c − 4d − 3e) − (5c + 4d + 7e)
g) 5,2b + 4b2 − (9b + 3,7b2 + 6,9)
2
2
h) a − 2 + a − a − a + 5
(2
5
(3
) (3
2
) (3
4
2
6
)
)
Effectue les opérations suivantes, en sachant que :
w = 3a2 − 7a
x = 2a2 − 4
y = 4a2 − 5a + 1
a) x + z
b) y − w + x
c) y − x + w
d) (w − x) − (y − z)
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Sommets • 3e secondaire
z = −6a − 2
Chapitre 2
G-23
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.2
Activités supplémentaires
2.2 La multiplication de polynômes
1
Réduis les expressions suivantes.
b) −2m2p(7nmp3)
a) 4x(3xy)
2x
−
d) (6z) 3xz
e) 3 (3xy)
7
2
f)
2ab a
3 4
Effectue les multiplications suivantes.
a) (4x)(3x2(−x3))
c)
3
c) (2ab)(3a2c)
−
b)
2x 6x2 −
( x)
3 4
−
d) 5mn (−3m2n)(6mn3)
6ab(−2a2)(−3b3)
3
Trouve l’aire des polygones suivants.
a)
b)
6x + 2
3x − 1
10x + 5
3x + 2
G-24
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.2
(
4
5
)
Développe et réduis les produits suivants.
a) (a + 1)(a − 1)
b) (x − 3)(x + 4)
c) (y − 6)(y − 2)
d) (2b + 5)(b + 6)
e) (z + 7)(3z − 1)
f) (8p + 9)(p − 7)
Trouve le carré des binômes suivants.
a) (p + 2)2
b) (z − 5)2
c) (b + 4)2
d) (−a − 2)2
e) (y − 8)2
f) (x + 1,5)2
1
g) a − 2
2
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h) (b + 12)2
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-25
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.2
(
6
Parmi les trinômes suivants, lesquels sont le carré d’un binôme ?
a) x2 − 7x + 10
7
8
)
b) x2 − 3x − 18
c) 4x2 + 12x + 9
d) 25x2 − 10x + 1
Développe et réduis les produits suivants.
a) (3x − 1)(2x + 2)
b) (a − 3)(6a + 7)
c) (2b + 7)(3b − c + 9)
d) (a + b)(5a − 3b)
e) (2 − 4a)(9 − 5a)
f) (7y − 8)(y − 1)
g) (8 − s)(5 − t)
h) (6m − 2)(9m − 4n + 3)
Trouve l’aire de la gure suivante.
3y + 3
6y − 1
y+1
8y + 2
G-26
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.2
(
9
)
Effectue les multiplications suivantes.
a) (3ab − 6a)(4ab + 3a)
b) (5xy − 6)(8xy + 9)
c) (2m2 − 4n)(3m − 5n2)
d) (st − 2t)(s2t − 3t)
10 Trouve le polynôme qui permet d’exprimer l’aire de chacune des figures suivantes.
a)
3a + 2
b)
d = 4y
D = 2y + 2
4a + 2
c)
d)
b−1
8x + 3
2b + 1
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-27
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.2
(
)
11 Le dessin suivant illustre le mur de la
chambre que Maryam désire repeindre.
En sachant que la fenêtre mesure 5y + 1
de hauteur et 8y − 3 de largeur, calcule
la surface totale à repeindre. Dans cette
gure, tous les angles qui paraissent
droits le sont.
15y − 3
20y + 5
Réponse :
12 En sachant que la vitre est centrée dans la porte, détermine l’expression algébrique qui représente
l’aire de la porte inoccupée par la vitre. Dans cette gure, tous les angles qui paraissent droits le sont.
2x − 2
7x + 2
x+2
5x − 2
Réponse :
G-28
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.3
Activités supplémentaires
2.3 La division d’expressions algébriques
1
Effectue les divisions des polynômes ci-dessous. Les variables sont non nulles.
a)
20a3
4a
b)
d) 81rst
−
3 2
e) b c
f)
9rs
3bc
3
42x4
7x2
2
z
c) 30y
−
6yz
2
−
4x3y2 z
5x2yz2
−
Détermine les quotients suivants en sachant que les variables sont non nulles.
a) (6x2y − 2xy2) ÷ xy
3
2
b) mn + 3m n − 8mn
c) (3s2t3 − 5s2t2 + 7s3t2) ÷ s2t2
2
d) 5abc − 3a b
mn
ab
Développe et réduis les expressions algébriques suivantes. Dans chaque cas, les dénominateurs
sont non nuls.
2
a) 3a(2a − 3) + 2(a − 4a)
b) 4xy(3x − 5y − 3)
6
4 2
c) −6m n +4 5m n
d)
a
mn
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xy
6s2t3 − 7s2t2 + 4s2t
2s2t
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-29
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.3
(
4
5
6
7
)
Détermine le plus grand facteur commun, s’il y a lieu.
a) 5xy − 3yz
b) wx − 2xy + 3yz
c) 12x3y2 − 8y2z2
d) 24xy + 48x2
e) 7a2 + 14a + 54
f) 8a3b − 4a2b2 + 6ab
Réduis les expressions suivantes en sachant que les variables sont différentes de 0.
a) 2(6a + 12) ÷ 3
b) 5y2(7y2 − 8y) ÷ y3
c) 3x(2x − 6) 4 2x
d) 9b (4b3 − 3b2) 4 b2
3
Trouve le facteur commun aux monômes suivants.
a) 2x et 5x
b) 3y et 6z
c) 2ab et −4a2b
d) −3x2y2 et −9x3y5
e) 3xy, 6x2y et −3xy2
f)
g) 6p2m4, −9pm5 et −3p2m3
h)
2f 2g4, 6f 3g3 et 2f 4g3
−
−
−
8cd2
10c2d
et
5
3
Factorise les expressions suivantes par la mise en évidence simple.
G-30
a) abc + ad
b) x + xy
c) xyz3 + x5z7w
d) t8 − t10
e) 7m4n − 14m2
f)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
−
6a2b2 − 6ab2
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.3
(
8
Trouve l’expression manquante.
a) 6a − 9a2 = (
) (2 − 3a)
b) −4b − 8c = (
) (b + 2c)
c) 2c2d2 + 12cd3 = (
) (c + 6d)
d) 15x2y3 − 5x3y2 = (
) (3y − x)
e) 8y4z2 − 12y3z3 = 4y3z2(
f)
9
)
28m6n6 − 42m7n10 = −14m6n6(
−
)
)
Factorise chacun des polynômes suivants par la mise en évidence simple.
a) 12a − 4
b) 10m2 + 15m
c) 4a2b − 2a + 8a2
d) 9x2y2 + 18x2y
e) −4b3c − 8b2c2 − 16b2c3
f) 9xy2 − 6xy + 12x2y
g) 16x3y − 36x2y + 12xy
h) −6a2c3 + 9a3b2
10 Le périmètre d’un carré est de (32x + 12) cm.
Quelle est l’aire de ce carré ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-31
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-2.3
(
)
11 Factorise les expressions suivantes par la mise en évidence simple.
a) 15y2 + 5y
b) 9v3 − 6v2
c) 24x3 − 18x2 + 2x
d) 6a2b − 2ab2 − 6ab
e) 4m3 + 8m2 − 12m
f) 24x2 + 32x − 4
g) 4st2 − 6s2t + 8s3t2
h) 9a3b2 − 15a2b
i) 3a3b4 − 6a2b5 + 9ab3
j) x2y2 − 9x2y
12 L’aire du triangle ACD est de 16a2 + 24a et la mesure de AB est de 8a. Quelle expression
algébrique représente le périmètre du rectangle ABCD ?
Réponse :
G-32
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-2
Activités d’enrichissement
Chapitre 2
1
2
Factorise les polynômes suivants par la mise en évidence simple.
a) 8x2y − 12x3y + 8x2y2
b) 6x − 12x2y
c) 21x2y3 + 14x3y − 7x2y
d) −15x3y2 − 35xy4
e) 42p3q3 − 21p3q
f) 12pqr2 − 24pqs2
g) 10p3q2r + 18p2r4s
h) 12r2s4 + 21r3s3t
Réduis les expressions algébriques suivantes. Décompose-les ensuite en facteurs.
a) 3z2(6z + 8) + 8(z2 + 4z)
b) 5x(2y + 4z) − 3x(8y + 10z)
c) 4m2n(m + 2n) + 6mn2(5m + n)
d) p(p + 1) − 2p(p + 2)
e) a(2b − 4) + 3(ab − 2a)
f) 3y(y + 1) − 5(2y2 + 2y)
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-33
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-2
(
3
)
Une éducatrice en garderie a un budget de 400 $ pour acheter x matelas à 25 $ chacun et 5 draps
à 7,95 $ chacun.
Combien d’argent lui restera-t-il après ses achats ? Donne ta réponse sous forme de polynôme réduit.
Réponse :
4
Trouve l’expression algébrique qui représente l’aire de la section ombrée de ce rectangle.
Dans cette figure, tous les angles qui paraissent droits le sont.
Réponse :
5
L’aire d’un rectangle est de (24x2 + 36x) cm2 et sa base, de (4x) cm. Quelle est l’aire d’un carré
dont le côté a la même mesure que la hauteur du rectangle ?
Réponse :
G-34
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-2
(
6
)
La largeur de la bordure en ciment de la piscine de Nicolas mesure x. Exprime par un polynôme
l’aire de la bordure. Dans cette gure, tous les angles qui paraissent droits le sont.
4x + 3
6x + 4
Réponse :
7
L’aire d’un rectangle est de (4x² + 30x). Si sa hauteur mesure 2x, quel est son périmètre ?
Réponse :
8
Combien de carrés de (3x) cm de côté peut-on tracer sur une surface carrée dont le périmètre
mesure (108x) cm ? Les carrés ne doivent pas être superposés.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-35
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-2
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 2 : Le calcul algébrique
Questions à choix multiples
1
Quel est le résultat de l’opération suivante ?
(20x2 − 12y2) − (8x2 − 3y2)
a) 20x2 − 15y2
2
c) 12x2 − 9y2
d) 28x2 − 9y2
c) 3x + 6
d) − x − 6 +
Simplie l’expression algébrique suivante, si x ≠ 0.
a) x − 6
3
b) 28x2 − 15y2
b) − x − 6
Quel est le plus grand facteur commun des termes de l’expression algébrique suivante ?
12x3y − 4x2y2 + 2xy
a) x2y2
4
d) 2x2y
c) 2xy
L’aire du triangle ci-contre est de (4x2 − 6x) cm2.
Quelle est la mesure de sa base ?
a) 4x − 6
5
b) xy
b) x2 − 6
c) 8x − 12
d) x2 − 3
2x
Un rectangle a une aire de (12x2 − 8x) cm2.
Parmi les expressions algébriques suivantes, lesquelles pourraient correspondre à la base
et à la hauteur du rectangle ?
a) 2 et (6x2 + 4x)
6
b) 4x et (3x + 2)
c) 4x et (3x − 4)
d) 4x et (3x − 2)
Quelle expression algébrique représente l’aire totale d’un cube
dont chaque côté mesure 1,5x ?
a) 9x2
G-36
b) 2,25x2
Sommets • 3e secondaire
c) 13,5x2
Chapitre 2
d) 81x2
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-2
(
)
Questions à réponses courtes
7
8
Réduis les polynômes suivants.
a) 2y(4y − 1) − 3y(5y + 2)
b) (5x − 4)(2x − 2y +1)
c) (7a − 2)(8a + 3)
d) 6mn(3m2 − 9n + 3)
Effectue les opérations demandées sur les polynômes suivants.
P = 36x2 + 15x + 30
a) P + Q − R
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Q = 4x2 − 6x
R = 3x − 2
b) (P − Q) − (R − Q)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-37
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-2
(
9
)
Effectue les divisions suivantes. Les diviseurs sont non nuls.
a) (12x4 − 8x3 + 4x2 − 20x) ÷ 4x
2
2
b) 36y z − 6yz
c) (6rs2 + 8r2s) ÷ 2rs
d)
6yz
27x2yz − 18x2z + 9z
−
9z
10 Factorise les expressions suivantes par la mise en évidence simple.
b) 9a3b3c2 − 12a3b2c2
a) 6x3y2 − 10x2y3
c)
G-38
−
d) 4s3t4u − 7st6
10m5n − 30m3n4
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-2
(
)
Questions à développement
11 Réponds aux questions suivantes.
a) L’âge actuel de Nadia est désigné par n. Exprime par un polynôme réduit la somme du double
de l’âge qu’aura Nadia dans trois ans et le double de l’âge qu’avait Nadia il y a quatre ans.
Réponse :
b) Gino achète 14 chemises, 6 pantalons et 3 vestons. Le prix d’un pantalon est le double de
celui d’une chemise, tandis qu’un veston coûte 75 $ de plus qu’un pantalon. Exprime par un
polynôme réduit le montant total de la facture, en ajoutant des taxes de 12 %. Le prix d’une
chemise est désigné par c.
Réponse :
12 Calcule l’aire de la région grise du carré ABCD.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
G-39
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-2
(
)
13 Sachant que les régions blanches aux deux
coins de ce rectangle sont des carrés, montre
que l’aire de la région noire est 16x(x + 3).
G-40
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 2
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SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-3.1
Les relations, les fonctions et leurs réciproques. . . . . . . . . . . . . . . . G-42
Fiche AS-3.2
Les fonctions associées aux situations de proportionnalité
(variation directe ou inverse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-45
Fiche AS-3.3
Les propriétés des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-48
Fiche AS-3.4
Les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1
(fonctions afnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-50
Fiche AS-3.5
La modélisation d’une situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-55
Activités d’enrichissement
Fiche AE-3
Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-59
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-3
Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-63
CHAPITRE
Les relations
et les fonctions
3
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.1
Activités supplémentaires
3.1 Les relations, les fonctions et leurs réciproques
1
Détermine la variable dépendante et la variable indépendante de chacune des situations suivantes.
a) Lorsque le vent soufe fort, le moulin tourne à une vitesse folle !
Variable dépendante :
Variable indépendante :
b) Il y a davantage de billets vendus pour un spectacle lorsqu’on fait paraître une publicité
d’un plus grand format dans le journal.
Variable dépendante :
Variable indépendante :
c) Si on augmente le prix du café, on en vend moins.
Variable dépendante :
Variable indépendante :
2
Un comité de quartier fait une collecte de vêtements. Les membres décident de remplir des boîtes
avec 20 vêtements au maximum.
a) Quelles sont les variables indépendante et dépendante de cette situation ?
b) Dresse une table de valeurs qui représente cette relation.
c) Combien de vêtements ont-ils recueillis s’ils ont pu remplir 34 boîtes ?
d) Combien de vêtements ont-ils recueillis s’ils ont pu remplir 129 boîtes ?
e) Combien de boîtes ont-ils utilisées s’ils ont recueilli 3 675 vêtements ?
f) Combien de boîtes ont-ils utilisées s’ils ont recueilli 4 032 vêtements ?
G-42
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.1
(
3
)
Indique si les graphiques suivants correspondent à des fonctions.
a)
b)
Réponse :
d)
c)
Réponse :
e)
Réponse :
g)
f)
Réponse :
h)
Réponse :
j)
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Réponse :
i)
Réponse :
k)
Réponse :
Réponse :
Réponse :
l)
Réponse :
Réponse :
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-43
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.1
(
)
4 Le graphique ci-contre montre la vitesse d’une voiture
pendant un trajet.
a) Quelle est la vitesse maximale atteinte par la voiture ?
b) Est-ce que cette relation est une fonction ? Justie ta réponse.
c) Quelle est la durée totale du trajet ?
d) Est-ce que la réciproque est une fonction ?
e) Pendant combien de temps la voiture a-t-elle roulé le plus longtemps à une vitesse constante ?
f) Trouve les valeurs suivantes.
• f (3) =
• f (6) =
• f (9) =
5 Les réciproques des relations suivantes sont-elles des fonctions ?
a)
b)
Réponse :
d)
e)
c)
Réponse :
Réponse :
Variable indépendante
2
3
4
5
6
7
8
Variable dépendante
3
4
5
7
9
13
18
Semaine
1
2
3
4
5
6
7
10
10
10
10
10
10
10
Argent de poche reçu ($)
Réponse :
Réponse :
f) La hauteur en fonction de la distance effectuée lors d’un trajet en montagnes russes.
Réponse :
G-44
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.2
Activités supplémentaires
3.2 Les fonctions associées aux situations de proportionnalité
(variation directe ou inverse)
1
2
Trouve le taux de variation associé aux graphiques suivants.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Jacques organise un spectacle pour son groupe de musique. La location de la salle et l’embauche
du technicien coûtent 400 $. Son but n’étant pas de faire un prot, il souhaite xer le prix d’entrée
en fonction du nombre de billets qu’il pense vendre.
Trouve l’équation de la fonction associée à cette situation. Détermine ensuite le prix minimal
d’un billet si la salle comporte 115 places.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-45
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.2
(
3
Les tables de valeurs suivantes sont associées à des fonctions linéaires. Trouve la règle
de chaque fonction.
a)
b)
c)
d)
e)
4
)
x
−4
−2
0
2
y
−4
−2
0
2
x
1
2
3
4
y
2
4
6
8
x
2
3
4
5
y
−6
−9
−12
−15
x
1
3
5
7
y
0,5
1,5
2,5
3,5
x
2
8
12
20
y
−2
−8
−12
−20
Règle :
Règle :
Règle :
Règle :
Règle :
Trace le graphique et donne la règle de la fonction de variation inverse associée à chacune
des tables de valeurs suivantes.
a)
b)
G-46
x
1
2
4
5
7
y
700
350
175
140
100
x
1
2
4
7
8
y
56
28
14
8
7
Sommets • 3e secondaire
Règle :
Règle :
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.2
(
5
)
La quantité d’énergie dépensée au saut à la corde varie de façon directement proportionnelle
à la durée de l’exercice. Daniel a dépensé 200 kilojoules (kJ) d’énergie en sautant à la corde
pendant 5 minutes.
a) Trouve l’équation de la quantité d’énergie dépensée en sautant à la corde.
b) Combien de kilojoules Daniel dépense-t-il s’il saute à la corde pendant 3,5 minutes ?
c) Pendant combien de temps doit-il sauter à la corde pour dépenser 320 kJ d’énergie ?
6
Le poids d’un objet est la force qu’exerce la gravité sur cet objet. On l’exprime en newtons (N). La table
de valeurs suivante indique le poids de quelques objets de masse connue à la surface de la Terre.
Masse (kg)
Poids (N)
5
10
15
20
25
49
98
147
196
245
a) Quelle est l’équation qui représente cette situation ?
b) Quel est le poids d’un objet dont la masse est de 75 kg à la surface de la Terre ?
c) Quelle est la masse d’un objet dont le poids est de 539 N à la surface de la Terre ?
7
Dominique invite ses amis à célébrer son anniversaire. Un immense gâteau sera partagé entre tous
les invités présents à la fête. Vu du dessus, le gâteau présente une surface de 900 cm2.
a) Donne l’équation permettant de trouver la surface supérieure de la part de chaque invité.
b) Si un invité a reçu une part de gâteau ayant 50 cm2 de surface, combien de personnes
se trouvent à la fête ?
c) S’il y a 12 personnes, quelle sera la surface de la part de gâteau que recevra chaque invité ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-47
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.3
Activités supplémentaires
3.3 Les propriétés des fonctions
1
Un avion effectue un vol Montréal-Rome. La distance totale à parcourir est de 6 600 km. Chaque
heure, l’avion parcourt en moyenne 825 km. Le nombre de kilomètres à parcourir avant d’arriver
à destination varie selon le temps écoulé depuis le départ de Montréal.
a) Les variables de cette fonction sont-elles discrètes ou continues ?
b) Quels sont le domaine et l’image de cette fonction ?
c) Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ? Justie ta réponse.
d) Quels sont le maximum et le minimum de cette fonction ?
2
Trace le graphique d’une fonction à partir
des informations suivantes :
• le domaine est compris entre −10 et 20 ;
• l’image est comprise entre −8 et 10 ;
• le maximum est 10 ;
• la fonction est parfois croissante,
parfois décroissante ;
• l’ordonnée à l’origine est de 3 ;
•
G-48
−8
et 18 sont les abscisses à l’origine.
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.3
(
3
)
Décris chacun des graphiques ci-dessous.
a)
Domaine :
Image :
Maximum :
Minimum :
Ordonnée à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Intervalle de croissance ou de décroissance,
s’il y a lieu :
f (2) :
b)
Domaine :
Image :
Maximum :
Minimum :
Ordonnée à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Intervalle de croissance ou de décroissance,
s’il y a lieu :
f (2) :
4
La table de valeurs suivante indique le volume de la glace qui se forme lorsqu’un volume d’eau
donné gèle.
Volume d’eau (cm3)
100
200
300
400
500
Volume de glace (cm3)
109
218
327
436
545
Complète les énoncés suivants.
a) L’image de 400 cm3 est
c) f (
) = 218
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.
b) f (300) =
d) L’image de
Sommets • 3e secondaire
est 763 cm3.
Chapitre 3
G-49
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.4
Activités supplémentaires
3.4 Les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1 (fonctions afnes)
1
a) Parmi les règles suivantes, lesquelles représentent des fonctions afnes ?
b) Pour chacune des fonctions afnes que tu as trouvées en a), détermine le taux de variation
et l’ordonnée à l’origine.
2
3
Écris la règle d’une fonction afne passant par les points suivants.
a) (1, 3) et (3, 5)
b) (2, 3) et (−1, 6)
c) (2, 1) et (6, 4)
d) (−1, 2) et (3, 4)
Une droite passe par le point (1, −3). Trouve la règle de cette droite si son taux de variation est :
a) 0
b) 4
c)
d) −8
G-50
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.4
(
4
)
Détermine le taux de variation et l’ordonnée à l’origine de chaque fonction représentée
par les règles suivantes.
Règle
Taux de variation
Ordonnée à l’origine
a) y = 3x + 1
x
b) y = 2 − 2
c) y = −4x + 3
d) x + y = 5
e) x + y − 7 = 0
f) y + 4 = 5x
g) y − 2x = 0
h) 2y + 6 = 0
i) 5x + 2y = 10
j) 1,2x − 0,3y = 0,12
5
À partir d’un point et du taux de variation, écris la règle d’une fonction afne.
a) (2, 3) et a = 2
b) (4, −1) et a = 0
c) (−1, 1) et a = 3
d) (0, 4) et a = −2
e) (−3, −2) et a =
f) (−3, 4) et a =
g) (0, −7) et a = −5
h) (0, 0) et a = −0,5
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-51
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.4
(
6
)
Trace le graphique et complète la description des fonctions suivantes.
a)
f (x) = 2x + 5
Domaine :
Image :
Ordonnée à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Taux de variation :
Image de −3 :
b)
h (x) = − 3x
+3
4
Domaine :
Image :
Ordonnée à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Taux de variation :
Image de −3 :
7
Soit les cinq fonctions représentées
dans le plan cartésien ci-contre. Associe
la règle appropriée à chacune de ces
fonctions.
f (x) = 2x − 3
g (x) = 3
x
h (x) = 2x
i (x) = −2x + 7
j (x) = −3
k (x) = −2x
l (x) = − x + 7
2
G-52
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.4
(
8
)
Quelle règle traduit chacune des situations suivantes ? Si nécessaire, arrondis au centième près.
a) À la naissance, une baleine bleue mesure environ 7 mètres de long. Après 7 mois, elle mesure
environ 15 mètres.
b) Un enfant de 5 ans dort en moyenne 11 heures par nuit, tandis qu’un adulte de 25 ans dort
approximativement 8 heures par nuit.
c) En 1971, il y avait 323 000 étudiants inscrits à temps plein dans les universités du Canada.
En 1997, il y en avait 544 000.
d) En 1970, 12,1 % des ménages canadiens possédaient un téléviseur couleur. En 1997,
ce pourcentage était de 98,7 %.
9 La température initiale de l’eau est de 10 °C. Elle augmente de 2 °C à chaque minute jusqu’au
point d’ébullition.
a) Quelles sont les variables dépendante et indépendante ?
b) Quel est le taux de variation ?
c) Quelle est l’ordonnée à l’origine ?
d) Y a-t-il une abscisse à l’origine ? Pourquoi ?
e) Trouve la règle de cette fonction.
f) Après combien de temps atteint-on le point d’ébullition ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-53
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.4
(
)
10 Tina répare des ordinateurs. Elle demande 45 $ pour ses frais de déplacement et 55 $ pour chaque
heure de travail.
a) Complète la table de valeurs des tarifs de Tina et trace le graphique de la fonction.
Nombre d’heures
0
1
2
3
4
5
Tarif ($)
b) La droite passe-t-elle par l’origine ? Justie ta réponse.
11 Un groupe de 25 élèves visite une galerie d’art. Les frais d’admission s’élèvent à 55 $. Le coût
du transport par autobus s’élève à 300 $, quel que soit le nombre d’élèves présents.
a) Écris la règle de cette situation.
b) Quel est le coût total pour la visite de 25 élèves ?
c) Combien coûterait une visite de 15 élèves à la galerie d’art ?
d) Quelle est la différence entre le coût du voyage si 15 élèves y participent et le coût du voyage
si 25 élèves y participent ?
e) Explique pourquoi il y a une différence en d).
G-54
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.5
Activités supplémentaires
3.5 La modélisation d’une situation
Pour toutes les modélisations, les réponses sont approximatives.
1
Voici deux tables de valeurs.
1)
x
2
5
6
9
11
15
y
44
19
15
11
8
6
2)
x
2
5
8
12
20
52
y
14
31
47
63
105 253
a) Construis le nuage de points de chacune des tables de valeurs.
b) Sur les graphiques construits en a), trace la courbe la mieux ajustée au nuage de points, puis
identie le type de fonction.
1)
Type de fonction :
2)
Type de fonction :
c) Pour chaque nuage de points, estime la valeur de y pour x = 7. Dans chaque cas, détermine
s’il s’agit d’une interpolation ou d’une extrapolation.
1)
2)
d) Pour chaque nuage de points, estime la valeur de y pour x = 30. Dans chaque cas, détermine
s’il s’agit d’une interpolation ou d’une extrapolation.
1)
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2)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-55
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.5
(
2
)
Marc travaille dans un cinéma durant l’été. Il remarque que le nombre de personnes qui assistent
à la projection d’un lm varie en fonction de la température extérieure.
Température (°C)
Nombre de personnes
16
18
21
22
24
27
455
400
345
330
305
265
a) Identie les variables dépendante et indépendante.
b) Construis le nuage de
points qui correspond à la
situation, puis trace la courbe
la mieux ajustée au nuage.
Détermine ensuite le modèle
mathématique qu’elle traduit.
Modèle mathématique :
c) Estime le nombre de
personnes qui assisteront
à une projection de lm
s’il fait 32 °C.
3
Est-il possible d’effectuer une interpolation ou une
extrapolation à partir du nuage de points suivant ?
Justie ta réponse.
G-56
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.5
(
4
)
Le graphique suivant indique le prix de vente de certains livres, au dollar près, au Canada et
aux États-Unis.
a) Trace la courbe la mieux ajustée à ce nuage de points.
b) Un livre coûte 12 $CA. Estime son prix en dollars américains à partir du nuage de points.
c) Un livre coûte 15 $US. Estime son prix en dollars canadiens à partir du nuage de points.
5
Le nuage de points suivant représente la variation de la température moyenne des océans
en fonction de la latitude dans l’hémisphère Sud.
a) Décris la relation entre la température moyenne
de l’océan et la latitude dans l’hémisphère Sud.
b) Estime la température moyenne de l’océan
à une latitude de :
1)
35° Sud :
2)
22° Sud :
c) À combien estime-t-on la température moyenne
de l’océan à une latitude de 60° Sud ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-57
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-3.5
(
6
)
La table de valeurs suivante indique le nombre de pays représentés aux Jeux olympiques d’été
au cours de différentes années.
Année
Nombre de pays
1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972
29
44
46
37
49
59
69
67
83
93
112
122
a) Représente par un nuage de points
le nombre de pays en fonction de
l’année, puis trace la courbe la mieux
ajustée au nuage.
b) À partir de ton nuage de points,
estime le nombre de pays représentés :
7
•
en 1976 :
•
en 1984 :
•
en 1996 :
Le nuage de points suivant représente l’accumulation de neige au sol selon le temps pendant une
tempête de neige à Québec.
a) Estime la quantité de neige au sol après :
• 30 minutes :
• 3 h:
b) Que représente l’ordonnée à l’origine
dans cette situation ?
G-58
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-3
Activités d’enrichissement
Chapitre 3
1
Trace une esquisse graphique représentant la vitesse
d’une marathonienne en fonction du temps.
La marathonienne court d’abord à un bon rythme
puis, après un certain temps, elle réduit légèrement
son allure. Elle maintient ce rythme un bon moment
et diminue progressivement sa vitesse. À la n
de l’épreuve, elle accélère.
2
Pour voir ton reet de la tête aux pieds dans un miroir xé sur un mur plat, tu dois disposer d’un
miroir assez long. Le tableau suivant indique la longueur minimale d’un miroir pour des personnes
de tailles différentes.
Longueur du miroir (cm)
Taille d’une personne (cm)
70
75
80
85
90
140
150
160
170
180
a) Quelle est la variable dépendante et la variable indépendante ?
b) Quels sont le domaine et l’image de cette fonction ?
c) Quelle est l’ordonnée à l’origine ? Si elle existe, explique à quoi elle correspond dans le contexte.
Si elle n’existe pas, explique pourquoi.
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-59
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-3
(
3
)
La Canadienne Catriona Le May Doan a remporté la médaille d’or à l’épreuve du 500 m
en patinage de vitesse longue piste lors des Jeux olympiques d’hiver de 1998 à Nagano,
au Japon. Elle a parcouru les 500 mètres en 38,21 secondes.
Quelle a été la vitesse moyenne de Catriona lorsqu’elle a remporté sa médaille ?
4
Les Canadiennes Marnie McBean et Kathleen Heddle
ont remporté la médaille d’or dans l’épreuve féminine
d’aviron en double des Jeux olympiques d’Atlanta (1996).
Le graphique ci-contre montre leurs temps approximatifs
après 500 mètres et 1 500 mètres lors de la course qui
leur a valu la médaille d’or.
Quelle a été la vitesse moyenne des deux Canadiennes
entre ces deux temps de passage ?
5
Monsieur Gougeon a écrit un premier roman qui sera
publié sous peu. La relation entre x, le prix de vente
unitaire d’un livre, et f (x), le nombre de livres que
sa maison d’édition prévoit vendre, est représentée
par une fonction de variation inverse. Le graphique
ci-contre illustre cette fonction.
a) Quelle équation représente cette situation ?
b) Quel prix de vente unitaire la maison d’édition doit-elle xer si elle veut vendre au moins 500 livres ?
c) Combien de livres devra-t-elle vendre si le prix de vente est de 112 $ ?
G-60
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-3
(
)
6 Pour transporter les élèves d’une école secondaire à un parc d’attraction, la compagnie d’autobus
Beau Voyage demande 250 $ par autobus.
a) Quelle équation permet de calculer le coût du voyage en autobus par élève ?
b) Combien d’argent les organisateurs de l’activité devront-ils demander à chaque élève,
en sachant qu’on peut faire monter un maximum de 46 élèves par autobus ?
c) Combien d’élèves y aura-t-il dans l’autobus si on demande 6,25 $ par élève ?
7
L’avion Strato 2C peut voler pendant 18 heures à une altitude de 24 000 mètres ou pendant 48 heures
à une altitude de 18 000 mètres. Le nombre d’heures de vol de l’avion dépend de son altitude.
a) Représente graphiquement le temps de vol, en heures, en fonction de l’altitude, en milliers de mètres.
b) Écris la règle qui représente cette droite.
c) À partir de ta règle, trouve le temps pendant lequel l’avion peut voler à :
•
20 000 m d’altitude :
•
26 000 m d’altitude :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-61
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-3
(
8
)
La lumière voyage beaucoup plus rapidement que le son ; c’est pourquoi tu vois les éclairs avant
d’entendre le tonnerre. Par exemple, si un orage se trouve à 960 mètres de toi, il s’écoulera
2,8 secondes entre l’éclair et le coup de tonnerre. Si l’orage se trouve à 1 680 mètres de toi,
il s’écoulera alors 4,9 secondes.
a) Détermine le taux de variation, au mètre par seconde près.
b) Que nous indique le taux de variation ?
c) Si l’intervalle est de 3,7 secondes, détermine la distance qui te sépare de l’orage, à la dizaine
de mètres près.
d) Si tu te trouves à 2 500 m de l’orage, quel est l’intervalle, au dixième de seconde près ?
9
Les ingénieurs d’une entreprise qui fabrique des pneus testent la distance de freinage d’un véhicule sur
une route sèche. Cette distance correspond à la longueur entre le début du freinage et l’immobilisation
complète du véhicule. Ils cherchent à établir une relation avec la vitesse au début du freinage.
Vitesse (km/h)
40
60
80
100
120
Distance de freinage (m)
11
24
45
70
96
a) Construis le nuage de points correspondant à la situation, puis trace la courbe la mieux ajustée
au nuage et détermine le modèle mathématique qu’elle traduit.
b) Évalue la distance de
freinage à 135 km/h.
c) Si quelqu’un roule à une
vitesse de 110 km/h avec
ce véhicule et qu’il aperçoit
un obstacle inévitable à
90 m, y aura-t-il une
collision ?
Modèle mathématique :
G-62
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-3
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 3 : Les relations et les fonctions
Questions à choix multiples
1
Parmi les quatre courbes tracées dans le plan cartésien ci-contre,
laquelle est la mieux ajustée au nuage de points ?
a) c1
2
b) c2
d) c4
Observe les graphiques suivants. Dans quel cas la réciproque n’est-elle pas une fonction ?
a)
3
c) c3
b)
c)
d)
Observe le graphique. Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
a) Le domaine est [0, 10].
b) L’image est [−6, 4].
c) f(0) = 10
d) L’ordonnée à l’origine est 10.
4
Parmi les tables de valeurs suivantes, laquelle correspond à une fonction de variation inverse ?
a)
c)
5
x
1
2
3
4
y
10
8
6
4
x
0
3
6
9
y
0
27
216
729
b)
d)
x
0,5
1,5
3
2
y
24
8
4
6
x
10
12
14
16
y
20
15
10
5
Quelle est l’équation de la fonction afne passant par les points (10, 30) et (19, 48) ?
a) f(x) = 0,5x + 25
b) f(x) = 2x + 25
c) f(x) = 0,5x + 10
d) f(x) = 2x + 10
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-63
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-3
(
)
Questions à réponses courtes
6 Réponds aux questions suivantes.
a)
x
0
1
1
3
3
5
y
2
2
3
3
4
4
b) y = 8x, où x représente le nombre
d’heures travaillées et y, le salaire
hebdomadaire total.
• Cette situation est-elle une fonction ?
• Cette situation est-elle une fonction ?
• Est-ce que la relation réciproque
est une fonction ?
• Est-ce que la relation réciproque
est une fonction ?
c) Le coût pour la location d’un autobus
est de 325 $. On s’intéresse à la relation
qui existe entre le nombre de personnes
qui prendront l’autobus et le coût par personne.
d)
• Cette situation est-elle une fonction ?
• Est-ce que la relation réciproque
est une fonction ?
• Cette situation est-elle une fonction ?
• Est-ce que la relation réciproque
est une fonction ?
7
L’évolution de la valeur d’une action cotée en Bourse est représentée dans le plan cartésien suivant.
Détermine le taux de variation entre les points suivants.
a) A et B
b) B et C
c) C et D
G-64
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-3
(
8
Quelle est la règle de la fonction qui modélise chacune des situations suivantes ?
a)
x
1
2
4
9
10
f(x)
72
36
18
8
7,2
c)
9
)
b) Pour louer un canot, on doit payer 25 $
pour la journée, et ce, quel que soit
le nombre d’heures d’utilisation. On
s’intéresse à la relation entre le nombre
d’heures d’utilisation et le coût total de
la location.
d) Une fonction afne qui passe par (7, 20)
et dont l’ordonnée à l’origine est 7.
Dans chacun des plans cartésiens suivants, on a représenté la fonction y = 2x + 3 par la droite y1.
Détermine une règle qu’il est possible d’associer aux droites y2 et y3.
a)
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b)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-65
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-3
(
)
10 La direction d’une salle de cinéma offre une carte d’abonnement donnant droit à un tarif réduit.
L’abonné paie 22 $ pour la carte et seulement 4,50 $ pour chaque représentation. La carte est
valide pour un maximum de 12 représentations.
Léo se procure la carte d’abonnement. On s’intéresse à la relation entre le montant total qu’il
déboursera en fonction du nombre de représentations auxquelles il assistera.
Détermine les propriétés demandées de la fonction qui modélise cette relation et décris-les en contexte.
Propriété
Ensemble ou valeur
Description en contexte
Domaine
Image
Minimum
Maximum
Ordonnée à l’origine
Image de 7
11 On doit déneiger un tronçon d’autoroute. Le temps pour déblayer la route dépend du nombre
de camions employés. La table de valeurs suivante représente cette situation.
Nombre de camions
1
2
3
4
5
Durée (heures)
9
4,5
3
2,25
1,8
b) De quel type de fonction s’agit-il ?
Justie ta réponse.
a) Représente cette situation
dans un plan cartésien.
c) Quelle sera la durée du travail si on emploie
6 camions ?
d) Combien de camions faudra-t-il employer
pour effectuer ce travail en 1 heure ?
G-66
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-3
(
)
12 Le taux du salaire minimum au Québec est xé par le gouvernement. La table de valeurs suivante
présente l’évolution du taux du salaire minimum depuis 1986.
Année
1986
1990
1994
1998
2001
2003
2006
Taux du salaire minimum ($/h)
4,35
5,30
6,00
6,90
7,00
7,30
7,75
a) Représente cette situation dans un plan cartésien.
b) Estime le taux du salaire minimum en vigueur en 1996.
c) À partir de ce modèle, détermine quel devrait être le taux du salaire minimum en 2007
et en 2020.
d) Laquelle des deux prédictions est la plus able ? Justie ta réponse.
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 3
G-67
Le guide se poursuit
à la page suivante.
SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-4.1
Les systèmes d’équations du premier degré
à deux variables : représentation et résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-70
Fiche AS-4.2
La résolution algébrique d’un système d’équations . . . . . . . . . . . . G-74
Fiche AS-4.3
Les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-77
Fiche AS-4.4
La résolution d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-79
Activités d’enrichissement
Fiche AE-4
Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G-82
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-4
Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G-85
CHAPITRE
Les systèmes
d’équations et
les inéquations
4
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.1
Activités supplémentaires
4.1 Les systèmes d’équations du premier degré à deux variables :
représentation et résolution
1
Représente graphiquement chacun des systèmes d’équations suivants. Trouve ensuite sa solution.
G-70
a)
b)
c)
d)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.1
(
2
)
Pour chacun des systèmes d’équations suivants, indique le nombre de solutions possibles.
Justie ta réponse.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-71
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.1
(
3
)
La cafétéria de l’école offre une carte de repas au coût de 75 $. Avec cette carte, le menu du jour
coûte 3,50 $ au lieu de 6,50 $. On s’intéresse au coût payé selon le nombre de repas achetés.
a) Traduis cette situation par un système d’équations. Représente-la ensuite graphiquement.
b) Après combien de repas cette carte devient-elle rentable ?
4
Il y a 10 ans que Lucille habite son appartement et Anton, son studio. Au départ, Lucille payait
450 $ par mois et Anton, 325 $ par mois. Toutefois, le loyer de Lucille a augmenté de 5 $ par
année alors que celui d’Anton a augmenté de 10 $ par année.
a) Représente graphiquement cette situation.
G-72
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
b) Au cours des 10 dernières
années, est-ce que le coût
du loyer d’Anton a dépassé
celui du loyer de Lucille ? Si oui,
quand ? Sinon, dans combien
d’années cela arrivera-t-il ?
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.1
(
5
)
Luka a des problèmes avec sa plomberie. Il appelle une première entreprise, Plomberie 5 étoiles,
qui facture 25 $ pour le déplacement du plombier et 70 $ pour chaque heure travaillée. La deuxième
entreprise, Plomberie Verse-Eau, demande 35 $ pour le déplacement du plombier et 50 $ pour
chaque heure travaillée. Luka se demande avec laquelle des deux entreprises il devrait faire affaire.
Aide-le à faire un choix éclairé en répondant aux questions suivantes.
a) Traduis algébriquement cette situation par un système d’équations.
b) Représente graphiquement cette situation.
c) Combien de temps doivent durer les travaux pour que le choix de l’entreprise importe peu ?
d) Qui Luka devrait-il appeler si les travaux durent deux heures ?
6
Réponds aux questions suivantes.
a) Quelles sont les équations de ce système ?
b) Pourquoi ce système d’équations n’a-t-il pas de solution ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-73
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.2
Activités supplémentaires
4.2 La résolution algébrique d’un système d’équations
1
G-74
Résous les systèmes d’équations suivants.
a)
b)
Réponse :
Réponse :
c)
d)
Réponse :
Réponse :
e)
f)
Réponse :
Réponse :
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.2
(
2
)
Simon a tracé deux droites dans un plan cartésien. La droite A passe par les points (2, 7)
et (4, 15), et la droite B passe par les points (−1, 1) et (5, −5).
Les deux droites tracées par Simon se coupent-elles ? Si oui, donne le point d’intersection. Sinon,
explique pourquoi.
Réponse :
3
Annie doit faire effectuer des travaux d’électricité dans sa maison. Elle appelle deux entreprises
différentes et note leur tarif.
Électricité 101
Survolté Électrique
Frais de déplacement : 40 $
Tarif : 40 $/h
Frais de déplacement : 20 $
Tarif : 50 $/h
Détermine le nombre d’heures de travail à partir duquel il devient plus avantageux de faire appel
à Électricité 101 plutôt qu’à Survolté Électrique.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-75
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.2
(
4
)
Au parc régional de la Montagne bleue, on doit payer 5 $ par jour pour avoir accès à la plage.
Au parc régional des Rives, la carte saisonnière d’accès au parc coûte 21 $. Par la suite, on doit
payer 2 $ par jour pour avoir accès à la plage.
Si Rose passe beaucoup de temps à la plage dans une année, quel parc devrait-elle fréquenter ?
Justie ta réponse.
Réponse :
5
Jacob et Tom travaillent dans un verger chaque automne. Jacob a commencé à travailler il y a
deux jours. Il cueille en moyenne 250 pommes par jour. Tom, qui commence aujourd’hui, cueille
en moyenne 275 pommes par jour.
Dans combien de jours auront-ils cueilli le même nombre de pommes ?
Réponse :
G-76
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.3
Activités supplémentaires
4.3 Les inéquations
1
Traduis les énoncés suivants en utilisant le symbole d’inégalité approprié.
a) y vaut au minimum 3,25.
b) z est supérieur à 55.
c) La valeur maximale de t est −25.
d) m vaut au plus 11.
e) x est inférieur à 8.
f) t vaut au maximum −13,13.
g) x est au moins égal à 5,3.
h) y égale au moins 10.
i) La valeur minimale de z est −7.
j) m vaut moins que 3.
2
Traduis chacune des situations suivantes par une inéquation. Dénis les variables utilisées.
a) Michel a reçu plus de 250 $ en cadeau à son anniversaire.
b) Léo possède au plus 500 macarons dans sa collection.
c) Mirka ne regarde jamais plus de 20 heures de télévision par semaine.
d) Le nombre de vaches à la ferme Bellavance ne dépasse jamais 64.
e) Dans mon jardin, la moitié du nombre de plants de petites fèves est d’au plus 10.
f) Le nombre total de pattes dans l’écurie est inférieur à 60.
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-77
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.3
(
3
)
Une salle de spectacle publie sa programmation automnale et propose l’offre suivante.
À l’achat de 1 à 5 billets, chaque billet coûte 25 $.
À l’achat de 6 à 10 billets, chaque billet coûte 21 $.
À l’achat de 11 à 15 billets, chaque billet coûte 20 $.
a) Écris en extension tous les montants totaux possibles pour l’achat de 1 à 15 billets.
b) Place ces valeurs sur une droite numérique.
c) Quel est l’ensemble de nombres de référence de cette variable ?
4
Illustre les situations suivantes selon les modes de représentation indiqués.
a) Représente le nombre de jours qu’il peut y avoir dans un mois, en extension,
en compréhension et à l’aide d’une droite numérique.
b) Représente la quantité de liquide que peut contenir une tasse à mesurer de 250 ml,
par un intervalle, en compréhension et à l’aide d’une droite numérique.
5
Jonathan se rend chez son ami Emilio après l’école, qui se termine à 15 h. Il doit rentrer chez lui
au plus tard à 22 h. On s’intéresse à l’heure de rentrée de Jonathan.
a) Traduis cette situation de façon algébrique.
b) Représente cette situation à l’aide d’une droite numérique, en compréhension et par un intervalle.
G-78
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.4
Activités supplémentaires
4.4 La résolution d’une inéquation
1
2
3
4
Lesquelles des inéquations suivantes sont équivalentes à x > −3 ?
a) 4x > −12
b) −3x + 4 > −5
c) x − 12 > −15
d) − x > 3
e) 0 < x + 3
f)
6x < 18
−
Parmi les inéquations suivantes, lesquelles ont x = 4 comme élément de l’ensemble-solution ?
a) 5 − 2x ≥ 1
b) −7x + 10 ≥ −60
c) 5x − 6 < 14
d) 3x − 3 < 6x + 9
e) 4x − 12 ≥ 3x − 3
f) 5x + 2 ≥ 3x + 6
Associe les inéquations équivalentes.
a) 9x − 12 ≤ 6
b) 25 − 10x ≤ 5
c) 50 − 5x ≥ 62 − 9x
d) 7x − 4 ≤ 10
e) 3x − 8 ≤ 5x − 14
f)
g) 5x − 4 ≥ 2x + 5
h) 4x − 9 ≤ 6x − 3
i) 2x − 5 ≥ 5x − 11
14 − 4x ≤ 7x + 7
−
Résous les inéquations suivantes.
b) 5x + 8 < 8
a)
11
3x
−
c) 10 ≥ −12
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d) 7(−3x) < −14
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-79
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.4
(
5
Résous les inéquations suivantes et représente l’ensemble-solution sous forme d’intervalle.
a) 9x + 12 ≤ 3
b) 3(4x − 5) > 9(2x + 1)
c) 5x + 5 > 8
d) 1,2 − 2x ≤ 8,2 + 1,5x
2
e)
x − 2 2x − 1
≥ 4
3
f)
g) 2x + 4 < −2
3(x − 3) > −6
−
h) 4,5x − 1,8 > 1,2x − 1,5
5
6
)
Trouve :
a) deux nombres dont
le double diminué de 4
est supérieur à 12.
b) deux nombres dont le
triple augmenté de 10
est inférieur ou égal à 40.
c) trois nombres consécutifs
dont la somme est
inférieure à 102.
1er nombre : x
2e nombre : x + 1
3e nombre : x + 2
G-80
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-4.4
(
7
Dans chaque cas, trouve les valeurs possibles de x, si x > 1. Écris ta réponse sous forme
d’intervalle.
a) Un triangle dont les côtés mesurent x,
(x + 2) et (x + 3) cm, et dont le périmètre
est inférieur ou égal à 35 cm.
Réponse :
8
)
b) Un rectangle dont les côtés mesurent x
et (x + 3) m, et dont le périmètre maximal
est de 18 m.
Réponse :
Une entreprise fabrique 150 chaises et fauteuils par jour. Elle a deux produits : les chaises
qui coûtent 100 $ chacune et les fauteuils qui coûtent 160 $ chacun.
a) En sachant que x représente le nombre de chaises, exprime le nombre de fauteuils en fonction
de x.
b) L’entreprise souhaite que le montant des ventes soit supérieur à 19 380 $ et elle veut fabriquer
plus de chaises que de fauteuils. Combien doit-elle fabriquer de chaises chaque jour ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-81
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-4
Activités d’enrichissement
Chapitre 4
1
Les voisins de Marc-Antoine lui ont demandé de nourrir leurs deux animaux pendant leur voyage
de deux semaines au Mexique. Ses voisins lui ont dit que le chat mangeait 40 g de nourriture par
jour et que le chien en mangeait 60 g. Juste avant leur départ, ils ont rempli les bols de nourriture
à pleine capacité, soit 200 g pour le chat et 240 g pour le chien.
Marc-Antoine est allé remplir les bols à pleine capacité cinq fois pendant le voyage de ses voisins.
À leur retour, les voisins ont constaté qu’il restait autant de nourriture dans le bol de leur chat que
dans celui de leur chien.
À combien de jours remonte la dernière visite de Marc-Antoine ?
Réponse :
2
Un marchand de crème glacée a remarqué qu’il dépensait 75 $ pour faire en moyenne
150 cornets de crème glacée. S’il vend un cornet 2,50 $, combien doit-il vendre de cornets
au minimum pour réaliser un prot supérieur à 76 $ ?
Réponse :
G-82
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-4
(
3
)
Des élèves estiment l’âge de leur enseignante d’éducation physique. Voici leurs estimations :
– entre 35 et 45 ans ;
– plus de 30 ans ;
– moins de 42 ans ;
– pas plus que 37 ans.
S’ils ont tous raison, quel âge peut avoir l’enseignante de ces élèves ?
Réponse :
4
Une entreprise fabrique et vend des pagaies. Le tableau suivant indique le coût et le montant
des ventes selon le nombre de pagaies fabriquées.
Nombre de pagaies
Coût ($)
Montant des ventes ($)
0
500
0
25
750
450
50
1 000
900
75
1 250
1 350
100
1 500
1 800
a) Combien de pagaies l’entreprise doit-elle vendre pour que le coût et le montant des ventes
soient presque égaux ?
b) Combien de pagaies l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser un prot ?
c) À combien s’élèvent le montant des ventes et les coûts quand ils sont presque égaux ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-83
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-4
(
5
)
Vincent et Marie sont colocataires. Ils tentent de trouver un moment où ils seront tous deux à
l’appartement pour discuter du renouvellement de leur bail. Vincent se lève à 8 h, travaille de 9 h
à 15 h, a une partie de soccer de 19 h à 21 h et se couche à minuit. Marie, elle, se lève à 11 h,
va au gymnase de 12 h à 14 h et travaille de 20 h à minuit.
Quand Vincent et Marie pourront-ils se rencontrer ?
Réponse :
6
Dans quel quadrant du plan cartésien se situe la solution de chacun des systèmes d’équations
suivants ? Pour t’aider, trace le graphique des droites à main levée.
G-84
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-4
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 4 : Les systèmes d’équations et les inéquations
Questions à choix multiples
1
Parmi les droites suivantes, laquelle représente l’énoncé ci-dessous ?
Il nous faut au moins 5 points an de réussir.
a)
c)
2
3
4
b)
5
d)
5
5
5
Parmi les couples suivants, lequel est la solution du système d’équations ci-dessous ?
a) (0, −1)
b) (−1, −1)
c) (−1, 0)
d) (1, 1)
Quel intervalle représente l’ensemble-solution de l’inéquation ci-dessous ?
a) ] −∞, −10[
b) [10, ∞[
c) [−10, ∞[
d) ] −∞, 10]
La semaine dernière, Fabrice a pêché plus de 22 éperlans. La limite permise hebdomadaire
est de 90 éperlans.
Parmi les expressions suivantes, laquelle traduit cette situation ?
a) 22 < x < 90
5
c) 22 ≤ x ≤ 90
d) 22 < x ≤ 90
Parmi les systèmes d’équations suivants, lequel a le couple ( , 4) comme solution ?
a)
6
b) 22 ≤ x < 90
b)
c)
d)
Dana et Clara comparent leurs économies. Dana a exactement trois fois le montant que Clara
possède. Ensemble, elles n’ont pas plus de 140 $.
Quelle inéquation représente cette situation ?
a) 2x + 3 < 140
b) 2x + 3 ≤ 140
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c) 4x ≤ 140
Sommets • 3e secondaire
d) 4x < 140
Chapitre 4
G-85
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-4
(
)
Questions à réponses courtes
7
Résous graphiquement les systèmes d’équations suivants.
a)
b)
Résous les systèmes d’équations suivants.
8
a)
G-86
b)
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-4
(
9
)
Résous les inéquations suivantes. Donne la réponse sous forme d’intervalle et représente
l’ensemble-solution sur une droite numérique.
a) 4x ≤ 4
b) x − 12 > 0
Intervalle :
c) x − 5 ≥ −3
Intervalle :
d) −8x ≥ 16
Intervalle :
e) −10x + 7 ≥ −22x − 5
Intervalle :
f) 5,3x + 2,2 ≤ 3,4(1,5x + 2)
Intervalle :
Intervalle :
10 Traduis chaque situation par une inéquation. Nomme d’abord l’inconnue.
a) Loïc a mangé moins de 5 pointes de pizza au souper.
b) Lana s’offrira de 12 à 24 journées de ski cet hiver.
c) La somme de deux nombres pairs consécutifs est inférieure à 126.
d) Pour nancer son voyage de n d’année, Gaïa fabrique un certain nombre de bracelets
qu’elle vend 7,50 $ chacun. Elle a besoin de plus de 540 $.
e) Le côté le plus court d’un parallélogramme est égal aux deux tiers du côté le plus long.
Le périmètre du parallélogramme est au minimum de 68 cm.
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-87
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-4
(
)
Questions à développement
11 Deux cyclistes roulent dans la même direction à des vitesses respectives de 30 km/h et
de 33 km/h. Le second cycliste traverse une voie ferrée à 15 h 20, soit exactement 2 minutes
après le premier.
Combien de temps après avoir traversé la voie ferrée les cyclistes seront-ils côte à côte ?
Réponse :
12 Une école organise un concert de musique classique an de nancer une sortie de ski. Il y a
100 billets à vendre : des billets à 15 $ pour les adultes et à 9 $ pour les jeunes. Les élèves ont
vendu trois fois plus de billets pour adultes que de billets pour jeunes.
L’objectif d’amasser 800 $ a été dépassé. Au total, combien de billets ont été vendus ?
Réponse :
13 Les dimensions d’un rectangle sont de 2(x − 2) cm et 10 cm. Quelles sont les valeurs entières
possibles de x, si le rectangle a une aire d’au plus 316 cm2 et un périmètre supérieur à 60 cm ?
Réponse :
G-88
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-4
(
)
14 Michèle est à la recherche d’un emploi d’été. Elle compare les salaires offerts par l’entreprise A
et l’entreprise B.
L’entreprise A offre un salaire horaire. L’employé doit d’abord acheter des lunettes de sécurité
dont le prix est déduit de sa paie. L’entreprise B offre un salaire horaire. L’employé doit d’abord
acheter un uniforme dont le prix est déduit de sa paie. Le graphique et la table de valeurs ci-dessous
représentent la relation entre le nombre d’heures travaillées et le montant total gagné selon
l’entreprise.
La mère de Michèle lui conseille de choisir l’entreprise A. Sa mère a-t-elle raison? Explique ta réponse.
Entreprise B
Nombre
d’heures
Montant
gagné ($)
8
12 16
20
24
15 65 115 165 215
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 4
G-89
Le guide se poursuit
à la page suivante.
SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-5.1
Les solides et leurs représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-92
Fiche AS-5.2
La recherche de mesures à l’aide
de la relation de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-95
Fiche AS-5.3
L’aire des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G-99
Activités d’enrichissement
Fiche AE-5
Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-103
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-5
Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-107
CHAPITRE
L’aire des solides
5
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.1
Activités supplémentaires
5.1 Les solides et leurs représentations
1
Vrai ou faux ? Justie tes réponses.
a) Deux droites parallèles ne sont pas nécessairement parallèles en perspective cavalière.
b) En perspective cavalière, si un triangle ABC, rectangle en A, est dans un plan vu de face,
alors l’angle en A est droit.
2
De quelle perspective s’agit-il ?
a) L’escalier de Penrose
b) Le cube de Necker
c) La cité idéale de Piero della Francesca
G-92
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.1
(
3
)
Stéphane a dessiné le croquis
d’une maison de campagne.
De quelle perspective s’agit-il ?
4
Dessine les vues de dessus, de face et de droite des arrangements suivants.
a)
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
b)
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
c)
Vue de dessus
Vue de face
Vue de droite
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-93
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.1
(
5
Complète les dessins pour obtenir des prismes droits à base rectangulaire selon les perspectives
demandées.
a) Une perspective
cavalière
6
)
b) Une perspective
à un point de fuite
c) Une perspective
axonométrique
Dessine un développement de ce cube. Assure-toi d’y inclure la ligne en gras qui apparaît
sur certaines faces.
G-94
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.2
Activités supplémentaires
5.2 La recherche de mesures à l’aide de la relation de Pythagore
1
Trouve l’aire du polygone régulier suivant.
Réponse :
2
Soit un cube de 10 cm d’arête. Quel est le périmètre du triangle ABC ?
Réponse :
3
Isaï doit fabriquer une tige de bois pour la placer entre les points A et B de cette boîte de carton.
Quelle longueur la tige devra-t-elle avoir ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-95
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.2
(
4
)
Samia doit insérer une tige de 1 m de longueur dans un baril. Si la circonférence de la base
du baril est de 251,2 cm, quelle hauteur minimale doit avoir le baril pour que la tige entre
parfaitement à l’intérieur ?
Réponse :
5
Pour un de ses tours de magie, Magique Bertrand veut construire
un cube traversé par une tige de plastique. Le cube mesure 30 cm
de côté et la tige doit dépasser de 25 cm d’un côté du cube et de
35 cm de l’autre.
Quelle est la longueur totale de la tige ?
30 cm
30 cm
30 cm
Réponse :
G-96
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.2
(
6
)
Soit la pyramide régulière à base triangulaire ci-contre.
Quelle est l’aire totale de cette pyramide ?
Réponse :
7
Sylvie désire construire une aire de jeu de 3 m sur 4 m qu’elle remplira de sable, mais elle n’a pas
d’équerre.
Comment peut-elle s’assurer que tous les angles sont bien droits ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-97
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.2
(
8
Dans chaque cas, trouve les mesures demandées.
a)
b)
r=
a=
9
)
Quel est le périmètre de la partie
ombrée à l’intérieur du prisme cicontre ? Les sommets du triangle
ombré sont les points milieu des
côtés de l’hexagone.
Réponse :
G-98
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.3
Activités supplémentaires
5.3 L’aire des solides
1
2
3
Complète les égalités suivantes.
a) 15,7 dm2 =
mm2
b) 0,45 hm2 =
m2
c) 130 cm2 =
dam2
d) 20 000 m2 =
km2
e) 5,75 m2 =
cm2
f) 850 mm2 =
dm2
g) 18 dam2 =
km2
h) 0,25 m2 =
mm2
i) 3 050 dm2 =
hm2
j) 0,455 km2 =
m2
Place les mesures suivantes par ordre croissant.
a)
0,009 2 dam2
b)
0,366 km2
9,2 m2
3,66 hm2
920 cm2
36 600 dm2
92 000 000 mm2
3 660 000 m2
Trouve l’aire latérale des cônes droits suivants.
a)
b)
AL ≈
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c)
AL ≈
AL ≈
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-99
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.3
(
4
Trouve l’aire des solides suivants.
a)
b)
AL ≈
5
)
c)
AL ≈
AL ≈
Quelle est l’aire d’une sphère dont le diamètre mesure π cm ?
Réponse :
6
Quelle est la mesure du rayon d’un cône droit dont l’apothème mesure 9 cm et dont l’aire latérale
est de (72π) cm2 ?
Réponse :
G-100
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.3
(
7
)
Trouve la valeur demandée pour chaque solide.
a) AT = (180π) cm2
a=
b) A = (256π) cm2
d=
c) AT = (616π) cm2
h=
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-101
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-5.3
(
8
)
2
Quelle est la mesure du diamètre d’un ballon sphérique dont l’aire est de (900π) cm ?
Réponse :
9
Complète le tableau suivant.
Rayon de
la base
Cône 1
Circonférence
de la base
4π
Cône 2
Cône 3
Apothème
Aire totale
7π
15
5
Aire latérale
105π
80π
10 Un cône droit et une sphère ont la même aire totale. De plus, le rayon de la base du cône et
celui de la sphère ont la même mesure. Si leur rayon mesure 11,3 cm, quelle est la mesure de
l’apothème du cône ?
Réponse :
G-102
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-5
Activités d’enrichissement
Chapitre 5
1
Patricia pense avoir fait une erreur en dessinant ce cube en perspective à deux points de fuite.
Est-ce le cas ? Justie ta réponse.
2
Voici la vue de dessus d’un arrangement de cubes. Chaque
nombre indique la quantité de cubes isométriques empilés.
Dessine les vues de face et de droite, ainsi que la perspective
cavalière de ce solide.
Vue de face
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Vue de droite
Perspective cavalière
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-103
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-5
(
3
)
Marie-Pier désire fabriquer une courtepointe avec des morceaux de tissu
selon le modèle ci-contre. Les triangles qu’elle a découpés pour faire
le motif ont les mesures suivantes : 10 cm, 15 cm et 20 cm. Est-ce
qu’elle réussira à former un rectangle avec ces triangles ?
Justie ta réponse.
Réponse :
4
Voici la station de ski du mont Cône. La route qui fait le tour de la
montagne entre les points A et B est de 1,1 km. Le téléphérique qui
va du point B jusqu’au sommet parcourt une distance de 0,675 km.
Quelle est la hauteur du mont ? Justie ta réponse à l’aide de calculs.
Réponse :
G-104
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-5
(
5
)
Soit le silo à grains suivant.
a) Quelle est la hauteur de ce silo à grains si son aire totale (excluant le plancher) est de 6 000π dm2 ?
Réponse :
b) Quelle surface est recouverte par la brique ?
Réponse :
6
Quelle est la surface à peindre de cette cabane à oiseaux
si la circonférence de l’ouverture en forme de disque est
de 11,6 cm ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-105
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-5
(
7
)
Simon achète deux tablettes de chocolat de 75 g dans un emballage en forme de prisme droit
à base rectangulaire dont les dimensions sont les suivantes : 9,2 cm sur 3 cm sur 1,5 cm. Sophie
préfère acheter une seule tablette « format double » de 150 g dont les dimensions sont les mêmes,
sauf qu’elle est deux fois plus épaisse (3 cm au lieu de 1,5 cm).
Quelle quantité de papier l’emballage de la tablette de Sophie nécessite-t-il de moins que
les emballages des deux tablettes de Simon ?
Réponse :
8
Serge fait de la sauce à spaghetti. Il utilise un chaudron ayant une aire latérale de 1 476,6 cm2 et
un rayon de 11,75 cm. La sauce atteint 85 % de la hauteur du chaudron. Quelle longueur doit avoir
sa cuillère s’il veut qu’elle dépasse de 5 cm lorsqu’il l’appuie en diagonale sur le rebord du chaudron ?
Réponse :
G-106
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-5
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 5 : L’aire des solides
Questions à choix multiples
1
Parmi les développements suivants, lequel représente
le prisme droit à base rectangulaire ci-contre ?
a)
2
3
b)
c)
d)
Quelle est la hauteur, arrondie au centième près, de la pyramide ci-contre ?
a) 16 cm
b) 17,44 cm
c) 18,97 cm
d) 27,46 cm
Isabella a une boîte à crayons en forme de prisme rectangulaire.
Cette boîte mesure 22 cm sur 13 cm et a une hauteur de 5 cm.
Quelle est la longueur du plus long crayon qui peut entrer dans la boîte ?
a) 18 cm
4
5
b) 24 cm
c) 25 cm
Un petit tambour de batterie est vendu avec un caisson de transport dont
la hauteur est de 30 cm et le diamètre, 40 cm. De combien de dm2 a-t-on
eu besoin pour fabriquer ce caisson ? Ne tiens pas compte du couvercle.
a) 51 dm2
b) 63 dm2
c) 126 dm2
d) 5 027 dm2
De quelle quantité d’aluminium a-t-on eu besoin pour fabriquer
le porte-lampion ci-contre, en incluant la base du cône ?
Attention ! Le cylindre est creux et ne comprend qu'une base.
a) 754 cm2
b) 834 cm2
c) 868 cm2
d) 947 cm2
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Sommets • 3e secondaire
d) 26 cm
30 cm
40 cm
6 cm
10 cm
Chapitre 5
G-107
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-5
(
)
Questions à réponses courtes
6
Dessine les vues de dessus, de face et de droite de l’arrangement suivant.
Vue de dessus
7
Vue de face
Vue de droite
Quelle est la mesure de l’apothème d’un cône droit dont le rayon mesure 7 dm et dont l’aire totale
est de (133π) dm2 ?
Réponse :
G-108
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-5
(
8
)
Trouve l’aire totale des solides suivants. Exprime tes réponses en mètres carrés.
a) Cône droit
AT ≈
b) Sphère
AT ≈
c)
AT ≈
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-109
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-5
(
)
Questions à développement
9
Quelle est la mesure de la petite diagonale d’un losange dont le périmètre est de 45 cm
et dont la grande diagonale mesure 16 cm ?
Réponse :
10 Voici une boîte de carton en forme de prisme droit dont la base est
un triangle rectangle. Quelle est la quantité minimale de carton nécessaire
pour construire cette boîte ?
Réponse :
G-110
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-5
(
)
11 Une entreprise de fabrication de bonbons veut modier l’emballage de son produit.
Le contenant de carton actuel a la forme d’un prisme à base rectangulaire de 12 cm sur 6,5 cm
sur 14 cm. Une rme spécialisée en design d’emballage propose à l’entreprise de le remplacer
par un contenant sphérique.
L’entreprise précise qu’elle veut utiliser à peu près la même quantité de carton pour la fabrication du
contenant sphérique que pour la fabrication du contenant actuel. La hauteur du nouveau contenant
sera-t-elle supérieure ou inférieure à la hauteur du contenant actuel ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 5
G-111
Le guide se poursuit
à la page suivante.
SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-6.1
Les mesures de volume et de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-114
Fiche AS-6.2
Le volume des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-116
Fiche AS-6.3
Les solides décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-120
Fiche AS-6.4
Les solides semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-123
Activités d’enrichissement
Fiche AE-6
Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-126
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-6
Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-129
CHAPITRE
Le volume
et les solides
semblables
6
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.1
Activités supplémentaires
6.1 Les mesures de volume et de capacité
1
2
Effectue les conversions suivantes.
a) 0,489 dm3 =
cm3
b) 8,2 L =
kl
c) 261 cm3 =
mm3
d) 1 869 cl =
dal
e) 8 705 m3 =
hm3
f) 736 m3 =
km3
g) 2 745 dam3 =
km3
h) 1,3 m3 =
mm3
Complète les égalités suivantes.
mm3 = 87,41 dam3
a)
b) 134,68 mm3 =
dam3
c) 73 hm3 =
m3
dm3
d) 19 L =
hm3 = 38 000 000 m3
e)
f) 57 dm3 =
dl
g)
L = 0,000 000 000 013 km3
h)
cl = 0,012 3 dm3
cm3
i) 7 L =
cm3 = 8 kl
j)
k) 7 327 cm3 =
L
dl = 29 cm3
l)
dam3
m) 0,6 kl =
dm3 = 431 dal
n)
3
Un bain a une capacité de 150 litres.
a) Combien de tasses de 250 ml d’eau faut-il pour le remplir à pleine capacité ?
b) Quel est le volume de ce bain :
• en mm3 ?
• en dam3 ?
G-114
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.1
(
4
)
Effectue les chaînes d’opérations suivantes. Écris ta réponse en respectant l’unité de mesure
indiquée au bas de l’encadré.
a) 850 mm3 + 5 cl + 3 ml
b) 4 kl + 0,25 dam3 − 4 520 dm3
cm3
5
L
Au début de l’hiver, Maélie a acheté une bouteille de sirop contre la toux. Jusqu’à présent, elle a
pris 6 cuillères à table de 10 ml de sirop. La bouteille a une capacité de 9 cl. Le fabricant remplit
la bouteille à 95 % de sa capacité.
Quelle quantité de sirop en ml reste-t-il dans la bouteille ?
Réponse :
6
Clovis veut remplir 8 bacs à jardinage aux 78 de leur capacité. Chaque bac a une capacité
de 54 dm3. Un sac de terre à jardin contient 25 L de terre et coûte 7,50 $.
Quel montant d’argent devra-t-il débourser pour remplir tous les bacs à jardinage ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-115
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.2
Activités supplémentaires
6.2 Le volume des solides
1
Trouve le volume des prismes droits suivants.
a)
b)
Prisme régulier
V=
2
V=
Trouve le volume des cônes circulaires droits suivants.
a)
b)
V=
G-116
Sommets • 3e secondaire
c)
V=
Chapitre 6
V=
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.2
(
3
)
Trouve le volume du cylindre circulaire droit suivant.
Réponse :
4
Trouve le volume de la pyramide régulière suivante.
Réponse :
5
Trouve le volume des boules suivantes.
a)
b)
V=
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V=
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-117
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.2
(
6
)
La capacité d’un réservoir d’essence cylindrique est de 2,5 kl et sa hauteur est de 10 m.
Quelle est l’aire de sa base ?
Réponse :
7
Trouve le volume d’une balle de golf sphérique dont le diamètre est de 3,8 cm.
Réponse :
8
Trouve la hauteur d’une pyramide dont la base est un carré de 225 m de côté et dont le volume
est d’environ 2 421 500 m3.
Réponse :
G-118
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.2
(
9
)
Un camion déverse son chargement de pierres sur un chemin. Le tas de pierres a la forme
d’un cône de 6 m de diamètre et de 3 m de hauteur. Quel est le volume de ce tas de pierres ?
Réponse :
10 Irène achète un sac de céréales de 1,5 L. Chaque jour pour sa collation, elle remplit un récipient
de forme cylindrique qui fait 8 cm de diamètre et 5 cm de hauteur.
Dans combien de jours le sac de céréales sera-t-il vide ?
Réponse :
11 Yvan remplit à ras bord un gobelet d’eau de forme conique, puis verse son contenu dans un verre
cylindrique de même capacité. La hauteur du gobelet est de 10 cm et son diamètre est de 8 cm.
Si la hauteur du verre cylindrique est de 10 cm, quel est son diamètre ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-119
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.3
Activités supplémentaires
6.3 Les solides décomposables
1
Trouve le volume du solide suivant, formé d’un prisme droit à base carrée et d’une pyramide régulière.
Réponse :
2
Trouve le volume de la trousse à crayons suivante.
Réponse :
G-120
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.3
(
3
)
Une bouée a la forme d’une demi-boule surmontée d’un cône de même diamètre.
Quelle est la hauteur du cône si le volume total de la bouée est de (320π
) cm3 ?
3
Vtotal = (320π
) cm3
3
Réponse :
4
Jeanne désire recouvrir de tissu un abat-jour ayant la forme d’un tronc de cône. Quel sera le coût
de ce projet si le tissu se vend 35 $ le mètre carré ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-121
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.3
(
5
)
L’écrou suivant a la forme d’un prisme droit régulier à base hexagonale. Trouve son volume.
Réponse :
6
Les dauphins d’un parc aquatique vivent dans un bassin qui a la forme d’un prisme droit à base
rectangulaire. Le bassin est rempli à 90 % de sa capacité lorsqu’il contient 9 millions de litres d’eau.
Quelle est la profondeur du bassin si sa largeur est de 25 mètres et que sa longueur est
de 40 mètres ?
Réponse :
G-122
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.4
Activités supplémentaires
6.4 Les solides semblables
1
Les prismes à base carrée suivants sont semblables. Leurs rapports de similitude
sont respectivement de 1,2 ; 1,8 ; 2,4 par rapport à la gure initiale.
a) Quelle est l’aire totale de la gure A ?
Réponse :
b) Quel est le volume de la gure B ?
Réponse :
c) Quelles sont les mesures de la hauteur et du côté de la base de la gure C ?
Réponse :
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-123
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.4
(
2
)
Les paires de solides ci-dessous sont semblables. Trouve les hauteurs manquantes.
a) k = 2
3
h=
b) k3 = 8
h=
3
Deux boules ont des aires de (900π) cm2 et de (100π) cm2. Quel est le rapport de leurs volumes ?
Réponse :
G-124
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-6.4
(
)
4
Les solides ci-dessous sont semblables. Trouve les mesures manquantes a, b et c.
5
Voici le développement de deux boîtes semblables. Quel est le rapport de leurs volumes ?
6
Quel est le volume d’un cylindre semblable au cylindre ci-dessous, mais dont le rayon est quatre
fois plus petit ? Conserve le symbole π dans ta réponse.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-125
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-6
Activités d’enrichissement
Chapitre 6
1
a) À l’épicerie, la sauce tomate se vend en deux formats : le format individuel et le format familial.
Les deux boîtes de conserve sont semblables. Trouve l’aire latérale et le volume des deux formats.
Réponse : Format individuel :
Format familial :
b) On veut créer un nouveau format dont la capacité sera 1,728 fois plus grande que le format
individuel. Trouve le diamètre et la hauteur de ce nouveau format.
Réponse :
G-126
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-6
(
2
)
Un récipient en forme de prisme droit à base rectangulaire mesure 40 dm de longueur, 30 dm
de largeur et 80 dm de hauteur.
Combien peut-on y ranger de boîtes de lait de soya qui ont une base carrée de 15 cm de côté
et une hauteur de 20 cm sans perte d’espace ?
Réponse :
3
Quelle est la hauteur totale de la vraie coupe Stanley si cette réplique est à l’échelle 2 : 11 ?
Réponse :
4
Le rapport de similitude entre ce taille-crayon et une vraie coccinelle est de 4. Quelles sont
les dimensions du corps, de la tête et des antennes de l’insecte ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-127
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-6
(
5
)
Le rapport des aires de la Terre et de la Lune est de 13,4. En supposant que ces astres sont
parfaitement sphériques, réponds aux questions suivantes.
a) Quel est leur rapport de similitude ?
b) Si la Lune a un rayon de 1 737 km, quel est le rayon de la Terre ?
c) Peut-on dire que le volume de la Terre est 50 fois plus grand que celui de la Lune ?
6
Le solide décomposable suivant est formé d’un cube surmonté d’une pyramide. Trouve le volume
du cube, sachant que les deux solides ont la même capacité.
Réponse :
G-128
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-6
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 6 : Le volume et les solides semblables
Questions à choix multiples
1
Quel est le volume du prisme droit suivant, arrondi à l’unité près ?
a) 132 cm3
b) 264 cm3
c) 457 cm3
d) 913 cm3
2
Un bol en forme de demi-boule a une hauteur de 1 dm.
Quelle quantité d’eau, au ml près, peut contenir ce bol ?
a) 524 ml
b) 1 048 ml
c) 2 094 ml
d) 4 189 ml
3
Voici deux pyramides régulières semblables.
Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
a) Le rapport de similitude est de 1,96.
b) Le volume de la grande pyramide est 1,4 fois plus grand
que celui de la petite pyramide.
c) L’apothème de la grande pyramide mesure 14 dm.
Abase = 501,76 dm2
d) L’aire totale de la grande pyramide est de 1 792 dm 2.
4
Quel est le volume d’une boule dont l’aire est de (100π) mm2 ?
a)
b)
c) (125π) mm3
d) (1 000π) mm3
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-129
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-6
(
)
Questions à réponses courtes
5
Trouve le volume des solides suivants.
a) Cône circulaire droit
V=
b) Boule
V=
6
G-130
Convertis les mesures de volume ou de capacité suivantes dans l’unité demandée.
a) 18,2 dl =
kl
b) 261,23 cm3 =
mm3
c) 45 L =
mm3
d) 29 cm3 =
dl
e) 2,5 cl =
cm3
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-6
(
7
)
Les solides ci-contre sont semblables.
Trouve la mesure demandée, sachant que
le volume du petit prisme est de 69,12 cm3.
Réponse :
8
Trouve le rapport de similitude des paires de solides semblables suivants.
a) Un premier cylindre dont la hauteur est de 50 mm et l’aire de la base de 9 cm2, et un second
cylindre dont le volume est de 2 880 cm3.
Réponse :
b) Une première boule dont le rayon mesure 30 cm et une seconde boule dont le volume
est de (497 664π) cm3.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-131
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-6
(
)
Questions à développement
9
Un ballon de plage fait de 60 dm2 de plastique a un volume d’environ 43,7 dm3. Quel serait
le volume d’un ballon de plage fait de 183,75 dm2 de plastique ?
Réponse :
10 Un bidon d’essence de forme cylindrique a une capacité de 100 L. L’aire de sa base est
de 1 200 cm2. Quelle est la hauteur disponible dans le bidon s’il contient 65 L d’essence ?
Réponse :
G-132
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-6
(
)
11 Le solide ci-contre, constitué d’un cube et d’une pyramide régulière à base carrée,
peut contenir 5 L de sable. Le cube et la pyramide ont des bases isométriques
et la même hauteur. Sandro prétend que ce solide ne rentre pas dans une boîte
cylindrique de 12,5 cm de rayon et de 40 cm de hauteur.
Sandro a-t-il raison ? Justie ta réponse.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 6
G-133
Le guide se poursuit
à la page suivante.
SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-7.1
L’étude statistique et les méthodes d’échantillonnage . . . . . . . G-136
Fiche AS-7.2
L’organisation d’une distribution de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-138
Fiche AS-7.3
Les mesures de tendance centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-140
Fiche AS-7.4
Les quartiles et les mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-144
Activités d’enrichissement
Fiche AE-7
Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-147
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-7
Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-150
CHAPITRE
La statistique
7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.1
Activités supplémentaires
7.1 L’étude statistique et les méthodes d’échantillonnage
1
Au sein de quelle population devrait-on sélectionner des individus pour constituer un échantillon
en vue de mener un sondage sur :
a) le parti qui remportera les prochaines élections provinciales ?
b) le programme gouvernemental favorisant la rénovation des bâtiments commerciaux ?
c) l’aménagement d’un parc d’attractions dans le quartier d’une ville ?
d) l’appréciation des menus à la cafétéria de l’école ?
e) le port d’un nouvel uniforme à l’école secondaire du Moulin ?
2
Dans chaque cas, détermine la méthode d’échantillonnage utilisée pour former l’échantillon.
a) On sélectionne de façon aléatoire 4 écoles primaires d’un territoire donné. L’échantillon est formé
par tous les élèves qui fréquentent ces 4 écoles.
b) On sélectionne de façon aléatoire 100 élèves à partir d’une liste.
c) Pour chaque modèle de voiture fabriqué par un constructeur automobile, on sélectionne
de façon aléatoire un nombre de voitures proportionnel au nombre de véhicules produits.
d) On sélectionne la 10e personne qui entre par la porte principale d’un centre commercial.
Après quoi, on sélectionne la 25e personne qui entre dans le centre commercial par la porte
principale, la 40e personne et ainsi de suite, par bonds de 15 personnes, jusqu’à l’obtention
de la taille de l’échantillon voulu.
G-136
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.1
(
3
)
Zoé veut effectuer un sondage auprès des jeunes de son école. Elle doit construire un échantillon
stratié de 50 élèves. Le tableau suivant présente le nombre de garçons et de lles par niveau.
1re sec.
2e sec.
3e sec.
4e sec.
5e sec.
Garçons
157
175
170
210
198
Filles
182
175
165
200
205
a) Combien de garçons l’échantillon devra-t-il compter ?
Réponse :
b) Combien de lles de 5e secondaire l’échantillon devra-t-il compter ?
Réponse :
4
Voici la distribution de 880 élèves d’une école secondaire selon leur langue maternelle.
Cycle
Français
Anglais
Espagnol
Autres
Total
er
1 cycle du secondaire
372
117
12
4
505
e
2 cycle du secondaire
311
48
9
7
375
Total
683
165
21
11
880
Décris la composition d’un échantillon de 300 élèves, représentatif des élèves de l’école, qui tient
compte du cycle scolaire et de la langue maternelle des élèves.
Cycle
Français
Anglais
Espagnol
Autres
Total
1er cycle
2e cycle
Total
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-137
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.2
Activités supplémentaires
7.2 L’organisation d’une distribution de données
1
2
Construis un tableau de données groupées en cinq classes pour la distribution suivante.
10
15
17
11
17
14
20
14
25
26
17
15
24
26
27
12
27
11
24
27
21
18
24
16
27
25
11
19
10
16
21
16
14
21
20
14
15
16
17
15
26
24
23
10
26
Classe
Effectif
Complète le tableau de données et construis un histogramme qui représente cette distribution.
1
23
2
4
5
21
1
7
15
3
2
5
6
8
10
2
4
12
9
14
10
20
25
7
5
2
11
3
16
11
6
1
3
18
5
Nombre d’années d’expérience
des employés
Nombre d’années
Effectif
[0, 5[
G-138
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.2
(
3
)
Construis un histogramme qui représente chacune des distributions de données groupées
en classes suivantes.
a)
Nombre d’heures consacrées
à regarder la télévision par semaine
Temps (h)
Nombre d’élèves
[0, 5[
2
[5, 10[
5
[10, 15[
17
[15, 20[
6
[20, 25[
5
[25, 30[
1
b)
Montants d’argent inscrits
sur les chèques encaissés
au cours d’une journée
Montant ($)
Nombre de chèques
[0, 50[
9
[50, 100[
23
[100, 150[
13
[150, 200[
19
[200, 250[
26
[250, 300[
7
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-139
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.3
Activités supplémentaires
7.3 Les mesures de tendance centrale
1
2
Pour chacune des distributions de données suivantes, détermine l’étendue, la moyenne, le mode
et la médiane.
a)
9
18
9
19
10
20
11
20
16
20
16
24
b)
11
18
3
16
7
4
2
12
5
18
3
c)
29
20
37
17
14
14
16
d)
110 140
85 76
98
85
100
90
La moyenne d’une distribution de 7 données est de 20. Quelle donnée doit-on ajouter
à la distribution an d’obtenir une moyenne de 22 ?
Réponse :
G-140
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.3
(
3
)
Au cours d’une compétition de nage synchronisée, les juges ont attribué les notes suivantes
à Roxane.
6,0
8,5
7,5
8,0
8,5
7,0
8,0
7,5
8,0
8,0
a) Trouve la moyenne de cette distribution.
b) Trouve la médiane de cette distribution.
c) Est-ce que la médiane sera affectée si on élimine la plus élevée et la plus faible des notes ?
Justie ta réponse.
4
Détermine les données manquantes pour chacune des distributions de données suivantes.
a)
Mode = 8
Médiane = 16
5
b)
Modes = 50 et 61
x = 15
8
13
Médiane = 55
50
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20
22
x = 57
61
Sommets • 3e secondaire
70
Chapitre 7
G-141
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.3
(
5
Pour chacune des distributions de données suivantes, détermine la classe modale et la classe
médiane, puis estime la moyenne.
a)
Prot réalisé par 31 élèves dans le cadre
d’une campagne de nancement
G-142
b)
Nombre d’heures consacrées
à l’activité physique durant une semaine
Prot ($)
Effectif
Nombre d’heures
Effectif
[0, 20[
5
[0, 4[
8
[20, 40[
6
[4, 8[
16
[40, 60[
10
[8, 12[
10
[60, 80[
5
[12, 16[
3
[80, 100[
2
[16, 20[
6
[100, 120[
3
[20, 24[
1
Total
6
)
31
Total
44
L’histogramme ci-dessous représente la distribution de la taille de 50 élèves inscrits en
3e secondaire. Trouve les mesures de tendance centrale de cette distribution.
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.3
(
7
Associe les informations des numéros 1 , 2 , 3 et 4 aux diagrammes a), b), c) et d).
1 Moyenne = 7
Mode = 8
Médiane = 7,5
8
)
2 Moyenne ≈ 3,5
Mode = 3
Médiane = 3
3 Moyenne ≈ 3
Mode = 3
Médiane = 3
a)
b)
c)
d)
4 Moyenne = 4
Mode = 8
Médiane = 3
Pour la deuxième étape de l’année scolaire, Pierre-Luc a obtenu les résultats suivants
en mathématique. Calcule le résultat nal de Pierre-Luc en mathématique.
Bulletin de Pierre-Luc en mathématique
Compétence
Note (%)
Pondération (%)
Résoudre une situation-problème
75
30
Déployer un raisonnement mathématique
70
?
70
100
Résultat final
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-143
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.4
Activités supplémentaires
7.4 Les quartiles et les mesures de dispersion
1
Complète le tableau ci-dessous.
Distribution de données
a)
b)
c)
d)
2
Min.
Q1
Q2
Q3
Max.
5 10 8 16 12 3 12
27 36 29 15 32 20 37 18 32
54 59 32 35 21 53 54 52 29 45 47
5 2 8 5 10 11 3 2 5 13 6 8
Le diagramme de quartiles ci-dessous représente le salaire annuel de 30 employés
d’une entreprise de plomberie.
a) Détermine la valeur maximale, la valeur minimale et les quartiles (Q1, Q2 et Q3).
b) Calcule l’étendue.
c) Calcule l’étendue interquartile.
G-144
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.4
(
3
)
Pour chacune des distributions de données suivantes :
a) construis un diagramme de quartiles ;
b) calcule l’étendue ;
c) calcule l’étendue interquartile ;
d) détermine dans quel quart les données sont le plus concentrées.
1
7
7
9
15
17
26
2
21
30
30
32
38
38
40
3
42
43
47
48
52
52
65
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
28
35
42
70
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-145
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-7.4
(
4
)
On a demandé à des élèves le nombre de kilomètres qu’ils parcourent chaque
matin pour se rendre à l’école. Voici les réponses obtenues.
7
2
5
3
14
7
35
23
13
12
15
7
15
23
9
4
2
24
40
3
1
2
6
10
2
5
3
12
1
16
a) Construis le diagramme de quartiles qui représente les réponses des élèves.
b) Que représente le 2e quartile selon le contexte ?
c) Dans quel quart les données sont-elles le plus concentrées ?
5
Le responsable d’une ligue de tennis féminin a comptabilisé le total des points de chaque joueuse
de l’équipe A et de l’équipe B pour une saison complète. Il a représenté les résultats des équipes
à l’aide de deux diagrammes de quartiles.
Réponds aux questions suivantes par vrai ou faux.
a) L’étendue de la distribution de l’équipe B est moindre que celle de l’équipe A.
b) Les données du 3e quart sont plus dispersées dans l’équipe B.
c) Environ la moitié de l’équipe B a obtenu au moins 17 points.
G-146
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-7
Activités d’enrichissement
Chapitre 7
1
Le conseil des élèves d’une école désire organiser une kermesse. Si plus de 75 % des élèves sont
favorables à la tenue d’une kermesse, la direction de l’école donnera son accord pour l’organisation.
Le tableau ci-dessous présente les résultats de l’étude menée par le conseil des élèves.
Opinion des élèves quant à la tenue d’une kermesse
La kermesse aura-t-elle lieu ?
Justie ta réponse.
Année
Nombre d’élèves
En accord (%)
1 secondaire
300
98
2e secondaire
330
70
3 secondaire
270
80
4e secondaire
220
50
180
80
re
e
e
5 secondaire
Réponse :
2
Détermine les nombres manquants de la distribution de données suivante.
É = 18
12
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Mode = 15
Médiane = 18
x = 20
22
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-147
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-7
(
3
)
Détermine l’âge des caissiers de l’épicerie du coin en sachant que :
• Denise, qui a 40 ans, est la doyenne
des caissiers ;
• le mode est 19 ans ;
• l’étendue est de 24 ;
• Maxime est plus âgé que Gabriel et Valérie ;
• Manon est la plus jeune ;
• la médiane est de 19 ans.
• Gabriel et Valérie ont le même âge ;
• l’âge moyen des caissiers est de 23 ans ;
Réponse :
4
Le tableau suivant présente la distribution des membres du centre de ski Le Harfang des neiges
selon leur statut.
Membres du centre de ski Le Harfang des neiges
Statut du membre
Âge
Prix de l’abonnement
Nombre de membres
Enfant de moins de 4 ans
[0, 4[
Gratuit
70
Enfant de 4 à 11 ans
[4, 12[
150 $
320
Étudiant
[12, 20[
275 $
832
Adulte
[20, 65[
625 $
763
Adulte de 65 ans et plus
[65, 80]
400 $
527
a) Détermine le mode du statut du membre.
b) Détermine le prix moyen payé pour un abonnement de saison.
c) Estime l’âge moyen des membres de ce centre de ski.
d) Estime l’âge médian des membres de ce centre de ski.
G-148
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-7
(
5
)
Voici la distribution du nombre d’heures de sommeil de 47 personnes interrogées
lors d’un sondage.
Nombre d’heures de sommeil de 47 personnes
7
6
9
10
12
7
6
12
11
7
7
11
8
9
7
8
9
12
11
8
7
10
9
10
7
10
12
10
6
9
7
8
9
10
9
11
9
7
15
9
12
9
8
9
7
9
6
a) Présente, à l’aide d’un tableau à données condensées, la distribution du nombre d’heures
de sommeil des personnes interrogées.
b) Construis le diagramme de quartiles qui représente cette distribution.
c) Dans quels quarts les données sont-elles le plus concentrées ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-149
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-7
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 7 : La statistique
Questions à choix multiples
1
Aurélia désire connaître l’opinion des 1 200 élèves de l’école concernant le choix des activités
pour la fête de n d’année. Elle questionne une centaine d’élèves.
Quel est le type d’étude statistique et la population visée par cette étude ?
2
a) Un recensement, le choix des activités
b) Un sondage, les élèves de l’école
c) Un sondage, le choix des activités
d) Un recensement, les élèves de l’école
Observe la distribution de données ci-dessous.
2
3
5
5
6
7
8
9
15
21
23
Quelle afrmation est fausse ?
3
a) L’étendue est de 21.
b) Le mode est de 5.
c) La médiane est de 7,5.
d) La moyenne est d’environ 9,45.
Observe la distribution de données ci-dessous.
21
25
26
31
37
42
51
55
62
Quels sont les quartiles de cette distribution ?
4
a) Q1 = 25,5 ; Q2 = 37 ; Q3 = 53
b) Q1 = 21 ; Q2 = 37 ; Q3 = 62
c) Q1 = 25,5 ; Q2 = 39,5 ; Q3 = 53
d) Q1 = 21 ; Q2 = 39,5 ; Q3 = 62
Quel résultat Alexandre a-t-il obtenu au test
sur la résolution d’équations ?
G-150
Pondération
(%)
Résultat
(%)
Test d’algèbre
15
86
Test sur les fonctions
et l’algèbre
45
92
Test sur la résolution
d’équations
20
?
Test de géométrie
20
76
Moyenne pondérée
100
82,3
Le tableau ci-contre représente les résultats
d’Alexandre aux quatre évaluations de l’étape.
a) 60 %
b) 64 %
c) 70 %
d) 75 %
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-7
(
)
Questions à réponses courtes
5
On effectue un sondage auprès des habitants d’une ville pour connaître leurs dépenses hebdomadaires
moyennes liées à l’épicerie. On a sélectionné deux rues au hasard et on a interrogé toutes les familles
vivant sur ces rues. Voici les données recueillies :
50
50
75
80
80
90
110
135
135
140
150
155
175
180
210
210
215
240
250
275
300
320
320
330
340
345
355
a) Construis le tableau de données condensées et le diagramme associé.
Dépenses hebdomadaires
liées à l’épicerie
Dépenses ($)
Effectif
[0, 60[
b) Trace le diagramme
de quartiles associé
à la situation.
Utilise la liste
de données.
c) Quelle est la population visée par cette étude ?
d) Quelle est la méthode d’échantillonnage utilisée : en grappes, aléatoire simple, stratié
ou systématique ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-151
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-7
(
6
Trouve la moyenne, le mode (ou la classe modale) et la médiane (ou la classe médiane)
des distributions suivantes.
a)
b)
7
)
Âge des participants
à un congrès
Données
Effectif
[20, 30[
12
[30, 40[
15
[40, 50[
29
[50, 60[
24
[60, 70[
7
Nombre de véhicules
par famille
Données
Effectif
0
6
1
11
2
20
3
7
4
2
Les enseignants d’une école secondaire ont effectué un sondage an de connaître le nombre
d’heures que les élèves consacrent à l’étude et aux travaux scolaires chaque semaine. Ce sondage
a été effectué auprès de 200 élèves.
Trouve les mesures de tendance centrale de cette distribution.
G-152
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-7
(
)
Questions à développement
8
Lundi, quatre élèves étaient absents à leur test de français. Trois de ces élèves ont passé le test
le lendemain et ont obtenu 72 % de moyenne. Mercredi, le quatrième élève a passé le test à
son tour. Daniel, l’enseignant, a calculé que ces quatre élèves avaient obtenu une moyenne de 79 %.
Est-ce possible ? Si oui, quel résultat le quatrième élève a-t-il obtenu ?
Réponse :
9
Pour un voyage scolaire, Nathan, Aminata, Érika et Simon disposent en moyenne de 28 $ chacun
pour leurs dépenses personnelles. Quel montant possède chaque élève, si :
• Aminata possède le plus petit montant d’argent ;
• Nathan a 18 $ de plus qu’Érika ;
• la médiane est de 25 $ ;
• Érika possède le 2e plus grand montant d’argent ;
• Simon possède un montant de 20 $ ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
G-153
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-7
(
)
10 Les diagrammes de quartiles ci-dessous représentent la distribution des sommes d’argent gagnées
par les 20 premières joueuses professionnelles et les 20 premiers joueurs professionnels de tennis
en mars 2008.
Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Justie ta réponse.
a) Environ 25 % des 20 premiers hommes ont remporté une somme d’argent plus élevée que les
20 premières femmes.
b) Il y a beaucoup plus d’hommes que de femmes dans le quatrième quart.
c) Le troisième quart chez les hommes équivaut au maximum chez les femmes.
d) Au moins 50 % des 20 premières femmes ont remporté des sommes d’argent plus petites que
les 20 premiers hommes.
G-154
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 7
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
SOMMAIRE
Fiche
Activités supplémentaires
Fiche AS-8.1
Les expériences aléatoires simples et composées . . . . . . . . . . . G-156
Fiche AS-8.2
La probabilité géométrique
........................................
G-160
Activités d’enrichissement
Fiche AE-8
Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-163
Évaluation de n de chapitre
Fiche EC-8
Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-167
CHAPITRE
Les probabilités
8
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.1
Activités supplémentaires
8.1 Les expériences aléatoires simples et composées
1
2
3
On effectue l’expérience aléatoire qui consiste à tirer deux cartes en même temps d’un jeu
de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer :
a) l’as de trèe et l’as de cœur ?
b) deux cartes noires ?
c) une carte de pique et une carte de carreau ?
d) deux dames ?
e) une carte rouge et une carte noire ?
f) deux cartes de la même couleur ?
Lorsqu’elle pratique le tir à l’arc, Valérie atteint la cible
dans 70 % des cas. Dans un tournoi, elle a droit
à deux tirs. Quelle est la probabilité qu’elle réussisse
les deux tirs ?
Réponse :
Annie a lancé deux dés 50 fois de suite et a noté les sommes obtenues dans un diagramme
à bandes. À l’aide du diagramme, détermine la probabilité d’obtenir les résultats suivants.
a) Une somme de 6 :
b) Une somme de 7 :
c) Une somme de 10 :
d) Une somme de 12 :
G-156
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.1
(
4
)
Soit l’expérience aléatoire qui consiste à choisir un mois de l’année. On s’intéresse
aux cinq événements suivants.
A : « Obtenir un mois ne comptant pas 31 jours »
B : « Obtenir un mois comportant la lettre R »
C : « Obtenir un mois nissant par BRE »
D: « Obtenir un mois ne contenant pas la lettre L »
E: « Obtenir un mois de l’automne ou de l’hiver »
a) Donne la probabilité que chacun de ces événements se réalise.
b) Donne l’événement complémentaire de chaque événement.
5
Un jeu de cartes spécialisé ne comprend que trois cartes de chaque enseigne : as, roi, dame.
Soit les trois événements suivants :
A : « Tirer un roi »
B : « Tirer une dame »
C : « Tirer une carte de carreau »
Indique si :
a) les événements A et B sont compatibles ou incompatibles.
b) les événements B et C sont compatibles ou incompatibles.
c) les événements A et B sont complémentaires ou non.
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-157
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.1
(
6
)
Deux cents élèves de l’école secondaire Samuel-De Champlain ont passé la journée dans
une station de sports d’hiver. Ils avaient la possibilité de participer à trois activités : le patin à glace,
la glissade sur tube ou la raquette. Les organisateurs de la journée ont noté toutes les activités
auxquelles ont participé les élèves. Voici les informations qu’ils ont recueillies :
• 120 élèves ont fait de la glissade sur tube ;
• 58 ont fait de la glissade sur tube et de la raquette ;
• 90 ont fait du patin à glace ;
• 96 ont fait plus d’une activité ;
• 30 ont participé aux trois activités ;
• 45 ont choisi la glissade sur tube et le patin à glace ;
• 114 ont fait de la raquette.
a) Représente ces données dans un diagramme de Venn.
b) Quelle est la probabilité de choisir au hasard quelqu’un :
1) qui n’a fait aucune activité ?
2) qui a fait de la glissade sur tube ou du patin à glace ?
3) qui a fait du patin à glace et de la raquette ?
4) qui a fait une seule activité ?
5) qui a fait exactement deux activités ?
G-158
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.1
(
7
)
Dans un sac, on a placé toutes les lettres de l’alphabet. On effectue l’expérience aléatoire
qui consiste à tirer une lettre du sac. On s’intéresse aux événements suivants :
A : « Tirer une voyelle »
B : « Tirer une lettre du mot MONTRÉAL »
C : « Tirer une consonne du mot COMPATIBLE »
a) Décris l’événement complémentaire à l’événement A.
b) Décris les événements en extension, c’est-à-dire en nommant les résultats qu’ils comprennent.
A=
A’ =
B=
C=
c) Trouve les probabilités suivantes.
1) P(A’)
2) P(C)
3) P(A ∩ C)
4) P(A’ ∪ B)
5) P(B ∪ C)
6) P(B ∩ C)
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-159
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.2
Activités supplémentaires
8.2 La probabilité géométrique
1
Indique si chacune des variables associées aux expériences aléatoires suivantes est discrète ou continue.
a) On s’intéresse au nombre de pages d’un livre choisi au hasard.
b) On s’intéresse à la masse d’un élève choisi au hasard.
c) On s’intéresse au volume d’une bouteille choisie au hasard.
2
Une boîte contient 8 retailles de tissu dont la longueur varie de 2,12 m à 3,27 m. Mireille choisit
une retaille au hasard.
a) Quelle est la probabilité que la longueur de la retaille de tissu choisie varie de 2,32 m à 3,14 m ?
Réponse :
b) Trouve la probabilité que la retaille de tissu choisie ait une longueur variant de 2,32 m
à 3,14 m, sachant que les longueurs des 8 retailles sont les suivantes.
2,12 m
2,24 m
2,4 m
2,87 m
3,02 m
3,17 m
3,2 m
3,27 m
Réponse :
G-160
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.2
(
3
)
Emma et Sophia jouent avec une petite balle dans leur cour. Emma
manque son lancer et voit la balle se diriger tout droit vers la porte
de la maison.
Quelle est la probabilité que la balle frappe la fenêtre lorsqu’elle
heurtera la porte ?
Réponse :
4
On considère l’expérience aléatoire « Lancer des échettes au hasard sur une cible » et on s’intéresse
à l’événement A : « Atteindre une partie ombrée de la cible ». En supposant que toutes les échettes
atteignent la cible, calcule la probabilité d’atteindre la partie ombrée de chacune des cibles ci-dessous.
a)
Diamètre des cercles :
24, 35 et 50 cm
Réponse :
Dimensions du petit rectangle :
14 cm sur 20 cm
Dimensions du moyen rectangle :
28 cm sur 40 cm
Dimensions du grand rectangle :
42 cm sur 60 cm
Réponse :
b)
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-161
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AS-8.2
(
5
)
Luis et son ami Diego ont modié la traditionnelle
cible circulaire de leur jeu de échettes. Chacun d’eux
a fabriqué une nouvelle cible de forme carrée avec
différentes zones ombrées.
L’une des deux cibles permet-elle d’atteindre plus
souvent la partie ombrée en lançant une échette ?
Cible de Luis
Cible de Diego
Réponse :
6
Tous les jours, Simone emprunte la piste cyclable pour se rendre à l’école en vélo. Le feu pour
cyclistes au coin de chez elle demeure rouge 40 secondes, vert 40 secondes et jaune 5 secondes.
Quelle est la probabilité que Simone arrive au feu vert 5 jours consécutifs ?
Réponse :
7
Dans la boucherie où Philippe fait ses courses, tous les rôtis de bœuf vendus ont une masse de 2,5 kg
à 3,5 kg.
Quelle est la probabilité que Philippe choisisse un rôti dont la masse est de 2,7 kg à 3 kg ?
Réponse :
G-162
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-8
Activités d’enrichissement
Chapitre 8
1
Adèle a reçu une boîte de chocolats en cadeau. La boîte contient 3 chocolats au caramel, 2 chocolats
à la cerise, 2 chocolats aux amandes, 4 truffes et 1 chocolat blanc. Adèle ferme les yeux, prend un
chocolat au hasard dans la boîte et le déguste. Toujours les yeux fermés, elle répète son petit rituel
deux autres fois.
Quelle est la probabilité qu’Adèle choisisse une truffe en premier, un chocolat à la cerise en deuxième
et qu’elle termine par un chocolat au caramel ?
Réponse :
2
On lance un dé à 6 faces. On s’intéresse aux événements suivants :
A : « Obtenir un nombre premier »
B : « Obtenir un nombre inférieur à 5 »
a) Trouve les probabilités suivantes.
P(A) =
P(B) =
P(A ∩ B) =
b) Si on sait que l’événement B s’est produit, la probabilité de l’événement A demeure-t-elle la même ?
3
Quand il s’entraîne au basketball, Emmanuel réussit généralement 13 lancers francs sur 20. Quelle
est la probabilité, en pourcentage, qu’il réussisse un lancer franc ? De quel type de probabilité s’agit-il,
théorique ou fréquentielle ?
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-163
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-8
(
4
)
Aïcha a fait un sondage dans sa classe pour connaître les passe-temps préférés de ses camarades.
Voici les données qu’elle a recueillies :
• 12 élèves font du collimage (scrapbooking).
• 8 élèves aiment écouter de la musique et faire au moins une autre activité.
• 11 élèves aiment jouer à des jeux vidéo.
• 2 élèves s’adonnent aux 3 activités.
• 1 élève aime jouer à des jeux vidéo et faire du collimage.
• Il y a autant d’élèves qui aiment écouter de la musique et jouer à des jeux vidéo que d’élèves
qui écoutent de la musique et font du collimage.
• Au total, 12 élèves aiment écouter de la musique.
• 30 élèves ont répondu au sondage.
a) Représente les résultats du sondage dans un diagramme de Venn.
b) Quelle est la probabilité qu’Aïcha choisisse au hasard quelqu’un :
1) qui fait seulement du collimage ?
2) qui ne pratique aucun de ces passe-temps ?
3) qui s’adonne à exactement deux de ces passe-temps ?
4) qui s’adonne à un seul passe-temps ?
5) qui s’adonne à au moins un passe-temps ?
6) qui écoute de la musique ?
G-164
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-8
(
5
Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, indique si les événements A et B sont compatibles
ou incompatibles. S’ils sont compatibles, trouve au moins un résultat qu’ils ont en commun.
Expérience aléatoire
Événements
a) Lancer deux dés à huit faces.
A : « Obtenir un total pair »
B : « Obtenir deux nombres identiques »
b) Lancer deux pièces de monnaie.
A : « Obtenir deux côtés identiques »
B : « Obtenir deux côtés face »
c) Tirer deux numéros d’un bocal contenant
A : « Obtenir une boule de la colonne B »
B : « Obtenir une boule de la colonne O »
des numéros de bingo.
d) Tirer deux mois de l’année.
6
)
A : « Obtenir un mois qui commence par la lettre J »
B : « Obtenir un mois de 31 jours »
On effectue l’expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard une carte d’un jeu qui ne contient que
les gures (valet, dame, roi) et les as de chaque enseigne. On s’intéresse aux événements suivants :
A : « Tirer une carte noire »
B : « Tirer une carte de trèe »
C : « Ne pas tirer l’as de cœur »
D : « Tirer un as »
Associe chacun des événements précédents à son événement complémentaire qui se trouve dans
la liste ci-dessous.
E : « Tirer une gure »
F : « Tirer l’as de cœur »
G : « Tirer une carte rouge »
H : « Tirer une carte de cœur, de carreau ou de pique »
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-165
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche AE-8
(
7
)
Émile et ses amis ont modié le jeu de l’âne qui consiste à coller
la queue de l’âne au bon endroit. Sur une feuille carrée de carton
noir de 40 cm de côté, ils ont collé quatre cercles isométriques du
plus grand rayon possible, en prenant soin qu’ils ne débordent pas
du cadre. Après s’être bandé les yeux, ils doivent essayer de toucher
du doigt la partie noire du carton.
Quelle est la probabilité qu’Émile réussisse du premier coup à toucher
la partie noire ?
Réponse :
8
Avec son crayon, Joanie perce des trous dans
une boîte de mouchoirs de papier. Les trous
formés ont une circonférence de 28 mm.
Au total, elle a fait 20 trous répartis sur toutes
les faces de la boîte.
Quelle est la probabilité que la mouche
qui cherche à se poser sur la boîte passe
par un des trous ?
Réponse :
G-166
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-8
Évaluation de n de chapitre
Chapitre 8 : Les probabilités
Questions à choix multiples
1
On tire au hasard un chiffre du nombre 254 467. Soit les événements suivants :
A : « Tirer un nombre premier »
B : « Tirer un nombre pair »
C : « Tirer un nombre impair »
Parmi les afrmations suivantes, laquelle est fausse ?
2
a) Les événements A et B sont compatibles.
b) Les événements B et C sont complémentaires.
c) Les événements B et C sont compatibles.
d) Les événements A et C sont compatibles.
On tire au hasard trois lettres sans remise du mot INDISPENSABLE. Quelle est la probabilité
d’obtenir la séquence « S, S, P » ?
a)
3
563
1 716
b)
1
858
c)
1
2 197
d)
3
13
John demande à son poissonnier de lui choisir un homard au hasard dans l’aquarium. La masse
des homards varie de 125 g à 1 250 g.
Quelle est la probabilité que le homard choisi ait une masse variant de 260 g à 1 075 g ?
a) 57,8
4
c) 61,5 %
d) 82,3 %
Quelle est la probabilité qu’un point choisi au hasard
dans la gure ci-contre soit dans la région ombrée ?
a)
27
50
c) 66,7 %
5
b) 72,4 %
b)
1
2
d) 45,8 %
On fait tirer trois bicyclettes parmi les 30 élèves du groupe sport-études d’une école secondaire.
Si un même élève ne peut gagner plus d’une fois et que les garçons comptent pour les deux tiers
de la classe, quelle est la probabilité que les bicyclettes soient gagnées par deux garçons et une lle ?
a)
95
203
b)
95
609
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c)
1
24 360
Sommets • 3e secondaire
d)
1
8
Chapitre 8
G-167
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-8
(
)
Questions à réponses courtes
6
Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, indique d’abord s’il s’agit d’une expérience
avec ou sans remise, puis si l’on doit tenir compte de l’ordre des résultats.
a) Faire tirer 5 chèques-cadeaux de 20 $ parmi 100 personnes. Il est impossible de gagner plus
d’une fois.
b) Choisir deux élèves de la classe comme représentants au conseil étudiant.
c) Prédire les 10 premières positions d’une course de formule 1.
d) Lancer un dé 25 fois de suite et noter les résultats.
e) Tirer à pile ou face avec cinq pièces de monnaie simultanément.
7
G-168
Tu effectues l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé à six faces. Quelle est
la probabilité d’obtenir :
a) un 5, suivi d’un 2 ?
b) un 1, suivi d’un 8 ?
c) un nombre impair, suivi d’un nombre pair ?
d) un diviseur de 6, suivi d’un multiple de 3 ?
e) un multiple de 2, suivi d’un diviseur
de 10 ?
f) un nombre premier, suivi d’un nombre
inférieur à 6 ?
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-8
(
8
)
Maria a lancé un dé 400 fois et a remarqué qu’il était truqué. Voici le tableau qui présente ses résultats.
Résultats des lancers du dé
Face
1
2
3
4
5
6
Nombre de lancers
50
70
62
86
60
72
Donne, en pourcentage, la probabilité d’obtenir avec ce dé :
a) le nombre 4 :
b) un nombre pair :
c) un nombre impair :
d) un nombre supérieur à 3 :
e) un multiple de 5 :
9
Quelle est la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans la région ombrée
de la gure suivante ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-169
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-8
(
)
Questions à développement
10 Lana, Paola et Syra jouent au basketball. Jusqu’à présent, Lana a réussi 75 % de ses lancers,
Paola a réussi 40 % de ses lancers et Syra, 70 %.
Quelle est la probabilité que Paola soit la seule à réussir son prochain lancer ?
Réponse :
11 On sait que, parmi un groupe d’élèves pris au hasard, 20 élèves étudient l’espagnol, 8 étudient
l’allemand, 5 étudient l’espagnol et l’allemand, et 2 n’étudient aucune de ces deux langues.
On choisit une personne au hasard dans le groupe. Détermine la probabilité qu’elle étudie
l’espagnol et l’allemand.
Réponse :
G-170
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EC-8
(
)
12 En jouant sur sa couverture, la petite Élodie a perdu la pierre d’une de ses boucles d’oreilles.
Sachant qu’un petit carré blanc ou noir mesure 12 mm sur 12 mm, calcule la probabilité que
la pierre soit tombée sur un carré noir.
Réponse :
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Chapitre 8
G-171
Le guide se poursuit
à la page suivante.
Situations-problèmes
SOMMAIRE
Fiche
Situation-problème 1
Fiche SP-1
Aventure en plein air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G-174
Grille d’évaluation spécique (CD1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-177
Situation-problème 2
Fiche SP-2
Les noces de porcelaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-178
Grille d’évaluation spécique (CD1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G-181
Situation-problème 3
Fiche SP-3
La boîte magique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-182
Grille d’évaluation spécique (CD1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-185
Situation-problème 4
Fiche SP-4
Solides en boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-186
Grille d’évaluation spécique (CD1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G-190
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-1
Situation-problème 1
Aventure en plein air
La plus longue tyrolienne au Canada se trouve dans le village de Whistler, en Colombie-Britannique.
Elle permet aux amateurs de sensations fortes de se laisser glisser le long d’un câble à une vitesse
maximale d’environ 150 km/h entre les monts Whistler et Blackcomb.
Une agence touristique désire créer un nouveau parcours touristique composé de tyroliennes et de vias
ferratas. La via ferrata est un itinéraire d’escalade le long de parois rocheuses équipées de câbles
et d’ancrages qui facilitent l’ascension et assurent la sécurité des sportifs.
L’agence te propose le dé suivant. À partir des informations fournies sur le dessin ci-dessous, tu dois
déterminer la longueur du parcours en kilomètres et sa durée totale, ainsi que la hauteur maximale
atteinte par rapport au village, en mètres. Complète le tableau au bas de la page G-176.
Vitesse d’ascension moyenne d’une via ferrata : 5,5 × 10 -5 km/s
Vitesse de descente moyenne en tyrolienne :
km/h
* Ce dessin n’est pas à l’échelle.
G-174
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-1
(
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
)
G-175
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-1
(
Hauteur maximale atteinte
G-176
Sommets • 3e secondaire
Longueur du parcours
Situations-problèmes
)
Durée du parcours
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Sommets • 3e secondaire
20 points
L’élève présente une démarche
complète et structurée tout en
respectant les règles et conventions
du langage mathématique.
40 points
L’élève :
– sélectionne les concepts et
processus appropriés à la situation
(relation de Pythagore, loi des
exposants, notation scientique) ;
– produit une solution exacte.
40 points
L’élève :
– identie toutes les données
pertinentes à la résolution de
la situation (longueurs données,
vitesse moyenne d’ascension en
via ferrata, segments isométriques,
triangles rectangles, expression
de la vitesse moyenne de descente
en tyrolienne) ;
– planie chacune des étapes à
franchir (longueur de la via ferrata 2,
hauteur maximale du trajet,
longueur de la tyrolienne 2, vitesse
moyenne de descente en tyrolienne,
longueur totale du trajet et durée
totale du trajet) ;
– tient compte de toutes les contraintes
de la situation (longueur totale,
hauteur maximale et durée du trajet).
16 points
L’élève laisse des traces
claires de la solution, même
si certaines étapes sont
implicites, en commettant
des erreurs mineures relatives
aux règles et conventions
du langage mathématique.
32 points
L’élève :
– sélectionne les concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution
qui comporte des erreurs
mineures (ex. : erreurs
de calcul).
32 points
L’élève :
– identie les données
pertinentes à la résolution
de la situation ;
– planie la plupart des étapes
à franchir ;
– tient compte de la plupart
des contraintes de
la situation.
B
Satisfaisant
12 points
L’élève laisse des traces
incomplètes ou peu structurées
tout en commettant des erreurs
liées aux règles et conventions
du langage mathématique.
24 points
L’élève :
– sélectionne la plupart
des concepts et processus
appropriés à la situation ;
– produit une solution
qui comporte des erreurs
conceptuelles.
24 points
L’élève :
– identie les données explicites
(longueurs données, vitesse
moyenne d’ascension en
via ferrata) et certaines
données implicites (segments
isométriques, triangles
rectangles, expression
de la vitesse moyenne
de descente en tyrolienne) ;
– planie certaines des étapes
à franchir ;
– tient compte de certaines
contraintes de la situation.
C
Partiellement satisfaisant
8 points
L’élève laisse des traces confuses
et incomplètes de la solution,
qui présentent des erreurs
liées aux règles et conventions
du langage mathématique.
16 points
L’élève :
– sélectionne certains concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution
qui comporte des erreurs
majeures (ex. : inversion
des valeurs dans la relation
de Pythagore).
16 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à
la résolution de la situation ;
– présente une planication
peu structurée des étapes
à franchir ;
– tient peu compte des
contraintes de la situation.
D
Insatisfaisant
4 points
L’élève laisse peu ou pas
de traces de sa solution.
8 points
L’élève :
– sélectionne des concepts
et processus peu appropriés
à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
majeures.
8 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à
la résolution de la situation ;
– ne planie pas les étapes
à franchir ;
– ne tient pas compte des
contraintes de la situation.
E
Nettement insatisfaisant
Groupe :
Grille d’évaluation spécique
CD1 Résoudre une situation-problème :
(
Situations-problèmes
1. Le critère 4, « Validation appropriée des étapes de la solution », doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué. Référez-vous aux comportements observables de la grille d’évaluation
générale de la CD1, à la p. G-220 du guide-corrigé.
3. Élaboration d’une
solution appropriée1
2. Mobilisation des
savoirs mathématiques
appropriés
1. Manifestation, oralement ou par écrit, de
sa compréhension de
la situation-problème
A
Très satisfaisant
Nom :
Date :
Fiche SP-1
)
G-177
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-2
Situation-problème 2
Les noces de porcelaine
Maélie et Alexandre organisent une soirée pour célébrer le vingtième anniversaire de mariage de
leurs parents. Ils ont déterminé le nombre d’invités, loué la salle de réception, sélectionné deux traiteurs
potentiels et commandé le gâteau. Les grands-parents de Maélie et Alexandre ont offert de payer
les frais de la soirée et leur ont accordé un budget de 1 500 $. Voici les détails des dépenses.
Le traiteur
Après de nombreuses recherches, Maélie hésite entre deux traiteurs. Alexandre a calculé que, peu
importe le traiteur choisi, le coût total est le même.
Le traiteur Basilic et coriandre demande 49,50 $ pour la livraison et un certain montant par personne.
Par exemple, pour 20 personnes, le coût est de 419,50 $.
Le traiteur Truffe et chocolat demande aussi un montant pour la livraison ainsi qu’un montant par personne.
Par exemple, pour 15 personnes, le coût est de 341,25 $ et pour 40 personnes, le coût est de 785 $.
La salle de réception
La table de valeurs suivante présente le coût de location par personne selon le nombre d’invités.
Nombre d’invités
Coût par personne ($)
10
15
25
50
75
28,50
19,00
11,40
5,70
3,80
Le gâteau
Le gâteau choisi a la forme d’un cylindre surmonté d’un cône. Son coût
est de 120 $, auquel on doit ajouter un montant qui varie selon le type
de glaçage. Maélie et Alexandre ne se souviennent pas du glaçage choisi.
Voici le prix du glaçage selon la surface à couvrir :
Fondant au chocolat noir :
Ganache au chocolat blanc :
Les deux adolescents doivent maintenant s’occuper de la décoration de la salle et de la musique. À l’aide
des informations données, trouve l’intervalle du montant d’argent qu’il reste pour la décoration et la musique.
Ne tiens pas compte des taxes.
G-178
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-2
(
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
)
G-179
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-2
(
)
Réponse :
G-180
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
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Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
16 points
L’élève laisse des traces
claires de la solution, même
si certaines étapes sont
implicites, en commettant
des erreurs mineures relatives
aux règles et conventions
du langage mathématique.
32 points
L’élève :
– sélectionne les concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution
qui comporte des erreurs
mineures (ex. : erreurs
de calcul).
32 points
L’élève :
– identie les données
pertinentes à la résolution
de la situation ;
– planie la plupart
des étapes à franchir ;
– tient compte de la
contrainte de la situation.
12 points
L’élève laisse des traces
incomplètes ou peu structurées
tout en commettant des erreurs
liées aux règles et conventions
du langage mathématique.
24 points
L’élève :
– sélectionne la plupart
des concepts et processus
appropriés à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
conceptuelles.
24 points
L’élève :
– identie les données
explicites (budget à respecter,
dimensions et coût du gâteau,
coûts des glaçages) et
certaines données implicites
(coût de la location de la salle
de réception, coût du traiteur) ;
– planie certaines des étapes
à franchir ;
– tient compte de la contrainte
de la situation.
C
Partiellement satisfaisant
8 points
L’élève laisse des traces confuses
et incomplètes de la solution,
qui présentent des erreurs liées
aux règles et conventions du
langage mathématique.
16 points
L’élève :
– sélectionne certains concepts
et processus appropriés à
la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
majeures (ex. : inversion des
valeurs de x et de y dans le
calcul du taux de variation,
repérage inadéquat du type
de fonction, identication
erronée des données dans
la relation de Pythagore,
non-respect des priorités
d’opérations).
16 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à
la résolution de la situation ;
– présente une planication
peu structurée des étapes
à franchir ;
– tient peu compte de la
contrainte de la situation.
D
Insatisfaisant
4 points
L’élève laisse peu ou pas
de traces de sa solution.
8 points
L’élève :
– sélectionne des concepts
et processus peu appropriés
à la situation ;
– produit une solution
qui comporte des erreurs
majeures.
8 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à
la résolution de la situation ;
– ne planie pas les étapes
à franchir ;
– ne tient pas compte de la
contrainte de la situation.
E
Nettement insatisfaisant
Grille d’évaluation spécique
20 points
L’élève présente une démarche
complète et structurée tout en
respectant les règles et conventions
du langage mathématique.
40 points
L’élève :
– sélectionne les concepts et
processus appropriés à la situation
(fonction de variation inverse, taux
de variation, ordonnée à l’origine,
règle de fonctions afnes, résolution
d’un système d’équations, relation
de Pythagore, aire de solides,
proportions) ;
– produit une solution exacte.
40 points
L’élève :
– identie toutes les données
pertinentes à la résolution de la
situation (données du système
d’équations lié au calcul des coûts
du traiteur, tableau des coûts de
la location de la salle, dimensions
du gâteau, coût du gâteau sans
glaçage, coûts des glaçages et
budget à respecter) ;
– planie chacune des étapes à
franchir (coût du traiteur, coût de
la location de la salle, coût total
du gâteau, montant disponible
pour la décoration et la musique) ;
– tient compte de la contrainte de
la situation (budget à respecter).
B
Satisfaisant
Groupe :
CD1 Résoudre une situation-problème :
(
1. Le critère 4, « Validation appropriée des étapes de la solution », doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué. Référez-vous aux comportements observables de la grille d’évaluation
générale de la CD1, à la p. G-220 du guide-corrigé.
3. Élaboration d’une
solution appropriée1
2. Mobilisation des
savoirs mathématiques
appropriés
1. Manifestation,
oralement ou par écrit,
de sa compréhension
de la situationproblème
A
Très satisfaisant
Nom :
Date :
Fiche SP-2
)
G-181
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-3
Situation-problème 3
La boîte magique
Miro, un jeune magicien, possède deux contenants conçus sur mesure pour dissimuler sa baguette
magique d’une longueur de 75 cm. Le premier contenant a la forme d’un prisme droit à base carrée,
et le deuxième a la forme d’un cylindre circulaire droit. La base de chacun des deux contenants a une
supercie de 1 000 cm2.
Baguette
Contenant 1
Contenant 2
Miro a besoin d’une boîte avec couvercle an d’y ranger ses contenants. Il souhaite que sa boîte soit
fabriquée en bois de rose. Miro a trouvé une compagnie qui fabrique de telles boîtes à des prix
compétitifs.
La table de valeurs ci-dessous représente les coûts possibles selon la surface de bois nécessaire.
Les arbres magiques
Surface de
bois (dm2)
Coût ($)
125
231,25
154
267,50
200
325
226
357,50
Les arbres magiques
Coût ($)
(200, 325)
(100, 200)
Surface de bois (dm2)
Détermine les dimensions, au centimètre près, de la boîte nécessaire pour ranger les contenants de Miro.
Trouve ensuite le prix de cette boîte.
G-182
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-3
(
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
)
G-183
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-3
(
)
Réponse :
G-184
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
16 points
L’élève laisse des traces
claires de la solution,
même si certaines étapes
sont implicites en commettant
des erreurs mineures relatives
aux règles et conventions
du langage mathématique.
32 points
L’élève :
– sélectionne les concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
mineures (ex. : unités
de mesure manquantes,
erreurs de calcul).
32 points
L’élève :
– identie les données
pertinentes à la résolution
de la situation ;
– planie la plupart des
étapes à franchir ;
– tient compte de la plupart
des contraintes de
la situation.
12 points
L’élève laisse des traces
incomplètes ou peu structurées
tout en commettant des erreurs
liées aux règles et conventions
du langage mathématique.
24 points
L’élève :
– sélectionne la plupart
des concepts et processus
appropriés à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
conceptuelles.
24 points
L’élève :
– identie les données explicites
(longueur de la baguette,
supercie des bases des
contenants, table de valeurs)
et certaines données implicites
(fonction afne représentant
les coûts de fabrication) ;
– planie certaines des étapes
à franchir ;
– tient compte de certaines
contraintes de la situation.
C
Partiellement satisfaisant
8 points
L’élève laisse des traces confuses
et incomplètes de la solution, qui
présentent des erreurs liées aux
règles et conventions du langage
mathématique.
16 points
L’élève :
– sélectionne certains concepts
et processus appropriés à
la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
majeures (ex. : inversion
des valeurs de x et de y dans
le calcul du taux de variation,
repérage inadéquat du type
de fonction, identication
erronée des données dans
la relation de Pythagore,
non-respect des priorités
des opérations).
16 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à la
résolution de la situation ;
– présente une planication
peu structurée des étapes
à franchir ;
– tient peu compte des
contraintes de la situation.
D
Insatisfaisant
4 points
L’élève laisse peu ou pas
de traces de sa solution.
8 points
L’élève :
– sélectionne des concepts
et processus peu appropriés
à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
majeures.
8 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à la
résolution de la situation ;
– ne planie pas les étapes
à franchir ;
– ne tient pas compte des
contraintes de la situation.
E
Nettement insatisfaisant
Grille d’évaluation spécique
20 points
L’élève présente une démarche
complète et structurée tout en
respectant les règles et conventions
du langage mathématique.
40 points
L’élève :
– sélectionne les concepts et
processus appropriés à la situation
(relation de Pythagore, aire de
solides, taux de variation, ordonnée
à l’origine, règles de fonctions
afnes, trouver une mesure
manquante à partir de l’aire
d’une gure) ;
– produit une solution exacte.
40 points
L’élève :
– identie toutes les données
pertinentes à la résolution de la
situation (longueur de la baguette,
supercie des bases des contenants,
boîte de rangement nécessaire pour
ranger les deux contenants, table de
valeurs et diagramme pour le coût
du bois) ;
– planie chacune des étapes à
franchir (hauteur de chacun des
deux contenants, dimensions de
la boîte, surface totale de la boîte,
coût de fabrication) ;
– tient compte de toutes les
contraintes de la situation
(dimensions et coût de la boîte
de rangement).
B
Satisfaisant
Groupe :
CD1 Résoudre une situation-problème :
(
1. Le critère 4, « Validation appropriée des étapes de la solution », doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué. Référez-vous aux comportements observables de la grille d’évaluation
générale de la CD1, à la p. G-220 du guide-corrigé.
3. Élaboration d’une solution appropriée1
2. Mobilisation des
savoirs mathématiques
appropriés
1. Manifestation, oralement ou par écrit, de
sa compréhension de
la situation-problème
A
Très satisfaisant
Nom :
Date :
Fiche SP-3
)
G-185
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-4
Situation-problème 4
Solides en boîte
Une entreprise fabrique des articles de géométrie pour les classes du primaire.
Elle démarre la production d’un ensemble de cinq solides : un cube, une pyramide régulière à base
carrée, une boule, un cône droit et un cylindre droit. La mesure de la hauteur est la même pour le cône,
le cylindre, le cube et la pyramide.
L’entreprise dispose d’un appareil qui sert à mouler des objets en plastique. L’appareil comprend un
réservoir cubique de 1,83 m d’arête qui contient le plastique sous forme liquide avant qu’il soit moulé
en différents polyèdres et corps ronds. Une fois ce réservoir rempli, on peut fabriquer 3 375 solides
ayant tous le même volume.
Au total, on prévoit remplir le réservoir 12 fois pour fabriquer les solides de tous les ensembles de
géométrie. Chaque ensemble de cinq solides sera ensuite placé dans une boîte de carton rigide ayant la
forme d’un prisme droit à base rectangulaire.
Les solides seront placés dans la boîte de la façon suivante.
Cylindre
Cône
Cube
Pyramide
Boule
1 cm
Trouve les dimensions, en cm, de chacun des solides à fabriquer, ainsi que l’aire minimale de carton
nécessaire à la fabrication de toutes les boîtes de présentation, en m2.
Complète le tableau à la page G-189.
G-186
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-4
(
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Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
)
G-187
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-4
(
G-188
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
)
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche SP-4
(
)
Tableau résumé
Boule
Cube
Cylindre droit
Pyramide droite à base carrée
Cône droit
Aire minimale de carton nécessaire
pour l’ensemble des boîtes
A=
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Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
G-189
G-190
Sommets • 3e secondaire
Situations-problèmes
12 points
L’élève laisse des traces
incomplètes ou peu structurées
tout en commettant des erreurs
liées aux règles et conventions
du langage mathématique.
24 points
L’élève :
– sélectionne la plupart
des concepts et processus
appropriés à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
conceptuelles.
24 points
L’élève :
– identie les données explicites
(dimensions du réservoir,
nombre de remplissages du
réservoir, nombre de solides
pouvant être fabriqués, type
de solide à fabriquer) et
certaines données implicites
(volume des solides, hauteur
des solides, dimensions de la
boîte) ;
– planie certaines des étapes
à franchir ;
– tient compte de certaines
contraintes de la situation.
8 points
L’élève laisse des traces confuses
et incomplètes de la solution, qui
présentent des erreurs liées aux
règles et conventions du langage
mathématique.
16 points
L’élève :
– sélectionne certains concepts
et processus appropriés à la
situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
majeures (ex. : utilisation de la
mauvaise formule de volume,
identication erronée des
données dans la relation de
Pythagore, confusion entre le
volume et l’aire de solides, et
vice-versa).
16 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à
la résolution de la situation ;
– présente une planication
peu structurée des étapes
à franchir ;
– tient peu compte des
contraintes de la situation.
D
Insatisfaisant
4 points
L’élève laisse peu ou pas de
traces de sa solution.
8 points
L’élève :
– sélectionne des concepts
et processus peu appropriés
à la situation ;
– produit une solution
qui comporte des erreurs
majeures.
8 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à la
résolution de la situation ;
– ne planie pas les étapes
à franchir ;
– ne tient pas compte des
contraintes de la situation.
E
Nettement insatisfaisant
CD1 Résoudre une situation-problème :
16 points
L’élève laisse des traces
claires de la solution,
même si certaines
étapes sont implicites,
en commettant des
erreurs mineures relatives
aux règles et conventions
du langage mathématique.
32 points
L’élève :
– sélectionne les
concepts et processus
appropriés à la
situation ;
– produit une solution
qui comporte des
erreurs mineures
(ex. : erreurs de calcul,
calculs à partir
d’un seul réservoir
de plastique).
32 points
L’élève :
– identie les données
pertinentes à la
résolution de la
situation ;
– planie la plupart
des étapes à franchir ;
– tient compte de la
plupart des contraintes
de la situation.
C
Partiellement satisfaisant
Grille d’évaluation spécique
20 points
L’élève présente une démarche complète
et structurée tout en respectant les règles
et conventions du langage mathématique.
40 points
L’élève :
– sélectionne les concepts et processus
appropriés à la situation (relation de
Pythagore, volume des polyèdres et des
corps ronds, racine cubique, aire d’un
prisme droit à base rectangulaire) ;
– produit une solution exacte.
40 points
L’élève :
– identie toutes les données pertinentes
à la résolution de la situation
(dimensions du réservoir de l’appareil,
nombre de remplissages du réservoir,
nombre de solides pouvant être
fabriqués, type de solide à fabriquer) ;
– planie chacune des étapes à franchir
(volume du réservoir, volume de
chaque solide, hauteur des solides,
dimensions de chaque solide,
dimensions et surface totale de la boîte,
nombre de boîtes, aire totale de carton
des boîtes) ;
– tient compte de toutes les contraintes
de la situation (hauteur du cube, de la
pyramide, du cylindre et du cône doit
être la même ; chaque solide a le même
volume ; dimensions de la boîte de
présentation selon la façon de placer
les solides).
B
Satisfaisant
Groupe :
(
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
1 Le critère 4, « Validation appropriée des étapes de la solution », doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué. Référez-vous aux comportements observables de la grille d’évaluation
générale de la CD1, à la p. G-220 du guide-corrigé.
3. Élaboration d’une solution appropriée1
2. Mobilisation des
savoirs mathématiques
appropriés
1. Manifestation, oralement ou par écrit, de
sa compréhension de
la situation-problème
A
Très satisfaisant
Nom :
Date :
Fiche SP-4
)
Évaluation
SOMMAIRE
Fiche
Évaluations de n d’étape
Fiche EV-1
Étape 1 (chapitres 1 et 2)                           G-192
Fiche EV-2
Étape 2 (chapitres 3 à 5)                            G-198
Fiche EV-3
Étape 3 (chapitres 6 à 8)                            G-205
Évaluation de n d’année
Fiche EV-4
Évaluation de n d’année                            G-212
Grilles d’évaluation générales
Fiche EV-5
Grille d’évaluation générale (CD1)                     G-220
Fiche EV-6
Grille d’évaluation générale (CD2)                     G-221
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-1
Évaluation de n d’étape
Étape 1 (chapitres 1 et 2)
Questions à choix multiples
1
Parmi les représentations suivantes, laquelle correspond à l’intervalle ]3, 8] ?
a)
c)
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
4
5
6
7
8
9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
c) 13,8 dam = 138 m
d) 5,7 µs = 5,7 × 10-6 s
Parmi les triangles suivants, lequel n’est pas un triangle rectangle ?
b)
6,5 cm
12,5 cm
7,5 cm
c)
d)
20 cm
17,5 cm
10 cm
20 cm
12 cm
10 cm
16 cm
Quel est le résultat du développement de l’expression (9x − 4)2 ?
a) 81x2 − 16
b) 81x2 + 16
L’aire du rectangle ci-contre est de (3xy + 21y).
Quelle est la mesure de la base du rectangle ?
a) x + 7
G-192
3
b) 2,9 Mg = 2,9 × 108 g
2,5 cm
6
2
a) 120,5 g = 0,120 5 kg
6 cm
5
d)
1
Quelle équivalence est fausse ?
a)
4
b)
b) x + 21y
c) 81x2 − 72x − 16
d) 81x2 − 72x + 16
3y
c) 3x + 7y
d) 3x + 21
Quelle est la forme factorisée du polynôme (42x2y − 36xy2 + 18xy) par la mise en évidence
simple ?
a) 6x(7xy − 6y2 + 3y)
b) 6xy(7x − 6y + 3)
c) 9xy(5x − 4y + 2)
d) 18xy(4x − 3y + 1)
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-1
(
)
Questions à réponses courtes
7
Nomme tous les ensembles de nombres auxquels appartient le résultat de chacune des opérations
ci-dessous. Choisis parmi les ensembles n, z, q, q’ et r.
a)
b) 6,321 × 104
6,25
c) 57
d) 23 + 43
e) 18 × 0,1
f) π
1
7
8
2
Réduis les expressions suivantes. Écris ta réponse en notation exponentielle sans exposant négatif.
a)
=
d)
• 5–3 =
g)
9
1
b)
=
c) 33 • 23 =
=
e) (13 4673)0 =
f)
h)
i)
=
=
=
Trouve la mesure manquante dans les triangles rectangles suivants.
a)
b)
x≈
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x≈
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-193
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-1
(
)
10 Effectue les opérations suivantes.
a) (5x + 3) − (6x − 1) + (3x + 7)
2
b) 3x3 − x + 4 − 4x3 − x2 − 2
(
2
3
) (
3
)
11 Développe les expressions suivantes.
a) (y + 5)(2y − 6)
b) (3c − 3)(5c − 7)
12 Décompose en facteurs les polynômes suivants par la mise en évidence simple.
G-194
a) 6a2b − 8ab3
b) −27x5 − 15x3
c) 15m4n3 + 30m3n6
d) 3x5y − 9x2yz2 + 4x3z
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-1
(
)
Questions à développement
13 À l’école du quartier, c’est le jour des Olympiades.
Une des épreuves consiste à traverser le terrain de soccer
en diagonale comme dans l’illustration ci-contre.
Antoine, qui court à une vitesse de 145 m/min, dit à Benoît
qu’il peut compléter l’épreuve en une minute. Benoît lui
répond que c’est impossible.
Qui a raison ? Justie ta réponse.
Réponse :
14 Une quantité de bactéries triple toutes les 10 minutes. Combien y aura-t-il de bactéries après deux
heures si on en dépose cinq dans un endroit propice à leur multiplication ? Effectue tes calculs
à l’aide de la notation exponentielle.
Réponse :
15 Une fusée se déplace vers la Terre à une vitesse de 1,34 × 1011 km/h. Si sa vitesse reste constante,
dans combien de secondes arrivera-t-elle sur la Terre, sachant qu’elle doit franchir une distance de
2 × 1012 m ? Donne ta réponse en secondes.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-195
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-1
(
)
16 L’âge actuel de Francisco est désigné par f. Exprime par un polynôme réduit la différence entre
le triple de l’âge qu’aura Francisco dans deux ans et le double de l’âge qu’avait Francisco il y a
cinq ans.
Réponse :
17 Les expressions algébriques suivantes sont-elles équivalentes ?
(6x + 6)2 − (8x2 + 8)
(7x + 4)(4x + 7)
Réponse :
G-196
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-1
(
)
Situation d’application
Une sortie au cinéma
Mélissa achète 2 billets de cinéma pour adultes, 3 billets de cinéma pour enfants et 5 cinq sacs de maïs
soufflé. Le prix d’un billet pour adulte est égal au triple de celui d’un billet pour enfant, tandis qu’un sac
de maïs soufflé coûte 2 $ de moins qu’un billet pour enfant.
Exprime par un polynôme réduit le montant total de la facture, en ajoutant la taxe de 15 %. Le prix d’un
billet pour enfant est désigné par b.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-197
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
Évaluation de n d’étape
Étape 2 (chapitres 3 à 5)
8
Questions à choix multiples
1
y
6
4
Observe le graphique ci-contre. Parmi les énoncés suivants, lequel
est faux ?
2
−6
a) Le domaine est [−5, 9].
b) L’image est [−6, 5].
c) f(−2) = 6
d) L’ordonnée à l’origine est 3.
−4
0
−2
2
4
6
8
x
−2
−4
−6
2
Quel système d’équations est représenté par le graphique
ci-contre ?
a)
b)
c)
d)
y
(− 4, 4)
(5, 4)
(−5, 0)
x
(−2, 0)
3
Quel est l’ensemble-solution de l’inéquation suivante ?
a) x > − 6
4
b) x < − 6
c) x <
d) x >
Parmi les vues ci-dessous, laquelle correspond à la vue de droite du solide suivant ?
a)
b)
c)
d)
Face
5
Un contenant de savon à bulles a la forme d’un cylindre tel
qu’il est illustré ci-contre. Il contient une tige permettant de faire
des bulles.
h = 12 cm
r = 2 cm
Quelle est la longueur maximale de la tige qu’on peut placer dans le contenant ?
a) 12,16 cm
G-198
b) 11,83 cm
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
c) 12,64 cm
d) 11,31 cm
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
(
)
Questions à réponses courtes
6
Réponds aux questions suivantes.
a)
x
0
1
2
3
4
5
y
2
2
2
2
2
2
1) La relation représentée dans cette table
b) Le coût de base pour la location
d’un minibus est de 75 $. On demande
ensuite un montant de 5 $ par personne.
On s’intéresse à la relation qui existe entre
le nombre de personnes qui prendront
le minibus et le coût total de la location.
1) Cette situation est-elle
de valeurs est-elle une fonction ?
une fonction ?
2) Est-ce que la relation réciproque
2) Est-ce que la relation réciproque est
est une fonction ?
une fonction ?
7
8
Quelle est la règle de la fonction qui modélise chacune des situations suivantes ?
a) Une fonction afne qui passe par (−5, 11)
et dont l’ordonnée à l’origine est −9.
b)
Règle :
Règle :
x
f(x)
2
4
8
9
54
27
13,5
12
Résous algébriquement les systèmes d’équations suivants.
a)
b)
Solution :
Solution :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-199
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
(
9
)
Résous graphiquement les systèmes d’équations suivants.
a)
b)
10 Dans chaque cas, trouve la mesure demandée.
a)
b)
AT = 150,8 cm2
a=?
r=
a≈
G-200
Sommets • 3e secondaire
AT = 58,9 cm2
r=?
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
(
)
Questions à développement
11 Dans un cours de physique, une enseignante effectue l’expérience suivante : elle accroche
un certain poids à l’extrémité d’un ressort et note la longueur de ce dernier. Elle peut ainsi établir
un lien entre la masse du poids et la longueur du ressort. Voici ses résultats.
Masse (g)
0
20
50
100
150
200
250
Longueur (cm)
0,8
0,86
0,95
1,1
1,25
1,4
1,55
Trouve la règle de cette fonction afne. Détermine ensuite la masse qu’il faut accrocher au ressort
pour qu’il s’étire de 1,64 cm.
Réponse :
12 La mairie d’un village souhaite nettoyer les berges d’une rivière. Un maximum de 20 bénévoles
participeront à cette corvée de nettoyage dont l’objectif est de remplir 60 sacs de déchets.
On s’intéresse à la relation entre le nombre de bénévoles présents lors de la corvée et le nombre
de sacs que chaque personne aura à remplir.
Trace le graphique qui représente cette situation. Détermine ensuite le nombre minimal de sacs
que chaque personne aura à remplir si tous les bénévoles se présentent le jour de la corvée.
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-201
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
(
)
13 Un rectangle a une base qui mesure (x + 5) cm et sa hauteur est de 8 cm. Quelles sont les
valeurs entières possibles de x pour que le rectangle ait une aire ne dépassant pas 250 cm²
et un périmètre supérieur à 70 cm ?
Réponse :
14 Jonathan et Maïté vendent des mitaines qu’ils ont confectionnées. Pour Jonathan, le matériel
a coûté 233 $ et il vend la paire de mitaines 21 $. Maïté vend 15 $ la paire et son matériel lui
a coûté 107 $.
Trouve le nombre de paires de mitaines pour lequel Jonathan et Maïté gagneront le même
montant d’argent. Détermine ensuite quel est ce montant.
Réponse :
G-202
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
(
)
15 Un jeu pour enfant est composé de cinq anneaux semblables et d’un
socle en bois. Le socle est formé d’un cône et d’une base cylindrique.
On doit recouvrir le socle de vernis. Le diamètre de la base cylindrique
est de 15 cm et sa hauteur est de 1,5 cm. Le cône permettant d’enler
les anneaux a une hauteur de 18 cm et le diamètre de sa base
mesure 3,5 cm.
Quelle est l’aire de la surface qu’on doit recouvrir de vernis ?
Réponse :
16 Une entreprise d’équipements de plein air propose un modèle
de tente en toile transparente. Celle-ci permet d’observer
la nature à tout moment du jour ou de la nuit.
Pour les besoins du problème, on considère que le tunnel
d’entrée est un cylindre de 2,2 m de diamètre et de 3 m de
longueur. Ce tunnel possède deux ouvertures avec fermeture
éclair, une à chaque base du cylindre.
Trouve l’aire de la surface de toile transparente nécessaire pour fabriquer cette tente, sachant que
le diamètre de la demi-sphère mesure 5 m.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-203
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-2
(
)
Situation d’application
Livraison express
Une compagnie de livraison propose deux nouveaux modèles de boîtes an de mieux répondre aux
besoins de ses clients. Le premier modèle est une très grande boîte rectangulaire dont les dimensions
sont de 40 cm sur 30 cm sur 25 cm. Le deuxième modèle proposé est une boîte conique dont la base
mesure 52 cm de diamètre.
Les deux nouveaux modèles de boîtes sont vendus au même prix. Le prix est calculé en fonction de l’aire
totale de la boîte. Voici le prix de certains modèles.
Modèle
Très petite
boîte
Petite
boîte
Moyenne boîte
Grande
boîte
Très grande boîte
(nouveau modèle)
Dimensions
(cm)
15 × 15 × 15
30 × 25 × 5
30 × 25 × 15
40 × 30 × 10
40 × 30 × 25
Coût ($)
3,29
3,99
5,09
5,74
?
Trouve le prix des deux nouveaux modèles de boîtes. Détermine ensuite la mesure de l’apothème de la
boîte conique.
Réponse :
G-204
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
Évaluation de n d’étape
Étape 3 (chapitres 6 à 8)
Questions à choix multiples
1
Quelle expression est équivalente au volume d’une demi-boule de 6 cm de diamètre ?
a) (36π) cm2
2
b) (18π) cm3
c) (12π) cm3
d) (108π) cm3
Les deux pyramides régulières suivantes sont semblables.
Parmi les énoncés suivants, lequel est faux ?
a) La hauteur de la petite pyramide est de 10 cm.
b) L’aire latérale de la grande pyramide est 4 fois plus grande
que celle de la petite pyramide.
c) Le volume de la grande pyramide est 8 fois plus grand que
celui de la petite pyramide.
d) Le périmètre de la base de la petite pyramide est le quart de celui de la grande pyramide.
3
4
5
Durant la deuxième étape, les élèves ont fait trois examens de mathématique qui sont pondérés
selon des coefcients de pondération différents. Nelly a eu un résultat de 85 % au premier
examen, 72 % au deuxième et 66 % au troisième. Sa moyenne pondérée est de 73 %. Quels sont
les coefcients de pondération pour chacun des examens ?
a) 1er : 0,25 2e : 0,35
3e : 0,40
b) 1er : 0,30
2e : 0,35
3e : 0,35
c) 1er : 0,20 2e : 0,35
3e : 0,45
d) 1er : 0,40
2e : 0,30
3e : 0,30
Observe le diagramme de quartiles suivant.
Dans quel quart les données sont-elles
le moins concentrées ?
a) 1er quart
b) 2e quart
c) 3e quart
d) 4e quart
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Pour laquelle des gures suivantes la probabilité de choisir un point au hasard dans la zone grise
est-elle la plus grande ? Les angles qui semblent droits le sont.
a)
débord
1
b)
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c)
d)
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-205
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
(
)
Questions à réponses courtes
6
Le prisme droit rectangulaire ci-contre est traversé par deux cylindres
de 0,2 m de diamètre. Quelle est sa capacité en litres ?
Réponse :
7
Les cônes suivants sont semblables selon le rapport k = 4.
Trouve le diamètre et la hauteur du petit cône.
Réponse :
8
Trouve la moyenne, la médiane et le mode de la distribution suivante.
Catégorie
Fréquence
1
17
2
38
3
43
4
2
Total
G-206
100
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
(
9
)
Deux sphères semblables ont des aires de (400π) dm2 et de (16π) dm2. Quel est le rapport
de leurs volumes ?
Réponse :
10 Martin a renversé son café sur l’histogramme représentant les sommes d’argent consacrées
aux activités familiales estivales par les Québécois. Une donnée importante est masquée par
la tache de café. Aide-le à la retrouver.
Réponse :
11 Un bocal renferme 7 billes rouges (R) et 3 billes bleues (B). On effectue l’expérience aléatoire qui
consiste à tirer 3 billes du bocal sans remise.
Trouve la probabilité de l’événement B : « Tirer 2 billes bleues et une bille rouge », sans tenir compte
de l’ordre.
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-207
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
(
)
Questions à développement
12 L’obélisque ci-contre fait 20 m de hauteur. Il est formé d’un prisme droit à base carrée
de 6 m de côté et d’une pyramide dont l’apothème mesure 5 m.
Quel est le volume de l’obélisque ?
Réponse :
13 Le volume d’un solide constitué d’un cylindre droit et d’un cône droit est de 2 000 cm3.
Le cylindre et le cône ont des rayons de même mesure et ont la même hauteur.
Justine prétend que ce solide ne rentre pas dans une boîte cubique de 15 cm de côté.
Justine a-t-elle raison ? Justie ta réponse.
Réponse :
G-208
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
(
)
14 Une étude porte sur les heures de sommeil des adolescents. Voici les données recueillies.
8,00
8,25
9,00
7,00
6,50
7,25
8,50
9,00
10,00
9,25
7,75
7,50
8,25
8,00
9,00
7,00
8,25
9,00
8,50
7,25
7,50
8,00
8,25
10,00
7,50
8,25
8,00
9,00
8,25
7,00
8,75
6,00
5,50
7,50
6,25
8,25
9,00
7,50
5,75
6,50
a) Complète le tableau de données groupées en classe. Construis ensuite un histogramme.
Nombre d’heures de sommeil
des adolescents
Nombre d’heures
de sommeil
[5, 6[
Nombre
d’adolescents
2
b) Quelle est la classe modale de cette distribution ?
15 Le diagramme de Venn ci-contre
présente les sports pratiqués par les
élèves de 3e secondaire d’une école.
Quelle est la probabilité de choisir
une personne qui pratique le hockey
ou le soccer et un autre sport ?
Hockey
Soccer
72
48
26
105
30
12
25
57
Autres
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-209
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
(
16 Carole travaille comme analyste en ressources humaines.
Le tableau suivant présente ses prévisions du taux
de chômage par province pour le mois à venir.
a) Détermine les quartiles de cette distribution.
)
Taux de chômage par province
Province
Taux (%)
Terre-Neuve-et-Labrador
12,5
Île-du-Prince-Édouard
10,7
Nouvelle-Écosse
7,8
Nouveau-Brunswick
7,8
Québec
7,0
Ontario
6,5
Manitoba
4,2
Saskatchewan
4,0
Alberta
3,2
Colombie-Britannique
3,2
b) Construis le diagramme de quartiles qui représente cette distribution.
17 On lance une échette sur la cible ci-contre. Le cercle circonscrit un
carré dans lequel est tracé un triangle équilatéral de 3 cm de côté.
Si on atteint la cible, quelle est la probabilité, en pourcentage,
de toucher la zone noire ?
Réponse :
G-210
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-3
(
)
Situation d’application
La mouche prisonnière
Le montage suivant est formé d’un tuyau inséré dans une sphère en verre. Pour les besoins
du problème, on considère que le tuyau est un cylindre circulaire droit et que la sphère est complète.
On a placé une mouche à l’intérieur du montage. La probabilité que la mouche se retrouve dans le
cylindre est de 1.
4
Quelle est la mesure du rayon de la sphère ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-211
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
Évaluation de n d’année
Questions à choix multiples
1
Quel est le résultat de l’opération suivante ?
a) 0,3 × 10−1
2
b) 3 × 102
f(x)
a) f(x) = −3,5x + 4
5
6
−
b) f(x) = 2x + 7
2
3
−
4
1
9
11
10
13
c) f(x) = −2x + 7
d) f(x) = 2x − 7
b) (1, 2)
c)
d)
Quel est le périmètre du losange ci-contre,
si son aire est de 48,4 cm2 ?
a) 5,07 cm
b) 20,28 cm
c) 40 cm
d) 27,8 cm
La capacité du cylindre ci-contre est de 3,6 L.
Quelle est la mesure de son diamètre ?
a) 3,3 cm
b) 5,23 cm
c) 6 cm
d) 10,45 cm
Une expérience aléatoire consiste à tirer 2 boules sans remise d’un boulier qui contient 10 boules
numérotées de 0 à 9. Quelle est la probabilité de l’événement « tirer un nombre pair suivi d’un
nombre impair » ?
a)
G-212
2
11
−
Parmi les couples suivants, lequel est la solution du système d’équations ci-dessous ?
a)
4
d) 3 × 101
Quelle est la règle de la fonction afne associée à la table de valeurs suivante ?
x
3
c) 0,03 × 10−2
b)
Sommets • 3e secondaire
c)
Évaluation
d)
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
Questions à réponses courtes
7
Convertis les mesures de volume ou de capacité suivantes en l’unité demandée.
a) 32 dm3 =
dl
b) 7 200 m3 =
km3
c) 213 cm3 =
L
d) 70,3 dm3 =
cl
f) 450 ml =
m3
3
e) 2 cl =
8
9
dm
Exprime les nombres suivants en notation scientique.
a) 5 400 =
b) 0,035 =
c) 46 500 =
d) 0,000 027 =
e) 2,35 =
f) 89,7 =
Effectue les opérations suivantes.
a) 4b2c4(−3bc5 + 2b3c)
b) (11x − 2)(5x + 4)
c) (8x − 3) − (−2x − 4) + (−10x − 2)
d) (t + 5)(4t − 2) − 2t(2t + 9)
10 Calcule la probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans la région ombrée du disque
suivant. Exprime ta réponse sous forme de pourcentage.
P≈
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-213
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
11 Deux droites sont sécantes. La première passe par les points (0, 4) et (5, 14). La seconde a un
taux de variation de −2 et passe par le point (10, −12). Trouve le point d’intersection de ces deux
droites.
Solution :
12 Les deux distributions suivantes représentent les âges des membres des clubs de l’âge d’or de
deux municipalités.
Club de Saint-Raymond
Club de Saint-André
55 65 65 65 75 75
75 85 85 85 95 95
55 55 80 80 80 85
85 85 90 90 90 95
Trace le diagramme de quartiles associé à chaque club. Pense à identier chacun des clubs.
Âge des membres des deux clubs de l’âge d’or
55 60 65 70 75 80 85 90 95
Âge (ans)
G-214
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
13 Les deux cônes ci-contre sont semblables. Sachant que
l’apothème du plus petit est de 5 m et que le rapport de leurs
aires est de 9, trouve le volume du plus grand.
V≈
14 Trouve l’expression algébrique qui représente le périmètre de la gure suivante.
P=
15 Traduis les situations suivantes par une inéquation. Complète ensuite le tableau.
a) Le conseil étudiant est composé de plus de 7 élèves, mais de moins de 12 élèves.
b) Il me faut plus de 25 minutes, mais au maximum 45 minutes pour me rendre au travail.
Description
Inéquation
Compréhension
Intervalle
ou extension
Droite numérique
a)
b)
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-215
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
Questions à développement
16 Florence a appuyé son échelle de 10 m contre le mur de
sa maison. Le bas de l’échelle se situe à 6,5 m du mur.
Florence a mesuré une distance de 1,5 m entre le haut
de l’échelle et le haut du mur.
Mur de
la maison
Échelle
Quelle est la hauteur totale du mur ?
Réponse :
17 Le périmètre d’un terrain de jeu est de 94 m. La longueur du terrain mesure 3 m de plus que le
triple de sa largeur.
Quelle est la mesure de la largeur du terrain, si on peut la représenter par l’expression (2x − 1) ?
Réponse :
G-216
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
18 Deux skieuses descendent une piste à des vitesses respectives de 90 km/h et de 108 km/h.
La seconde skieuse part 3 secondes après la première.
Après combien de temps les deux skieuses se croiseront-elles et quelle distance
auront-elles parcourue ?
Réponse :
19 Voici l’âge des employés d’une grande chaîne de magasins.
17 22
51
35
18
17
45
23
43
22
35
17
35
23
39
41
27
28
42
31 23
61
19
20
54
37 32
52
18
16
26
17
34
25
19
33
a) Complète le tableau et construis un histogramme qui représente cette distribution.
Âge des employés
Âge (ans)
Effectif
[15, 25[
b) Détermine la moyenne ainsi que les classes modale et médiane de cette distribution.
Moyenne :
Classe médiane :
Classe modale :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-217
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
20 Ludwig économise de l’argent pour aller en Europe. À la n de chaque mois, il met de côté le
même montant. Après trois mois, il lui manque 3 150 $. Après sept mois, il lui manque encore
1 750 $.
Détermine le coût du voyage de Ludwig et combien de mois il lui aura fallu pour amasser
ce montant.
Réponse :
21 Romane est ébéniste. Pour un jeu d’échecs en bois, elle doit tailler des pions ayant la forme
d’un cylindre surmonté d’une demi-boule. Le cylindre a une hauteur de 20 mm, le rayon de
la demi-boule mesure 12 mm et le diamètre du cylindre est égal au rayon de la demi-boule.
Romane doit recouvrir la surface de ses pions d’une couche de vernis. Elle a acheté trois
contenants de vernis couvrant chacun une surface de 1,4 dm2.
Elle vient de tailler 20 pions. A-t-elle assez de vernis pour les couvrir ?
Réponse :
G-218
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche EV-4
(
)
Situation d’application
L’embarras du choix
Une entreprise qui fabrique des accessoires de bureau te
propose trois modèles de coffre à crayons. Chaque modèle
a un volume de 1 500 cm3.
Le coffre doit pouvoir contenir des crayons dont la longueur
maximale est de 18 cm et sa fabrication doit nécessiter
le moins de tissu possible.
Lequel des trois modèles respecte le mieux ces critères ?
Réponse :
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Sommets • 3e secondaire
Évaluation
G-219
G-220
Sommets • 3e secondaire
Évaluation
L’élève utilise des stratégies
de validation appropriées (vérie
ses calculs, révise ses étapes,
justie ses afrmations, compare
sa réponse à la question).
20 points
L’élève présente une démarche
complète et structurée tout en
respectant les règles et
conventions du langage
mathématique.
40 points
L’élève :
– sélectionne les concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution exacte.
40 points
L’élève :
– identie toutes les données
pertinentes à la résolution
de la situation ;
– planie chacune des étapes
à franchir ;
– tient compte de toutes les
contraintes de la situation.
L’élève utilise des stratégies
de validation appropriées (vérie
la plupart de ses calculs ou
afrmations, compare sa réponse
à la question).
16 points
L’élève laisse des traces claires de
la solution, même si certaines
étapes sont implicites,
en commettant des erreurs
mineures relatives aux règles et
conventions du langage
mathématique.
32 points
L’élève :
– sélectionne les concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
mineures (ex. : erreurs de
calcul, oublis ou imprécisions).
32 points
L’élève :
– identie les données
pertinentes à la résolution
de la situation ;
– planie la plupart des étapes
à franchir ;
– tient compte de la plupart
des contraintes de la situation.
B
Satisfaisant
L’élève utilise des stratégies
de validation appropriées (vérie
certains de ses calculs ou
afrmations, compare sa réponse
à la question).
12 points
L’élève laisse des traces
incomplètes ou peu structurées
tout en commettant des erreurs
par rapport aux règles et
conventions du langage
mathématique.
24 points
L’élève :
– sélectionne la plupart des
concepts et processus
appropriés à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
conceptuelles.
24 points
L’élève :
– identie les données explicites
et certaines données
implicites ;
– planie certaines des étapes
à franchir ;
– tient compte de certaines
contraintes de la situation.
C
Partiellement satisfaisant
L’élève utilise peu de stratégies
de validation appropriées.
8 points
L’élève laisse des traces confuses
et incomplètes de la solution, qui
présentent des erreurs par
rapport aux règles et conventions
du langage mathématique.
16 points
L’élève :
– sélectionne certains concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
conceptuelles.
16 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à la
résolution de la situation ;
– présente une planication
peu structurée des étapes
à franchir ;
– tient peu compte des
contraintes de la situation.
D
Insatisfaisant
L’élève n’utilise pas de stratégies
de validation appropriées.
4 points
L’élève laisse peu ou pas de
traces de sa solution.
8 points
L’élève :
– sélectionne des concepts
et processus peu appropriés
à la situation ;
– produit une solution qui
comporte des erreurs
majeures.
8 points
L’élève :
– identie de façon incomplète
les données pertinentes à
la résolution de la situation ;
– ne planie pas les étapes
à franchir ;
– ne tient pas compte des
contraintes de la situation.
E
Nettement insatisfaisant
Groupe :
1. Ce critère doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué.
4. Validation appropriée
des étapes de la
solution1
3. Élaboration d’une
solution appropriée
2. Mobilisation
des savoirs
mathématiques
appropriés
1. Manifestation,
oralement ou par écrit,
de sa compréhension
de la situationproblème
A
Très satisfaisant
Nom :
Date :
Grille d’évaluation générale
Fiche EV-5
CD1 Résoudre une situation-problème
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Sommets • 3e secondaire
L’élève formule correctement
une ou des conjectures et couvre
la plupart des éléments de
la situation.
16 points
L’élève :
– présente une démarche
complète, concise et ordonnée
où certaines étapes sont
implicites et où il commet des
erreurs mineures par rapport
aux règles et conventions du
langage mathématique ;
– justie les étapes de sa
démarche à l’aide des
concepts et processus
appropriés.
32 points
L’élève applique de façon
appropriée les concepts et
processus pour répondre aux
exigences de la situation, en
commettant des erreurs
mineures (ex. : erreurs de calcul,
oublis ou imprécisions).
32 points
L’élève :
– sélectionne les principaux
concepts et processus
appropriés à la situation ;
– recourt à des stratégies et
formule des hypothèses
appropriées.
L’élève formule une ou des
conjectures et couvre quelques
éléments de la situation, ou
formule une conjecture peu
appropriée.
12 points
L’élève :
– présente une démarche
incomplète ou qui manque
de clarté, en commettant des
erreurs mineures par rapport
aux règles et conventions du
langage mathématique ;
– justie certaines étapes
de sa démarche ou
manque de précision
dans ses justications.
24 points
L’élève applique de façon
appropriée la plupart des
concepts et processus pour
répondre aux exigences de la
situation, en commettant
certaines erreurs conceptuelles.
24 points
L’élève :
– sélectionne la majorité
des concepts et processus
appropriés à la situation ;
– recourt à certaines stratégies
et formule des hypothèses.
C
Partiellement satisfaisant
2. Dans le cas où la situation d’application s’y prête. Le cas échéant, l’évaluation de ces conjectures doit être prise en compte au critère 3.
L’élève formule une ou des
conjectures de façon claire et
précise, et couvre tous les
éléments de la situation.
20 points
L’élève :
– présente une démarche
complète, concise et
ordonnée, en respectant
les règles et conventions
du langage mathématique ;
– justie de façon rigoureuse
les étapes de sa démarche, et
le fait en utilisant un registre
varié.
40 points
L’élève applique de façon
appropriée et sans erreur les
concepts et processus pour
répondre aux exigences
de la situation.
40 points
L’élève :
– sélectionne tous les concepts
et processus appropriés
à la situation ;
– recourt à des stratégies
efcaces et formule des
hypothèses appropriées.
B
Satisfaisant
E
Nettement insatisfaisant
L’élève formule une ou des
conjectures peu appropriées
et couvre peu d’éléments de
la situation.
8 points
L’élève :
– présente une démarche
incomplète et confuse, en
commettant plusieurs erreurs
par rapport aux règles et
conventions du langage
mathématique ;
– justie certaines étapes
de sa démarche en utilisant
des arguments inadéquats et
peu variés.
16 points
L’élève applique de façon peu
appropriée les concepts et
processus pour répondre aux
exigences de la situation et
commet plusieurs erreurs
conceptuelles.
16 points
L’élève formule une ou des
conjectures inadéquates ou non
plausibles.
4 points
L’élève :
– présente une démarche
incomplète qui ne tient
pas compte des règles et
conventions du langage
mathématique ;
– ne justie pas les étapes
de sa démarche.
8 points
L’élève applique des concepts
et processus peu ou pas
appropriés pour répondre aux
exigences de la situation.
8 points
L’élève :
L’élève :
– sélectionne certains concepts
– sélectionne des concepts
et processus appropriés
et processus peu appropriés
à la situation ;
à la situation ;
– recourt à certaines stratégies
– recourt à des stratégies et
et formule des hypothèses peu
formule des hypothèses peu
appropriées à la situation.
appropriées ou sans lien avec
la situation.
D
Insatisfaisant
Groupe :
1. Formulation d’une
conjecture appropriée
à la situation 2
5. Justication
congruente des étapes
d’une démarche
pertinente
et
4. Structuration
adéquate des étapes
d’une démarche
pertinente
2. Utilisation correcte
des concepts et
des processus
mathématiques
appropriés
3. Mise en œuvre
convenable d’un
raisonnement
mathématique adapté
à la situation
A
Très satisfaisant
Nom :
Date :
Grille d’évaluation générale
Fiche EV-6
CD2 Déployer un raisonnement mathématique
Évaluation
G-221
Le guide se poursuit
à la page suivante.
Offre numérique
SOMMAIRE
L’offre numérique de Chenelière Éducation                                                   N-2
La version numérique de la collection Sommets                                         N-3
Médiagraphie                                                                                        N-6
L’offre numérique de Chenelière Éducation
La collection Sommets est offerte en version numérique sur la plateforme
Éducation.
de Chenelière
La présentation qui suit constitue un aperçu des fonctionnalités de cette plateforme et des particularités
de la collection Sommets. Une vidéo, qui se trouve à l’adresse cheneliere.ca/sommets3_video, présente
également les principaux éléments numériques de cette collection.
La vidéo du tour guidé général de la plateforme
de Chenelière Éducation, qu’on peut visionner
à l’adresse www.cheneliere.ca sous l’onglet
/Secondaire/Tour d’horizon, décrit les principaux
atouts de la plateforme et des collections qu’on y trouve.
On peut aussi consulter les tutoriels qui décrivent le fonctionnement des outils de base de la plateforme
à l’adresse www.cheneliere.ca sous l’onglet
/Secondaire/Tutoriels.
LA BIBLIOTHÈQUE
Le site Internet de Chenelière Éducation
permet aux enseignants d’accéder à une
bibliothèque personnelle qui contient
les livres numériques dont ils ont fait
l’acquisition.
Les enseignants peuvent accéder à leur
bibliothèque en se rendant à l’adresse
www.cheneliere.ca/ Ma bibliothèque.
LA PLATEFORME
de Chenelière Éducation
Conviviale, la plateforme
est un environnement parfaitement adapté à la consultation
d’un livre numérique en classe. Elle offre plusieurs avantages. Elle permet, entre autres,
d’enrichir un titre de matériel personnel, de consulter différents contenus interactifs (activités
interactives, hyperliens, etc.) ainsi que les documents reproductibles offerts par l’Éditeur.
LE MENU PRINCIPAL
Dans la plateforme
, les enseignants peuvent consulter la version numérique
de toutes les composantes imprimées et numériques d’une collection.
Les boutons suivants
gurent dans le menu
principal, en haut à droite
de l’écran.
1. Livre numérique
2. Matériel complémentaire
3. Activités interactives
4. Suivi des travaux
5. Annotations
6. Mon cours
7. Diaporama
N-2
Sommets • 3e secondaire
Offre numérique
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Le bouton « Livre numérique » donne accès au livre numérique et à sa table des matières.
Le bouton « Matériel complémentaire » donne accès au matériel complémentaire, aux documents
reproductibles et aux différents contenus interactifs offerts par l’Éditeur ainsi qu’aux chiers
personnels que l’enseignant y aura déposés. On peut y faire une recherche par chapitre ou par
type de matériel (documents reproductibles, hyperliens, etc.).
Le bouton « Activités interactives » permet de consulter la liste des activités interactives liées
à un titre, de créer des groupes, d’assigner des activités en mode apprentissage ou évaluation
aux élèves et d’accéder à leurs résultats.
Le bouton « Suivi des travaux » permet aux enseignants et aux élèves des classes qui utilisent
un cahier numérique de suivre leurs échanges de travaux.
Le bouton « Annotations » rassemble les annotations personnelles ainsi que les annotations
publiques dans un seul répertoire. De plus, des ltres permettent de rafner la recherche
d’annotations.
L’outil « Mon cours » permet de regrouper au même endroit toutes les ressources nécessaires
à l’enseignement d’un cours. Il est ainsi possible d’organiser le contenu d’un cours dans l’ordre
qui convient à chacun et de le partager avec les élèves ou des collègues.
L’outil « Diaporama » offre l’occasion de créer des présentations animées. On peut y intégrer des
captures d’écran, du texte, des images, des hyperliens, des renvois de pages, des chiers audio
et vidéo, et plus encore !
1. La version numérique de la collection
La version numérique de la collection Sommets offre aux enseignants la possibilité de projeter les
pages du cahier à l’aide d’un tableau numérique interactif (TNI) ou d’un projecteur. Dans cette version
numérique, les enseignants peuvent, à leur gré, faire apparaître les réponses une à une, afcher toutes
les réponses à la fois ou consulter les notes pédagogiques de chacune des pages en un seul clic.
Dans les pages, on trouve également des accès directs aux contenus numériques et interactifs. Ainsi,
au l des pages, sont épinglés les pictogrammes cliquables suivants.
Renvoi vers une
autre page
Hyperlien
Activité
interactive
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Document
reproductible
Sommets • 3e secondaire
Offre numérique
N-3
Comme pour le cahier, la version numérique du matériel complémentaire qui réunit tous les éléments
du guide-corrigé de la collection Sommets permet aux enseignants de projeter les documents reproductibles à l’aide d’un TNI ou d’un projecteur. Les enseignants peuvent également y afcher toutes les
réponses en un seul clic. Dans cette version numérique, on trouve tous les documents reproductibles
en format PDF, an de faciliter leur impression, mais aussi en format Word modiable, ce qui permet
aux enseignants d’adapter ces documents selon leurs besoins.
2. Les activités interactives
La version numérique de la collection Sommets comprend de nombreuses activités interactives liées
aux contenus du cahier. Chaque chapitre renferme un certain nombre d’activités interactives portant
sur les concepts à l’étude et deux activités interactives associées à la section « Retour ». Il y a aussi une
ou deux activités interactives pour chaque section « Consolidation ». Enn, trois activités interactives
sont proposées pour la section « Révision de l’année ».
Ces activités sont accessibles au l des pages du cahier numérique ainsi que dans la table des matières
des activités interactives. Elles sont réalisables en classe à l’aide du TNI ou encore individuellement
en mode apprentissage ou évaluation. Les élèves peuvent ainsi les faire de façon autonome en classe,
au laboratoire informatique ou à la maison, à l’aide d’un ordinateur ou d’une tablette.
Chacune des activités compte entre 5 et 10 questions. Le format de chaque question a été choisi avec
attention pour servir au mieux la notion traitée (vrai ou faux, choix multiples, réponse libre, associations,
menus déroulants, etc.). En mode apprentissage, chaque question comprend deux essais ; les élèves
disposent d’un indice pour les aider à répondre à chaque question, puis du corrigé et d’une rétroaction
après avoir soumis leur réponse. En mode évaluation, ils n’ont ni indice ni corrigé. Toutefois, dans
les deux modes, les points accumulés s’afchent au fur et à mesure que les élèves répondent aux
questions.
Pages du cahier traitant du sujet de l’activité
Indice
Corrigé
Aller à la question
suivante
Pastilles de navigation
N-4
Sommets • 3e secondaire
Points accumulés
Offre numérique
Terminer l’activité plus tard
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Des outils de gestion de groupe conviviaux sont également offerts aux enseignants dans le module des
activités interactives. Ces outils permettent entre autres de créer des groupes d’élèves, de leur assigner
des activités en mode apprentissage ou évaluation et de consulter leurs résultats.
Pour plus de détails au sujet des activités interactives, visionnez les tutoriels qui les décrivent à l’adresse
www.cheneliere.ca sous l’onglet
/Secondaire/Tutoriels ou le Guide de l’utilisateur qu’on
trouve à www.cheneliere.ca sous l’onglet
/Secondaire/Guide de l’utilisateur.
3. Les composantes numériques pour les élèves
Les élèves des enseignants qui ont un accès à la plateforme
de Chenelière Éducation
peuvent réaliser les activités interactives que les enseignants leur assignent sur tout type d’ordinateur
ou de tablette. Ils protent aussi de tous les contenus numériques que leur enseignant met à leur
disposition à l’aide de la plateforme (hyperliens, vidéos, documents personnels, etc.).
Au choix de l’enseignant, les élèves peuvent également travailler avec le cahier numérique sur tout
ordinateur ou sur tablette iPad avec l’application Chenelière Éducation pour iPad. Des outils d’écriture
performants, qui permettent l’entrée des réponses dans le cahier numérique, sont offerts dans les
deux cas.
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Sommets • 3e secondaire
Offre numérique
N-5
Médiagraphie
Mathématiques faciles
www.mathematiquesfaciles.com
Sites d’intérêt général
Allô Prof
www.alloprof.qc.ca
Site qui offre gratuitement de l’aide aux devoirs.
On y propose entre autres une bibliothèque
virtuelle, des vidéos, des exerciseurs, des trucs
et des jeux.
Bibliothèque virtuelle en mathématiques
http://nlvm.usu.edu/fr/nav/vlibrary.html
Site de l’Université d’État de l’Utah qui
propose des outils interactifs pour le primaire
et le secondaire, regroupés par champ
mathématique.
Geogebra
www.geogebra.org
Site ofciel du logiciel de mathématique
gratuit Geogebra. On y trouve entre autres
des tutoriels, des exemples de constructions
mathématiques, ainsi que les différentes
versions téléchargeables du logiciel.
La page @ Dage
http://lapageadage.com
Site de l’enseignant Jocelyn Dagenais qui
propose entre autres des outils technologiques
pour les enseignants de mathématique
au primaire et au secondaire.
Le matou matheux
http://matoumatheux.ac-rennes.fr
Site d’exercices interactifs et d’animations en
arithmétique, algèbre et géométrie. On y trouve
aussi un dictionnaire et des jeux.
Mathématiques et sciences physiques
http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/
accueilmath.htm
Site de Daniel Mentrard qui propose entre
autres des constructions mathématiques de
tous les niveaux réalisées à l’aide du logiciel
Geogebra.
N-6
Sommets • 3e secondaire
Offre numérique
Site qui propose entre autres des exercices,
des jeux et des outils abordant tous les
champs mathématiques.
Mathématiques interactives
www.learnalberta.ca/content/mfjhm/
index.html?l=0
Site de Learn Alberta qui propose des leçons
interactives (vidéos et exerciseurs) abordant
tous les champs mathématiques.
Math et jeux
http://juliette.hernando.free.fr
Site de Juliette Hernando qui propose
des animations, des jeux, des exercices
et des problèmes abordant tous les champs
mathématiques.
Thatquiz
www.thatquiz.org/fr
Site d’activités et d’exercices abordant tous
les champs mathématiques, pour les élèves
et les enseignants de tous les niveaux.
Arithmétique et algèbre
Desmos
https://www.desmos.com/calculator
Une calculatrice en ligne à afchage
graphique qui permet, entre autres, de tracer
le graphique d’une fonction à partir de sa
règle ou d’une table de valeurs.
Géométrie
Robo-compass
www.robocompass.com/app
En anglais.
Application en ligne qui permet de créer
des démonstrations animées de constructions
géométriques.
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Statistiques et probabilités
Piecolor
http://piecolor.com/fr
Site qui permet de créer et télécharger
des diagrammes circulaires en couleurs.
Reproduction interdite © TC Média Livres Inc.
Statistique Canada
www.statcan.gc.ca
Site du gouvernement du Canada qui
présente les résultats des études statistiques
canadiennes. On y trouve de nombreux
exemples de diagrammes, de graphiques
et de tableaux de données.
Sommets • 3e secondaire
Offre numérique
N-7
Des notions claires
accompagnées d’exercices
et de problèmes à profusion !
Une collection complète conçue selon vos besoins
Le cahier d’apprentissage
Une section qui présente des notions de base
et des exercices
Des encadrés théoriques concis et rigoureux
Des exercices et des problèmes de niveau de
difculté gradué
Des activités Exercices +
De grands espaces-réponses
Trois banques d’activités de consolidation
(questions à choix multiples, à réponses courtes
et à développement)
Des situations d’application (CD2) et des situationsproblèmes (CD1)
Une Révision de n d’année
Une section Outils à la n du cahier
Le corrigé
Le corrigé du cahier et des notes pédagogiques
Le guide-corrigé
Le corrigé du cahier et des notes pédagogiques
Plus de 225 pages de documents reproductibles
Des ches d’activités de consolidation et
d’enrichissement
Des situations-problèmes (CD1) supplémentaires et
leurs grilles d’évaluation
Trois évaluations de n d’étape (questions à choix
multiples, à réponses courtes et à développement)
Une évaluation de n d’année
Des contenus numériques incomparables sur la plateforme
Pour les élèves
Pour les enseignants
Le cahier accessible sur tout ordinateur et sur
tablette iPad
Un très grand nombre d’activités et d’exercices
interactifs avec rétroaction conçus selon la
structure du cahier
Des documents complémentaires et tout autre
contenu numérique que l’enseignant mettra à
leur disposition
Avec la plateforme i+Interactif
de Chenelière Éducation, offerte en ligne
et téléchargeable, présentez, créez, personnalisez
et partagez des contenus pédagogiques
et plus encore!
Les composantes de
Composantes imprimées
• Cahier d’apprentissage
• Corrigé
• Guide-corrigé
Les nombreuses fonctionnalités de la plateforme
i+Interactif
Toutes les composantes imprimées en version
numérique ainsi que le contenu numérique offert
aux élèves
Des outils de gestion des résultats aux activités
interactives
Tous les documents reproductibles en format PDF
et Word modiable
Les réponses qui apparaissent une à une et de
nombreux hyperliens
pour la 3e secondaire
Composantes numériques
• Plateforme
• Cahier d’apprentissage numérique
• Guide-corrigé numérique
ISBN 978-2-7650-5428-3