cyclotron corrigé

3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique
III - Le cyclotron (énoncé et corrigé)
Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D
et D' à l'intérieur desquelles on établit un champ magnétique de
vecteur représentatif
B
. Dans l'espace compris entre les deux
demi-boites, on établit une tension UDD’ allternative de valeur
maximale U. Des ions positifs de charge q, de masse msont
injectés en O avec une vitesse négligeable.
1. La tension UDD’ est positive.
a) Établir les expressions littérales en fonction de q, U et m,
de l'énergie cinétique EC1 et de la vitesse v1de ces ions à leur
première arrivée en D'.
On applique le théorème de l’énergie cinétique à un ion de masse m et de charge q soumis à la
tension ou différence de potentiel UDD’ = VD- VD’ pendant son déplacement de D à D’
dans le référentiel terrestre supposé galiléen (Le poids de l’ion est négligeable par rapport à la force
électrique exercée sur l’ion)
EC(D’) –EC(D) = WDD’ (
électrique
F) donc : EC1 –0 = q(VD–VD’ ) = qUDD’ soit : EC1= |q|U
(en assimilant UDD’ à sa valeur maximale U pendant le trajet très court de D à D’)
EC1 = ½ mv2donc : v1=
C1
2E
m
soit : v1=
2|q|U
m
Calculer ECen joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v.
Données :q = 3,2. 10-19 C, m = 3,3.10-27 kg, U = 105V.
EC1 = 3,2 x10-19 x105= 3,2 x10-14 J = 3,2 x10-14 / 1,60 x 10-19 = 2 x105eV ( = 200 keV)
V1=
19 5
27
2 3,2 10 10
3,3 10 = 1,4 x106m.s-1
b) Ces ions pénètrent alors dans D'. Quel est ensuite leur mouvement ?
Exprimer en fonction de B, q, U et mle rayon R1de leur trajectoire.
Calculer R1si B= 1 T.
Mouvement circulaire uniforme ; R1=
1
mv
|q|B
=
m 2|q|U
|q|B m soit : R1=
1 2mU
B |q|
R1=
27 5
19
10
1 2 3,3 10
13,2 10
= 0,045 m = 4,5 cm
2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors la tension UDD’ en lui gardant la même valeur U. Établir les expressions :
a) de leur vitesse v2à l'entrée de D et leur énergie cinétique;
L’ion se déplace de D’ avec l’énergie E
C1 jusqu’à D avec l’énergie E C2 ; on applique le TEC :
EC(D) –EC(D’) = WD’D(
électrique
F) donc EC2 –EC1 = q(VD’ –VD) = qUD’D = |q|U
Soit : EC2 = EC1 +|q|U et comme EC1 = |q|U on obtient : EC2 = 2|q|U = 2EC1
v2=
C2
2E
m
=
C1
4E
m
=
C1
2
2E
m
et comme v1=
C1
2E
m
on obtient : v2=
2
xv1
b) du rayon R2de leur trajectoire dans D
R2=
2
mv
|q|B
=1
2
mv
|q|B
soit : R2=
2
xR1
c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre de passages entre D et D' et de R1.
premier passage, n= 1 : R2=
2
xR1
deuxième passage, n= 2 : R3=
2
xR2=
2
x
2
xR1= (
2
)2R1
troisième passage, n= 3 : R4=
2
xR3=
2
x(
2
)2R1= (
2
)3R1
en remarquant que
2
est à la puissance n , on généralise la formule du rayon :
Rn+1 = (
2
)nR1ou bien Rn+1 = 2n/2 R1

3. Le cyclotron ayant un rayon de 49,5 cm, calculer le nombre de tours décrit par ces ions el leur énergie cinétique à leur
sortie (en eV).
(
2
)n= Rn+1/R1= 49,5/4,5 = 11 et en utilisant le logarithme népérien :
n (
2
)n=n(11) soit n.n (
2
) =n(11) ; n.n (21/2 ) = n(11) ;
n
2
n(2) = n(11)
Soit : n =
2 ln(11)
ln(2)
≈7 ;
Rn+1 = Rcyclo = R =
sortie
mv
|q|B
donc vsortie =
|q|BR
m
et EC(sortie) = ½ m v2sortie = ½ m x
2
|q|BR
m
soit : EC(sortie) =
2 2 2
q B R
2m
≈ 3,80 x10-12 J≈ 23,8 MeV