30/11/2022 a) Relation entre les pulsations Les relations de passage à l’interface pour la vitesse en x = 0, v i v r v t soit A i e i t A r e i r t A t e i t t Les exponentielles formant un système libre dans l’espace des fonctions infiniment dérivables, on a nécessairement, si Ai , A r , At 0 , des exponentielles "liées" soit k r b) Coefficients r c c r t k et k t c ' c de réflexion et de transmission en amplitude On appelle coefficients de réflexion et de transmission pour la vitesse les coefficients complexes Rv et vr et vi définis pour des OPPM par: Tv vt sur l’int erface vi De la même manière, les coefficients de réflexion et de transmission pour la surpression sont définis par R p pr pi et T p pt su r l ’ in t er fa ce pi 30/11/2022 V-Impédance acoustique Définition : On définit l’impédance acoustique d’une OPPM par P1 v1 Z et v sont les grandeurs complexes associées à la pression et à la vitesse d’une onde sonore plane progressive monochromatique. Cherchons l’expression de l’impédance acoustique d’une OPPM. Pour ce faire, utilisons à nouveau l’équation d’Euler grandeurs complexes v1 (M , t ) µ0 gradP1 (M , t ) 0 (2) t i ( t k r ) v1 v m e et p 1 p m e i ( t k r ) Injectons ces expressions dans l’équation d’Euler i ( t k r ) i ( t k r ) 0 (i ) v m e =- p 1 ik p m e k v m = p m si k k u a v e c k 0 ( p r o p a g a ti o n v e r s le s u c r o i s s a n t s ) , o n a vm = pm s i k k u a v e c k 0 ( p r o p a g a tio n v e r s le s u d é c r o is s a n ts ) , on a v =- p m Alors Dans les deux cas: P 1 et m k u 0 . v 1 vibrent en phase de sorte que l’on écrira, en notations réelles p1 Z v1 avec Z µ0 c 0 . k u 0 . 30/11/2022 VI-Dispersion et absorption des ondes acoustiques On adapte les même hypothèses que précédemment: P(M , t ) P0 p1 (M , t ) avec p1 (M , t ) t 0 µ(M , t ) µ0 µ1 (M , t) avec µ1 (M , t ) t 0 v ( M , t ) 0 v1 ( M , t ) avec v1 ( M , t ) avec ≪ t 0 , ≪ v ≪ 1-Équation de propagation Équation de Navier-Stokes (équation du mouvement) v µ ( v . grad ) v . g gra d P . .v + f t Le fluide n’est plus parfait, on envisage uniquement l’existance des forces de viscosité. On s’intéresse à une onde plane: ( , )= ( , ) ( , )= ( , ) v ( , ) = v ( , )⃗ Projection sur de l’équation de Navier Stockes sur ⃗ : =− + . (1) Équation de conservation de la masse µ( M , t ) div( µ( M , t ).v ( M , t )) 0 t + = 0 (2) 30/11/2022 Équation d’évolution de fluide: 1 ⟹ = (2) Devient : + = (3) =0 (4) Dérivons l’Équation (4) par rapport au temps: ⟹ =− ⟹ ⟹ = + − + = − . =0 =0 v − ⟹ 1 + = De même, v vérifie la même équation : 2-Pseudo-onde plane progressive harmonique: Pour chercher une solution à l’équation de propagation précédente on se propose de généraliser la notion d’onde plane progressive harmonique, en considérons ce qu’on appelle : une pseudo –O.P.P.H , = ( ) avec ∈ℝ ∈ℂ 30/11/2022 = Prenons l’équation de propagation : Injectons la solution propagation: − =− , ( = + ) dans l’équation de ⟹ + = . 1 1+ Relation de dispersion Décomposons ⟹ = ′ − " +2 Alors en identifiant les parties réelles et imaginaires : En reportant cette formule de , L’onde ( = , = en une partie réelle et imaginaire : . ′′ ′ − " = 2 = ⟹ ( , )= = . =− . ′′ 1 1+ 1+ , , on obtient : dans l’expression de " ) + . " cos( − est toujours une onde plane (dépende de x) Le terme − de propagation représente une O.P.P et implique que , se propage avec une vitesse de phase : v = alors le milieu est dispersif Remarque : La dispersion est lié à la partie réelle de . pour avoir un milieu non dispersif, il faut que la relation entre ω et k’ soit linéaire (exp : = ) . ) 30/11/2022 Si : =0 ⟹ = dit que le milieu est non absorbant. , ; se propage sans déformation, on Lors de la propagation suivant les x positifs, • Si ≠0 > 0 ⟹ ( , ) = . " cos( − ) On dit que le milieu est amplificateur. • Si < 0 On dit que le milieu est atténuateur (absorbant); " ⟹ , = . cos − = . cos( − ) La quantité = homogène à une longueur est appelée profondeur de " pénétration L’absorption est lié à la partie imaginaire de Relation de dispersion Suposons que ⟹ = . 1 1+ ≪1 = = 1+ ≈ • On a une relation linéaire entre • Si = 0 ⟹ =0 v = dispersif + non absorbant. • Si ≠ 0 ⟹ <0 v = 1− , 2 et = + ′′ ⟹ =− 2 ⟹ milieu non dispersif. = ⟹ on a un fluide parfait +milieu non = ⟹ milieu non dispersif + mais absorbant. 30/11/2022 Exercice II : série 1 Réseau cristallin à deux types d’atomes 1. Le principe fondamental de la dynamique appliqué respectivement aux atomes pairs et impairs fournit : 2. Avec − et − − = −2 = −2 L’élimination de = , on a : 1− + ⟹ + 1− donne l’équation de dispersion : 1− ⟹ 1− 2 − 2 + 2 4 = =0 2 2 = cos = cos 30/11/2022 ∆= ′ − − 2 + 4 =0 Le discriminant réduit est : ∆ = On note que : ∆ > 1− ± ± = = 1− = = 1± 1− ′ ± ∆′ 1± 1− >0 4 4 3) Pour ( ) on obtient une courbe analogue à celle de l’exercice 1 (chaine monoatomique) ⁄ . c’est le mode dit acoustique de pulsation maximale = Pour ( ) c’est une fonction décroissante de k; c’est le mode dit optique et compris entre ⁄ > ⁄ les pulsations : = ≤ et = Entre 0 et , la bande , est interdite. Il n’y a pas de propagation pour < < > . Cela signifie qu’une onde arrivant sur le cristal s’y réfléchit sans y pénétrer. 30/11/2022 4) Pour ka petit, les résultats du début du 2: 1 − = cos ) donnent : 0 = 2 (1 − ou de manière équivalente 0 = 2 (1 − ) ). Pour 0 = 0 = 0 la solution est = ; les deux types d’atomes oscillent avec une même amplitude. Pour 0 = 0 = ⁄ la solution est = − ; deux atomes voisins vibrent en opposition de phase tel que que leur centre d’inertie reste fixe. + = 0, c’est-à-dire tel
