Résumé du cours d analyse de maths spé MP

1 TOPOLOGIE
Résumé du cours d’analyse de maths spé MP
1
Topologie
1) Normes, normes équivalentes Une norme sur l’espace vectoriel E est une application N de E dans R vérifiant :
∀x ∈ E, N(x) > 0.
∀x ∈ E, (N(x) = 0 ⇒ x = 0) (axiome de séparation).
∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N(λx) = |λ|N(x)
∀(x, y) ∈ E2 , N(x + y) 6 N(x) + N(y) (inégalité triangulaire).
Normes équivalentes. Les normes N et N ′ sont équivalentes si et seulement si il existe deux réels strictement positifs
′
α et β tel que ∀x ∈ E, αN(x) 6 N ′ (x) 6 βN(x). Il revient au même de dire que la fonction N
N est bornée sur E \ {0}.
Théorème. Si E est de dimension finie sur K, toutes les normes sont équivalentes.
2) Voisinage Un voisinage de x est une partie de l’espace vectoriel normé (E, N) qui contient une boule ouverte non
vide de centre x.
L’ensemble des voisinages de x se note V (x). Si V est une partie de E,
(V ∈ V (X) ⇔ ∃r > 0/ Bo (x, r) ⊂ V).
Théorème.Une réunion quelconque de voisinage de x est un voisinage de x.
Une intersection finie de voisinage de x est un voisinage de x.
3) Ouverts, intérieur.
Ouvert. Un ouvert de l’espace vectoriel normé (E, N) est soit ∅, soit une partie non vide de E voisinage de chacun de ses
points.
Si O est une partie non vide de E,
(O est ouvert ⇔ ∀x ∈ O, ∃r > 0/ Bo (x, r) ⊂ O).
Théorème. Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Intérieur. Un élément x de A 6= ∅ est intérieur à A si et seulement si A est voisinage de x
◦
(∀x ∈ E), (x ∈ A ⇔ A ∈ V (x)).
L’intérieur d’une partie non vide A est l’ensemble des points de A dont A est voisinage.
◦
Théorème. A est le plus grand ouvert contenu dans A.
◦
Théorème. A est ouvert si et seulement si A = A.
4) Fermés, adhérence
Fermé. A est fermé si et seulement si le complémentaire de A est ouvert.
Théorème. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. Une réunion finie de fermés est un fermé.
Théorème (caractérisation séquentielle des fermés). Une partie non vide A est fermée si et seulement si toute suite
convergente d’éléments de A converge dans A.
Adhérence. Un élément x de E est adhérent à A si et seulement si tout voisinage de x rencontre A
(∀x ∈ E, x ∈ A ⇔ ∀V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅).
L’adhérence de A est l’ensemble des points adhérents à A.
Théorème. A est le plus petit fermé contenant A.
Théorème. A est fermé si et seulement si A = A.
Théorème. x est adhérent à A si et seulement si il existe une suite d’éléments de A convergente de limite x.
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2 FONCTIONS
∅ et E sont des parties à la fois ouvertes et fermées.
5) Compacts Une partie non vide K de E est compacte si et seulement si de toute suite d’éléments de K, on peut
extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K. Sinon, ∅ est compact.
Théorème. Si K est compacte, K est fermée et bornée.
Théorème (de Borel-Lebesgue). Si (E, N) est un evn de dimension finie, les compacts sont les parties fermées et
bornées.
Théorème (de Bolzano-Weierstrass). Si (E, N) est un evn de dimension finie, de toute suite bornée, on peut
extraire une sous-suite convergente.
6) Espaces complets L’evn (E, N) est complet si et seulement si toute suite de Cauchy d’éléments de E converge dans
E. Un evn complet est un espace de Banach.
Théorème. Si (E, N) est un espace de dimension finie, alors (E, N) est un espace de Banach.
2
2.1
Fonctions
Continuité
Théorème des valeurs intermédiaires. f est une fonction d’un evn (E, N) dans un evn (E ′ , N ′ ). Si f est continue sur
E, l’image d’un connexe par arcs de E est un connexe par arcs de E ′ .
En particulier, si f est une fonction de R dans R et est continue sur R, l’image d’un intervalle de R par f est un intervalle
de R.
Théorème (images réciproques d’ouverts ou de fermé). f est une application d’une partie D d’un evn (E, N) dans
un evn (E ′ , N ′ ).
f est continue sur D si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de (E ′ , N ′ ) est un ouvert de D, c’est-à-dire
l’intersection d’un ouvert de E avec D.
f est continue sur D si et seulement si l’image réciproque de tout fermé de (E ′ , N ′ ) est un fermé de D, c’est-à-dire
l’intersection d’un fermé de E avec D.
Théorème (image continue d’un compact). f est une application d’une partie D d’un evn (E, N) dans un evn (E ′ , N ′ ).
Si f est continue sur D, l’image directe d’un compact de D est un compact de (E ′ , N ′ ).
Théorème de Heine. Si f est continue sur un compact, alors f est uniformément continue sur ce compact.
Théorème (continuité de la norme). L’application N :
(E, N)
x
→ (R, | |) est continue.
7→ N(x)
Théorème (continuité d’une application linéaire). f est une application linéaire de (E, k kE ) dans (F, k kF ).
f est continue sur E si et seulement si f est continue en 0 si et seulement si ∃k ∈ R+ / ∀x ∈ E, kf(x)kF 6 kkxkE si et
seulement si f est lipschitzienne.
Dans ce cas, la norme subordonnée à N et N ′ est
|||f||| = sup
kf(x)kF
, x ∈ E \ {0}
kxkE
= sup {kf(x)kF , kxkE 6 1} = sup {kf(x)kF , kxkE = 1} .
||| ||| est une norme sur Lc (E, F) qui est sous-multiplicative.
Théorème. Si E est de dimension finie, toute application linéaire, forme linéaire, application multilinéaire. . . est continue
sur E.
Conséquence : les sev d’un evn de dimension finie sont fermés.
2.2
Dérivation
Théorème (de Rolle). f est une application définie sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R. Si f est continue sur
[a, b], dérivable sur ]a, b[ et vérifie f(a) = f(b), alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
Théorème des accroissements finis. f est une application définie sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R. Si f est
f(b) − f(a)
continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que
= f ′ (c).
b−a
Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis sont faux pour les applications de R dans C ou les applications
de R dans Rn , n > 2.
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2.3 Intégration
3 SÉRIES NUMÉRIQUES
Théorème. f est une application définie sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R ou C. Si f est continue sur [a, b], de
classe C1 sur ]a, b] et si f ′ a une limite réelle ou complexe en a, alors f est de classe C1 sur [a, b].
Formule (de Taylor-Laplace). Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C de classe
Cn+1 sur I. Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 ,
f(b) =
Zb
n
X
(b − t)n (n+1)
f(k) (a)
(b − a)k +
f
(t) dt.
k!
n!
a
k=0
Inégalité des accroissements finis. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C,
dérivable sur I. On suppose que |f ′ | est bornée sur I. Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 ,
|f(b) − f(a)| 6 |b − a| × sup|f ′ |.
I
Inégalité de Taylor-Lagrange. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C, n + 1
fois dérivable sur I. On suppose que |f(n+1) | est bornée sur I. Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 ,
sup f(n+1) × (b − a)(n+1)
n
X
f(k) (a)
k
f(b) −
(b − a) 6 I
.
k!
(n + 1)!
k=0
2.3
Intégration
Théorème. Soit fZ une fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C. Alors, pour tout x0 de I, la
x
fonction F : x 7→
f(t) dt est de classe C1 sur I et ∀x ∈ I, F ′ (x) = f(x).
x0
Plus généralement, si f est continue par morceaux sur I, F est continue sur I, dérivable à droite et à gauche en tout point
de l’intérieur de I et pour x intérieur à I, Fg′ (x) = f(x− ) et Fd (x) = f(x+ ).
3
Séries numériques
Règle de d’Alembert. (un ) est une suite complexe, ne s’annulant pas à partir d’un certain rang telle que
un+1
a
un
une limite ℓ ∈ [0, +∞].
• Si 0 6 ℓ < 1, la série de terme général un converge absolument.
• Si ℓ > 1, la série de terme général un diverge grossièrement.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
Si les séries de termes généraux un et vn sont
Pn
u
v
absolument convergentes,
alors
la
série
de
terme
général
w
=
k
n−k converge et dans ce cas,
n
k=0
! +∞ !
+∞
+∞
X
X
X
wn =
un
vn .
n=0
n=0
n=0
Critère spécial aux séries alternées (ou théorème de Leibniz). Soit (un ) une suite réelle alternée en signe, dont
la valeur absolue tend vers 0 en décroissant. Alors, la série de terme général un converge.
De plus, S, Sn et Rn sont du signe de leur premier terme et leur valeur absolue est majorée par la valeur absolue de leur
premier terme. Enfin, S est encadrée par deux sommes partielles consécutives.
Théorème (séries télescopiques). Soit (an ) une suite complexe. La suite (an ) et la série de terme général an+1 − an
sont de même nature.
Comparaison séries-intégrales. Si Zf est une fonction continue par morceaux sur [0, +∞[, à valeurs réelles positives
n
f(t) dt − f(n) converge.
décroissante, la série de terme général
n−1
En particulier, la série de terme général f(n) converge si et seulement si f est intégrable sur [0, +∞[.
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4 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Théorème (sommation des relations de comparaison). Soient (an ) et (bn ) deux suites réelles strictement positives
telles que an ∼ bn .
n→ +∞
Si la série de terme général an converge, alors la série de terme général bn converge et
+∞
X
ak
k=n+1
∼
n→ +∞
+∞
X
bk
k=n+1
(règle de l’équivalence des restes de séries à termes positifs convergentes).
Si la série de terme général an diverge, alors la série de terme général bn diverge et
n
X
k=0
ak
∼
n→ +∞
n
X
bk
k=0
(règle de l’équivalence des sommes partielles de séries à termes positifs divergentes).
Résultats analogues en remplaçant ∼ par o( ) ou O( ).
Théorème de Fubini.
) une suite complexe double. Si Pour tout i, la série de terme général ui,j est absolument
Soit (ui,j
+∞
+∞
X
X

convergente et que
|ui,j | < +∞, alors la suite (ui,j ) est sommable et de plus,
i=0
j=0
X
ui,j =
(i,j)
+∞
X
i=0


!
+∞
+∞
+∞
X
X
X

ui,j  =
ui,j .
j=0
j=0
i=0
Ne font pas partie du cours, mais constituent des grands classiques d’écrit : la règle de Raabe-Duhamel (amélioration
de la règle de d’Alembert pour les séries numériques) et la transformation et la règle d’Abel (pour une série du type
X cos(nθ)
)
n
4
4.1
Suites et séries de fonctions
Suites de fonctions
1) Convergence simple, uniforme La suite de fonctions (fn ) converge simplement sur D vers la fonction f si et
seulement si, pour chaque x de D, la suite numérique (fn (x)) converge vers le nombre f(x).
La suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers f sur D si et seulement si la suite (kf − fn k∞ ) est définie à partir
d’un certain rang et tend vers 0 quand n tend vers +∞.
2) Interversion des limites
Théorème d’interversion des limites. a est adhérent à D (a réel, infini, complexe...).
Si (fn ) converge uniformément vers f sur D et si chaque fn a une limite ℓn ∈ K quand x tend vers a, alors :
a) f a une limite quand x tend vers a ;
b) la suite (ℓn ) converge ;
c) lim f(x) = lim ℓn .
x→ a
n→ +∞
(c’est-à-dire lim ( lim fn (x)) = lim ( lim fn (x)).)
x→ a n→ +∞
n→ +∞ x→ a
3) Continuité.
Théorème. Si la suite de fonctions (fn ) converge uniformément vers f sur D et si chaque fn est continue sur D, alors f
est continue sur D (une limite uniforme de fonctions continues est continue).
4) Dérivation.
Théorème. Si
a) la suite de fonctions (fn ) converge simplement vers f sur D ;
b) chaque fonction fn est dérivable sur D ;
c) la suite des dérivées (fn′ ) converge uniformément sur D (vers sa limite).
d
d
Alors, f est dérivable sur D et f ′ = lim fn′ (c’est-à-dire
( lim fn ) = lim ( fn ).)
n→ +∞
n→ +∞ dx
dx n→ +∞
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4.2 Séries de fonctions
4 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Théorème (généralisation). Si
a) la suite de fonctions (fn ) converge simplement vers f sur D ;
b) chaque fn est de classe Cp , p > 1, sur D ;
(k)
c) les suites des dérivées (fn ), 1 6 k 6 p, convergent toutes uniformément sur D (vers leur limite)
p
Alors, f est de classe C sur D et ∀k ∈ J1, pK, f(k) = lim f(k)
n .
n→ +∞
5) Intégration
Théorème (convergence uniforme sur un segment). Si chaque fn est continue par morceaux sur le segment [a, b]
et si la suite (fn ) converge uniformément vers f sur [a, b], alors :
a) f est continue par morceaux
sur [a, b] ;
!
Zb
b) la suite
fn (x) dx converge ;
a
Zb
fn (x) dx.
f(x) dx = lim
n→ +∞ a
a
Zb
Zb
fn (x) dx).
lim fn (x) dx = lim
(c’est-à-dire
c)
Zb
a n→ +∞
n→ +∞
a
Théorème de convergence dominée. (fn ) est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque I de R à valeurs dans R ou C.
Si la suite (fn ) converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I et s’il existe une fonction ϕ continue
par morceaux,
positive et
Z intégrable sur I telle que ∀n ∈ N, |fn | 6 ϕ (hypothèse de domination), alors f est intégrable sur
Z
f(x) dx = lim
I et
n→ +∞ I
I
4.2
fn (x) dx.
Séries de fonctions
1) Convergence simple, uniforme, absolue, normale
• La série de fonctions de terme général fn converge simplement sur D vers S si et seulement si, pour chaque x de D, la
série numérique de terme général fn (x) converge vers S(x).
• La série de fonctions de terme général fn converge uniformément sur D vers S si et seulement si la suite (kRn k∞ ) est
définie à partir d’un certain rang et tend vers 0 quand n tend vers +∞.
• La série de fonctions de terme général fn converge absoluement sur D si et seulement si, pour chaque x de D, la série
numérique de terme général fn (x) converge absolument.
• La série de fonctions de terme général fn converge normalement sur D (vers S) si et seulement si la série numérique de
terme général kfn k∞ converge.
C.U.
Théorème.
C.N.
C.S.
Toutes les autres implications sont fausses.
C.A.
2) Interversion des limites
Théorème d’interversion des limites. a est adhérent à D (a réel, infini, complexe...).
Si la série de fonction de terme général fn converge uniformément vers S sur D et si chaque fn a une limite ℓn ∈ K quand
x tend vers a , alors :
a) S a une limite quand x tend vers a ;
b) la série numérique de terme général ℓn converge ;
+∞
X
c) lim S(x) =
ℓn .
x→ a
n=0
! +∞
+∞
X
X
(c’est-à-dire lim
fn (x) =
lim fn (x)).
x→ a
n=0
n=0
x→ a
3) Continuité
Théorème. Si la série de fonctions de terme général fn converge uniformément vers S sur D et si chaque fn est continue
sur D, alors S est continue sur D.
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SÉRIES DE FOURIER
4) Dérivation
Théorème de dérivation terme à terme. Si
a) la série de fonctions de terme général fn converge simplement vers S sur D ;
b) chaque fn est dérivable sur D ;
c) la série de fonctions de terme général fn′ converge uniformément
D,
! sur
+∞
+∞
+∞
X
X
X
d
d
fn =
(fn )).
alors, S est dérivable sur D et S ′ =
fn′ (c’est-à-dire
dx
dx
n=0
n=0
n=0
Théorème (généralisation). Si
a) la série de fonctions de terme général fn converge simplement vers S sur D ;
b) chaque fn est de classe Cp , p > 1 sur D ;
(k)
c) les séries de termes généraux (fn ), 1 6 k 6 p, convergent toutes uniformément sur D,
+∞
X
(k)
alors, S est de classe Cp sur D et ∀k ∈ [[1, p]], S(k) =
fn
.
n=0
Revoir l’étude de la fonction ζ de Riemann.
5) Intégration terme à terme
Théorème (convergence uniforme sur un segment). Si chaque fn est continue par morceaux sur le segment [a, b]
et si la série de terme général fn converge uniformément vers S sur [a, b], alors :
a) S est continue par morceaux sur [a, b] ;!
Zb
b) la série de terme général
fn (x) dx converge ;
a
c)
Zb
a
S(x) dx =
+∞ Z b
X
fn (x) dx.
n=0 a
Théorème de convergence dominée. (fn ) est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque I de R à valeurs dans R ou C.
Si la série de terme général fn converge simplement vers une fonction S continue par morceaux sur I et s’il existe une
n
X
fonction ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que ∀n ∈ N, |
fk | 6 ϕ (hypothèse de domination),
alors S est intégrable sur I et
Z
S(x) dx =
+∞ Z
X
k=0
fn (x) dx.
n=0 I
I
Théorème. Si chaque fn est continue par morceaux et intégrable sur I, si la série de terme général fn converge simplement
Z
+∞ Z
+∞ Z
X
X
fn .
|fn | < +∞, alors S est intégrable sur I et S(x) dx =
vers une fonction S continue par morceaux sur I et si
I
n=0 I
5
n=0 I
Séries entières
1) Rayon de convergence
Ra = sup{r ∈ [0, +∞[/ (|an |rn ) bornée}.
2) Convergence normale
Théorème. La série de fonctions
r < Ra .
X
an xn converge normalement sur tout [−r, r] (resp. tout disque fermé de rayon r) où
Théorème. La somme d’une série entière est de classe C∞ sur son intervalle ouvert de convergence et les dérivées
successives s’obtiennent par dérivation terme à terme. Idem pour primitive par intégration terme à terme.
Les différents rayons de convergence considérés sont égaux. De plus, la somme d’une série entière est égale à la somme de
sa série de Taylor :
∀x ∈] − Ra , Ra [, f(x) =
+∞ (n)
X
f (0) n
x .
n!
n=0
6
Séries de Fourier
1) Coefficients de Fourier et série de Fourier f est une fonction continue par morceaux sur R, 2π-périodique
à valeurs dans R ou C.
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6
SÉRIES DE FOURIER
coefficients de Fourier sous forme trigonométrique
Z
Z
1 2π
1 2π
∀n ∈ N, an (f) =
f(t) cos(nt) dt et ∀n ∈ N∗ , bn (f) =
f(t) sin(nt) dt
π 0
π 0
coefficients de Fourier sous forme exponentielle
Z
1 2π
f(t)e−int dt
∀n ∈ Z, cn (f) =
2π 0
Z Si f est paire,
2 π
f(t) cos(nt) dt et ∀n ∈ N∗ , bn (f) = 0.
∀n ∈ N, an (f) =
π 0
Si f est impaire,
Z
2 π
∀n ∈ N, an (f) = 0 et ∀n ∈ N∗ , bn (f) =
f(t) sin(nt) dt.
π 0
La série de Fourier trigonométrique de f est
+∞
a0 (f) X
Sf(x) =
+
(an (f) cos(nx) + bn (f) sin(nx)).
2
n=1
La série de Fourier exponentielle de f est
+∞
X
Sf(x) =
cn (f)einx .
n=−∞
2) Théorème de Dirichlet
Théorème. Si f est de classe C1 par morceaux sur R, 2π-périodique, alors la série de Fourier de f converge en tout réel
1
x vers (f(x− ) + f(x+ )).
2
∀x ∈ R,
+∞
+∞
X
a0 X
1
+
(an (f) cos(nx) + bn (f) sin(nx)) =
cn (f)einx = (f(x− ) + f(x+ )).
2
2
n=−∞
n=1
Corollaire Si f est continue sur R, de classe C1 par morceaux et 2π-périodique, alors la série de Fourier de f converge
simplement vers f sur R.
3) Formule de Parseval
Théorème Si f est continue par morceaux et 2π-périodique, alors
Z
+∞
|a0 (f)|2 X
1 2π
+
(|an (f)|2 + |bn (f)|2 ) =
|f(t)|2 dt
2
π 0
n=1
Z
+∞
X
1 2π
|cn (f)|2 =
|f(t)|2 dt.
2π
0
n=−∞
4) Convergence normale
Si f est de classe C1 par morceaux,
∀n ∈ N∗ , an (f ′ ) = nbn (f) et ∀n ∈ N∗ , bn (f ′ ) = −nan (f).
bn (f ′ )
an (f ′ )
a0 (f ′ ) = 0 et ∀n ∈ N∗ , an (f) = −
, bn (f) =
.
n
n
∀n ∈ Z, cn (f ′ ) = incn (f).
1
cn (f ′ ).
c0 (f ′ ) = 0 et ∀n ∈ Z∗ , cn (f) =
in
Théorème. Si f est continue, de classe C1 par morceaux sur R et 2π-périodique la série de Fourier de f converge
normalement vers f sur R.
Théorème. Si f est de classe Ck sur R alors la suite (cn (f)) est négligeable devant la suite (|n|−k ) quand n tend vers ±∞
et les suites (an (f)) et (bn (f) sont négligeables devant n−k quand n tend vers +∞.
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7 INTÉGRALES DÉPENDANT D’UN PARAMÈTRE
5) Fonctions T -périodiques
2π
.
T
coefficients de Fourier trigonométriques
Z
Z
2 T
2 T
∗
f(t) cos(nωt) dt et ∀n ∈ N , bn (f) =
f(t) sin(nωt) dt
∀n ∈ N, an (f) =
T 0
T 0
coefficients de Fourier exponentielles
Z
1 T
f(t)e−inωt dt
∀n ∈ Z, cn (f) =
T 0
On pose ω =
La série de Fourier trigonométrique de f est
+∞
a0 (f) X
Sf(x) =
+
(an (f) cos(nωx) + bn (f) sin(nωx)).
2
n=1
La série de Fourier exponentielle de f est
+∞
X
cn (f)einωx .
Sf(x) =
n=−∞
Formule de Parseval
Z
+∞
X
2 T
|a0 (f)|
+
(|an (f)|2 + |bn (f)|2 ) =
|f(t)|2 dt
2
T 0
n=1
Z
+∞
X
1 T
|cn (f)|2 =
|f(t)|2 dt.
T
0
n=−∞
2
7
Intégrales dépendant d’un paramètre
I est une partie de R et J est un intervalle quelconque de R.
f: I×J →
K
est une fonction de deux variables, définie sur I × J, à valeurs dans K = R ou K = C.
(x, t) 7→ f(x, t)
Z
Pour x ∈ I, on pose F(x) = f(x, t) dt.
J
Pas de théorème d’interversion des limites
Théorème de continuité d’une intégrale à paramètres. Si
a) pour tout x de I, la fonction t 7→ f(x, t) est continue par morceaux sur J,
b) pour tout t de J, la fonction x 7→ f(x, t) est continue sur I,
c) il existe une fonction ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur J telle que, pour tout (x, t) ∈ I × J,
|f(x, t)| 6 ϕ(t).
Alors, la fonction F est définie et continue sur I.
Théorème de dérivation sous le signe somme (ou théorème de Leibniz) Si pour tout x de I, la fonction t 7→ f(x, t)
∂f
est continue par morceaux sur J et intégrable sur J, et si f admet une dérivée partielle
vérifiant les hypothèses du
∂x
théorème précédent, c’est-à-dire :
∂f
(x, t) est continue par morceaux sur J,
a) pour tout x de I, la fonction t 7→ ∂x
∂f
b) pour tout t de J, la fonction x 7→ ∂x
f(x, t) est continue sur I,
c) il existe une fonction ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur J telle que, pour tout (x, t) ∈ I × J,
∂f
| (x, t)| 6 ϕ(t).
∂x
Z
∂f
(x, t) dt.
Alors, la fonction F est de classe C1 sur I et ∀x ∈ I, F ′ (x) =
J ∂x
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8 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Théorème de dérivation sous le signe somme (généralisation) Si pour tout x de I, la fonction t 7→ f(x, t) est
∂i f
, 1 6 i 6 k, vérifiant :
continue par morceaux sur J et intégrable sur I, et si f admet des dérivées partielles
∂xi
∂i f
a) pour tout x de I et tout i ∈ J1, kK, la fonction t 7→ i (x, t) est continue par morceaux sur J,
∂x
∂i f
b) pour tout t de J et tout i ∈ J1, kK, la fonction x 7→ ∂x
i f(x, t) est continue sur I,
c) il existe des fonctions ϕi continues par morceaux, positives et intégrable sur J telle que, pour tout (x, t) ∈ I × J et
tout i ∈ J1, kK,
∂i f
| i (x, t)| 6 ϕi (t).
∂x
Z i
∂f
Alors, la fonction F est de classe Ck sur I et ∀x ∈ I, ∀i ∈ J1, kK, F(i) (x) =
(x, t) dt.
i
J ∂x
Revoir l’étude de la fonction Γ .
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Equations différentielles
Théorème de Cauchy Soient a et b deux fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou K = C.
Alors, pour tout (x0 , y0 ) ∈ I × K, il existe une et une seule solution f de l’équation différentielle y ′ + ay = b sur I vérifiant
de plus f(x0 ) = y0 à savoir :
∀x ∈ I, f(x) = y0 eA(x) + eA(x)
Rx
x0
e−A(t) b(t) dt où A(x) =
Rx
x0
a(t) dt.
Théorème de Cauchy. Soit A ∈ Mn (K). Soit B une fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans Mn,1 (K).
Alors, pour tout (t0 , X0 ) ∈ I × Mn,1 (K), il existe une et une seule solution X de l’équation différentielle X ′ = AX + B sur
I vérifiant de plus X(t0 ) = X0 à savoir
∀t ∈ I, X(t) = etA X0 + etA
Rt
t0
e−uA B(u) du.
Théorème de Cauchy. Soient A et B deux fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs respectivement dans
Mn (K) et Mn,1 (K). Alors, pour tout (t0 , X0 ) ∈ I×Mn,1 (K), il existe une et une seule solution X de l’équation différentielle
X ′ = AX + B sur I vérifiant de plus X(t0 ) = X0 .
Théorème de Cauchy. Soient a, b et c trois fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C. Alors,
pour tout (x0 , y0 , z0 ) ∈ I × K × K, il existe une et une seule solution f de l’équation différentielle y ′′ + ay ′ + by = c sur I
vérifiant de plus f(x0 ) = y0 et f ′ (x0 ) = z0 .
Théorème de Cauchy-Lipschitz. Soit f une application de classe C1 sur un ouvert U de R2 à valeurs dans R. Pour
tout (x0 , y0 ) ∈ I × R, il existe une et une seule solution maximale de l’équation y ′ = f(x, y) prenant la valeur y0 en x0 .
De plus, l’intervalle de définition de cette solution maximale est ouvert.
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