Contrôle Optimal Emmanuel Trélat

Contrôle optimal
Emmanuel Trélat
Notes de cours
Master de Mathématiques, Université d’Orléans
2007/2008

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Table des matières
Avant-propos 5
1 Problème de commande optimale, et principe du maximum de
Pontryagin 7
1.1 Rappels et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Application entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Contrôles singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Existence de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Principe du Maximum faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Le problème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Le problème de Mayer-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Principe du maximum de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Enoncé général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Conditions de transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Contraintes sur l’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Equation d’Hamilton-Jacobi en commande optimale . . . . . . . 25
1.5.1 Equations d’Hamilton-Jacobi d’évolution . . . . . . . . . 25
1.5.2 Equations d’Hamilton-Jacobi stationnaires . . . . . . . . . 28
2 Problème de temps minimal pour les systèmes linéaires 29
2.1 Rappels sur la contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Contrôlabilité des systèmes linéaires autonomes . . . . . . 30
2.1.3 Contrôlabilité des systèmes linéaires instationnaires . . . . 31
2.2 Existence de trajectoires temps-optimales . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Principe du maximum dans le cas linéaire . . . . . . . . . . . . . 33
3 Problème linéaire-quadratique, applications à la régulation 35
3.1 Existence de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Principe du maximum dans le cas LQ . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Fonction valeur et équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Définition de la fonction valeur . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3

4TABLE DES MATIÈRES
3.4 Applications de la théorie LQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Problèmes de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.2 Filtre de Kalman déterministe . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Régulation sur un intervalle infini et rapport avec la sta-
bilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Méthodes numériques en contrôle optimal 55
4.1 Méthodes indirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Méthode de tir simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Méthode de tir multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 Rappels sur les méthodes de Newton . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Discrétisation totale : tir direct . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Résolution numérique de l’équation d’Hamilton-Jacobi . . 60
4.3 Quelle méthode choisir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Annexe : théorème de Cauchy-Lipschitz 67
5.1 Un énoncé général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Applications en théorie du contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Systèmes de contrôle linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2 Systèmes de contrôle généraux . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bibliographie 73
Index 74

TABLE DES MATIÈRES 5
Avant-propos
Le cours “Commande optimale” a pour but de présenter les aspects théo-
riques et numériques de cette discipline, ainsi que des applications dans des
domaines très divers. La théorie du contrôle (ou commande) analyse les pro-
priétés des systèmes commandés, c’est-à-dire des systèmes dynamiques sur les-
quels on peut agir au moyen d’une commande (ou contrôle). Le but est alors
d’amener le système d’un état initial donné à un certain état final, en respectant
éventuellement certains critères. Les systèmes abordés sont multiples : systèmes
différentiels, systèmes discrets, systèmes avec bruit, avec retard... Leurs origines
sont très diverses : mécanique, électricité, électronique, biologie, chimie, éco-
nomie... L’objectif peut être de stabiliser le système pour le rendre insensible à
certaines perturbations (stabilisation), ou encore de déterminer des solutions op-
timales pour un certain critère d’optimisation (contrôle optimal, ou commande
optimale).
Dans les industries modernes où la notion de rendement est prépondérante,
le rôle de l’automaticien est de concevoir, de réaliser et d’optimiser, tout au
moins d’améliorer les méthodes existantes. Ainsi les domaines d’application sont
multiples : aérospatiale, automobile, robotique, aéronautique, internet et les
communications en général, mais aussi le secteur médical, chimique, génie des
procédés, etc.
Du point de vue mathématique, un système de contrôle est un système
dynamique dépendant d’un paramètre dynamique appelé le contrôle. Pour le
modéliser, on peut avoir recours à des équations différentielles, intégrales, fonc-
tionnelles, aux différences finies, aux dérivées partielles, stochastiques, etc. Pour
cette raison la théorie du contrôle est à l’interconnexion de nombreux domaines
mathématiques. Les contrôles sont des fonctions ou des paramètres, habituelle-
ment soumis à des contraintes.
Une fois le problème de contrôlabilité résolu, on peut de plus vouloir passer
de l’état initial à l’état final en minimisant un certain critère ; on parle alors
d’un problème de contrôle optimal. La théorie moderne du contrôle optimal a
commencé dans les années 50, avec la formulation du principe du maximum
de Pontryagin, qui généralise les équations d’Euler-Lagrange du calcul des va-
riations. De nos jours, les systèmes automatisés font complètement partie de
notre quotidien (nous en sommes souvent inconscients), ayant pour but d’amé-
liorer notre qualité de vie et de faciliter certaines tâches : système de freinage
ABS, assistance à la conduite, servomoteurs, thermostats, régulation hygro-
métrique, circuits frigorifiques, contrôle des flux routiers, ferroviaires, aériens,
boursiers, fluviaux, barrages EDF, photographie numérique, filtrage et recons-
truction d’images, lecteurs CD et DVD, réseaux informatiques, moteurs de re-
cherche sur internet, circuits électriques, électroniques, télécommunications en
général, contrôle des procédés chimiques, raffinage pétrolier, chaînes industrielles
de montage, peacemakers et autres systèmes médicaux automatisés, opérations
au laser, robotique, satellites, guidages aérospatiaux, bioréacteurs, distillation,
... La liste est infinie, les applications concernent tout système sur lequel on peut
avoir une action, avec une notion de rendement optimal.