Résumé du cours d analyse de maths spé MP

1 TOPOLOGIE
Résumé du cours d’analyse de maths spé MP
1 Topologie
1) Normes, normes équivalentes Une norme sur l’espace vectoriel Eest une application Nde Edans Rvérifiant :
∀x∈E, N(x)>0.
∀x∈E, (N(x) = 0⇒x=0) (axiome de séparation).
∀x∈E, ∀λ∈K, N(λx) = |λ|N(x)
∀(x, y)∈E2, N(x+y)6N(x) + N(y)(inégalité triangulaire).
Normes équivalentes. Les normes Net N′sont équivalentes si et seulement si il existe deux réels strictement positifs
αet βtel que ∀x∈E, αN(x)6N′(x)6βN(x). Il revient au même de dire que la fonction N′
Nest bornée sur E\ {0}.
Théorème. Si Eest de dimension finie sur K, toutes les normes sont équivalentes.
2) Voisinage Un voisinage de xest une partie de l’espace vectoriel normé (E, N)qui contient une boule ouverte non
vide de centre x.
L’ensemble des voisinages de xse note V(x). Si Vest une partie de E,
(V∈V(X)⇔∃r > 0/ Bo(x, r)⊂V).
Théorème.Une réunion quelconque de voisinage de xest un voisinage de x.
Une intersection finie de voisinage de xest un voisinage de x.
3) Ouverts, intérieur.
Ouvert. Un ouvert de l’espace vectoriel normé (E, N)est soit ∅, soit une partie non vide de Evoisinage de chacun de ses
points.
Si Oest une partie non vide de E,
(Oest ouvert ⇔∀x∈O, ∃r > 0/ Bo(x, r)⊂O).
Théorème. Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Intérieur. Un élément xde A6=∅est intérieur à Asi et seulement si Aest voisinage de x
(∀x∈E),(x∈
◦
A⇔A∈V(x)).
L’intérieur d’une partie non vide Aest l’ensemble des points de Adont Aest voisinage.
Théorème.
◦
Aest le plus grand ouvert contenu dans A.
Théorème. Aest ouvert si et seulement si A=
◦
A.
4) Fermés, adhérence
Fermé. Aest fermé si et seulement si le complémentaire de Aest ouvert.
Théorème. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. Une réunion finie de fermés est un fermé.
Théorème (caractérisation séquentielle des fermés). Une partie non vide Aest fermée si et seulement si toute suite
convergente d’éléments de Aconverge dans A.
Adhérence. Un élément xde Eest adhérent à Asi et seulement si tout voisinage de xrencontre A
(∀x∈E, x ∈A⇔∀V∈ V(x), V ∩A6=∅).
L’adhérence de Aest l’ensemble des points adhérents à A.
Théorème. Aest le plus petit fermé contenant A.
Théorème. Aest fermé si et seulement si A=A.
Théorème. xest adhérent à Asi et seulement si il existe une suite d’éléments de Aconvergente de limite x.
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2 FONCTIONS
∅et Esont des parties à la fois ouvertes et fermées.
5) Compacts Une partie non vide Kde Eest compacte si et seulement si de toute suite d’éléments de K, on peut
extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K. Sinon, ∅est compact.
Théorème. Si Kest compacte, Kest fermée et bornée.
Théorème (de Borel-Lebesgue). Si (E, N)est un evn de dimension finie, les compacts sont les parties fermées et
bornées.
Théorème (de Bolzano-Weierstrass). Si (E, N)est un evn de dimension finie, de toute suite bornée, on peut
extraire une sous-suite convergente.
6) Espaces complets L’evn (E, N)est complet si et seulement si toute suite de Cauchy d’éléments de Econverge dans
E. Un evn complet est un espace de Banach.
Théorème. Si (E, N)est un espace de dimension finie, alors (E, N)est un espace de Banach.
2 Fonctions
2.1 Continuité
Théorème des valeurs intermédiaires. fest une fonction d’un evn (E, N)dans un evn (E′, N′). Si fest continue sur
E, l’image d’un connexe par arcs de Eest un connexe par arcs de E′.
En particulier, si fest une fonction de Rdans Ret est continue sur R, l’image d’un intervalle de Rpar fest un intervalle
de R.
Théorème (images réciproques d’ouverts ou de fermé). fest une application d’une partie Dd’un evn (E, N)dans
un evn (E′, N′).
fest continue sur Dsi et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de (E′, N′)est un ouvert de D, c’est-à-dire
l’intersection d’un ouvert de Eavec D.
fest continue sur Dsi et seulement si l’image réciproque de tout fermé de (E′, N′)est un fermé de D, c’est-à-dire
l’intersection d’un fermé de Eavec D.
Théorème (image continue d’un compact). fest une application d’une partie Dd’un evn (E, N)dans un evn (E′, N′).
Si fest continue sur D, l’image directe d’un compact de Dest un compact de (E′, N′).
Théorème de Heine.Si fest continue sur un compact, alors fest uniformément continue sur ce compact.
Théorème (continuité de la norme). L’application N: (E, N)→(R,| |)
x7→N(x)
est continue.
Théorème (continuité d’une application linéaire). fest une application linéaire de (E, k kE)dans (F, k kF).
fest continue sur Esi et seulement si fest continue en 0si et seulement si ∃k∈R+/∀x∈E, kf(x)kF6kkxkEsi et
seulement si fest lipschitzienne.
Dans ce cas, la norme subordonnée à Net N′est
|||f||| =sup kf(x)kF
kxkE
, x ∈E\ {0}=sup {kf(x)kF,kxkE61}=sup {kf(x)kF,kxkE=1}.
||| ||| est une norme sur Lc(E, F)qui est sous-multiplicative.
Théorème. Si Eest de dimension finie, toute application linéaire, forme linéaire, application multilinéaire. . . est continue
sur E.
Conséquence : les sev d’un evn de dimension finie sont fermés.
2.2 Dérivation
Théorème (de Rolle). fest une application définie sur un segment [a, b]de Rà valeurs dans R. Si fest continue sur
[a, b], dérivable sur ]a, b[et vérifie f(a) = f(b), alors il existe c∈]a, b[tel que f′(c) = 0.
Théorème des accroissements finis. fest une application définie sur un segment [a, b]de Rà valeurs dans R. Si fest
continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[alors il existe c∈]a, b[tel que f(b) − f(a)
b−a=f′(c).
Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis sont faux pour les applications de Rdans Cou les applications
de Rdans Rn,n>2.
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2.3 Intégration 3 SÉRIES NUMÉRIQUES
Théorème. fest une application définie sur un segment [a, b]de Rà valeurs dans Rou C. Si fest continue sur [a, b], de
classe C1sur ]a, b]et si f′a une limite réelle ou complexe en a, alors fest de classe C1sur [a, b].
Formule (de Taylor-Laplace). Soit fune application définie sur un intervalle Ide Rà valeurs dans Rou Cde classe
Cn+1sur I. Alors, pour tout (a, b)∈I2,
f(b) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(b−a)k+Zb
a
(b−t)n
n!f(n+1)(t)dt.
Inégalité des accroissements finis. Soit fune application définie sur un intervalle Ide Rà valeurs dans Rou C,
dérivable sur I. On suppose que |f′|est bornée sur I. Alors, pour tout (a, b)∈I2,
|f(b) − f(a)|6|b−a|×sup
I
|f′|.
Inégalité de Taylor-Lagrange.Soit fune application définie sur un intervalle Ide Rà valeurs dans Rou C,n+1
fois dérivable sur I. On suppose que |f(n+1)|est bornée sur I. Alors, pour tout (a, b)∈I2,
f(b) −
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(b−a)k
6
sup
If(n+1)×(b−a)(n+1)
(n+1)! .
2.3 Intégration
Théorème. Soit fune fonction continue sur un intervalle Ide Rà valeurs dans Rou C. Alors, pour tout x0de I, la
fonction F:x7→Zx
x0
f(t)dt est de classe C1sur Iet ∀x∈I, F′(x) = f(x).
Plus généralement, si fest continue par morceaux sur I,Fest continue sur I, dérivable à droite et à gauche en tout point
de l’intérieur de Iet pour xintérieur à I,F′
g(x) = f(x−)et Fd(x) = f(x+).
3 Séries numériques
Règle de d’Alembert.(un)est une suite complexe, ne s’annulant pas à partir d’un certain rang telle que 
un+1
un
a
une limite ℓ∈[0, +∞].
•Si 06ℓ < 1, la série de terme général unconverge absolument.
•Si ℓ > 1, la série de terme général undiverge grossièrement.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Si les séries de termes généraux unet vnsont
absolument convergentes, alors la série de terme général wn=Pn
k=0ukvn−kconverge et dans ce cas,
+∞
X
n=0
wn= +∞
X
n=0
un! +∞
X
n=0
vn!.
Critère spécial aux séries alternées (ou théorème de Leibniz). Soit (un)une suite réelle alternée en signe, dont
la valeur absolue tend vers 0en décroissant. Alors, la série de terme général unconverge.
De plus, S,Snet Rnsont du signe de leur premier terme et leur valeur absolue est majorée par la valeur absolue de leur
premier terme. Enfin, Sest encadrée par deux sommes partielles consécutives.
Théorème (séries télescopiques). Soit (an)une suite complexe. La suite (an)et la série de terme général an+1−an
sont de même nature.
Comparaison séries-intégrales. Si fest une fonction continue par morceaux sur [0, +∞[, à valeurs réelles positives
décroissante, la série de terme général Zn
n−1
f(t)dt −f(n)converge.
En particulier, la série de terme général f(n)converge si et seulement si fest intégrable sur [0, +∞[.
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4 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Théorème (sommation des relations de comparaison). Soient (an)et (bn)deux suites réelles strictement positives
telles que an∼
n→+∞bn.
Si la série de terme général anconverge, alors la série de terme général bnconverge et
+∞
X
k=n+1
ak∼
n→+∞
+∞
X
k=n+1
bk
(règle de l’équivalence des restes de séries à termes positifs convergentes).
Si la série de terme général andiverge, alors la série de terme général bndiverge et
n
X
k=0
ak∼
n→+∞
n
X
k=0
bk
(règle de l’équivalence des sommes partielles de séries à termes positifs divergentes).
Résultats analogues en remplaçant ∼par o( ) ou O( ).
Théorème de Fubini.Soit (ui,j)une suite complexe double. Si Pour tout i, la série de terme général ui,j est absolument
convergente et que
+∞
X
i=0
+∞
X
j=0
|ui,j|
<+∞, alors la suite (ui,j)est sommable et de plus,
X
(i,j)
ui,j =
+∞
X
i=0
+∞
X
j=0
ui,j
=
+∞
X
j=0 +∞
X
i=0
ui,j!.
Ne font pas partie du cours, mais constituent des grands classiques d’écrit : la règle de Raabe-Duhamel (amélioration
de la règle de d’Alembert pour les séries numériques) et la transformation et la règle d’Abel (pour une série du type
Xcos(nθ)
n)
4 Suites et séries de fonctions
4.1 Suites de fonctions
1) Convergence simple, uniforme La suite de fonctions (fn)converge simplement sur Dvers la fonction fsi et
seulement si, pour chaque xde D, la suite numérique (fn(x)) converge vers le nombre f(x).
La suite de fonctions (fn)converge uniformément vers fsur Dsi et seulement si la suite (kf−fnk∞)est définie à partir
d’un certain rang et tend vers 0quand ntend vers +∞.
2) Interversion des limites
Théorème d’interversion des limites. aest adhérent à D(aréel, infini, complexe...).
Si (fn)converge uniformément vers fsur Det si chaque fna une limite ℓn∈Kquand xtend vers a, alors :
a) fa une limite quand xtend vers a;
b) la suite (ℓn)converge ;
c) lim
x→af(x) = lim n→+∞ℓn.
(c’est-à-dire lim
x→a(lim n→+∞fn(x)) = lim n→+∞(lim x→afn(x)).)
3) Continuité.
Théorème. Si la suite de fonctions (fn)converge uniformément vers fsur Det si chaque fnest continue sur D, alors f
est continue sur D(une limite uniforme de fonctions continues est continue).
4) Dérivation.
Théorème. Si
a) la suite de fonctions (fn)converge simplement vers fsur D;
b) chaque fonction fnest dérivable sur D;
c) la suite des dérivées (f′
n)converge uniformément sur D(vers sa limite).
Alors, fest dérivable sur Det f′=lim
n→+∞f′
n(c’est-à-dire d
dx(lim
n→+∞fn) = lim n→+∞(d
dx fn).)
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4.2 Séries de fonctions 4 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Théorème (généralisation). Si
a) la suite de fonctions (fn)converge simplement vers fsur D;
b) chaque fnest de classe Cp,p>1, sur D;
c) les suites des dérivées (f(k)
n),16k6p, convergent toutes uniformément sur D(vers leur limite)
Alors, fest de classe Cpsur Det ∀k∈J1, pK, f(k)=lim
n→+∞f(k)
n.
5) Intégration
Théorème (convergence uniforme sur un segment). Si chaque fnest continue par morceaux sur le segment [a, b]
et si la suite (fn)converge uniformément vers fsur [a, b], alors :
a) fest continue par morceaux sur [a, b];
b) la suite Zb
a
fn(x)dx!converge ;
c) Zb
a
f(x)dx =lim
n→+∞Zb
a
fn(x)dx.
(c’est-à-dire Zb
a
lim
n→+∞fn(x)dx =lim n→+∞Zb
a
fn(x)dx).
Théorème de convergence dominée. (fn)est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle quel-
conque Ide Rà valeurs dans Rou C.
Si la suite (fn)converge simplement vers une fonction fcontinue par morceaux sur Iet s’il existe une fonction ϕcontinue
par morceaux, positive et intégrable sur Itelle que ∀n∈N,|fn|6ϕ(hypothèse de domination), alors fest intégrable sur
Iet ZI
f(x)dx =lim
n→+∞ZI
fn(x)dx.
4.2 Séries de fonctions
1) Convergence simple, uniforme, absolue, normale
•La série de fonctions de terme général fnconverge simplement sur Dvers Ssi et seulement si, pour chaque xde D, la
série numérique de terme général fn(x)converge vers S(x).
•La série de fonctions de terme général fnconverge uniformément sur Dvers Ssi et seulement si la suite (kRnk∞)est
définie à partir d’un certain rang et tend vers 0quand ntend vers +∞.
•La série de fonctions de terme général fnconverge absoluement sur Dsi et seulement si, pour chaque xde D, la série
numérique de terme général fn(x)converge absolument.
•La série de fonctions de terme général fnconverge normalement sur D(vers S) si et seulement si la série numérique de
terme général kfnk∞converge.
Théorème. C.N. C.S.
C.U.
C.A.
Toutes les autres implications sont fausses.
2) Interversion des limites
Théorème d’interversion des limites. aest adhérent à D(aréel, infini, complexe...).
Si la série de fonction de terme général fnconverge uniformément vers Ssur Det si chaque fna une limite ℓn∈Kquand
xtend vers a, alors :
a) Sa une limite quand xtend vers a;
b) la série numérique de terme général ℓnconverge ;
c) lim
x→aS(x) =
+∞
X
n=0
ℓn.
(c’est-à-dire lim
x→a +∞
X
n=0
fn(x)!=
+∞
X
n=0
lim
x→afn(x)).
3) Continuité
Théorème. Si la série de fonctions de terme général fnconverge uniformément vers Ssur Det si chaque fnest continue
sur D, alors Sest continue sur D.
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