LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information Classe : 1STE2 2022/2023 1. Systèmes de numération 1.1. Base d’un système de numération La base d’un système de numération est le nombre de chiffres différents qu’utilise ce système de numération. a) Système décimal C’est le système à base 10 que nous utilisons tous les jours. Il comprend dix chiffres différents : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Prenons l’exemple du nombre 2356 de ce système ; nous l’écrivons N=(2356)10. L’indice 10 indique la base dans laquelle le nombre est écrit. Ce nombre N peut être écrit sous la forme du polynôme suivant : N= 2×103+3×102+5×101+6×100 Dans chaque monôme, nous trouvons un chiffre du nombre N multiplié par une puissance de la base. Si nous appelons α le chiffre et b la base, le monôme peut s’écrire sous la forme générale suivante : α.bP Dans cette expression : - p est le rang du chiffre α, ce rang étant compté en commençant par la droite et chiffre des unités ayant pour rang 0. Exemple : dans le nombre N, 0 est le rang du chiffre 6, 1 est le rang du chiffre 5, 2 est le rang du chiffre 3, 3 est le rang du chiffre 2. - bP est le poids du chiffre α. Exemple : 100 est le poids du chiffre 6, 101 est le poids du chiffre 5, 102 est le poids du chiffre 3, 103 est le poids du chiffre 2. De manière générale, tout nombre décimal N entier de n+1 chiffres pourra s’écrire sous la forme : N= α0×100+ α1×101+ … + αn×10n Ou encore N= ∑𝑖=𝑛 𝑖=0 n est le rang du chiffre de poids le plus fort, 0 est le rang du chiffre de poids le plus faible. b) Système binaire Ce système dit à base 2 comprend deux symboles qui sont des chiffres : 0 et 1. Chacun d’eux est appelé aussi bit. Exemple : N=(10110)2. Ce nombre, écrit sous la forme d’un polynôme a pour expression : N=(10110)2= 1×24+ = (22)10 Le dernier chiffre de droite est le chiffre de poids le plus faible, son rang est 0, le 1 le plus gauche est le chiffre de poids le plus fort, son rang est 4. L’expression générale d’un nombre binaire, présentée sous la forme d’un polynôme est N= ∑𝑖=𝑛 𝑖=0 avec αi = 0 ou 1. c) Système hexadécimal Ce système dit à base 16 comprend seize symboles, dix chiffres et six lettres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Exemple : N=(AC53)16. 3 est le symbole de poids le plus faible, A est le symbole de poids le plus fort. Ce nombre, écrit sous la forme d’un polynôme a pour expression : N=(AC53)16= A×163+ = (44115)10 L’expression générale d’un nombre hexadécimal, présentée sous la forme d’un polynôme est N= ∑𝑖=𝑛 αi étant l’un des chiffre de la base. 𝑖=0 1.2. Changement de base a) Conversion d’un nombre décimal en un nombre d’un système d’une autre base Page 1 sur 7 LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information Classe : 1STE2 2022/2023 Première méthode : Nous cherchons le plus grand multiple de la plus grande puissance entière de b contenu dans N puis nous retranchons de N, il faut recommencer le processus avec le reste obtenu et ainsi de suite. Exemple : conversion de N=(3786)10 en nombre hexadécimal (b=16). Nous cherchons d’abord la plus grande puissance de 16 contenue dans N : 3786<163=4096 et 3786>162=256. Nous retenons donc : 162 Recherchons ensuite le plus grand multiple de 162 contenu dans N. Nous obtenons : 3786=14×162+202. Il faut recommencer avec le reste de 202 et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un reste nul. Soit : 202=12×161+10 puis 10=10×160. Ce qui donne : N= (3786)10 = 14×162 +12×161 +10×160 Soit encore : N= (3786)10 =E×162 +C×161 +A×160 Donc N= (3786)10 =(ECA)16 Deuxième méthode : Nous divisons le nombre décimal à convertir par la base b et nous conservons le reste. Le quotient obtenu est divisé par b et nous conservons le reste. Il faut répéter l’opération sur chaque quotient obtenu. Les restes successifs sont écrits, en commençant par le dernier, de la gauche vers la droite pour former l’expression de N dans le système de base b. Exemple : conversion de N=(3786)10 en nombre binaire (b=2). La suite des divisions par 2 conduit au résultat suivant : N=(111011001010)2 b) Autres conversions Conversion d’un nombre hexadécimal en un nombre binaire Chaque symbole du nombre écrit dans le système hexadécimal est remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire (voir le tableau1) base 10 16 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tableau 1 : correspondance entre nombre de différentes bases Exemple : N=(ECA)16 =(1110 1100 1010)2 E C A Page 2 sur 7 LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information Classe : 1STE2 2022/2023 Conversion d’un nombre binaire en un nombre hexadécimal C’est l’inverse de la précédente, il faut donc regrouper les 1 et 0 du nombre par quatre en commençant par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le symbole hexadécimal correspondant. Exemple : N= (100001101111)2 = (1000 0110 1111)2=> N= (86F)16 8 6 F 2. Codage de l’information binaire Un système électronique traite les informations en binaire. Or, ces informations à traiter sont de différentes natures. Par exemple, en traitement de texte, on manipule des caractères ; pour qu'un ordinateur traite ces caractères, il faut associer alors à chaque caractère un nombre binaire. Cette association s'appelle "Codage" de l'information binaire et permet d'utiliser plusieurs codes suivant le domaine d'application. L'opération inverse s'appelle "Décodage" ou "Transcodage". On étudie en particulier : Le code binaire pur, le code GRAY, le code BCD et le code ASCII. 2.1. Le code binaire pur Il est aussi appelé code binaire naturel. C'est le code binaire sans aucune codification, c'est-à-dire qui découle directement du principe général de la numération. C'est le code naturel utilisé dans les systèmes numériques (ordinateur, etc.). Le tableau suivant donne le code binaire pur pour un exemple d'un mot de 4 bits (A3 A2 A1 A0) : Code binaire Valeur décimal A3 A2 A1 A0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.2. Le code GRAY Dans les systèmes industriels où on a besoin de mesurer un déplacement linéaire ou angulaire, on utilise le "code GRAY". La raison de ce choix est que si le système qui mesure le déplacement (capteur) utilise le code binaire pur, le déplacement d'une position à une autre voisine génère des combinaisons intermédiaires fausses, car plusieurs bits varient en même temps. Pour remédier à ce problème, il suffit de coder chaque position de façon que les valeurs de positions successives ne différent que d'un seul bit. C'est pour cela qu'on l'appelle "code à distance unité". On l'appelle aussi "code binaire réfléchi" parce que pour le construire, on procède par réflexion comme l'indique le tableau suivant avec 4 bits : On a 16 combinaisons différentes; Dans le passage d'une combinaison à une autre, il n'y a qu'un bit qui change. Page 3 sur 7 LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Valeur décimal Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information A3 Code binaire A2 A1 A0 G3 Classe : 1STE2 2022/2023 Code GRAY G2 G1 G0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.3. Le code ASCII Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) est un code qui représente les caractères éditables ou non éditables : éditables parce que l'on peut les éditer comme le caractère "A" et non éditables comme le cratère "Escape" ou "Return". Il est codé sur 7 bits (b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0), ce qui permet de représenter 128 (27) caractères différents. La table suivante montre un tel codage. Par exemple, Le code de la lettre "A" (majuscule) est : En binaire: b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 = 1000001; En hexadécimal 41; En décimal 65. Page 4 sur 7 LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information 2.4. Le code BCD Le code BCD (Binary Coded Decimal) qui veut dire Binaire Codé en Décimal est la traduction en binaire des 9 premiers chiffres des systèmes décimal. Si on a un nombre décimal N à m chiffres, il sera codé en BCD sur (m x 4) bits : chaque chiffre décimal est traduit en code BCD sur 4 bits. Exemple : (571)10 = 1000111011 en binaire pur = 0101 0111 0001 en BCD 5 7 1 Valeur décimal Classe : 1STE2 2022/2023 A3 Code BCD A2 A1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Applications : EXERCICE 1 : (40)10 = ( ?)2 (5446)10 = ( ?)16 (58)10 = ( ?)2 (6786)10 = ( ?)16 (80)10 = ( ?)2 (4586)10 = ( ?)16 (120)10 = ( ?)2 (7140)10 = ( ?)16 (240)10 = ( ?)2 (8340)10 = ( ?)16 (3786)10 = ( ?)2 (8440)10 = ( ?)16 (640)10 = ( ?)2 (7642)10 = ( ?)16 (840)10 = ( ?)2 (7866)10 = ( ?)16 (746)10 = ( ?)2 EXERCICE 2 : Trouver le code ASCII Des chiffres : 4, 6, 9, Des lettres : « a », «H», « W », « K », « W », « x », « Y », « L », « C » Des caractères : « ? », « ! », « DEL », «+ », « * », « / », « % », EXERCICE 3 : Trouver le code BCD Des chiffres : 475, 680, 975,412, 956 Trouver le code GRAY Des chiffres : 15, 17, 20, 24, 28, 30 Page 5 sur 7 A0 LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information Classe : 1STE2 2022/2023 3. Notions d’arithmétique binaire 3.1. Nombres signés a) Notation en grandeur exacte Un ensemble de bits qui représente la norme du nombre : ce sont les bits de grandeur ; exemple : (47)10 = (101111)2 Un bit indiquant si le nombre est positif ou négatif : c’est le bit de signe. Le bite de signe est le premier à gauche de l’ensemble de bit représentant le nombre binaire. Exemple : +(47)10 = (0 101111)2 et -(47)10 = (1 101111)2 b) Complément à 1 d’un nombre binaire Complémenter à 1 un chiffre binaire revient à remplacer 0 par 1 et 1 par 0. Complémenter à 1 un nombre binaire revient à complémenter à 1 chaque bit de grandeur. Exemple : -47 s’écrit 1 101111 en notation exacte et son complément à 1 est 1 010000, le bit de signe étant inchangé. c) Complément à 2 d’un nombre binaire Pour obtenir le complément à 2 d’un nombre binaire, il faut prendre le Complémenter à 1 de ce nombre et lui ajouter 1. Exemple : -47 s’écrit 1 101111 en notation exacte et son complément à 1 est 1 010000, son complément à 2 s’écrit 1 010001. 3.2. Addition La méthode consiste à écrire les nombres positifs en notation exacte et à remplacer les nombres négatifs par leur complément à 2 avant d’additionner. Si le résultat est positif, il est en notation exacte, s’il est négatif, il est en notation complément à 2. a) Addition de deux nombres positifs Effectuons l’addition (+17)10 et (+12)10. L’écriture de l’addition est la suivante : (+17)10 0 10001 0+0 = 0 (+12)10 0 01100 0+1 = 1 Résultat : 0 11101 1+0 = 1 b) Addition de deux nombres de signes contraires 1+1 = 0 avec un report de 1 1+1+1 = 11 soit 1 avec un report de 1 Deux cas se présentent b-1) La grandeur du nombre positif est supérieur à celle du nombre négatif Effectuons l’addition (+17)10 et (-12)10. L’écriture de l’addition est la suivante : Ecrivons le complément à 2 de (-12)10 soit (-12)10 => 1 10100 Effectuons l’addition : (+17)10 0 10001 (-12)10 1 10100 Résultat :10 00101 0-0 = 0 0-1 = 1 avec un report de 1 1-0 = 1 1-1 = 0 bit de signe Débordement à éliminer Remarque : Ce résultat est général. La somme étant positive, le résultat est en notation exacte : 0 00101 = (+5)10 b-2) La grandeur du nombre positif est inférieur à celle du nombre négatif Effectuons l’addition (-17)10 et (+12)10. L’écriture de l’addition est la suivante : Page 6 sur 7 LYCEE TECHNIQUE : LAAYOUNE Prof : S.KHALLOUKI Unité : ATC Fonction : Traiter Titre : Représentation et codage de l’information Classe : 1STE2 2022/2023 Ecrivons le complément à 2 de (-17)10 soit (-17)10 => 1 01111 Effectuons l’addition : (-17)10 1 01111 (+12)10 0 01100 Résultat : 1 11011 Cette somme est négatif, le résultat est le complément à 2 du total cherché qui s’écrit en notation exacte : 1 00101 = (-5)10 c) Addition de deux nombres négatifs Effectuons l’addition (-17)10 et (-12)10. L’écriture de l’addition est la suivante : Le complément à 2 s’écrivent : (-17)10 => 1 01111 et (-12)10 => 1 10100 Effectuons l’addition : (-17)10 1 01111 (-12)10 1 10100 Résultat : 11 00011 Cette somme est négatif, le résultat est le complément à 2 du total cherché qui s’écrit en notation exacte : 1 11101 = (-29)10 Applications : 1) Donner le complément à 2 des nombres : (6)10 ; (9)10 ; (10)10 ; (13)10 ; (16)10 ; (22)10 ; (26)10 2) Donner le résultat de l’addition et de la soustraction en binaire des nombres : 14 et 7 ; 12 et 8 ; 10 et 11 ; 22 et 4 ; 25 et 9 ; 23 et 13 ; 4 et 17 ; 2 et 18 ; 10 et 17 ; 12 et 24 ; 15 et 29 ; 13 et 33 ; Page 7 sur 7
