Operateurs

I - Coordonnées Cartesiennes :
II - Coordonnées Cylindriques :
z
z
z
dx
dy
M
z
dz
z
M
 
k

j
i o
x
dz
M
y
o
y
x




r  OM  x i  y j  z k




dr  d OM  dx i  dy j  dz k
dV  dx.dy.dz

 f    f    f  
grad f  . f   .i   . j   .k
 x 
 z 
 y 
    A   Ay   Az 
  
divA  . A   x   

 x   y   z 
    A Ay    Ax Az    Ay Ax  
.i  
.k
rot A    A   z 


. j  
z 
x 
y 
 z
 y
 x
 2 f   2 f   2 f 
f   2    2    2 
 x   y   z 




  2 A   2 A   2 A 


 A   2    2    2    Ax .i   Ay . j   Az .k
 x   y   z 

ez
o
x
OUAAQIL MOSTAFA
M
r
θ
dr

e

er



r  OM  r.er  z.e z




dr  d OM  dr.er  rd .e  dz.e z
y
o
x
rdθ
y
θ
x  r cos 
y  r sin 
dV  r dr d dz

 f   1  f    f  
grad f  . f   .er  
.e   .e z
r   
 r 
 z 
   1 
r Ar   1 A  Az
div A  . A 
r r
r 
z
    1 Az A    Ar Az   1  
A  
rot A    A  


.er  
.e   r A   r .e z
z 
r 
r  r
 
 z
 r 
1   f  1  2 f  2 f
f 

r  
r r  r  r 2  2 z 2
III - Coordonnées Sphériques :

er
z
M
θ
r
z

e

e
dr
M
dθ
r dθ
y
o
x


φ
y
o
x
dφ

x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
dV  r 2 sin  dr d d
z  r cos 

f  1 f 
1 f 
grad f  . f  .er 
.e 
.e
r
r 
r sin  
   1  2
A
1

 A sin    1
div A  . A  2
r Ar 
r sin  
r sin  
r r
  
1  

A sin    A .er 
rot A    A 
r sin   
 

1  1 Ar 

 r A .e 
r  sin   r



A  
1 
 r A   r .e
r  r
 
1 2
1
 
f 
1
2 f


f 
r
f

sin




r r 2
  r 2 sin 2   2
r 2 sin   
 
  
 
  



 





(S)

 


Formule de Kelvin :
(C )


Théorème de Stox - Ampère :

 
 A.dl     A .dS

 
 
    

(C)


 
f .dl  
(S )
dS
(S)
 

dS  . f
Formule du gradient :

(S )
f .dS  
(V )
grad . f .dV
Formule du rotationnel :

 
dS

A



  A .dV
(S )
OUAAQIL MOSTAFA
 
 
3) div grad f  f



4) rot rot A  grad div A   A
5) grad  f.g   f.grad g  g.grad f



6) div f.A  A.grad f  f.div A



7) rot f.A  grad f  A  f.rot A
 
 


8) div A  B  B.rot A  A.rot B
 
  
 
 

9) rot A  B  div B .A  div A .B  B.grad .A  A.grad .B





 A 
 A 
 A 
avec B.grad .A  B x .   B y .   B z . 
 x 
 y 
 z 
 

 
 
 

10) grad A.B  A  rot B  B  rot A  B.grad .A  A.grad .B

 1



11) A.grad .A  grad A 2  A  rot A
2
  
     
12) A  B  C  C.A .B  B.A .C
(S) surface fermée
Théorème de Green  Ostrogradsky :
entourant le volume (V)


(V)
(S) A .dS  (V) div A .dV



r  OM  r.er




dr  d OM  dr.er  r d .e  r sin  d .e


1) rot grad f  0

2) div rot A  0
r sinθdφ
(V )


(C)
dl
(S) surface s’appuyant
sur le contour (C)