Milosz Robin 2018 these

Université de Montréal
Étude algorithmique et combinatoire de la méthode
de Kemeny-Young et du consensus de classements
par
Robin Milosz
Département d’informatique et de recherche opérationnelle
Faculté des arts et des sciences
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures
en vue de l’obtention du grade de
Philosophiæ Doctor (Ph.D.)
en informatique
octobre 2018
©Robin Milosz, 2018

RÉSUMÉ
Une permutation est une liste qui ordonne des objets ou des candidats en fonction d’une
préférence ou d’un critère. Des exemples sont les résultats d’un moteur de recherche sur
l’internet, des classements d’athlètes, des listes de gènes liés à une maladie données par
des méthodes de prédiction ou simplement des préférences d’activités à faire pour la pro-
chaine fin de semaine. On peut être intéressé à agréger plusieurs permutations pour en
obtenir une permutation consensus. Ce problème est bien connu en science politique et
plusieurs méthodes existent pour agréger des permutations, chacune ayant ses propriétés
mathématiques. Parmi ces méthodes, la méthode de Kemeny-Young, aussi nommée la
médiane de permutations, permet de trouver un consensus qui minimise la somme des
distances entre ce consensus et l’ensemble de permutations. Cette méthode détient plu-
sieurs propriétés désirables. Par contre, elle est difficile à calculer, ouvrant par ce fait,
la voie à de nombreux travaux de recherche. Une généralisation de ce problème permet
de considérer les classements qui contiennent des égalités entre les objets classés et qui
peuvent être incomplets en ne considérant qu’un sous-ensemble d’objets. Dans cette thèse
nous étudions la méthode de Kemeny-Young sous différents aspects :
— Premièrement, une réduction d’espace de recherche est proposée. Elle permet
d’améliorer les temps de calcul d’approches exactes pour le problème.
— Deuxièmement, une heuristique bien paramétrée est développée et sert par le gui-
dage d’un algorithme exact branch-and-bound. Cet algorithme utilise aussi une
nouvelle réduction d’espace.
— Troisièmement, le cas particulier du problème sur trois permutations est investigué.
Une réduction d’espace de recherche basée sur les graphes est proposée pour ce cas,
suivi d’une borne inférieure très stricte. Deux conjectures sont émises et font le lien
entre ce cas et le problème du 3-Hitting Set.
— Finalement, une généralisation du problème est proposée et permet d’étendre nos
travaux de réduction d’espace de recherche à l’agrégation de classements.
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Mots clés : méthode de Kemeny-Young, médiane de permutations, règle de
Kemeny, distance de Kendall-τ, agrégation de classements, consensus de clas-
sements, votes préférentiels, système de vote, classements, permutations, op-
timisation, algorithmes
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ABSTRACT
A permutation is a list that orders objects or candidates with a preference function or
a criterion. Some examples include results from a search engine on the internet, athlete
rankings, lists of genes related to a disease given by prediction methods or simply the
preference of activities for the next weekend. One might be interested to aggregate a set
of permutations to get a consensus permutation. This problem is well known in political
science and many methods exists that can aggregate permutations, each one having its
mathematical properties. Among those methods, the Kemeny-Young method, also known
as the median of permutations, finds a consensus that minimise the sum of distances
between that consensus and the set of permutations. This method holds many desirable
properties. On the other end, this method is difficult to calculate, thus opening the way
for research works. A generalization of this problem considers rankings containing ties
between the ranked objects and rankings that might be incomplete by considering only
a subset of objects. In this thesis, we study the Kemeny-Young method under different
aspects :
— Firstly, a search space reduction technique is proposed. It improves the time com-
plexity of exact algorithms for the problem.
— Secondly, a well parameterized heuristic is developed and is used as guidance in
a branch-and-bound exact algorithm. This algorithm also uses a new search space
reduction technique.
— Thirdly, the special case of the problem on three permutations is investigated. A
search space reduction technique based on graphs is presented for this case, followed
by a very tight lower bound. Two conjectures are stated and are linking this case
with the 3-Hitting Set problem.
— Finally, a generalization of the problem is proposed and allows us to extend our
work on search space reduction techniques to the rank aggregation problem.
Key words : Kemeny-Young method, median of permutations, Kemeny’s rule,
Kendall-τdistance, rank aggregation, ranking’s consensus, preferential votes,
voting system, rankings, permutations, optimization, algorithms
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