SERVICE DE GEODESIE ET NIVELLEMENT NOTES TECHNIQUES NT/G 73 PROJECTION CARTOGRAPHIQUE GAUSS - LABORDE S G N Algorithmes 2 7 8 1 2 1ère édition Janvier 1995 2-4, I N S T I T U T AVENUE G E O G R A P H I Q U E PASTEUR - 94165 N A T I O N A L SAINT MANDE CEDEX ALGORITHMES NECESS AIRES A LA PROJECTION CARTOGRAPHIQUE G AUSS - LABORDE SOMMAIRE NOMBRE de PAGES ALG0001 2 ALG0002 3 ALG0034 3 ALG0035 3 ALG0046 6 ALG0001 1/2 CALCUL DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE. Numéro : ALG0001. Description : Calcul de la latitude isométrique sur un ellipsoïde de première excentricité e au point de latitude ϕ. Variables : - paramètres en entrée : ϕ : latitude. e : première excentricité de l’ellipsoïde. - paramètre en sortie : L : latitude isométrique. Schéma séquentiel : E : ϕ , e. S : L E L = ln( tan( π 4 + ϕ 2 )⋅( S 1 − e ⋅ sin ϕ 1 + e ⋅ sin ϕ e )2 ) ALG0001 2/2 CALCUL DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE. Jeux d’essai : ϕ (rad) 0,872 664 626 00 -0,300 000 000 00 0,199 989 033 70 e 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 L 1,005 526 536 49 -0,302 616 900 63 0,200 000 000 009 Remarque : On notera L(ϕ ϕ,e) la valeur de la latitude isométrique sur l’ellipsoïde de première excentricité e au point de latitude ϕ. ALG0002 1/3 CALCUL DE LA LATITUDE A PARTIR DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE. Numéro : ALG0002. Description : Calcul de la latitude ϕ à partir de la latitude isométrique Variables : - paramètres en entrée : L e ε : latitude isométrique. : première excentricité de l’ellipsoïde. : tolérance de convergence. - paramètre en sortie : ϕ : latitude en radian. L. ALG0002 2/3 CALCUL DE LA LATITUDE A PARTIR DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE. Schéma séquentiel : E : L , e , ε. S : ϕ. E ϕ0 = 2 ⋅ arctan ( exp ( L ) )− π 2 i ← 0 i ← i + 1 ϕi = 2 ⋅ arctan ( ( non 1 + e ⋅ sin ϕ i − 1 1 − e ⋅ sin ϕ i − 1 ϕ i − ϕ i− 1 oui ⟨ε e )2 ⋅ exp ( L ) )− π 2 ALG0002 3/3 CALCUL DE LA LATITUDE A PARTIR DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE. Schéma séquentiel (suite) : ϕ = ϕi S Jeux d’essai : L 1,005 526 536 48 -0,302 616 900 60 0,200 000 000 0 e 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 ε 1.10-11 1.10-11 1.10-11 ϕ (rad) 0,872 664 626 00 -0,299 999 999 97 0,199 989 033 69 Remarque : On notera isométrique L L-1(L,e) la valeur de la latitude à partir pour un ellipsoïde de première excentricité e. de la latitude ALG0034 1/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES λ , ϕ → X , Y Gauss-Laborde. Numéro : ALG0034. Description : Transformation de coordonnées géographiques en coordonnées planes dans le système de projection GaussLaborde. Variables : - paramètres en entrée : : longitude. λ : latitude. ϕ e : première excentricité de l’ellipsoïde. λc : longitude origine par rapport au méridien origine. n1 : exposant de la projection ellipsoïde-sphère. n2 : rayon de la sphère intermédiaire. Xs, Ys : constantes sur X, Y. c : constante de la projection. - paramètres en sortie : X, Y : coordonnées en projection Gauss-Laborde du point. Algorithme utilisé : ALG0001 : calcul de la latitude isométrique L au point de latitude ϕ sur l’ellipsoïde. Algorithme dont les résultats sont utilisés en entrée : ALG0046 : détermination des paramètres de calcul c, λc, n2, paramètres de définition usuels. Trois cas sont répertoriés dans cet algorithme: - la sphère de courbure, - la sphère bitangente, - la sphère équatoriale. n1, Xs, Ys à partir des ALG0034 2/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES λ , ϕ → X , Y Gauss-Laborde. Schéma séquentiel : E : λ , ϕ , e , λc , n1 , n2 , Xs , Ys , c. S : X , Y. E Λ = L s c) n1 ( ⋅ λ − λ = c + n1 ⋅ L(ϕ , e) sin Λ ,0 X = X s + n 2 ⋅ L arcsin L ch s ALG0001 ALG0001 shLs Y = Ys + n 2 ⋅ arctan cos Λ S Notations utilisées : L(ϕ,e) excentricité e. : latitude isométrique L au point de latitude ϕ sur l'ellipsoïde de première ALG0034 3/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES λ , ϕ → X , Y Gauss-Laborde. Jeux d'essai : e 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 n1 1,002 559 356 938 9 1,0 n2 (m) 6 362 463,555 6 6 372 009,612 0 c -0,000 407 020 69 0,0 λc (rad) 0,969 239 511 27 -0,925 024 503 56 Xs (m) 160 000,000 0 300 000,000 0 Ys (m) 2 388 648,451 7 0,000 0 λ (rad) 0,968 657 734 83 -0,890 117 918 50 ϕ (rad) -0,366 519 142 94 0,087 266 462 56 X (m) 156 534,177 0 521 634,317 5 Y (m) 62 916,925 0 552 678,296 0 ALG0035 1/3 TRANSFORMATIONS DE COORDONNEES X , Y Gauss-Laborde → λ , ϕ. Numéro : ALG0035. Description : Transformation de coordonnées planes en projection Gauss-Laborde, en coordonnées géographiques. Variables : - paramètres en entrée : X, Y : coordonnées planes du point en projection Gausse : première excentricité de l’ellipsoïde. λc : longitude origine par rapport au méridien origine. n1 : exposant de la projection ellipsoïde-sphère. n2 : rayon de la sphère intermédiaire. Xs, Ys : constantes sur X, Y. c : constante de la projection. : tolérance de convergence. ε Laborde. - paramètres en sortie : λ ϕ : longitude. : latitude. Autres algorithmes utilisés : ALG0001 : calcul de la latitude isométrique L au point de ALG0002 : calcul de la latitude ϕ à partir de la latitude latitude ϕ. isométrique L. Algorithme dont les résultats sont utilisés en entrée : ALG0046 : détermination des paramètres de calcul c, λc, n2, paramètres de définition usuels. Trois cas sont répertoriés dans cet algorithme : - la sphère de courbure, - la sphère bitangente, - la sphère équatoriale. n1, Xs, Ys à partir des ALG0035 2/3 TRANSFORMATIONS DE COORDONNEES X , Y Gauss-Laborde → λ , ϕ. Schéma séquentiel : E : X , Y , λc , e , n1 , n2 , Xs , Ys , c, ε. S : λ , ϕ. E X − Xs ) n2 ) Λ = arctan ( Y − Ys cos( ) n2 sh( Ls λ = ϕ = = Y − Ys ) n2 ( arcsin ( ), 0 ) X − Xs ch( ) n2 sin( L λc + Λ n1 L 1( Lsn 1− − ALG0001 c ALG0001/ALG0002 ,e) S Notations utilisées : L(ϕ,e) : L-1(L,e) latitude isométrique au point de latitude ϕ sur l'ellipsoïde de première excentricité e, calculée avec la tolérance ε. L : latitude ϕ à partir de la latitude isométrique calculée avec la tolérance ε. L sur l’ellipsoïde de première excentricité e, ALG0035 3/3 TRANSFORMATIONS DE COORDONNEES X , Y Gauss-Laborde → λ , ϕ. Jeux d'essai : e 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 n1 1,002 559 356 938 9 1,0 n2 (m) 6 362 463,555 6 6 372 009,612 0 c -0,000 407 020 69 0,0 λc (rad) 0,969 239 511 27 -0,925 024 503 56 Xs (m) 160 000,000 0 300 000,000 0 Ys (m) 2 388 648,451 7 0,000 0 X (m) 156 534,177 0 521 634,317 0 Y (m) 62 916,925 0 552 678,296 0 ε 1.10-11 1.10-11 λ (rad) 0,968 657 734 83 -0,890 117 918 58 ϕ (rad) -0,366 519 142 94 0,087 266 462 56 ALG0046 1/6 PARAMETRES DE PROJECTION Projection de Gauss-Laborde. Numéro : ALG0046. Description : Détermination des paramètres de calcul des principaux types de projections de Gauss-Laborde en fonction des paramètres de définition usuels. Variables : - paramètres en entrée : a e λ0 : demi-grand axe. : première excentricité de l’ellipsoïde. : longitude origine par rapport au méridien origine. ϕ0 k0 X0, Y0 ε : latitude du point origine. : facteur d'échelle au point origine. : coordonnées planes du point origine. : tolérance de convergence. - paramètres en sortie : e λc : première excentricité de l’ellipsoïde. : longitude origine par rapport au méridien origine. ϕc c n1 n2 Xs, Ys : : : : : latitude du point origine (sphère). constante de la projection. exposant de la projection ellipsoïde-sphère. rayon de la sphère intermédiaire. constantes sur X, Y. ALG0046 2/6 PARAMETRES DE PROJECTION Projection de Gauss-Laborde. Variables (suite) : Autres algorithmes utilisés : ALG0001 : calcul de la latitude isométrique L au point de latitude ϕ. ALG0002 : calcul de la latitude ϕ à partir de la latitude isométrique L. Trois types de projections Gauss-Laborde sont répertoriés dans cet algorithme : - sphère de courbure, - sphère équatoriale, - sphère bitangente. ALG0046 3/6 PARAMETRES DE PROJECTION Projection de Gauss-Laborde. Schéma séquentiel : E : a , e , λ0 , ϕ0 , k0 , X0 , Y0, ε. S : e , λc , ϕc , c , n1 , n2 , Xs , Ys. Cas de la sphère de courbure : E λ c = λ 0 2 4 1 + e 2 ⋅ cos ϕ0 1− e sin ϕ0 c ϕ = arcsin ( n1 ) n1 = c= L( L( c ϕ ,0 ) − n1 ⋅ 0 ϕ ,e ) ALG0001 2 n2 = k . a . 0 1⋅ − e 2 2 0 1 − e ⋅ sin ϕ Xs = X0 Ys = Y0 - n2 ϕ c S Suite des autres types de projections Gauss-Laborde à la page suivante. ALG0046 4/6 PARAMETRES DE PROJECTION Projection de Gauss-Laborde. Schéma séquentiel (suite) : Cas de la sphère équatoriale : E λc = λ0 ϕc = L −1 (L (ϕ 0 , e ),0) n1 = 1 ALG0002/001 c=0 n2 = k 0 ⋅ cos ϕ 0 ⋅ 1 − e² ⋅ sin ² ϕ 0 cos ϕ c a Xs = X0 Ys = Y0 S Suite des autres types de projections Gauss-Laborde à la page suivante. ALG0046 5/6 PARAMETRES DE PROJECTION Projection de Gauss-Laborde. Schéma séquentiel (suite) : Cas de la sphère bitangente : E λc = λ0 n1 = 1 ϕ c = L ( ϕ c ,0 ) − n 1 ⋅ n 2 = k0 ⋅ a . = ϕ c L 0 ( ϕ 0, e ) ALG0001 1 1 − e 2 ⋅ sin 2 ϕ 0 X s = X0 Ys = Y0 S Notations utilisées : L(ϕ,e) L L de ϕ sur l'ellipsoïde ( s sur la sphère si e=0), calculée avec la tolérance ε. -1( ,e) : latitude isométrique inverse sur l'ellipsoïde (sur la L : latitude isométrique L sphère si e=0), calculée avec la tolérance ε. ALG0046 6/6 PARAMETRES DE PROJECTION Projection de Gauss-Laborde. Jeux d’essai : Sphère de courbure Sphère équatoriale a (m) 6 378 388,000 0 6 378 388,000 0 e 0,081 991 889 98 0,081 991 889 98 λ0 (rad) 0,969 239 511 27 -0,925 024 503 56 ϕ0 (rad) -0,368 555 360 38 0,000 000 000 00 k0 1,0 0,999 X0 (m) 160 000,000 0 300 000,000 0 Y0 (m) 50 000,000 0 0,000 0 ε 1.10-11 1.10-11 λc (rad) 0,969 239 511 27 -0,925 024 503 56 ϕc (rad) -0,367 569 642 05 0,000 000 000 00 c -0,000 407 020 694 0,0 n1 1,002 559 356 939 1,0 n2 (m) 6 362 463,555 6 6 372 009,612 0 Xs (m) 160 000,000 0 300 000,000 0 Ys (m) 2 388 648,451 7 0,000 0
