Introduction à la calculabilité et la décidabilité 1. La décidabilité a. Notion de problème Bien avant l’existence des ordinateurs, les mathématiciens et les logiciens se sont intéressés aux méthodes de résolution des problèmes. La question était la suivante :« Chaque problème a-t-il une méthode de résolution ? Tout problème peut-il être résolu par une méthode systématique, par un algorithme ? ». La réponse est NON. b. Décidabilité, indécidabilité Un problème est décidable si on peut le résoudre avec une méthode systématique, c’est-à-dire si chacune de ses instances sont résolubles par le même algorithme. Exemple Le problème « Déterminer si un nombre entier positif est pair ou impair »est décidable car, si on considère un nombre entier positif quelconque, il suffit d’observer son chiffre des unités pour déterminer s’il est pair ou impair. Si ce chiffre est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, le nombre est pair, il est impair sinon. Il existe des problèmes indécidables. Cela ne signifie pas simplement que nous ne savons pas les résoudre, mais qu’il n’existe aucune méthode systématique pour les résoudre. Généralement, les démonstrations de décidabilité ou d’indécidabilité sont complexes à établir et sont hors programme. 2. La calculabilité a. Historique Dans les années 1930, des mathématiciens ont formalisé les notions de problème et de méthode de calcul. Leur interrogation était la suivante : « Peut-on tout calculer ? Peut-on réduire tout calcul à une succession finie d’opérations arithmétiques élémentaires? » Ainsi est née la notion de fonction calculable. 3. Le problème de l'arrêt a. Énoncé Maintenant, une question reste :« Toutes les fonctions sont-elles calculables ? » La réponse fut tranchée dans les années 1930. Toutes les fonctions ne sont pas calculables. Le problème de l’arrêt en est un exemple. Le problème de l'arrêt s’énonce de la manière suivante : « Déterminer si un algorithme s’arrête ». Le problème est ici de déterminer s’il existe une méthode systématique pour prouver qu’un algorithme se termine ou non. Ainsi la supposition initiale est fausse. Donc le problème de l’arrêt est indécidable.
