RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE UNIVERSITÉ MED SEDDIK BENYAHIA - JIJEL FACULTÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE DEPARTEMENT D’ENSEIGNEMENT FONDAMENTAL ET DE LA TCHNOLOGIE Cours de Physique 02 pour les étudiant de 1ère année Sciences et Technologie Electricité et Electromagnétisme Par : N. MAHAMDIOUA Maître de conférences (MCB) à l’université de Jijel 1 I. RAPPELS MATHÉMATIQUES (1 Semaine) I-1Éléments : de longueur, de surface, de volume dans des systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques. I-2- Angle solide, I-3Les opérateurs (le gradient, rotationnel, Nabla, le Laplacien et divergence). I-4- Intégrales multiples. I-5- Dérivées ; le la 2 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA I-1Éléments : de longueur, de surface, de volume dans des systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans le : a. Le vecteur de position 𝑶𝑴 i. Système de coordonnées cartésienne ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 ii. Système de coordonnées Polaires ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 𝑼𝒓 3 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA iii. Système de coordonnées cylindriques ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 = 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝒓 + 𝒛𝒌 iv. Système de coordonnées sphériques ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 = 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝒓 b. Éléments : de longueur i. Système de coordonnées cartésienne ; 𝒅𝒍 = √(𝒅𝒙)𝟐 + (𝒅𝒚)𝟐 + (𝒅𝒛)𝟐 ii. Système de coordonnées Polaires ; 𝒅𝒍 = √(𝒅𝒓)𝟐 + (𝒓𝒅)𝟐 iii. Système de coordonnées cylindriques ; 𝒅𝒍 = √(𝒅𝒓)𝟐 + (𝒓𝒅)𝟐 + (𝒅𝒛)𝟐 iv. Système de coordonnées sphérique ; 𝒅𝒍 = √(𝒅𝒓)𝟐 + (𝒓𝒅)𝟐 + (𝒓 𝒔𝒊𝒏()𝒅)𝟐 4 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA c. Élément de surface et volume dans le : i. Système de coordonnées cartésienne 𝒅𝑺𝟏 = 𝒅𝒙. 𝒅𝒚 ; 𝒅𝑺𝟐 = 𝒅𝒙. 𝒅𝒛 ; 𝒅𝑺𝟑 = 𝒅𝒚. 𝒅𝒛 𝒅𝑽 = 𝒅𝒙. 𝒅𝒚. 𝒅𝒛 ii. Système de coordonnées Polaires 𝒅𝑺 = 𝒅𝒓 . 𝒓𝒅 = 𝒓𝒅𝒓𝒅 iii. Système de coordonnées cylindriques 5 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA 6 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA iv. Système de coordonnées sphérique ; 7 Physique 2: Electricté et électromagnétisme I-2- N. MAHAMDIOUA Angle solide Définition : L’angle solide est l’extension naturelle du sens de l’angle plan. Si ce dernier est défini par la langueur de l’arc du cercle limité par deux demi droites, l’angle solide est défini, dans l’espace, comme l’angle sous lequel on voit une surface S distante de r d’un point d’observation O ( voir figure *). dΣ S et dS 𝑛⃗ 𝑢 ⃗ Σ r O Figure I.4 angle solide ⃗⃗⃗⃗ vecteur de surface élémentaire : 𝑑𝑆 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑠 𝑛 ⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑢 𝑛 ⃗⃗⃗ deux vecteurs unitaires, 𝑑𝑆 ⃗⃗⃗ Mesure de l’ange solide : L’angle solide est notée généralement par . Sa mesure est donnée comme suit: = 𝑆 𝑟² L’angle solide élémentaire est donné par : 𝑑 = 𝑑𝑆 𝑟2 et si la surface est inclinée comme le montre la figure *, alors : 8 Physique 2: Electricté et électromagnétisme ⃗⃗⃗⃗ . 𝑢 𝑑Σ ⃗⃗⃗ 𝑑Σ ⃗⃗⃗𝑛. 𝑢 ⃗⃗⃗ 𝑑Σ. cos(𝜃) 𝑑 = 2 = = 𝑟 𝑟2 𝑟2 N. MAHAMDIOUA ⃗⃗⃗⃗ 𝑑Σ est une surface élémentaire orientée de la surface Σ Et une surface étendue est donc vue d’un point O par l’intégration de l’angle solide élémentaire: = ∬ 𝑑 L’unité de l’angle solide est le stéradian. Il est noté : sr Depuis un point O (le centre d’une sphère de rayon 𝑟), on peut « voir » toute la surface de celle-ci sous un angle solide = 4𝜋.𝑟 2 𝑟2 = 4𝜋 (sr). Pour voir tout l’espace, on aura besoin donc d’un angle solide de 4𝜋 steradians. I-1 Opérateurs a. Opérateur « Nabla » Le Nabla est défini en : ⃗ ⃗⃗⃗ = 𝜕 𝑖 + 𝜕 𝑗 + 𝜕 𝑘 En coordonnées cartésiennes par : 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕 En coordonnées cylindriques par : ⃗⃗⃗ = 𝜕𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 + ⃗⃗⃗ = 𝜕 ⃗⃗⃗⃗ En coordonnées sphériques par : 𝑈 + 𝜕𝑟 𝑟 1 𝜕 𝑟 𝜕𝜃 1 𝜕 𝑟 𝜕𝜃 𝜕 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 + 𝜕𝑧 𝑘 1 𝜕 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜑 9 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA b. Opérateur gradient Le gradient d’une fonction 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) est une fonction vectorielle de 𝑥, 𝑦 𝑒𝑡 𝑧 qui donne sa variation par rapport à ces variables. Il est noté par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 et est donné, en coordonnées cartésiennes, par l’expression : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⃗ 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sont deux grandeurs (ou champs): scalaire et En physique, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) et 𝑔𝑟𝑎𝑑 vectorielle respectivement. A titre d’exemple la fonction 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) peut-être la distribution de la température : 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) En utilisant l’opérateur Nabla l’expression du gradient est : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⃗⃗⃗ 𝑓 Quelques propriétés : Le gradient d’une fonction à plusieurs variables : Est orienté dans le sens des valeurs croissantes de la fonction ; Indique la direction de variation la plus rapide de la fonction ; Indépendant du repère choisit. Expression du gradient dans le : Système de coordonnées cylindriques : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝜕𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) 1 𝜕𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝜕𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 + 𝑈𝜃 + 𝑘 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑟, 𝜃 𝑒𝑡 𝑧 sont les coordonnées cylindriques ; 10 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA ⃗ : Vecteurs unitaires du système de coordonnées cylindriques. ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 𝑒𝑡 𝑘 Système de coordonnées sphériques : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝜕𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) 1 𝜕𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) 1 𝜕𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 + 𝑈𝜃 + 𝑈𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 𝑒𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜑 ∶ Vecteurs unitaires du système de coordonnées sphériques. c. 𝐎𝐩é𝐫𝐚𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐜𝐞 Soit une grandeur vectorielle dépendant de x, y et z, notée 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧). ⃗ Alors, 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = A𝑥 (x, y, z)𝑖 + A𝑦 (x, y, z)𝑗 + A𝑧 (x, y, z) 𝑘 ⃗ sachant qu’implicitement A𝑥 , A𝑦 𝑒𝑡 A𝑧 Dorénavant, on écrit : 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = A𝑥 𝑖 + A𝑦 𝑗 + A𝑧 𝑘 sont des fonctions de x, y et z. On appelle divergence du vecteur 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) le scalaire : ⃗⃗⃗ . 𝐴 = 𝜕A𝑥 𝜕A𝑦 𝜕A𝑧 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 On note : 𝑑𝑖𝑣𝐴 = ⃗⃗⃗ .𝐴 L’opérateur 𝑑𝑖𝑣𝐴 est défini en : Coordonnées cylindrique par : Coordonnées sphériques par : 1 𝜕𝑟𝐴𝑟 𝑟 𝜕𝑟 + 1 𝜕(𝑟 2 𝐴𝑟 ) 𝑟² 𝜕𝑟 1 𝜕𝐴𝜃 𝑟 𝜕𝜃 + + 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑧 1 𝜕(𝐴𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 + 1 𝜕𝐴𝜑 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜑 11 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA d. Opérateur rotationnel ⃗ . On appelle rotationnel du vecteur 𝐴 le Soit un champ de vecteurs 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = A𝑥 𝑖 + A𝑦 𝑗 + A𝑧 𝑘 produit vectoriel : 𝑖 𝑗 ⃗ 𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Λ 𝐴=| 𝜕 𝑅𝑜𝑡𝐴 = 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝜕𝐴𝑧 |=( 𝜕𝑦 − 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴 𝑖+( 𝑧− ) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 ) 𝑗 + ( 𝜕𝑥 − 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑦 ⃗ )𝑘 Le rotationnel est indépendant du choix du système de coordonnées. La condition nécessaire est suffisante pour qu’un champ de vecteur 𝐴 dérive d’un potentiel scalaire 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧), est que son rotationnel soit nul. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈) = ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑈) = ⃗0 𝑅𝑜𝑡𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑜𝑡(−𝑔𝑟𝑎𝑑 Λ (− Le rotationnel est défini : En coordonnées cylindriques par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = ⃗⃗⃗ Λ 𝐴 = ( 𝑅𝑜𝑡 1 𝜕A𝑧 𝜕A𝜃 𝜕A 𝜕A 1 𝜕(𝑟A𝜃 ) 𝜕A𝑟 ⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑟 + ( 𝑟 − 𝑧 ) ⃗⃗⃗⃗ − )𝑈 𝑈𝜃 + ( − )𝑘 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 En coordonnées sphériques par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑜𝑡𝐴 = ⃗⃗⃗ Λ𝐴 = − 𝜕A𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕A𝜃 1 1 𝜕A𝑟 1 𝜕rA𝜑 1 𝜕(𝑟A𝜃 ) ⃗⃗⃗⃗𝑟 + ( ( − )𝑈 − ) ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 + ( 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕A𝑟 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜑 𝜕𝜃 e. Opérateur Laplacien Laplacien d’un vecteur 12 Physique 2: Electricté et électromagnétisme On appelle Laplacien d’un vecteur 𝐴 le vecteur : N. MAHAMDIOUA Δ 𝐴 = Δ𝐴𝑥 ⃗𝑖 + Δ𝐴𝑦 ⃗𝑗 + Δ𝐴𝑧 ⃗⃗⃗𝑘 Avec Δ est un nouvel opérateur défini en coordonnées cartésiennes par : ⃗⃗⃗ = ∇² = Δ = ⃗⃗⃗ . En coordonnées cylindriques : En coordonnées sphériques : 𝜕² 𝜕² 𝜕² + + 𝜕𝑥² 𝜕𝑦² 𝜕𝑧² Laplacien d’un scalaire 𝚫𝐔 𝜕²𝑈 𝜕²𝑈 𝜕²𝑈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈) = ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑈 = ⃗⃗⃗ ΔU = div(𝑔𝑟𝑎𝑑 . . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑈) = ∇²𝑈 = 𝜕𝑥² + 𝜕𝑦² + 𝜕𝑧² 1 𝜕 𝜕𝑈 1 𝜕²𝑈 𝜕²𝑈 En coordonnées cylindriques : ΔU = 𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 ) + 𝑟² 𝜕𝜃² + En coordonnées sphériques : ΔU = 𝑟 𝜕𝑟² (𝑟𝑈) + 𝑟²𝑠𝑖𝑛²𝜃 𝜕𝜑² + 𝑟²𝑠𝑖𝑛²𝜃 𝜕𝜃 (𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 ) 1 𝜕 1 𝜕²𝑈 𝜕𝑧² 1 𝜕 𝜕𝑈 f. Théorème de Stockes et d’Ostrogradsky On considère un volume V délimité par une surface fermée S et un champ de vecteur arbitraire ⃗⃗𝐴 de composantes à dérivées continues. Le théorème d’Ostrogradsky se résume en : ⃗ = ∫ . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝐴 𝑑𝑉 ∫ ⃗⃗𝐴 . 𝑑𝑆 𝑆 13 Physique 2: Electricté et électromagnétisme N. MAHAMDIOUA I-2 Intégrales multiples Si l’intégral simple s’applique lorsque les fonctions à intégrer sont des fonctions à une seule variable, les intégrales multiples s’appliquent lorsque les fonctions en question sont de plusieurs variables. a. Intégrales double et triple L’intégrale double de la fonction f(x,y) sur un domaine D est noté : ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 L’intégrale triple de la fonction f(x,y,z) sur un domaine D est noté : ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Propriété de linéarité : ∬𝐷 𝑪. 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑪. ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 ; ∬𝐷 [𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 + ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑆𝑖 𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2 : ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 2 Ces propriétés sont aussi valables pour l’intégrale triple. Calculs des intégrales doubles et triples par réduction à l’intégrale simple : Cas de l’integrales double : y On se base dans cette section sur des exemples pour C3 rappeler le lecteur comment réduire à l’intégrale simple des C2 𝐷 intégrales doubles et triples. Pour plus d’information, le lecteur C peut se référer aux hypothèses du critère de Lebesque et à C1 4 0 a b Figure I-5 Exemple d’un domaine d’intégration D de R²14 x Physique 2: Electricté et électromagnétisme l’énoncé du théorème de Fubini, sur lesquels se base l’exemple suivant. N. MAHAMDIOUA Soit un domaine simple D de R² délimité par les courbes C1 et C2 (définis par deux fonctions g(x) et h(x)) et par les verticales C4 et C2 donnés sur la figure I.5. L’intégrale d’une fonction continue 𝑓(𝑥, 𝑦) sur ce domaine est : 𝑏 ℎ(𝑥) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝐷 𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦) 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Application : Calculer l’intégrale d’une fonction 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 + 𝑦 ; sachant que le domaine d’integration D est défini par : 1 2 0.5 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1 et 0 ≤ 𝑥 ≤ 0.5. 1 1 05 1 1 1 Solution : ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫0 (∫1𝑥(2 𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = ∫0 [2 𝑥. 𝑦 + 2 𝑦 2 |1 ] 𝑑𝑥 = 2 0.5 1 1 1 1 1 1 2 2 0.5 1 1 1 𝑥 1 0.5 3 ∫0 ((2 𝑥 + 2) − (2 𝑥. (2 𝑥) + 2 (2 𝑥) )) 𝑑𝑥 = ∫0 (2 𝑥 + 2 − 4 𝑥 2 − 8 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫0 (− 8 𝑥 2 + 1 1 3 1 1 1 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = − 8 . 3 𝑥 3 + 4 𝑥 2 + 2 𝑥| 2 0.5 0 1 1 1 19 = 4 + 16 − 64 = 64 Cas de l’integrale triple : Soit un domaine simple T de 𝑅3 défini par : 𝑎(𝑥, 𝑦) < 𝑧 < 𝑏(𝑥, 𝑦) ; 𝑔(𝑥) < 𝑦 < ℎ(𝑥) ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 L’intégrale d’une fonction continue 𝑓(𝑥, 𝑦) sur ce domaine est : 𝑏 ℎ(𝑥) ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ (∫ 𝑇 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑏(𝑥,𝑦) (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 𝑎(𝑥,𝑦) Exemple : Calculer l’intégrale triple I de la fonction 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥. 𝑦. 𝑧 dans un volume 𝑉 délimité par les plans : {𝑥 = 0 ; 𝑥=1 { 𝑦=0 𝑧=0 ; { 𝑧 =1−𝑥−𝑦 𝑦=1−𝑥 15 Physique 2: Electricté et électromagnétisme Solution : N. MAHAMDIOUA Alors le volume est délimité en haut par 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦 et en bas par 𝑧 = 0, sachant que sa projection D sur le plan (𝑋𝑂𝑌) est le triangle délimité par les droites 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝑦 = 1 − 𝑥 (c.-à-d.: z=0) Donc : 1−𝑥−𝑦 I=∬𝐷 (∫0 1 1−𝑥 𝑥. 𝑦. 𝑧 𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫0 (∫0 1−𝑥−𝑦 (∫0 1 𝑥. 𝑦. 𝑧 𝑑𝑧) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = 720 16