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Théorie Du Signal
Théorie Du Signal
1. Généralités
Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou
l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum
d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de l'électronique
et de l'informatique. Le traitement du signal est utilisé dans différents secteurs : télécommunication,
électronique, automobile, spatial, militaire et industrie.
1.1.
Définitions
1.1.1
Signal
Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire.
La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens
d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.
1.1.2
Bruit
Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un
signal.
1.2 Classification des signaux
On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.
1.2.1
Classification phénoménologique
On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de
signaux :
Les signaux déterministes :
L’évolution de ces signaux en fonction du temps peut être parfaitement modélisée par une fonction
mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les
signaux pseudo-aléatoires, etc…
Les signaux aléatoires :
Leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à leurs propriétés statistiques pour les
décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires
1
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1.2.2
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Classification énergétique
On considère l'énergie des signaux. On distingue :
Les signaux à énergie finie :
On dit qu’un signal 𝑥(𝑡) est un signal à énergie finie s’il possède une puissance moyenne nulle et une
énergie finie.
Energie du signal 𝑥(𝑡)
+∞
: 𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡= Constante.
1
+𝑇 ⁄2
Puissance du signal 𝑥(𝑡) : 𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇 ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = 0.
Exemple :
+∞
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡= ∫𝑡 1 𝐴2 𝑑𝑡
0
A
𝑊𝑥 = 𝐴2 (𝑡0 − 𝑡1 )
1
+𝑇 ⁄2
1
𝑡
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇 ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 .
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇 ∫𝑡 1 𝐴2 𝑑𝑡
𝑡0
0
1
𝑡1
t
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇(𝐴2 (𝑡0 − 𝑡1 ))=0
Les signaux à puissance moyenne finie
On dit qu’un signal 𝑥(𝑡) est un signal à puissance moyenne finie s’il possède une puissance
moyenne finie et une énergie infinie.
Energie du signal 𝑥(𝑡)
+∞
: 𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡=∞.
1
+𝑇 ⁄2
Puissance du signal 𝑥(𝑡) : 𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = constante.
𝑇
𝑥(𝑡)
A
Exemple :
𝑥(𝑡) = 𝐴
+∞
𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡
+∞
𝑊𝑥 = ∫
| 𝐴|2 𝑑𝑡 = ∞
t
−∞
2
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1
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+𝑇 ⁄2
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 .
𝑇
1
+𝑇 ⁄2
𝑃𝑥 = lim 𝑇→∞ ∫−𝑇⁄2 | 𝐴|2 𝑑𝑡 .
𝑇
𝑃𝑥 = 𝐴2 .
1.2.3
Classification morphologique
On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont
l'amplitude est discrète ou continue.
On obtient donc 4 classes de signaux :
Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus.
Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu.
Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret.
Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets.
1.3 Signaux périodiques
Un signal temps continu périodique de période T vérifie :
𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑥)
On dit aussi qu’un tel signal est T-périodique.
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Un signal temps discret périodique de période N vérifie :
𝑥𝑛+𝑁 = 𝑥𝑛
On dit aussi qu’un tel signal est N-périodique.
1.4 Quelques signaux particuliers
Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment
rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.
1.4.1
Fonction échelon unité
1
𝑝𝑜𝑢𝑟
𝑡≥0
𝑢(𝑡) = {
0
𝑝𝑜𝑢𝑟
𝑡<0
Cette fonction est intéressante dans la description des régimes continus.
1.4.2
Fonction Impulsion de Dirac
1
Si on prend une fonction porte d'amplitude
𝑇
, de largeur T et si on suppose que la durée temporelle T
est brève, on retrouve la définition de la fonction de Dirac. Elle présente les propriétés suivantes :
1
𝑇
𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑡| ≤ 2
𝑇
+∞
∫−∞ 𝜋𝑇 (𝑡)𝑑𝑡 = 1
avec
𝜋𝑇 (𝑡) = {
𝑇
0
∞
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 = 0
0
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≠ 0
𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑡| > 2
lim 𝜋𝑇 = {
𝑇→0
La limite de cette fonction lorsque T→ 0 donne l'impulsion de Dirac :
δ(t) = lim𝑇→0 𝜋𝑇
et
+∞
∫−∞ δ(t)𝑑𝑡 = 1
Donc L'impulsion de Dirac correspond est donné par la formule suivant
∞
δ(t) = {
0
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 = 0
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≠ 0
4
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δ(t) ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole.
Le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire de cette impulsion (et non l’amplitude de
l’impulsion).
1.4.3
Peigne de Dirac
On appelle peigne de Dirac une succession périodique d’impulsions de Dirac
+∞
δ𝑇 (𝑡) = ∑ δ(t − kT)
𝑘→−∞
T est la période du peigne.
Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage.
1.4.4
Fonction sinus cardinal
sinc(t)
)
sin(𝜋𝑡)
𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) =
𝜋𝑡
1
Cette fonction joue un rôle très important en
traitement du signal.
1
Propriétés
+∞
∫−∞ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)𝑑𝑡 = 1
+∞
∫−∞ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)2 𝑑𝑡 = 1
5
t
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1.5 Convolution
Le produit de convolution exprime la quantité de recouvrement d’une fonction y lorsqu’on la déplace
sur une autre fonction x : c’est un mélangeur de fonction. C’est un outil important en traitement du
signal (filtrage...).
Signal continu :
+∞
z(t) = x(t) ∗ y(t) = ∫
x(t)y(t − τ) dτ
−∞
Signal discret :
𝑛=+∞
z[k] = x[k] ∗ y[k] = ∑ 𝑥[𝑘]𝑦[𝑘 − 𝑛]
𝑛=−∞
Propriétés
Commutativité
x(t) ∗ y(t) = y(t) ∗ x(t)
Distributivité
[𝑥1 (𝑡) + 𝑥2 (𝑡)] ∗ 𝑦(𝑡) = 𝑥1 (𝑡) ∗ 𝑦(𝑡) + 𝑥2 (𝑡) ∗ 𝑦(𝑡)
Associativité
[𝑥1 (𝑡) ∗ 𝑥2 (𝑡)] ∗ 𝑦(𝑡) = 𝑥1 (𝑡) ∗ [𝑥2 (𝑡) ∗ 𝑦(𝑡)]
1.6 Corrélation
1.6.1
Intercorrélation
Mesure énergétique de la similitude de forme et de position entre deux signaux décalés.
Si on intéresse aux signaux à temps continu et d'énergie finie, intercorrélation est définie par l’expression
suivante :
+∞
+∞
𝐶𝑥𝑦 (τ) = ∫−∞ x(t)y(t − τ) dt ou 𝐶𝑥𝑦 (t) = ∫−∞ x(τ)y(τ − t) dτ
1.6.2
Autocorrélation
Dans ce cas on mesure la similitude entre un signal et un décalage de ce signal.
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+∞
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+∞
𝐶𝑥𝑥 (τ) = ∫−∞ x(t)x(t − τ) dt ou 𝐶𝑥𝑥 (t) = ∫−∞ x(τ)x(τ − t) dτ
1.6.3
Propriétés pour les signaux réels
𝐶𝑥𝑦 (τ) = 𝐶𝑦𝑥 (−τ)
𝐶𝑥𝑥 (τ) = 𝐶𝑥𝑥 (−τ) L’autocorrélation est une fonction paire.
𝐶𝑥𝑥 (τ) ≤ 𝐶𝑥𝑥 (0)
2 Traitement du signal analogique
2.1 Série de Fourier
La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de sinusoïdes. On
utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles permettent ainsi
de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel.
Soit un signal x(t) périodique de période 𝑇0 , on peut écrire :
𝑛=+∞
x(t) = 𝑥0 + ∑ [𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔0 𝑡)]
𝑛=1
avec
𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
𝑥0 =
1
∫ x(t)𝑑𝑡
𝑇0
(𝑇0 )
𝑎𝑛 =
2
∫ x(t) cos(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0
(𝑇0 )
𝑏𝑛 =
2
∫ x(t) sin(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0
(𝑇0 )
Remarque :
On appelle le signal de pulsation 𝜔0 le fondamental.
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On appelle les signaux de pulsation 𝑛𝜔0 les harmoniques de rang n.
La valeur de 𝑥0 représente la valeur moyenne de x(t).
2.1.1
Représentation spectrale
L'écriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu d'intérêt physique, en effet si la
fonction f(t) subit une simple translation suivant l'axe des temps alors les coefficients An et Bn seront
modifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquelle
la puissance est conservée après une translation suivant l'axe des temps et où cette translation
apparaîtra sous la forme d’un déphasage.
Posant tan 𝜑𝑛 =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
𝑛=+∞
x(t) = 𝑥0 + ∑ [𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔0 𝑡)]
𝑛=1
𝑛=+∞
𝑎𝑛
x(t) = 𝑥0 + ∑ √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 [
√𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
𝑛=1
cos 𝜑𝑛 =
1
√1 + (tan 𝜑𝑛 )2
=
cos(𝑛𝜔0 𝑡) +
1
𝑎
√1 + (𝑏𝑛 )2
=
𝑏𝑛
√𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
sin(𝑛𝜔0 𝑡)]
𝑏𝑛
√𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
𝑛
sin 𝜑𝑛 = cos 𝜑𝑛 tan 𝜑𝑛 =
𝑏𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
=
√𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑏𝑛 √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
𝑛=+∞
x(t) = 𝑥0 + ∑ √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 [sin 𝜑𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡) + cos 𝜑𝑛 sin(𝑛𝜔0 𝑡)]
𝑛=1
𝑛=+∞
x(t) = 𝑥0 + ∑ 𝑐𝑛 sin(𝑛𝜔0 𝑡 + 𝜑𝑛 )
𝑛=1
Avec 𝑐𝑛 = √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
2.1.2
𝑎
et 𝜑𝑛 = tan−1 ( 𝑏𝑛)
𝑛
Propriétés
Si x(t) est paire
→
𝑏𝑛 = 0
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→
Si x(t) est impaire
𝑎𝑛 = 0
2.2 Transformée de Fourier
C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux déterministes. Elle
permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de ces signaux. Elle
exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des
signaux considérés.
On appelle Transformée de Fourier d’un signal x(t) la fonction X(f) définie par :
+∞
𝑋(𝑓) = 𝑇𝐹[x(t)] = ∫ x(t)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
−∞
Si cette transformée existe, la transformée de Fourier inverse est donnée par :
+∞
𝑥(𝑡) = 𝑇𝐹 −1 [X(f)] = ∫ X(f)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓
−∞
2.2.1
Propriétés
s(t 𝑥(𝑡))
X(f)
α.s(t) + β.r(t)
α.S(f) + β.R(f)
x(t- t )
𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡0 X(f)
Translation
𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 x(t)
X(f − 𝑓0 )
Conjugaison
𝑥 ∗ (t)
X(-f)
Linéarité
𝑛
Dérivation
𝑑 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
Dilatation
x(at) avec a ≠ 0
1
f
X( )
|a| a
s(t)∗r(t)
s(t).r(t)
S(t)
S(f).R(f)
S(f)*R(f)
s(-f)
Convolution
Dualité
Transformée de Fourier de Dirac
s(t)
→ S(f)
9
(j2πf)n X(f)
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δ(t)
→ 1
δ(t-τ)
→ e−j2πfτ
e−j2πf0 t → δ(f+ f0 )
2.2.2
Egalité de Parceval :
Pour un signal d’énergie finie, l’énergie du signal est identique dans les domaines temporel et
fréquentiel.
+∞
+∞
∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑖 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓
−∞
−∞
3 Numérisation
Les systèmes numériques de traitement de l’information sont utilisés dans plusieurs domaines (radio,
télévision, téléphone, instrumentation…). Ce choix est souvent justifié par des avantages techniques
tels que la grande stabilité des paramètres, une excellente reproductibilité des résultats. Le monde
extérieur étant par nature ‘’analogique’’, une opération préliminaire de conversion analogique
numérique est nécessaire. La conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le
signal analogique de départ :
- l’échantillonnage pour rendre le signal discret
- la quantification pour associer une valeur à chaque échantillon .
- le codage pour associer un code à chaque valeur.
3.1 Echantillonnage :
L’échantillonnage consiste à prélever les valeurs instantanées d’un signal continu. . En pratique,
l’échantillonnage est effectué à période constante (fréquence d’échantillonnage fe). et le signal est
représenter par un ensemble de valeur discrètes :
se(t) = s(n.Te) avec n entier
Te : période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.
10
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3.1.1
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Echantillonnage idéal
L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu s(t) et d’un peigne de
Dirac de période Te.
+∞
+∞
se (t) = s(t)δTe (t) = s(t) ∑ δ(t − nTe ) = ∑ s(nTe )δ(t + nTe )
n→−∞
n→−∞
Le spectre du signal échantillonné est donc le suivant :
+∞
+∞
n→−∞
n→−∞
1
1
Se (f) =
∑ S(f)δ(f − nfe ) =
∑ S(f − nfe )
Te
Te
On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine autour
des multiples de la fréquence d’échantillonnage.
Si fM, la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à f e/2, la
restitution du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement spectrale lors de
l’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage.
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Lorsqu’il y a recouvrement spectrale, il est impossible de reconstruire correctement le signal.
Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la
fréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des fréquences
fM du spectre du signal
fe > 2fM
3.1.2
En
Echantillonnage réel
pratique, l’échantillonnage s’effectue en commandant un interrupteur par un train d’impulsions
étroites. Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment nulle. La modélisation de
l’échantillonnage par un peigne de Dirac est donc erronée. En fait, chaque impulsion va avoir une
durée très courte τ. L’échantillonnage peut donc être modélisé par la multiplication du signal par une
suite de fonction rectangle (ou porte) de largeur τ.
L’expression du signal d’échantillonnage devient donc :
+∞
+∞
n→−∞
n→−∞
t − nTe
t
y(t) = ∑ rect (
) = rect ( ) ∗ ∑ δ(t + nTe )
τ
τ
Et par conséquent, sa transformée de Fourier est égale à :
+∞
1
Y(f) = τsinc(τf)
∑ δ(f + nfe )
Te
n→−∞
Comme l’expression du signal échantillonné est :
se (t) = s(t)y(t)
Sa transformée de Fourier devient :
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+∞
τ
Se (f) = S(f) ∗ y(f) = S(f) ∗ sinc(τf) ∑ δ(f + nfe )
Te
n→−∞
+∞
+∞
n→−∞
n→−∞
τ
τ
Se (f) = sinc(τf) ∑ S(f) ∗ δ(f + nfe ) = sinc(τf) ∑ S(f + nfe )
Te
Te
On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus cardinale.
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