Université de Rouen Normandie
Licence 2 informatique et mathématiques
Bases de la programmation fonctionnelle
{jean-philippe.dubernard, eric.laugerotte}@univ-rouen.fr
UFR sciences et techniques
2021–2022
Travaux dirigés
1/2
[TD 7] Type récursif
Objectifs : .
1 Nombre entier
Exercice 1 (Axiomatique de Peano)
Les axiomes de Peano définissent de la façon suivante les entiers naturels :
• l’élément appelé zéro est un entier naturel ;
• tout entier naturel a un unique successeur ;
• aucun entier naturel n’a zéro pour successeur ;
• deux entiers ayant le même successeur sont égaux ;
• si un ensemble d’entiers naturels contient zéro et contient le successeur de chacun de ses
éléments, alors cet ensemble est égal à N.
1. Définir le type entier_nat correspondant aux axiomes de Peano.
2. Quelle est l’écriture de 3 dans ce modèle ?
3. Quelles sont les fonctions qui renvoient le successeur et le prédecesseur d’un entier naturel.
4. Convertir toute valeur positive de type int (resp. entier_nat) en une valeur de type
entier_nat (resp. int).
5. Écrire les fonctions qui additionnent, soustraient et multiplient deux entiers naturels.
Exercice 2 (Expression arithmétique)
En notation préfixe (ou polonaise), une expression arithmétique sur les entiers relatifs est définie de
la façon suivante :
• soit c’est un entier relatif ;
• soit c’est un opérateur binaire suivi de deux expressions en tant qu’opérande.
1. Écrire un type pour les expressions arithmétiques d’entiers relatifs.
2. Créer une fonction d’évaluation.
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Travaux dirigés
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2 Liste
Exercice 3 (Liste à un seul type)
Une liste contenant des valeurs d’un certain type se définit récursivement de la façon suivante :
• soit elle est vide ;
• soit elle est constituée d’une tête qui est une valeur et d’une queue qui est une liste.
1. Créer le type liste.
2. Donner une liste à quatre éléments.
3. Écrire la fonction insere qui insère une valeur dans une liste.
4. Déterminer l’analogue de la fonction List.fold_left.
5. En déduire la longueur d’une telle liste.
Exercice 4 (Liste à plusieurs types)
On souhaite manipuler des listes contenant des valeurs de trois types différents à la fois sans utiliser
le type list.
1. Définir le type liste_3 qui correspond à cette utilisation.
2. Donner une expression qui crée une valeur de type liste_3 avec deux entiers, un flottant et
un caractère.
3. Écrire les fonctions qui ajoutent un élément selon son type dans une liste de type liste_3.
4. Écrire une fonction longueur qui calcule la longueur d’une liste de type liste_3.
5. Écrire la fonction renv qui renverse les éléments d’une liste de type liste_3.
6. Écrire la fonction concat qui concatène deux listes de type liste_3.
Exercice 5 (File)
Une file stocke des éléments de même type. Les éléments sont retirés d’une file selon leur ordre
d’insertion. C’est le fonctionnement d’une file d’attente. Une file peut s’implanter efficacement à
l’aide de deux listes :
• la première liste contient les premiers éléments entrés dans la file, la tête étant le premier
entré dans la file ;
• la seconde liste contient les derniers éléments entrés dans la file, la tête étant le dernier entré
dans la file.
Lorsque la première liste est vide, on la remplit à l’aide de la seconde.
1. Déterminer un type pour les files.
2. Écrire la fonction enfiler qui ajoute un élément à une file.
3. Écrire la fonction defiler qui extrait un élément à une file.
