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a) Relation entre les pulsations
Les relations de passage à l’interface pour la vitesse en x = 0,
tr i ti t
i t
i r t
i r t
v v v soit A e A e A e
Les exponentielles formant un système libre dans l’espace des fonctions
infiniment dérivables, on a nécessairement, si ,
des exponentielles "liées" soit
, , 0
i r t
A A A
r t
'
t
r
r
k k et k
c c c c
b) Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
On appelle coefficients de réflexion et de transmission pour la vitesse les
coefficients complexes et définis pour des OPPM par:
et ’int
tr
v v
i i
vv
R T sur l erface
v v
De la même manière, les coefficients de réflexion et de transmission
pour la surpression sont définis par
et ’ int
t
r
p p
i i
pp
R T su r l er fa c e
p p
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V-Impédance acoustique
Définition :
On définit l’impédance acoustique d’une OPPM par 1
1
P
Zv
et vsont les grandeurs complexes associées à la pression et à la vitesse d’une
onde sonore plane progressive monochromatique.
Cherchons l’expression de l’impédance acoustique d’une OPPM. Pour ce faire, utilisons à
nouveau l’équation d’Euler
1
0 1
( , ) ( , ) 0 (2)
v M t
µ gradP M t
t
( )
1
(
1
)
i t k r i t k r
mm
v v e et p p e
grandeurs
complexes
Injectons ces expressions dans l’équation d’Euler
)
0
) (
1
(
( ) =-
i t k r i t k r
mm
i v e p ik p e
0
=.
mm
k
v p
( ) 0 , s i k k u a v e c k p r o p a g a tio n v e r s le s u c r o i s sa n t s o n a
0
=.
mm
k
v p u
0 ) ,
(s i k k u a v e c k p r o p a g a tio n v e rs le s u d é cr o is sa n t s
o n a
0
= - .
mm
k
v p u
Alors Dans les deux cas:
vibrent en phase de sorte que l’on écrira, en notations
réelles
1
P e t 1
v
1 1 0
p Z v avec Z µ c
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VI-Dispersion et absorption des ondes acoustiques
Le fluide n’est plus parfait, on envisage uniquement l’existance
des forces de viscosité.
0 1 1
( , ) ( , ) avec ( , ) 0
t
P M t P p M t p M t
0 1 1
( , ) ( , ) avec ( , ) 0
t
µ M t µ µ M t µ M t
1 1
( , ) 0 ( , ) avec ( , ) 0
t
v M t v M t v M t
avec ≪ ,≪ v≪
1-Équation de propagation
. . . ( . + ) g gra
v
µ v grad v d P v f
t
Équation de Navier-Stokes (équation du mouvement)
On adapte les même hypothèses que précédemment:
Projection sur de l’équation de Navier Stockes sur ⃗:
On s’intéresse à une onde plane:
(,)=(,)(,)=(,) v(,)=v(,)⃗
=−
+.
(1)
( , ) ( ( , ). ( , )) 0
µ M t div µ M t v M t
t
Équation de conservation de la masse
+
=0(2)
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=1
⟹ = (3)
Équation d’évolution de fluide:
(2) Devient :
+
=0 (4)
Dérivons l’Équation (4) par rapport au
temps:
+
=0
⟹
=−
−
+
.
=0
⟹
=
−v
⟹
=
−
⟹1
+
=
De même, vvérifie la même équation :
Pour chercher une solution à l’équation de propagation précédente
on se propose de généraliser la notion d’onde plane progressive
harmonique, en considérons ce qu’on appelle : une pseudo –O.P.P.H
, =() avec ∈ℝ ∈ℂ
2-Pseudo-onde plane progressive harmonique:
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Prenons l’équation de propagation :
=
+
Injectons la solution , =() dans l’équation de
propagation:
−=−
+⟹=
.1
1+
Relation de dispersion
Décomposons en une partie réelle et imaginaire : =+′′
⟹=′−"+2.′′
Alors en identifiant les parties
réelles et imaginaires :
′−"= =
.1
1+
2 = =−
.
1+
En reportant cette formule de dans l’expression de , , on obtient :
, =( ") ⟹ (,)=."cos(−)
L’onde , est toujours une onde plane (dépende de x)
Le terme −de propagation représente une O.P.P et implique que
, se propage avec une vitesse de phase : v=
alors le milieu est
dispersif
Remarque :
La dispersion est lié à la partie réelle de .
pour avoir un milieu non dispersif, il faut que la relation entre ω et k’ soit
linéaire (exp : =
) .
6
7
8
9
1
/
9
100%
