notions arithmetique binaire(copieprof)

LYCEE TECHNIQUE :
LAAYOUNE
Unité : ATC
Fonction : Traiter
Classe : 1STE2
Prof : S.KHALLOUKI
Titre : Représentation et codage de l’information
2022/2023
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1. Systèmes de numération
1.1. Base d’un système de numération
La base d’un système de numération est le nombre de chiffres différents qu’utilise ce système de
numération.
a) Système décimal
C’est le système à base 10 que nous utilisons tous les jours. Il comprend dix chiffres différents : 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Prenons l’exemple du nombre 2356 de ce système ; nous l’écrivons N=(2356)10. L’indice 10 indique la
base dans laquelle le nombre est écrit. Ce nombre N peut être écrit sous la forme du polynôme
suivant : N= 2×103+3×102+5×101+6×100
Dans chaque monôme, nous trouvons un chiffre du nombre N multiplié par une puissance de la base.
Si nous appelons α le chiffre et b la base, le monôme peut s’écrire sous la forme générale suivante : α.bP
Dans cette expression :
- p est le rang du chiffre α, ce rang étant compté en commençant par la droite et chiffre des unités
ayant pour rang 0.
Exemple : dans le nombre N, 0 est le rang du chiffre 6, 1 est le rang du chiffre 5, 2 est le rang du chiffre
3, 3 est le rang du chiffre 2.
- bP est le poids du chiffre α.
Exemple : 100 est le poids du chiffre 6, 101 est le poids du chiffre 5, 102 est le poids du chiffre 3, 103 est
le poids du chiffre 2.
De manière générale, tout nombre décimal N entier de n+1 chiffres pourra s’écrire sous la forme : N=
α0×100+ α1×101+ … + αn×10n Ou encore N= ∑𝑖=𝑛
𝑖=0
n est le rang du chiffre de poids le plus fort, 0 est le rang du chiffre de poids le plus faible.
b) Système binaire
Ce système dit à base 2 comprend deux symboles qui sont des chiffres : 0 et 1. Chacun d’eux est appelé
aussi bit.
Exemple : N=(10110)2. Ce nombre, écrit sous la forme d’un polynôme a pour expression : N=(10110)2=
1×24+
= (22)10
Le dernier chiffre de droite est le chiffre de poids le plus faible, son rang est 0, le 1 le plus gauche est le
chiffre de poids le plus fort, son rang est 4.
L’expression générale d’un nombre binaire, présentée sous la forme d’un polynôme est N= ∑𝑖=𝑛
𝑖=0
avec αi = 0 ou 1.
c) Système hexadécimal
Ce système dit à base 16 comprend seize symboles, dix chiffres et six lettres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F.
Exemple : N=(AC53)16. 3 est le symbole de poids le plus faible, A est le symbole de poids le plus fort.
Ce nombre, écrit sous la forme d’un polynôme a pour expression : N=(AC53)16= A×163+
= (44115)10
L’expression générale d’un nombre hexadécimal, présentée sous la forme d’un polynôme est N=
∑𝑖=𝑛
𝑖=0 αi étant l’un des chiffre de la base.
1.2. Changement de base
a) Conversion d’un nombre décimal en un nombre d’un système d’une autre base

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Première méthode :
Nous cherchons le plus grand multiple de la plus grande puissance entière de b contenu dans N puis
nous retranchons de N, il faut recommencer le processus avec le reste obtenu et ainsi de suite.
Exemple : conversion de N=(3786)10 en nombre hexadécimal (b=16).
Nous cherchons d’abord la plus grande puissance de 16 contenue dans N : 3786<163=4096 et
3786>162=256. Nous retenons donc : 162
Recherchons ensuite le plus grand multiple de 162 contenu dans N. Nous obtenons :
3786=14×162+202. Il faut recommencer avec le reste de 202 et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un
reste nul. Soit : 202=12×161+10 puis 10=10×160.
Ce qui donne : N= (3786)10 = 14×162 +12×161 +10×160
Soit encore : N= (3786)10 =E×162 +C×161 +A×160
Donc N= (3786)10 =(ECA)16
Deuxième méthode :
Nous divisons le nombre décimal à convertir par la base b et nous conservons le reste. Le quotient
obtenu est divisé par b et nous conservons le reste. Il faut répéter l’opération sur chaque quotient
obtenu.
Les restes successifs sont écrits, en commençant par le dernier, de la gauche vers la droite pour former
l’expression de N dans le système de base b.
Exemple : conversion de N=(3786)10 en nombre binaire (b=2). La suite des divisions par 2 conduit au
résultat suivant : N=(111011001010)2
b) Autres conversions
 Conversion d’un nombre hexadécimal en un nombre binaire
Chaque symbole du nombre écrit dans le système hexadécimal est remplacé par son équivalent écrit
dans le système binaire (voir le tableau1)
base
16
10
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tableau 1 : correspondance entre nombre de différentes bases
Exemple : N=(ECA)16 =(1110 1100 1010)2
E
C
A

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 Conversion d’un nombre binaire en un nombre hexadécimal
C’est l’inverse de la précédente, il faut donc regrouper les 1 et 0 du nombre par quatre en commençant
par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le symbole hexadécimal correspondant.
Exemple : N= (100001101111)2 = (1000 0110 1111)2=> N= (86F)16
8 6 F
2. Codage de l’information binaire
Un système électronique traite les informations en binaire. Or, ces informations à traiter sont de
différentes natures. Par exemple, en traitement de texte, on manipule des caractères ; pour qu'un
ordinateur traite ces caractères, il faut associer alors à chaque caractère un nombre binaire. Cette
association s'appelle "Codage" de l'information binaire et permet d'utiliser plusieurs codes suivant le
domaine d'application. L'opération inverse s'appelle "Décodage" ou "Transcodage". On étudie en
particulier : Le code binaire pur, le code GRAY, le code BCD et le code ASCII.
2.1. Le code binaire pur
Il est aussi appelé code binaire naturel. C'est le code binaire sans aucune codification, c'est-à-dire qui
découle directement du principe général de la numération. C'est le code naturel utilisé dans les
systèmes numériques (ordinateur, etc.). Le tableau suivant donne le code binaire pur pour un exemple
d'un mot de 4 bits (A3 A2 A1 A0) :
Valeur décimal
Code binaire
A3
A2
A1
A0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.2. Le code GRAY
Dans les systèmes industriels où on a besoin de mesurer un déplacement linéaire ou angulaire, on
utilise le "code GRAY". La raison de ce choix est que si le système qui mesure le déplacement (capteur)
utilise le code binaire pur, le déplacement d'une position à une autre voisine génère des combinaisons
intermédiaires fausses, car plusieurs bits varient en même temps.
Pour remédier à ce problème, il suffit de coder chaque position de façon que les valeurs de positions
successives ne différent que d'un seul bit. C'est pour cela qu'on l'appelle "code à distance unité". On
l'appelle aussi "code binaire réfléchi" parce que pour le construire, on procède par réflexion comme
l'indique le tableau suivant avec 4 bits :
 On a 16 combinaisons différentes;
 Dans le passage d'une combinaison à une autre, il n'y a qu'un bit qui change.

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2.3. Le code ASCII
Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) est un code qui représente les
caractères éditables ou non éditables : éditables parce que l'on peut les éditer comme le caractère "A"
et non éditables comme le cratère "Escape" ou "Return". Il est codé sur 7 bits (b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0),
ce qui permet de représenter 128 (27) caractères différents. La table suivante montre un tel codage.
Par exemple, Le code de la lettre "A" (majuscule) est :
 En binaire: b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 = 1000001;
 En hexadécimal 41;
 En décimal 65.
Valeur décimal
Code binaire
A3
A2
A1
A0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Code GRAY
G3
G2
G1
G0

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2.4. Le code BCD
Le code BCD (Binary Coded Decimal) qui veut dire
Binaire Codé en Décimal est la traduction en binaire des 9
premiers chiffres des systèmes décimal.
Si on a un nombre décimal N à m chiffres, il sera codé en
BCD sur (m x 4) bits : chaque chiffre décimal est traduit en
code BCD sur 4 bits.
Exemple : (571)10 = 1000111011 en binaire pur
= 0101 0111 0001 en BCD
5 7 1
Applications :
EXERCICE 1 :
(40)10 = ( ?)2
(5446)10 = ( ?)16
(58)10 = ( ?)2
(6786)10 = ( ?)16
(80)10 = ( ?)2
(4586)10 = ( ?)16
(120)10 = ( ?)2
(7140)10 = ( ?)16
(240)10 = ( ?)2
(8340)10 = ( ?)16
(3786)10 = ( ?)2
(8440)10 = ( ?)16
(640)10 = ( ?)2
(7642)10 = ( ?)16
(840)10 = ( ?)2
(7866)10 = ( ?)16
(746)10 = ( ?)2
EXERCICE 2 :
Trouver le code ASCII
Des chiffres : 4, 6, 9,
Des lettres : « a », «H», « W », « K », « W », « x », « Y », « L », « C »
Des caractères : « ? », « ! », « DEL », «+ », « * », « / », « % »,
EXERCICE 3 :
 Trouver le code BCD
Des chiffres : 475, 680, 975,412, 956
 Trouver le code GRAY
Des chiffres : 15, 17, 20, 24, 28, 30
Valeur décimal
Code BCD
A3
A2
A1
A0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9